Prosiding Seminar Nasional Penelitian & Pengabdian pada Masyarakat

IDENTIFIKASI POLA SIMETRI MENGGUNAKAN TEORI GRUP

Fransiskus Fran*, Eka Wulan Ramadhani, dan Helmi

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Tanjungpura

Pontianak, Kalimantan Barat, 78124

*)e-mail: frandly88@gmail.com

ABSTRAK

Pola-pola desain yang memuat motif berulang secara sistematik dapat dikaitkan dengan konsep geometri

dan grup simetri. Terdapat empat isometri dari suatu bidang yaitu translasi, rotasi, refleksi dan glide

refleksi sebagai penentu kesimetrian yang dimiliki masing-masig pola. Pola-pola simetris akan termasuk

dalam salah satu dari 7 grup frieze untuk pola-pola dimensi-1 atau salah satu dari 17 grup wallpaper

untuk pola-pola dimensi-2. Lebih lanjut, dilakukan identifikasi pola-pola kultural (dekorasi seni) yang ada

di Rumah Radank (Rumah Adat Dayak) sebagai salah satu cara untuk memahami matematika melalui

budaya.

Kata kunci: grup simetri, pola kultural, Rumah Radank

PENDAHULUAN

Bagian penting dalam mempelajari matematika

adalah proses untuk memperoleh hasil penemuan.

Salah satunya adalah dengan melihat contoh, mencari

pola dari contoh, kemudian menemukan alasan dibalik

pola untuk mengembangkan konsep matematika.

Secara tidak sadar dalam kehidupan sehari-hari dan

dimana saja dapat dijumpai contoh dan pola-pola yang

terkait konsep geometri dan grup simetri. Salah satunya

adalah pola-pola desain yang memuat motif berulang

secara sistematik. Pola-pola tersebut dapat diperoleh

dengan mengamati pola-pola di alam, seni, arsitektur

dan lainnya. Pola-pola berulang yang dijumpai

mengindikasikan adanya kesimetrian (pola simetri).

Para matematikawan telah berhasil

mengklasifikasikan pola-pola simetri berdasarkan

kesimetriannya. Terdapat empat rigid motions

(transformasi yang mengawatkan jarak, disebut juga

isometri) dari suatu bidang yaitu translasi, rotasi,

refleksi dan glide-refleksi (refleksi pada suatu garis

yang dilanjutkan dengan translasi secara paralel

terhadap garis tersebut) sebagai penentu kesimetrian

yang dimiliki masing-masing pola. Pola-pola simetris

akan termasuk dalam salah satu dari 7 frieze grup

untuk pola-pola dimensi-1 atau salah satu dari 17

wallpaper grup (juga dikenal sebagai plane

crystallographic groups) untuk pola-pola dimensi-2.

METODE PENELITIAN

Konsep frieze grupdan wallpaper grup terkait

dengan grup isometri dengan operasi komposisi dari

transformasi. Pada artikel ini secara khusus akan

dibahas tentang frieze grup yang selanjutnya akan

digunakan untuk mengidentifikasi pola-pola kultural

(dekorasi seni) yang ada di Rumah Radakng (Rumah

Adat Dayak) sebagai salah satu cara untuk memahami

matematika melalui budaya.

Adanya artikel ini diharapkan dapat memperluas

dan memperdalam wawasan mengenai teori geometri-

aljabar dan aplikasinya. Teori geometri-aljabar dalam

dalam artikel ini terkait grup simetri pada suatu bidang

yang melibatkan konsep jarak (metrik) dan

transformasi geometri (translasi, rotasi dan refleksi).

Lebih lanjut, hal tersebut dapat menjadi ide dasar untuk

mengembangkan konsep matematika berdasarkan pola-

pola desain yang sering dijumpai, sehingga dapat

mendukung aplikasi matematika tidak hanya di bidang

geometri-aljabar tetapi juga di bidang-bidang lain.

HASIL DAN PEMBAHASAN

FRIEZE GRUP

Definisi 1 Suatu metrik pada himpunan merupakan

pemetaan sedemikian sehingga:

D1. untuk setiap dan

jika dan hanya jika

D2. untuk setiap

D3. untuk setiap

Suatu himpunan dengan metrik disebut ruang

metrik, dinotasikan .

Definisi 2 Suatu isometri dari suatu ruang metrik

adalah suatu pemetaan bijektif

sedemikian sehingga, untuk setiap ,

Definisi 3 Suatu grup merupakan himpunan tidak

kosong dan dilengkapi suatu operasi biner yang

asosiatif dan memuat suatu identitas dan setiap

unsurnya memiliki invers.

Teorema 4 Suatu himpunan dari isometri

dari suatu ruang metrik membentuk suatu grup atas

pemetaan komposisi.

Selanjutnya lebih khusus akan dibahas himpunan

isometri dari ruang Euclid terhadap metrik Pythagoras.

Isometri yang paling umum diketahui pada bidang

Euclid antara lain translasi, rotasi dan refleksi. Suatu

isometri di merupakan suatu bijeksi dari ke

yang mengawetkan jarak.

Prosiding Seminar Nasional Penelitian & Pengabdian Pada Masyarakat ISBN: 978-602-61545-0-7

62 Pangkalpinang, 7 Oktober 2017

Definisi 5 Suatu translasi merupakan suatu pemetaan

yang memindahkan setiap titik dengan suatu jarak

tertentu dalam arah tetap. Jika dituliskan dalam simbol

dengan untuk setiap

dan merupakan vektor yang

konstan. Selanjutnya, dapat dituliskan sebagai

yaitu perpindahan arah oleh terhadap .

Definisi 6 Suatu rotasi adalah suatu pemetaan yang

memindahkan setiap titik dari suatu bidang dengan

sudut tertentu terhadap suatu titik yang disebut center

atau dapat dinyatakan sebagai berikut.

dengan ..

Definisi 7 Refleksi merupakan suatu pemetaan yang

memindahkan setiap titik dari bidang ke bayangan

cermin dalam suatu garis yang fix. Garis ini disebut

axis dari dan ditulis . Selanjutnya, misalkan

, jika maka , dan jika maka merupakan titik unik di sedemikian

sehingga tegak lurus dengan garis yang dibentuk oleh

dan .

Definisi 8 Suatu glide refleksi adalah sauatu refleksi

pada suatu axis yang diikuti oleh translasi yang sejajar

dengan axisnya.

Tabel 1. Contoh Isometri

Definisi 9 Misalkan suatu ruang metrik dan .

Didefinisikan

dengan .

Teorema 10 Misalkan suatu ruang metrik dan

. Maka merupakan subgrup dari

.

Berdasarkan definisi, suatu isometri disebut simetri

ketika suatu isometri memetakan pola pada suatu

bidang kembali ke dirinya sendiri. Lebih lanjut,

berdasarkan teorema sebarang subgrup dari

suatu grup isometri yang memuat simetri dari

suatu bidang disebut grup simetri. Salah satu

tipe dari grup simetri adalah frieze grup.

Definisi 11: Suatu frieze grup adalah suatu grup

simetri yang dibangun oleh satu translasi (grup siklik

takhingga).

Misal diberikan sebarang pola frieze pada bidang

berdimensi 2. Misalkan menyatakan suatu translasi

dan diberikan empat simetri (isometri) yaitu gilde

refleksi ( , refleksi horizontal , refleksi vertikal

dan rotasi .

Teorema 12: Jika F adalah grup frieze maka F adalah

salah satu dari tujuh grup yang mungkin berikut:

a. .

b. .

c. .

d. .

e. .

f.

g.

A

l

k

translasi rotasi

refleksi

Glide

refleksi

ISBN: 978-602-61545-0-7 Prosiding Seminar Nasional Penelitian & Pengabdian Pada Masyarakat

Pangkalpinang, 7 Oktober 2017 63

Tabel 2. Deskripsi Frieze grup

Tipe Grup Translasi Rotasi Refleksi Horizontal RefleksiVertikal Glide Refleksi

Ya Tidak Tidak Tidak Tidak

Ya Tidak Tidak Tidak Ya

Ya Tidak Tidak Ya Tidak

Ya Ya Tidak Tidak Tidak

Ya Ya Tidak Ya Ya

Ya Tidak Ya Tidak Tidak

Ya Ya Ya Ya Tidak

Tabel 3. Contoh Frieze grup

Grup frieze Contoh garis Contoh kaki

IDENTIFIKASI POLA KULTURAL YANG

ADA DI RUMAH RADAKNG

Rumah Radakng merupakan rumah adat Suku

Dayak yang dibangun untuk dijadikan landmark baru

di kota Pontianak setelah Tugu Katulistiwa. Rumah

Radakng atau biasa disebut dengan longhouse

merupakan satu diantara ciri khas Provinsi Kalimantan

Barat.

Rumah Radakng adalah sebutan untuk rumah

panjang suku Dayak Kanayatn di Provinsi Kalimantan

Barat. Ciri khas kearifan lokal tersebut bisa kita lihat

dari ukiran-ukiran motif dengan relief yang beraneka

ragam. Motif-motif tersebut terdapat pada pintu-pintu

di Rumah Radakng, lalu pada tiang penyangga, dan di

dekat atap bagian atas. Motif tersebut dominan

berwarna merah yang merupakan warna khas Suku

Dayak yang melambangkan keberanian.

(Sumber:http//infopromodiskon.com/tempatwisata/prof

ile/rumah-radakng-pontianaksertakeagungannya/)

Gambar 1 Beberapa pola kultural yang ada di

rumah Radakng:

Gambar 2 Pintu yang ada di Rumah Radakng,

Prosiding Seminar Nasional Penelitian & Pengabdian Pada Masyarakat ISBN: 978-602-61545-0-7

64 Pangkalpinang, 7 Oktober 2017

berdasarkan Gambar 1 dapat dilihat bahwa pola

kultural yang terdapat pada pintu tersebut memiliki

refleksi vertikal (sumbu -y) dan translasi ke pintu

selanjutnya Oleh karena itu Gambar 1 menunjukkan

pola berbentuk:

... bd bd bd...

Dengan demikian berdasarkan pengkalsifikasian

frieze grup maka Gambar 2 termasuk dalam frieze

grup .

Gambar 3. Tiang yang ada di Rumah Radakng

dengan tinggi sekitar 7 meter.

Dekorasi seni yang ada pada tiang sesuai Gambar 2

menunjukkan adanya refleksi vertikal dan horizontal

yang dilanjutkan dengan suatu translasi. Berdasarkan

pola simetrinya, Gambar 3 mengikuti pola:

Dengan demikian, Gambar 3 merupakan contoh dari

frieze grup .

Gambar 4. Salah satu bagian dari Rumah Radakng.

Gambar dengan dekorasi seni yang menunjukkan

adanya refleksi vertikal dan translasi satu arah seperti

pada Gambar 2. Oleh karena itu, berdasarkan

klasifikasi frieze grup, pola pada gambar Gambar 4

termasuk dalam .

Gambar 5. Potongan bagian dari salah satu tiang

(terdapat 6 tiang besar) yang di atasnya

terdapat Burung Enggang.

Pada Gambar 5, dekorasi seni yang terdeteksi

memiliki refleksi horizontal (sumbu-x) dan dilanjutkan

dengan translasi satu arah. Oleh karena itu pola

simetrinya mengikuti:

Dengan demikian berdasarkan pengklasifikasian frieze

grup maka Gambar 5 dapat diidentifikasi sebagai grup

.

Gambar 6. Potongan tiang dari Gambar 4.

Pola dari dekorasi seni yang ada pada Gambar 6

mengindikasikan adanya refleksi vertikal dan

horizontal dengan suatu translasi. Dengan demikian

pola simetri pada Gambar 6 dapat diklasifikasikan

kedalam frieze grup yang sama seperti pada Gambar 3

yaitu .

Gambar 7 Potongan tiang seperti Gambar 4 dan 5.

Berdasarkan pola dekorasi seninya maka dilihat

bahwa Gambar 7 memuat simetri yang berupa refleksi

vertikal dan horizontal tetapi tidak memuat translasi.

Berdasarkan fakta tersebut, maka pola simetri pada

Gambar 7 tidak dapat dikelompokkan dalam salah satu

dari 7 frieze grup.

Gambar 8 Salah satu bagian atas dekat atap dari

Rumah Radakng.

Pola dekorasi pada Gambar 8 memuat simetri yang

berupa refleksi vertikal dan tidak memuat translasi.

Berdasarkan fakta tersebut, maka pola simetri pada

Gambar 8 tidak dapat dikelompokkan dalam salah satu

dari 7 frieze grup.

KESIMPULAN

Hasil identifikasi pola simetri dari dekorasi seni

yang ada di Rumah Radakng berdasarkan konsep

frieze grup diperoleh bahwa tidak semua pola simetri

yang ada dapat diklasifikasikan ke dalam salah satu

dari 7 frieze grup karena terdapat pola simetri yang

tidak memuat translasi. Lebih lanjut diperoleh juga

bahwa terdapat 3 pola frieze yang dapat ditemukan

yaitu , dan .

REFERENSI

Armstrong, M. A., 1988. Groups and Symmetry.

London: Spinger.

Bodner,B Lynn.,2013. The Planar Crystallographic

Groups Represented at the Alhambra. Bridges:

Mathematical Connections in Art, Music, and

Science Conference Proceedings, pp. 225-232.

Bodner,B Lynn.,2013. Frieze Pattern of the Alhambra.

Bridges: Mathematical Connections in Art, Music,

and Science Conference Proceedings, pp. 203-209.

ISBN: 978-602-61545-0-7 Prosiding Seminar Nasional Penelitian & Pengabdian Pada Masyarakat

Pangkalpinang, 7 Oktober 2017 65

Crowe, Donald W.,2001. Symmetries of Culture.

Bridges: Mathematical Connections in Art, Music,

and Science Conference Proceedings, pp.1-20.

Farmer, David W., 1996. Groups and Symmetry: A

Guide to Discovering Mathematics. USA: .

American Mathematica Society.

Johnson, D. L., 2001. Symmetries. London: Spinger.

Martin,George E,1982. Transformation Geometry.New

York: Spinger-Verlag.

Schattschneider,Doris.,1978. The Plane Symmetry

Groups: Their Recognition, American

Mathematical Monthly, Vol 85, Issue 6, pp.439-

450.