garis dan kurva dalam ruang dimensi tiga

3

Click here to load reader

Upload: yuda-pratama

Post on 28-Jun-2015

792 views

Category:

Documents


60 download

TRANSCRIPT

Page 1: GARIS DAN KURVA DALAM RUANG DIMENSI TIGA

GARIS DAN KURVA DALAM RUANG DIMENSI TIGA

Sebuah kurva dalam ruang dimensi tiga ditentukan oleh tiga parameter:x=f ( t ) , y=g( t ) , z=h( t ) , t∈ I

Dalam bahasa vektor, kurva dinyatakan dengan cara memberikan vektor posisi r=r ( t )dari suatu titik P=P ( t ), yakni:

r=r ( t )= ⟨ f ( t ), g( t ) , h( t )⟩= f ( t )i + g ( t ) j + h( t )k

Garis. Garis ditentukan oleh suatu titik tetap Po dan suatu vektor v= ai + bj + ck . Dimana Po P

sejajar dengan v sehingga. Po P = tv

Dimana t adalah bilang riil. Jika, r=OPdan ro=OPo maka

Po P = r−ro= tvr = r o + tv

Jika aplikasikan pada parameter umum sebuah kurva seperti di atas, maka:x= x0 + at , y= y0 + bt , z= z0 + ct

Artinya, parameter di atas menunjukan sebuah garis yang melalui titik (x0 , y0 , z0 ) dan sejajar dengan vektor posisi v=⟨a , b , c ⟩ . Dimana a, b dan c disebut sebagai bilang arah.

Jika parameter t kita pecahkan, maka akan kita peroleh suatu persamaan simetri:

\x−x0

a=

y− y0

b=

z−z0

c14.5 Kecepatan, Percepatan, dan Kelengkungan

KELENGKUNGAN

Seperti yang telah diketahui bahwa v (t )=r ' (t ) merupakan suatu vektor arah yang sama

dengan garis singgung pada kurva P(t ).

Sehingga

T=T (t )= v (t)|v (t)|

Dimana T merupakan sebuah vektor singgung satuan pada P(t).

Menurut aturan rantai

Page 2: GARIS DAN KURVA DALAM RUANG DIMENSI TIGA

d Tds

=d Tdt

÷dtds

=T ' ( t )|v ( t )|

Dan untuk kelengkungan dalam ruang dapat dituliskan

κ=κ ( t )=|d Tds |=|T '( t)|

|v (t)|

◙ Contoh 4 (Kelengkungan)

Tentukan kelengkungan heliks melingkar.

r ( t )=acos ti+a sin tj+ct k

Penyelesaian:

r ' ( t )=v ( t )=−a sin ti+a cos tj+ck

T ( t )=v (t )|v ( t )|

=−a sin ti+acos tj+ck

√(−a sin t )2+(acos t )2+( c )2

14.5 Kecepatan, Percepatan, dan Kelengkungan

CONTOH 1

Cari panjang busur dari heliks melingkar untuk0 ≤ t ≤ 2π .

Penyelesaian

r ( t )=acos t i+a sin t j+ct k

s=∫a

t

|r ' ( t )|

s=∫0

√¿¿¿¿

¿∫0

2 π

√a2+c2 dt

¿ [√a2+c2 ]02 π

¿2 π √a2+c2

Page 3: GARIS DAN KURVA DALAM RUANG DIMENSI TIGA

=−a sin ti+a cos tj+ck

√a2(sin2 t+cos2 t )+c2

¿−a sin ti+a cos tj+ck

√a2+c2

κ ( t )=|T '( t )||v ( t )|

= 1a2+c2

|−a cos ti−a sin tj|= aa2+c2

Jadi, κ berupa konstanta untuk heliks melingkar.