ii matematika untuk analisis sistem dinamik · pdf filebab ii matematika untuk analisis sistem...

DINPRO / II / 1Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY

MATEMATIKA UNTUK ANALISIS SISTEM DINAMIK

• Tujuan: Mhs mampu menyusun dan menyelesaikan model matematika (persamaan keadaan) suatu sistem (proses) sehingga dapat menjelaskan dinamika suatu proses

• Materi: 1. Bilangan Kompleks2. Transformasi Laplace: definisi, sifat-sifat transformasi

laplace3. Penyelesaian PD dengan Transformasi Laplace:

prosedur, inversion, penyelesaian time delay4. Karakteristik Respon Proses: variabel deviasi, respon

output, stabilitas5. Linearisasi

II


2.1. Bilangan Kompleks

• Sebuah bilangan disebut kompleks jika bilangantsb tidak dapat dinyatakan sebagai bilangannyata (real); atau bilangan tsb adalah khayal(imaginer)

• Bilangan Imaginer :

• Bentuk cartesian : c = a + i bdimana: a = bagian real

b = bagian imaginer

i=−1…… (2.1.1)


Complex Plane

Real Axis

Imagiray Axis

I

Ra

b r

(a,b)

Notasi Polar

r ≡ magnitudeθ ≡ argument

θ


c = a + i b

BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik YDH - DINPRO - 2


Notasi Polar Untuk Menyatakan Bilangan Kompleks:

22 bacr +==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= −

ab

ab arctantan 1θ

θcosra = θsinrb =

( ) θθθ ierirc =+= sincos

( )θθθ sincos iei +≡

magnitude

argument

∴ notasi cartesiandan

( ) ( )biabiaconj −=+.

dimana:

conjugate


…… (2.1.2.a)

…… (2.1.2.b)

maka: …… (2.1.3)

…… (2.1.4)

…… (2.1.5)


Operasi Bilangan Kompleks

Pertimbangkan: θierbiac =+= βieqwivp =+=

Penjumlahan & Pengurangan: ( ) ( )wbivapc ±+±=±

Perkalian: ( )( )

( ) ( )awbvibwaviawibvbwiav

iwvibacp

++−=+++=

++=2

( )( ) ( )βθβθ +== iii rqeeqercp

dan

Perkalian dg conjugate: ( )( ) rbabiabia =+=−+ 22


…… (2.1.6)

…… (2.1.7)

…… (2.1.8)

…… (2.1.9)


Operasi Bilangan Kompleks

Pembagian: ( )( )

( )( )

( ) ( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

=

+−++

=−−

++

=

2222

22

wvawbvi

wvbwav

wvawbvibwav

iwviwv

iwviba

pc


Pangkat: θinnn erc =

( )βθβ

θ−== i

i

ie

qr

qere

pcBentuk polar

Akar: ( ) nkinn in errec /2 πθθ +==

dimana k = 0, ±1, ±2, …, sampai diperoleh n akar

…… (2.1.10)

…… (2.1.11)

…… (2.1.12)

…… (2.1.13)



Contoh Soal 2.1.1: konversi bilangan kompleks menjadi polar

Bil. kompleks: 43 ia +=


68 ib −= ic +−= 1

5=aMagnitude (r): 10=b 414.1=c

Argument (θ):

rad

a

927.034tan 1

=

= −θ

rad

b

643.086tan 1

−=

−= −θ

rad

c

43

11tan 1

π

θ

=

−= −

Polar: 297.05 iea = 643.05 ieb −= ( )4/35 πieb =


Complex Plane


-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

R

I

a = 3 + i 4

b = 8 − i 6

c = − 1 +i

Contoh Soal: (lanjutan)


Perkalian: ( ) ( ) iiac −−=−+−−= 74343

( ) ( ) 1426868 iibc −−=+++−=

( ) 2834.34/3927.0 07.7414.15 iii eeeac == π



( ) ii −−=+= 72834.3sin2834.3cos07.7

Bentuk polar:

Pembagian:( )( )

( )( )

( ) ( ) 5.03664

321824246868

6843 ii

ii

ii

ba

=+

++−=

++

−+

=

Bentuk polar: ( ) 5.005.05.0105 570.1

643.0

927.0iie

ee

ba i

i

i=+===

−



Akar: 01616 ie=

( ) ( )2/4/2044 0 21616 ππ kikii eeex === +



misal

akar dari 16 adalah:untuk

x = 2 e−iπ = 2(−1+ i0) = −2k = 2

x = 2 e−iπ/2 = 2(0 − i) = − i2k = −1

x = 2 eiπ/2 = 2(0 + i) = i2k = 1

x = 2 ei0 = 2k = 0

dimana


2.2. Transformasi Laplace

DefinisiDalam analisis dinamika proses, variabel proses dan sinyal kontroladalah fungsi waktu, t. Transformasi Laplace f(t) adalah:

( ) ( )[ ] ( ) dtetftfsF st−∞

∫==0

L

Dimana:

F(s) = Transformasi Laplace dari f(t)

s = Variable Transformasi Laplace, time-1

…… (2.2.1)


Jenis-Jenis Input

• Fungsi Tahap (step function) ( )⎩⎨⎧

≥<

=0100

tt

tu


t = 0 t

0

1.0( )[ ] ( )

( )ss

es

dtetutu stst

1101

10

0

=−−=

−==∞−−

∞

∫L

• Fungsi Pulse( )

⎩⎨⎧

<≤≥<

=TtHTtt

tf0

,00

( )[ ] ( )

( )sTTst

stT

st

esHe

sH

dteHdtetftf

−−

−−∞

−−=−=

== ∫∫

10

00

L

t = 0 t

0

H

t = T



Jenis-Jenis Input

• Fungsi Impulse

( )⎩⎨⎧

=∞><

=0

0,00t

tttδ


( )[ ] ( ) 10

== −∞

∫ dtett stδδL

• Fungsi Sinus

( )ieet

titi

2sin

ωωω

−−=

t = 0 t

0

∞Dirac delta function: δ(t)

t = 0 t

0

1

t = T

-1

Frequency =

Period = TTπω 2

=Amplitude = 1



• Fungsi Sinus (lanjutan)

( )[ ] dteieet st

titi−

∞ −

∫−

=0

2sin

ωωωL

( ) ( )[ ]dteei

tistis∫∞

+−−− −=0

21 ωω

( ) ( ) ∞+−−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

−−=

021

ωω

ωω

ise

ise

i

tistis

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+−

+−−

−=∞

220

2211010

21

ωω

ωω si

iisisi

22 ωω+

=s


Tabel 2.2.1. Transformasi Laplace Untuk Fungsi-Fungsi Umum

te−at

e−atcos(ωt)e−at

e−at sin(ωt)tn

cos(ωt)t

sin(ωt)u(t)

tne−at1δ(t)

F(s) = L [f(t)]f(t)F(s) = L [f(t)]f(t)

s1

21s


22 ωω+s

( ) 22 ωω++ as1

!+ns

n

( ) 1!

++ nasn

22 ω+ss

as +1

( )21as +

( ) 22 ω++

+

asas



TUGAS 01

• Buktikan konversi dari f(t) menjadi F(s) berdasarkan Tabel Tansformasi Laplace UntukFungsi-Fungsi Umum (Lihat Tabel 2.2.1.)



Sifat-Sifat Transformasi Laplace• Linearity

( )[ ] ( )[ ] ( )sFatfataf == LL


TL merupakan operasi linear, hal ini berarti, jika a adalahkonstanta, maka:

Sifat distributif: ( ) ( )[ ] ( ) ( )sGbsFatgbtfa +=+L

( ) ( ) ( )0fsFsdt

tdf−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡L

( ) ( ) dtedt

tfddt

tfd st−∞

∫=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

0

L

• Real Differentiation Theorem

Pembuktian:

…… (2.2.2)

…… (2.2.3)

…… (2.2.4)



Integral parsial: steu −=

( ) ( )[ ] ( )( )∫∞

−∞− −−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

00 dtsetfetf

dttfd ststL

dtsedu st−−=

( )[ ] ( ) dtetfsf st−∞

∫+−=0

00

( )sFs

( ) ( )0fsFs −=

( ) dtdt

tfddv =

( )tfv =

terbukti




Untuk derivatif order 2 :

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

dttfd

dtd

dttfd LL 2

2

( )0=

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

tdtdf

dttdfs L

( ) ( )otdt

dffssFs=

−−= 02

( ) ( )[ ]0

0=

−−=tdt

dffssFs L


Secara umum, untuk n derivatif:

( ) ( )sFsdt

tfd nn

n=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡L


( ) ( ) ( )0

1

11 ...0

=−

−− −−−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

tn

nnn

n

n

dtfdfssFs

dttfdL

Dalam pengendalian proses, kondisi awal adalah pada kondisitunak. Jadi time derivatifnya nol (zero), dan variabel adalahdeviasi dari kondisi awal, sehingga Laplace n derivative adalah:

…… (2.2.5)

…… (2.2.6)



( ) ( )sFs

dttft

1

0

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∫L

• Real Integration Theorem

( )[ ] ( )sFettf DstD

−=−L

Pembuktiannya sama dengancara real differentiation theorem.

Coba anda buktikan di Rumah!

• Real Translation Theorem

Teori ini berkaitan denganketerlambatan waktu (time delay) dalam merespon perubahan input, dan selanjutnya dikenal sebagaidead time.

tt = 0 t = tD

0

f(t-tD)

f(t)

…… (2.2.7)

…… (2.2.8)



Pembuktian: ( )[ ] ( )∫∞

−−=−0

dtettfttf stDDL

( ) τττ

deef ststD −−∞

=∫=

0


Misal, τ = t – tD atau t = tD + τ

( )[ ] ( ) ( ) ( )ττ τ +=− +−∞

−=∫ D

ts

ttD tdefttf D

D

L

( ) ττ defe ststD −∞

− ∫=0

( )sFe Dst−=

Catatan:f(τ ) = 0 untuk τ < 0 < (t – tD)

terbukti


• Final Value Theorem

( )( ) ( )asFtfeat −=L

( ) ( )sFstfst 00limlim→→

=


( )[ ] ( )sFdsdtft −=L

( ) ( )ssFtfst 0limlim→∞→

=

• Complex Differentiation Theorem

• Complex Translation Theorem

• Initial Value Theorem

…… (2.2.9)

…… (2.2.10)

…… (2.2.11)

…… (2.2.12)


2.3. Penyelesaian PD dengan TL

Anggapan: kondisi awal adalah pada keaadaan tunak (steady state) dan semua variabel dinyatakan dalam term deviasi.

Prosedur Penyelesaian TL

1. Ubah PD menjadi bentuk laplace dengan variabel s.2. Buat hubungan antara variabel output (variabel tidak bebas/

dependent) dan variabel input.3. Balik (invert) bentuk laplace menjadi bentuk waktu untuk

memperoleh respon output.

Catatan: dalam sistem pengendalian proses, PD menunjukkanhubungan antara sinyal output, y(t), dan sinyal input, x(t).



Pertimbangkan:


( ) ( ) ( ) ( )txbtyadt

tdyadt

tyda =++ 012

2

2

( ) ( ) ( )0

22

2

2 0=

−−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

tdtdysysYs

dttyda L

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]txbtyadt

tdyadt

tyda LLLL =+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡012

2

2

x(t) disebut variabel input (force function)y(t) disebut variabel output (dependent variable)a0, a1, a2, dan b adalah konstantaKondisi awal = y(0), dan dy/dt|t=0 = 0

TL dari PD pangkat dua:

TL untuk masing-masing term:≅ 0

…… (2.3.1)

…… (2.3.2)



( ) ( ) ( ) ( ) ( )sbXdtdyayasasYasasa

t=−+−++

=021201

22 0

( ) ( )sXasasa

bsY ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++=

012

2

( )[ ] ( )sXbtxb =L

( )[ ] ( )sYatya 00 =L

( ) ( ) ( )011 yssYadt

tdya −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡L

TL untuk masing-masing term:≅ 0

Jadi diperoleh:

≅ 0

Penyederhanaan (hubungan output dan input):

Term di dalam kurung disebutFUNGSI TRANSFER

…… (2.3.3)

…… (2.3.4)



( ) ( )( )srsrsasasasa 212012

2 −−=++

( )sasasa

bsY 1

012

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++=

( )s

sX 1=

2

02211

2,1 24

aaaaa

r−±−

=

Kebalikan dari TL Dengan Ekspansi Parsial:

Jika input berubah 1 unit fungsi tahap:

Akar polynomial kuadarat:

Pengmbangan (ekspansi) denominator:

dimana r1 dan r2 adalah akar kuadrat dari: 0012

2 =++ asasa

…… (2.3.5)

…… (2.3.7)

…… (2.3.6)




( ) ( )tuAeAeAty trtr321

21 ++=

( )sA

rsA

rsAsY 3

2

2

1

1 +−

+−

=

( ) ( )sYrsA krskk

−=→lim

Ekpansi parsial TL:

Untuk akar-akar yang tidak berulang, berlaku:

Berdasarkan Tabel TL, kebalikan (invert) dari laplace adalah:

…… (2.3.8)

…… (2.3.9)



( ) ( )tuAeAteAty trtr321

11 ++=

( ) ( )sYrsArs

211

1

lim −=→

Koefisien A3 dihitung seperti sebelumnya, A1 dan A2 dihitungdengan cara:

Berdasarlak Tabel TL, kebalikan (invert) dari laplace adalah:

( ) ( )[ ]sYrsdsdA

rs

212 !1

1lim1

−=→

Untuk akar-akar yang berulang, misalnya r1 = r2, berlaku:

( )( ) s

Ars

Ars

AsY 3

1

22

1

1 +−

+−

= …… (2.3.10)

…… (2.3.11)



( ) ( ) ( ) ......!2!1

12

21

1 +⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++

−+

−=

−−tr

m

mmeA

mtA

mtAty

Koefisien-koefisien dihitung sebagai berikut:

Untuk k = 2, …, m, maka Invert laplace adalah

Secara umum, jika r1 diulang m kali:

( )( ) ( )

......1

11

2

1

1 +−

++−

+−

=− rs

ArsA

rsAsY m

mm

( ) ( )sYrsA m

rs 111

lim −=→

( ) ( ) ( )[ ]sYrsdsd

kA m

k

k

rsk 11

1

!11lim

1

−−

=−

−

→

…… (2.3.12)

…… (2.3.13)

…… (2.3.14)



Time Delay (Dead-time)Pertimbangkan kasus dimana terdapat term ekponensial


( ) DsteYsY −= 1

( )n

n

rsA

rsA

rsAsY

−++

−+

−= ...

2

2

1

11

( ) trn

trtr neAeAeAty +++= ...21211

Dengan Y1(s) tanpa term ekponensial

Invert Y1(s) menghasilkan:

…… (2.3.15)

…… (2.3.16)

…… (2.3.17)



Jadi, dengan menggunakan real translation theorem:

( ) ( ) ( ) ( ) DnDD stn

stst esYesYesYsY −−− +++= ...2121

( ) ( ) ( ) ( )DnDD ttrn

ttrttr eAeAeAty −−− +++= ...2121

( ) ( ) ( ) ( )DnnDD ttyttyttyty −++−+−= ...2211

Jika terdapat multi-delay:

Jadi, dengan menggunakan real translation theorem:

( ) ( )[ ] ( )Dst ttysYety D −== −−

111L

Jadi, Invert Y (s) menghasilkan:

…… (2.3.18)

…… (2.3.19)

…… (2.3.20)


Contoh 2.3.1 : menangani time delay

( ) sD e

ssFdant −==

11


Diketahui PD berikut:

( ) ( ) sess

sFs

sC −

+=

+=

12

12

1

( ) ( ) ( )tftcdt

tdc=+ 2

TL dari PD dan substitusi F(s) menghasilkan:

Dengan c(0) = 0, Tentukan respon output c(t), jika pada t = 1, input berubah dengan satu unit step: f(t) = u(t – 1)!

Jadi:




misal: ( ) ( ) sesCsC −= 1

( ) ( ) 211

212lim

21 −=+

+=−→ ss

sAs

( )s

BsA

sssC 11

1 21

21

++

=+

=

Invert dari C1(s):

( ) 211

21lim

02 =+

=→ ss

sAs



( ) ( )tuetc t

21

21 2

1 +−= −

Jadi invert dari C1(s) menghasilkan (lihat Tabel 2.2.1):

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]1211

1 11211 −−−− −−=−== ts etutcesCtc L

( )( )tetu 2121 −−=

Aplikasi real translation theorem:

Catatan unit step u(t – 1) harus dikalikan dengan term eksponensial, hal ini menunjukkan bahwa c(t) = 0 untuk t < 1.


2.4. Karakteristik Respon Proses

Beberapa pertanyaan yang relevan terhadap respon:

1. Apakah respon stabil? Yaitu respon terjaga pada nilai tertentu.

2. Jika stabil, berapa nilai tunak baru?

3. Apakah responnya monoton atau berosilasi?

4. Jika monoton dan stabil, berapa waktu yang diperlukan untukmencapai kondisi stabil (tunak baru)?

5. Jika bersosilasi, berapa periode osilasi dan berapa waktuberosilasi sampai akhirnya stabil?



Variabel Deviasi2.4. Karakteristik Respon Proses

( ) ( ) ( )0ytytY −=

Dimana: y(t) = nilai variabel totaly(0) = nilai variabel pada kondisi awal

Dari definisi variabel deviasi, maka variabel deviasi pada kondisiawal selalu nol (0): Y(0) = y(0) – y(0) = 0

…. (2.4.1)

Pertimbangkan PD linear order n:

( ) ( ) ( )tyadt

tydadt

tyda n

n

nn

n

n 01

1

1 +++−

−

− K

( ) ( ) ( ) ctxbdt

txdbdt

txdb m

m

mm

m

m ++++=−

−

− 01

1

1 L …. (2.4.2)


( ) ( ) cxbya += 00 00


Dimana n > m, y(t) = output, x(t) = input, dan c = konstanta

Pada kondisi tunak awal, semua fungsi derivatif waktu adalah nol

sehingga: …. (2.4.3)

Pers. (2.4.2) – Pers. (2.4.3) :

( ) ( ) ( )tYadt

tYdadt

tYda n

n

nn

n

n 01

1

1 +++−

−

− K

( ) ( ) ( )tXbdt

tXdbdt

tXdb m

m

mm

m

m 01

1

1 +++=−

−

− L …. (2.4.4)

Dimana: Y(t) = y(t) – y(0) dan X(t) = x(t) – x(0)



Respon OutputUntuk menunjukkan hubungan antara respon output dan akar-akar daridenominator fungsi transfer, maka penyelesaian TL dari pers. (2.4.4) dalam term deviasi:

( ) ( )sXasasabsbsb

sY nn

nn

mm

mm

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+++

+++=

−−

−−

01

1

01

1

L

L …. (2.4.5)

Denominator pers. (4.5) dapat difaktorkan menjadi derajat n berikut:

( ) ( )( ) ( ) ( )sXrsrsrsabsbsb

sYnn

mm

mm

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−+++

=−

−

L

L

21

01

1 …. (2.4.6)

Dimana r1, r2, …, rn adalah akar polynomial denominator. Disampingn faktor (lihat pers 2.4.6), terdapat faktor lain dari X(s) yang tergantungpada jenis input (step, pulse, ramp, dll.)




Pengembangan dalam fraksi parsial:

( ) ( )sXdaritermrs

Ars

Ars

AsYn

n +−

++−

+−

= L1

1

1

1 …. (2.4.7)

Kebalikan laplace pers. (4.7) menghasilkan:

( ) ( )sXdaritermeAeAeAsY trn

trtr n ++++= L2121 …. (2.4.8)

Akar-Akar Nyata:Akar positif : respon naik seiring naiknya waktu TIDAK STABILAkar negatif : meluruh sampai nol STABIL

∴ Jika semua akar denominator dari FT adalah nyata:☺ respon monotonic (non-oscillatory)☺ respon stabil jika semua akarnya negatif

(lihat Gambar 2.4.1)


Gambar 2.4.1. Respon untuk akar-akar nyata


t

Y(t)

Y1

tk t

Y(t)

(a) Stabil, akar nyata negatif (b) Tidak Stabil, akar nyatapositifY1 = kondisi tunak baru

kk r

t 5−= …. (2.4.9)



dimana: ρ = bagian real; ω = bagian imaginer

Pasangan Akar Complex Conjugate:

r1 = ρ + i ω r2 = ρ − i ω

Pengembangan FT:

( )( )( )

( )( )

L++−

−+

+−−+

=22

2122

21

ωρω

ωρρ

sAAi

ssAA

( ) L++−

+−−

=ωρωρ is

Ais

AsY 21

( )( ) ( )

L++−

++−

−=

2222 ωρω

ωρρ

sC

ssB

dimana: B = A1 + A2 dan C = i (A1 – A2)

…. (2.4.10)



Jadi invert dari pers. (2.4.10) menghasilkan (lihat Tabel 2.2.1):

( ) ttt ωθωθθω sincoscossinsin +=+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

CBarctanθ

( ) ( ) L++= θωρ tDetY t sin

22 CBD +=

( ) L++= tCetBetY tt ωω ρρ sincos[ ] L++= tCtBe t ωωρ sincos

Penyederhanaan menggunakan bentuk trigonometri:

menghasilkan: …. (2.4.11)

dimana: Amplitudo awal

Phase angle, dalam radian




Berdasarkan pers. (2.4.11), disimpulkan:☺ Respon berosilasi☺Osilasi menjadi TIDAK STABIL, jika bilangan kompleks

conjugate mempunyai akar bagian real positif

Perhatikan term eρ t:

ρ positif Amplitudo semakin besar dengan waktuρ negatif Amplitudo meluruh

Frekuensi gelombang sinus merupakan bagian imaginer dari akar, ωdalam radian/waktu.Periode osilasi: waktu yang diperlukan untuk menempuh satu siklusgelombang. atau, waktu yang diperlukan untuk menaikkan argumengelombang sinus (ω t + θ) sebesar 2π radian.

ωπ2

=T …. (2.4.12)


Gambar 2.4.2. Respon untuk akar-akar complex conjugate2.4. Karakteristik Respon Proses

t

Y(t)

Y1

ts t

Y(t)

(a) Stabil, akar nyata negatif(b) Tidak Stabil, akar nyata

positifY1 = kondisi tunak baru

ρ5−

=st …. (2.4.13)

…. (2.4.14)ωπρρ /2eeratioDecay T ==




Kondisi Tunak BaruKondisi tunak baru dapat dicari dengan final value theoremAsumsi input berubah dengan fungsi tahap dimana X(t) = ∆x u(t)atau X(s) = ∆x / s substitusi ke pers. (2.4.5)

sx

ab

sx

asasabsbsbsY n

nn

n

mm

mm

s

∆=

∆⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++

=∆ −−

−−

→0

0

01

1

01

1

0lim

L

L … (2.4.15)

Kriteria Kestabilan

Sistem akan STABIL jika semua akar denominator dari FT adalahNEGATIF, yaitu: negatif untuk akar nyata dan negatif untuk bagian real dari akar complex. Lihat Gambar bidang kompleks (Gambar 2.4.3)


Gambar 2.4.3. Complex Plane


I

R

STABIL

STABIL


2.5. Linearisasi

Salah satu kesulitan dalam analisis respon dinamik untuk proses adalah sifatketidak-linearan proses tersebut. Metode Transformasi Laplace (TL) yang telah kita pelajari dapat menggambarkan dinamika sistem proses. Sayangnya, hanya sistem linear saja yang dapat dianalisa dengan TL. Dan, tidak adateknik lainnya yang dapat digunakan untuk analisis dinamik sistem non-linear.

MengapaMengapa perluperlu linearisasilinearisasi??

Linearisasi digunakan untuk mendekati respon sistem non-linear denganPD linear yang kemudian dapat dianalisa dengan TL

Pendekatan linear terhadap sistem non-linear dapat diterima (valid) untukdaerah yang dekat dengan beberapa titik dasar (base point) yang dibuat. Maka, kita akan memilih kondisi tunak awal sebagai base point.



2.5. Linearisasi

BeberapaBeberapa fungsifungsi nonnon--linear yang linear yang umumumum::

☺ Entalpi (H), sebagai fungsi suhu (T):

( )[ ] ( )( ) ( )tx

txtxy11 −+

=αα

… (2.5.1)

dimana: H0, a0, a1, a2, a3, dan a4 adalah konstanta.

( )[ ] ( )[ ]CtTBAetTp +−=0

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )tTatTatTatTaHtTH 44

33

2210 ++++=

☺ Pers. Antoine: tekanan uap (p0) sebagai fungsi suhu (T)

dimana: A, B, dan C adalah konstanta.

… (2.5.2)

☺ Fraksi mol uap setimbang (y), sebagai fungsi fraksi mol cairan (x)

dimana: α adalah volatilitas relatif, biasanya diasumsikan konstan.

… (2.5.3)


2.5. Linearisasi

☺ Laju aliran (f), sebagai fungsi pressure drop (∆p):

( )[ ] ( )[ ]tRTEektTk −= 0

… (2.5.4)dimana: k adalah koefisian kunduktansi konstan.

( )[ ] ( )tATtTq 4εσ=

( )[ ] ( )tpktpf ∆=∆

☺ Laju perpindahan panas radiasi q, sebagai fungsi suhu (T)

dimana: ε, σ, dan A adalah konstanta.… (2.5.5)

☺ Pers. Arhenius: ketergantungan koef. laju reaksi (k) terhadap (T)

dimana: α k0, E, dan R adalah konstanta.… (2.5.6)

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )...,...,, tctctTktctctTr bB

aABA =

☺ Pers. Laju reaksi (r): sebagai fungsi suhu (T), dan konsentrasi CA, CB.… (2.5.7)

dimana: k[T(t)] = pers. (2.7.6); a, dan b adalah konstanta.


2.5. LinearisasiLinearisasiLinearisasi FungsiFungsi SatuSatu VariabelVariabel

… (2.5.8)( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] L+−+−+= 22

2

!21 xtx

dxfdxtx

dxdfxftxf

xxdimana: adalah base value x disekitar fungsi yang diekspansi.

… (2.5.9)

Semua fungsi dapat dikembangkan ke dalam deret Taylor sekitar base point:

x

( )[ ] ( ) ( )[ ]xtxdxdfxftxf

x−+=

Dalam linearisasi, bentuk order dua atau lebih dari pers. (2.5.8) dapatdiabaikan, sehingga menjadi:

Pers. (2.5.9) adalah fungsi dasar linearisasi yang diilustrasikan padaGambar 2.5.1. Karena adalah konstan, maka persamaan disebelahkanan tanda sama dengan adalah linear dalam variabel x(t)

x



2.5. Linearisasi

Gambar 2.5.1 Pendekatan linear adalah tangen dari fungsi non-linear pada base point x

x(t)

xdxdf

( )xf

1

x

( )[ ]txf Fungsi non-linear

Garis tangen


2.5. Linearisasi

Contoh 2.5.1:Linearisasi Pers. Arrhenius

Base point:

( )[ ] ( ) ( )[ ]TtTdTdkTktTk

T−+=

T

( ) [ ] 1sec100 −=TkEnergi aktivasi, E = 22000 kcal/kmol, & R = 1.987 kcal/kmol-K

Aplikasi Pers. (2.5.9) ke (2.5.6):

( )[ ]TtRTE

Tek

dTd

dTdk )(

0−=

( ) ( ) 220 TRETk

TREek TRE == −

Dimana:

Perkirakan error pada slope dalam rentang ±10oC di sekitar = 300oC

PenyelesaianPenyelesaian::


2.5. Linearisasi

Slope:

Jadi diperoleh pendekatan linear: ( )[ ] ( )[ ]TtTtTk −+= 37.3100

Sebagai perbandingan: dituliskan pendekatan linear berikut:

( )( )( ) CdT

dko

Co

1

2300

sec37.3273300987.1

22000100−

=+

=

( ) CdTdkTkCT oT

o /sec48.2,sec95.70,290 11 −− ===

Dalam range 290 – 310 oC, diperoleh nilai actual dan slope:

( ) CdTdkTkCT oT

o /sec54.4,sec3.139,310 11 −− ===

k(290oC) = 100 + 3.37(290 – 300) = 66.3 sec-1 error = –6.6%

k(310oC) = 100 + 3.37(310 – 300) = 133.7 sec-1 error = –4%



2.5. LinearisasiLinearisasiLinearisasi FungsiFungsi DuaDua VariabelVariabel atauatau LebihLebih

(2.5.10)( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] LLL +−+−+= 222

111

2121 ,,,, xtxdx

fdxtxdx

fdxxftxtxf

dimana:

Ekspansi deret Taylor untuk dua variabel atau lebih:

L,, 21 xx

( ) ( )[ ] ( ) ( )thtwthtwa =,

Contoh 2.5.2: kasus sederhana luas (a) segi empat adalah fungsi daripanjang (w) dan lebar (h):

( ) ( )[ ] ( )( )

( )[ ]( )

( )[ ]hthhawtw

wahwathtwa

hwhw−

∂∂

+−∂∂

+=,,

,,

( )L,, 21 xxkk xf

xf

∂∂

=∂∂ dan adalah base value dari

masing-masing variabel

Linearisasi:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]hthwwtwhhwathtwa −+−+= ,,


2.5. Linearisasi

Gambar 2.5.2 Error pendekatan linear dari luas segi empat

h [w

(t) –

w]

a(w,h) = w h

w

w [h(t) – h]

h

w(t)

h(t)

Asumsi: w = 2 m h = 1 mdan

Increment: w(t) = 2.2 m dan h(t) = 1.1 m aactual = 2.42 m2

Luas pada base point: a = 2 m2

Luas pendekatan = 2 + 1(0.2) + 2(0.1) = 2.40 m2

error = 2.42 – 2.40 = 0.02 m2 Luas daerah arsiran = (0.2)(0.1) = 0.02 m2

error


2.5. Linearisasi

Contoh 2.5.3: Linearisasi Pers. densitas gas ideal sbg fungsi tekanan dan suhu

Fungsi densitas non-linear ( ) ( )[ ] ( )( )tRTtMptTtp =,ρ

Untuk evaluasi, kita menggunakan gas udara:M = berat molekul = 29 [kg/kmol] ; IB = tekanan absolut = 101.3 kPaT = suhu absolut [K] ; & R = 8.314 kPa-m3/kmol-K

Aplikasi Pers. (2.5.10):

( )( ) ( ) TR

MtRTtMp

dpp Tp

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂=

∂∂

,

ρDimana:


( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]TtTT

ptpp

TptTtp −∂∂

+−∂∂

+=ρρρρ ,,



2.5. Linearisasi

Jadi pendekatan fungsi densitas linear

Secara numerik:

( )( ) ( )

2, TR

pMtRTtMp

dTT Tp

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂=

∂∂ρ

Dengan satuan: ρ = [kg/m3], p = [kPa], T = [K]

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]TtTTRpMptp

TRM

TRpMtTtp −−−+= 2,ρ

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]TtTptptTtp −−−+= 00393.001163.0178.1,ρ


2.5. LinearisasiLinearisasiLinearisasi PersamaanPersamaan DiferensialDiferensial

… (2.5.11)( ) ( ) ( )[ ] btytxgdt

tdy+= ,

dimana:

Pertimbangkan PD Order satu dengan satu input berikut:

( ) ( )0,0 yyxx ==

( ) byxg += ,0Pada kondisi tunak awal:

g[x(t),y(t)] adalah fungsi non-linear dengan input x(t), output y(t), dan b adalah konstanta.

… (2.5.12)

Base point:

Pers. (2.5.11) – (2.5.12):

( ) ( ) ( )[ ] ( )yxgtytxgdt

tdy ,, −= … (2.5.13)


2.5. Linearisasi

… (2.5.15)( ) ( ) ( )tYatXadt

tdY21 +=

dimana:

∴ Diperoleh PD linear dalam term deviasi:

( )yxxga ,1 ∂∂=

( )( )

( )[ ]( )

( )[ ]ytyygxtx

xg

dttdy

yxyx−

∂∂

+−∂∂

=,,

Linearisasi fungsi multi-variabel dari pers. (2.5.13):

… (2.5.14)

Term deviasi

( )yxyga ,2 ∂∂=dan

Catatan:1. Konstanta b di pers. (2.5.11) hilang. Tidak ada suatu konstanta

dalam persamaan yang dinyatakan dalam term deviasi (2.5.15).

2. Pada kondisi awal: Y(0) = y(0) – y(0) = 0



2.5. Linearisasi

Contoh 2.5.4: Linearisasi PD multi variabel

Dari neraca massa RATB, dihasilkan PD non-linear berikut: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )tctTktctf

Vtctf

Vdttdc

AAAiA −−=

11

k[T(t)] = pers. non-linear yang telah dilinearkan (lihat contoh 2.5.1)


( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tctTtctfgdt

tdcAAi

A ,,,=

V dianggap konstan, f(t) = laju alir reaktan, cAi = konsetrasi reaktan masukreaktor, cA = konsetrasi reaktan keluar reaktor, T(t) = suhu keluar reaktor

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )tctTktctfV

tctfV AAAi −−=

11


2.5. Linearisasi

Aplikasi pers. (2.5.15):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tCatatCatFadt

tdCAAi

A4321 +Γ++=

dimana: ( ) ( ) AAA ctctC −=

Vcc

fga AAi −=∂∂

=1

( ) ( ) AiAiAi CtCtC −=

( ) ( ) TtTt −=Γ

, ,( ) ( ) ftftF −=

adalah variabel-variabel deviasi

a1, a2, a3, dan a4 diperoleh dengan turunan parsial fungsi g berikut:

Vf

cgaAi

=∂∂

=2

( ) AcTRETk

Tga 23 −=∂∂

= ( )TkVf

cgaA

−−=∂∂

=4


2.5. Linearisasi

Pindah term CA(t) ke kiri, dan bagi dengan –a4, diperoleh:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tKtCKtFKtCdt

tdCAiA

A Γ++=+ 321τ

dimana:

( ) ( ) ( ) ( )ssK

sCsKsF

sKsC AiA Γ

++

++

+=

111321

τττ

( )TVkfV

a +=−=

4

1τ

Dengan Transformasi Laplace, diperoleh:

( )TVkfcc

aaK AAi

+−

=−=4

11

( )TVkff

aaK

+=−=

4

22

( )( )[ ]TVkfTR

cETVkaa

K A

+−=−= 2

4

33

ii matematika untuk analisis sistem dinamik · pdf filebab ii matematika untuk analisis sistem...

Documents