garis dan kurva dalam ruang dimensi tiga
TRANSCRIPT
GARIS DAN KURVA DALAM RUANG DIMENSI TIGA
Sebuah kurva dalam ruang dimensi tiga ditentukan oleh tiga parameter:x=f ( t ) , y=g( t ) , z=h( t ) , t∈ I
Dalam bahasa vektor, kurva dinyatakan dengan cara memberikan vektor posisi r=r ( t )dari suatu titik P=P ( t ), yakni:
r=r ( t )= ⟨ f ( t ), g( t ) , h( t )⟩= f ( t )i + g ( t ) j + h( t )k
Garis. Garis ditentukan oleh suatu titik tetap Po dan suatu vektor v= ai + bj + ck . Dimana Po P
sejajar dengan v sehingga. Po P = tv
Dimana t adalah bilang riil. Jika, r=OPdan ro=OPo maka
Po P = r−ro= tvr = r o + tv
Jika aplikasikan pada parameter umum sebuah kurva seperti di atas, maka:x= x0 + at , y= y0 + bt , z= z0 + ct
Artinya, parameter di atas menunjukan sebuah garis yang melalui titik (x0 , y0 , z0 ) dan sejajar dengan vektor posisi v=⟨a , b , c ⟩ . Dimana a, b dan c disebut sebagai bilang arah.
Jika parameter t kita pecahkan, maka akan kita peroleh suatu persamaan simetri:
\x−x0
a=
y− y0
b=
z−z0
c14.5 Kecepatan, Percepatan, dan Kelengkungan
KELENGKUNGAN
Seperti yang telah diketahui bahwa v (t )=r ' (t ) merupakan suatu vektor arah yang sama
dengan garis singgung pada kurva P(t ).
Sehingga
T=T (t )= v (t)|v (t)|
Dimana T merupakan sebuah vektor singgung satuan pada P(t).
Menurut aturan rantai
d Tds
=d Tdt
÷dtds
=T ' ( t )|v ( t )|
Dan untuk kelengkungan dalam ruang dapat dituliskan
κ=κ ( t )=|d Tds |=|T '( t)|
|v (t)|
◙ Contoh 4 (Kelengkungan)
Tentukan kelengkungan heliks melingkar.
r ( t )=acos ti+a sin tj+ct k
Penyelesaian:
r ' ( t )=v ( t )=−a sin ti+a cos tj+ck
T ( t )=v (t )|v ( t )|
=−a sin ti+acos tj+ck
√(−a sin t )2+(acos t )2+( c )2
14.5 Kecepatan, Percepatan, dan Kelengkungan
CONTOH 1
Cari panjang busur dari heliks melingkar untuk0 ≤ t ≤ 2π .
Penyelesaian
r ( t )=acos t i+a sin t j+ct k
s=∫a
t
|r ' ( t )|
s=∫0
2π
√¿¿¿¿
¿∫0
2 π
√a2+c2 dt
¿ [√a2+c2 ]02 π
¿2 π √a2+c2
=−a sin ti+a cos tj+ck
√a2(sin2 t+cos2 t )+c2
¿−a sin ti+a cos tj+ck
√a2+c2
κ ( t )=|T '( t )||v ( t )|
= 1a2+c2
|−a cos ti−a sin tj|= aa2+c2
Jadi, κ berupa konstanta untuk heliks melingkar.