BAB I

PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

Dalam memepelajari bidang matematika memang dibutuhkan

kemampuan memahami dan menganalisis sebuah masalah dalam soal.

Keterkaitan antara materi satu dengan yang lain identik dengan karakteristik

matematika. Tidak bisa berdiri sendiri dalam sebuah materi, tapi memerlukan

pengetahuan materi sebelumnya yang sudah dipelajari. Kreativitas guru juga

akan mempengaruhi dalam menyampaikan atau menjelaskan materi maupun

dalam mengembangan sebuah teorema. Apabila guru mampu mengembangkan

dan menjelaskan dengan benar maka siswa akan termotivasi dan mudah untuk

mengajak siswa untuk berfikir kritis dalam menganalisis.

Salah satunya teorema vieta (sifat simetri akar) untuk dipelajari dalam

matematika di bab polinomial (suku banyak), teorema ini sering sekali dilewati

atau tidak dibahas dalam mempelajari materi polinomial. Mungkin sebab tidak

diajarkannya materi ini ke siswa karena teorema vieta biasanya hanya diajarkan

ke siswa yang akan mengikuti olimpiade matematika. Untuk itu penulis akan

membahas tentang teorema vieta baik itu pembuktian rumus dan aplikasi untuk

mecari akar-akar persamaan polinomial, khususnya polinomial mulai pangkat

tiga dan seterusnya dalam seminar matematika.

Teorema vieta biasanya digunakan pada persamaan polinomial pangkat

tiga dan seterusnya, sebab untuk pangkat dua dalam mencari akarnya bisa

dengan cara faktor. Dengan menggunakan teorema vieta untuk mencari akar-

akar persamaan polinomial tentu akan lebih mudah. Dari uraian di atas tersebut

maka penulis menyusun makalah yang berjudul “Aplikasi Teorema Vieta untuk

mencari akar-akar persamaan polinomial”.

2. Rumusan Masalah

Berdasarkan dari latar belakang di atas maka dirumuskan suatu masalah

sebagai berikut:

1) Bagaimana bentuk umum teorema vieta ?

2) Bagaimana pembuktian teorema vieta ?

3) Bagaimanakah cara mengaplikasikan teorema vieta dalam menyelesaikan

soal ?

3. Tujuan

Tujuan dari penulisan makalah seminar matematika ini ialah:

1) Menjelaskan bentuk umum dari teorema vieta.

2) Menunjukan pembuktian teorema vieta.

3) Menjelaskan langkah-langkah menyelesaikan soal dengan menggunakan

teorema vieta.

4. Manfaat

Manfaat dari pembuatan makalah seminar matematika mengenai aplikasi

teorema vieta untuk mencari akar-akar persamaan polinomial ialah membantu

pembaca dalam mendalami teorema vieta tentang bentuk umum,

pembuktiannya, dan penggunaan teorema vieta untuk menyelesaikan soal yang

berkaitan dengan persamaan suku banyak dan akar-akarnya.

BAB II

PEMBAHASAN

1. Landasan teori

a. Hubungan Akar-Akar Suku Banyak dengan Koefisien-Koefisien Suku

Hubungan akar-akar suku banyak dengan koefisien-koefisien suku-

sukunya adalah bentuk simetri akar-akar suku banyak seperti yang telah

dipelajari pada persamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Jika akar-akarnya 𝑥1

dan 𝑥2 maka 𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎= 0

i) Jumlah akar-akarnya: 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏

𝑎

ii) Hasil kali akar-akarnya: 𝑥1𝑥2 =𝑐

𝑎

Dari hal tersebut bagaimanakah jika persamaan suku banyak

berderajat tiga, empat dan seterusnya. Misalnya ada persamaan suku banyak

𝑥3 + 9𝑥2 + 26𝑥 + 24 = 0, akar-akarnya 𝑥1 = −2, 𝑥2 = −3, dan 𝑥3 = −4.

Untuk mencari jumlah dan hasil kali akar-akarnya tentu kita bisa karena

sudah tau akar-akarnya. Namun apabila ada soal persamaan suku banyak

dan belum diketahui akar-akarnya, dan kita ingin mencari jumlah dan hasil

kali akar-akarnya maka langkah pertama kita harus mencari akar-akarnya

terlebih dahulu.

Dari permasalahan tersebut, muncullah teorema vieta dimana kita bisa

menentukan jumlah dan hasil kali akar-akarnya tanpa harus mencari terlebih

dahulu nilai dari akar-akarnya itu.

b. Teorema Vieta

Jika *𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛+ adalah akar-akar dari persamaan polinomial

𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 + 𝑎𝑛−3𝑥𝑛−3+ . . . +𝑎1𝑥 + 𝑎0 maka

berlaku :

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3+ . . . +𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛 = −𝑎𝑛−1

𝑎𝑛

𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3+ . . . +𝑥2𝑥3 + 𝑥2𝑥4+ . . . +𝑥𝑛−1𝑥𝑛 = +𝑎𝑛−2

𝑎𝑛

𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3𝑥4+ . . . +𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥2𝑥4𝑥5+ . . . +𝑥𝑛−2𝑥𝑛−1𝑥𝑛 = −𝑎𝑛−3

𝑎𝑛

… 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑡𝑒𝑟𝑢𝑠𝑛𝑦𝑎

𝑥1𝑥2𝑥3 . … . 𝑥𝑛−1𝑥𝑛 = (−1)𝑛.𝑎0

𝑎𝑛

c. Manfaat rumus Teorema Vieta

Teorema vieta digunakan pada persamaan suku banyak dan manfaat dari

teorema ini adalah sebagai berikut:

1) Mencari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan atau akar-

akarnya.

2) Menentukan konstanta atau koefisien suatu persamaan.

3) Membentuk suatu persamaan suku banyak dari akar-akarnya.

2. Analisis Pemecahan Masalah

a. Bentuk umum Teorema Vieta

Jika *𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛+ adalah akar-akar dari persamaan suku

banyak (polinomial) 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 +

𝑎𝑛−3𝑥𝑛−3+ . . . +𝑎1𝑥 + 𝑎0 maka berlaku :

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3+ . . . +𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛 = −𝑎𝑛−1

𝑎𝑛

𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3+ . . . +𝑥2𝑥3 + 𝑥2𝑥4+ . . . +𝑥𝑛−1𝑥𝑛 = +𝑎𝑛−2

𝑎𝑛

𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3𝑥4+ . . . +𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥2𝑥4𝑥5+ . . . +𝑥𝑛−2𝑥𝑛−1𝑥𝑛 = −𝑎𝑛−3

𝑎𝑛

… 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑡𝑒𝑟𝑢𝑠𝑛𝑦𝑎

𝑥1𝑥2𝑥3 . … . 𝑥𝑛−1𝑥𝑛 = (−1)𝑛.𝑎0

𝑎𝑛

Apabila persamaan suku banyak derajat n di atas dengan 𝑎𝑛 = 1 dan

akar-akarnya 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛 maka berlaku hubungan sebagai berikut:

1) Jumlah akar-akarnya = −(𝑎𝑛−1)

2) Jumlah hasil kali setiap dua akar = 𝑎𝑛−2

3) Jumlah hasil kali setiap tiga akar = −(𝑎𝑛−3)

4) Jumlah hasil kali setiap empat akar = 𝑎𝑛−4 , dst

5) Hasil kali semua akar-akarnya = (−1)𝑛. 𝑎0

Jadi bisa disimpulkan untuk mempermudah menentukan jumlah dan hasil

kali akar-akarnya persamaan suku banyak sebagai berikut:

a. Suku banyak berderajat dua: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

1) 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏

𝑎

2) 𝑥1𝑥2 =𝑐

𝑎

b. Suku banyak berderajat tiga: 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0

1) 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −𝑏

𝑎

2) 𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3 =𝑐

𝑎

3) 𝑥1𝑥2𝑥3 = −𝑑

𝑎

c. Suku banyak berderajat empat: 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥 + 𝑒 = 0

1) 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = −𝑏

𝑎

2) 𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥1𝑥4 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥2𝑥4 + 𝑥3𝑥4 =𝑐

𝑎

3) 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥4 + 𝑥1𝑥3𝑥4 + 𝑥2𝑥3𝑥4 = −𝑑

𝑎

4) 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 =𝑒

𝑎

b. Pembuktian Rumus Teorema Vieta

Bukti teorema vieta:

Misalkan 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 adalah akar-akar dari persamaan kubik 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 +

𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 maka

𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)

= 𝑎,(𝑥 − 𝑥1)(𝑥2 + (𝑥2 + 𝑥3)𝑥 + 𝑥2𝑥3)-

= 𝑎,𝑥3 − (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3)𝑥2 + (𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3)𝑥 − 𝑥1𝑥2𝑥3-

= 𝑎𝑥3 − 𝑎(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3)𝑥2 + 𝑎(𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3)𝑥 − 𝑎𝑥1𝑥2𝑥3

Maka:

(i) −𝑎(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3)𝑥2 = 𝑏𝑥2 ↔ 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −𝑏

𝑎

(ii) 𝑎(𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3)𝑥 = 𝑐𝑥 ↔ 𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3 =𝑐

𝑎

(iii) −𝑎𝑥1𝑥2𝑥3 = 𝑑 ↔ 𝑥1𝑥2𝑥3 = −𝑑

𝑎

Untuk cara pembuktian persamaan suku banyak derajat empat dan

seterusnya sama dengan cara seperti di atas.

c. Aplikasi Teorema Vieta pada Soal

Teorema vieta biasanya digunakan untuk mencari akar-akar atau jumlah

dan hasil kali akar-akarnya dan konstanta dari persamaan suku banyak

(polinomial) mulai berderajat dua dan seterusnya.

Berikut adalah soal dan pembahasan :

Soal 1:

Persamaan kuadrat 𝑥2 + 5𝑥 − 7 = 0 memiliki akar-akar 𝑥1 dan 𝑥2.

Tentukanlah nilai dari 𝑥13 + 𝑥2

3.

Penyelesaian:

𝑛 = 2, 𝑎𝑛 = 𝑎2 = 1, 𝑎𝑛−1 = 𝑎1 = 5, 𝑎0 = −7

i) 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑎1

𝑎2= −

5

1= −5

ii) 𝑥1𝑥2 =𝑎0

𝑎2=

−7

1= −7

Sehingga diperoleh

𝑥13 + 𝑥2

3 = (𝑥1 + 𝑥2)3 − 3𝑥12𝑥2 − 3𝑥1𝑥2

2

= (𝑥1 + 𝑥2)3 − 3𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2)

= (−5)3 − 3(−7)(−5)

= −125 − 105

= −230

Soal 2:

Diketahui 𝑥1, 𝑥2 dan 𝑥3 adalah akar-akar persamaan 2𝑥3 − 𝑏𝑥2 − 18𝑥 +

36 = 0. Tentukan:

a. 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3

b. 𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3

c. 𝑥1𝑥2𝑥3

d. Nilai b, jika 𝑥2 adalah lawan dari 𝑥1

e. Nilai masing-masing 𝑥1, 𝑥2 dan 𝑥3 untuk b tersebut.

Penyelesaian:

a. 2𝑥3 − 𝑏𝑥2 − 18𝑥 + 36 = 0

𝑎 = 2 𝑏 = −𝑏 𝑐 = −18 𝑑 = 36

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −𝑏

𝑎=

𝑏

2… … … (1)

b. 𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3 =𝑐

𝑎=

−18

2= −9 … … … (2)

c. 𝑥1𝑥2𝑥3 = −𝑑

𝑎=

−36

2= −18 … … … (3)

d. Dari (1):

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 =𝑏

2

𝑥1 + (−𝑥1) + 𝑥3 =𝑏

2

𝑥3 =𝑏

2

Dari (2):

𝑥1(−𝑥1) + 𝑥1𝑥3 + (−𝑥1)𝑥3 = −9

−𝑥12 + 𝑥1𝑥3 − 𝑥1𝑥3 = −9

−𝑥12 = −9

𝑥12 = 9

𝑥12 = 9 → 𝑥1 = 3 atau 𝑥1 = −3

Dari (3):

𝑥1𝑥2𝑥3 = −18

Untuk 𝑥1 = 3, maka 𝑥2 = −3 → 𝑥1𝑥2𝑥3 = −18

3. (−3). 𝑥3 = −18

−9𝑥3 = −18

𝑥3 = 2

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 =𝑏

2

3 + (−3) + 2 =𝑏

2

2 =𝑏

2

𝑏 = 4

Untuk 𝑥1 = −3, maka 𝑥2 = 3 → 𝑥1𝑥2𝑥3 = −18

(−3). 3. 𝑥3 = −18

−9𝑥3 = −18

𝑥3 = 2,

Maka:

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 =𝑏

2

(−3) + 3 + 2 =𝑏

2

2 =𝑏

2

𝑏 = 4

e. Jadi 𝑥1 = 3, 𝑥2 = −3, dan 𝑥3 = 2 untuk 𝑏 = 4, atau

𝑥1 = −3, 𝑥2 = 3, dan 𝑥3 = 2 untuk 𝑏 = 4

Soal 3:

Diketahui persamaan suku banyak 𝑥3 − 9𝑥 + 𝑚 = 0. Tentukan m jika dua akar-

akarnya kembar.

Penyelesaian:

Misalkan 𝑥3 − 9𝑥 + 𝑚 = 0, mempunyai akar-akar 𝑥1, 𝑥2, dan 𝑥3

↔ 𝑥3 + 0𝑥2 − 9𝑥 + 𝑚 = 0

𝑎 = 1, 𝑏 = 0, 𝑐 = −9, dan 𝑑 = 𝑚

Karena 𝑥1 = 𝑥2, maka:

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −𝑏

𝑎↔ 2𝑥1 + 𝑥3 = 0 .............. (1)

𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3 =𝑐

𝑎↔ 𝑥1

2 + 2𝑥1𝑥3 = −9 ..............(2)

𝑥1𝑥2𝑥3 = −𝑑

𝑎↔ 𝑥1

2𝑥3 = −𝑚 ...............(3)

Dari (1) dan (2):

2𝑥1 + 𝑥3 = 0 ↔ 𝑥3 = −2𝑥1 disubstitusikan ke pers (2):

𝑥12 + 2𝑥1𝑥3 = −9 ↔ 𝑥1

2 + 2𝑥1(−2𝑥1) = −9

𝑥12 − 4𝑥1

2 = −9

−3𝑥12 = −9

𝑥12 = 3

𝑥1 = ±√3

Untuk 𝑥1 = ±√3, maka:

2𝑥1 + 𝑥3 = 0 ↔ 𝑥3 = −2𝑥1

𝑥3 = ±2√3

Dari (3):

𝑥12𝑥3 = −𝑚 ↔ 𝑚 = −(±√3)

2. (±2√3)

𝑚 = ±6√3

Jadi nilai 𝑚 = ±6√3.

Soal 4:

Diketahui {

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 3𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3 = −10

𝑥1𝑥2𝑥3 = −24

Tentukanlah persamaan suku banyak dari jumlah dan hasil kali akar-akar

tersebut !

Penyelesaian:

Jika akar-akar dari persamaan suku banyak 𝑥1, 𝑥2 dan 𝑥3 maka 𝑥3 +𝑏

𝑎𝑥2 +

𝑐

𝑎𝑥 +

𝑑

𝑎= 0

1) 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −𝑏

𝑎

3 = −𝑏

𝑎 ↔

𝑏

𝑎= −3

2) 𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3 =𝑐

𝑎

−10 =𝑐

𝑎

3) 𝑥1𝑥2𝑥3 = −𝑑

𝑎

−24 = −𝑑

𝑎 ↔

𝑑

𝑎= 24

Jadi persamaan suku banyak: 𝑥3 +𝑏

𝑎𝑥2 +

𝑐

𝑎𝑥 +

𝑑

𝑎= 0

𝑥3 − 3𝑥2 − 10𝑥 + 24 = 0

BAB III

PENUTUP

1. Simpulan

Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan teorema vieta dapat digunakan

untuk mencari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan atau akar-akarnya,

menentukan koefisien atau konstanta suatu persamaan, membentuk suatu

persamaan suku banyak dari akar-akarnya. Namun dari teorema ini ada

kekurangannya, yaitu kita tidak bisa mencari akar-akarnya apabila dalam soal

tersebut tidak diketahui salah satu akarnya atau pentunjuk tertentu.

2. Saran

Bagi pembaca makalah ini penulis berharap untuk cermat dalam

memahami materi maupun soal-soalnya. Disamping itu diperlukan buku refensi

lain atau internet untuk membantu pembaca dalam memahami atau mendalami

teorema vieta, maupun variasi soal-soalnya.

DAFTAR PUSTAKA

Noormandiri, B.K. 2006. Matematika untuk SMA Kelas XI Program Ilmu Alam.

Jakarta: Erlangga.

Nugroho Soedyarto dan Maryanto. 2008. Matematika untuk SMA dan MA Kelas

XI Program IPA. Jakarta: Pusat perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Wirodikromo, S. 2006. Matematika untuk SMA Kelas X. Jakarta: Erlangga.

Widodo, T., 2011. Polinomial. http://wing87.files.wordpress.com/2011/01/

polinomial.pdf. Diakses pada tanggal 6 April 2013.

Sulaeman, 2012, teorema vieta. http://matematikasiswa.blogspot.com /2012/10/

teorema-vieta.html. Diakses pada tanggal 6 April 2013.

http://books.google.co.id/books (diakses pada tanggal 28 April 2013)