REGRESI KUADRAT TERKECIL

REGRESI LINIER

Contoh hampiran kuadrat terkecil yang paling sederhana adalah pencocokan garis lurus terhadap suatu hampiran pasangan pengamatan :-(x1,y1),(x2,y2[n,yn)

Ungkapan matematis untuk garis lurus adalah :

y=a0 + a1x + E

dengan : a0=koefisien yang mewakili titik potonga1 = koefisien kemiringan (slope)E = galat/sisa

(1)

Untuk mengatasi kelemahan pendekatan adalah dengan meminimumkanjumlah kuadrat sisa

n

iii

iir xaayeS

1

210

~

1

2 )(

E = y a0 a1x = e (2)

(3)

Untuk menentukan besaran koefisien a0 dan a1,maka persamaan (3) dideferensialkan terhadap masing-masing koefisien

ww

ww

])[(2

)(2

101

100

iiir

iir

xxaayas

xaayas

Dengan menetapkan turunan-turunan ini sama dengan nol akanmenghasilkan Sr yang minimum,maka :

210

10

0

0

iiii

ii

xaxaxy

xaay

atau dapat ditulis sebagai berikut :

iiii

ii

yxaxax

yaxna

12

0

10 (4)

(5)

persamaan (4) dan (5) disebut sebagai persamaan normal dan dapat diselesaikan secara simultan

_1

_

0

221 )(

xaya

xxn

yxyxna

ii

iiii

(6)

(7)

dengan : y = rerata yx =rerata x

Cocokan sebuah garis lurus dari persamaan data sebagai berikut :

X 1 2 3 4 5 6 7

y 0,5 2,5 2 4 3,5 6 5,5

Jawaban:

140

428571429,3724

4728

5,119

24

28

7

2

_

_

i

ii

i

i

x

y

x

yx

y

x

n

839285714,0)28()140(7

)24)(28()5,119(7)( 2221

ii

iiii

xxn

yxyxna

07142857,0)4)(839285714,0(428571429,310 xaya

y = 0,07142857 + 0,839285714x

Pengukuran Galat Regresi LinierJumlah kuadrat sisa didefinisikan :

n

iir xaayS

1

2110 )(

Simpangan baku dapat ditentukan sebagai :

2

nS

xS ry

dengan : Sr = jumlah kuadrat sisaSy/x = galat taksiran baku (standart error of the estimate)

Koefisien determinasi dirumuskan sebagai :

t

rt

SSS

r 2

dengan : St = jumlah total kuadrat sisa

2)( yyS itSedangkan koefisien korelasi dapat ditulis sebagai :

2222 )( iiii

iiii

yynyyn

xxyxnr

Untuk kecocokan yang sempurna maka : Sr = 0 dan r2 = 1

Tentukan Simpangan baku total, galat baku taksiran dan koefisien dari soal di depan !

xi yi (y 2 (yi a0 a1xi)2

1234567

0,52,52,04,03,56,05,524

8,57650,86222,04080,32650,00516,61224,290822,7143

0,16870,56250,34730,22650,58960,79720,19932,9911

Simpangan baku total :

9457,117

7143,221

nSS ty

Galat baku taksiran

7735,027

9911,22/

nSS rxy

Sy/x < Sy model regresi baik

932,0868,0

868,07143,22

9911,27143,222

r

r

Prosedure kuadrat terkecil dapat diperluas untuk mencocokan data terhadap polinom derajat ke-m.y = a0 + a1x + a2x2 Dmxm + eJumlah kuadrat sisanya dapat ditulis sebagai berikut :

n

i

mimiii xaxaxaaySr

1

22210 )....(

Dengan cara yang sama seperti pada Regresi Linier untuk mendapatkanjumlah kuadrat minimum maka :

REGRESI POLINOM

ww

ww

ww

ww

miniii

mi

m

miniiii

miniiii

miniii

xaxaxaayxaSr

xaxaxaayxaSr

xaxaxaayxaSr

xaxaxaayaSr

.......2

.......2

.......2

.......2

2210

2210

2

2

2210

1

2210

0

Supaya didapatkan hasil minimum maka persamaan tersebut diatas diferensialnya harus sama dengan nol, sehingga :

imi

min

mi

mi

mi

iimimiii

iimimiii

iminii

yxxaxaxaxa

yxxaxaxaxa

yxxaxaxaxa

yxaxaxana

222

110

2242

31

20

132

210

2210

...

...

...

...

Galat untuk regresi Polinom :

)1(/

mnS

xSy r

m = orde polinom

t

rt

SSS

r 2

Cari persamaan kurva polinomial order dua yang mewakili data berikut

xi yi

0 2,1

1 7,7

2 13,6

3 27,2

4 40,9

5 61,1

6 152,6

Contoh regresi polinom

Contoh regresi polinom

xi yi (yi y)2 (yi a0 a1xi a2xi)2

0 2,1 544,44 0,14332

1 7,7 319,47 1,00286

2 13,6 140,03 1,08158

3 27,2 3,12 0,80291

4 40,9 239,22 0,61951

5 61,1 1272,11 0,09439

152,6 2513,39 3,74657

m = 2 xi = 15 xi4 = 979n = 6 yi = 152,6 xiyi = 555,6x = 2,5 xi2 = 55 xi2yi = 2988,8 xi3 = 225

Persamaan simultan menjadi :6a0 + 15a1 + 55a2 = 152,615a0 + 55a1 +225a2 = 585,655a0 + 225a1 + 929a2 = 2988,8

86071,135929,247875,2

2

1

0

aaa

Jadi persamaan kuadrat :y = 2,47875 + 2,35929x + 1,86071x2Galat baku taksiran :

99925,0

99851,039,2513

74657,339,2513

12,136

74657,3

2

r

r

Sy

010

20

30

40

50

60

70

0 1 2 3 4 5 6

(X)

(Y)

SsTtOoPp