TRANSFORMASI

Suatu transformasi pada suatu bidang V adalah suatu fungsi yang bijektif dengan

daerah asalnya V dan daerah nilainya V juga. Fungsi yang bijektif adalah sebuah fungsi

yang bersifat :

1. Surjektif, artinya : Jika T suatu transformasi, maka tiap titik B∈ V ada prapeta A

∈ V sehingga B = T(A). B dinamakan peta dari A dan A dinamakan prapeta dari

B.

2. Injektif, artinya : Jika A1≠ A2 dan T(A1 ¿=B1, T(A2 ¿=B2 maka B1≠ B2, atau jika

T(P1 ¿=¿ Q1 dan T(P2 ¿=Q2 sedangkan Q1=Q2 maka P1=P2.

Contoh :

Andaikan A ∈V . Ada perpetaan (padanan) T dengan daerah asal V dan daerah nilai

juga V.

Jadi T : V V yang didefinisikan sebagai berikut :

1) T(A) = A

2) Apabila P A, maka T(P) = Q dengan Q titik tengah garis AP. Selidiki apakah

padanan T tersebut suatu transformasi ?

Jawab :

A R

P

Jelas bahwa A memiliki peta, yaitu A sendiri.

Ambil sebarang titik R≠ A pada V. Oleh karena V bidang Euclides, maka ada satu garis

yang melalui A dan R, jadi ada satu ruas garis AR sehingga ada tepat satu titik S dengan

S antara A dan R, sehingga AS = SR.

Ini berarti untuk setiap X ∈ V ada satu Y dengan Y = T(X) yang memenuhi persyaratan

(2). Jadi daerah asal T adalah V.

1) Apakah T surjektif , atau apakah daerah nilai T juga V ? untuk menyelidiki ini

cukuplah dipertanyakan apakah setiap titik di V memiliki prapeta. Jadi apabila Y∈V

apakah ada X ∈V yang bersifat T(X) = Y ?

Menurut ketentuan pertama, kalau Y = A prapetanya adalah A sendiri, sebab T(A) =

A.

Y = T(X)

A X

Apabila Y A, maka oleh karena V suatu bidang Euclides, ada X tunggal dengan X

∈ AY sehingga AY = YX.

Jadi Y adalah titik tengah AX yang merupakan satu-satunya titik tengah. Jadi Y =

T(X).

Ini berarti bahwa X adalah prapeta dari titik Y. Dengan demikian dapat dikatakan

bahwa setiap titik pada V memiliki prapeta. Jadi T adalah suatu padanan yang

surjektif.

2) Apakah T injektif ?

Untuk menyelidiki ini ambillah dua titik P≠ A ,Q≠ A danP≠Q. P,Q,A tidak segaris

(kolinear). Kita akan menyelidiki kedudukan T(P) dan T(Q).

A

T(P) T(Q)

P Q

Andaikan T(P) = T(Q)

Oleh karena T(P) ∈ AP danT (Q )∈ AQ maka dalam hal ini AP dan AQ memilki dua

titik sekutu yaitu A dan T(P) = T(Q). ini berarti bahwa garis AP dan AQ berimpit,

sehingga mengakibatkan bahwa Q∈ AP.

Ini berlawanan dengan pemisalan bahwa A, P, Q tidak segaris. Jadi pengandaian

bahwa T(P) = T(Q) tidak benar sehingga haruslah T(P) T(Q). Jadi, T injektif.

Dari uraian di atas tampak bahwa padanan T itu injektif dan surjektif, sehingga T adalah

padanan yang bijektif.

Dengan demikian terbukti T suatu transformasi dari V ke V. Ditulis T : V V.

P’=T(P)

A

Pg

h

D’

A

Eg

h

D

E’

Tugas:

1. Andaikan g dan h dua garis yang sejajar pada bidang euclides V. A sebuah titik yang

terletakdi tengah antara g dan h. Sebuah T padanan dengan daerah asal g yang

didefinisikan sebagai berikut:

Apabila P∈g maka P '=T (P )=PA∩h

a) Apakah daerah nilai T ?

b) Apabila D∈g , E∈g , D≠E , buktikan bahwa D ' E '=DE ; D '=T (D ), E '=T (E )

c) Apakah T injektif

Jawab:

a) Daerah nilai T adalah h

b) D∈g , E∈g , D≠E

D '=T (D ), E '=T (E )

Perhatikan segitiga ADE dan segitiga AD’E’

m (∠DAE )=m(∠D' AE ') (Bertolak belakang)

DA=AD ' (Karena A tengah-tengah g dan h)

EA=AE ' (Karena A tengah-tengah g dan h)

Diperoleh ∆ ADE≅ ∆ AD' E ' menurut definisi sisi sudut sisi

Akibatnya D' E=DE

c) Akan dibuktikan T injektif

Ambil dua titik X dan Y pada g, X≠Y

Akan dibuktikan T (X )≠T (Y )

Andaikan T (X )=T (Y )

Oleh karena T (X )=XA∩h dan T (Y )=YA∩h

Dalam hal ini XA dan YA memiliki dua titik sekutu yaitu A dan T (X )=T (Y ).

Ini berarti bahwa garis XA dan YA berimpit, sehingga berakibat X=Y .

Hal ini suatu kontradiksi, haruslah T (X )≠T (Y )

Jadi T injektif

2. Diketahui sebuah titik K dan ruas garis AB , K∉ AB dan sebuah garis g sehingga

g // AB dan jarak K dan AB , adalah dua kali lebih panjang dari pada jarak antara K

dan g. Ada padanan T dengan daerah asal AB dan daerah nilai g sehingga apabila

P∈ AB maka T (P )=P '=KP∩g .

a) Apakah bentuk himpunan peta-peta P’ kalau P bergerak pada AB

b) Buktikan bahwa T injektif.

c) Apabila E dan F dua titik pada AB , apakah dapat dikatakan tentang jarak E’F’

jika E’ = T(E) dan F’ = T(F)?

Jawab:

x’=T(x)

A

yg

h

x

y’=T(y)

A B

K

P

P’

K

FE

E’F’

a) K∉ AB , g // AB , T:AB→g

P∈ AB maka T (P )=P '=KP∩g

P '=KP∩g

sehingga P '∈g

Jadi bentuk himpunan peta-peta P’ adalah ruas garis yang berimpit dengan g.

b) Akan dibuktikan T injektif

Ambil dua titik X dan Y pada AB , X≠Y

Akan dibuktikan T (X )≠T (Y )

Andaikan T (X )=T (Y )

Oleh karena T (X )=KX∩g dan T (Y )=KY ∩g

Dalam hal ini XA dan YA memiliki dua titik sekutu yaitu A dan T (X )=T (Y ).

Ini berarti bahwa garis XA dan YA berimpit, sehingga berakibat X=Y .

Hal ini suatu kontradiksi, haruslah T (X )≠T (Y )

Jadi T injektif

c)

Dipunyai E , F∈ AB, maka E' ,F '∈g sehingga EF ∕ ∕ E ' F '

Perhatikan ∆ KE ' F ' dan ∆ KEF

Jelas m (∠E' K F ' )=m (∠EKF )

m (∠KF ' E' )=m (∠KFE ) (dalam bersebrangan)

m (∠KE' F ' )=m (∠KEF ) (dalam bersebrangan)

Diperoleh fakta ∆ KE ' F ' ∆KEF menurut teorema sudut-sudut-sudut

Akibatnya

E' F '

EF= K ' E '

KE=1

2

z T(Z) = S

P

P’ =T(P)

R

R’ =T(R)

A

Jadi E' F '=1

2EF

Jarak E ' F ' adalah setengah jarak EF

3. Diketahui tiga titik A, R, S yang berlainan dan tidak segaris. Ada padanan T yang

dedefinisikan sebagai berikut:

T(A) = A, T(P) = P’ sehingga P titik tengah AP'

a) Lukislah R’ = T(R)

b) Lukislah Z sehingga T(Z) = S

c) Apakah T suatu transformasi?

jawab:

c) Akan diselidiki apakah T surjektif

T surjektif jika ∀Y∈V terdapat prapeta X sehingga Y=T (X)

Jika Y=A maka prapetanya adalah A sendiri sebab T ( A )=A

Apabila Y ≠ A maka terdapat X tunggal dengan X∈ AY sehingga AX=AY

Jadi X adalah titik tengah AY . Artinya Y=T (X)

Jadi ∀Y∈V terdapat prapeta X sehingga Y=T (X)

Artinya T Surjektif

Akan diselidiki T injektif

Ambil titik P≠ A ,Q≠ A dan P≠Q, P ,Q, A tidak segaris

Andaikan T (P )=T (Q)

Oleh karena T (P)∈ AP dan T (Q)∈ AQ maka dalam hal ini AP dan AQ memiliki

dua titik sekutu yaitu A dan T (P )=T (Q). Ini berarti bahwa garis AP dan AQ

berimpit, sehingga mengakibatkan Q∈ AP. Dengan kata lain P ,Q, A segaris.

Ini suatu kontradiksa dengan pernyataan P ,Q, A tidak segaris

Pengandaian ditinggalkan, sehingga T (P )≠T (Q)

Dengan kata lain T injektif

Karena T surjektif dan T injektif maka T transformasi

4. Diketahui P = (0,0), C1 = {( x , y )|x2+ y2=1 }

C2 = {( x , y )|x2+ y2=25 }

T : C1 → C2 adalah suatu padanan yang definisikan sebagai berikut : Apabila X∈C1

makaT (X )=X '=PX∩C2

a) Apabila A = (0,1) tentukan T(A)

b) Tentukan prapeta dari B(4,3)

c) Apabila Z sebarang titik pada daerah asal T, tentukan jarak ZZ’, dengan Z’ =

T(Z).

d) Apabila E dan F dua titik pada daerah asal T , apakah dapat dikatakan tentang

jarak E’F’?

Jawab:

a) A = (0,1) maka T(A) = (0,5)

b) Perhatikan segitiga PQB

Berlaku:

15= x

4= y

3

⟺ x=45

dan y=35

Sehingga prapeta B adalah A( 45,35 )

c) Dipunyai Z∈ daerah asal T

PA

B(4,

E’

F’

Maka Z∈C1

Berarti Z=(x1 , y1) dimana x12+ y1

2=1

Jelas ZP=√(x1−0)2+( y1−0)2=√ x12+ y1

2=√1=1

Selanjutnya Z'=T (Z)

Maka Z '∈C2

Berarti Z '=(x2 , y2) dimana x22+ y2

2=25

Jelas Z ' P=√(x2−0)2+( y2−0)2=√x22+ y2

2=√25=5

Jelas P ,Z ,Z ' segaris

Z' P=Z ' Z+ZP

⟺5=Z ' Z+1

⟺ Z' Z=5−1

⟺5=Z ' Z+1

⟺ Z Z'=Z ' Z=4

Jadi jarak Z Z '=4

d) Dipunyai E , F∈C1 ,E≠ F

Maka panjang busur EF

¿m (∠EPF )

2π. kelilingC1

¿m (∠EPF )

2π.2π .1

¿m (∠EPF )

Selanjutnya E'=T (E) dan F '=T (F )

Maka panjang busur E ' F '

¿m (∠E ' PF ' )

2 π. kelilingC2

¿m (∠E ' PF ' )

2 π.2π .5

¿5.m (∠E ' PF ' )

Karena P , E ,E ' segaris

Dan P ,F ,F ' segaris

Maka m (∠E' PF ' )=m (∠EPF )

Sehingga

E' F '=5.m (∠E' P F' )

¿5.m (∠EPF )

¿5. EF

Jadi E' F '=5 EF

5. Diketahui f : V → V. Jika P(x,y) maka f(P) =(|x|,|y|)

a) Tentukan f(A) jika A = (-3,6)

b) Tentukan semua prapeta dari titik B(4,2)

c) Apakah bentuk daerah nilai f?

d) Apakah f suatu transformasi?

Jawab :

a) f(A) =(3,6)

b) Prapeta dari B(4,2) adalah (4,2),(4,-2),(-4,2),(-4,-2)

c) Daerah nilai f adalah himpunan semua titik-titik di Kuadran I

d) Ambil A1= (4,2 )∈V , A2=( 4 ,−2 )∈V

Jelas A1≠ A2

Selanjutnya f ( A1 )=(4,2) dan f ( A2 )=(4,2)

Diperoleh fakta f ( A1 )=f (A2)

Jadi terdapat A1≠ A2 dan f ( A1 )=f (A2)

Artinya f tidak injektif

Karena f tidak injektif maka f bukan transformasi

6. Diketahui fungsi g : sumbu X → V yang didefinisikan sebagai berikut :

Apabila P(x,0) maka g(P) = (x,x2).

a) Tentukan peta A(3,0) oleh g

b) Apakah R(-14, 196) ∈ daerah nilai g?

c) Apakah g surjektif?

d) Gambarlah daerah nilai g.

Jawab :

a) A=(3,0), g(A)=(3,9)

b) Jelas R∈V , dan R mempunyai prapeta yaitu P(−14,0) pada sumbu X

Jadi R∈ daerah nilai g

c) Ambil titik A'∈V , maka A' (a ,b ) dengan b=a2

Jelas terdapat A(a ,0) sehingga g (A )=A '

Jadi, g surjektif

d)

7. T : V → V, didefinisikan sebagai berikut : Apabila P(x,y) maka

i) T(P) = (x + 1, y), untuk x > 0

ii) T(P) = (x - 1, y), untuk x < 0

a) Apakah T injektif?

b) Apakah T suatu transformasi?

Jawab :

a) Ambil P(x1,y1) dan Q(x2,y2) sehingga P≠Q

Akan dibuktikan T (P )≠T (Q)

Karena P≠Q maka x1≠x2 atau y1≠ y2

Untuk x > 0

T(P) = (x1+1, y1)

T(Q) = (x2+1, y2)

Jelas x1≠x2⇒ x1+1≠x2+1 atau y1≠ y2

Sehingga T (P )≠T (Q)

Untuk x < 0

T(P) = (x1-1, y1)

T(Q) = (x2-1, y2)

Jelas x1≠x2⇒ x1−1≠x2−1 atau y1≠ y2

Sehingga T (P )≠T (Q)

b) Ambil P' ( 0 , y )

Andaikan terdapat P ( x , y )

Sehingga T (P )=P'

(0,0) P(x,0)

g(P)=(x,x2)

Kasus x≥0

Maka T (P )=( x+1 , y )=0

⇔x+1=0

⇔x=−1<0

Kontradiksi dengan pernyataan x≥0

Kasus x<0

Maka T (P )=( x−1 , y )=(0 , y )

⇔x−1=0

⇔x=1>0

Kontradiksi dengan pernyataan x<0

Jadi tidak terdapat P ( x , y )

Sehingga T (P )=P'

Dengan kata lain T tidak surjektif

Karena T tidak surjektif, maka T bukan transformasi

8. Diketahui sebuah garis S dan titik-titik A, B, C seperti dapat dilihat pada gambar di

bawah ini

A B

C

T : V V didefinisikan sebagai berikut :

i. Jika P ∈

S maka T(P) = P

ii. Jika P ∉

S maka T(P) = P’, sedemikian hingga garis S adalah sumbu ruas PP'

a) Lukislah A’ = T(A), B’ = T(B)

b) Lukislah prapeta titik C

c) Apakah T suatu transformasi ?

d) Buktikan bahwa A’B’ = AB

Jawab :a) dan b)

A

BA’

C

B’

C’

c) Akan diselidiki T surjektif

Dalam hal ini T surjektif jika ∀Y∈V

Terdapat X∈V sehingga Y=T (X)

Jika Y=S maka prapetanya adalah Y sendiri sebab T (Y )=Y

Jika Y ≠S maka terdapat dengan tunggal X sehingga XY ⊥ garis s dan s sumbu

ruas XY .

Jadi T ( X )=Y

Berarti ∀Y∈V ∃ x∈V∋Y=T (X )

Jadi T surjektif

Akan diselidiki apakah T injektif

Ambil P ,Q∈V dengan P≠Q.

Jika P ,Q∈ s maka T(P)=P dan T(Q)=Q

Sehingga T (P)≠T (Q)

Jika P ,Q∉ s akan diselidiki kedudukan T(P) dan T(Q)

Andaikan T(P) = T(Q)

Menurut definisi T (P )=P' sehingga s adalah sumbu ruas garis PP' dengan

demikian s⊥P P'

Kemudian T (Q )=Q' sehingga s adalah sumbu ruas garis QQ' dengan demikian

s⊥QQ'

Karena P'=Q ' dan dari satu titik di luar s hanya dapat ditarik satu garis yang

tegak lurus s maka PP' dan QQ' berimpit, akibatnhya P=Q

Ini suatu kontradiksi dengan pernyataan P≠Q

Jadi harusnya T (P)≠T (Q)

Artinya T injektif

Karena T surjektif dan T injektif maka T transformasi

d) Akan dibuktikan A’B’=AB

A B

A’

B’

Akan dibuktikan bahwa A' B'=AB

Misal D titik potong garis s dengan ruas garis A ' A dan E titik potong garis s

dengan ruas garis B ' B

Perhatikan ∆ A ' DE dan ∆ ADE

A' D=AD (menurut definisi s adalah sumbu A ' A sehingga D tengah-tengah

A ' A)

m (∠A ' DE )=m (∠ ADE )=900 (karena s sumbu A ' A maka s⊥ A ' A)

DE=DE (berimpit)

Maka menurut teorema sisi-sudut-sisi ∆ A ' DE ≅∆ ADE

Akibatnya A' E=AE dan m (∠A ' ED )=m (∠ AED )

Perhatikan ∆ A ' B ' E dan ∆ ABE

A' E=AE (diketahui) …1)

D

E

B' E=BE (menurut definisi s adalah sumbu B ' B sehingga E tengah-tengah

B ' B)

…2)

m (∠B ' ED )=m (∠BED )=900 (karena s sumbu B ' B maka s⊥B ' B)

m (∠B ' EA )=m (∠B ' ED )−m (∠A ' ED )

m (∠BEA )=m (∠BED )−m (∠ AED )=m (∠B ' ED )−m (∠ A ' ED )

Berakibat m (∠B ' EA )=m (∠BEA ) …3)

Dari 1), 2) dan 3) maka menurut teorema sudut-sisi-sudut ∆ A ' B ' E≅∆ ABE

Akibatnya A' B'=AB