INTEGRAL DAN PENGGUNAANNYA

TUGAS MANDIRI

MATEMATIKA KONTEKSTUAL KEMIPAAN 4

DISUSUN OLEH:

MUHAMMAD ARISTO VIDIARTA

15/379611/PA/16669

GEOFISIKA 2015

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS GADJAH MADA

TAHUN 2015/2016

1

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT karena berkat rahmat dan

hidayah-Nya kami dapat menyelesaikan tugas Matematika Kontekstual, yaitu TUGAS MAKALAH

TENTANG INTEGRAL DAN PENGGUNAANNYA tanpa halangan suatu apapun.

Banyak orang yang menganggap pelajaran matematika itu adalah pelajaran yang sulit,

tapi sebenarnya tidaklah ada hal yang sulit apabila kita memperhatikan, memahami dan tekun

belajar. Khususnya pada sub bab Integral dalam pelajaran ini mudah jika kita bisa mencoba soal-

soal integral terus menerus dan memahami konsep integral yang ada. Oleh karena itu, tugas ini

penulis buat untuk memahami integral dan penggunaannya.

           Dengan tersusunya tugas ini penulis berharap dengan tugas ini bisa membuat penulis

mendapat nilai yang baik dan juga tugas ini semoga dapat berguna dalam proses belajar mengajar

dan berguna bagi pembacanya dengan begitu tidak percuma makalah ini disusun.

Dalam kesempatan kali tidak lupa penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada Bpk.

Dr. Budi Surodjo, M.Si. yang telah membina dan mengarahkan kami untuk dapat menyelesaikan

tugas ini dengan hasil yang baik dan penulis juga berterima kasih kepada semua pihak yang telah

membantu dalam penyusunan makalah ini.

          Mengingat bahwa manusia memiliki kelebihan maupun kekurangan dalam mengerjakan

sesuatu hal, maka penulis mengharapkan pembaca bersedia untuk memberika koreksi terhadap

tugas ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat konstruktif dari

para pembaca semua dan juga mudah mudahan laporan yang penulis susun ini dapat bermanfaat

bagi pembaca semua dan dapat meningkatkan prestasi si penyusun dan si pembaca .

Yogyakarta, 26 Oktober 2015

Penulis,

Muhammad Aristo Vidiarta

2

DAFTAR ISI

Judul…………………………………………………………………………………......... 1

Kata Pengantar……………………………………………………………………………. 2

Daftar Isi………………………………………………………………………………….. 3

BAB I Pendahuluan………………………………………………………………………. 4

1.1 Latar Belakang………………………………………………………………... 4

1.2 Rumusan Masalah…………………………………………………………….. 5

1.3 Tujuan………………………………………………………………………… 5

1.4 Manfaat……………………………………………………………………….. 5

BAB II Pembahasan………………………………………………………………………. 6

2.1 Sejarah Integral……………………………………………………………….. 6

2.2 Definisi Integral………………………………………………………………. 9

2.3 Penerapan Integral dalam bidang Geofisika………………………………….. 13

2.4 Penerapan Integral dalam bidang lain………………………………………… 15

BAB III Penutup………………………………………………………………………….. 16

3.1 Kesimpulan…………………………………………………………………… 16

3.2 Saran………………………………………………………………………….. 16

Daftar Pustaka……………………………………………………………………………. 18

3

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang memiliki sifat universal, dimana

matematikaini memiliki peran penting di semua bidang ilmu pengetahuan. Melalui

perkembanganpenalaran dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan,

pengukurandan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika.

Matematikasecara praktis mendaji salah satu kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis.

Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai

bidang,termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi,dan psikol

ogi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapanpengetahuan

matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaantemuan-temuan

matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang

sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan. Para matematikawan juga bergulat di

dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itusendiri, tanpa

adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadilatar munculnya

matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.

Salah satu cabang dari Ilmu Matematika yang patut di pelajari adalah Integral. Integral adalah

lawan dari proses diferensial. Integral terbagi atas beberapa jenis yaitu integral tertentudan

integral tak tentu. Perbedaan antara integral tertentu dan integral tak tentu yaitu

jika integraltertentu memiliki batasan-batasan ,integral tak tentu tidak memiliki batasan –

batasan.Penguasaan mata pelajaran Matematika khususnya mengenai integral bagi peserta

didik juga berfungsi membentuk kompetensi program keahlian

Dengan mengajarkan Matematikakhususnya dalam hal integral diharapkan peserta didik

dapat menerapkannya dalam kehidupansehari-hari dan mengembangkan diri di bidang keahlian

dan pendidikan pada tingkat yang lebih tinggi.

4

1.2 Rumusan Masalah

1. Bagaimana Sejarah ditemukannya Integral?

2. Apa yang dimaksud dengan Integral?

3. Bagaimana penerapan Integral dalam bidang Geofisika?

4. Bagaimana penerapan Integral dalam bidang lain?

1.3 Tujuan

1. Mengetahui sejarah ditemukannya Integral.

2. Mengetahui definisi dari Integral.

3. Mengetahui penerapan Integral dalam bidang Geofisika

4. Mengetahui penerapan Integral dalam bidang lain.

1.4 Manfaat

Manfaat dari penulisan makalah ini adalah agar pembaca dapat mengetahui sejarah

ditemukannya Integral, definisi dari Integral, penerapan Integral dalam bidang Geofisika, dan

penerapan Integral dalam bidang lain.

5

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Sejarah Integral

Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman

kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern.

Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul,

tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang

merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa

Mesir (c. 1800 SM)di mana orang Mesir menghitung volume piramida terpancung. Archimedes

mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus

integral.

Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil

takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan

diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bhaskara II pada abad ke-12 untuk

mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga

dan menjelaskan bentuk awal dari “Teorema Rolle“. Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn

al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah

pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu

metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap

perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi

menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. 

Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi

dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari.. deret Taylor, yang dituliskan dalam teks

Yuktibhasa.

Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh

matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis

danIsaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah

6

kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.

Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan

kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu

yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke

bidang fisikasementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan

sekarang.

Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul

kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima

penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi

Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri

pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton

kepada beberapa anggota dari Royal Society.

Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah,

dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan

Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz

yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton

menamakannya “The science of fluxions“.

Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan

lebih lanjut dari kalkulus.

Konon dalam sejarah matematika, pelajaran integral lebih dikenal dengan anti-differensial atau

kalo di sekolah atau perguruan tinggi, kita lebih mengenal kata “turunan” dibanding kata “differensial”.

Jadi Integral itu adalah kebalikan dari turunan. Baik integral ataupun differensial, keduanya merupakan

bagian dari ilmu Kalkulus dalam Matematika. Menurut sejarah, tokoh yang mengembangkan dan

memperkenalkan konsep differensial dan anti-differensial (integral) dalam ilmu matematika

adalah Gottfried Wilhelm Leibniz, atau lebih dikenal dengan Leibniz saja.

Lambang integral seperti cacing berdiri dahulunya dikenal dengan “Notasi Leibniz”, karena

Leibniz lah yang memperkenalkan konsep integral dalam Matematika, lambang integral seperti ini :  ∫,

diambil dari huruf pertama nama si Leibniz, yaitu huruf “L”, namun pada zaman dahulu orang menuliskan

huruf “L” dalam bentuk yang indah.

7

Ilmuwan dalam Perkembangan Matematika Hitung Integral

Sejak ilmu matematika berkembang dari abad sebelum masehi sampai abad sesudah masehi  juga

sampai sekarang  jaman modern.  Ilmu  tentang integral mengalami perkembangan yang cukup bagus.

Dari integral yang dikembangkan oleh Leibnizh pada abad sesudah masehi sampai integral yang

kembangkan oleh Henstock-kurzweill jaman modern sekarang ini . menurut sejarahnya, orang yang

tercatat pertama kali mengemukakan ide tentang integral adalah Archimides, seorang ahli matematika

bangsa Yunani yang berasal dari Syracusa (287 – 212 SM). Ia menggunakan ide itu untuk menghitung

luas daerah lingkaran, daerah yang dibatasi parabola dan tali busur, dan sebagainya.

Hitung integral merupakan metode matematika dengan latar belakang sejarah yang cukup unik.

Banyak ilmuwan, baik matematika maupun non-matematika, yang berminat terhadap perkembangan

matematika hitung integral, di antrannya sebagai berikut.

Tokoh-Tokoh Matematika dalam integral

1. Archimedes (287-212 SM), seorang fisikawan sekaligus matematikawan dari Syracuse, Yunani. Pada

abad kedua sebelum masehi, Archimedes talah menemukan ide penjumlahan untuk menentukan luas

sebuah daerah tertutup dan volume dari benda putar. Diantaranya adalah rumus lingkaran, luas segmen

parabola, volume bola, volume kerucut, serta volume benda putar yang lain. Ide penjumlahan ini

merupakan salah satu konsep dasar dari Kalkulus Integral.

2. Isaac Newton (1642-1727 M), seorang matematikawan sekaligus fisikawan dari Inggris. Isaac

Newton dan Gottfried wilhelm Leibniz dalam kurun waktu yang hampir bersamaan, meskipun bekerja

sendiri-sendiri, telah menemukan hubungan antara Kalkulus Differansial dan Kalkulus Integral. Walaupun

konsep luas daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup (integral tertentu) telah lebih dahulu diketahui,

tetapi I Newton dan Leibniz merupakan dua tokoh terkemuka dalam sejarah Kalkulus. Sebab, mereka

mampu mengungkapkan hubungan yang erat antara antiderivatif dengan intagral tertentu. Hubungan ini

dikenal denganTeorema Dasar Kalkulus.

3. Gottfried wilhelm Leibniz (1646-1716 M), seorang ilmuwan jenius dari Leipzig,

Jerman. Leibniz seorang ilmuwan serba-bisa. Ia mendalami bidang hukum, agama, filsafat, sejarah,

politik, geologi, dan matematika. Selain Teorema Dasar Kalkulus yang dikembangkan bersama Newton,

Leibniz juga terkenal dengan pemakaian lambang matematika. Lambang dx/dy bagi turunan dan

lambang ∫bagi integral merupakan lambang-lambang yang diusulkan oleh Leibniz dalam Hitung

Differensial dan Hitung Integral.

8

4. George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866 M), seorang matematikawan dari Gottingen, Jerman.

Meskipun Teorema Dasar Kalkulus telah dikemukakan oleh Newton, namun Riemann memberi definisi

mutakhir tentang integral tentu. Atas sumbangannya inilah integral tentu sering disebut sebagai Integral

Riemann.

2.2 Definisi Integral

Integral adalah suatu bilangan yang dihitung melalui proses pembatasan (limit) pada

daerah asal dari suatu fungsi, sering berbentuk interval atau bidang datar, lalu dibagi menjadi

sembarang unit-unit yang kecil, nilai fungsi pada suatu titik dikalikan dengan selang untuk

interval atau luas unit untuk bidang datar, hasil-hasil perkalian ini lalu

dijumlahkan.Pengintegralan merupakan invers (kebalikan) dari pendifferensialan, jadi rumus-

rumus integral dapat dirunut dari rumus differensial.

Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul

ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana

menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah ʃIntegral terbagi dua yaitu  integral tak tentu dan  integral tertentu. Bedanya adalah integral

tertentu  memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tak tentu biasanya dipakai untuk mencari

volume benda putar dan luas.

Integral Tak Tentu

Notasi/lambang untuk menyatakan integral adalah . Misalkan F(x) menyatakan

fungsi dalam x, dengan f(x) turunan dari F(x) dan c konstanta berupa bilangan real

sembarang, maka notasi integral tak tentu dari f(x) adalah

f ( x ) dx = F ( x ) + c

Rumus dasar integral tak tentu

9

a. Integral Fungsi Aljabar

Cara menentukan integral fungsi aljabar. Misalkan y = xn+1 maka kita dapat menentukan

turunan pertamanya, yaitu y' = (n+1) x(n+1)-1= (n+1) xn. y' =

dydx sehingga diperoleh

dydx =

(n+1) xn. Dari persamaan tersebut diperoleh dy = (n + 1) xn dx. Apabila diintegralkan

kedua ruas akan diperoleh persamaan:

dy = (n + 1) xn dx

y + c = (n + 1) xn dx

Kemudian disubtitusikan dengan bentuk fungsi y = x(n + 1) diperoleh

(n + 1) xn dx = x(n + 1) + c, sehingga diperoleh xn dx =

1n+1

xn+1+c, n –1

Pada materi diferensial, jika turunan F(x) adalah f(x) dan turunan G(x) adalah g(x) maka

turunan dari y= F(x) + G(x) adalah

dydx =f(x) + g(x), dengan demikian dapat dinyatakan

bahwa

[f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx

Sifat-sifat yang merupakan rumus-rumus dasar integral adalah sebagai berikut.

1. dx = x + c

2. xn dx =

1n+1 xn+1 + c; n –1

3. a n dx =

an+1 xn+1 + c; n –1

4. a dx =a + c

5. [f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx

6. [f(x) – g(x)] dx = f(x) dx – g(x) dx

7. a f(x) dx = a f(x) dx

10

1. Jika f(x) = sin x maka f'(x) = cos x

2. Jika f(x) = cos x maka f'(x) = –sin x

3. Jika f(x) = tan x maka f'(x) = sec2 x

4. Jika f(x) = cot x maka f'(x) = –cosec2 x

5. Jika f(x) = sec x maka f'(x) = sec x tan x

6. Jika f(x) = cosec x maka f'(x) = cosec x cot x

Contoh:

1. Selesaikan pengintegralan dari x4 x dx.

Penyelesaian:

x4 x dx = x4 x x1

2 dx

= x4

12 dx

=

1

4 12+1

x4

12+1

+c

=

211

x11

2 +c

b. Integral Fungsi Trigonometri

Karena integral adalah operasi kebalikan (invers) dari turunan (diferensial),

integral trigonometri dapat dirumuskan sebagai berikut:

sin x dx = –cos x + c

cos x dx = sin x + c

sin ax dx = –

1a cos ax + c

cos ax dx =

1a sin ax + c

11

sin (ax + b) dx = –

1a cos (ax +b ) + c

cos (ax + b) dx =

1a sin (ax +b ) + c

Integral Tentu

Misalkan f kontinu pada interval tertutup [a,b] atau a x b. Jika F suatu fungsi

sedemikian rupa sehingga F (x) = f(x) untuk semua x pada [a,b], maka berlaku

a

bf ( x )dx=[ F (x 0 ]a

b=F (b )−F (a )

F(x) adalah antiturunan dari f(x) pada a x b. Hubungan di atas dinamakan dengan

teorema dasar kalkulus. Dengan teorema ini, nilai integral tertentu lebih mudah diketahui.

Bukti teorema di atas adalah sebagai berikut.

Bukti:

Misal g(x) = a

xf ( x )dx

dengan x[a,b] maka g(x) merupakan integral tak tentu sehingga g(x)

= a

xf ( x )dx

= F(x) + c.

Sifat-sifat integral tertentu:

Misal f(x) dan g(x) adalah fungsi kontinu maka:

a. a

af ( x )dx

= 0

b. a

bf ( x )dx

= –b

af ( x )dx

c. a

bf ( x )dx

= ca

bf ( x )dx

, dengan c konstanta

d. a

b [ f ( x )±g( x ) ]dx= a

bf ( x )dxa

bg( x )dx

e. a

cf ( x )dx+a

bf ( x ) dx

=a

bf ( x )dx

; dengan a < c < b.

12

2.3 Penerapan Integral dalam bidang Geofisika

1. Metode Elektromagnetik

Dalam penggunaan metode elektromagnetik, determinasi perjalanan waktu yang

digunakan oleh sinyal elektromagnetik dihitung menggunakan derivatif dari sinyal TDR.

2. Metode gravitasi

Derivatif digunakan pada penghitungan mengenai percepatan di sebuah vektor tiga

dimensi. Jika kita menggunakan koordinat kartesius (x,y,z), percepatan akan mempunyai

komponen (ax, ay, az). Ketiga komponen ini dapat dikomputasikan dengan penghitungan

derivatif terpisah dari potensial dengan memperhatikan x, y, dan z :

13

Selain itu penggunaan derivatif lainnya dalam metode gravitasi adalah dalam mencari

potensi gravitasi dari titik sebuah massa

Persamaan tersebut menghasilkan sebuah solusi :

3. Seismologi dan Struktur internal bumi

Derivatif digunakan sesuai dengan Prinsip D’Alembert dimana derivatif dapat

mendemonstrasikan dengan sederhana fungsi dari seperti

penjabaran berikut.

Persamaan tersebut valid untuk c bernilai positif maupun negatif sehingga persamaan

umum dari F dapat disimpulkan merepresentasikan superposisi dari gelombang yang

14

berjalan berlawanan arah di sepanjang sumbu X sesuai persamaan berikut.

2.4 Penerapan Integral dalam bidang lain

Bidang Ekonomi

       Mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya (fungsi turunannya).

       Mencari fungsi biaya total.

       Mencari fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal.

       Mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal.

       Fungsi tabungan dari fungsi tabungan marginal.

       Fungsi kapital dari fungsi investasi.

Bidang Teknologi

      Penggunaan laju tetesan minyak dari tangki untuk menentukan jumlah kebocoran selama selang

waktu tertentu

      Penggunaan kecepatan pesawat ulang alik Endeavour untuk menentukan ketinggian maksimum

yang dicapai pada waktu tertentu.

      Memecahkan persoaalan yang berkaitan dengan volume, paanjang kurva, perkiraan populasi,

keluaran kardiak, gaya pada bendungan, usaha, surplus konsumen.

Bidang Fisika

       Analisis rangkaian listrik arus AC.

       Analisis medan magnet pada kumparan.

       Analisis gaya-gaya pada struktur pelengkung.

Bidang Matematika

       Menentukan luas suatu bidang,

       Menentukan volume benda putar,

15

       Menentukan Panjang busur

BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Integral adalah suatu bilangan yang dihitung melalui proses pembatasan (limit) pada daerah

asal dari suatu fungsi, sering berbentuk interval atau bidang datar, lalu dibagi menjadi sembarang

unit-unit yang kecil, nilai fungsi pada suatu titik dikalikan dengan selang untuk interval atau luas

unit untuk bidang datar, hasil-hasil perkalian ini lalu dijumlahkan.

Pengintegralan merupakan invers (kebalikan) dari pendifferensialan, jadi rumus-rumus

integral dapat dirunut dari rumus differensial.Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi.

Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan

harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi.

Lambang integral adalah ʃ, diambil dari huruf pertama nama si Leibniz, yaitu huruf “L”.

Integral terbagi dua yaitu  integral tak tentu dan  integral tertentu. Bedanya adalah integral

tertentu  memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tak tentu biasanya dipakai untuk mencari

volume benda putar dan luas.

Integral dapat diterapkan dalam beberapa bidang, antara lain bidang ekonomi, bidang

teknologi, bidang fisika, bidang matematika, dan bidang geofisika. Dalam bidang geofisika,

integral digunakan dalam metode elektromagnetik, metode gravitasi, seismologi dan struktur

internal bumi, dan masih banyak yang lainnya.

3.2 Saran

1. Hendaknya dalam proses belajar mengajar matematika integral, lebih sering diberi tugas. Dan

hendaknya tugas yang di berikan tidak terlalu menyulitkan bagipeserta didik. Sehingga para

16

peserta didik bisa menyelesaikan tugas denganbaik dan termotivasi untuk mempelajari

Matematika Integral ini.

 

2. Hendaknya dalam proses belajar mengajar pihak guru memberikanpembelajaran yang merata

bagi seluruh siswa di kelas. Dan hendaknya pihakguru tidak hanya memperhatikan bagian

sudut kelas tertentu, sehingga bagiansudut kelas yang lainnya sering terbengkalai sehingga

dalam prosespembelajaran bagian sudut kelas tersebut tidak bisa mengikuti dengan baik.

 

3. Hendaknya dalam proses evaluasi pembelajaran tidak memberikan jenis-jenissoal yang terlalu

rumit/susah dan terkesan sangat berbeda dengan soal-soallatihan yang sederhana

dan diberikan selama proses pembelajaran. Sehinggasoal-soal evaluasi yang di berikan

selama ini sulit untuk di selesaikan olehpeserta didik.

17

DAFTAR PUSTAKA

1. Nugraha, Didit Budi.2012.Kalkulus Integral dan Aplikasinya.Jakarta: Graha Ilmu

2. http://shakuyaa.blogspot.co.id/2013/04/integral-kalkulus.html

3. http://www.scribd.com/doc/44537163/Matematika-Integral#scribd

4. http://ceritabaru2012.blogspot.co.id/2014/06/makalah-integral.html

5. http://www.academia.edu/9356867/Penggunaan_Integral_dalam_bidang_Geofisika

6. https://id.wikibooks.org/wiki/Subjek:Matematika/Materi:Integral

18