heun.ppt
TRANSCRIPT
PENGANTAR
Arti fisis diferensial: laju perubahan sebuah peubah terhadap peubah lain.Contoh:
Menyatakan laju perubahan posisi x terhadap waktu t.
dt
dx
PENGANTAR
Persamaan diferensial dapat menjadi 2 kelompok besar:Persamaan Diferensial Biasa (PDB)Persamaan Diferensial Parsial (PDP)PDB: persamaan diferensial yang hanya mempunyai 1 peubah bebas. Peubah bebas biasanya disimbolkan x
PENGANTARContoh:
Peubah bebas contoh di atas adalah x sedangkan peubah terikat y, atau ditulis y = g(x)
02 2
22'
yyxdxdy
yxy
yxdx
dy
PENGANTARPDP: persamaan diferensial yang mempunyai lebih dari 1 peubah bebas. Turunan fungsi terhadap setiap peubah bebas dilakukan secara parsial.Contoh:
Peubah bebas adalah x dan y, peubah terikatnya u, sehingga ditulis u = g(x,y)
yxxyey
u
x
u
62
2
2
2
PENGANTAR
Penyelesaian PDB secara numerik berarti menghitung nilai fungsi diDengan h adalah step setiap iterasi. Terdapat beberapa metode numerik yang sering digunakan untuk menghitung solusi PDB, dari metode yang paling dasar – teliti:
hxx rr 1
Metode EulerMetode Heun
Metode Deret TaylorMetode Runge-Kutta
METODE HEUN
Merupakan modifikasi dari metode Euler. Metode ini memperkirakan dua turunan pada interval, yaitu pada ujung awal dan akhir. Kedua turunan tesebut kemudian diratakan untuk mendapatkan perkiraan kemiringan yang lebih baik.
METODE EULER
y
x
y = g(x); y’=f(x,y)
y4
y3y2y1
x1=a x2 x3 b= x4
y1 = g(a)
),(.1 rrrr yxfhyy
METODE EULER
Rumus:
METODE HEUN
yr
y
x
y = f(x) yr+1
yr+1
Euler
Heun
xr xr+1h/2
h
)),(,(),(2
)),(,(.2),(.2
1
11
rrrrrrr
rrrrrrrr
yxhfyxfyxfhy
yxhfyxfhyxfhyy
METODE HEUN
Rumus:
METODE HEUN
Hitung y(0.5) dengan metode Heun (h = 0.25), y(0) = 1,
22 yxdx
dy
225.0/)05.0( n
METODE HEUN
25.0
5.0
0
),(
0
22
h
b
xa
yxyxf
METODE HEUN
25.11025.01
),(25.0 0001)0(
1
yxhfyyx
3281.125.125.0102/25.01
),(),(222
1)0(
10001)1(
yxfyxfhyy
METODE HEUN
7847.13281.125.025.03281.1
),(5.022
1112)0(
2
yxhfyyx
9858.1
7847.15.03281.125.02/25.03281.1
),(),(22222
2)0(
21112)1(
yxfyxfhyy
TUGAS
)02.0(Heunmetodedengan)1.0(Hitung
1)0(;/
hy
yyxdxdy