geometri transformasi
DESCRIPTION
GEOMETRI TRANSFORMASI. SRI REJEKI FKIP MATEMATIKA UMS. MATERI (1). Pendahuluan Penggolongan Geometri Geometri Euclides Transformasi Fungsi dan Jenis-jenis Fungsi Transformasi Sebagai Fungsi Sifat Transformasi Grup Transformasi Transformasi Geseran Pengertian Geseran - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
SRI REJEKIFKIP MATEMATIKA UMS
Pendahuluan◦ Penggolongan Geometri◦ Geometri Euclides
Transformasi◦ Fungsi dan Jenis-jenis Fungsi◦ Transformasi Sebagai Fungsi◦ Sifat Transformasi◦ Grup Transformasi
Transformasi Geseran◦ Pengertian Geseran◦ Menemukan Rumus Geseran◦ Sifat-sifat Geseran◦ Hasil Kali Geseran
Setengah Putaran◦ Pengertian Setengah putaran◦ Menemukan Rumus Setengah putaran◦ Sifat-sifat Setengah putaran◦ Hasil Kali Setengah putaran
Transformasi Pencerminan◦ Pengertian Pencerminan◦ Menemukan Rumus Pencerminan◦ Sifat-sifat Pencerminan◦ Hasil Kali Pencerminan
Transformasi Putaran◦ Pengertian Putaran◦ Menemukan Rumus Putaran◦ Sifat-sifat Putaran◦ Hasil Kali Putaran
Hasil Kali Isometri Group dan Similaritas
B. SusantaGeometri Transformasi, UGM
Gatut IswahyudiGeometri Transformasi, UNS
I.M YaglomGeometric Transformations I, Yale University
(15%)Tugas(45%)UAS(35%)UTS(5%)esensiPr
NA
1. Presensi minimal 75%2. …3. …4. …5. …
A, B, … : titik-titikg, h, … : garis-garistitik (g,h) : titik potong garis g dan hgaris (A,B)= : garis melalui A dan B
: sinar garis AB dengan pangkal A: ruas garis AB
AB : panjang ruas garis
AB
AB
AB
AB
: ruas garis berarah dari A ke B: vektor dengan pangkal A ujung B
A-B-C : B terletak diantara A dan C : sudut ABC
: besar sudut ABC (dalam derajat): kongruen: sebangun (similar)
ABC
AB
ABCm
Berdasar ruang lingkup1. Geometri bidang (dimensi 2)2. Geometri ruang (dimensi 3)3. Geometri dimensi n4. Geometri bola5. dsb
Berdasar bahasa1. Geometri murni (dengan geometri/gambar)2. Geometri analitik (dengan bahasa aljabar)3. Geometri differensial (dengan bahasa derivatif)4. dsb
Berdasar sistem aksioma1. Geometri euclides2. Geometri non euclides3. Geometri proyektif4. dsb
Berdasar transformasi Berdasar metode pendekatannya dst.
1. Dalam bidang diketahui lingkaran pusat A(0,0) dengan jari-jari 5
2. Diketahui persamaan:x+2y=4z-y =4
TRANSFORMASI
BA
BA
BA
BA
BA
BA
BA
BA
Unsur tetap Kolineasi Identitas Isometri Involusi
KOLINEASI
ISOMETRI
ISOMETRI? KOLINEASI? INVOLUSI?
1. Diketahui )1,12()),(( yxyxT
a. Selidiki apakah T suatu kolineasi
b. Selidiki apakah T suatu involusi a. )1,12()),(( yxyxT
112
''
dengan )','(),(yx
yx
yxyxT
ambil persamaan garis 0 cbyaxg
diperoleh 1'1'
21'12'
yyyy
xxxx
sehingga ')( ggT
0)2
('2
'
0)1'2
1''
cbabyax
cybxag
Karena g’ adalah garis maka T merupakan kolineasi.
a. (x,y) (x’,y’) (x’’,y’’)
T T
TT=T2
112
''
dengan )','(),(yx
yx
yxyxT
1'1'2
''''
dengan )'',''()','(yx
yx
yxyxT
234
1)1(1)12(2
1'1'2
''''
dengan )'',''(),(2
yx
yx
yx
yx
yxyxT
Jadi )2,34()),((2 yxyxT
Isometri adalah kolineasi atau bila U isometri dan g garis maka U(g) = g’
Isometri mempertahankan kesejajaran
Isometri mempertahankan besar sudut
Jika V transformasi dan W transformasi, berkenaan sifat V dan W sebagai fungsi,
maka dapat didefinisikan komposisi atau hasil kali dari V dan W. Seperti halnya
menyusun komposisi dua fungsi maka komposisi WV , W dikerjakan dahulu
baru V. Jadi ))(()( AWVAWV .
Kemudian untuk menyingkat, seringkali ditulis 2, VVVVWWV
Hasil kali dua transformasi akan merupakan transformasi.
Bukti :
Ambil V dan W adalah transformasi dari bidang ke bidang semula, maka V•W
merupakan transformasi bila dapat dibuktikan bahwa V•W adalah pemetaan
bidang kepada bidang dan bahwa V•W satu-satu.
Ambil sebarang titik Q’’
Karena V transformasi )'(''' QVQQ
Karena W transformasi )(' QWQQ
Sehingga )'('' QVQ
)(
))((QWVQWV
Berarti setiap titik pasti merupakan hasil fungsi V•W terhadap salah satu titik
dalam bidang. Kemudian karena V dan W fungsi satu-satu, maka V•W juga akan
merupakan fungsi satu-satu.
Terbukti bahwa V•W adalah transformasi.
1. Diketahui 1,3)),((dan 2,)),(( 21 yxyxTyxyxT
a. Carilah 21TT
b. Kenakan 21TT pada persamaan garis yang melalui (-4,-6) dan sejajar dengan
0532 yxg Jawab: a. (x,y) (x’,y’) (x’’,y’’)
T2 T1
T1T2
13
''
dengan )','(),(2 yx
yx
yxyxT
'2'
''''
dengan )'',''()','(1 yx
yx
yxyxT
223
)1(23
'2'
''''
dengan )'',''(),(21 yx
yx
yx
yx
yxyxTT
Jadi )22,3()),((21 yxyxTT
a. Persamaan garis melalui (-2,-3) dan sejajar dengan 0532 yxg
Karena sejajar maka 21 mm
352523
0532
xy
xyyx
Jadi 32,
32
21 mm
05324293
)2(32)3(
)()( 11
yxxy
xy
xxmyyh
223
''
dengan )','(),(21 yx
yx
yxyxTT
12122'
3'3'
yyyy
xxxx
Jadi h'(h)21 TT
028'3'4
053'236'2
051'2133'2
yx
yx
yx
1. Diketahui )1,12()),(( yxyxT
a. Selidiki apakah T suatu involusi
b. Kenakan T pada 2xy
a. (x,y) (x’,y’) (x’’,y’’)
T T
TT=T2
112
''
dengan )','(),(yx
yx
yxyxT
1'1'2
''''
dengan )'',''()','(yx
yx
yxyxT
234
1)1(1)12(2
1'1'2
''''
dengan )'',''(),(2
yx
yx
yx
yx
yxyxT
Jadi )2,34()),((2 yxyxT
a. T pada 2xy
22'2)'('
2'2)'('2
4'2)'(2'2
)1'()1'(22
)1'(1')(
2
2
2
2
2
xxy
xxy
xxy
xy
xyhT
S merupakan geseran apabila terdapat suatu ruas garis berarah AB sedemikian sehingga untuk setiap titik P pada bidang V berlaku S(P)=P’ dengan PQ=AB. Selanjutnya geseran dengan vektor geser AB dinyatakan sebagai SAB
A B
P’ P
CDABSS CDAB
Misalkan tiga titik A, B dan C tidak segaris,
genjangjajar CABDSS CDAB
Geseran adalah suatu isometri
CDABSS CDAB Bukti :
1) CDABSS CDAB
Ambil titik P dan kenakan S dengan vektor geser AB.
Berarti ')( PPSAB berarti 'PPAB .
Karena CDAB SS maka ' berarti ')( PPCDPPSCD .
Karena 'PPAB
'PPCD
Maka akibatnya CDAB
2) CDAB SSCDAB
Ambil P dan kenakan ABS berarti '')( PPABPPSAB .
Karena ' maka PPCDCDAB .
Sehingga ')( PPSCD
')( PPSAB
Maka akibatnya CDAB SS
Dari (1) dan (2) terbukti bahwa CDABSS CDAB
Misalkan tiga titik A, B dan C tidak segaris,
genjangjajar CABDSS CDAB
Bukti : 1) genjangjajar CABDSS CDAB
Dengan dalil 2.1 diperoleh bahwa jika
CDABSS CDAB
Karena CDABSS CDAB berakibat BDAC
Jadi CABD jajar genjang.
2) CDAB SSCABD genjangjajar
CABD jajar genjang, berarti terdapat 2 pasang sisi yang sejajar dan
sama panjang, yaitu CDAB
BDAC
Karena CDAB dengan dalil 2.1 (jika CDAB SSCDAB )
Jadi CDAB SS
Dari (1) dan (2) terbukti bahwa genjang.jajar CABDSS CDAB
Geseran adalah suatu isometri Bukti :
1)
=
'')( PPABPPSAB
'')( QQABQQS AB
Akibatnya '' QQPP
Akan dibuktikan PQQP ''
'PP dan Q tidak segaris, dengan dalil 2.2 PQQ’P’ jajar genjang
Berakibat PQQPPQQP ''''
2)
'PP dan Q segaris
PQQP
PQQP
QQPPPPQQPQ
PPPQQP
''akibat
'' maka
'' karena ''
''''
Jadi S isometri
A B
P P’
Q Q’
P Q’ Q P’
Y
XO
B(a,b)
P(x,y)
P’(x’,y’)
b
a
a
b
ba
OB
byax
ba
yx
SOB
vektor
ba
OB
koordinattitik ),( baB
Q(c,d)
P(a,b)
bdac
PQ
Diketahui titik-titik A(4, -6) dan B(3, 1)1) Carilah rumus SAB dan SBA?2) Kena Apakah SBA kolineasi? 3) kan SBA pada garis h di mana h melalui
titik A dan tegak lurus dengan garis g : 8x-3y+10=9.
4) Apakah SBA involusi?5) Apakah SBA isometri?6) Apakah hasil kali SAB dan SBA?
Diketahui titik-titik A(4, -6) dan B(3, 1)◦ Apakah SBA kolineasi?
◦ Kenakan SBA pada garis h di mana h melalui titik A dan tegak lurus dengan garis g : 8x-3y+10=0.
◦ Apakah SBA involusi?
◦ Apakah SBA isometri?
◦ Apakah hasil kali SAB dan SBA ?
Dari soal-soal di atas buatlah kesimpulan tentang sifat-sifat geseran,◦ Apakah geseran merupakan suatu kolineasi?◦ Apakah geseran merupakan involusi?◦ Apakah geseran merupakan isometri?◦ Apakah hasil kali geseran dengan vektor
geser yang berlawanan arah?
TeoremaHasil kali dua geseran SAB dan SCD akan
merupakan geseran lagi dengan
T T’
T’’
A B
CDABPQ
C
D
P
Q
A
B
C
D
Y
P(x1,y1)
O X
Q(x2,y2)
Setengah putaran terhadap titik P
(dengan pusat P) dilambangkan
dengan Hp, adalah pemetaan yang
memenuhi untuk sebarang titik A
di bidang V :
1.Jika A ≠ P maka titik P titik
tengah AA’
Hp(A)=A’
2.Jika A = P maka Hp(A)=P=A
A
A’
P
Bukti :Akan ditunjukkan Hp2=IAmbil A, kenakan Hp sehingga Hp(A)=A’Kenakan A’ dengan Hp, maka
Hp(A’)=AHp(Hp(A))=A’=AHp2(A)=AHp2=I
Jadi Hp involusiA P A’
Hp
Hp
TEOREMASetengah putaran adalah isometri
Bukti :Ambil titik P, A dan B yang tidak segaris.P sebagai pusat putar.
A
B
P
B’
A’
Kenakan A dengan Hp,
sehingga Hp(A)=A’ dengan
AP=PA’.Kenakan B dengan Hp,
sehingga Hp(B)=B’ dengan
BP=PB’.
Lanjutan
Perhatikan ∆APB dan ∆A’PB’Karena AP=PA’
BP=PB’Maka ∆APB dan ∆A’PB’ kongruen (s, sd, s)Akibat : AB=A’B’Jadi setengah putaran adalah isometri
belakang)(bertolak ''PBAAPB
XO
Y
A(x,y)
A’(x’,y’)
P(a,b)
Ambil P(a,b) sebagai
pusat putar.
Hp memetakan
A(x,y) ke A’(x’,y’).
Diperoleh hubungan bahwa :
Jadi jika P(a,b) maka :Hp = (x,y)→(x’,y’) dengan
ybyyybyyb
xaxxxaxxa
2''22
'
2''22
'
ybxa
yx
22
''
LATIHANDiketahui A(-3,-5) dan B(-2,3)1.Carilah HA•HB
2.Apakah HA•HB involusi?
3.HB memetakan ∆KLM ke∆K’L’M’ dengan K(3,5), L(-5,-4) dan M(5,6). Carilah koordinat K’, L’ dan M’
4.Carilah Q s.d.s HA•HB(Q)=P dengan P(-4,7)
PR1. Diketahui A(4,4), B(2,-5) dan P(6,4), tentukan
HA•HB(P) dan HB•HA(P).
2. Diketahui P(3,2). Tentukan Hp((1,3)) dan Hp-1 ((2,4)).
3. Misalkan L={(x,y)│x2+y2=25}.Tentukan L’=HB•HA(L) jika A(2,1) dan B(-3,5).
4. Misalkan g={(x,y)│y=5x+3} dan A(2,3), B(-1,-2) dan
C(3,5). Tentukan SAB•Hc(g).
Bukti :
TEOREMAHasil kali dua setengah putaran merupakan geseran
P
BA C
P’
P’’
Ambil titik P, A dan B tidak segaris, kenakan P dengan HA sehingga :HA(P)=P’ berlaku PA=AP’HB(P)=P’ berlaku P’B=BP’’Berarti :HB(P’)=P’’HB(HA(P))=P’’HB•HA(P)=P’’
Karena PA=AP’ dan P’B=BP’’Maka AB merupakan garis tengah sejajar alas PP’ dalam ∆PP’P’’ sehingga PP’’=2ABBerarti HA•HB merupakan geseran atau HA•HB=SAC dengan AC=2AB
Hasil kali geseran dan setengah putaran ???
Diketahui koordinat P(-2,8) dan R(0,10) serta ∆A’B’C’ dengan A’(5,1) B’(-3,-4) dan C’(1,-5). Carilah ∆ABC sehingga :HR•HP(A)=A’
HR•HP(B)=B’
HR•HP(C)=C’
Jawab :A(1,-3) B(-7,-8) C(-3,-9)
Diketahui koordinat E(-5,-1) F(1,4) G(-2,-8)1. Apakah hasil dari HF•HG
Jawab : (6-x, 22-y)2. Jika HF•HG=SED carilah koordinat D
Jawab : (1, 21)3. Kenakan HE•HF pada garis g di mana g melalui E dan
tegak lurus garis yang melalui F dan G4. Apakah hasil dari HF•HE•HG
5. Selidiki apakah HG•SEF involusi
Find the answers by yourself, pasti bisa!!!
Transformasi pencerminan /refleksi menghasilkan bayangan yang tergantung pada acuannya.
Refleksi terhadap sumbu xRefleksi titik A (a, c) terhadap sumbu x menghasilkan bayangan yaitu A’(a’, c’), demikian juga untuk titik B dan titik C.Diperoleh persamaan bahwa :
a’ = a, b’ = b, c’= -c dan seterusnya sehingga persamaan matrik transformasinya adalah :
1 00 -1xT
Dengan notasi matrik :
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c) A’(a, -c) sumbu x
1 00 -1x
x x xT
y y y
Sama seperti refleksi terhadap sumbu x menghasilkan persamaan a’= - a, b’ = - b dan c’ = c dan seterusnya. sehingga persamaan matrik transformasinya adalah :
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c) A’(-a, c) sumbu y
Dengan notasi matrik :
-1 0 0 1y
x x xT
y y y
-1 0 0 1yT
Refleksi terhadap titik asal (0,0)
Menghasilkan persamaan :a’= - a, dan c’ = -c,b’= - b, dan c’ = -c,d’= - d, dan c’ = -c,sehingga persamaan matrik transformasinya adalah :
(0,0)
-1 0 0 -1
T
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c) A’(-a,-c) titik(0,0)
(0,0)
-1 0 0 -1
x x xT
y y y
Dengan notasi matrik :
Refleksi terhadap garis y = xMenghasilkan persamaan :a’= c, dan c’ = a,b’= c, dan c’’ = b,d’= e, dan e’ = d dan seterusnyasehingga persamaan matrik transformasinya adalah :
0 11 0y xT
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c) A’(c,a) y = x
0 11 0y x
x x xT
y y y
Dengan notasi matrik :
Refleksi terhadap garis y = - x Menghasilkan persamaan :a’= -c, dan c’ = -a,b’= -c, dan c’’ = -b,d’= -e, dan e’ = -d dan seterusnya, sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : 0 -1
-1 0y xT
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c) A’(-c,-a) y =- x
0 -1-1 0y x
x x xT
y y y
Dengan notasi matrik :
Refleksi terhadap garis y = hSumbu x digeser sejauh h, menghasilkan persamaan :a’= a, dan c’ = 2h-c,b’= b, dan c’ = 2h-c,d’= d, dan e’ = 2h-e, sehingga notasi persamaan matrik transformasinya adalah :
1 0 00 -1 2
x xy y h
Bukti :Sumbu-x dipindahkan sejauh h sehingga sumbu-x
yang baru adalah y = h. Maka koefisien setiap titik berubah menjadi (x’, y’) dengan :
Kemudian titik tersebut direfleksikan pada sumbu-x yang baru menjadi :
Tahap terakhir, menggeser sumbu-x yang baru ke sumbu-x semula dengan memakai translasi diperoleh:
0 x x xy y h y h
1 0 0 -1
x x xy y h y h
0 2
0 1 0 0
- 2 0 -1 2
x x xy y h h y h
x xy h y h
Refleksi terhadap garis x = kSekarang yang digeser adalah sumbu y sejauh k, menghasilkan persamaan :a’= 2k-a, dan c’ = c,b’= 2k-b, dan c’ = c,d’= 2k-d, dan e’ = e, sehingga notasinya adalah :
A(a,c) A’(2k-a,c)
x=k
-1 0 20 1 0
x x ky y
Dengan notasi matrik :
Contoh Soal :Tentukan bayangan jajaran-genjang ABCD dengan
titik sudut A(-2,4), B(0,-5) C(3,2) dan D(1,11) jika direfleksikan terhadap sumbu-x, kemudian dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu-y.
Jawab :Penyelesaian soal tersebut dilakukan dengan dua
tahap yaitu mencari bayangan jajaran-genjang ABCD dari refleksi terhadap sumbu-x, kemudian bayangan yang terjadi direfleksikan terhadap sumbu-y.
Refleksi terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut :
Selanjutnya titik A’, B’, C’ dan D’ direfleksikan pada sb-y
Hasil akhir diperoleh jajaran-genjang A’’B’’C’’D’’ dengan
titik sudut A’’(2,-4), B’’(0,5), C’’(-3,-2) dan D’’(-1,-11).
Coba pikirkan : Bagaimana cara mendapatkan matrik transformasi
pada suatu sistem yang mengalami refleksi lebih dari satu kali tetapi penyelesaiannya hanya dengan mengunakan satu tahap saja ?
Telah dibahas bahwa :◦ Hasil kali 2 pencerminan dengan kedua sumbu
sejajar adalah berupa geseran.◦ Hasil kali 2 pencerminan dengan kedua sumbu
yang saling tegak lurus adalah berupa setengah putaran.
Apakah hasil kali 2 pencerminan jika kedua sumbu sebarang???
Ambil sebarang sumbu s dan t yang berpotongan di P.Sebuah titik A sebarang dikenai Ms dan Mt , berarti :Ms(A) = A’Mt(A’) = A’’Jadi, Mt(A’) = A’’
Mt(Ms(A)) = A’’ (Mt•Ms)(A) =A’’
Ambil Q titik tengah AA’ Ambil R titik tengah A’A’’
Akibat pencerminan :
1. QPA'mAPQm
PRA'm2 QPA'2m 'APA'mmaka t)s,(mJika
'RPA' mPRA'm
PR)A'mQPA'm(2
2. PA = PA’
PA’ = PA’’
Jadi PA = PA’’
Sehingga Mt•Ms menghasilkan :
1. PA = PA’’
2. t)titik(s,Pdan t)(s,mdengan 2 'APA'm
Putaran terhadap P dengan sudut θ sebagai sudut putar dilambangkan dengan RP,θ adalah pemetaan yang memenuhi :◦ RP,θ (P) = P
◦ Rp,θ (A) =A’ di mana PA=PA’ dan
P = pusat putarθ = sudut putar
Jika θ = 0o maka RP,θ = I Jika θ = 180o maka RP,θ = HP
Jika α = β maka α = β + k•360o, dengan k anggota B+
Sudut θ positif jika arah berlawanan jarum jam
Sebarang putaran RP,θ selalu dapat dianggap sebagai hasil kali 2 pencerminan, satu terhadap sumbu s dan satu terhadap sumbu t.
P = titik (s,t) Jadi, hasil kali 2 pencerminan Mt•Ms :
◦ Jika s//t maka Mt•Ms = SAB dengan AB = 2 jarak (s,t)◦ Jika s tidak sejajar t maka Mt•Ms = Rp,θ dengan P = titik
(s,t) dan ◦ Jika s tegak lurus t maka Mt•Ms = RP,θ = HP
Dengan pusat putar (0,0)
Ambil sumbu cermin s dan t di mana s berimpit dengan sumbu x dan t garis melalui (0,0)
dengan 2cos2sin
m
RP,θ dinyatakan sebagai hasil kali pencerminan :
Sumbu s, y = 0
Ms : (x,y) → (x’,y’) dengan
yx
yy
yx
yx
1)(1.2
1)(0.2
''
yx
1001
Sumbu t, xy2cos2sin
, maka 2sin2cos xy
0)290sin()290cos(
)290cos()290sin(
yx
xy
Mt : (x’,y’) → (x’’,y’’) dengan
cossin
2''
2cos2sin2sin2cos
''''
pyx
yx
''
cossinsincos
0''
)180(cos)180(sin)180(sin)180(cos
yx
yx
Mt•Ms : (x,y) → (x’,y’) dengan
''
cossinsincos
''''
yx
yx
yx
yx
cossinsincos
1001
cossinsincos
Jadi, jika P(0,0) maka :
RP,θ : (x,y) → (x’,y’) dengan
yx
yx
cossinsincos
''
Dengan pusat putar P(a,b)
Ambil suatu koordinat dengan pangkal P(a,b) dari suatu sumbu yyxx //dan // .
Terhadap sumbu yPx koordinat C(x,y) dan C’(x,y).
RP,θ : (x,y) →(x’,y’) dengan
yx
yx
cossinsincos
''
Bila terhadap sumbu XOY, koordinat C(x,y) dan C’(x’,y’)
ba
yx
OPOCPCyx
ba
yx
OPOCPCyx
''
''''
Jadi
yx
yx
cossinsincos
''
bbaaba
yx
ba
ba
yx
yx
ba
yx
ba
yx
cossinsincos
cossinsincos
cossinsincos
cossinsincos
''
cossinsincos
''
Jadi jika pusat putar P(a,b) maka
RP,θ : (x,y) → (x’,y’) dengan
qp
yx
yx
cossinsincos
''
dengan
cossinsincos
babqbaap
Suatu transformasi yang dipenuhi 1sincos 22 merupakan putaran.
1. Diketahui A(-1,-2) dan B(10,0)
a. tentukan RA,45o dan RA,45
o(B)
b. tentukan RA,-90o • RA,90
o
2. Selidiki apakah transformasi tersebut merupakan rotasi dan tentukan pusat putarnya.
a.
1
13443
51
''
yx
yx
b.
105
5/35/45/45/3
''
yx
yx
c.
42
13/1213/513/513/12
''
yx
yx
HASILKALI YANG DIBICARAKAN1. REFLEKSI GESER2. GESERAN DAN ROTASI3. ROTASI DAN ROTASI
Definisi Misalkan s suatu garis dan AB suatu
garis berarah dengan AB // s. Suatu refleksi geser G adalah pemetaan yang memenuhi G=MsSAB..
Teorema Misal s garis dan AB garis berarah. Jika
s//AB , maka MsSAB = SABMs
Teorema Suatu refleksi geser tidak
mempunyai titik tetap. Satu-satunya garis tetap adalah sumbunya
sendiri. Teorema Misal t suatu garis dan CD suatu garis
berarah sedemikian sehingga CD tida tegak lurus t. Terdapat suatu refleksi geser G sedemikian sehingga G = SCDMt.
.
C
D
Et
r
Misalkan p suatu garis dengan p // t dan jarak (p,t) = ½ |CE|
Maka : SCDMt = SEDSCE Mt = SED (Mp Mt ) Mt = SED Mp (Mt Mt ) = SED Mp I = SED Mp = G ( = suatu refleksi geser karena p//ED )
Misal s suatu garis dan A titik di luar s . Misalkan diketahui suatu sudut dengan besar . Terdapat suatu refleksi geser G1 dan G2 sedemikian sehingga G1 = Ms RA, dan G2 = RA, Ms.
( Dengan kata lain teorema ini ,mengatakan bahwa suatu putaran terhadap A dan diikuti oleh suatu refleksi terhadap garis s atau sebaliknya merupakan suatu refleksi geser )
.
A
r
s
D
C
t
/2
Misalkan r garis yang melalui A dan r // s. Misalkan t garis yang melalui A dengan
m(<(t,r)) = ½ . Diperoleh Ms RA, = Ms (Mr Mt) = (Ms Mr) Mt = SCD Mt = G1.
Misalkan s suatu garis, P titik yang tidak terletak pada s. Misal r garis yang melalui P tegak lurus s. Maka berlaku:
a. HPMs merupakan suatu refleksi geser yang sama dengan MrSAB
b. MsHP merupakan suatu refleksi geser yang sama dengan SCDMr.
Misal t adalah garis yang melalui P dengan t // s dan r garis yang melalui P dengan r tegak lurus s.
Misal AB garis berarah dengan AB//r , |AB| = 2 kali jarak (s,t) dan CD garis berarah dengan CD//r , |CD| = 2 kali jarak ( t,s).
Sehingga HP Ms = ( Mr Mt ) Ms = Mr ( Mt Ms ) = Mr SAB
Kemudian Ms HP = Ms ( Mt Mr ) = (Ms Mt ) Mr = SCD Mr
bukti
Teorema
Untuk sebarang titik A, B, P dan suatu sudut dengan besar , selalu dapat ditemukan titik C dan D sedemikian sehingga :a. SAB RP, = RC,
b. RP, SAB = RD,
.
rP
C
A B
p q
/2
. Dari yang diketahui titik-titik A, B, dan P serta suatu sudut dengan besar , tarik garis p melalui P dengan p tegak lurus AB dan tarik garis q dengan q // p , (p,q) = ½ |AB|. Kemudian buat garis r melalui P dengan m(<(r,p)) = ½ .
Sehingga : SAB RP, = (Mq Mp )(Mp Mr )
= Mq ( Mp Mp ) Mr
= Mq I Mr = Mq Mr = RC,
.r
P
A B
q
p
/2 /2
b. Dari yang diketahui titik-titik A, B, dan P serta suatu sudut dengan besar , tarik garis p melalui P dengan p tegak lurus AB dan tarik garis q dengan q // p , (p,q) = ½ |AB|. Kemudian buat garis r melalui P dengan m(<(p,r)) = ½ .
RP, SAB = ( Mr Mp ) (Mp Mq )
= Mr( Mp Mp ) Mq = Mr I Mq = Mr Mq = RD,
Pada saat membahas tentang putaran telah diketahui bahwa hasil kali dua putaran yang pusatnya sama , akan menghasilkan suatu putaran baru dengan pusat semula dan besar sudut putar adalah jumlah dari kedua sudut putar semula, atau dalam lambang putaran .
Berikut ini akan dibahas tentang hasil kali putaran dengan putaran tetapi pusat kedua putaran tidak sama.
Teorema Hasil kali dua putaran , A B akan berupa putaran lagi dengan
sudut putar + atau berupa geseran jika + = 360.
. r
C (+)/2
/2 /2
s
tB
A
Dalam segitiga ABC di atas, m(<ABC) = m(<(t,r)) = ½ . dan m(<CAB) = m(<(s,t) = ½ , maka m(<ACD =(<(s,r)) = ½ + ½ = (+)/2 , sehingga putaran yang dihasilkan oleh MrMs mempunyai sudut putaran sebesar + .
Hal tersebut tidak akan terjadi jika C tidak ada( yaitu dalam kondisi r // s). Jadi apabila m(<(r,t)) = m(<(s,t)) = ½ , tetapi m(<(t,r)) = -m(<(r,t)) = ½ . Jadi
– ½ = ½ sehingga + = 0. Dalam hal ini RB,RA, = MrMs = SCD ( dengan |CD| = 2 kali jarak ( s,r)
Untuk tiga garis sebarang r,s,t yang tidak bertemu di satu titik dan tidak saling sejajar, maka hasil kali MtMsMr tanpa memandang urutan merupakan suatu refleksi geser.
B A
/2 /2
r
s
Pandang MtMsMr = Mt (MsMr ) = Mt RA, = G ( misal m(<(r,s)) =
Apa yang terjadi jika r,s,t melalui satu titik yang sama ?
Bagaimana pula jika r//t//s
Diketahui dua segitiga ABC dan segitiga A’B’C’ yang konkruen seperti pada gambar berikut. Tentukan suatu refleksi geser G yang membawa segitiga ABC menjadi A’B’C’.
A
B
CA’
B’
C’
Andaikan G sudah didapat, berarti terdapat ruas garis berarah PQ dan garis s sedemikian sehingga G = SPQMs yang berarti G(ABC) = A’B’C’.
Misalkan A”B”C” = Ms(ABC) dan A’B’C’= SPQ(A”B”C”), diperoleh A’C’//A”C” dan m(<(s,AC)) = m(<(s,A”C”)). Jadi m(<(A’C’, s )) = m(<(s,AC)) . Sehingga dapat disimpulkan bahwa s sejajar dengan garis bagi (A’C’ , AC ) .
a. Lukis P = ( A’C’ , AC ) b. Lukis garis bagi <(A’C’ , AC ), yaitu garis t. c. Lukis garis m, dengan m//t , m melalui A dan garis l,
dengan l t, l melalui A. Misal A”=( m, l ) . d. Lukis garis s , dengan s//t dan s melalui titik tengah
AA”. e. Lukis titik-titik B” dan C” , dengan B”=Ms(B) dan
C”=Ms(C). f. Lukis titik P, Q di t sedemikian sehingga PQ=A’A” g. Diperoleh G= SPQMs sedemikian sehingga (A’B’C’) =
SPQMs (ABC) = G(ABC)
Definisi Suatu transformasi L disebut suatu similatitas, jika terdapat
bilangan positif k sedemikian hingga untuk sebarang titik P, Q dipenuhi | P’Q’| = k | PQ| , dengan P’=L(P) dan Q’=L(Q).
Similaritas (kesebangunan)
similaritas dengan faktor k tersebut dilambangkan dengan LK dan k disebut faktor similaritas.
Dari definisi diatas, tampak bahwa jika k=1 suatu similaritas adalah suatu isometri atau dengan kata lain, suatu isometri adalah kejadian khusus dari similaritas.
Teorema Similaritas adalah suatu kolineasi.
Teorema Similaritas mempertahankan besar sudut. Teorema Similaritas mempertahankan ketegaklurusan. Teorema Similaritas mempertahankan kesejajaran.
Bukti Similaritas adalah suatu kolineasi
Ambil sebarang garis t, dan dua titik A , B di t yang berbeda dan A’=T(A) , B’=T(B). Misal h garis yang melalui A’ dan B’. Misalkan pula T suatu transformasi kesebangunan. Akan dibuktikan bahwa T(t) = h. Untuk itu akan dibuktikan T(t) h dan h T(t) a. Bukti T(t) h Ambil sebarang titik P di t dengan P berbeda dengan A dan B. Misalkan P terletak antara A dan B , maka berlaku | AP| +| PB| =| AB| . Kemudian misalkan P’ = T(P) dan faktor kesebangunan T adalah k, maka berlaku | A’P’| + | P’B’| = k| AP| + k| PB| = k | AP + PB | = k | AB| Oleh karena | A’B’| = k| AB| maka | A’P’ | +| P’B’| = | A’B’| .
Oleh karena | A’B’| = k| AB| maka | A’P’ | +| P’B’| = | A’B’| . Jadi P’ terletak antara A’ dan B’ yang berarti bahwa A’, P’, dan B’ segaris. Dengan cara serupa, dapat ditunjukkan bahwa hal ini berlaku pula untuk A antara P dan B maupun B antara A dan P. Jadi P anggota h atau T(P) h
a. Bukti h T(t). Ambil sebarang titik Q’ pada h. Karena T suatu transformasi, jadi surjektif maka ada Q pada bidang V sedemikian sehingga Q’ = T(Q). Misalkan Q’ terletak antara A’ dan B’. Sehingga berlaku | A’Q’| +| Q’B’| =| A’B’| . Misalkan Q tidak berada di t maka berlaku | AQ| +| QB| >| AB| , akibatnya k| AQ| +k| QB| > k| AB| . Sehingga | A’Q’| +| Q’B’| >| A’B’| . Ini bertentangan dengan | A’Q’| +| Q’B’| =| A’B’| . Jadi haruslah Q terletak pada t. Bukti serupa untuk A’ antara Q’ dan B’ dan juga B’ antara A’ dan Q’. Diperoleh h T(t). Dari bukti a. dan b. dapat disimpulkan bahwa T(t) = h.
1. Kesebangunan mempertahankan besar sudut Misalkan diberikan sebarang sudut < ABC dan T(<ABC) = <A’B’C’. Diperoleh | A’B’| = k| AB| , | B’C’| = k| BC| , dan | A’C’| = k| A’C’| . Sehingga segitiga A’B’C’ sebangun dengan segitiga ABC. Diperoleh besar sudut A’B’C’ sama dengan besar sudut ABC. Jadi terbukti bahwa kesebangunan mempertahankan besar sudut. Akibat langsung dari bukti ini adalah kesebangunan juga mempertahankan ketegaklurusan.
Teorema Hasil kali similaritas Lk dan Lm adalah similaritas Lkm, yaitu suatu
similaritas dengan faktor km.
Definisi Misal P suatu titik tertentu dan k 0. Transformasi DP,k disebut suatu dilatasi terhadap P dengan faktor k jika a. DP,k (P)=P. b. Untuk sebarang titik QP, DP,k(Q) = Q’ dengan PQ’=kPQ dan
Q’ pada PQ untuk k>0 kemudian Q’ pada P/ Q untuk k<0. Teorema
Untuk sebarang garis g dan g’=DP,k(g) berlaku : a. g’=g jika P terletak pada g. b. g’/ / g jika P tidak terletak pada g.
Teorema Hasil kali suatu dilatasi dan suatu isometri adalah suatu similaritas. Sebaliknya, suatu similaritas selalu dapat dinyatakan sebagai hasilkali suatu dilatasi dan suatu isometri. Teorema
Untuk sepasang segitiga yang sebangun ABC dan A’B’C’ terdapat tepat satu similaritas L yang membawa A ke A’, B ke B’ , dan C ke C’
1. Rumus Dilatasi Misalkan titik P(x,y) suatu titik tertentu. T(a,b) sebarang titik dengan T’(a’,b’) sedemikian hingga T’=DP,k(T). Kemudian p adalah vektor posisi dari P(x,y), t’ vektor posisi dari T’(a’,b’) dan t vektor posisi dari T(a,b) T’(a’,b’) P(x,y) t’ x T(a,b) t
Sehingga dengan menggunakan aturan vektor dan matriks diperoleh: PT’ = k(PT) t’-x = k(t-x)
atau
y-bx-a
kyb'xa'
sehingga
yx
k)(1ba
kb'a'