dengan kurva dan permukaan berbantu...

GEOMETRI RANCANG BANGUN

STUDI TENTANG DESAIN DAN PEMODELAN BENDA DENGAN KURVA DAN PERMUKAAN

BERBANTU KOMPUTER

Oleh:

Prof. Drs. Kusno, DEA, Ph.D

i

KATA PENGANTAR

Untuk melakukan kegiatan rancang bangun obyek (benda) dengan bantuan

komputer diperlukan tidak hanya kemampuan dan keterampilan bidang membangun

dimensi grafik, tetapi juga dalam hal melakukan analisa, evaluasi, dan pemilihan

formula guna mendapatkan efisiesi dan efektifitas proses realisasi benda. Sehubungan

dengan hal tersebut dan agar materi penyajian dalam buku ini mudah dipahami oleh

peserta didik, serta sesuai dengan tingkat perkembangan mahasiswa (pemula, tingkat

S1 atau S2), maka substansi materi buku ini dibagi ke dalam tiga bagian pokok

bahasan besar berikut.

Pertama, dibahas tentang studi geometri analitik dan sitem penyajian grafik

pada komputer. Tujuannya adalah untuk mendapatkan kemampuan dan ketrampilan

dalam pengaturan ruang grafik guna penyajian/visualisasi benda (baik bersifat statis

ataupun dinamis). Materi yang didiskusikan antara lain mengenai sistem koordinat,

hitung vektor, formulasi analitik klasik benda-benda standar bidang maupun ruang.

Dilanjutkan pembahasan tentang operasi transformasi titik dan koordinat homogen

yang kemudian kita manfaatkan untuk studi proyeksi dan sitem koordinat observator

dalam penyajian grafik berbantu komputer.

Kedua, dibahas tentang rancang bangun benda dengan kurva dan permukaan

berbantu komputer. Studi ini dimaksudkan untuk mendapatkan kemampuan dan

ketrampilan menyajikan permukaan benda di komputer baik dengan formulasi tunggal

ataupun teknik penggabungan beberapa potongan permukaan (komponen benda).

Materi yang diperkenalkan antara lain mengenai sifat-sifat lokal kurva dan permukaan

natural, beberapa contoh kurva/permukaan di bidang Computer Aided Geometric

Design (rancang bangun geometrik berbantu komputer) dan pemodelan permukaan,

serta beberapa teknik untuk rancang bangun benda.

Ketiga, diperkenalkan beberapa contoh riset pemodelan benda-benda industri.

Tujuannya adalah untuk mendapatkan informasi praktis dan ketrampilan matematis di

dalam memecahkan permasalahan perancangan benda-benda industri berbantu

komputer. Materi yang didiskusikan antara lain tentang pemodelan permukaan pelat,

benda putar, tabung evolutif, dan desain benda untuk ornamen bangunan.

Buku ini dimaksudkan untuk membantu pengkayaan referensi (materi ajar)

bagi para mahasiswa yang sedang belajar tentang perancangan dan visualisasi benda

berbantu komputer (mahasiswa Jurusan Matematika, Pendidikan Matematika,

Informatika, dan Teknik) serta para praktisi dan peminat rancang bangun benda

menggunakan komputer. Agar mahasiswa mendapatkan gambaran real implementasi

praktis teori yang telah dipelajari, dalam buku ini dilengkapi juga beberapa contoh

gambar benda hasil programasi software Pascal, Maple, dan Mathematica.

ii

Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah

mendukung dapat terbitnya buku ini, khususnya kolega saya Saudara Bagus Julianto

yang dengan tekun membantu proses editing sehingga penyajian buku ini menjadi

lebih baik.

Jember, Nopember 2009

Prof. Drs. Kusno, DEA, Ph.D

iii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ........................................................................................ i

DAFTAR ISI ....................................................................................................... iii

BAGIAN I

STUDI GEOMETRI ANALITIK

DAN SISTEM PENYAJIAN GRAFIK PADA KOMPUTER

BAB 1 BEBERAPA BENTUK SISTEM KOORDINAT .............................. 1

1.1 Koordinat Cartesius Bidang dan Ruang ........................................... 1

1.2 Koordinat Polar, Tabung, dan Bola ................................................ 2

1.3 Koordinat Titik pada Segmen Garis ................................................ 3

BAB 2 ALJABAR VEKTOR .............................................................................. 7

2.1 Komponen-komponen Vektor ......................................................... 8

2.2 Sifat-sifat Pejumlahan Vektor dan Perkalian Skalar ........................ 10

2.3 Perkalian Skalar, Vektor, dan Skalar Tripel .................................... 11

2.3.1 Perkalian Skalar ...................................................................... 11

2.3.2 Perkalian Vektor ..................................................................... 15

2.3.3 Perkalian Skalar Tripel ........................................................... 20

BAB 3 PENYAJIAN GARIS DAN SEGMEN GARIS DI BIDANG ............................... 23

3.1 Persamaan Parametrik dan Persamaan Umum Garis ....................... 23

3.2 Normal Garis, Relasi Dua Garis, dan Berkas Garis ......................... 26

3.3 Persamaan Normal Garis (Persamaan Hess) .................................... 31

3.4 Segmen Garis dan Jarak Titik terhadap Garis .................................. 34

3.5 Persamaan Kutub Garis ................................................................... 37

BAB 4 BENDA KUADRATIS BIDANG ........................................................ 41

4.1 Lingkaran ......................................................................................... 41

4.2 Elips ................................................................................................. 47

4.3 Hiperbola ......................................................................................... 56

4.4 Parabola ........................................................................................... 63

iv

BAB 5 PENYAJIAN BIDANG DAN GARIS DI RUANG .......................................... 69

5.1 Kosinus Arah ................................................................................... 69

5.2 Persamaan Umum Bidang ............................................................... 70

5.3 Persamaan Normal Bidang (Persamaan Hess) ................................. 75

5.4 Persamaan Garis .............................................................................. 78

5.5 Relasi dan Interseksi antara Titik, Garis, dan Bidang ...................... 81

BAB 6 BENDA KUADRATIS RUANG .................................................................. 93

6.1 Bola .................................................................................................. 93

6.2 Elipsoida .......................................................................................... 99

6.3 Hiperboloida .................................................................................... 103

6.3.1 Hiperboloida Daun Satu ......................................................... 103

6.3.2 Hiperboloida Daun Dua .......................................................... 107

6.4 Paraboloida ...................................................................................... 108

BAB 7 PERMUKAAN PUTAR DAN GARIS ......................................................... 113

7.1 Permukaan Putar ............................................................................. 113

7.2 Permukaan Garis .............................................................................. 122

BAB 8 SILINDER DAN KERUCUT ............................................................... 125

8.1 Silinder ............................................................................................. 125

8.2 Kerucut ............................................................................................ 128

BAB 9 TRANSFORMASI TITIK DAN KOORDINAT HOMOGEN .......... 133

9.1 Transformasi Titik ............................................................................. 133

9.1.1 Transformasi Titik di R2 ..................................................... 133

9.1.2 Transformasi Titik di R3 ..................................................... 144

9.2 Koordinat Homogen ........................................................................ 148

BAB 10 PROYEKSI DAN SISTEM KOORDINAT OBSERVATOR .............................. 151

10.1 Proyeksi Perspektif ........................................................................ 151

10.2 Proyeksi Paralel ............................................................................. 154

10.3 Sistem Koordinat Observator dan Proyeksi ke Monitor ................ 159

v

BAGIAN II

RANCANG BANGUN BENDA

DENGAN KURVA DAN PERMUKAAN BERBANTU KOMPUTER

BAB 11 SIFAT-SIFAT LOKAL KURVA DAN PERMUKAAN

NATURAL ........................................................................................... 165

11.1 Sifat-sifat Lokal Kurva .................................................................. 165

11.2 Sifat-sifat Lokal Permukaan ......................................................... 166

11.3 Tipe-tipe Titik di Permukaan dan Permukaan Pelat Natural ......... 173

BAB 12 KURVA DAN PERMUKAAN DALAM COMPUTER AIDED GEOMETRIC DESIGN ......................................................................... 175

12.1 Penyajian Bentuk Aljabar dan Geometri ....................................... 175

12.2 Kurva dan Permukaan Bezier ........................................................ 177

12.3 Kurva dan Permukaan B-Splin ...................................................... 181

12.4 Beberapa Contoh Formula Parametrik Kurva

dan Permukaan .............................................................................. 183

BAB 13 BEBERAPA CONTOH PEMODELAN PERMUKAAN ................. 189

13.1 Permukaan Putar Tegak dan Miring Bezier ................................... 189

13.2 Permukaan Geser Bezier ................................................................ 192

13.3 Permukaan Putar Terdefinisi dari Kurva Kondisi Batas ................ 195

13.4 Silinder Dibatasi Bidang Bujur Sangkar ........................................ 199

13.5 Silinder Tegak Lurus Bidang Bujursangkar .................................. 202

13.6 Silinder Terbatas Dua Bidang Berpotongan .................................. 203

13.7 Silinder Terbatas Dua Bidang Sejajar ............................................. 205

BAB 14 BEBERAPA TEKNIK RANCANG BANGUN BENDA .................. 207

14.1 Teknik Penggabungan Kurva dan Permukaan ............................... 207

14.2 Teknik Interpolasi Linier Dua Kurva ............................................. 209

14.3 Teknik Interseksi ............................................................................. 210

14.4 Teknik Konstruksi Permukaan Pipa Evolutif dan

Benda Putar ................................................................................... 211

14.5 Teknik Konstruksi Kurva dan Permukaan Paralel ......................... 213

14.6 Optimasi Rancang Bangun Obyek ................................................. 215

vi

BAGIAN III

BEBERAPA CONTOH RISET

PEMODELAN BENDA-BENDA INDUSTRI

BAB 15 PEMODELAN PERMUKAAN PELAT ............................................ 217

15.1 Permukaan Pelat Bezier Reguler Terdukung Dua Bidang

Sejajar ............................................................................................ 217

15.2 Keping Pelat Bezier Kurva Batas Derajat [n,n+k] ......................... 219

15.3 Pembeberan Permukaan Pelat ........................................................ 224

BAB 16 PEMODELAN BENDA PUTAR ....................................................... 233

16.1 Modifikasi Bentuk Kurva dan Permukaan Putar Kuadratik

Bezier ............................................................................................ 233

16.2 Modifikasi Bentuk Kurva dan Permukaan Putar Kubik

Bezier ............................................................................................ 235

16.3 Penggabungan Dua Permukaan Putar Bezier ................................. 238

16.4 Modifikasi Kontinyu Gabungan Permukaan Putar Bezier ............. 242

16.5 Contoh Desain Prototype Benda Onyx dan Marmer ..................... 244

BAB 17 PEMODELAN TABUNG/PIPA EVOLUTIF .................................... 245

17.1 Tabung Evolutif Terdefinisi dari Kurva Bezier dan Natural ......... 245

17.2 Tabung Evolutif Terdefinisi dari Kurva Kondisi Batas ................. 251

17.3 Kondisi Kontinyu Penggabungan Dua Tabung Evolutif ............... 253

BAB 18 DESAIN BENDA ORNAMEN BANGUNAN .................................... 259

18.1 Konstruksi Bangun-bangun Dasar Benda Ornamen

Bangunan ....................................................................................... 259

18.2 Transformasi Bentuk Poligon, Kurva, dan Permukaan .................. 267

DAFTAR BUKU BACAAN DAN PUSTAKA ........................................................... 269

DAFTAR INDEKS ............................................................................................ 273

BAGIAN I

STUDI GEOMETRI ANALITIK

DAN SISTEM PENYAJIAN GRAFIK PADA KOMPUTER

BAB 1

BEBERAPA BENTUK

SISTEM KOORDINAT

Dalam penyajian grafik ataupun desain objek (benda) berbantu

komputer, sering diperlukan beragam bentuk sistem koordinat. Hal ini ada

beberapa alasan berikut. Pertama, setiap sistem koordinat dipandang memiliki

kelebihan dan kekurangan tertentu sehubungan dengan keperluan pemodelan

bentuk, perhitungan tentang perbandingan ukuran benda terhadap model

penyajiannya di komputer, maupun dalam hal perumusan matematik yang

dipilih guna karakterisasi sifat-sifat obyek yang akan disajikan dalam grafik,

misalnya berkenaan dengan kompleksitas, kesetimbangan, ataupun kesimetrian

benda. Kedua, dapat terjadi sebelum membangun obyek, data geometris benda

yang berupa titik perlu dilakukan sorting terlebih dahulu agar dalam proses

konstruksi obyek mudah dilaksanakan. Dengan kata lain, untuk tujuan ini dan

efisiensi operasi sorting, maka diperlukan pemilihan penyajian titik dalam

koordinat tertentu agar prosedur sorting-nya sederhana. Ketiga, agar dalam

perlakuan dan perhitungan operasi pergerakan komponen benda mudah dan

langsung dilakukan, sering kita manfaatkan acuan koordinat lokalnya daripada

koordinat global benda. Dari beberapa alasan tersebut, berikut kita daftarkan

beberapa sistem koordinat yang banyak digunakan dalam desain grafik (benda)

di dimensi dua ataupun dimensi tiga, yaitu koordinat Cartesius, polar,

koordinat tabung, dan bola.

1.1 Koordinat Cartesius Bidang dan Ruang

Koordinat Cartesius (Kartesian) bidang dibangun oleh dua garis berpotongan di satu titik dan untuk ruang, dibangun oleh tiga garis yang tidak sebidang berpotongan di satu titik. Titik-titik potong ini selanjutnya disebut sebagai titik awal dan garisnya disebut sebagai sumbu-sumbu koordinat. Dalam hal khusus, koordinat Cartesius tegak lurus di bidang didefinisikan oleh dua sumbu (masing-masing sumbu datar XX’ sebagai absis dan sumbu tegak YY’ sebagai ordinat) berpotongan secara tegaklurus di titik awal O. Di ruang, jumlah sumbu-sumbu potong di O, kita tambah satu lagi, yaitu ZZ’ tegaklurus terhadap bidang XOY. Dengan demikian dalam sistem koordinat Cartesius ruang, jika ketiga sumbu diambil sepasang-sepasang, menentukan tiga buah bidang XOY, XOZ dan YOZ masing-masing disebut bidang-bidang koordinat

Beberapa bentuk system koordinat

2

tegaklurus. Bidang-bidang ini membagi ruang menjadi delapan bagian ruangan (oktan).

Untuk menyatakan terhadap sebarang titik P di bidang Cartesius, digunakan notasi P(x,y) dan di ruang dinyatakan oleh P(x,y,z) dengan x, y dan z berupa bilangan real (Gambar 1.1). Sebaliknya, jika diketahui pasangan bilangan-bilangan real (x,y) atau tripel (x,y,z), maka kita dapat menentukan titik P unik (tunggal) yang koordinatnya x dan y di bidang dan x, y dan z di ruang.

Gambar 1.1 Koordinat Cartesius

1.2 Koordinat Polar, Tabung, dan Bola

Penyajian titik P(x,y) dari koordinat Cartesius di R2 dapat dinyatakan

dalam sistem koordinat polar P(,) dengan pusat polar (kutub) O, panjang

jari-jari dan bersudut polar berlawanan arah jarum jam terhadap OX dengan

relasi (Gambar 1.2a)

x = cos ; y = sin . (1.1)

Seperti pada sistem koordinat polar, penyajian titik P(x,y,z) di ruang,

dapat dinyatakan dengan koordinat tabung melalui relasi (Gambar 1.2b)

x = cos ; y = sin ; z = z. (1.2)

Sedangkan penyajian titik P(x,y,z) dalam koordinat Cartesius, bila dinyatakan

dengan koordinat bola, diperlukan relasi-relasi (Gambar 1.2c) berikut

x = sin cos ; y = sin sin ; z = cos . (1.3)

Y Z

O X X

Y O

P(x,y) P(x,y,z)

x

y

x

y

z

Bagian I

3

Gambar 1.2 Koordinat Polar, Tabung dan Bola

1.3 Koordinat Titik pada Segmen Garis

Misalkan segmen garis PQ didefinisikan oleh titik P(x1,y1) dan

Q(x2,y2) di bidang. Kita cari koordinat titik R(x,y)PQ atas perbandingan m :

n terhadap titik ujung-titik ujung P dan Q.

(a) (b)

Gambar 1.3 Titik R diantara titik P dan Q

Pada Gambar 1.3a, SRP RQT sehingga berlaku

(a) (b) (c)

X

Y

P(x,y) =

(,)

P(x,y,z

)

O

P(x,y,z

)

X X

Y Y

Z Z

O O

X

Y

O

X

Y

Z

O

P R

Q

S T m n

P

R

Q

T S

m

n

U V W


4

yy

yy

QT

SP

n

m

2

1 atau nm

nymyy

12 . (1.3)

Dengan cara yang sama untuk x, maka didapatkan hubungan

nm

nxmxx

xx

xx

n

m

12

2

1 atau . (1.4)

Jika segmen garis PQ didefinisikan oleh titik P(x1,y1,z1) dan

Q(x2,y2,z2) di ruang, maka koordinat titik R(x,y,z)PQ atas perbandingan m : n

terhadap titik ujung-titik ujung P dan Q dapat ditentukan sebagai berikut. Pada

Gambar 1.3b, SRP RQT sehingga berlaku hubungan

nm

nzmzz

zz

zz

QT

SP

n

m

12

2

1 atau . (1.5)

Dengan cara yang sama untuk x dan y, maka didapatkan hubungan

nm

nxmxx

xx

xx

n

m

12

2

1 atau (1.6)

nm

nymyy

yy

yy

n

m

12

2

1 atau . (1.7)

Jika R merupakan titik tengah dari PQ , yaitu m : n = 1:1, maka

koordinat titik R dapat dinyatakan sebagai

R(2

12xx

,2

12yy

,2

12zz

). (1.8)

Secara umum, jika perbandingan m:n bernilai sebarang real k -1, maka posisi

R dapat terletak mungkin diantara PQ atau diperpanjangannya dan koordinat R

berbentuk

Bagian I

5

R(k

xkx

1

12 ,k

yky

1

12 ,k

zkz

1

12 ). (1.9)

Oleh karenanya terdapat beberapa kemungkinan untuk nilai k berikut:

a). jika k > 0, maka R diantara PQ ;

b). jika -1<k<0, maka R pada perpanjangan QP ;

c). jika k = -1, maka menunjukkan titik di tak terhingga;

d). jika k < -1, maka R pada perpanjangan PQ .


6

BAB 2

ALJABAR VEKTOR

Hitung vektor merupakan topik penting dalam rancang bangun

geometri, karena baik dalam penjajian data maupun operasi geometrik benda

(refleksi, translasi, rotasi, dilatasi) dan hitung interseksi, penggabungan

ataupun mencari kedudukan benda di ruang, maka penyajian ke dalam bentuk

vektor sangat mendukung pada efisiensi penggunaan memori maupun

efektivitas komputasi. Untuk itu sebelum membahas pemodelan benda, perlu

terlebih dahulu kita lakukan studi tentang aljabar vektor berikut.

Suatu segmen garis berarah disebut vektor. Panjangnya (besarnya)

disebut panjang vektor dan arahnya disebut arah vektor. Kita nyatakan vektor

dengan huruf kecil tebal, misalnya a, b, v, w dan x, sedangkan panjangnya

(norm Euclid) dinyatakan dengan . atau ., misalnya panjang dari vektor a

dan b masing-masing dinyatakan dengan a dan b. Dalam membahas vektor,

kita nyatakan bilangan real sebagai skalar dan dinotasikan dengan huruf kecil

biasa, misalkan a, k, v dan w.

Jika suatu vektor a pangkalnya adalah titik A dan ujungnya titik B,

maka dinotasikan dengan a = AB . Karena vektor-vektor ditentukan oleh arah

dan panjangnya, maka dua vektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya

sama walaupun vektor-vektor tersebut diletakkan pada kedudukan yang

berbeda-beda. Vektor-vektor mempunyai panjang sama dan arah sama disebut

ekivalen. Suatu vektor panjangnya 1 (satu) disebut vektor satuan dan vektor nol

0 adalah vektor yang panjangnya nol dan arahnya sejajar terhadap semua

vektor.

(a). Vektor a = b (b). Dua vektor besarnya sama (c). Dua vektor

tetapi arahnya berbeda arahnya sama

tetapi panjang-

nya berbeda

a

b a

a b b

Bagian I

7

(d). Vektor-vektor yang ekivalen. (e). Dua vektor yang

besar

dan arahnya berbeda.

Gambar 2.1 Kesamaan vektor

2.1 Komponen-komponen Vektor

Pada koordinat Cartesius tegak lurus bidang [O,X,Y] lekatkan vektor-

vektor satuan i dan j masing-masing berimpit dengan sumbu OX dan OY

sehingga terbangun ruang vektor ortonormal [O, i, j] yang melekat pada

sistem [O,X,Y] seperti pada Gambar 2.2a. Misalkan v sebarang vektor pada

bidang dan anggaplah v ditempatkan sehingga pangkalnya berimpit dengan

titik awal O. Koordinat (v1,v2) dari titik ujung vektor v disebut komponen-

komponen dari v dan vektor v dinotasikan dengan

v = <v1,v2> = v1 i + v2 j. (2.1a)

Untuk selanjutnya, jika diketahui sebarang titik V dengan koordinat (v1,v2),

maka vektor v dengan pangkal titik awal O dan ujungnya di (v1,v2), disebut

sebagai vektor posisi dari titik V tersebut.

(a) (b)

Gambar 2.2 Komponen-komponen vektor

a b a

b c d

V(v1,v2)

X

Y

i j O

v

v2

v1

Y

X i j O x1 x2

y1

y2

A(x1,y1)

B(x2,y2)

a

a1

a2


8

Jika dua vektor v dan w diketahui ekivalen, maka bila titik-titik pangkal

kedua vektor tersebut ditempatkan pada titik awal koordinat, didapatkan kedua

ujungnya berimpit. Sebaliknya, jika kedua vektor memiliki komponen-

komponen sama, berarti mempunyai arah dan besar yang sama dan

konsekuensinya keduanya ekivalen. Kesimpulannya, dua vektor v = <v1,v2>

dan w = <w1,w2> adalah ekivalen jika dan hanya jika v1 = w1 dan v2 = w2.

Misalkan vektor a didefinisikan oleh segmen garis berarah AB dengan

koordinat titik A dan B masing-masing diketahui A(x1,y1) dan B(x2,y2) seperti

pada Gambar 2.2b. Komponen-komponen untuk vektor a adalah

a1 = x2 – x1 a2 = y2 – y1.

Sedangkan panjang dari vektor a, dapat ditentukan oleh teorema Phytagoras

sebagai

a = 2

2

2

1aa .

Seperti halnya penyajian vektor pada bidang, pada koordinat Cartesius

tegaklurus ruang [O,X,Y,Z] dapat kita lekatkan vektor-vektor satuan i, j dan k

masing-masing berimpit dengan sumbu OX, OY dan OZ sehingga terbangun

ruang vektor ortonormal [O, i, j, k] yang melekat pada sistem [O,X,Y,Z] seperti

pada Gambar 2.3. Sebarang vektor v pada ruang dengan pangkal berimpit titik

awal O, maka koordinat (v1,v2,v3) dari titik ujung vektor v disebut komponen-

komponen dari v dan vektor v selanjutnya dinotasikan sebagai

v = <v1,v2,v3> = v1i + v2j + v3k. (2.1b)

Gambar 2.3 Penyajian vektor di ruang

X

Y

Z

i j k

v

(v1,v2,v3)

O

Bagian I

9

2.2 Sifat-Sifat Pejumlahan Vektor dan Perkalian Skalar

Diketahui dua vektor a dan b. Tempatkan pangkal b pada titik ujung

vektor a, maka jumlah dari a dan b didefinisikan sebagai vektor c yang ditarik

dari pangkal a dan berakhir pada ujung titik vektor b (Gambar 2.4a).

Selanjutnya, ditulis dengan c = a + b.

(a) (b)

Gambar 2.4 Pejumlahan vektor

Jika vektor a = <a1,a2> dan b = <b1,b2>, maka komponen-komponen vektor c

= a + b = <c1,c2> didapatkan melalui (Gambar 2.4b)

c1 = a1 + b1 ; c2 = a2 + b2.

Dari definisi pejumlahan vektor tersebut, selanjutnya didapatkan sifat-

sifat pejumlahan vektor berikut

a). a + b = b + a ; (2.2)

b). (u + v) + w = u + (v + w);

c). a + 0 = 0 + a = a;

d). a + (-a) = 0.

dengan –a adalah vektor yang panjangnya a dan arahnya berlawanan dengan

a. Sedangkan untuk perkalian skalar, jika diketahui sebarang vektor a, b dan

skalar real m dan n, maka berlaku hubungan

a

b c

a

b c

X

Y

O a

1

a

2 b

1

b

2

c1

c2


1

0

a). m(a + b) = ma + mb; (2.3)

b). (m+n)a = ma + na;

c). m(na) = (mn)a;

d). 1a = a;

e). 0a = 0;

f). (-1) a = -a.

Dalam hal ini yang dimaksud dengan vektor ma adalah vektor yang

panjangnya ma dan arahnya jika a 0 dan m > 0, maka vektor ma searah

dengan vektor a. Sebaliknya, jika a 0 dan m < 0, maka arah vektor ma

berlawanan arah dengan vektor a.

2.3 Perkalian Skalar, Vektor, dan Skalar Tripel

2.3.1 Perkalian Skalar

Perkalian skalar dari dua vektor bidang a = <a1,a2> dan b = <b1,b2>

didefinisikan sebagai bilangan real

a.b = a1b1 + a2b2. (2.4)

Dalam hal a dan b merupakan vektor-vektor ruang a = <a1,a2,a3> dan b =

<b1,b2,b3>, didefinisikan

a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3. (2.5)

Dalam hal khusus, jika a = b, maka

a.a = a2. (2.6)

Selanjutnya kita daftarkan sifat-sifat dari perkalian titik untuk sebarang vektor-

vektor a, b, c dan skalar k berikut

a). a.b = b.a; (2.7)

b). a.(b+c) = a.b + a.c;

c). k(a.b) = (ka).b = a.(kb);

d). 0.a = 0.

Bagian I

11

Jika a dan b adalah vektor tidak nol, maka dapat dirumuskan

a .b = a b cos

dengan adalah sudut yang dibangun antara a dan b dan 0 . Untuk

menurunkan rumus ini, kita gunakan rumus kosinus berikut (Gambar 2.5)

a - b2 = a2 + b2 - 2 a b cos . (2.8)

Gambar 2.5 Rumus kosinus

Dengan sifat (2.6) dari perkalian skalar, diperoleh hubungan

a – b2 = (a - b) . (a - b) (2.9)

= a . (a - b) - b . (a - b)

= a.a - a.b - b.a + b.b

= a2 + b2 - 2 a. b.

Dari persamaan (2.8) dan (2.9), maka dapat disimpulkan

a .b = a b cos.

Misalkan b suatu vektor tidak nol, maka proyeksi skalar dari vektor a

terhadap b, dinotasikan Pb(a), adalah suatu skalar (Gambar 2.6a)

Pb(a) = (a.b)/b

(2.10)

= (a b cos)/b

a b

a – b


1

2

= a cos

dengan adalah sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b. Sedangkan proyeksi

vektor dari dari vektor a terhadap b, yaitu Pb(a), adalah vektor Pb(a)ub dengan

ub suatu vektor satuan pada arah vektor b sehingga (Gambar 2.6b)

Pb(a) = Pb(a)ub (2.11)

= ((a.b)/ b) (b/ b)

= (a.b)b/b2

atau

Pb(a) = (a cos) ub.

Dua vektor a dan b dikatakan saling tegak lurus (ortogonal) jika dan hanya jika

a.b = 0.

(2.12)

(a). Proyeksi skalar (b). Proyeksi vektor

Gambar 2.6 Proyeksi vektor a terhadap vektor b

Contoh-contoh Hitung Perkalian Skalar dan Proyeksi

a). Misalkan a = <2,-1,1> dan b = <1,1,2>, carilah a.b dan sudut diantara a

dan b.

Penyelesaian:

a.b = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 3.

Kita dapatkan a = b = 6, maka

Cos = (a.b)/(a b) = 1/2.

Jadi = 60o.

a a

b b

Pb(a) Pb(a)

Bagian I

13

b). Nyatakan vektor a = <2,4,5> sebagai jumlah dari vektor b yang sejajar v =

<2,-1,-2> dan vektor c yang tegaklurus v.

Gambar 2.7 Kedudukan vektor a

Penyelesaian:

Dari Gambar 2.7, vektor b merupakan proyeksi vektor a pada v, sehingga

Pv(a) = b = (a Cos) (a/a)

b = (a.v)v/ v2

=

2,1,2

414

)2)(5()1)(4()2)(2(

= <-20/9, 10/9, 20/9>.

Oleh sebab itu c = a – b = <38/9, 26/9, 25/9>.

c). Carilah suatu sudut yang dibentuk oleh diagonal kubus terhadap rusuk-

rusuknya.

Gambar 2.8 Diagonal kubus

a

b

c

v

a

b

c

d

X

Y

Z

O


1

4

Penyelesaian:

Jika rusuk-rusuk kubus a = <k,0,0>, b = <0,k,0> dan c = <0,0,k>, maka

diagonalnya adalah d = <k,k,k>, sehingga berlaku

Cos = (a.d)/(ad) = 1/(3).

Jadi 54o 44’.

2.3.2 Perkalian Vektor

Pandanglah ruang vektor ortonormal [O,i,j,k] mengikuti sistem tangan

kanan seperti pada Gambar 2.9a. Misalkan vektor a dan b dinyatakan dengan

a = a1i + a2j + a3k dan vektor b = b1i + b2j + b3k. Perkalian vektor (perkalian

luar) dari a terhadap b didefinisikan

a x b = a b = (a2b3 – a3b2)i + (a3b1 – a1b3)j + (a1b2 – a2b1)k (2.13)

= <(a2b3 – a3b2), (a3b1 – a1b3), (a1b2 – a2b1)>.

(a) (b)

Gambar 2.9 Perkalian vektor

Untuk memudahkan perhitungan hasil kali vektor ini, kita gunakan

teknik hitung determinan matriks seperti dirumuskan berikut.

a). Hitung determinan untuk matriks order 2x2

i j

k

a

b

a x b = a b

Bagian I

15

.det bcaddc

ba

dc

ba

b). Hitung determinan untuk matriks order 3x3

.

det

21

21

3

31

31

2

32

32

1

321

321

321

321

321

321

cc

bba

cc

bba

cc

bba

ccc

bbb

aaa

ccc

bbb

aaa

Dengan demikian bentuk (2.13), dapat dinyatakan sebagai

a x b =

321

321

bbb

aaa

kji

= 32

32

bb

aai –

31

31

bb

aaj +

21

21

bb

aak. (2.14)

Sifat-sifat perkalian vektor

a). a x b = - (b x a); (2.15)

b). a x (b x c) (a x b) x c;

c). a x (b + c) = (a x b) + (a x c);

d). (ka) x b = k(a x b);

e). (a x b) a dan (a x b) b;

f). a x b = 0, jika dan hanya jika a dan b sejajar;

g). a x b2 = a2 b2 - a . b2.

Catatan: untuk membuktikan sifat (2.15g), ambil sebarang vektor a =

<a1,a2,a3> dan vektor b = <b1,b2,b3>, kemudian tunjukkan bahwa

hasil perkalian skalar a x b2 = (a x b).(a x b) sama dengan a2b2 - a

. b2 = (a.a)(b.b) – (a.b)(a.b).

Dari sifat (2.15g), didapat teorema


1

6

a x b = a bSin (2.16)

dengan sudut yang dibentuk antara vektor a dan b dan Sin 0 untuk 0

.

Bukti:

a x b2 = a2 b2 - a . b2

= a2 b2 - a2 b2 Cos2

= a2 b2 (1 – Cos2)

= a2 b2 Sin2.

Jadi a x b = a b Sin.

Contoh-contoh Hitung Perkalian Vektor

a). Jika a = 2i – 3j – k dan b = i + 4j – 2k , tentukan a x b.

Penyelesaian:

1). Cara pertama dengan menerapkan sifat (2.15c)

(2i – 3j – k) x (i + 4j – 2k) = (2i – 3j – k) x (i) + (2i – 3j – k) x (4j) +

(2i – 3j – k) x (-2k).

(2i – 3j – k) x (i + 4j – 2k) = (2i x i) – (3j x i) – (k x i) +

(2i x 4j) – (3j x 4j) – (k x 4j) +

(2i x -2k) – (3j x -2k) – (k x -2k)

= 0 + 3k – j + 8k + 0 + 4i + 4j + 6i + 0

= 10i + 3j + 11k.

2). Cara kedua dengan menerapkan formula (2.13) atau (2.14)

a x b = 241

132

kji

= 24

13

i – 21

12

j + 41

32 k

= 10i – 3j – 11k.

Bagian I

17

b). Tunjukkan bahwa luas dari jajaran genjang dengan sisi a dan b adalah a x

b.

Penyelesaian:

Gambar 2.10 Luas jajaran genjang

Luas jajaran genjang (L) adalah ukuran tinggi kali alasnya, yaitu

L = h b

= a Sin b

L = a x b

c). Tentukan luas segitiga yang didefinisikan oleh titik P(2,2,0), Q(-1,0,2) dan

R(0,4,3).

Penyelesaian:

Luas segitiga (L) adalah setengah kali dari luas jajaran genjang yang

ditentukan oleh vektor-vektor PQ = <-3,-2,2> dan PR = <-2,2,3>.

Gambar 2.11 Luas segitiga

a

b

h

P

Q R

X

Y

Z

O


1

8

Oleh karena itu dapat ditentukan luas PQR adalah

L = ½ PQ x PR = ½(15) = 7,5.

d). Tunjukkan teorema sinus untuk suatu segitiga (Gambar 2.12).

Penyelesaian:

Gambar 2.12 Teorema sinus

Misalkan a, b dan c suatu sisi-sisi segitiga ABC, maka a + b + c = 0.

Selanjutnya kalikan berturut-turut dengan perkalian vektor terhadap a, b

dan c, kita dapatkan hubungan

a x b = b x c = c x a

sehingga

ab Sin(a,b) = bc Sin(b,c) = ca Sin(c,a)

atau

[Sin(b,c)]/a = Sin(c,a)/b = [Sin(a,b)]/c.

2.3.3 Perkalian Skalar Tripel

Perkalian skalar tripel didefinisikan dengan a.bxc dan penulisan ini

dimaksudkan sebagai bentuk a.(b x c), yaitu perkalian skalar dari vektor a dan

vektor (b x c). Hasilnya dapat dirumuskan berikut ini. Jika

a = a1i + a2j + a3k = <a1,a2,a3> ,

b = b1i + b2j + b3k = <b1,b2,b3>,

c = c1i + c2j + c3k = <c1,c2,c3>,

maka

A

B C a

c b

Bagian I

19

a.bxc = (a1i + a2j + a3k) .

321

321

ccc

bbb

kji

.

a.bxc =

321

321

321

ccc

bbb

aaa

.

(2.17)

Dari sifat-sifat determinan untuk persamaan (2.17), didapat hubungan

a.bxc = c.axb = b.cxa.

a.bxc = – ( b.axc) = – (a.cxb) = – (c.bxa). (2.18)

Sifat-sifat skalar tripel:

a). a x (b x c) = (a . c)b – (a . b)c; (2.19)

b). (a x b) . (c x d) = (a.c)(b.d) – (a.d)(b.c);

c). (a x b) x (c x d) = (a.b x d)c – (a.b x c)d.

Contoh-contoh Hitung Skalar Tripel

a). Misalkan a = <1,2,-1>, b = <-1,1,0> dan c = <0,-1,2>. Hitung perkalian

skalar tripel dari a.bxc.

Penyelesaian:

a.bxc = 210

011

121

= (1)(2) – (2)(-2) + (-1)(1) = 5.

b). Tunjukkan bahwa a.bxc = axb.c.

Penyelesaian:

Misalkan a = <a1,a2,a3> , b = <b1,b2,b3> dan c = <c1,c2,c3>, maka


2

0

a.bxc =

321

321

321

ccc

bbb

aaa

= –

321

321

321

bbb

ccc

aaa

=

321

321

321

bbb

aaa

ccc

.

a.bxc = c.axb = axb.c.

c). Tunjukkan bahwa harga mutlak dari a.bxc sama dengan volume paralel

epipedum dengan rusuk-rusuk panjangnya vektor a, b dan c (Gambar 2.13).

Penyelesaian:

Gambar 2.13 Volume paralel epipedum

Misalkan n vektor satuan tegaklurus terhadap alas (jajaran genjang) dengan

arah sejajar b x c. Tinggi paralel epipedum diketahui h, ditentukan dari

ujung vektor a terhadap alas. Volume (V) dari paralel epipedum adalah

tinggi h kali luas alas L, yaitu

V = h L

= (a.n) (b x c).

= a.[b x c.n]

V = a.(bxc).

Jika a, b dan c tidak dalam sistem tangan kanan a.n < 0 dan volumenya =

a.(bxc).

a c

b

n h

Bagian I

21

BAB 3

PENYAJIAN GARIS DAN SEGMEN GARIS

DI BIDANG

Studi tentang garis atau segmen garis sangat penting dalam bidang geometri

rancang bangun mengingat dalam setiap pemodelan benda, diperlukan perhitungan

yang melibatkan konsep ukuran panjang dan jarak antar dua titik, kedudukan garis

simetri benda, ataupun gradien dan vektor arah. Oleh karena itu beberapa definisi

analitik garis perlu diperkenalkan guna dapatnya menyajikan bentuk garis tersebut

dalam grafik.

Tujuan studi dalam bab ini adalah untuk mendapatkan beberapa model

persamaan garis dalam bentuk vektor (parametrik), bentuk umum implisit, eksplisit

ataupun sifat-sifat yang terjadi diantara relasi dua garis. Selanjutnya kita pelajari

penyajian bentuk normal persamaan garis dan segmen garis. Terakhir, setelah

mendiskusikan tentang hitung jarak titik terhadap garis, kita bahas persamaan kutub

garis.

3.1 Persamaan Parametrik dan Persamaan Umum Garis

Dalam geometri aksiomatik disebutkan bahwa melalui dua titik berbeda di

bidang, maka tepat satu garis yang memuat dua titik tersebut. Selanjutnya, setiap garis

memuat sedikitnya dua titik berbeda. Melalui dua aksioma ini kita bangun persamaan

parametrik dan persamaan umum garis berikut (Gambar 3.1).

Gambar 3.1 Penyajian garis di bidang

X

Y

O i

j p

q r

P(x1,y1)

Q(x2,y2)

R(x,y) g


2

2

Misalkan garis g dan dua titik berbeda P(x1,y1) dan Q(x2,y2) di g, maka

sebarang titik R(x,y) sepanjang garis g dapat dinyatakan dalam relasi

)( OPOQtOPOR . Oleh sebab itu bentuk persamaan vektor garis g adalah

g r = p + t(q – p) (3.1)

atau

<x,y> = <x1,y1> + t <(x2 – x1),(y2 – y1)>

dengan t suatu skalar real. Bentuk (3.1) ini selanjutnya dapat kita sederhanakan

menjadi

x = x1 + t (x2 – x1) (3.2)

y = y1 + t (y2 – y1)

yang disebut sebagai bentuk persamaan parametrik garis g. Oleh karena itu

persamaan parametrik lengkap untuk garis g adalah

x(t) = x1 + t (x2 – x1)

y(t) = y1 + t (y2 – y1)

dengan - < t < + merupakan variabel parameter dari x dan y, yaitu fungsi-

fungsi skalar untuk vektor i dan j.

Jika dalam persamaan (3.2) harga t disubstitusikan dari satu kepada

yang lain kita dapatkan beberapa model persamaan garis berikut

12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

t (3.3)

atau

)()()(

)(11

12

12

1xxmxx

xx

yyyy

(3.4)

atau

0)()()()(112112 yyxxxxyy (3.5)

Bagian I

23

dengan m suatu gradien (kemiringan) garis g. Dari persamaan (3.5) ini kita

dapatkan persamaan umum garis g dalam bentuk implisit

0)()(

11 yybxxa

atau

0 cbyax (3.6)

dengan koefisien real a = (y2 – y1), b = – (x2 – x1) dan c = – (ax1 + by1). Dalam

hal ini harga a dan b tidak serentak nol. Dalam hal a = 0, didapat garis g sejajar

sumbu OX melalui titik (0, -c/b) dan jika b = 0, garis g sejajar sumbu OY

melalui titik (-c/a,0). Jika b tidak nol, maka dari (3.6) didapat persamaan

eksplisit garis berikut

y = mx + k (3.7)

dengan m = -a/b = (y2 – y1)/(x2 – x1) dan k = -c/b. Bentuk persamaan (3.7) ini

merupakan persamaan garis bergradien (berkemiringan) m dan memotong

sumbu OY di titik (0,k) dengan k suatu bilangan real. Jika k = 0, maka g melalui

titik awal O(0,0).

Secara umum koefisien m pada persamaan (3.7) adalah sama dengan

nilai tangen dari sudut yang dibentuk antara garis g dengan sumbu OX. Harga

negatif terjadi, bila didapatkan seperti pada Gambar 3.2b.

a) b)

Gambar 3.2 Gradien garis

X

Y

Y

X

P

P

Q

Q

O O

g

g


2

4

Misalkan g memotong sumbu-sumbu koordinat di titik A(a,0) dan titik

B(0,b) dengan a,b0, maka garis g dapat didefinisikan melalui titik A dan B

dengan mensubstitusikan koordinat kedua titik ini kedalam bentuk persamaan

(3.3). Dengan demikian didapat persamaan

1b

y

a

x. (3.8)

Persamaan ini selanjutnya disebut persamaan garis pemotong sumbu-sumbu

koordinat.

3.2 Normal Garis, Relasi Dua Garis, dan Berkas Garis

Misalkan garis g dalam bentuk persamaan umum ax + by + c = 0 dan

sebarang vektor n = <a,b>. Jika dua titik berbeda P(x1,y1) dan Q(x2,y2) terletak

pada g, maka berlaku

ax1 + by1 + c = 0

ax2 + by2 + c = 0.

Jadi didapat

a(x2 – x1) + b(y2 – y1) = 0.

Padahal vektor PQ yang segaris dengan g, berbentuk PQ = <(x2 – x1),(y2 –

y1)>. Oleh sebab itu persamaan a(x2 – x1) + b(y2 – y1) = 0 adalah bentuk

perkalian skalar dari

n . PQ = 0. (3.9)

Jadi setiap vektor n yang berbentuk n = <a,b> selalu tegaklurus terhadap garis

g dari bentuk umum ax + by + c = 0. Vektor normal n ini selanjutnya disebut

normal garis g dan dinotasikan dengan ng (Gambar 3.3).

Bagian I

25

Gambar 3.3 Normal garis

Pandanglah dua garis dalam bentuk umum

g1 a1x + b1y + c1 = 0

g2 a2x + b2y + c2 = 0,

maka normal garis g1 dan g2 masing-masing adalah

n1 = <a1,b1> dan n2 = <a2,b2>.

Jadi diantara dua garis g1 dan g2 dapat disimpulkan relasi dua garis berikut.

a). Garis g1 sejajar g2 jika kedua normalnya berkelipatan dari yang satu

terhadap yang lain, tetapi kedua persamaan bukan merupakan kelipatan

antar keduanya, yaitu

2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a atau

2

2

1

1

b

a

b

a atau m1 = m2 (3.10)

dengan m1 dan m2 masing-masing gradien dari garis g1 dan g2.

b). Garis g1 berimpit g2 jika kedua normalnya berkelipatan dari yang satu

terhadap yang lain dan kedua persamaan identik, yaitu

X

Y

O a

b

i

j

n

ng = <a,b>

P(x1,y1)

Q(x2,y2)

g


2

6

2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a . (3.11)

c). Garis g1 dan g2 saling berpotongan jika kedua normalnya bukan kelipatan

dari satu terhadap yang lain, yaitu

21

2

2

1

1

2

1

2

1 atauatau mmb

a

b

a

b

b

a

a . (3.12)

Dalam hal ini koordinat titik potong antara g1 dan g2 dapat ditentukan

melalui bentuk

2121

2121

2121

2121 danabba

caacy

abba

bccbx

; dengan 0

2121 abba . (3.13)

d). Garis g1 dan g2 saling tegaklurus jika perkalian skalar kedua normalnya

adalah nol, yaitu

1.atau1.atau021

2

2

1

1

2121 mm

b

a

b

abbaa . (3.14)

Tulislah dua garis g1 dan g2 berbentuk umum

g1 ax + by + c = 0

g2 a1x + b1y + c1 = 0

kedalam bentuk persamaan

1(ax + by + c) + 2(a1x + b1y + c1) = 0 (3.15)

dengan 1 dan 2 konstanta real. Bentuk persamaan (3.15) adalah linier, jadi

merupakan persamaan garis (berupa garis) dan disebut sebagai persamaan

berkas garis atau kipas garis. Karena setiap pasangan harga 1 dan 2 dalam -

<1,2< + menghasilkan garis, maka garisnya disebut anggota berkas.

Adapun untuk garis-garis g1 dan g2 selanjutnya disebut basis atau anggota dasar

berkas.

Bagian I

27

Contoh-contoh Penyajian dan Hitung Garis

a). Tentukan persamaan suatu garis dalam bentuk umum dan parametrik yang

dibangun melalui dua titik A(2,3) dan B(5,8).

Penyelesaian:

Dengan menggunakan persamaan (3.3), diperoleh persamaan umum garis

25

2

38

3

xy atau 5x – 3y – 1 = 0.

Sedangkan dari bentuk (3.2) memberikan bentuk parametrik

x(t) = 2 + 3t y(t) = 3 + 5t.

b). Tentukan persamaan eksplisit garis g melalui titik (2,3) dengan gradien

m = – 3.

Penyelesaian:

Dengan menggunakan persamaan (3.4) dengan

12

12

xx

yym

, yaitu

)( 11 xxmyy , kita dapatkan persamaan y – 3 = – 3(x – 2) atau y = –

3x + 9. Jadi persamaan eksplisit dari garis g adalah g y = – 3x + 9.

c). Misalkan dua garis dalam bentuk persamaan

g1 ax + by + c = 0

g2 a1x + b1y + c1 = 0.

Carilah sudut yang dibentuk oleh kedua garis tersebut (Gambar 3.4).

Gambar 3.4 Sudut merupakan sudut antara dua garis g1 dan g2

X

n

1

Y

O

n

2

n

1

n

2

g

1

g

2


2

8

Penyelesaian: Sudut diantara dua garis didefinisikan sebagai sudut terkecil yang dibentuk

oleh interseksi kedua garis (Gambar 3.4). Sudut ini sama dengan sudut yang

dibentuk oleh kedua vektor normal garis, yaitu vektor-vektor n1 = <a,b> dan

n2 = <a1,b1>. Dengan perkalian skalar kita dapatkan sudut yang dibentuk

oleh kedua vektor adalah

Cos = 2

1

2

1

22

11

baba

bbaa

.

Jadi = arc Cos(2

1

2

1

22

11

baba

bbaa

).

d). Tentukan persamaan garis lurus melalui titik (3,4) dan sejajar garis 6x – 2y

+ 3 = 0.

Penyelesaian:

Gradien garis 6x – 2y + 3 = 0 adalah m = 3. Oleh sebab itu persamaan garis

melalui titik (3,4) dan sejajar 6x – 2y + 3 = 0 adalah garis melalui titik (3,4)

dengan gradien m = 3, yaitu

(y – 4) = 3(x – 3) atau y = 3x – 5.

e). Misalkan dua garis berpotongan dalam bentuk persamaan

g1 ax + by + c = 0

g2 a1x + b1y + c1 = 0.

Carilah persamaan garis melalui titik (xo,yo) dan titik persekutuan dari garis

yang diketahui tersebut.

Penyelesaian:

Garis yang dinyatakan dalam bentuk

1(ax + by + c) + 2(a1x + b1y + c1) = 0

Bagian I

29

melalui titik interseksi dua garis yang diketahui tersebut. Karena garis ini

melalui titik (xo,yo), maka 1(axo + byo + c) + 2(a1xo + b1yo + c1) = 0. Hal

ini berarti untuk sebarang 1 dan 2 tidak serentak nol pada persamaan

tersebut, garis merupakan anggota berkas garis dan melalui titik (xo,yo).

Oleh sebab itu kita dapat memilih harga 1 = (a1xo + b1yo + c1) dan 2 = –

(axo + byo + c) sehingga didapatkan persamaan garis yang diminta dalam

bentuk

(a1xo + b1yo + c1) (ax + by + c) – (axo + byo + c)(a1x + b1y + c1) = 0.

f). Tentukan persamaan garis melalui titik potong garis-garis x + 2y = –2 dan x

+ y = –3 tegaklurus terhadap garis –3x + y = 1.

Penyelesaian:

Perpotongan garis x + 2y = –2 dan x + y = –3 adalah titik (– 4,1) dan

gradien untuk garis –3x + y = 1 adalah m = 3. Jadi garis yang dimaksud

bergradien m1.m = –1 atau m1 = –1/3 dan melalui (– 4,1), yaitu

y – 1 = –1/3 (x + 4) atau x + 3y + 1 = 0.

3.3 Persamaan Normal Garis (Persamaan Hess)

Misalkan n = <a,b> merupakan vektor normal garis g ax + by + c = 0,

yaitu ng, sehingga n = ng = <a,b>. Sedangkan pOP adalah jarak dari O

tehadap garis g dengan gOP dan vektor normal satuan nu dari garis g

adalah (Gambar 3.5)

nu = n/n

= ng/n

= Cos i + Sin j

nu = 22 ba

a

i +

22 ba

b

j. (3.16)


3

0

Jika M(x,y) sebarang titik sepanjang garis g, maka persamaan normal garis g

dapat didefinisikan melalui perkalian skalar terhadap nu menurut salah satu

kondisi berikut.

a). Harga nu . PM = 0.

<Cos ,Sin > . <(x – pCos) ,(y – pSin)> = 0.

Jadi Cos (x – pCos) + Sin (y – pSin) = x Cos + y Sin – p = 0.

b). Harga OP = p = OM . nu = OM . (OP

OP) = <x,y> . <

22 ba

a

,

22 ba

b

>.

Jadi p = <x,y> . <Cos ,Sin > = x Cos + y Sin.

Kesimpulannya, persamaan normal garis g adalah

x Cos + y Sin – p = 0 (3.17)

atau

22 ba

a

x +

22 ba

b

y – p = 0.

Gambar 3.5 Persamaan normal garis

Dari garis g yang dinyatakan dalam bentuk umum

g ax + by + c = 0

X

Y

O i

j n

u

n

n

u

n

g P

M(x,

y)

g ax + by +

c = 0

Bagian I

31

dan bentuk normal

g x Cos + y Sin – p = 0,

maka dapat disimpulkan secara umum beberapa hal berikut.

a). Berdasarkan persamaan (3.17), maka nilai perbandingan dari koefisien-

koefisien kedua persamaan garis adalah

22

1

bac

p

b

Sin

a

Cos

. (3.17a)

b). Dari (a), jarak dari O terhadap garis g adalah:

22 ba

cp

. (3.17b)

c). Dari (a), kosinus arah normal garis dinyatakan oleh

= 22 ba

aCos

atau =

22 ba

bSin

. (3.17c)

Contoh-contoh Hitung Persamaan Normal Garis

a). Tentukan persamaan garis yang dibangun melalui dua titik A(2,1) dan

B(5,5) dalam bentuk normal.

Penyelesaian:

Penyajian dalam bentuk umum dari garis melalui A(2,1) dan B(5,5) adalah

15

1

25

2

yx atau 4x – 3y – 5 = 0.

Dalam bentuk normal (3.17) diperoleh (4/5)x – 3/5y + 1 = 0.

b). Tentukan jarak titik awal O(0,0) terhadap garis hasil (a) tersebut.

Penyelesaian:

Dari bentuk (3.17b), jarak O terhadap garis adalah 22 ba

cp

= 1.


3

2

3.4 Segmen Garis dan Jarak Titik terhadap Garis

Penyajian segmen garis yang dibangun oleh dua titik berbeda A(x1,y1)

dan B(x2,y2) sebagai titik ujung-titik ujung segmen garis, dapat dinyatakan

sebagai tempat kedudukan titik-titik P(x,y) berikut (Gambar 3.6)

),(),(),x()1(

2211yxPyxBtyAt . (3.18)

dengan t [0,1] atau identik dalam bentuk parametrik

x(t) = (1 – t)x1 + t x2 (3.19)

y(t) = (1 – t)y1 + t y2

dengan 0 t 1.

Gambar 3.6 Penyajian segmen garis

Sedangkan jarak d dari titik A terhadap titik B adalah

2

12

2

12)()( yyxxABd . (3.20)

Proyeksi titik C(x,y) terhadap segmen garis AB , ditulis P(C, AB ) =

C’(x’,y’) didefinisikan sebagai proyeksi ortogonal dari titik C ke garis yang

didukung AB . Sedangkan jarak titik C(x,y) terhadap segmen garis AB , ditulis

d(C, AB ), didefinisikan sebagai (Gambar 3.7)

a). jika proyeksi P(C, AB ) terletak di AB , maka d(C, AB ) = d(C,P(C, AB )),

b). jika tidak (a), maka d(C, AB ) = min{d(C,A), d(C,B)}.

X O

Y

A(x1,y1)

B(x2,y2)

P(x,y) (1-t)

t

Bagian I

33

P(D, AB ) = D’ P(C, AB ) = C’

d(D, AB ) = d(D,A) d(C, AB ) = d(C,C’)

Gambar 3.7 Proyeksi dan jarak titik ke segmen garis

Sedangkan proyeksi titik P(x,y) ke garis g ax + by + c = 0, yaitu titik

P’(x’,y’), dapat ditentukan dengan cara:

a). menarik garis h melalui P secara tegaklurus terhadap g dalam persamaan

h y – yP = mh (x – xP) dengan mh = – (1/mg);

b). menghitung titik potong g dan h, sehingga diperoleh koordinat P’(x’,y’).

Adapun untuk mencari formulasi jarak d dari titik P(xo,yo) ke garis g ax + by

+ c = 0, dapat dihitung melalui prosedur berikut (Gambar 3.8).

a). Tulis garis g ax + by + c = 0 dalam bentuk normal Hess dengan normal

satuan

nu = < 22 ba

a

, 22 ba

b

>

sehingga g 22 ba

a

x + 22 ba

b

y + 22 ba

c

= 0

atau g x Cos + y Sin = p.

b). Melalui titik P(xo,yo) dan nornal nu dapat dibangun garis g1//g dalam bentuk:

D

C

D’

A

C’

B


3

4

g1 xo Cos + yo Sin = p d.

Oleh sebab itu jarak titik P terhadap garis g adalah jarak antara garis g1

terhadap g, yaitu:

d = xo Cos + yo Sin - p = .22

00

ba

cybxa

Jadi didapat

d = 22

00

ba

cybxa

. (3.21)

Gambar 3.8 Jarak titik terhadap garis

Contoh-contoh Hitung Jarak Titik terhadap Garis

a). Tentukan jarak dari garis g 2x + 3y + 8 = 0 terhadap titik A(4,5) dan B(1,-

4).

Penyelesaian:

Misal jarak garis g terhadap titik A dan B masing-masing adalah d1 dan d2 ,

maka

d1 = 22

00

ba

cybxa

= 22 32

8)5(3)4(2

=

13

31;

d2 = 22 32

8)4(3)1(2

=

13

2.

X

Y

O i

j n

u

n

u

g

d

p

Bagian I

35

b). Tentukan persamaan garis bagi sudut yang dibangun oleh garis g1 4x – 3y

+ 12 = 0 dan g2 3x – 4y + 8 = 0 pada daerah yang memuat titik awal.

Penyelesaian:

Pada daerah yang memuat titik awal, arah normal garis saling searah. Hal

ini ditunjukkan dari hitung jarak d1 dan d2 bahwa masing-masing bilangan

didalam harga mutlak adalah positip, yaitu

d2 = 22 )3(4

12)0(3)0(4

dan d2 = 22 )4(3

8)0(34)0(3

.

Oleh sebab itu dengan memenuhi kondisi jarak titik P(x,y) anggota garis

yang dicari adalah sama terhadap g1 dan g2, maka persamaan garis yang

dicari adalah

5

843

5

1234

yxyx atau x + y + 4 = 0.

3.5 Persamaan Kutub Garis

Persamaan garis g melalui kutub O membentuk sudut o terhadap

sumbu kutub dinyatakan sebagai = o (Gambar 3.9a).

(a) (b)

Gambar 3.9 Garis melalui kutub

Titik A di g yang jaraknya 2 (dua) satuan terhadap arah positip pusat

kutub O dan sudut polar = /3 (Gambar 3.9b) dinyatakan dengan A(2,/3)

o

O

g

Sumbu

Kutub

O

B(-1,

/3)

A(2,

/3)

/3

Sumbu

Kutub


3

6

dan titik B sejauh 1 (satu) satuan arah negatif terhadap pusat kutub O

dinyatakan sebagai B(-1, /3).

Jika garis g tidak melalui O, maka g berjarak d > 0 dari kutub. Misalkan

o adalah besarnya sudut polar suatu garis f tegaklurus g, maka sebarang titik

P(,) di g dapat dinyatakan dengan bentuk (Gambar 3.10a)

= )(o

Cos

d

. (3.22)

Persamaan (3.22) selanjutnya disebut sebagai persamaan kutub garis. Dalam

hal ini dapat kita pandang sebagai variabel terikat dan dipandang sebagai

variabel bebas dari persamaan garis g.

(a) (b) (c)

Gambar 3.10 Persamaan kutub garis

= d/[Cos( -

o)] = d/[Cos

] =

d/[Sin ]

O O O

g

g g

d d

d

P(,

) 0 =

0 0 =

/2

f –

0 0

Bagian I

37

BAB 4

BENDA KUADRATIS BIDANG

Kurva-kurva bidang hasil dari interseksi kerucut dan bidang pada

berbagai posisi (tidak hanya melalui puncak kerucut) disebut irisan kerucut

(Gambar 4.1). Irisan kerucut memiliki sifat-sifat pokok yang menarik, yaitu

bahwa setiap irisan kerucut (kecuali lingkaran) merupakan tempat kedudukan

titik-titik di bidang dengan rasio jarak dari titik tertentu (fokus kerucut) dan

garis tertentu (direktrik) adalah konstan.

Dalam setiap pembahasan potongan kerucut ini, berisi dua topik

berikut. Pertama, kita formulasikan persamaan lingkaran, elips, hiperbola dan

parabola dalam bentuk koordinat Cartesius, parametrik dan polar. Selanjutnya,

didiskusikan interseksi antara masing-masing potongan kerucut tersebut

terhadap garis lurus. Adapun penjelasan detailnya, diuraikan berikut ini.

Gambar 4.1 Potongan kerucut

4.1 Lingkaran

Definisi 4.1: Lingkaran adalah himpunan titik-titik di bidang yang jaraknya

terhadap titik tertentu tetap. Titik tetap ini selanjutnya disebut

pusat lingkaran.

Hiperbola

Elips

Lingkaran

Parabola


3

8

Dari definisi tersebut, jika P(x,y) sebarang titik pada lingkaran berpusat di

O(0,0), maka bentuk persamaan lingkaran yang didapat adalah (Gambar 4.2a)

rOP

ryx 22 atau 222 ryx (4.1)

dengan r disebut jari-jari lingkaran.

Sedangkan jika pusatnya di P(a,b), maka persamaan lingkaran dinyatakan oleh

bentuk (Gambar 4.2b)

(x – a)2 + (y – b)2 = r2. (4.2)

Ruas kiri bila diuraikan mendapatkan bentuk

x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – r2) = 0. (4.3)

Jadi persamaan umum lingkaran dapat ditulis sebagai

x2 + y2 + Ax + By + C = 0 (4.4)

dengan

A = – 2a (4.4a)

B = – 2b (4.4b)

C = (a2 + b2 – r2). (4.4c)

(a) (b)

Gambar 4.2 Lingkaran

X

Y

O

r

Y

X

r

(a,b

)

Bagian I

39

Untuk sebaliknya, jika diketahui persamaan lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C =

0, maka

(x2 + Ax + ¼ A2) + (y2 + By + ¼ B2) = (¼ A2 + ¼ B2 – C)

atau

(x + ½ A)2 + (y + ½ B)2 = (¼ A2 + ¼ B2 – C).

Kesimpulannya, pusat lingkaran tersebut adalah (– ½ A, – ½ B) dengan jari-jari

CBAr 22

4

1

4

1. (4.5)

Hasil ini adalah identik dengan bentuk kesamaan (4.4a,b,c) untuk lingkaran

yang berpusat di titik (a,b) dan berjari-jari r.

Dari persamaan (4.5) dapat disimpulkan beberapa hal berikut:

a). jika (¼ A2 + ¼ B2 – C) > 0, maka lingkaran yang didapat adalah nyata;

b). jika (¼ A2 + ¼ B2 – C) = 0, didapatkan sebuah titik;

c). jika (¼ A2 + ¼ B2 – C) < 0, kita dapatkan lingkaran imajiner.

Penyajian lingkaran dalam bentuk parametrik berjari-jari r berpusat di

O(0,0) dirumuskan sebagai

x() = r Cos

y() = r Sin (4.6a)

dengan 0 2. Sedangkan dalam bentuk polar (kutub), untuk lingkaran

berpusat di kutub dinyatakan dengan = r dan jika pusatnya di P(r,o), maka

dihitung melalui rumus kosinus berikut (Gambar 4.3a)

POLCosOPOLOPOLPL 2222

r2 = 2 + r2 – 2 r Cos( – o)


4

0

atau

= 2 r Cos( – o).

Dengan demikian persamaan lingkaran berbentuk polar pusatnya di P(r,o)

dinyatakan oleh bentuk

= 2 r Cos( – o). (4.6b)

= 2 r Cos( -o) = 2 r Cos = 2 r Sin

(a) (b) (c)

Gambar 4.3 Penyajian lingkaran bentuk polar

Misalkan suatu lingkaran x2 + y2 = r2 dan persamaan garis y = mx + k.

Jika garis diiriskan pada lingkaran, maka didapat persamaan

(1 + m2)x2 + (2mk)x + (k2 – r2) = 0. (4.7)

Persamaan (4.7) memberikan tafsiran geometrik berikut:

a). jika D > 0, garis memotong lingkaran di dua titik real;

b). jika D = 0, didapat garis singgung lingkaran;

c). jika D < 0, garis memotong lingkaran di dua titik imajiner.

Hal menarik pada kasus (b), jika gradien garis m diketahui, maka

konstanta k dari garis singgung dapat dicari dengan kondisi

D = k2 – r2(1 + m2) = 0

r

o

L(,)

O

P(r,o)

Sumbu kutub

O

Sumbu kutub

r

O

r

Sumbu kutub

Bagian I

41

atau

21 mrk .

Jadi persamaan garis singgung yang dimaksud adalah

21 mrmxy . (4.8)

Prosedur hitung ini dapat dilakukan untuk kasus umum perpotongan antara

lingkaran berbentuk

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

dan garis

y = mx + k.

Misalkan lingkaran x2 + y2 = r2, maka persamaan garis singgung

melalui titik R(xR,yR) pada lingkaran dapat ditentukan menurut prosedur

berikut.

1. Tentukan dua titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2) di lingkaran, maka garis melalui

kedua titik tersebut adalah

y – y1 = 12

12

xx

yy

(x – x1). (4.9)

2. Karena P dan Q di lingkaran maka keduanya memenuhi persamaan

lingkaran, yaitu

x12 + y1

2 = x22 + y2

2 = r2

atau

12

12

12

12

yy

xx

xx

yy. (4.10)


4

2

3. Jika titik P dan Q berimpit di R, maka xR = x1 = x2 dan yR = y1 = y2. Jadi dari

persamaan (4.9) dan (4.10) didapatkan persamaan garis singgung di R(xR,yR)

sebagai berikut

xRx + yRy = r2. (4.11)

Contoh-contoh Hitung Lingkaran

a). Evaluasi bentuk persamaan x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0.

Penyelesaian:

Bentuk tersebut identik dengan

(x2 + 4x + 4) + (y2 – 6y + 9) = 12 + 4 + 9

atau

(x + 2)2 + (y – 3)2 = 25.

Jadi persamaan dimaksud adalah lingkaran berpusat di (-2,3) berjari-jari 5.

b). Carilah persamaan lingkaran melalui titik P(1,0), Q(0,1) dan R(2,2).

Penyelesaian:

Misalkan persamaan lingkaran berbentuk formulasi (4.4), maka lingkaran

melalui ketiga titik tersebut memenuhi

Titik (x,y) x2 + y2 + Ax + By + C = 0

P(1,0) 1 + A + C = 0

Q(0,1) 1 + B + C = 0

R(2,2) 4 + 4 + 2A + 2B + C = 0.

Melalui substitusi (eliminasi) tiga persamaan terakhir, maka dapat

ditentukan nilai-nilai koefisien A, B dan C dari persamaan (4.4), yaitu

A = B = –7/3

dan

C = 4/3.

Bagian I

43

Penyelesaian lain, dapat dilakukan dengan cara mencari determinan dari

bentuk persamaan (4.4) hasil substitusi sebarang titik P(x1,y1), Q(x2,y2) dan

R(x3,y3) berikut

.0

1

1

1

1

33

2

3

2

3

22

2

2

2

2

11

2

1

2

1

22

yxyx

yxyx

yxyx

yxyx

Dengan demikian melalui ketiga titik tersebut didapatkan persamaan

lingkaran dalam bentuk x2 + y2 – 7/3x – 7/3y + 4/3 = 0.

4.2 Elips

Untuk membangun suatu elips melalui formulasi aljabar, dapat kita

gunakan definisi-definisi elips berikut ini.

Definisi 4.2: Elips adalah himpunan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap

dua titik tertentu (fokus elips) besarnya tetap.

Misalkan elips dengan fokus F1(-c,0) dan F2(c,0) dan jumlah jaraknya untuk

sebarang titik P(x,y) di elips adalah aPFPF 221 , maka (Gambar 4.4)

aPFPF 221

(4.12)

aycxycx 2)()( 2222


4

4

.)(atau)(

2)(442

)()(44)(

)(2)(

22222

2222222

2222222

2222

ycxxa

caycxacxa

ccxxycxaaccxx

ycxycxaaycx

ycxaycx

Jadi jika kedua ruas dikuadratkan dan disederhanakan, didapat

.122

2

2

2

ca

y

a

x (4.13)

Gambar 4.4 Elips

Dalam F1PF2 berlaku hubungan 2121

FFPFPF sehingga 2a > 2c atau a >

c. Dengan demikian pada persamaan (4.13) disimpulkan bahwa penyebut (a2 –

c2) > 0 mempunyai harga akar berikut

22 cab atau a2 = b2 + c2. (4.14)

Oleh sebab itu persamaan elips (4.13) dapat dinyatakan secara umum

12

2

2

2

b

y

a

x. (4.15)

F1(-c,0) F2(-c,0)

P(x,y)

a O X

a b

c

Y

Bagian I

45

Persamaan (4.15) adalah elips berpusat di O(0,0) memotong sumbu-sumbu

koordinat di titik (a,0) dan (0,b) dengan sumbu panjang 2a dan sumbu

pendeknya 2b.

Dari sifat-sifat geometrik definisi 1, memberikan bentuk aljabar

persamaan (4.15). Sebaliknya, jika x dan y memenuhi bentuk (4.15) dengan 0 <

c < a, maka berlaku

2

22

222 )(a

xacay

. (4.16)

Bentuk (4.16) jika disubstitusikan dalam akar berikut diperoleh

xa

caycxPF 22

1)( (4.16a)

.)( 22

2 xa

caycxPF (4.16b)

Jika x terletak di –a x a, maka 1

PF dan 2

PF terletak di a + c dan a – c. Oleh

sebab itu harga mutlak dari 1

PF dan 2

PF masing-masing adalah

xa

caPF

1 dan .2 xa

caPF (4.17)

Jadi aPFPF 221 memenuhi sifat-sifat geometrik definisi 1. Kesimpulannya,

sifat-sifat aljabar dan geometrik dari elips tersebut adalah ekivalen.

Jika titik pusat elips tidak di O(0,0), tetapi misalnya di O’(p,q) dengan

sumbu-sumbu simetri elips sejajar sumbu OX dan OY, maka koordinat baru

untuk elips dapat dinyatakan sebagai (Gambar 4.5)

x' = x – p dan y’ = y – q

dengan sumbu-sumbu koordinat barunya adalah O’X’ dan O’Y’. Adapun untuk

persamaan elips dalam sumbu-sumbu baru ini, dinyatakan oleh bentuk


4

6

1''2

2

2

2

b

y

a

x atau 1

''2

2

2

2

a

y

b

x (4.18)

tergantung dari sumbu panjang atau pendek yang mendefinisikannya.

Gambar 4.5 Elips berpusat di titik (p,q)

Definisi 4.3: Elips adalah himpunan titik-titik yang perbandingan jaraknya

terhadap suatu titik tertentu (fokus) dan suatu garis tertentu

(direktrik) adalah konstan (tetap).

Jika titik P(xp,yp) di elips, maka jarak P ke F1(-c,0) dan F2(c,0) adalah (Gambar

4.6)

222

1 ppycxPF

222

2 ppycxPF

sehingga

.42121

2

2

2

1 pcxPFPFPFPFPFPF

Padahal harga

aPFPF 221 (4.19a)

maka dari itu

P’(p+x’,q+y’) =

P(x,y)

X

X’

Y’ Y

O

O’(p,q)

Bagian I

47

a

cxPFPF

p2

21 . (4.19b)

Dari persamaan (4.19a,b) disimpulkan

px

c

a

a

cPF

2

1

.2

2

px

c

a

a

cPF (4.20)

Oleh karena 0 < c < a , jadi berlaku hubungan

1konstan

)()(2

2

2

1

ea

c

xc

a

PF

xc

a

PF

PP

(4.21)

atau

121

ePR

PF

PQ

PF

dengan e disebut bilangan eksentrisitas elips harganya lebih kecil dari satu. Hal

ini berarti elips adalah himpunan titik-titik yang perbandingan jaraknya

terhadap fokus dan direktrik adalah konstan.


4

8

Eksentrisitas Elips (e) = c/a < 1

Gambar 4.6 Elips dengan garis-garis direktrik g dan h

Elips berpusat di O(0,0), sumbu panjangnya 2a dan sumbu pendek 2b,

dalam bentuk parametrik dinyatakan oleh

x = a cos

y = b sin (4.22)

dengan suatu variabel parameter dan 0 2. Sedangkan penyajian elips

dalam koordinat polar ditentukan melalui perhitungan berikut.

Misalkan fokus elips F berada di kutub dan garis direktriknya berjarak

d dari kutub, maka menurut persamaan (4.21) berlaku bahwa perbandingan

jarak sebarang titik P(,) di elips ke fokus terhadap garis direktriknya adalah

konstan, yaitu (Gambar 4.7)

PDePFePD

PF atau

= e [d – Cos( – o)]

xh = a2/c = a/e

g

xg = - a2/c = - a/e

Q

Y

h a

ae

F1(-c,0) F2(c,0)

a

c

b

(a2/c + xp) P(xp,yp) (a2/c - xp) R

a/e

Bagian I

49

atau

o

Cose

de

1 (4.23)

dengan nilai eksentrisitas e dalam interval 0 < e < 1.

Gambar 4.7 Elips dalam koordinat polar

Misalkan suatu elips

12

2

2

2

b

y

a

x (4.24)

dan persamaan garis y = mx + k. Jika keduanya diiriskan didapat bentuk

(m2a2 + b2) x2 + (2a2mk) x + (m2a2 – a2b2) = 0. (4.25)

Jika gradien garis m diketahui, maka konstanta k garis singgung dapat dicari

melalui kondisi diskriminan

D = m2a2 + b2 – k2 = 0

atau

222 bamk .

D P(,

)

F =

O

d

o


5

0


222 bammxy . (4.26)

Prosedur untuk mendapatkan persamaan garis singgung di titik R(xR,yR)

pada elips (4.24) adalah identik dengan prosedur mencari persamaan garis

singgung melalui titik R(xR,yR) pada lingkaran x2 + y2 = r2 yang hasilnya

ditunjukkan pada persamaan (4.11). Oleh sebab itu persamaan garis singgung

melalui titik R(xR,yR) pada elips (4.24) didapat

122

b

yy

a

xx RR . (4.27)

Contoh-contoh Hitung Elips

a). Tentukan persamaan elips yang simetri terhadap sumbu Y berfokus di

sumbu X sebesar c = 9 satuan dan eksentrisitas e = 3/4.

Penyelesaian:

Nilai e = c/a = 3/4, maka 9/a = 3/4 atau a = 12. Karena a2 = b2 + c2, maka

didapat harga b sebagai berikut

b2 = a2 – c2 atau b = 63.

Jadi persamaan elips yang dicari adalah 163144

22

yx

.

b). Evaluasi bentuk 9x2 + 4y2 + 36x – 8y + 4 = 0.

Penyelesaian:

Jika kita nyatakan dalam bentuk kuadrat, didapat

9x2 + 4y2 + 36x – 8y + 4 = 0

9(x2 + 4x + 4) + 4(y2 – 2y + 1) = 36

atau

Bagian I

51

.19

)1(

4

)2( 22

yx

Jadi elips tersebut berpusat di (-2,1). Jika relasi koordinat baru dengan

koordinat lama diformulasikan

x' = x + 2 ; y’ = y – 1

maka didapat persamaan elips baru

19

'

4

' 22

yx

.

Dengan demikian titik-titik potong elips terhadap sumbu-sumbu baru X’

dan Y’ adalah (2,0) dan (0,3) dengan titik fokusnya dihitung sebagai

berikut. Karena

a2 = 9 dan b2 = 4,

maka

522 bac .

Jadi fokusnya berada pada titik (0,5) di sumbu baru Y’ atau di titik (-2,

15) menurut koordinat lama XOY.

c). Tentukan persamaan garis singgung pada elips 4x2 + 6y2 = 36 dan sejajar

terhadap garis 12x – 3y + 8 = 0.

Penyelesaian:

Bentuk persamaan garis 12x – 3y + 8 = 0 identik dengan y = 4x – 8. Jadi

gradien garis singgung dimaksud adalah m = 4. Sedang persamaan umum

elips didapatkan


5

2

169

22

yx

.

Jadi menurut bentuk (4.26), persamaan garis singgung elips yang dimaksud

adalah

1504222 xbammxy .

4.3 Hiperbola

Definisi 4.4: Hiperbola adalah himpunan titik-titik yang selisih jaraknya

terhadap dua titik tertentu (fokus hiperbola) besarnya tetap.

Misalkan hiperbola dengan fokus F1(c,0) dan F2(-c,0) dan selisih

jaraknya untuk sebarang titik P(x,y) di hiperbola adalah aPFPF 221 , maka

(Gambar 4.8)

aPFPF 221 (4.28)

aycxycx 2)()( 2222

atau

.122

2

2

2

ca

y

a

x

Gambar 4.8 Hiperbola

y = - (b/a) x y = (b/a) x

P(x,y)

F1 F2 b

a

c

Y

X

Bagian I

53

Dalam F1PF2 berlaku hubungan 2121

FFPFPF sehingga 2a < 2c atau a

< c. Dengan demikian pada persamaan (4.28) disimpulkan bahwa penyebut (a2

– c2) < 0 mempunyai harga akar berikut

a2 – c2 = –b2 . (4.29)

Persamaan hiperbola didapat

12

2

2

2

b

y

a

x. (4.30)

Persamaan (4.30) adalah hiperbola berpusat di O(0,0) dan tidak ada bagian

hiperbola yang terletak diantara x = – a dan x = a.

Dari sifat-sifat geometrik definisi 1, memberikan bentuk aljabar

persamaan (4.30). Sebaliknya, misalkan sebarang titik P(x,y) memenuhi bentuk

(4.30), maka panjang 1PF dan 2

PF diketahui

xa

caycxPF 22

1)( (4.31a)

xa

caycxPF 22

2)( (4.31b)

dengan x terletak didaerah x < -a atau x > a. Harga mutlak dari persamaaa

(4.31) adalah

a). untuk x > a berlaku

xa

caPF

1 (4.32a)

.2 xa

caPF

b) untuk x < – a berlaku

)(1

xa

caPF (4.32b)


5

4

.2 xa

caPF

Jadi dari (4.32) dapat disimpulakan bahwa jika P di daerah x > a berlaku

aPFPF 221 dan jika P di daerah x < – a berlaku aPFPF 2

12 . Hal ini

berarti memenuhi sifat-sifat geometrik definisi 1. Kesimpulannya, sifat-sifat

aljabar dan geometrik dari hiperbola tersebut adalah ekivalen.

Jika titik pusat simetri hiperbola tidak di O(0,0), tetapi misalnya di

O’(p,q), maka koordinat baru untuk hiperbola dinyatakan sebagai

x' = x – p dan y’ = y – q


persamaan hiperbola dalam sumbu-sumbu baru ini, dinyatakan oleh bentuk

1''2

2

2

2

b

y

a

x

atau

.1''2

2

2

2

a

y

b

x (4.33)

Definisi 4.5: Hiperbola adalah himpunan titik-titik yang perbandingan

jaraknya terhadap suatu titik tertentu (fokus) dan suatu garis

tertentu (direktrik) adalah konstan (tetap) yang harganya lebih

besar dari satu.

Misalkan titik P(xp,yp) di hiperbola, maka jarak P ke F1(-c,0) dan

F2(c,0) masing-masing adalah (Gambar 4.9)

222

1 ppycxPF

222

2 ppycxPF

sehingga

Bagian I

55

p

cxPFPFPFPFPFPF 42121

2

2

2

1

.

Padahal diketahui harga

aPFPF 221 (4.33a)

maka dari itu

.

221

a

cxPFPF

p (4.33b)

Dari persamaan (4.33a,b) disimpulkan

px

c

a

a

cPF

2

1

.2

2

px

c

a

a

cPF (4.34)

Oleh karena cFF 221 dan aPFPF 2

21 sehingga

2121PFPFFF , maka

berlaku hubungan

1konstan

)(2

2

2

1

ea

c

xc

a

PF

xc

a

PF

PP

(4.35)

atau

121

ePR

PF

PQ

PF.

Hal ini berarti hiperbola adalah himpunan titik-titik yang perbandingan

jaraknya terhadap fokus dan direktrik adalah konstan berharga lebih besar dari

satu.


5

6

Eksentrisitas Hiperbola (e) = c/a > 1

Gambar 4.9 Hiperbola dengan garis-garis direktrik g dan h

Hiperbola berpusat di O(0,0), dalam bentuk parametrik dinyatakan oleh

penyajian berikut

x = a sec

y = b tan, (4.36)

dengan suatu variabel parameter dan 0 /2. Sedangkan penyajian

hiperbola dalam koordinat polar seperti diberikan oleh bentuk elips, yaitu

= e [d – Cos( – o)]

atau

)(1o

Cose

de

(4.37)

dengan d adalah jarak fokus di kutub terhadap direktriknya dan nilai

eksentrisitas e > 1.

Seperti halnya pada elips, misalkan suatu hiperbola

12

2

2

2

b

y

a

x (4.38)

g h

Q R P(xp,yp)

F1 F2

Y

X

Bagian I

57

dan persamaan garis y = mx + k. Jika keduanya diiriskan didapat bentuk

(m2a2 – b2)x2 + (2a2mk)x + (m2a2 + a2b2) = 0. (4.39)

Jika gradien garis m diketahui, maka konstanta k garis singgung dapat dicari

melalui kondisi diskriminan

D = 4a2b2 (– a2m2 + b2 + k2) = 0

atau

222 bamk .


222 bammxy . (4.40)

Prosedur untuk mendapatkan persamaan garis singgung di titik R(xR,yR)

pada hiperbola (4.40) adalah identik dengan prosedur mencari persamaan garis

singgung melalui titik R(xR,yR) pada lingkaran atau elips. Dalam hal ini,

didapat bentuk

122

b

yy

a

xx RR . (4.41)

Contoh-contoh Hitung Hiperbola

a). Tentukan persamaan hiperbola dengan pusat simetri di O(0,0), titik api di

sumbu X sejauh 10 dan garis asimtotiknya y = 3/4 x.

Penyelesaian:

Jika persamaan hiperbola dalam bentuk 12

2

2

2

b

y

a

x dan garis asimtotik y =

mx, maka titik potongnya diperoleh di tak terhingga melalui perhitungan

persamaan

(b2 – a2m2)x2 = a2b2

dengan kondisi


5

8

(b2 – a2m2) = 0

atau

m = b/a.

Oleh sebab itu karena garis asimtotnya y = 3/4x, maka b/a = 3/4. Karena

dalam hiperbola berlaku b2 = c2 – a2 > 0, maka

b2 = 100 – (16/9)b2 atau b = 6 dan a = 8.

Jadi hiperbola dimaksud adalah

.13664

22

yx

b). Evaluasi persamaan dalam bentuk x2 – 4y2 + 2x + 8y – 7 = 0.

Penyelesaian:

Bentuk tersebut dapat dinyatakan sebagai

x2 – 4y2 + 2x + 8y – 7 = 0

(x2 + 2x + 1) – 4(y2 – 2y +1) = 7 + 1 – 4

atau

1)1(4

)1( 2

2

yx

.

Dengan demikian dapat dinyatakan dalam koordinat baru

x' = x + 1 dan y’ = y – 1

sehingga 11

'

4

' 22

yx

menyajikan hiperbola dengan pusat x’ = 0, y’ = 0 atau x = -1 dan y = 1 dan

memiliki nilai a2 = 4, b2 = 1 dan c2 = a2 + b2 = 5. Sedangkan garis

asimtotiknya masing-masing adalah (x’/2) – y’ = 0 dan (x’/2) – y’ = 0.

Bagian I

59

4.4 Parabola

Definisi 4.6: Parabola adalah himpunan titik-titik di bidang yang berjarak

sama dari titik tetap (fokus parabola) dan garis tertentu

(direktrik).

Misalkan fokus F suatu parabola di sumbu Y dan tegaklurus terhadap

garis direktrik g (Gambar 4.10). Titik pangkal (0,0) merupakan titik tengah

dari F dan g, sedangkan jarak F terhadap g sebesar 2p, maka koordinat F

adalah F(0,p) dan garis g dinyatakan oleh persamaan y = – p. Dengan demikian

menurut definisi 3, sebarang titik P(x,y) terdapat di parabola jika dan hanya jika

P memenuhi kondisi

PQPF (4.42)

dengan Q(x,-p). Karena harga

22 )( pyxPF

dan

2)( pyPQ (4.43)

maka persamaan untuk parabola berpuncak di (0,0) yang dimaksud adalah

x2 = 4py. (4.44)

Gambar 4.10 Parabola

Direktrik : y = -

p

P(x,y)

Q(x,-p)

F(0,p)

Y

X


6

0

Sebaliknya jika bentuk (4.44) dipenuhi, maka

.)()2(4)( 22222 PQpypypypypyxPF

Sehubungan dengan persamaan hiperbola (4.35) atau elips, maka dapat

disimpulkan bahwa perbandingan jarak titik P(x,y) pada parabola ke fokus

terhadap direktrik adalah konstan berharga satu, yaitu

1 ePQ

PF

(4.45)

dengan e eksentrisitas dari parabola. Dengan demikian suatu parabola dapat

didefinisikan sebagai himpunan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap

fokus dan direktrik adalah satu.

Dalam Gambar 4.11, kita sajikan beberapa contoh persamaan parabola

dengan fokus di sumbu koordinat yang berbeda.

(a). Parabola: x2 = -4 py (b). Parabola: y2 = -4 px

Direktrik: y = p

Y

F(0,-

p)

P(x,y

)

X

Y

X F(0,-

p)

Direktrik: x =

p P(x,y)

Bagian I

61

(c). Parabola: y2 = 4 px

Gambar 4.11 Beberapa contoh persamaan parabola

Jika titik puncak parabola tidak di O(0,0), tetapi misalnya di O’(r,s)

dengan sumbu simetri parabola sejajar salah satu sumbu OX atau OY, maka

koordinat baru untuk parabola dinyatakan sebagai

x' = x – r dan y’ = y – s


persamaan parabola (4.44) dalam sumbu-sumbu baru ini, dinyatakan oleh

bentuk

(x’)2 = 4py’

atau

(x – r)2 = 4p(y – s). (4.46)

Persamaan parabola dalam bentuk parametrik dinyatakan oleh persamaan

berikut

x = tan2

y = 2 tanp (4.47)

Y

X

F(0,p)

P(x,y)

Direktrik: x =

-p


6

2

dengan suatu variabel parameter dan 0 /2. Sedangkan penyajian

parabola dalam koordinat polar seperti diberikan oleh bentuk elips dan

hiperbola, yaitu

= e [d – Cos( – o)]

atau

)(1o

Cose

de

(4.48)

dengan d adalah jarak fokus di kutub terhadap direktriknya dan nilai

eksentrisitas e = 1.

Contoh-contoh Hitung Parabola

a). Carilah persamaan parabola yang dibangun melalui garis direktrik x – 5 = 0

dan fokusnya F(6,2).

Penyelesaian:

Misalkan titik P(x,y) pada parabola, maka menurut definisi harus dipenuhi

hubungan jarak P ke F dan ke garis direktrik x – 5 = 0 adalah sama, yaitu

5)2()6( 22 xyx

atau

(x – 6)2 + (y – 2)2 = (x – 5)2

y2 – 4y – 2x + 15 = 0.

Jadi parabola dimaksud adalah y2 – 4y – 2x + 15 = 0.

b). Evaluasi bentuk parabola berikut y = x2 + 4x.

Penyelesaian:

Jika dinyatakan dengan kuadrat sempurna didapat bentuk

y + 4 = (x + 2)2.

Dari bentuk (1.20), yaitu (x – r)2 = 4p(y – s), dapat disimpulkan bahwa

Bagian I

63

r = – 2, s = – 4 dan p = 1/4.

Jadi puncak parabola adalah T(-2,-4) dengan sumbu simetri x = –2 dan

fokus terletak sejauh 1/4 satuan dari puncak, yaitu F(-2, (-3,75)).

Gambar 4.12 Grafik parabola y = x2 + 4x.

X

Y

x = -2

y = x2 + 4x

T(-2,-4)

O


6

4

BAB 5

PENYAJIAN BIDANG DAN GARIS

DI RUANG

Formulasi bidang banyak digunakan dalam desain permukaan benda-

benda industri. Hal ini dikarenakan bentuk komponen-komponen benda

dimaksud umumnya terkonstruksi dari beberapa potongan bentuk kubus,

balok, prisma, limas, ataupun bidang poligon, sehingga untuk

memodelisasikannya diperlukan penyajian bentuk bidang. Selain itu untuk

keperluan hitung volume benda tersebut, juga diperlukan adanya perhitungan

deteksi ukuran segmen garis interseksi antar bidang-bidang batas benda dan

hitung ukuran jarak/ketinggian benda, maupun arah bidang batasnya. Oleh

karenanya studi tentang penyajian bidang dan garis di ruang, lebih lanjut perlu

dikenalkan.

Tujuan studi dalam bab ini adalah untuk dapat memahami pengertian

kosinus arah vektor satuan (di ruang) dan mampu menggunakannya dalam

membangun persamaan umum bidang. Selain itu, melalui vektor normal

bidang yang diketahui dan jarak bidang terhadap titik awal, kita mampu

membangun bentuk formula Hess untuk penyajian bidang. Di lain pihak dalam

perhitungan garis di ruang, kita mendapatkan formula garis dalam bentuk

vektorial, ataupun bentuk proporsional. Uraian detailnya adalah berikut ini.

5.1 Kosinus Arah

Definisi 2.1 : Kosinus arah dari vektor satuan u adalah ukuran-ukuran aljabar

dari proyeksi vektor satuan u ke vektor i, j dan k masing-masing pada

sumbu-sumbu OX, OY dan OZ.

Misalkan u = A i + B j + C k = <A,B,C> dengan u = 1, maka kosinus

arah u menurut definisi tersebut adalah (Gambar 5.1)

Cos = (u.i)/(u i) = 222 CBA

A

(5.1)

Bagian I

65

Cos = (u.j)/(u j) = 222 CBA

B

Cos = (u.k)/(u k) = 222 CBA

C

dengan , dan masing-masing merupakan sudut yang dibentuk antara

vektor u terhadap sumbu OX, OY dan OZ.

Gambar 5.1 Kosinus arah vektor satuan u.

5.2 Persamaan Umum Bidang

Dalam sistem aksioma geometri Euclid disebutkan bahwa melalui tiga

titik berbeda tidak pada satu garis, tepat dapat dibangun sebuah bidang.

Berdasar pada aksioma ini, kita tentukan persamaan bidang berikut. Pandang

tiga titik berbeda tidak segaris di ruang, yaitu titik P(x1,y1,z1), Q(x2,y2,z2) dan

R(x3,y3,z3) sehingga vektor (Gambar 5.2)

PQPQPQ zyx

zzyyxxPQ

,,

)(),(),( 121212

(5.2)

.,,

)(),(),( 131313

PRPRPR zyx

zzyyxxPR

X

Y

Z

i j

k

O

u


6

6

Gambar 5.2 Konstruksi bidang

Karena ketiga titik P, Q dan R menentukan bidang , berarti bidang

terbangun oleh dua vektor bebas (bukan kelipatan dari satu terhadap yang lain)

PQ dan PR . Dengan demikian untuk sebarang titik S(x,y,z) di bidang , maka

berlaku vektor PS sebagai bentuk kombinasi linier dari vektor PQ dan PR ,

yaitu

PS = 1PQ + 2 PR

<x,y,z> - <x1,y1,z1> = 1 <xPQ ,yPQ ,zPQ> + 2 <xPR ,yPR,zPR>

atau

x = x1 + 1 xPQ + 2 xPR (5.3a)

y = y1 + 1 yPQ + 2 yPR (5.3b)

z = z1 + 1 zPQ + 2 zPR (5.3c)

dengan 1 dan 2 merupakan skalar real. Bentuk (5.3a,b,c) ini disebut sebagai

persamaan parametrik bidang dan dapat dinyakan sebagai

<x,y,z> = <x1,y1,z1> + 1 <xPQ ,yPQ ,zPQ> + 2 <xPR ,yPR,zPR>. (5.3d)

X

Y

Z

i j

k

P

Q

R

S(x,y,z)

O

Bagian I

67

Dari persamaan (5.3a,b) dapat ditentukan kedua harga 1 dan 2. Jika harga-

harga ini kemudian disubstitusikan ke (5.3c), maka diperoleh bentuk berikut

0)()()( 111 zzyx

yxyy

xz

xzxx

zy

zy

PRPR

PQPQ

PRPR

PQPQ

PRPR

PQPQ

atau

A (x – x1) + B (y – y1) + C (z - z1) = 0.

Jadi persamaan umum bidang adalah

A x + B y + C z + D = 0 (5.4)

dengan PRPR

PQPQ

zy

zyA ,

PRPR

PQPQ

xz

xzB ,

PRPR

PQPQ

yx

yxC , D = -(A x1 + B y1 + C z1).

Analog dengan persamaan garis pemotong sumbu-sumbu koordinat di R2,

maka persamaan bidang yang memotong sumbu-sumbu koordinat di titik

P(a,0,0), Q(0,b,0) dan R(0,0,c) dapat ditentukan melalui persamaan (5.4)

sebagai berikut

(bc) x + (ca) y + (ab) z – (abc) = 0

atau

1c

z

b

y

a

x. (5.5)

Misalkan persamaan bidang A x + B y + C z + D = 0 dan vektor n =

<A,B,C>. Tetapkan satu titik P(x1,y1,z1) di bidang dan ambil sebarang titik

lainnya Q(x2,y2,z2). Karena kedua titik ini terdapat di , maka berlaku

A x1 + B y1 + C z1 + D = 0

dan


6

8

A x2 + B y2 + C z2 + D = 0.

Jadi didapat

A (x2 – x1) + B (y2 – y1) + C (z2 – z1) + D = 0.

Padahal sebarang vektor PQ di bidang , berbentuk

PQ = <(x2 – x1),(y2 – y1),(z2 – z1)>.

Oleh sebab itu persamaan A (x2 – x1) + B (y2 – y1) + C (z2 – z1) + D = 0 adalah

bentuk perkalian skalar dari

n . PQ = 0, (5.6)

yang berarti vektor n tegaklurus terhadap semua vektor di bidang . Dengan

demikian setiap vektor n yang berbentuk n = <A,B,C> selalu tegaklurus

terhadap bidang dari bentuk umum A x + B y + C z + D = 0. Vektor normal n

ini selanjutnya disebut normal bidang dan dinotasikan dengan n (Gambar

5.3).

Gambar 5.3 Normal bidang

Pandang tiga titik berbeda tidak segaris di bidang , yaitu titik

P(x1,y1,z1), Q(x2,y2,z2) dan R(x3,y3,z3), maka veknor normal bidang dapat

ditentukan sebagai

X

i

P

Y

Z

j

k

n =

<A,B,C>

S(x,y

,z)

O

R

n =

<A,B,C>

Q

Bagian I

69

n =

PRPRPR

PQPQPQ

zyx

zyx

kji

PRPQ

= A i + B j + C k

= <A,B,C>.

Dengan demikian jika dipandang S(x,y,z) sebarang titik di bidang , maka

persamaan bidang dapat dicari melalui kondisi

n . PS = 0

<A,B,C> . <(x – x1),(y – y1),(z – z1)> = 0

atau

A (x – x1) + B (y – y1) + C (z - z1) = 0. (5.7)

Persamaan ini merupakan persamaan bidang yang dibangun melalui titik

P(x1,y1,z1) dan normalnya n = <A,B,C>.

Sehubungan dengan persamaan bidang A x + B y + C z + D = 0 dan

vektor normalnya n = <A,B,C>, dapat disimpulkan hal-hal berikut.

a). Jika A = 0 dan B = 0, maka vektor n sejajar terhadap sumbu Z. Bidang

sejajar dengan bidang XOY. Dalam hal khusus jika D = 0, berimpit

dengan XOY.

b). Jika A = 0 dan C = 0, maka bidang sejajar bidang XOZ dan berimpit

bidang D = 0.

c). Jika B = 0 dan C = 0, maka bidang sejajar bidang YOZ dan berimpit

bidang D = 0.

d). Jika A = 0 dan B,C 0, maka vektor n tegaklurus pada sumbu X. Bidang

sejajar sumbu X dan berimpit bila D = 0.

e). Jika A 0, B = 0 dan C 0, maka bidang sejajar sumbu Y dan berimpit jika

D = 0.

f). Jika A 0, B 0 dan C = 0, maka bidang sejajar sumbu Z dan berimpit jika

D = 0.

g). Jika D = 0, maka bidang melalui titik awal.


7

0

Contoh-contoh hitung persamaan umum bidang

a). Carilah vektor normal bidang memuat titik P(0,1,1), Q(1,0,-1) dan R(1,-

1,0).

Penyelesaian:

Karena PQ = <1,-1,-2> dan PR = <1,-2,-1> maka

n = PQPR =

121

211

kji

= <-3,-1,-1>.

b). Tentukan persamaan bidang terdefinisi oleh titik P(2,-1,1), Q(3,2,-1) dan

R(-1,3,2).

Penyelesaian:

Vektor PQ = <1,3,-2> dan PR = <-3,4,1>. Tentukan sebarang titik

S(x,y,z) pada bidang sehingga PS = <(x-2),(y+1),(z-1)>, maka persamaan

bidang diperoleh dari kondisi

( PQ PR ) . PS = n . PS = 0

atau

143

231

kji

.<(x-2),(y+1),(z-1)> = 0.

Jadi persamaan bidang dimaksud adalah 11 x + 5 y + 13 z = 0.

5.3 Persamaan Normal Bidang (Persamaan Hess)

Misalkan n = <A,B,C> merupakan vektor normal dari bidang A x

+ B y + C z + D = 0. Sedangkan pOP adalah jarak dari O tehadap bidang

dengan OP dan vektor normal satuan nu dari bidang adalah (Gambar

5.4)

nu = n/ n = Cos i + Cos j + Cos k

Bagian I

71

= 222 CBA

A

i +

222 CBA

B

j +

222 CBA

C

k (5.8)

Gambar 5.4 Persamaan normal bidang

Jika M(x,y,z) sebarang titik pada bidang , maka persamaan normal bidang

dapat didefinisikan melalui perkalian skalar terhadap nu menurut salah satu

kondisi berikut:

a). Harga nu . PM = 0

< Cos , Cos , Cos >. <(x – p Cos ), (y - p Cos ), (z – p Cos )> = 0.

Jadi

Cos (x – p Cos ) + Cos (y - p Cos ) + Cos (z – p Cos ) = 0

x Cos + y Cos + z Cos - p = 0.

b). Harga OP = p = OM . nu = OM . (OP

OP)

= <x,y,z> .

<222 CBA

A

,

222 CBA

B

,

222 CBA

C

>.

X

i

n

Y

Z

j

k

n

u

M(x,y

,z)

P

Ax + By + Cz + D

= 0

O


7

2

Jadi p = <x,y,z> . < Cos , Cos , Cos >

= x Cos + y Cos + z Cos .

Kesimpulannya, persamaan normal bidang adalah

x Cos + y Cos + z Cos - p = 0 (5.9)

atau

222 CBA

A

x +

222 CBA

B

y +

222 CBA

C

z – p = 0.

Dari bidang yang dinyatakan dalam bentuk umum

A x + B y + C z + D = 0

dan dalam bentuk normal

x Cos + y Cos + z Cos - p = 0

maka dapat disimpulkan hubungan berikut:

a). perbandingan dari koefisien-koefisien kedua persamaan tersebut adalah

222

1

CBAD

p

C

Cos

B

Cos

A

Cos

(5.9a)

b). dari (a), maka jarak O ke bidang adalah

222 CBA

Dp

. (5.9b)

Contoh-contoh hitung persamaan normal bidang

a). Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh kedua bidang 1 dan 2 berikut,

kemudian evaluasi kemungkinan kedudukan dari yang satu terhadap yang

lain

Bagian I

73

1 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

2 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.

Penyelesaian:

Normal bidang 1 dan 2 masing-masing adalah n1=<A1,B1,C1> dan

n2=<A2,B2,C2>. Oleh sebab itu sudut antara bidang 1 dan 2 dapat

ditentukan melalui

= arc Cos (n1. n2 /n1 n2).

Jika = 0o atau = 180o, kedua bidang sejajar atau berimpit. Dalam hal ini

1//2 jika komponen dari n1 dan n2 saling proporsional, yaitu

2

1

2

1

2

1

2

1

D

D

C

C

B

B

A

A .

Di lain pihak, kedua bidang identik (berimpit), jika 2

1

2

1

2

1

2

1

D

D

C

C

B

B

A

A .

Jika harga = 90o, maka kedua bidang saling tegaklurus, yaitu jika n1. n2 =

0.

b). Nyatakan bidang bentuk umum 2 x + 4 y - 4 z + 8 = 0 kedalam persamaan

normal.

Penyelesaian:

Hubungan koefisien bentuk umum dan normal bidang telah dinyatakan

dalam persamaan (5.9a) dan 6222 CBA , maka persamaan

normalnya adalah

1/3 x + 2/3 y – 2/3 z +3

11 = 0.

5.4 Persamaan Garis

Tetapkan dua titik berbeda di ruang P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z1), maka

sebarang titik R(x,y,z) pada garis g yang didefinisikan oleh kedua titik tersebut


7

4

memenuhi relasi )( OPOQOPOR . Karena itu bentuk persamaan

vektor garis g dapat dinyatakan dalam formula (Gambar 5.5)

g r = p + (q – p) (5.10)

atau

<x,y,z> = <x1, y1,z1> + <(x2 – x1), (y2 – y1),(z2 – z1)>

dengan suatu bilangan real.

Gambar 5.5 Penyajian garis di ruang

Bentuk (5.10) ini selanjutnya dapat kita nyatakan menjadi

x = x1 + (x2 – x1) (5.11)

y = y1 + (y2 – y1)

z = z1 + (z2 – z1)

dan disebut sebagai persamaan parametrik garis g dengan - < < + suatu

variabel parameter x, y dan z, yaitu fungsi-fungsi skalar untuk vektor basis i ,

j dan k.

Jika dalam persamaan (5.11) harga disubstitusikan dari satu kepada

yang lain, maka kita dapatkan model lain persamaan garis g berikut

X

Y

Z

O i j

k p

q r

g

P(x1,y1,z

1)

Q(x2,y2,z

2)

R(x,y,

z)

Bagian I

75

12

1

12

1

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx

(5.12a)

atau

c

zz

b

yy

a

xx 111

(5.12b)

dengan penyebut-penyebut tidak sama dengan nol. Adapun vektor ng dalam

bentuk

ng = <(x2 – x1), (y2 – y1),(z2 – z1)> = <a,b,c>

disebut vektor arah atau koefisien arah garis g. Dengan demikian jika

Cos = a/( ng , Cos = b/( ng , Cos = c/( ng ,

maka persamaan garis g dapat juga dinyakan sebagai bentuk

Cos

zz

Cos

yy

Cos

xx 111

. (5.13)

Bentuk (5.12) dan (5.13) disebut persamaan garis melalui titik (x1,y1,z1),

dengan vektor arah garis ng = <a,b,c> atau ng = <Cos , Cos , Cos >.

Berikut beberapa sifat garis lurus g dengan vektor arahnya ng =

<a,b,c>:

a). bila a = 0 dan b,c 0, maka vektor ng = <0,b,c> sejajar dengan bidang YOZ.

Dengan demikian garis g juga sejajar atau berimpit dengan bidang YOZ.

b). bila b = 0 dan a,c 0, maka garis g sejajar atau berimpit dengan bidang

XOZ.

c). bila c = 0 dan a,b 0, maka garis g sejajar atau berimpit dengan bidang

XOY.

d). bila a,b = 0, maka garis g sejajar atau berimpit dengan sumbu Z, bila a,c =

0, maka garis g sejajar atau berimpit dengan sumbu Y dan bila b,c = 0,

maka garis g sejajar atau berimpit dengan sumbu X.


7

6

Suatu garis g dapat dipandang sebagai perpotongan dua bidang

1 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

2 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.

Misalkan ditetapkan satu titik P(x1,y1,z1) pada garis dan S(x,y,z) sebarang titik

di garis. Maka persamaan garis dimaksud adalah

c

zz

b

yy

a

xx 111

dengan vektor arah garis ng = <a,b,c> = n1 n2 , yaitu

ng =

222

111

CBA

CBA

kji

= 22

11

CB

CB i -

22

11

CA

CA j +

22

11

BA

BA k. (5.14)

5.5 Relasi dan Interseksi Diantara Titik, Garis, dan Bidang

Misalkan sebarang garis dan bidang masing-masing dinyatakan oleh

persamaan dalam bentuk

g c

zz

b

yy

a

xx 111

A x + B y + C z + D = 0.

Jika vektor arah garis ng dinyatakan oleh ng = <a,b,c> dan vektor normal

bidang adalah n = <A,B,C>, maka garis dan bidang adalah sejajar, jika kedua

vektor ng dan n saling tegaklurus, yaitu

ng . n = a A + b B + c B = 0. (5.15)

Garis g akan terletak pada bidang , bila dipenuhi kondisi

ng . n = a A + b B + c B = 0 (5.16)

dan

A x1 + B y1 + C z1 + D = 0.

Bagian I

77

Adapun garis g akan tegaklurus bidang , bila dipenuhi kondisi

c

C

b

B

a

A . (5.17)

Dengan demikian jika garis g dinyatakan oleh perpotongan dua bidang

1 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

2 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

dan vektor arahnya ng = <a,b,c> sebagai

a = 22

11

CB

CB b = -

22

11

CA

CA c =

22

11

BA

BA,

maka garis g akan tegaklurus atau sejajar garis lain h dengan vektor arah nh =

<a1,b1,c1>, bila masing-masing bentuk (5.15) atau (5.17) dipenuhi.

Andaikan diketahui dua garis dalam bentuk umum

g1 1

1

1

1

1

1

c

zz

b

yy

a

xx

(5.18)

dan

g2 2

2

2

2

2

2

c

zz

b

yy

a

xx

.

Kedua garis g1 dan g2 adalah sejajar jika

2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a (5.19)

dan keduanya adalah berimpit, jika selain kondisi (5.19) dipenuhi, maka

seharusnya dipenuhi juga sebarang titik di garis g1 akan terletak di g2 atau

sebaliknya, yaitu


7

8

2

21

2

21

2

21

c

zz

b

yy

a

xx

.

Di lain pihak, kedua garis akan berpotongan, jika kondisi (5.19) tidak dipenuhi

tetapi harga determinan dari empat titik berbeda, masing-masing dua titik pada

garis yang berbeda, adalah nol. Adapun kedua garis adalah bersilangan, jika

selain tidak dipenuhinya kondisi (5.19), juga tidak dipenuhi harga determinan

dari keempat titik tersebut nol. Dengan kata lain, kedua garis terjadi:

a). kesejajaran, jika <a1,b1,c1> = <a2,b2,c2> dengan bilangan real, titik

(x1,y1,z1) dan (x2,y2,z2) terletak di dua garis berbeda.

b). berimpit, jika <a1,b1,c1> = <a2,b2,c2> sedangkan (x1,y1,z1) dan (x2,y2,z2)

keduanya terletak di g1 atau g2.

c). perpotongan, jika <a1,b1,c1> <a2,b2,c2>, tetapi g1 dan g2 sebidang.

d). bersilangan, jika <a1,b1,c1> <a2,b2,c2> dengan g1 dan g2 tidak sebidang.

Misalkan dua bidang berikut

1 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

2 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

berpotongan dalam bentuk

1 (A1 x + B1 y + C1 z + D1) + 2 (A2 x + B2 y + C2 z + D2) = 0

atau

1 1 + 2 2 = 0 (5.20)

dengan 1 dan 2 konstanta real. Bentuk (5.20) ini adalah linier (berupa

persamaan bidang) disebut sebagai berkas bidang, yaitu himpunan bidang-

bidang yang melalui garis potong bidang 1 dan 2. Jika kedua bidang ini

sejajar, maka persamaan berkas bidang menjadi

A1 x + B1 y + C1 z = (5.21)

Bagian I

79

dengan suatu parameter.

Andaikan tiga bidang berikut

1 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

2 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

3 A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0

berpotongan tidak membentuk berkas bidang, dalam bentuk

1 1 + 2 2 + 3 3 = 0 (5.22)

dengan 1 , 2 dan 3 konstanta real, maka persamaan (5.22) ini merupakan

himpunan bidang-bidang yang melalui satu titik potong ketiga bidang 1 ,2 dan

3.

Misalkan dua titik di ruang P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z1). Jarak antara titik

P dan Q, dinotasikan PQ , dapat ditentukan dengan teorema Phytagoras

sebagai

2

12

2

12

2

12 )()()( zzyyxxPQ (5.23)

Andaikan titik P(xo,yo,zo) dan bidang Ax + By + Cz + D = 0, maka jarak d

dari titik P ke suatu bidang , dapat ditentukan melalui prosedur berikut

(Gambar 5.6):

a). Tulis bidang Ax + By + Cz + D = 0 dalam bentuk normal Hess dengan

normal satuan

nu = <222 CBA

A

,

222 CBA

B

,

222 CBA

C

>

sehingga

x Cos + y Cos + z Cos = p

atau


8

0

222 CBA

A

x +

222 CBA

B

y +

222 CBA

C

z – p = 0.

.

Gambar 5.6 Jarak titik terhadap bidang

b). Melalui titik P(xo,yo,zo) dapat dibangun bidang 1// dalam bentuk:

xo Cos + yo Cos + zo Cos = p d

Oleh sebab itu jarak dari titik P ke bidang adalah jarak antara 1 dan , yaitu

d = xo Cos + yo Cos + zo Cos – p

Jadi didapat

d = 222

000

CBA

DzCyBxA

(5.24)

Andaikan titik P(xo,yo,zo) dan garis

g c

zz

b

yy

a

xx 111

= , (5.25)

maka jarak d dari titik P ke garis g, dapat ditentukan melalui prosedur (Gambar

5.7):

X

i

Y

Z

j

k

O

n

1

n

n

u

p

d

P(xo,yo

,zo)

Bagian I

81

a). Bangunlah bidang melalui P dan tegaklurus terhadap g. Jadi jika Q(x,y,z)

sebarang titik di bidang , maka persamaan bidang yang dimaksud adalah

PQ . <a,b,c> = 0

< (x – xo),(y – yo),(z – zo)> . <a,b,c> = 0

atau

ax + by + cz - (axo + byo + czo) = 0. (5.26)

b). Tentukan titik potong T antara bidang dan garis g dengan cara substitusi

persamaan (5.25) ke (5.26) untuk menentukan nilai , kemudian mencari

koordinat T.

c). Jarak d dari P ke garis g adalah panjang PT.

Gambar 5.7 Jarak titik ke garis.

Misalkan diberikan dua persamaan garis di ruang:

g1 c

zz

b

yy

a

xx )()()( 111

g2 f

zz

e

yy

d

xx )()()( 222

dengan vektor-vektor <a,b,c> dan <d,e,f> merupakan vektor arah masing-

masing garis. Jika kedua garis terjadi besilangan, maka jarak antara keduanya d

dapat ditentukan melalui prosedur berikut (Gambar 5.8).

P(xo,yo,zo)

Q T d

g


8

2

Gambar 5.8 : Jarak dua garis bersilangan.

a). Melalui titik Q(x1,y1,z1) di g2 tarik garis g1’//g1. Dengan demikian dari g2

dan g1’ dapat dibangun bidang //g1. Bila R(x,y,z) sebarang titik di , maka

persamaan bidang dapat ditentukan oleh hubungan :

QR .[<a,b,c> <d,e,f> ] = 0

atau

< (x – x1),(y – y1),(z – z1)>. [<a,b,c> <d,e,f>] = 0 (5.27)

b). Tentukan titik P(xo,yo,zo) di g1.

c). Hitung jarak P ke bidang , yang merupakan jarak antara garis g1 terhadap

garis g2.

Contoh-contoh hitung Relasi dan Interseksi diantara Titik, Garis dan

Bidang

a). Nyatakan secara singkat persamaan bidang yang melalui titik P(x1,y1,z1),

Q(x2,y2,z2) dan R(x3,y3,z3) dalam bentuk determinan.

Penyelesaian:

Misalkan S(x,y,z) sebarang titik di bidang, maka vektor-vektor PS , PQ

dan PR sebidang sehingga tripel skalarnya nol. Dengan demikian

persamaan bidang dinyatakan oleh

P(xo,yo,zo)

Q

d

g1

g2

g1’

Bagian I

83

131313

121212

111

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

= 0.

b). Tentukan persamaan bidang melalui titik P(xo,yo,zo) sejajar bidang Ax

+ By + Cz + D = 0.

Penyelesaian:

Karena bidang dimaksud sejajar dengan bidang , maka normalnya juga

sejajar dengan normal bidang , yaitu n = <A,B,C>. Jadi persamaan bidang

tersebut adalah

<(x – xo),(y – yo),(z – zo)> . n = 0

atau

A (x – xo) + B (y – yo) + C (z – zo) = 0.

c). Tentukan persamaan garis g melalui titik P(xo,yo,zo) tegaklurus pada bidang

Ax + By + Cz + D = 0.

Penyelesaian:

Garis g tegaklurus terhadap , berarti g sejajar normal , yaitu g // n =

<A,B,C>. jadi persamaan garis dimaksud adalah

C

zz

B

yy

A

xxg 000

.

d). Garis g1 ditentukan oleh dua titik A(1,2,3) dan B(7,7,1). Sedangkan garis g2

pada bidang XOY dengan persamaan y = 6x. Hitunglah jarak g1 terhadap g2,

kemudian tentukan titik potong antara g1 dengan bidang yang dibentuk oleh

g2 dan sumbu Z.

Penyelesaian: Dengan menggunakan persamaan (5.12a), persamaan garis g1 didapat:


8

4

2

3

5

2

6

11

zyxg = (5.28)

dengan koefisien arahnya n1 = <6,5,-2>. Andaikan garis g1’ adalah garis

melalui titik awal O(0,0,0) di g2 dan g1’// g1, maka g1’ berbentuk

2

0

5

0

6

0'1

zyxg .

Sedangkan koefisien arah garis g2 diketahui n2 = <1,6,0>. Bidang //g1

yang dibentuk oleh garis g1’ dan g2 melalui O adalah

<(x – 0),(y – 0),(z – 0)> . [n1 n2] = 12x – 2y + 31z = 0.

Jadi jarak g1 terhadap g2 adalah jarak sebarang titik (7,7,1) di g1 terhadap

, yaitu diberikan oleh persamaan (5.24) berharga

d = 222 )31(2)12(

1.317.27.12

=

1109

101 3,03.

Adapun titik potong antara garis g1 dengan bidang 1 yang dibentuk oleh

sumbu Z dan garis g2, yaitu

1 <(x – 0),(y – 0),(z – 0)> . [ <0,0,1> n2] = -6 x + y = 0

terjadi pada harga dalam persamaan (5.28) berharga

- 6 (6 + 1) + (5 + 2 ) = 0 atau = - (4/31).

Jadi titik perpotongannya berkoordinat

x = (6) + 1 = 0,23

y = (5) + 2 = 1,35

z = (-2) + 3 = 3,26.

Bagian I

85

e). Tentukan persamaan garis yang ditentukan oleh garis potong bidang

1 3x + 7y + 8z + 3 = 0 (5.29)

2 2x + 3y + 7z -10 = 0.

Penyelesaian:

Vektor arah garis g hasil perpotongan antara 1 dan 2 adalah (Gambar 5.9)

ng = <3,7,8> <2,3,7>

= <25,-5,-5>

Tetapkan titik P pada garis g dengan mengambil harga z di z = 0, maka dari

(5.29) diperoleh harga x dan y dari persamaan-persamaan berikut

3x + 7y + 3 = 0

2x + 3y -10 = 0.

Karena itu harga x = 15,8 , sedangkan y = -7,2. Jadi koordinat titik P

didapat

x = 15,8

y = -7,2

z = 0.

Gambar 2.9 : Garis persekutuan dua bidang

2 2x + 3y + 7z -10 = 0

1 3x + 7 y + 8z + 3 = 0 P

g


8

6

Dengan demikian persamaan garis melalui titik P dan vektor arahnya ng

adalah

55

2,7

25

8,15

zyx.

c). Tunjukkan bahwa ketiga bidang berikut membentuk jaringan bidang

1 2x + 2y + 3z + 5 = 0

2 x + 2y + z + 1 = 0

3 4x + y + z + 2 = 0.

Penyelesaian:

Normal dari masing-masing bidang tersebut adalah

n1 = <2,2,3>

n2 = <1,2,1>

n3 = <4,1,1>.

Ketiga bidang membentuk jaringan bidang bila ketiganya berpotongan pada

satu titik, yaitu apabila ketiga vektor tersebut tidak ada yang berkelipatan

satu sama lain (independen). Dengan demikian harus ditunjukkan

determinan dari ketiga vektor tersebut tidak sama nol berikut

014

114

121

322

.

Kesimpulannya, ketiga bidang membentuk jaringan bidang.

Bagian I

87

BAB 6

BENDA KUADRATIS RUANG

Dalam rancang bangun benda, permukaan komponen benda yang

dikonstruksi dapat berisfat datar, lengkung sederhana, atau bahkan kompleks.

Selain itu, pendekatan konstruksi bentuk komponen benda tersebut dapat

diambil (menggunakan) bagian potongan bidang, bola, ellipsoida, atau

mungkin benda-benda standar lainnya. Sehubungan dengan keperluan operasi

pemodelan komponen benda tersebut, dalam bab ini kita pelajari tentang

formulasi implisit dari benda-benda kuadratis ruang.

6.1 BOLA

Definisi 6.1 : Permukaan bola adalah himpunan titik-titik di ruang yang

jaraknya terhadap titik tertentu (pusat bola) adalah konstan.

Dari definisi tersebut, jika P(x,y,z) sebarang titik pada bola yang

berpusat di O(0,0,0), maka bentuk persamaan bola adalah (Gambar 6.1a)

rOP

rzyx 222

atau

x2 + y2 + z2 = r2 (6.1)

dengan r disebut jari-jari bola berharga real (konstan). Sedangkan jika pusatnya

di P(a,b,c), maka persamaan bola yang diperoleh berbentuk (Gambar 6.1b)

rPQ

(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2 (6.2)

atau x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + (a2 + b2 + c2 – r2) = 0.


8

8

(a) (b)

Gambar 6.1 Bola.

Dengan demikian bentuk umum persamaan bola dinyatakan oleh

x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 (6.3)

dengan

A = – 2a (6.3a)

B = – 2b (6.3b)

C = – 2c (6.3c)

D = a2 + b2 + c2 – r2. (6.3d)

Untuk sebaliknya, jika diketahui persamaan lingkaran dalam bentuk

umum

x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0,

maka

(x2 + Ax + ¼ A2) +

(y2 + By + ¼ B2) +

(z2 + Cz + ¼C2) = (¼ A2 + ¼ B2 + ¼ C2 - D)

atau

(x + ½ A)2 + (y + ½ B)2 + (z + ½ C)2 = (¼ A2 + ¼ B2 + ¼ C2 - D).

Jadi pusat lingkaran tersebut adalah (-½ A, - ½ B, - ½ C) dengan jari-jari

r2 = (¼ A2 + ¼ B2 + ¼ C2 - D)

X

Z

Y

P

O

r

X

Y

Z

O

r

Q

P(a,b,c)

Bagian I

89

atau

DCBAr 222

4

1

4

1

4

1. (6.4)

Bentuk-bentuk ini adalah identik dengan kesamaan (6.3a,b,c,d) untuk lingkaran

berpusat di P(a,b,c) dan jari-jari r.

Dari persamaan (6.4) tersebut, terdapat beberapa hal berikut mengenai

lingkaran yang terbentuk:

a). jika (¼ A2 + ¼ B2 + ¼ C2 – D) > 0, maka didapat bola nyata;

b). jika (¼ A2 + ¼ B2 + ¼ C2 – D) = 0, didapatkan sebuah titik;

c). jika (¼ A2 + ¼ B2 + ¼ C2 – D) < 0, didapat bola imajiner.

Pandang suatu titik T(x1,y1,z1) di bola x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D =

0. Karena titik pada bola, maka memenuhi persamaan bola, yaitu

x12 + y1

2 + z12 + Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0.

Sedangkan bola tersebut memiliki pusat di P(-½ A, - ½ B, - ½ C). Oleh sebab

itu garis g yang melalui pusat bola P dan titik T, memiliki vektor arah

(koefisien arah) garis

ng = < (x1+ ½ A), (y1 + ½ B), (z1+ ½ C)>.

Bidang singgung di titik T adalah tegaklurus terhadap jari-jari bola, maka

persamaannya berbentuk

<(x – x1), (y – y1), (z – z1)>. ng = 0 (6.5)

atau

x1x + y1y + z1z + ½ A(x + x1) + ½ B(y + y1) + ½ C (z + z1) + D = 0

dengan diketahui x12 + y1

2 + z12 + Ax1 + By1 + Cz1+ D = 0.

Bilamana harga A = B = C = 0, yaitu bola berpusat di O(0,0,0), maka

persamaan bidang singgung bola adalah


9

0

x1x + y1y + z1z + D = 0 (6.6)

atau

x1x + y1y + z1z = r2.

Gambar 6.2 Bidang singgung bola di titik T.

Misalkan titik K(xo,yo,zo) diluar bola, maka dapat dibangun bidang

singgung bola melalui titik K ini sebanyak tidak terhingga bidang singgung.

Jika bidang singgungnya di titik T(x1,y1,z1), maka persamaan bidang singgung

ini adalah

x1x + y1y + z1z + ½ A(x + x1) + ½ B(y + y1) + ½ C(z + z1) + D = 0 (6.7a)

Karena bidang ini harus melalui K(xo,yo,zo), maka persamaan ini memenuhi

x1xo+y1yo+z1zo+½A(xo + x1) + ½ B(yo + y1) + ½ C(zo + z1) + D = 0 (6.7b)

Singkatnya, jika titik S(x,y,z) adalah titik di bidang singgung, maka persamaan

bidang singgung yang melalui titik S, K dan P dinyatakan oleh hubungan

(Gambar 6.2)

0.0. PTTKdanPTTS

atau

<(x-x1),(y-y1),(z-z1)> . <(x1+½A),(y1+½B),(z1+½C)> = 0

<(xo-x1),(yo-y1),(zo-z1)> . <(x1+½A),(y1+½B),(z1+½C)> = 0.

Y

X

Z

O

K

T

P

r

S(x,y,z)

Bagian I

91

Dari bentuk (6.7b) dapat disimpulkan bahwa titik singgung di T(x1,y1,z1) harus

memehuhi bentuk

xox + yoy + zoz + ½ A(x + xo) + ½B(y + yo) + ½C(z +zo) + D = 0 (6.8)

Oleh sebab itu, persamaan (6.8) ini merupakan persamaan bidang-

bidang singgung yang menyelubungi bola membentuk kerucut singgung bola

berpuncak di K. Adapun titik-titik singgung yang diperoleh, membentuk

lingkaran singgung kerucut. Bidang ini disebut dengan bidang kutub dari titik

K.

Tulislah dua bola B1 dan B2 berbentuk umum

B1 x2 + y2 + z2 + A1x + B1y + C1z + D1 = 0

B2 x2 + y2 + z2 + A2x + B2y + C2z + D2 = 0

sebagai

B1 + B2 = 0

dengan suatu bilangan real. Untuk setiap nilai yang diberikan, maka juga

diperoleh suatu persamaan bola yang melalui lingkaran potong kedua bola

tersebut (hal khusus jika = - 1, bola yang diperoleh dianggap berjari-jari tidak

terhingga). Persamaan linier dari kedua bola ini, selanjutnya disebut sebagai

berkas bola.

Andaikan tiga bola B1, B2 dan B3 (yang tidak membentuk berkas) berikut

B1 x2 + y2 + z2 + A1x + B1y + C1z + D1 = 0

B2 x2 + y2 + z2 + A2x + B2y + C2z + D2 = 0

B3 x2 + y2 + z2 + A3x + B3y + C3z + D3 = 0

dinyatakan dalam bentuk

B1 + 1B2 + 2B3 = 0


9

2

dengan 1 dan 2 suatu bilangan real, maka kita dapatkan persamaan linier dari

ketiga bola. Bentuk ini kita sebut sebagai jaringan bola.

Contoh-contoh hitung bola

a). Tentukan pusat dan jari-jari bola dari bentuk umum

x2 + y2 + z2 + 4x – 6y + 2z – 2 = 0.

Penyelesaian:

Dari persamaan (6.4), didapatkan pusat bola P(x,y,z) dengan

x = - ½ . 4 = -2

y = - ½ . -6 = 3

z = - ½ . 2 = -1

dan jari-jarinya r sebagai

24.4

136.

4

116.

4

1r = 4.

b). Dalam persamaan umum (6.3) terdapat empat parameter A, B, C dan D.

Oleh sebab itu secara umum, bola didefinisikan oleh empat titik. Tentukan

rumus untuk bola melalui titik yang tidak sebidang P(x1,y1,z1), Q(x2,y2,z2),

R(x3,y3,z3) dan S(x4,y4,z4).

Penyelesaian:

Keempat titik tersebut memenuhi persamaan bola (6.3), oleh sebab itu

persamaan bola dapat ditentukan melalui determinan

0

1

1

1

1

1

444

2

4

2

4

2

4

333

2

3

2

3

2

3

222

2

2

2

2

2

2

111

2

1

2

1

2

1

222

zyxzyx

zyxzyx

zyxzyx

zyxzyx

zyxzyx

Bagian I

93

c). Evaluasi perpotongan dari dua bola

B1 x2 + y2 + z2 + A1x + B1y + C1z + D1 = 0

B2 x2 + y2 + z2 + A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

Penyelesaian:

Dengan pengurangan suku per suku kita dapatkan persamaan bidang

(A2 – A1)x + (B2 – B1)y + (C2 – C1)z + (D2 – D1) = 0

Bidang tersebut tegaklurus terhadap garis hubung pusat bola P1(-½A1,-

½B1,- ½C1) dan P2(-½A2, - ½B2, - ½C2) serta memuat lingkaran potong

kedua bola.

d). Evaluasi relasi yang terjadi antara bola x2 + y2 + z2 + 6x – 4y + 2z – 3 = 0

dan bidang 2x + 3y + x = 0, kemudian tentukan bidang singgung bola di

T(1,2,0).

Penyelesaian:

Dari solusi soal (a) diketahui bahwa bola tersebut pusatnya P(-3,2,-1) dan

jari-jarinya r = 4. Jarak titik P ke bidang adalah

d = 14

1

132

)1.1()2.3()3.2(

222

< r.

Jadi bola dan bidang saling berpotongan membentuk suatu lingkaran

dengan jari-jari r1 = 22 dr 3,99. Oleh sebab itu persamaan lingkaran

di ruang dapat dinyatakan sebagai interseksi antara suatu bidang dan bola.

Adapun bidang singgung di T(1,2,0), dapat dicari melalui persamaan (6.5)

dan diperoleh bentuk 3x – y + z – 6 = 0.

6.2 Elipsoida

Misalkan pada bidang XOY dan YOZ masing-masing ditentukan elips

dengan persamaan (Gambar 6.3)


9

4

12

2

2

2

b

y

a

x (6.9)

dan

12

2

2

2

c

z

b

y. (6.10)

Kedua elips puncaknya berimpit di sumbu OY.

Gambar 6.3: Puncak dua elips berimpit di sumbu OY.

Pandanglah ketentuan-ketentuan berikut:

a) Elips di bidang XOY digerakkan secara sejajar sepanjang sumbu OZ dan

pusat elips hasil pergerakan dipertahankan tetap di sumbu OZ.

b) Semua elips hasil pergerakan selain tegaklurus terhadap sumbu OZ, satu

terhadap yang lain saling sebangun.

c) Puncak elips hasil pergerakan selalu terletak di bidang YOZ.

Misalkan elips persamaan (6.9) di bidang XOY atau z = 0, digerakkan

ke bidang z = . Menurut ketentuan tersebut, maka sumbu-sumbu elips baru

akan sejajar sumbu-sumbu lama dan pada bidang YOZ, titik (0, y, ) akan

terletak di elips (6.10) sehingga berlaku

X

Y

Z

O

Elips-elips sebangun dan

saling sejajar

Bagian I

95

12

2

2

2

cb

y

y2 = b2(1 – 2

2

c

)

atau

y = 22 cc

b.

Karena elips di bidang z = harus sebangun dengan di bidang XOY

yang setengah sumbu-sumbunya adalah a dan b, maka perbandingan setengah

sumbu-sumbu elips di bidang z = juga harus sama, yaitu a:b. Oleh sebab itu

setengah sumbu-sumbu yang lain di bidang z = ini adalah

x = 22 cc

a.

Jadi di persamaan elips di bidang z = adalah

1)()(

2

222

2

2

222

2

c

cb

y

c

ca

x

. (6.11)

Jika parameter dari persamaan z = disubstitusikan ke persamaan (6.11),

maka didapat persamaan permukaan

2

22

2

2

2

2

c

zc

b

y

a

x

atau

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x.

Persamaan ini adalah suatu elipsoida dan dalam hal khusus jika a = b,

maka elipsoida yang didapat berupa elipsoida putar.


9

6

Seperti pembahasan bidang singgung pada bola, persamaan bidang

singgung paraboloida di suatu titik dapat diuraikan sebagai berikut. Padang

suatu titik T(x1,y1,z1) di paraboloida

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x. (6.12)

Karena titik pada paraboloida, maka titik memenuhi persamaan paraboloida,

yaitu

12

2

1

2

2

1

2

2

1 c

z

b

y

a

x.

Sedangkan persamaan garis melalui titik tersebut dapat dinyatakan dengan

r

zz

q

yy

p

xx111

atau

x – x1 = p ; y – y1 = q ; z – z1 = r. (6.13)

Jika garis ini memotong elipsoida, maka persamaan titik potongnya dapat

diperoleh dari hubungan persamaan (6.13) dan (6.12), yaitu

1)()()(

2

2

1

2

2

1

2

2

1

c

rz

b

qy

a

px

atau

0)()222

( 2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1 c

r

b

q

a

p

c

rz

b

qy

a

px. (6.14)

Garis tersebut menyinggung elipsoida jika diskriminan persamaan (6.14)

adalah nol, yaitu jika harga

)222

(2

1

2

1

2

1

c

rz

b

qy

a

px = 0 (6.15)

Bagian I

97

sehingga didapatkan akar kembar dari persamaan kudrat tersebut adalah = 0.

Garis singgung ini terletak pada bidang singgung elipsoida di titik T(x1,y1,z1).

Oleh sebab itu himpunan garis-garis singgung di titik T diperoleh dengan

substitusi (6.13) ke (5.15), yaitu

12

1

2

1

2

1 c

zz

b

yy

a

xx (6.16)

yang merupakan bentuk persamaan bidang singgung di T(x1,y1,z1).

6.3 Hiperboloida

6.3.1 Hiperboloida Daun Satu


dan hiperbola dengan persamaan (Gambar 6.4)

12

2

2

2

b

y

a

x (6.17)

dan

. 12

2

2

2

c

z

b

y (6.18)

Gambar 6.4 Dua puncak elips menyinggung hiperbola.

X

Y

Z

O


9

8

Dengan memperhatikan ketentuan-ketentuan seperti yang dilakukan

pada konstruksi permukaan elipsoida, gerakkan elips secara sejajar sepanjang

sumbu OZ. Misalkan letak elips di bidang z = . Menurut ketentuan tersebut,

maka sumbu-sumbu elips baru akan sejajar sumbu-sumbu lama dan pada

bidang YOZ, titik (0, y, ) akan terletak di hiperbola (6.18) sehingga berlaku

12

2

2

2

ca

y

y2 = b2 (1 + 2

2

c

)

atau

y = 22 cc

b.

Karena elips di bidang z = harus sebangun dengan di bidang XOY

yang setengah sumbu-sumbunya adalah a dan b, maka perbandingan setengah

sumbu-sumbu elips di bidang z = juga harus sama, yaitu a : b. Oleh sebab itu

setengah sumbu-sumbu yang lain di bidang z = ini adalah

x = 22 cc

a.

Jadi di persamaan elips di bidang z = adalah

1)()(

2

222

2

2

222

2

c

cb

y

c

ca

x

. (6.19)

Jika parameter dari persamaan z = disubstitusikan ke persamaan

(6.19), maka didapat persamaan permukaan hiperboloida daun satu

2

22

2

2

2

2

c

zc

b

y

a

x

atau

Bagian I

99

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x. (6.20)

Dalam hal khusus jika a = b, maka permukaan tersebut berupa

hiperboloida putar berdaun satu.

Untuk mencari persamaan bidang singgung yang terjadi di titik

T(x1,y1,z1), prosedurnya dapat kita lakukan seperti halnya pada kasus elipsoida.

Hasil yang diperoleh menurut cara tersebut adalah

12

1

2

1

2

1 c

zz

b

yy

a

xx. (6.21)

Tulislah persamaan (6.20) sebagai bentuk

)1)(1())((b

y

b

y

c

z

a

x

c

z

a

x

maka didapat hubungan

)1(1

dan)1(b

y

c

z

a

x

b

y

c

z

a

x

. (6.22)

Dari penyajian (6.20) dan (6.22) dapat disimpulkan bahwa hiperboloida

daun satu (6.20) dapat dibangun oleh garis-garis hasil interseksi bidang-bidang

(6.22). Dengan demikian dari bentuk (6.22) disimpulkan beberapa sifat berikut:

a) Garis-garis dalam satu sistem (6.22) tidak memiliki titik persekutuan.

Misalkan garis-garis didefinisikan oleh parameter berbeda 1 dan 2

sehingga

)1(1

dan)1(1

1b

y

c

z

a

x

b

y

c

z

a

x


1

0

0

)1(1

dan)1(2

2b

y

c

z

a

x

b

y

c

z

a

x

maka diperoleh hubungan

)1(0)1(0b

ydan

b

y .

Jadi keduanya saling berlawanan tidak memiliki titik persekutuan.

b) Melalui satu titik di permukaan, ada satu garislurus untuk masing-masing

sistem tersebut. Pandang persamaan garis (6.22) melalui titik T(x1,y1,z1),

maka

)1(1

dan

)1(

111

111

b

y

c

z

a

x

b

y

c

z

a

x

Jika harga disubstitusikan dari satu kepada yang lain, didapat titik

memenuhi persamaan hiperboloida. Jadi hanya satu garis yang melalui titik

tersebut.

c) Setiap garis lurus yang dibangun dari (6.22) memotong semua garis lurus

yang lain. Pilih satu garis lurus

)1(1

dan)1(1

1b

y

c

z

a

x

b

y

c

z

a

x

dan yang lain

)1(1

dan)1(b

y

c

z

a

x

b

y

c

z

a

x

,

Bagian I

101

maka satu dengan yang lain saling bergantung, sebab bentuk persamaan

yang didapat adalah

)1(1

)1(

dan

)1(1

)1(

1

1

b

y

b

y

b

y

b

y

6.3.2 Hiperboloida Daun Dua


dan hiperbola dengan persamaan (Gambar 6.5)

12

2

2

2

b

y

a

x (6.23)

dan

12

2

2

2

c

z

b

y. (6.24)

Gambar 6.5 : Hiperboloida daun dua

X

Y

Z

O


1

0

2

Jika elips digerakkan sejajar sepanjang sumbu OZ, maka dengan menggunakan

prosedur seperti pada hiperboloida daun satu, di bidang z = diperoleh elips

1)()(

2

222

2

2

222

2

c

cb

y

c

ca

x

. (6.25)


maka didapat persamaan permukaan hiperboloida daun dua

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x. (6.26)

Dalam hal a = b, maka permukaan yang didapat berupa permukaan

hiperboloida putar daun dua.

Adapun bidang singgung di titik T(x1,y1,z1) pada permukaan, persamaannya

diberikan oleh bentuk :

12

1

2

1

2

1 c

zz

b

yy

a

xx. (6.27)

6.4 Paraboloida

Misalkan suatu parabola pada bidang XOZ dalam bentuk :

x2 = 2 pz (6.28)

Sepanjang parabola ini, digerakkan suatu elips sejajar bidang XOY dengan

pusat elips dipertahankan di sumbu OZ sehingga perbandingan setengah

sumbu-sumbunya selalu sama dengan perbandingan setengah sumbu-sumbu

elips

12

2

2

2

b

y

a

x

Bagian I

103

Elips pada kedudukan z = , setengah sumbu-sumbunya adalah

,2

dan

2

pa

by

px

sehingga didapat persamaan paraboloida elliptik (Gambar 6.6) dalam bentuk

1)2(2 2

222

pb

ya

p

x. (6.29)

O

Gambar 6.6 : Paraboloida eliptik


maka didapat persamaan permukaan paraboloida eliptik

.02

22

2

2

2

za

p

b

y

a

x (6.30)

X

Y

Z

O


1

0

4 Adapun bidang singgung di titik T(x1,y1,z1) pada permukaan ini,

persamaannya diberikan oleh bentuk

0)(122

1

2

1 zza

p

b

yy

a

xx. (6.31)

Jika pada persamaan parabola (6.28) yang kita gerakkan sejajar bidang

XOY adalah hiperbola

12

2

2

2

b

y

a

x,

maka permukaan yang terjadi berbentuk paraboloida hiperbolik (Gambar 6.7)

02

22

2

2

2

za

p

b

y

a

x. (6.32)

Gambar 6.7 : Paraboloida hiperbolik.

Bidang singgung di suatu titik T(x1,y1,z1) pada permukaan ini, persamaannya

diberikan oleh bentuk

0)(122

1

2

1 zza

p

b

yy

a

xx. (6.33)

X

Y

Z

O

Bagian I

105

Seperti halnya pada hiperboloida daun satu, tulislah persamaan

paraboloida hiperbolik (6.32) dalam bentuk

za

p

b

y

a

x

b

y

a

x2

2))(( ,

sehingga didapat hubungan

)2

(1

)(dan)(2a

p

b

y

a

xz

b

y

a

x

. (6.34)

Sisten persamaan (6.34) menyatakan garis-garis yang dibangun oleh

perpotongan kedua bentuk persamaan bidang. Sehubungan dengan persamaan

(6.34) ini terdapat beberapa sifat berikut:

a) dua garis dalam sistem yang sama didapat saling menyilang;

b) melalui satu titik di permukaan, ada satu garislurus untuk masing-masing

sistem tersebut;

c). setiap garis lurus yang dibangun dari (6.34) memotong semua garis lurus

yang lain.


1

0

6 BAB 7

PERMUKAAN PUTAR DAN GARIS

Dalam mendesain benda industri, untuk mendapatkan unsur keindahan

(khususnya kesimetrian benda) atau kesederhanaan kecekungan permukaan

benda, dapat menggunakan teknik konstruksi permukaan putar atau bentuk

permukaan garis. Agar kita dapat memanfaatkan teknik tersebut, pada bab ini

dikenalkan cara membangun kedua jenis permukaan dimaksud. Untuk itu

dalam penyajiannya, pertama, didefinisikan permukaan putar, dan kemudian

dirumuskan ke dalam bentuk rumusan matematisnya. Kedua, didefinisikan

pengertian permukaan garis beserta formulasinya.

7.1 Permukaan Putar

Definisi 7.1 : Permukaan putar adalah suatu permukaan yang dibangkitkan

oleh suatu kurva ruang C (sebagai generatrik) diputar mengitari

sebuah sumbu putar g yang disebut sebagai sumbu putar

(Gambar 7.1).

Dalam membahas permukaan putar, terdapat beberapa istilah yang

perlu diketahui. Pertama, bagian bidang-bidang penampang yang melalui

sumbu putar dan dibatasi oleh permukaan putar, disebut dengan istilah

penampang-penampang meridian. Semua penampang-penampang meridian

adalah saling kongruen. Sedangkan lingkaran-lingkaran paralel permukaan

putar adalah perpotongan antara bidang-bidang sejajar yang tegaklurus sumbu

putar dengan permukaan putar.

Bagian I

107

Gambar 7.1 Permukaan Putar

Sehubungan dengan Gambar 7.1, pandanglah sumbu putar g melalui pusat bola

B di P(xo,yo,zo) dengan persamaan

c

zz

b

yy

a

xx000

. (7.1)

Sebarang lingkaran paralel L dari permukaan adalah interseksi antara bola B

dalam bentuk

(x – xo)2 + (y – yo)

2 + (z – zo)2 = 1 (7.2)

dengan suatu bidang yang memiliki normal <a,b,c> , misalnya dalam

bentuk

ax + by + cz = 2. (7.3)

Kedua parameter 1 dan 2, mendefinisikan lingkaran-lingkaran paralel

tegaklurus terhadap sumbu putar g didukung oleh perputaran kurva direktrik C.

Kondisi ini secara umum dinyatakan dalam bentuk G(1,2) = 0 dan

permukaan putar yang didapat merupakan persamaan dari bentuk

G((x – xo)2 + (y – yo)

2 + (z – zo)2, ax + by + cz) = 0. (7.4)

Dalam praktek untuk memudahkan perhitungan mendapatkan permukaan putar

ini, dipilih salah satu sumbu-sumbu putar OX, OY atau OZ.

Misalkan permukaan putar didefinisikan oleh perputaran terhadap

sumbu OZ dari sebuah kurva berbentuk

C

B

L

g

P(xo,yo

,zo)


1

0

8 y = 0 dan f(x,z) = 0

di bidang XOZ. Jika ditetapkan sebuah titik (xo,yo,zo) pada kurva, maka titik

memenuhi persamaan kurva, yaitu

yo = 0 (7.5a)

dan

f(xo,zo) = 0. (7.5b)

Perputaran titik ini pada sumbu OZ, melukiskan sebuah lingkaran dengan

persamaan dalam kondisi (Gambar 7.2)

z = zo (7.5c)

dan

x2 + y2 + z2 = xo2 + yo

2 + zo2. (7.5d)

Bentuk (7.5c,d) menyatakan bidang melalui z = zo tegaklurus sumbu OZ dan

bola melalui titik (xo,yo,zo) berpusat di titik awal O(0,0,0). Jika bentuk

persamaan (7.5a) dan (7.5c) disubstitusikan pada persamaan (7.5d), kemudian

hasilnya substitusikan ke (7.5b), maka kita dapatkan lingkaran-lingkaran yang

berpusat sepanjang sumbu putar. Jadi persamaan permukaan putar adalah

f (22 yx , z) = 0. (7.6)

Gambar 7.2 Perputaran titik terhadap sumbu OZ.

X

Y

Z

O

(xo,yo,z

o)

Bagian I

109

Demikian juga, permukaan putar yang didefinisikan oleh perputaran terhadap

sumbu OZ dari sebuah kurva berbentuk

x = 0 dan f(y,z) = 0

di bidang YOZ, persamaannya adalah

f (22 yx , z) = 0. (7.7)

Contoh-contoh permukaan putar

a). Tunjukkan permukaan garis dengan persamaan x = 0 dan y = r diputar

terhadap sumbu OZ membangun silinder x2 + y2 = r2.

Penyelesaian:

Misalkan sebarang titik (xo,yo,zo) pada garis, maka titik memenuhi

persamaan garis

xo = 0 (7.8a)

dan

yo = r (7.8b)

Persamaan bidang melalui (xo,yo,zo) tegaklurus sumbu OZ adalah

z = zo (7.8c)

dan bola melalui titik tersebut dengan puasat O adalah

x2 + y2 + z2 = xo2+ yo

2 + zo2. (7.8d)

Jika persamaan (7.8a,c) disubstitusikan ke (7.8d) didapatkan

x2 + y2 = yo2. (7.8e)


1

1

0 Jadi dari hubungan (7.8b,e) didapatkan persamaan permukaan silinder

x2 + y2 = r2.

b). Tunjukkan garis y = 0 dan x/a + z/b = 1 diputar terhadap sumbu OZ

membangun permukaan kerucut 1

22

b

z

a

yx.

Penyelesaian:

Misalkan sebarang titik (xo,yo,zo) pada garis, maka titik memenuhi

persamaan garis

yo = 0 (7.9a)

dan

xo/a + zo/b = 1. (7.9b)


z = zo (7.9c)


x2 + y2 + z2 = xo2+ yo

2 + zo2. (7.9d)


x2 + y2 = xo2. (7.9e)

Jadi dari hubungan (7.8b,c,e) didapatkan persamaan permukaan kerucut

1

22

b

z

a

yx.

Bagian I

111

c). Ellips x = 0 dan 012

2

2

2

b

z

a

y diputar terhadap sumbu OZ, mendapatkan

ellipsoida putar

012

2

2

22

b

z

a

yx.

d). Tunjukkan hiperbola y = 0 dan 12

2

2

2

b

z

a

x diputar terhadap sumbu OZ,

mendapatkan hiperboloida putar daun satu 12

2

2

2

2

2

c

z

a

y

a

x.

Penyelesaian:

Misalkan sebarang titik (xo,yo,zo) pada hiperbola, maka titik memenuhi

persamaan hiperbola

yo = 0 (7.10a)

dan

12

2

0

2

2

0

2

2

0 c

z

a

y

a

x. (7.10b)


z = zo (7.10c)


x2 + y2 + z2 = xo2 + yo

2 + zo2. (7.10d)


x2 + y2 = xo2. (7.10e)

Jadi dari hubungan (7.10a,b,c,e) didapatkan persamaan hiperboloida putar

daun satu


1

1

2

12

2

2

2

2

2

c

z

a

y

a

x.

e). Hiperbola y = 0 dan 12

2

2

2

c

z

a

x diputar terhadap sumbu OX,

mendapatkan hiperboloida putar daun dua

12

2

2

2

2

2

c

z

a

y

a

x.

f). Parabola x = 0 dan y2 – 2pz = 0 diputar terhadap sumbu OZ, mendapatkan

paraboloida putar

x2 + y2 – 2pz = 0.

g). Tunjukkan bahwa garis y = a dan z = mx diputar terhadap sumbu OZ

(Gambar 7.3) mendapatkan hiperboloida putar daun satu

122

2

2

2

2

2

ma

z

a

y

a

x.

Gambar 7.3 Perputaran garis di bidang y = a terhadap sumbu OZ

X

Y

Z

O

(xo,a,mxo)

Bidang y = a

z = mx

a

Bagian I

113

Penyelesaian:

Misalkan sebarang titik (xo,a,mxo) pada garis, maka titik memenuhi

persamaan garis

yo = a (7.11a)

dan

z = mxo (7.11b)

Persamaan bidang melalui (xo,a,mxo) tegaklurus sumbu OZ adalah

z = mxo (7.11c)

dan persamaan lingkaran di bidang tersebut sebagai

x2 + y2 = xo2 + a2 . (7.11d)

Jika persamaan (7.11c) disubstitusikan ke (7.11d) didapatkan hiperboloida

putar daun satu

122

2

2

2

2

2

ma

z

a

y

a

x.

Prosedur membangun permukaan putar dari kurva-kurva direktrik garis,

ellips, hiperbola ataupun parabola terhadap sumbu putar OX ataupun OY dapat

dilakukan seperti pada kasus sumbu putar OZ. Adapun jika sumbu putar dipilih

sebarang garis, prosedurnya dapat diuraikan sebagai berikut.

Misalkan persamaan sumbu putar dipilih

c

zz

b

yy

a

xx111

dan kurva direktrik dalam bentuk

f1(x,y,z) = 0 dan f2(x,y,z) = 0.


1

1

4 Tetapkan titik pada kurva, maka titik memenuhi persamaan

f1(xo,yo,zo) = 0 dan f2(xo,yo,zo) = 0. (7.12a)

Bidang melalui titik tersebut dan tegaklurus sumbu putar adalah

<a,b,c> . <(x – xo),(y – yo),(z – zo)> = 0

atau

a(x – xo) + b(y – yo) + c(z – zo)> = 0. (7.12b)

Sedangkan bola dengan pusat (x1,y1,z1) dan jari-jari terhadap titik (xo,yo,zo)

adalah

(x – x1)2 + (y – y1)

2 + (z – z1)2 = (xo – x1)

2 + (yo – y1)2 + (zo – z1)

2 (7.12c)

Dengan melakukan substitusi persamaan-persamaan (7.12a,b,c) dari satu

terhadap yang lain untuk nilai-nilai xo,yo dan zo, maka diperoleh persamaan

permukaan putar.

Contoh permukaan putar dengan sumbu putar dari sebarang garis

Tentukan permukaan putar yang didapat dari perputaran ellips di bidang XOY

z = 0

dan

x2 + 2y2 – 2x = 0

diputar terhadap garis di bidang XOZ

y = 0

dan

z = px.

Bagian I

115

Penyelesaian:

Tetapkan sebarang titik (xo,yo,0) pada ellips, maka

xo2 + 2yo

2 – 2xo = 0. (7.13a)

dan persamaan bidang melalui (xo,yo,0) tegaklurus garis adalah

<1,0,p>. <(x – xo),(y – yo),z > = 0 (7.13b)

atau

x – xo + pz = 0.

Persamaan bola berpusat di O(0,0,0) dan melalui (xo,yo,0) adalah

x2 + y2 + z2 = xo2 + yo

2. (7.13c)

Dari persamaan (7.13a,b,c), diperoleh bentuk persamaan permukaan putar

x2 + 2y2 + (2 – p2) z2 – 2 pxz – 2x – 2pz = 0.

7.2 Permukaan Garis

Definisi 7.2 : Permukaan garis adalah suatu permukaan yang dibangkitkan oleh

suatu garis g (disebut generatrik) yang digerakkan menyinggung

sepanjang kurva satu arah C yang disebut direktrik (Gambar

7.4).

Kurva Direktrik

Gambar 7.4 Permukaan garis

g

C


1

1

6 Beberapa contoh dari permukaan garis adalah permukaan silinder dan

kerucut. Adapun penyajian aljabar dari permukaan garis dapat dijelaskan

sebagai berikut.

Misalkan garis-garis lurus dalam bentuk

x = mz + p (7.14)

dan

y = nz + q.

Kurva direktrik dinyatakan oleh bentuk

f1(x,y,z) = 0 (7.15)

dan

f2(x,y,z) = 0.

Jika garis memotong kurva dan terdapat harga-harga x, y dan z memenuhi

persamaan (7.14) dan (7.15), maka untuk mendapatkan persamaan permukaan

garis tersebut, terlebih dahulu diperlukan hitung harga parameter-parameter m,

p, n dan q. Dalam hal ini untuk memudahkan proses perhitungannya, umumnya

diperlukan lagi syarat-syarat tambahan.

Contoh hitung permukaan garis

Diketahui dua garis dibangkitkan oleh

x = 0 dan y = 1

y = 0 dan x = z

dan kurva dalam bentuk

xz – x + z = 0 (7.16a)

dan

x = y. (7.16b)

Bagian I

117

Persamaan garis memotong (melalui) kedua garis adalah

x + 1(y – 1) = 0 (7.16c)

dan

y + 2 (x – z) = 0. (7.16d)

Jika dilakukan substitusi diantara persamaan (7.16a,b,c,d) sehingga y dan z

pada persamaan (7.16c,d) dapat dinyatakan dalam 1 dan 2, kemudian

disubstitusikan ke persamaan (7.16a), maka diperoleh

1 2 + 21 + 1 = 0. (7.16e)

Selanjutnya, jika solusi persamaan (7.16e) disubstitusikan ke persamaan

(7.16c,d), maka didapatkan permukaan garis

x = 0, y = 0

dan

2x2 – 2xy – 2xz + yz + x – z = 0.


1

1

8 BAB 8

SILINDER DAN KERUCUT

Sehubungan dengan keperluan pemodelan benda-benda industri, selain

diperlukan studi bentuk kuadratis ruang, juga dibutuhkan studi tentang

formulasi permukaan silinder dan kerucut. Hal ini dikarenakan bentuk silinder

dan kerucut juga banyak dimanfaatkan dalam pemodelan permukaan benda-

benda industri dimaksud.

Tujuan studi dalam bab ini adalah, pertama, kita dapat mendefinisikan

pengertian silinder dan, kemudian, mampu menyatakannya ke dalam

persamaan matematis silinder. Kedua, dapat menurunkan persamaan kerucut

yang dibangun oleh suatu garis yang digerakkan sepanjang kurva dan, di lain

pihak, garis tersebut diharuskan melalui titik tetap. Selanjutnya dari hasil

formulasi tersebut, dilakukan contoh hitung konstruksi silinder dan kerucut.

Diskusi operasinal mengenai topik ini, diuraikan sebagai berikut.

8.1 Silinder

Definisi 8.1 : Permukaan silinder adalah suatu permukaan yang dibangun oleh

suatu garis g (disebut generatrik) digerakkan secara paralel

menyinggung sepanjang kurva satu arah C (disebut kurva

direktrik) dengan kondisi geometrik tertentu. Garis-garis paralel

hasil gerakan ini disebut garis pelukis silinder.

Dari definisi tersebut, jika garis-garis paralel itu (garis pelukis)

memiliki koefisien arah a, b dan c, maka persamaan garis yang melalui titik

tertentu (xo,yo,zo) di kurva adalah (Gambar 8.1)

c

zz

b

yy

a

xx000

(8.1)

Dari persamaan (8.1), misalkan

bz – cy = 1

dan

Bagian I

119

bx – ay = 2,

maka kondisi geometrik dimaksud berbentuk

G(1, 2) = 0. (8.2)

Gambar 8.1 Permukaan silinder

Jelasnya, misalkan diketahui generatrik bervektor arah <a,b,c> dan kurva

direktrik didefinisikan dari kondisi f1(x,y,z) = 0 dan f2(x,y,z) = 0. Tetapkan titik

(xo,yo,zo) pada kurva, maka berlaku hubungan

f1(xo,yo,zo) = 0

dan

f2(xo,yo,zo) = 0. (8.3)

Sedangkan garis-garis pelukis yang melalui titik ini dinyatakan sebagai

c

zz

b

yy

a

xx 000

(8.4)

Jika harga-harga xo, yo dan zo dalam persamaan-persamaan garis (8.4)

disubstitusikan ke persamaan (8.3), maka didapatkan persamaan silinder. Cara

X

Y

Z

C

g

Kurva Direktrik

Generatrik


1

2

0 lain yang lebih efisien dapat ditempuh dengan menyatakan persamaan (8.4)

dalam bentuk

c

zz

b

yy

a

xx000

= (8.5)

sehingga diperoleh

xo = x - a (8.6)

yo = y - b

zo = z - c.

Kemudian setelah mensubstitusikan persamaan (8.6) ke (8.3) dan

meghilangkan nilai , kita dapatkan persamaan silinder.

Contoh-contoh hitung silinder

a). Diketahui pada bidang XOY terletak lingkaran x2 + y2 = 9 sebagai kurva

direktrik silinder. Garis-garis pelukis memiliki koefisien arah positip

<1,2,1> terhadap sumbu OX, OY dan OZ. Tentukan persamaan silinder

yang didapat.

Penyelesaian:

Pada lingkaran tentukan sebarang titik (xo,yo,0), maka titik memenuhi

persamaan lingkaran

xo2 + yo

2 = 9.

Sedangkan persamaan garis pelukis yang melalui titik itu adalah

121

00zyyxx

sehingga

xo = x – z

zo = y – z.

Bagian I

121

Harga ini bila disubstitusikan ke persamaan lingkaran dalam xo dan yo

tersebut, didapat persamaan silinder

x2 + y2 + 5z2 – 2xz – 4yz – 9 = 0.

b). Tentukan persamaan silinder yang generatriknya sejajar vektor <a,b,c>

melingkupi bola (menyinggung bola) dengan persamaan x2 + y2 + z2 = r2.

Penyelesaian:

Andaikan garis melalui titik (xo,yo,zo), maka persamaan garis yang didapat

adalah

c

zz

b

yy

a

xx000

.

Garis memotong bola di dua titik sehingga

(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c) = r2.

Kedua titik potong ditentukan oleh akar-akar dari persamaan

(a2 + b2 + c2) 2 – 2(ax + by + cz) + (x2 + y2 + z2 - r2) = 0.

Dalam hal ini, garis singgung di (xo,yo,zo) terjadi, bila kedua titik potong

bola tersebut saling berimpit, artinya berharga kembar. Dengan demikian

didapatkan persamaan silinder (ax + by + cz) 2 - (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2 -

r2) = 0.

8.2 Kerucut

Definisi 8.2 : Permukaan kerucut (permukaan konik) adalah suatu permukaan

yang dibangun oleh suatu garis (disebut generatrik) digerakkan

melalui sebuah titik tetap dan menyinggung sepanjang kurva satu

arah C (disebut kurva direktrik) dengan kondisi geometrik

tertentu. Titik tetap ini selanjutnya disebut puncak kerucut.


1

2

2 Dari definisi tersebut, jika puncak kerucut di titik awal O(0,0,0) dan

generatriknya dalam bentuk persamaan (Gambar 8.2)

y = 1 x (8.7)

z = 2 x

maka kondisi geometrik dari kerucut ini adalah

G(1, 2) = 0. (8.8)

Dengan demikian persamaan umum dari kerucut puncaknya di titik asal adalah

F(x,y,z) = G(1, 2) = G(y/x , z/x) = 0 , dengan x 0.

Gambar 8.2 Permukaan kerucut.

Untuk lebih detailnya, misalkan puncak kerucut di titik P(xp,yp,zp) dan kurva

direktrik didefinisikan oleh f1(x,y,z) = 0 dan f2(x,y,z) = 0. Pilihlah suatu titik

(xo,yo,zo) di kurva, maka berlaku hubungan

f1(xo,yo,zo) = 0 dan f2(xo,yo,zo) = 0 . (8.9)

Sedangkan garis-garis pelukis melalui titik puncak (xp,yp,zp) dan (xo,yo,zo),

memiliki persamaan

X

Y

Z

O

C

Kurva Direktrik

Generatrik

g

Bagian I

123

P

P

P

P

P

P

zz

zz

yy

yy

xx

xx

000

. (8.10)

Jika harga-harga xo, yo dan zo dalam persamaan-persamaan garis (8.10)

disubstitusikan ke persamaan (8.9), maka didapatkan persamaan kerucut.

Seperti halnya pada hitung silinder, cara lain yang lebih efisien dapat ditempuh

dengan menyatakan persamaan (8.10) kedalam bentuk

P

P

P

P

P

P

zz

zz

yy

yy

xx

xx

00

= (8.11)

sehingga diperoleh hubungan

xo = P

P

xxx

(8.12)

yo = P

P

yyy

zo = P

P

zzz

.

Kemudian setelah mensubstitusikan persamaan (8.12) ke (8.9) dan

meghilangkan nilai , kita dapatkan persamaan silinder.

Contoh hitung kerucut

Tentukan persamaan kerucut dengan puncak (a,0,1) dan kurva direktrik di

bidang XOY dengan persamaan x2 + y2 = r2.

Penyelesaian:

Diketahui kurva direktrik didefinisikan dari bentuk

z = 0 dan x2 + y2 = r2.

Tetapkan titik (xo,yo,0) pada lingkaran, maka xo2 + yo

2 = r2 dan persamaan garis

pelukis dinyatakan oleh hubungan


1

2

4

1

1

0

0

00

z

y

y

ax

ax

sehingga az

xax

10 dan 1

0

z

yy .

Harga ini bila disubstitusikan ke persamaan lingkaran dalam xo dan yo tersebut,

didapatkan persamaan kerucut

x2 + y2 + (a2 – r2) z2 + (4a2 + 2r2) z + (2a2 – r2) = 0.

Bagian I

125

BAB 9

TRANSFORMASI TITIK

DAN KOORDINAT HOMOGEN

Dalam satu sistem koordinat, sering dilakukan suatu pemindahan obyek

dari satu posisi ke posisi lain. Proses ini terkadang dilakukan hanya satu kali

perpindahan atau bahkan diperlukan beberapa kali proses pemindahan.

Sehubungan dengan hal itu dalam pembahasan berikut, kita perlukan

diskusikan tentang transformasi titik dan koordinat homogen di R2 dan R3.

9.1 Transformasi Titik

9.1.1 Transformasi Titik di R2

Pandanglah suatu transformasi T memetakan titik P(x,y) ke titik

bayangannya P’(x’,y’), yaitu P’ = T(P). Selanjutnya kita diskusikan beberapa

bentuk transformasi T berikut.

a). Refleksi Titik terhadap Sumbu X, Sumbu Y dan Titik Pusat

Misalkan T: R2 R2 adalah suatu transformasi yang memetakan titik

P(x,y) ke P’(x’,y’) oleh perkalian matriks A =

dc

ba didefinisikan dengan P’

= PA, yaitu

dybxcyaxdc

bayxyx

'' (9.1a)

atau dapat juga dinyatakan dalam bentuk P’ = ATPT, yaitu

dybx

cyax

y

x

db

ca

y

x

'

'. (9.1b)

Hasilnya kita dapatkan bahwa koordinat baru (x’,y’) adalah suatu bentuk dari

x' = ax + cy (9.2)

y’ = bx + dy.


1

2

6 Oleh karena itu hasil dari transformasi titik P(x,y) ini jelas tergantung dari

nilai koefisien-koefisien a, b, c dan d formula (3.2), yaitu elemen-elemen dari

matriks A. Untuk itu kita evaluasi 3 (tiga) kasus pemilihan matriks koefisien A

berikut ini.

Refleksi terhadap sumbu X

Jika harga a = 1, b = 0, c = 0 dan d = -1, maka dari persamaan (9.2)

diperoleh hubungan

x’ = x dan y’ = -y

yaitu P(x,y) dipetakan ke P’(x,-y). Hal ini berarti bahwa transformasi yang

didapat adalah suatu refleksi terhadap sumbu X (Gambar 9.1a). Jadi matriks

koefisien A yang bersesuaian dengan transformasi refleksi ini adalah

A =

10

01. (9.3a)

Dengan demikian menurut formula (9.1a,b), transformasi ini dapat

didefisikan sebagai

yxyxyx

10

01''

atau

y

x

y

x

y

x

10

01

'

'.

Refleksi terhadap sumbu Y

Jika harga a = -1, b = 0, c = 0 dan d = 1, maka dari persamaan (9.2)

diperoleh hubungan

x’ = -x dan y’ = y

yaitu P(x,y) dipetakan ke P’(-x,y) sehingga didapat refleksi terhadap sumbu

Y (Gambar 9.1b). Matriks koefisien A yang bersesuaian dengan

transformasi refleksi ini adalah

Bagian I

127

A =

10

01. (9.3b)

Refleksi terhadap titik pusat O(0,0)

Dengan memilih, a = -1, b = 0, c = 0 dan d = -1, maka berarti bahwa titik

P(x,y) dipetakan ke P’(-x,-y). Dalam hal ini matriks koefisien A yang

bersesuaian dengan transformasi refleksi terhadap pusat O(0,0) berbentuk

(Gambar 9.1c)

A =

10

01. (9.3c)

(a) (b) (c)

Gambar 9.1 Refleksi titik terhadap sumbu X, Y dan titik pusat

b). Rotasi

Pandanglah transformasi T seperti dalam persamaan (9.1), kemudian

pilihlah elemen-elemen matriks koefisien A dalam persamaan (9.1) tersebut

sebagai

a = cos b = sin

c = -sin d = cos

sehingga transformasi T terdefinisikan sebagai perkalian matriks

X

X

X

Y

O

Y

Y

O

O

P(x,y

)

P(x,y

)

P(x,y

)

P’(x’,y’) =

P’(x,-y)

P’(x’,y’) = P’(-

x,y)

P’(x’,y’) = P’(-

x,-y)


1

2

8

cossinsincos

cossin

sincos''

yxyx

yxyx

(9.4a)

atau

cossin

sincos

cossin

sincos

'

'

yx

yx

y

x

y

x. (9.4b)

Matriks

cossin

sincosA (9.4c)

pada (9.4a) ataupun matrik

cossin

sincosA (9.4d)

pada (3.4b) adalah matriks koefisien yang bersesuaian dengan rotasi titik P(x,y)

ke P(x’,y’) terhadap titik pusat O(0,0) sebesar sudut berlawanan arah jarum

jam (arah trigonometri). Kita perlihatkan sebagai berikut.

Jika r menyatakan jari-jari putar dari pusat putar O(0,0) ke titik P(x,y),

maka untuk koordinat titik P berlaku hubungan (Gambar 9.2)

x = r cos

y = r sin.

Demikian juga, karena titik bayangan P’(x’,y’) memiliki jari-jari seperti halnya

P(x,y), maka untuk koordinat titik P’ berlaku hubungan

x' = r cos( + )

y’ = r sin( + ).

Kesimpulannya bahwa

Bagian I

129

.cossin

sincos

cossinsincos

sincoscossinsinsincoscos

)sin()cos(''

yx

yxyx

rrrr

rryx

Gambar 9.2 Rotasi titik terhadap titik awal O menurut arah trigonometri

c). Dilatasi

Misalkan transformasi T menurut persamaan (9.1), kemudian dipilih

a = k1, b = c = 0 dan d = k2, maka dari persamaan (9.2) diperoleh hubungan

x’ = k1x dan y’ = k2y

yaitu P(x,y) dipetakan ke P’(k1x, k2y). Hal ini berarti bahwa transformasi yang

didapat adalah suatu dilatasi (Gambar 9.3). Jadi matriks koefisien A yang

bersesuaian dengan transformasi dilatasi adalah

A =

2

1

0

0

k

k (9.5)

Matriks A memberi fasilitas untuk memperbesar atau memperkecil

suatu gambar (bangun geometri bidang) dalam dua arah, artinya semua

koordinat (x,y) dari gambar setelah dilakukan proses transformasi akan menjadi

(k1x, k2y). Pemilihan k1 menyajikan skala menurut sumbu X dan k2 menyajikan

skala untuk sumbu Y. Jika kedua skala berbeda, maka perubahan skala kedua

sumbu berbeda dan gambar yang didapat secara umum tidak sebangun dengan

X

Y

O

P(x,y)

P’(x’,y’)


1

3

0 gambar semula. Sebaliknya jika kedua skala sama, maka perubahannya

seragam sehingga gambar yang didapat sebangun dengan gambar aslinya.

(a) (b)

Gambar 9.3 Transformasi dilatasi

Contoh 1:

Suatu segitiga PQR dengan titik-titik sudut P(1,2), Q(2,2) dan R(2,3)

ditransformasikan oleh matriks

A =

10

03

diperoleh

36

26

23

20

03

32

22

21

. .

Jadi segitiga bayangan P’Q’R’ bertitik sudut P’(3,2), Q’(6,2) dan R’(6,3)

seperti terlihat pada gambar (9.3a).

Contoh 2:

Suatu bujursangkar PQRS dengan titik-titik sudut P(0,0), Q(1,0), R(1,1)

dan S(0,1) ditransformasikan oleh matriks

X

Y

O

X

Y

O

P

Q

R

P’

Q

’

R’

P=P’

Q

R

S

Q

’

R’

S’

Bagian I

131

A =

40

04

diperoleh

40

44

04

00

40

04

10

11

01

00

. .

Jadi bayangan P’Q’R’ berupa bujursangkar bertitik sudut P’(0,0), Q’(4,0),

R(4,4) dan S(0,4) seperti terlihat pada gambar (9.3b).

d). Pemotongan

Misalkan transformasi T didefinisikan menurut persamaan (9.1),

kemudian dipilih harga-harga berikut: a = 1, b = k 0, c = 0 dan d = 1, maka

dari persamaan (9.2) diperoleh hubungan

x’ = x (9.6)

dan

y’ = k x + y

yaitu P(x,y) dipetakan ke P’(x, kx + y). Hal ini berarti bahwa transformasi yang

didapat adalah suatu pemotongan menurut sumbu Y (Gambar 9.4a).

Contoh 1:

Dengan menetapkan b = k = 2 untuk persamaan (9.6), bayangan dari titik-titik

P(0,0), Q(1,0), R(1,1) dan S(0,1) dapat ditentukan oleh

10

31

21

00

10

21

10

11

01

00

. .


1

3

2 Dengan demikian bayangan yang diperoleh adalah P’(0,0), Q’(1,2), R’(1,3)

dan S’(0,1) seperti gambar (9.4a). Dalam hal a = 1, b = 0, c = k 0 dan d = 1

dalam persamaan (9.1), kita dapatkan pemotongan menurut sumbu X. Jika b

dan c tidak sama dengan nol, maka pemotongan terjadi pada sumbu X dan Y.

Contoh 2:

Dengan menetapkan a = 1, b = 2, c = 3 dan d = 1 untuk persamaan (9.1),

bayangan dari titik-titik P(0,0), Q(1,0), R(1,1) dan S(0,1) dapat ditentukan oleh

13

34

21

00

13

21

10

11

01

00

. .

Dengan demikian bayangan yang diperoleh adalah P’(0,0), Q’(1,2), R’(4,3) dan

S’(3,1) seperti pada Gambar (9.4b).

(a) (b)

Gambar 9.4 Transformasi pemotongan

e). Translasi (Geseran)

Transformasi T yang memetakan titik P(x,y) bergeser sejauh k1 satuan

kearah sumbu X dan k2 satuan ke arah sumbu Y sehingga didapat titik bayangan

P’(x’,y’) = T(P), didefinisikan sebagai (Gambar 9.5a)

X

Y Y

O O X

P=P

’ Q

R

Q

’

R

’

S=S’

Q

’

R

’

S

’

P

’

Bagian I

133

(x’ y’) = (x y) + (k1 k2) = (x + k1 y + k2)

(9.7a)

atau

2

1

2

1

kx

kx

k

k

y

x

'y

'x. (9.7b)

Contoh:

Hasil pergeseran segiempat PQRS dengan titik-titik sudut P(0,0), Q(2,0),

R(1,1) dan S(0,1) digeser sejauh 2 satuan ke arah sumbu X dan 3 satuan ke arah

sumbu Y, dapat ditentukan melalui persamaan (9.7a), yaitu

.523220'

633231'

343202'

323200'

S

R

Q

P

Dengan demikian bayangan yang diperoleh karena transformasi ini adalah

P’(2,3), Q’(4,3), R’(3,6) dan S’(2,5) seperti pada Gambar (9.5b).

(a) (b)

Gambar 9.5 Transformasi translasi (geseran)

X

X

Y

Y

O

O

P(x,y

)

P’(x’,y’) =

P’(x+k1,y+k2)

Ke arah

sumbu Y

digeser k2

satuan

Bangun

Asal

Ke arah

sumbu X

digeser k1

satuan

Bangun

Hasil

Geseran

P

Q

R

S

P

’

Q

’

R

’

S

’


1

3

4 f). Proyeksi Titik pada Garis

Transformasi memproyeksikan titik P(x,y) ke garis g y = mx + k

didapatkan titik T(P) = P’(x’,y’) dengan P’ di g dan g'PP . Koordinat P’

dapat dihitung sebagai berikut (Gambar 9.6a).

(a) (b)

Gambar 9.6 Proyeksi dan pencerminan titik ke garis y = mx + k

Vektor 'KP adalah proyeksi dari vektor KP pada garis g, maka berlaku

hubungan

.')'.'

'.(

'

')

'

'.('

KPKPKP

KPKP

KP

KP

KP

KPKPKP

Dengan demikian terdapat hubungan

<(x’- 0),(y’- k)> = ( )'xm('x

)k]k'mx([),'x(.ky,x222

0

) . <x’, mx’>

=

'mx,'x)

)'xm('x

'xmk'x.my'x.x(

222

X

X

Y Y

O O

P(x,y

) P(x,y

)

P’(x’,y’

) P’(x’,y

’)

K(0,k

) K(0,k

)

K

’

y = mx +

k y = mx +

k

Bagian I

135

<x’,(y’- k)> =

m,.

m

mkmyx1

1 2 .

Jadi didapatkan

x' = 21 m

mkmyx

(9.7c)

y’ = km

)ky(mmx

2

2

1 .

g). Refleksi Titik terhadap Garis x = k dan Garis y = mx + k

Jika titik P koordinatnya P(x,y), maka hasil transformasi pencerminan P

ke garis x = k adalah titik P’(x’,y’) dengan x’ dan y’ didefinisikan oleh

hubungan

x' = x + 2 (k – x) = 2k – x

y' = y.

Sedangkan transformasi titik P(x,y) ke garis y = mx + k ditentukan oleh suatu

hubungan (Gambar 9.6b)

)'PK(KP'KP 2 . (9.7d)

Jika koordinat titik K’ diformulasikan oleh persamaan (9.7c), maka bentuk

(9.7d) dapat disederhanakan menjadi

<x’,(y’- k)> = <x,(y - k)> + 2([ 21 m

mkmyx

- x], [ k

m

)ky(mmx

2

2

1 -

y]).

Oleh sebab itu koordinat titik bayangan P’(x’,y’), diperoleh

x’ = 2( 21 m

mkmyx

) - x

y’ = 2( 2

2

1 m

)ky(mmx

) – 3k – y.


1

3

6 h) Transformasi Komposisi

Suatu transformasi refleksi terhadap titik pusat O(0,0) dapat dipandang

sebagai komposisi dari dua transformasi berikut

a). transformasi refleksi terhadap sumbu X

b). transformasi refleksi terhadap sumbu Y.

Oleh sebab itu, bayangan titik P(x,y) karena transformasi ini dapat

didefinisikan sebagai

(x’ y’) = (x y)

10

01= (-x -y)

atau juga

(x’ y’) = (x y)

10

01.

10

01= (-x -y)

Secara umum untuk mendapatkan bayangan titik yang dikehendaki, kita dapat

menggunakan komposisi transformasi refleksi, rotasi, dilatasi ataupun translasi

dengan cara memanfaatkan perkalian diantara matriks-matriks koefisien yang

sesuai dengan urutan dan jenis transformasi yang digunakan dalam pemetaan

tersebut.

9.1.2 Transformasi Titik di R3

Misalkan transformasi T : R3 R3 merupakan pemetaan titik P(x,y,z)

ke titik bayangannya P’(x’,y’,z’) sehingga T(P) = P’ atau P’ = T(P).

Selanjutnya kita diskusikan beberapa transformasi berikut ini.

a). Refleksi terhadap Bidang XOY, XOZ dan YOZ

Pada refleksi terhadap bidang XOY, titik P(x,y,z) dipetakan pada titik

P(x’,y’,z’) dengan hubungan (Gambar 9.7)

x' = x

y’ = y

z’ = -z

Bagian I

137

Gambar 9.7 Refleksi terhadap bidang XOY

Dengan demikian hasil refleksi titik P(x,y,z) terhadap bidang XOY dapat

dinyatakan dalam bentuk perkalian matriks

zyxzyx'z'y'x

100

010

001

(9.8a)

atau

z

y

x

z

y

x

'z

'y

'x

100

010

001

. (9.8b)

Matriks A dari bentuk

A =

100

010

001

disebut sebagai matriks koefisien yang bersesuaian dengan transformasi

refleksi terhadap bidang XOY.

Dengan cara yang sama seperti pada refleksi terhadap bidang XOY,

matriks koefisien yang bersesuaian dengan transformasi refleksi terhadap

bidang XOZ dan YOZ adalah

O

X

Y

Z

P(x,y,z)

P’(x’,y’,z’) = P’(x,y,-z)


1

3

8

AXOZ =

100

010

001

dan AYOZ =

100

010

001

b). Rotasi terhadap Sumbu Z, Y dan X

Dalam bentuk perkalian matriks, transformasi rotasi terhadap sumbu Z

dapat dinyatakan sebagai (Gambar 9.8)

.cossinsincos

100

0cossin

0sincos

'''

zyxyx

zyxzyx

(9.9a)

atau

z

cosysinx

sinycosx

z

y

x

cossin

sincos

'z

'y

'x

100

0

0

(9.9b)

Gambar 9.8 Rotasi terhadap sumbu Z

X

Y

Z

O

Bagian I

139

Adapun matriks koefisien yang bersesuaian dengan rotasi sumbu Y dan X

masing-masing dinyatakan dalam perkalian matriks menurut formula (9.9b)

adalah

AY =

cossin

sincos

0

010

0

dan

AX =

cossin

sincos

0

0

001

.

c). Dilatasi

Transformasi dilatasi yang memetakan titik P(x,y,z) ke P’(x’,y’,z’)

didefinisikan dengan bentuk formulasi berikut

zkykxk

k

k

k

zyx'z'y'x321

3

2

1

00

00

00

(9.10a)

atau

zk

yk

xk

z

y

x

k

k

k

'z

'y

'x

3

2

1

3

2

1

00

00

00

. (9.10b)

Dalam hal ini pemilihan harga k1 menyajikan skala kearah sumbu X, k2 kearah

skala sumbu Y dan k3 menyajikan skala kearah sumbu Z. Jika k1 = k2 = k3, maka

peta obyek yang didapat sebangun dengan obyek aslinya (mungkin diperbesar,

diperkecil atau tetap).


1

4

0 d). Translasi (Geseran)

Transformasi titik P(x,y,z) ke titik P’(x’,y’,z’) oleh suatu geseran sejauh

k1 satuan kearah sumbu X, sejauh k2 satuan kearah sumbu Y dan sejauh k3

satuan kearah sumbu Z, dalam bentuk perkalian matriks dinyatakan

321321kzkykxkkkzyx'z'y'x (9.11a)

atau

3

2

1

3

2

1

kz

ky

kx

k

k

k

z

y

x

'z

'y

'x

. (9.11b)

9.2 Koordinat Homogen

Jika kita evaluasi bentuk persamaan (9.1a), ternyata matriks A tidak

dapat menyajikan transformasi geseran sejauh m satuan kearah sumbu X dan n

satuan kearah sumbu Y. Untuk memecahkan problem ini maka kita dapat

memodifikasi persamaan (9.1a) tersebut menjadi bentuk lain sehingga P’ = PA

dinyatakan

(x’ y’) = PA + G = (ax+cy+m bx+dy+n) (9.12)

dimana G merupakan matriks ordo 1x2 untuk transformasi geseran. Dari

bentuk (9.12) dapat disimpulkan bahwa dalam transformasi bidang, matriks

ordo 2x2 tidak dapat menyajikan transformasi transalasi dilakukan serentak

dengan transformasi-transformasi refleksi, rotasi ataupun dilatasi. Dengan kata

lain untuk perlakuan kesemua transformasi tersebut, diperlukan dua operasi

matriks terhadap A dan kemudian G. Oleh sebab itu untuk jalan keluar agar

transformasi tersebut dapat dilakukan secara kompak, kita lakukan penyajian

matriks (x y) dan (x’ y’) kedalam bentuk

(x y 1) dan (x’ y’ 1)

Bagian I

141

sedangkan matriks koefisien A dan G kita ganti dengan matriks transformasi T

ordo 3x3. Selanjutnya kita tuliskan formulasi baru yang dapat digunakan untuk

perlakuan seluruh jenis transformasi tersebut sebagai berikut

(x’ y’ 1) = (x y 1)

1

0

0

nm

dc

ba

= (ax+cy+m bx+dy+n 1)

atau dapat diringkas

H’ = H T. (9.13)

Kesimpulan yang didapat dari penyajian bentuk (9.1a) atau (9.12) terhadap

persamaan (9.13) adalah bahwa problem transformasi titik P(x,y) ke P’(x’,y’)

di R2 dapat diselesaikan di R3 dengan memanfaatkan koordinat homogen di H3

sebagai transformasi titik P(x,y,1) ke P’(x’,y’,1). Oleh karena itu kita dapat

mengevaluasi bentuk umum matriks

T =

snm

qdc

pba

dalam transformasi homogen di H3 berikut. Titik P(x,y) di R2, dapat dipandang

sebagai titik P(xh,yh,h) di H3 dengan

x = xh / h

dan

y = yh / h

dan titik hasil transformasi P’(x’,y’) di R2 dipandang sebagai titik P’(xh’,yh’,h)

di H3 hasil transformasi bentuk

(xh’ yh’ h) = (x y 1) T (9.14)

dengan


1

4

2

xh’ = ax + cy + m

yh’ = bx + dy + n

h = px + qy + s atau jika dinormalisasikan dinyatakan sebagai

(xh’/ h yh’/ h 1) = (x y 1) T (9.15)

dengan h tidak nol. Adapun untuk tafsiran geometrisnya dapat kita

demonstrasikan seperti pada Gambar 9.9.

Analog dengan solusi problem transformasi titik di R2, transformasi

titik P(x,y,z) ke P’(x’,y’,z’) di R3 dapat dilaksanakan secara serentak melalui

transformasi refleksi, rotasi, dilatasi dan geseran dengan bantuan penyajian

koordinat homogen bentuk normal di H4 berikut (Kusno, 2003)

(xh’/ h yh’/ h zh’/ h 1) = (x y z 1) T (9.16)

dengan T berupa matriks ordo 4x4 dan h tidak nol.

Gambar 9.9 Transformasi titik di R2 melalui bantuan Koordinat Homogen di

H3

H

P(x,y) X =

Xh

Y =

Yh

P’(x’,y’

)

R2

H3

h = 1

P(xh,yh,

1) P’(xh’,yh’,

1)

h 1

Bagian I

143

BAB 10

PROYEKSI PERSPEKTIF DAN PARALEL

Dalam bab ini dibahas beberapa jenis proyeksi perspektif dan paralel,

serta penggunaannya di dalam membangun sistem grafik guna penyajian obyek

pada layar monitor komputer. Melalui studi tersebut diharapkan kita dapat

memahami perbedaan keperluan jenis proyeksi untuk visualisasi obyek

berbantu komputer antara bidang komputer grafik, arsitek, seni, maupun untuk

bidang pemodelan benda industri.

10.1 Proyeksi Perspektif

Dalam komputer grafik, proyeksi pespektif sangat bermanfaat untuk menyajikan benda agar nampak lebih alami seperti yang dialami oleh pandangan mata manusia. Untuk itu terdapat beberapa hal yang perlu diketahui sehubungan dengan proyeksi perspektif ini. Pertama, pusat proyeksi berjarak berhingga terhadap bidang proyeksi (bidang gambar) dan hasilnya secara umum tidak mengawetkan ukuran benda yang diproyeksikan. Selain itu, hanya garis-garis yang sejajar bidang proyeksi saja yang tetap sejajar, jika dipandang secara perspektif.

Dalam proyeksi perspektif terdapat istilah titik lenyap, yaitu titik temu (konvergen) dari garis-garis sejajar. Tegasnya, titik lenyap dari suatu himpunan garis-garis sejajar adalah suatu titik dimana sebarang garis selain melalui pusat proyeksi dan sejajar terhadap himpunan garis-garis sejajar tersebut, maka garis juga memotong bidang proyeksi. Jarak dan sudut mengalami perubahan akibat proyeksi, kecuali permukaan obyek yang diproyeksikan sejajar terhadap bidang proyeksi (bidang gambar).


1

4

4

(a). Perspektif (b). Satu Titik Lenyap L1

(c). Dua Titik Lenyap L1 dan L2 (d). Tiga Titik Lenyap L1, L2 dan L3

Gambar 10.1 Perspektif dengan titik lenyap

Proyeksi perspektif (kerucut), diklasifikasikan atas 3 (tiga) jenis, yaitu:

1) satu titik lenyap

2) dua titik lenyap

3) tiga titik lenyap (Gambar 10.1).

Dalam perhitungannya, ditentukan oleh 5 (lima) variabel berikut:

a) kedudukan (arah) dari bidang gambar relatif terhadap obyek yang

diproyeksikan

b) kedudukan (ketinggian) bidang gambar relatif terhadap obyek

c) jarak pusat proyeksi terhadap obyek

d) jarak bidang gambar terhadap obyek

e) pergerakan horisontal pusat proyeksi terhadap obyek.

Adapun untuk formula praktis hitung ini, dapat diuraikan sebagai berikut.

Pandanglah dalam sistem koordinat Cartesius tegak lurus [O,X,Y,Z],

kita lekatkan ruang vektor [O,i,j,k] dengan i, j dan k merupakan vektor-vektor

basis ortonormal di R3. Misalkan diketahui vektor posisi dari titik mata

observator atau pusat proyeksi M(xo,yo,zo) adalah m dan titik benda B(xb,yb,zb)

L1

L1

L2

L1

L2

L3

M

A’

B’

A

B

(Pusat Proyeksi)

(Bidang

Proyeksi)

Bagian I

145

adalah b. Persoalannya adalah mencari posisi titik gambar G(x’,y’,z’) pada

bidang gambar hasil proyeksi titik benda terhadap titik mata dengan vektor

posisi g (Gambar 10.2).

Jika kita definisikan titik awal bidang gambar adalah ro dan arah

sumbu-sumbunya pada arah vektor u dan v, maka vektor g dapat dinyatakan

dengan

g = ro + x’u + y’v

atau juga

g = z’ b + (1 – z’) m.

Jadi didapatkan hubungan

ro + x’u + y’v = z’b + (1 – z’)m. (10.1)

Dengan demikian dari persamaan (10.1) kita dapat menentukan koordinat titik

gambar G(x’,y’,z’) melalui perkalian skalar dan vektor berikut (Faux, 1987).

x’ = [b – m] . [v (ro – m)] . (1/w) (10.2)

y’ = [b – m] . [u (ro – m)] . (-1/w)

z’ = [ro – m] . [u v] . (1/w)

dengan harga

w = [b – m] . [u v].

Jika titik mata observator berjarak d dari bidang gambar, maka diperoleh

m = ro + d n

dan

n = u v

Oleh karenanya persamaan (10.2) menjadi


1

4

6 x’ = [- d(b – ro) . u] . (1/w1) (10.3)

y’ = [- d(b – ro) . v] . (1/w1)

z’ = - d . (1/w1)

dengan harga

w1 = [(b – ro) . n] – d..

Gambar 10.2 Hitung proyeksi perspektif

10.2 Proyeksi Paralel

Definisi 4.1: Misalkan suatu bidang tidak paralel terhadap garis g. Titik M di

ruang dapat dikawankan dengan titik M’ di dengan cara

menginterseksikan garis g’ yang ditarik melalui M sejajar garis g

memotong . Titik M’ disebut proyeksi titik M ke bidang secara

paralel terhadap garis g dan selanjutnya metode proyeksi ini kita

sebut sebagai metode proyeksi paralel atau proyeksi silindrik

(Gambar 10.3).

X

Y

Z

O

j

i

k

r0

m

g

b

u

v

x’u

y’v

B(xb,yb,zb

)

G(x’,y’,z

’)

M(x0,y0,z

0)

Titik Mata

Bidang

Gambar

Titik Benda

Bagian I

147

(a). Garis Arah g Miring terhadap Bidang (b). Garis Arah g Tegaklurus

Bidang

Gambar 10.3 Proyeksi paralel (silindrik).

Terdapat beberapa sifat sehubungan dengan proyeksi paralel, yaitu:

a) jika A, B, C tiga titik berbeda dan A’, B’, C’ masing-masing proyeksinya di

bidang , maka '//'//' CCBBAA ;

b) jika tiga titik A, B, C pada satu garis yang tidak sejajar bidang proyeksi , maka proyeksinya A’, B’ dan C’ juga segaris. Dalam hal ini jika B diantara

A dan C, maka B’ diantara A’ dan C’(Gambar 10.4b);

c) jika garis g//g’ dan keduanya tidak sejajar bidang proyeksi , maka

proyeksinya pada bidang sejajar atau berimpit (Gambar 10.4c);

d) jika P1P2P3...Pn suatu poligon konveks, maka proyeksinya P1’P2’P3’...Pn’

adalah poligon konveks;

e) proyeksi segmen garis AB menurut arah garis g terhadap dua bidang

proyeksi 1 paralel 2, didapatkan segmen-segmen garis yang kongruen.

M

M’

g

g’

g

M

M’

g’


1

4

8

(a). Posisi Pusat Proyeksi (b). Tiga Titik Segaris (c). Dua Segmen Sejajar

Gambar 10.4 Proyeksi paralel

Dalam proyeksi paralel, secara umum terdapat 2(dua) jenis proyeksi, yaitu:

a). Proyeksi paralel ortogonal (tegaklurus)

Dalam proyeksi ini arah garis proyeksinya adalah tegaklurus terhadap

bidang proyeksi. Sedangkan jenisnya antara lain:

1). Proyeksi aksonometri (ortografik)

yaitu proyeksi paralel pada bidang yang menyajikan obyek secara tiga

dimensi agar tampak alami. Pada proyeksi ini menampilkan bagian

muka obyek, samping dan bagian belakang obyek. Bentuk dan ukuran

ketinggian tidak dipertahankan kecuali bagian muka obyek yang sejajar

terhadap bidang proyeksi (Gambar 10.5). Sudut siku-siku tidak

dipertahankan, lingkaran disajikan kedalam bentuk elips. Proyeksi ini

umumnya dipakai dalam penyajian konstruksi komponen-komponen

mesin dan struktur obyek. Jenisnya ada tiga menurut arah bidang

proyeksi, yaitu besarnya sudut yang dibentuk antara bidang tersebut

terhadap sumbu-sumbu koordinat. Kita dapatkan proyeksi:

- isometrik, jika ketiga sudut adalah sama. Ketiga sumbu koordinat

dipendekkan dalam perbandingan yang sama.

- dimetrik, jika ketiga sudut adalah sama. Dua sumbu koordinat

dipendekkan dalam perbandingan yang sama.

A

A

’

A

A

’

B

C

B

’

C

’

g

g

’

Pusat Proyeksi di

Bagian I

149

- trimetrik, jika ketiga sudut adalah berbeda. Ketiga sumbu koordinat

dipendekkan berbeda.

2). Proyeksi industri

yaitu menyajikan dua atau beberapa permukaan obyek secara eksak.

Banyaknya sudut pandang permukaan obyek tergantung dari

kompleksitas permukaan obyek. Dalam proyeksi ini sering digunakan

garis titik-titik atau tersembunyi dan proyeksi ini umumnya dipakai

dalam gambar teknik atau arsitektur.

Gambar 10.5 Proyeksi aksonometri

b). Proyeksi paralel miring

Pada proyeksi miring, garis arah proyeksi adalah miring terhadap bidang

proyeksi. Tipe ini digunakan untuk menyajikan obyek dalam satu

permukaan dari aspek tiga dimensi dan dikarakterisasi oleh besarnya sudut

yang dibentuk antara bidang proyeksi dengan garis arah proyeksi. Garis-

garis lenyap umumnya digambarkan membentuk sudut-sudut 30o atau 45o

terhadap horisontal. Jenisnya antara lain adalah (Gambar 10.6):

1) proyeksi kavaleri, jika garis lenyap membentuk sudut 45o dan tidak

dipendekkan.

2) proyeksi kabinet, jika garis lenyap membentuk sekitar 63,4o dan

dipendekkan dengan perbandingan ½. Dalam hal aplikasi, proyeksi

kabinet nampak lebih alami dan realistik daripada proyeksi kavaleri.

X

Y

Z

O


1

5

0

(a). Proyeksi Kavaleri (b). Proyeksi Kabinet

Gambar 10.6 Proyeksi Kavaleri dan Kabinet.

Untuk mendapatkan formulasi praktis tentang hitung proyeksi paralel,

kita perlu melakukan beberapa tahapan analisa berikut. Pandanglah dalam

sistem koordinat Cartesius tegak lurus [O,X,Y,Z], kita lekatkan ruang vektor

[O,i,j,k] dengan i, j dan k merupakan vektor-vektor basis ortonormal di R3.

Pandang titik obyek yang akan diproyeksikan pada bidang proyeksi

(bidang gambar), dinyatakan dengan vektor r. Arah proyeksi mengikuti vektor

u dan posisi titik hasil proyeksi (titik gambar) yang terletak di bidang proyeksi

(bidang gambar) dinyatakan oleh vektor r’. Bidang gambar bertitik awal pada

ro dan berkoordinat menurut arah vektor u1 dan u2 (Gambar 10.7).

Gambar 10.7 Hitung proyeksi paralel

Berdasar dari ketentuan-ketentuan tersebut, maka dapat diperoleh beberapa

hubungan berikut

1 1 1 1/2

X Y

Z

O

r r’

r0

z’r

x’u1

y’u2

Bidang Gambar

Titik Gambar

Titik Obyek

Bagian I

151

r' = r – z’u atau r’ = ro + x’u1 + y’u2

sehingga

r – ro = x’u1 + y’u2 + z’u. (10.4)

Jadi koordinat titik gambar x’, y’ dan z’ di bidang proyeksi adalah

x' = ).(

)).((

21

20

uuu

uurr

x

x;

y’ = ).(

)).((

12

10

uuu

uurr

x

x; (10.5)

z’ = ).(

)).((

21

210

uuu

uurr

x

x.

Jika bidang proyeksi dipilih tegaklurus terhadap garis proyeksi, maka formulasi

koordinat titik gambar menjadi

x' = (r-ro).u1; y’ = (r-ro).u2; z’ = (r-ro).u. (10.6)

10.3 Sistem Koordinat Observator dan Proyeksi ke Monitor

Pada bagian ini kita bahas sistem grafik dimensi tiga dengan bantuan

konsep transformasi titik melalui penyajian koordinat homogen dan proyeksi

perspektif (Kusno 2003). Dalam hal ini terdapat dua versi studi guna

menyajikan obyek di ruang. Versi pertama, titik pandang pada layar monitor

dianggap tetap dan benda ditransformasikan sesuai dengan keinginan kita.

Versi kedua, benda yang kita pandang tetap dan titik pandang observator

relatif yang harus berpindah (bergerak). Adapun dalam pembahasan ini kita

tertarik versi yang kedua agar mendapatkan penyajian obyek yang lebih alami.

Untuk itu berkenaan dengan Gambar 10.8a, pandanglah hal-hal berikut:

a. benda direferensikan terhadap sistem tetap [O,X,Y,Z];

b. mata observator direferensikan terhadap sistem relatif [M,Xo,Yo,Zo]

c. monitor dipandang bidang yang tegaklurus segmen OM dan terletak pada

jarak d dari mata observator

d. sumbu Zo dari sistem observator diarahkan pada titik asal O.

Selanjutnya dengan batuan koordinat sperik (bola) untuk menyatakan

posisi titik mata observator M(xo,yo,zo), kita cari matriks transformasi T4x4 yang


1

5

2 berguna untuk mengobservasi benda melalui metode Dony (1990) dan Watt

(1989) berikut (dimulai dari Gambar 10.8a.i):

a. Translasikan titik awal O ke M, maka didapatkan relasi

xo = R.Cos .Cos

yo = R.Sin .Cos

zo = R.Sin

dan matriks translasinya adalah:

T1 =

1

0100

0010

0001

ooo zyx

.

Hal ini berarti sistem [O,X,Y,Z] ditransformasikan ke sistem [M,X1,Y1,Z1]

seperti terlihat pada Gambar 10.8a.ii.

b. Rotasikan sistem [M,X1,Y1,Z1] terhadap Z1 agar sumbu Y1 negatif

memotong sumbu Z. Adapun matriks rotasinya adalah

T2 =

1000

0100

00

00

SinCos

CosSin

.

dan hasilnya kita dapatkan sistem [M,X2,Y2,Z2] seperti Gambar 10.8a.iii.

c. Rotasikan sistem [M,X2,Y2,Z2] dari (90o + ) terhadap sumbu X2, yaitu

memutar sumbu Z2 menuju ke O, sehingga didapat sistem [M,X3,Y3,Z3]

seperti terlihat pada Gambar 10.8a.iv. Matriks rotasinya adalah

T3 =

1000

00

00

0001

SinCos

CosSin.

Bagian I

153

d. Konversikan sistem tetap yang telah didapat [M,X3,Y3,Z3] ke sistem relatif

[M,Xo,Yo,Zo], yaitu cukup mengganti arah sumbu X3 secara berlawanan,

seperti terlihat pada Gambar 10.8a.i. Matriks transformasinya adalah

T4 =

1000

0100

00

00

SinCos

CosSin

.

e. Menghitung matriks T4x4 yang dicari melalui perhitungan

T4x4 = T1.T2.T3.T4. (10.7)

Dengan menggunakan konsep dasar penyajian koordinat homogen bentuk

normal di H4 dan bentuk (10.7), maka transformasi dari sistem tetap benda

[O,X,Y,Z] ke sistem relatif observator [M,Xo,Yo,Zo], dapat ditentukan dengan

(x y z 1). T4x4 = (xo yo zo 1).

Hal ini berarti bahwa semua titik dalam sistem tetap benda [O,X,Y,Z] akan

menjadi sistem relatif observator [M,Xo,Yo,Zo] melalui formulasi berikut:

xo = -x.Sin + y.Cos ; (10.8)

yo = -x.Cos .Sin – y.Sin .Sin + z.Cos ;

zo = -x.Cos .Cos – y.Sin .Cos – z.Sin + R.

Misalkan sembarang titik P(xo,yo,zo) dalam sistem koordinat relatif

observator [M,Xo,Yo,Zo]. Proyeksi perspektifnya ke layar monitor , dapat

dirumuskan sebagai berikut (Gambar 10.8b). Kita tetapkan posisi monitor

tegaklurus sumbu Zo dan berjarak d dari M, maka proyeksi titik P ke monitor

P’(x,y) jika dihitung melalui kesebangunan segitiga, berlaku:

x = [d.xo]/zo

dan


1

5

4 y = [d.yo]/zo. (10.9)

Selanjutnya untuk simulasi hasil dampak perubahan parameter , dan d

dalam penyajian kurva dan permukaan, dapat dilihat pada Gambar 10.8c

berikut.

(a) Transformasi koordinat benda ke koordinat observator

(i) (ii)

(iii) (iv)

Z

Z

Z

Z

X

X

X

X

Y

Y

Y

Y

Monit

or

M

M

M

M

Xo

Yo

Zo

Xr

Yr

O

O

O

O

X1

X3

X2

Y1

Y2

Y3

Z1

Z2

Z3

Bagian I

155

(b) Proyeksi titik obyek dalam koordinat observator ke monitor (a)

(c)

Gambar 10.8 Sistem koordinat observator dan proyeksi ke monitor

Theta = 45 Phi = 45 d = 35 Theta = 45 Phi = 45 d = 15

Theta = 55 Phi = 25

x

Yo

Yo

Zo

Zo

Zo

M

M

M

Xo

Xo

d

d

P(xo,yo,zo)

P(xo,yo,zo)

P(xo,yo,zo)

P(x,y)

Monito

r

Monitor

y

x

BAGIAN II

RANCANG BANGUN BENDA

DENGAN KURVA DAN PERMUKAAN BERBANTU

KOMPUTER

BAB 11

SIFAT-SIFAT LOKAL

KURVA DAN PERMUKAAN NATURAL

Desain bentuk benda, umumnya dibangun melalui formula yang tidak

unik. Dengan kata lain, pemodelan bentuk benda banyak dibangun melalui

prinsip penggabungan beberapa bagian benda yang lebih kecil untuk

mendapatkan bentuk benda secara utuh. Untuk itu agar operasi penggabungan

optimal, maka kita perlukan studi lokal tentang kurva dan permukaan.

Tujuannya adalah agar kita dapat menggabung beberapa potongan

kurva/permukaan dengan mulus (baik ke arah datar, lengkung, ataupun

berpuntir) sehingga benda yang didesain kelak bentuknya menjadi baik/indah.

11.1 Sifat-sifat Lokal Kurva

Pada bagian ini kita diskusikan tentang penyajian parametrik reguler

kurva, gerakan trihedron dan penyajian Frenet kurva. Untuk itu, kita

definisikan selanjutnya peristilahan kurva reguler berikut ini.

Definisi 11.1 : Suatu kurva X(t) dengan t dalam domain real I disebut dalam

penyajian parametrik reguler klas Cn jika dipenuhi kondisi

a). X(t) suatu fungsi 1-1, klas Cn

b). X ’(t) O untuk semua t I.

Perubahan parameter t = t() pada I dapat dilakukan dalam Cm,

jika t() dalam klas Cm di I dan (dt/d) 0 untuk semua I.

Misalkan X(s) suatu kurva reguler dari klas Cn2 dalam penyajian

parameter natural s, maka vektor satuan tangensial t(s), vektor kelengkungan

k(s), normal satuan n(s) dan vektor binormal b(s) dapat dinyatakan dalam

persamaan-persamaan berikut

t(s) =

X (s)

(11.1)

k(s) =

t (s) =

X (s) = (s) n(s)

b(s) = t(s) n(s)


1

5

8

dengan (s) suatu fungsi kelengkungan berharga real dari s. Pasangan (t,n,b)

disebut gerakan trihedron kurva (Gambar 11.1). Selanjutnya dari bentuk

(11.1), harga

b (s) dapat dinyatakan oleh

b (s) = - (s) n(s) (11.2)

dengan (s) merupakan fungsi puntiran (torsi) berharga real kurva .

Gambar 11.1 Gerakan trihedron

Andaikan klas C3, maka perilaku X(s) = P di titik sekitar Po = X(0)

pada jarak aljabar h 0 dapat dinyatakan dengan ekspresi Taylor

PoP = h )0(

X + (1/2)h2 )0(

X + (1/3)h3 )0(

X + (h3). (11.3)

Dalam hal pasangan (t,n,b) dinyatakan (e1, e2, e3), bentuk Frenet dari (11.3)

dapat ditulis sebagai

PoP = [h – 1/6 (o2) h3] e1 + ½[o h

2 + (1/3) (

o) h3] e2

+ [(1/6) o o h3] e3 + (h3). (11.4)

11.2 Sifat-sifat Lokal Permukaan

Definisi 11.2 : Suatu permukaan parametrik S(u,v) disebut permukaan reguler

klas Cn jika semua titik di S(u,v), untuk suatu open set U di

bidang UV, dipenuhi kondisi

a). S(u,v) klas Cn

b). jika S(u,v) = f1(u,v)i + f2(u,v)j + f3(u,v)k, maka

t n

b

X (t)

Bagian I

159

rank

v

f

u

fv

f

u

fv

f

u

f

33

22

11

= 2 atau 0)(

vu

vuSS

SS.

Dari definisi kereguleran permukaan, selanjutnya kita sajikan definisi

matematik dan sifat-sifat lokal permukaan parametrik, yaitu persamaan

kelengkungan prinsipal dan paraboloida oskulator. Untuk itu, pertama

anggaplah sebuah titik Mo pada permukaan parametrik S(u,v) dengan bidang

singgung di titik tersebut, misalkan Vo. Jika titik Mo bergerak menuju titik lain

Mo + dr pada permukaan, maka kita dapatkan kuantitas skalar (tulislah dengan

simbul ds) dari vektor aproksimasi dr yang terletak pada Vo dengan titik asal

Mo berikut.

dr . dr ds2

ds2 = [Su(uo,vo) du + Sv(uo,vo) dv] . [Su(uo,vo) du + Sv(uo,vo) dv]

= Su(uo,vo)2 du2 + 2 [Su(uo,vo). S

v(uo,vo)] du dv +

Sv(uo,vo)2 dv2

atau juga

ds2 = e du2 + 2 f du dv + g dv2 (11.5)

dimana e = Su(uo,vo)2

,

f = [Su(uo,vo). S

v(uo,vo)],

g = Sv(uo,vo)2

.

Persamaan (11.5) disebut "Bentuk Dasar I Gauss".

Jika Su(uo,vo) dan S

v(uo,vo) saling tegaklurus, maka f = 0. Dilain fihak,

normal satuan pada titik Mo dari permukaan adalah


1

6

0

ns(uo,vo) = [Su (uo,vo) S

v(uo,vo)] / S

u (uo,vo) Sv(uo,vo).

Pandanglah sebuah kurva pada permukaan S(u,v) dan melalui titik

Mo dengan t adalah vektor satuan tangensialnya. Maka vektor t adalah

tegaklurus pada vektor normal satuan ns dari permukaan, yaitu

t . ns = 0.

Dengan menderivasi terhadap panjang busur s dari kurva , maka didapat

dt/ds . ns + t . dns/ds = 0,

[kc . ns] + t . dns/ds = 0

atau

[(c nc) . ns] + t . dns/ds = 0 (11.6)

dengan kc , c, dan nc masing-masing adalah vektor kelengkungan,

kelengkungan dan vektor normal satuan dari kurva. Jika kuantitas

n = [kc . ns]

menyatakan kelengkungan normal, yaitu proyeksi dari vektor kelengkunagn kc

dari kurva pada vekror normal satuan ns dari permukaan pada titik Mo, kita

dapat menyederhanakan bentuk (11.6) dengan cara

n = c Cos

= - t . dns/ds

= - (ds . dns)/ds2. (11.6a)

Sudut adalah sudut yang dibentuk antara vektor normal satuan

permukaan dengan vektor normal prinsipal kurva . Substitusikan (11.5) ke

(11.6a), didapat

n = c Cos

Bagian I

161

= (E du2 + 2 F du dv + G dv2)/ [e du2 + 2 f du dv + g dv2] (11.7)

dimana

E = - Su. nsu

F = - 1/2 (Su.ns

v + S

u .ns

v)

G = - Sv.ns

v.

Kuantitas E du2 + 2 F du dv + G dv2 disebut "Bentuk Dasar II Gauss".

Bentuk (11.7) menunjukkan bahwa n adalah sebuah pemetaaan dari du

dan dv. Bentuk ini bergantung dari proporsi du : dv, yaitu arah dari garis

singgung kurva pada titik Mo.

Catatan: Deferensial

Su. ns = 0

dan S

v. ns = 0

memberikan empat persamaan

Suu

. ns + Su. ns

u = 0 S

vu. ns

+ S

v. ns

u = 0

Suv

. ns + Su. ns

v = 0 S

vv. ns + S

v. ns

v = 0.

Jadi koefisien E, F dan G dapat dinyatakan sebagai

E = Suu

. ns

F = Suv

. ns

G = Svv

. ns. (11.8)

Pandanglah semua bidang yang melalui titik Mo pada permukaan S(u,v)

dan memuat vektor normal satuan ns. Maka normal-normal dari kurva-kurva

interseksi antara bidang dan permukaan adalah paralel ns. Misal 1 sebuah

kurva melalui titik Mo. Kita sebut "potongan normal" dari kurva 1 pada Mo


1

6

2 di permukaan adalah semua potongan sembarang dari bidang yang melalui

vektor ns pada titik Mo dan memuat tangen yang sama dari kurva 1. Pada

kasus ini, tulislah c adalah kelengkungan dari kurva 1 dan adalah

kelengkungan dari potongan normal. Karena semua kurva adalah dalam

orientasi sama, maka persamaan (11.8) didapat

n = c Cos

= .

Jadi, didapat teorema Meusnier berikut.

Teorema 11.1: Semua kurva yang memiliki garis singgung sama di titik Mo

pada suatu permukaan, memiliki kelengkungan sama pada

titik tersebut. Jelasnya, nilai dari kelengkungan normal pada

titik Mo dari kurva 1 atas suatu permukaan adalah sama

terhadap kelengkungan dari potongan normal yang melalui

tangen dari kurva di titik itu.

Dari persamaan (11.8), dapat disimpulkan bahwa semua kelengkungan

normal n dari kurva pada suatu permukaan dengan arah d atas bidang

singgung, memenuhi

(n e - E) du2 + 2 (n f - F) du dv + (n g - G) dv2 = 0. (11.9)

Jika selanjutnya

t = du/dv

dan

t* = dv/du

menyatakan arah tangensial dari potongan normal, maka persamaan tersebut

dapat ditulis

Q(n ,t) = At2 + 2Bt + C = 0

Bagian I

163

dan

Q(n ,t*) = A + 2Bt* + Ct*2 = 0

dimana

A = (n e - E)

B = (n f - F)

C = (n g - G).

Dengan menurunkan masing-masing t dan t*, didapat

( n e - E) du + (n f - F) dv = 0

( n f - F) du + (n g - G) dv = 0. (11.10)

Persamaan tersebut memiliki solusi tidak nol jika dan hanya jika

n n

n n

e E f F

f F g G

0 . (11.11)

Bentuk tersebut adalah persamaan dari derajat dua dari n. Penyelesaiannya

adalah nilai ekstrim berbentuk dua kelengkungan prinsipal berbeda 1 dan 2,

atau mungkin kelengkungan prinsipal unik dari dua multiplisitas, yaitu titik

umbilik. Jadi didapat teorema berikut.

Teorema 11.2: Kuantitas adalah kelengkungan prinsipal jika dan hanya jika

adalah solusi dari

[eg - f2] 2 - [eG - 2fF + gE ] + [EG – F2] = 0. (11.12)

Kedua arah sehubungan dengan solusi persamaan (11.12) "arah prinsipal".

Pandanglah permukaan S(u,v) dari klas C2dengan bidang singgung pada

titik

Mo = S(uo,vo)


1

6

4 adalah Vo dan vektor normal satuannya ns. Kita dapatkan pengembangan

Taylor pada persekitaran S(uo,vo) sebagai

S(uo+u,vo+v) = S(uo,vo) + [Su (uo,vo) u + Sv (uo,vo) v] +

1/2.[ Suu(uo,vo) u2 + 2 Suv(uo,vo) u v +

Svv (uo,vo) v2] + O( u2 + v2).

Karena itu jarak aljabar , dari titik P = S(uo+u ,vo+v) pada bidang

singgung Vo diberikan oleh

= s . ns

= [S(uo+u ,vo+v) - S(uo,vo))] . ns

= 1/2 [Suu(uo,vo) . ns u2 + 2 Suv (uo,vo) . ns u v +

S vv (uo,vo) .ns v2 ] + O(u2+ v2).

Dari persamaan terakhir, didapat

= 1/2(E u2 + 2 F u v + G v2) + O( u2 + v2) (11.13)

dimana

E = Suu . ns

F = Suv . ns

G = S vv . ns.

Koefisien-koefisien E, F dan G adalah Bentuk Dasar II Gauss.

Misalkan sekarang pada bidang singgung tersebut, kita pandang sebuah

vektor x pada arah Su (uo,vo); vektor y pada arah Sv (uo,vo), dan ns(uo,vo)

adalah vektor normal pada titik S(uo,vo). Dalam sistem dengan pusat S(uo,vo)

dan sumbu-sumbu

[Su (uo,vo), Sv (uo,vo), ns(uo,vo)]

Bagian I

165

kita dapat melekatkan permukaan secara lokal dengan permukaan yang ditulis

dalam bentuk persamaan paraboloida oskulator berikut

z = 1/2 ( E x2 + 2 F x y + G y2 ). (11.14)

11.3 Tipe-tipe Titik di Permukaan dan Permukaan Pelat Natural

Kita ketahui bahwa nilai dari kelengkungan utama permukaan reguler

S(u,v) ditentukan oleh bentuk

[eg - f2] 2 - [eG - 2fF + gE ] + [EG - F2] = 0

dengan e,f,g dan E,F,G adalah koefisien bentuk Gauss I dan II. Jika

perhitungan bentuk tersebut dinyatakan

2 - [1+ 2] + [1.2] = 0

maka didapatkan

K = 1 . 2

= [EG - F2] / [eg - f2] (11.15)

H = 1/2 . [ 1+ 2 ]

= 1/2 . [eG - 2fF + gE ] / [eg - f2]. (11.16)

Harga

K = 1 . 2

disebut ”Kelengkungan Gauss”, sedangkan

H = 1/2.[1+ 2]

disebut ”Kelengkungan Rata-rata”. Dalam hal K> 0, sebarang titik MoS(u,v) dikatakan titik elliptik. Jika K<0, titik Mo disebut titik hiperbolik.

Akhirnya, jika harga 1 = 0 atau 2 = 0, dan K dianulir, titik Mo dikatakan titik


1

6

6 parabolik. Dalam hal khusus K dan H tidak nol bersamaan, disebut titik pelat

(Gambar 11.2).

Gambar 11.2 Tipe-tipe titik di permukaan

Permukaan jenis yang terakhir ini, yaitu jenis titik-titiknya karakter

pelat, memiliki sifat bahwa jika ke arah parameter u berupa kurva, maka ke

arah parameter v berupa garis (generatris) atau sebaliknya. Selain itu semua

titik pada garis tersebut normalnya adalah konstan (Kusno, 1998). Dengan

demikian jika bentuk S(u,v) = f(u) + v g(u) merupakan permukaan garis

(natural), maka dapat disimpulkan bahwa permukaan garis S(u,v) adalah plat

jika dan hanya jika ketiga vektor [g'(u), f '(u), g(u)] saling bergantung, yaitu

det (g', f ', g) = 0 (11.17)

atau

[g' f ' . g] = 0.

ns

Mo

K <0

Mo

ns

Mo

ns

K > 0 K = 0, H >< 0

Bagian I

167

BAB 12

KURVA DAN PERMUKAAN

DALAM

COMPUTER AIDED GEOMETRIC DESIGN

Pada bagian ini kita sajikan beberapa bentuk standar kurva dan

permukaan yang sering dipakai dalam bidang Computer Aided

Design/Manufacturing (CAD/CAM), yaitu kurva dan permukaan Bezier dan

B-Splin. Tujuannya adalah agar kita dapat mengetahui sifat-sifat dasar dari

kedua tipe kurva dan permukaan tersebut dan mampu menunjukkan

kelebihan/kekurangannya di dalam pemodelan benda. Selain itu, dibahas pula

algoritma Casteljau dan de-Boor guna mengevaluasi potongan-potongan

kurva/permukaan dari masing-masing jenis kurva dan permukaan dimaksud.

Akhir dari bab ini kita perkenalkan beberapa bentuk formula parametrik benda-

benda standar beserta contoh visualisasinya di komputer agar lebih lanjut dapat

digunakan sebagai bahan praktek desain beberapa bentuk benda sederhana

melalui programasi komputer.

12.1 Penyajian Bentuk Aljabar dan Geometri

Telah dijelaskan bahwa pemilihan bentuk persamaan kurva atau

permukaan adalah sangat penting guna memudahkan operasi rancang bangun

obyek (benda). Sehubungan dengan hal itu, pada bagian ini kita pelajari

penyajian kurva dengan pendekatan bentuk aljabar dan geometri. Tujuannya

adalah untuk memperkenalkan adanya fungsi-fungsi basis dalam penyajian

kurva (permukaan) guna memudahkan perancangan obyek.

Misalkan kurva kubik parametrik P(u) dinyatakan dalam bentuk aljabar

x(u) = aox + a1x u + a2x u2 + a3x u

3 (12.1)

y(u) = aoy + a1y u + a2y u2 + a3y u

3

z(u) = aoz + a1z u + a2z u2 + a3z u

3

dengan parameter u dibatasi dalam interval 0 u 1 atau u [0,1].

Pembatasan terhadap harga parameter u ini dimaksudkan agar segmen kurva

yang terbangun terbatas dan mudah dikontrol.


1

6

8 Dalam penyajian (12.1), kita dapatkan 12 (dua belas) koefisien

konstan yang disebut sebagai koefisien aljabar. Setiap himpunan 12 koefisien

tersebut, maka mendefinisikan sebuah kurva yang unik (tunggal). Sebaliknya,

untuk setiap dua kurva ruang berbeda, maka kita dapatkan dua himpunan 12

koefisien yang berbeda. Selanjutnya dari kurva bentuk (12.1), tulislah kedalam

fungsi vektorial (parametrik)

P(u) = ao + a1 u + a2 u2 + a3 u

3.

(12.2)

Kemudian, tetapkan beberapa kondisi berikut

P(0) = ao (12.3)

P(1) = ao + a1 + a2 + a3

Pu(0) = du

d )0(P = a1

Pu(1) = du

d )1(P= a1 + 2 a2 + 3 a3

dengan ao, a1, a2 dan a3 merupakan vektor-vektor yang ekivalen dengan

koefisien-koefisien skalar aljabar.

Jika sistem persamaan (12.3) diselesaikan, maka harga vektor-vektor

ao, a1, a2 dan a3 diperoleh

ao = P(0) (12.4)

a1 = Pu(0)

a2 = - 3 P(0) + 3 P(1) – 2 Pu(0) – Pu(1)

a3 = 2 P(0) – 2 P(1) + Pu(0) + Pu(1).

Jika persamaan (12.4) ini selanjutnya disubstitusikan ke persamaan (12.2),

maka didapatkan bentuk kurva Hermit (Mortenson, 1985)

P(u) = P(0) H1(u) – P(1) H2(u) + Pu(0) H3(u) + Pu(1) H4(u) (12.5)

dinotasikan P(u) = Po H1 – P1 H2 + Pou H3 + P1

u H4 dengan fungsi-fungsi basis

H1(u), H2(u), H3(u) dan H4(u) beharga

H1(u) = 2u3 – 3u2 + 1 H2(u) = - 2u3 + 3u2 (12.6)

H3(u) = u3 – 2u2 + u H4(u) = u3 – u2.

Bagian I

169

Bentuk persamaan (12.5) disebut sebagai penyajian kurva dalam bentuk

geometrik dan Po, P1, Pou dan P1

u disebut koefisien geometrik. Sedangkan

fungsi-fungsi H1(u), H2(u), H3(u) dan H4(u) dalam persamaan (12.6) disebut

basis Hermit. Adapun untuk tafsiran geometrik tentang vektor-vektor

geometrik dari kurva kubik tersebut, disajikan dalam Gambar 12.1 berikut.

Gambar 12.1 Vektor-vektor geometrik kurva kubik

12.2 Kurva dan Permukaan Bezier

Kurva non-rasional Bezier derajat n dinyatakan dalam bentuk (Bezier,

1987):

C(t) =

n

ii

0P B

n

i (t) dan 0 t 1

(12.7)

dimana Bn

i (t) = iinn

ittC .)1( dan )!(!

!

ini

nC

n

i .

Pada persamaan tersebut, titik-titik Pi disebut koefisien geometrik atau titik

kontrol kurva C(t). Tititk-titik tersebut berharga real. Untuk semua t [0,1],

kurva memiliki sifat antara lain berikut ini.

1). Invariant Affine: misal sebuah pemetaan Affin dari R3 ke R3, maka

X

Y

Z

O

u = 0

u = 1

P

0 P

0

P0u

P

1 P1

u P(u)

Pu(u)


1

7

0

f(C(t)) = )()(0

tf Bn

i

n

ii

P .

2). Konveks dan

n

i

n

itB

0

1)( .

3). Positif: 0)( tBn

i ; i = 0 , ..., n.

po

p1

p2

p3

Gambar 12.2 Kurva kubik Bezier

4). Linier: )()1()()(11

1ttttt BBB

n

i

n

i

n

i

untuk semua i = 1,..., n-1

)()1()(1

00ttt BB

nn

dan

)()(1

1ttt BB

n

n

n

n

.

5). Pengurangan variasi, yaitu: jumlah interseksi sebuah bidang sembarang

dengan kurva Bezier adalah lebih kecil atau sama dengan banyaknya

bidang tersebut dengan poligon Bezier.

6). Simetris: )1()( tt BBn

in

n

i

.

7). Perubahan global bentuk kurva disebabkan karena perubahan titik-titik

kontrol.

Bagian I

171

8). Kenaikan derajat n menuju derajat n+1:

C(t)

1

0

n

iiP B

n

i

1

(t)

dengan

Pi*

= i Pi-1 + (1 - i) Pi dan i = i/(n+1); i = 1, ..., n.

Kita dapat memanfaatkan sifat-sifat linier (4) untuk mengevaluasi

kurva Bezier C(t) pada sebuah harga (sebagai data) s, dengan ekspresi titik

perantara

Pi(n)

(s) = (1-s) Pi-1(n-1)

+ s Pi(n-1)

(12.8)

dimana Pi(0)

(s) = Pi, didapat persamaan

Po(n)

(s) = C(t)

menurut prosedur hitungan segitiga berikut.

Po(0)

Po(1)

P1(0)

.

. . . Po(n-1)

. . . Po(n)

= C(t) (12.9)

. . P1(n-1)

Pn-1(0)

.

Pn-1(1)

Pn(0)


1

7

2 Kurva C(t) dalam persamaan (12.9) dapat dicacah kedalam dua bagian

sub kurva C1(t) dan C2(t) dengan titik-titik kontrol masing-masing (Gambar

12.3):

[Po(0)

, Po(1)

, … , Po(n-1)

, Po(n)

]

dan

[Po(n)

, P1(n-1)

, … , Pn-1(1)

, Pn(0)

].

Gambar 12.3 Algoritma Casteljau

Turunan derajat r dari kurva C(t), ditulis C(r)(t), dapat dinyatakan sebagai

bentuk:

C(r)(t) = )(0

)!(! )( t

rn

i

rn

ii

r

rnn B

P (12.10)

dimana:

0 Pi = Pi

1 Pi = (Pi+1 - Pi)

2 Pi = (Pi+2 - 2 Pi+1 + Pi)

...............................................

(r) Pi = .)1(

0P jri

r

j

r

j

jr

C

P

P

P

P

P

P

PP

P

P

P

PP

0

0

0 0

11

1

11

11

22

2

2

2

3

4

4

C(t)1 C

(t)

23

2

Bagian I

173

Permukaan non-rasional Bezier derajat m dan n dapat dinyatakan

melalui perkalian tensor

nm

ji

n

j

m

iijvuvuvu BB

,

0,

1,0);()(),( PS . (12.11)

Sifat-sifat permukaan Bezier pada prinsipnya identik dengan kurva Bezier.

12.3 Kurva dan Permukaan B-Splin

Kurva non-rasional B-Splin order k atas nodals

[t0 < t1 < t2 < ... < tn-1 < tn < tn+1 ...<tn+k]

didefinisikan dengan bentuk

)()(0

tt Nk

i

n

ii

PQ (12.12)

dan n ≥ k-1.

Koefisien-koefisien Pi disebut titik kontrol atau titik de-Boor. Untuk

B-Splin ternormalisasi, polinom basis )(tNk

i memiliki sifat-sifat berikut:

1). Partisi dari satuan: i

n k

0

)(tNk

i 1;

2). Positif: )(tNk

i > 0; untuk t[ti,ti+k];

3). Dukungan lokal: )(tNk

i = 0, jika t [ti,ti+k];

4). Kontinyu: )(tNk

i adalah order k dan kontinyu Kk-2

pada setiap nodal;

5). Rekursif:

)(

)()(

)(

)()()(

1

1

1

1

1

iki

k

iki

iki

k

ii

k

i tt

ttt

tt

tttt NN

N (12.13)


1

7

4 dimana

1, jika t [ti,ti+1];

N i

1

(t) =

0, jika t [ti,ti+1].

Selain seperti kurva Bezier, kurva B-Splin memiliki sifat-sifat berikut:

1). sifat-sifat lokal sehubungan perubahan titik kontrolnya,

2). multiplitas titik kontrol atau nodal mempengaruhi kekontinyuan kurva.

Algoritma de-Boor adalah untuk kurva B-Splin seperti halnya algoritma de

Casteljau untuk kurva Bezier. Algoritma ini memberi kemudahan dalam meletakkan

sebuah titik pada suatu kurva dan mencacahnya dalam derajat yang sama. Untuk

mengevaluasi pada harga t = s [tr , tr+1] pertama kita tentukan persamaan insersi

yang dihitung melalui persamaan (12.12) dan sifat-sifat (5). Kita dapatkan bentuk

berikut:

Q(t) = )()(0

tt Njk

i

jn

i

j

i

P (12.14)

dengan j = 0 , ... , (k-1) dalam bentuk tersebut titik-titik de-Boor dinyatakan dalam

bentuk interpolasi linier rekursif

i

j

i

j

i

j

i

j

i

j

P P P

( )1

1

1 1

(12.15)

dengan i

j i

i k j i

s t

t t

dan i jP P0 . Jika k = j+1, kita dapatkan basis rN

1

. Hal

ini berarti bahwa untuk harga t = s [tr , tr+1] didapat Q(s) = r

k

P1

.

Permukaan non-rasional B-Splin dari order k dan l, dinyatakan dalam bentuk

perkalian tensor sebagai berikut:

R(u,v) = )()(,

0,,

vu NNl

j

k

i

nm

jiji

P (12.16)

Sifat-sifat permukaan tersebut pada dasarnya adalah analog dengan kurva B-Splin.

Bagian I

175

12.4 Beberapa Contoh Formula Parametrik Kurva dan Permukaan

Pada bagian ini kita daftarkan beberapa contoh formula parametrik

kurva dan permukaan (natural) beserta bentuk visualisasinya dengan

menggunakan komputer (Kusno 2006-2007 dan Rusli 2006). Uraian detailnya

sebagai berikut.

1). Kurva ruang: C(u) = <x(u), y(u), z(u)>.

Contoh Gambar 12.4a: C(u) = <u.sin u, u, u.cos u> dengan - u 2.

2). Heliks berpusat di (x1,y1,z1): HL(u) = <x1 + cos u, y1 + sin u, z1 + u>.

Contoh Gambar 12.4b: HL(u) = <cos u, sin u, u> dengan 0 u 4.

(a) (b)

Gambar 12.4 Contoh kurva parametrik ruang

3). Bola dengan jari-jari R berpusat di (x1,y1,z1):

B(u,v) = < R.sin v cos u + x1, R.sin v. sin u + y1, R.cos v + z1>.

Contoh Gambar 12.5a: B(u,v) = <3.sin v cos u +1, 3. Sin v Sin u + 4, 3.cos v +3>

dengan 0u2 dan 0v2 adalah bentuk bola dengan

jari-jari R = 3 satuan berpusat di titik (1,4,3).

Contoh Gambar 12.5b: B(u,v) = <3.sin v cos u +1, 3.sin v sin u +1, 3.cos v +1>

dengan 0u2 dan 0.3v2 adalah keratan bola

dipotong terhadap sumbu z berjari-jari R = 3 satuan

berpusat di (1,1,1).

4). Elipsoida jari-jari R sumbu panjang sejajar sumbu Z dan berpusat di

(x1,y1,z1):

E(u,v) = < R.sin v cos u + x1, R.sin v sin u + y1, R1.cos v + z1>.

Contoh Gambar12.5c :E(u,v) = <3.sin v cos u +1, 3.sin v sin u +4, 5.cos v+3>

dengan 0 u 2 dan 0 v 2 adalah elipsoida dengan

sumbu panjang R1 = 5 satuan berpusat di (1,4,3).

5). Silinder (terbuka) jari-jari R melalui sumbu (x1,y1,z1):


1

7

6 ST(u,v) = < R.cos u + x1, R.sin u + y1, z = c.v>.

Contoh Gambar 12.5d: ST(u,v) = <2.cos u + 4, 2.sin u + 4, 3. v > dengan 0 u 2

dan 1 v 3 adalah silinder terbuka berjari-jari R = 2

satuan berpusat di sumbu (0,0,z = 3 v).

Contoh Gambar 12.5e: ST(u,v) = <5.Cos u, 5.Sin u, v> dengan - u dan

1v3 adalah cincin (potongan silinder terbuka) jari-jari R =

5 satuan berpusat di sumbu (0,0, z = v).

6). Bidang lingkaran jari-jari R berpusat di (x1,y1,z1) dan berketinggian z1:

BL(u,v) = < R. u.cos v + x1, R. u.sin v + y1, z1>.

Contoh Gambar 12.5f: BL(u,v) = < 4. u.cos v + 2, 4. u.sin v + 4, 2> dengan 0 u

1 dan 0v2 adalah bidang lingkaran berpusat di (2,4,2)

dengan jari-jari R = 4 satuan dan berketinggian z = 2 satuan.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Gambar 12.5 Contoh bentuk bola, elipsoida, silinder, dan bidang lingkaran

7). Hiperboloida (daun satu) berpusat di (x1,y1,z1):

H(u,v) = < (cos u - v.sin u) + x1, (sin u + v.cos u) + y1, v + z1 >.

Contoh Gambar 12.6a: H(u,v) = <cos u - v.sin u, sin u + v.cos u, v> dengan

0u2 dan -5 v 5.

-2

0

2

4

0

2

4

6

0

2

4

6

-2

0

2

4

0

2

4

6

-2

0

2

4-2

0

2

4

0

1

2

-2

0

2

4

-20

24

0

2

4

6

0

2.5

5

7.5

0

2

4

6

-2-1

01

2

-2

-1

0

1

2

4

6

8

-2

-1

0

1

2

-5

-2.5

0

2.5

5-5

-2.5

0

2.5

5

11.5

22.5

3

-5

-2.5

0

2.5

5

-2

0

2

4

60

2

4

6

8

0

1

2

3

4

-2

0

2

4

6

Bagian I

177

Contoh Gambar 12.6b: H(u,v) = <cos u - v.sin u, sin u+v.cos u, v> dengan 0u2

dan -1v1.

8). Katenoida berpusat di (x1,y1,z1):

KT(u,v) = < R.cos u.cosh v, R.sin u.cosh v, 4. v > .

Contoh Gambar12.6c: KT(u,v) = <0.3.cos u.cosh v, 0.3.sin u.cosh v, 4.v> dengan

batas 0 u 2 dan -5 v 5.

9). Paraboloida: P(u,v) = < R. v.cos u + x1, R. v.sin u + y1, R1.v2 + z1>.

Contoh Gambar 12.6d: P(u,v) = <v.cos u, v.sin u+4, 0.4 v2 > dengan batas

0u2 dan -5 v 5.

Contoh Gambar12.6e: P(u,v) = <v.cos u, v.sin u+4, - 0.4 v 2> dengan batas

0u2 dan -5 v -2.5.

(a) (b) (c)

(d) (e)

Gambar 12.6 Contoh bentuk hiperboloida, katenoida, dan paraboloida

10). Kerucut: K(u,v) = < R. v.cos u + x1, R . v.sin u + y1, R1. v + z1>.

-5

-2.5

0

2.5

5

-5

-2.5

0

2.5

5

-5

-2.5

0

2.5

5

-5

-2.5

0

2.5

5

-5

-2.5

0

2.5

5

-5

-2.5

0

2.5

5

-5

-2.5

0

2.5

5

-1-0.5

00.5

1

-5

-2.5

0

2.5

5

-50

5

-5

0

5

-20

-10

0

10

20

-5

0

5

-5-2.5

02.5

5

0

2.5

57.5

0

2.5

5

7.5

10

-5-2.5

02.5

5

0

2.5

57.5

-5

-2.5

0

2.5

5

0

2.5

5

7.5

-10

-8

-6

-4

-5

-2.5

0

2.5

5

0

2.5

5

7.5


1

7

8 Contoh Gambar 12.7a: K(u,v) = <v.cos u, v.sin u + 4, v> dengan batas 0 u 2 dan

-5 v 5.

11). Torus: T(u,v) = < (R.cos u + x1).cos v, (R.cos u + y1).sin v, R.sin v + z1>.

Contoh Gambar 12.7b: T(u,v) = <(2.cos u+5).cos v, (2.cos u +5).sin v, 2.Sin v>

dengan batas 0 u 2 dan - v .

12). Pseudo-bola: PB(u,v) = < R/v.cos u, R/v.sin u, R1. v >.

Contoh Gambar 12.7c: PB(u,v) = <10/v . cos u, 10/v. sin u, 8.v> dengan

batas - u dan - 1 v -5.

Contoh Gambar12.7d: PB(u,v) = <10/v . cos u, 0/v . sin u, 8.v> dengan

batas - u dan 1 v 4.

(a) (b) (c) (d)

(e) (f) (g)

Gambar 12.7 Contoh kerucut, torus, pseudo-bola, dan hasil pemodelan benda

-5

-2.5

0

2.5

5

0

2.5

5

7.5

-5

-2.5

0

2.5

5

-5

-2.5

0

2.5

5

0

2.5

5

7.5

-5

0

5

-5 0 5-2-1012

-2-1012

-10-5

05

10

-10

-5

0

5

10

-40

-30

-20

-10

-10

-5

0

5

10

-10-5

05

10

-10

-5

0

5

10

10

20

30

-10

-5

0

5

10

-4 -2 0 2 4 -4-2

024

-5

0

5

10

-4 -2 0 2 4

-5 -2.5 0 2.5 5

-5-2.502.55

0

5

10

15

20

-5 -2.5 0 2.5 5

-5-2.502.55

-10 0 10

-5

0

5

0

5

10

15

-10 0 10

-5

0

5

Bagian I

179

BAB 13

BEBERAPA CONTOH

PEMODELAN PERMUKAAN

Pada Bab 11 dan Bab 12 telah diperkenalkan tentang sifat-sifat lokal

kurva/permukaan dan beberapa bentuk penyajian kurva/permukaan yang sering

digunakan dalam rancang bangun benda berbantu komputer. Namur pada

prakteknya, terkadang pemanfaatan kurva/permukaan tersebut tidak dapat

optimal untuk operasi desain benda, disebabkan beberapa alasan berikut.

Pertama, sering didapatkan kondisi lokal permukaan benda yang didesain tidak

kompatibel/cocok dengan penyajian kurva/permukaan yang telah tersedia, oleh

sebab itu diperlukan perlakukan tambahan untuk menanganinya. Sebagai

contoh, penyajian permukaan Bezier dan B-Splin secara umum merupakan

permukaan kompleks, jika benda yang dimodelisasi ternyata berpermukaan

sederhana seperti pelat, maka diperlukan studi agar permukaan tersebut

memenuhi kondisi pelat. Kedua, bentuk benda yang didesain secara topologis

terkadang juga bervariasi, misalnya ada yang kompleks, simetris, sebangun,

ataupun proposional terhadap komponen-komponennya, sehingga untuk

mendesain benda, ada yang perlu dicacah terlebih dahulu permukaan benda

sampai sekecil-kecilnya dan ada pula yang cukup dibangun sebagian

permukaannya kemudian direfleksi/dirotasi untuk mendapatkan kesimetrian

bentuk benda. Dari uraian dimaksud, pada bagian ini kita perkenalkan beberapa

contoh membangun suatu bentuk/model permukaan benda melalui proses

pemutaran ataupun melalui batasan tertentu yang diberikan (Kusno 2002,

2006-2007 dan Rusli 2006).

13.1 Permukaan Putar Tegak dan Miring Bezier

a. Konstruksi Permukaan Putar Tegak

Kita tuliskan kembali rumus umum kurva Bezier derajat n pada bagian

12.2 ke dalam bentuk

C(u) = )(0

uB n

i

n

i

i

P (13.1)


1

8

0

dengan 0 u 1 sedangkan inn

i

n

i uuCuB .)1()( 1 dan .)!(!

!

ini

nCn

i

Selanjutnya, jika C(u) terletak di bidang meridian dan diputar terhadap suatu

sumbu putar g yang tidak memotong kurva tersebut, maka akan didapat

permukaan putar Bezier. Dalam hal khusus, jika C(u) berbentuk kurva

kuadratik, kubik dan kuartik, umumnya masing-masing akan menghasilkan

permukaan putar dengan satu, dua dan tiga kecekungan/kecembungan

permukaan (Gambar 13.1d).

(a). Kuadratik Bezier (b). Kubik Bezier (c). Kuartik Bezier

(d) Contoh permukaan putar kuadratik, kubik dan kuartik Bezier

Gambar 13.1 Contoh profil benda putar dibangkitkan oleh kurva Bezier

g

P4 P3

P2

P2

P0

P0

P2

P1

P0

g g

Bagian I

181

Apabila Cx(u), Cy(u), Cz(u) menyatakan komponen-komponen skalar dari

kurva generatris Bezier C(u) di bidang meridian XOZ, maka permukaan putar

bersumbu putar OZ dibangkitkan oleh kurva C(u) dapat diformulasikan sebagai

S(u,v) = < Cx(u) Cos v, Cx(u) Sin v, Cz(u) > (13.2)

dengan 0 u 1 dan 0 v 2.

b. Konstruksi Permukaan Putar Miring Bezier

Konstruksi permukaan putar dengan sumbu putar miring, dapat

didefinisikan dengan singkat melalui masalah berikut. Diketahui segmen garis

AB dan suatu vektor satuan u1 AB di bidang (meridian) . Persoalannya

adalah mendapatkan permukaan putar Bezier miring yang dibangun melalui

pemutaran kurva Bezier C(u) AB = berderajat n di bidang terhadap

sumbu putar garis AB (Gambar 13.2a).

Untuk menyelesaikan persoalan tersebut, digunakan beberapa tahapan

hitung praktis sebagai berikut (contoh hasilnya terlihat pada Gambar

13.2b,c,d,e):

1. Tentukan vektor satuan segmen AB , yaitu u2, kemudian hitung vektor u3 =

u1u2.

2. Tentukan titik-titik kontrol [P0, P1, P2,..., Pn] kurva Bezier C(u) dari

kombinasi linier vektor-vektor satuan u1 dan u2, kemudian formulasikan

kurva C(u).

3. Sepanjang kurva C(u), dari titik batas awal kurva R sampai dengan titik

batas akhir S, hitung panjang jari-jari r(u) untuk permukaan putar yang

dibangun oleh perubahan jarak titik X di C(u) ke titik proyeksinya X’ di

garis AB , yaitu panjang segmen XX ' .

4. Konstruksi permukaan putar yang didefinikan dari vektor posisi titik A,

vektor AX’ dan suatu vektor yang ditentukan oleh perubahan jari-jari putar

r(u), vektor satuan u1 dan u3, yaitu:

S(u,v) = <xA,yA,zA> + AX’ + r(u) [Cos v u3 + Sin v u1].


1

8

2

a)

(b) (c) (d) (e)

Gambar 13.2 Konstruksi permukaan putar miring Bezier

13.2 Permukaan Geser Bezier

Untuk mendapatkan komponen benda yang simetris, dapat

menggunakan permukaan geser. Permukaan geser S(u,v) secara umum

terbangun dari kurva C2(v) (sebagai generatris) digeser menyentuh sepanjang

r(u)

u2

S

R

X X’

B

C(u)

u1

u3

A

R’

S’

Bagian I

183

kurva C1(u) sebagai direktrisnya (Gambar 13.3a). Dalam hal khusus, jika kurva

C2(v) berupa kurva Bezier derajat n terletak di bidang dan C1(u) berupa

segmen PQ , maka permukaan geser yang terbentuk dengan titik pangkal

relatif terhadap P dapat dinyatakan dalam persamaan

S(u,v) = [u.Q + (1-u).P] + ( )(0

vBn

i

n

i

i

P - OP ) (13.3)

dengan 0 u,v 1. Beberapa contoh dari permukaan geser persamaan (13.3)

yang terdefinisi dari bentuk kurva kuartik Bezier dapat dilihat pada Gambar

13.3c.

(a) (b)

P

Q

P4

P3

P2

P1

C1(u) C1(u)

C2(v) C2(v)

P0


1

8

4

(c)

(d)

Gambar 13.3 Beberapa contoh permukaan geser Bezier

Permukaan putar memiliki sumbu simetri pada sumbu putarnya,

sehingga benda putar yang terbentuk nampak menjadi lebih indah dan simetris.

Permukaan geser persamaan (13.3) dapat digunakan untuk membangun

permukaan simetris melalui cara berikut. Pertama, kurva C2(v) dipilih dari jenis

kurva dengan orientasi arah kurva tetap. Kedua, melalui operasi refleksi kurva

P

Q

P

Q

Q

P

Bagian I

185

C2(v), dibangun kurva C3(v) simetri terhadap kurva C2(v) dan kemudian

masing-masing kurva digeser menyentuh segmen persekutuan PQ . Dalam hal

yang lebih umum, jika PQ diganti dari bentuk kurva bidang, contoh hasilnya

terlihat pada Gambar 13.3d.

13.3 Permukaan Putar Terdefinisi dari Kurva Kondisi Batas

Pada bagian ini kita bahas permukaan putar tebangun dari pemutaran

kurva yang terdefinisi oleh suatu kondisi batas. Untuk itu, secara berurutan,

kita formulasikan bentuk-bentuk permukaan putar dari pemutaran kurva

kuadratik, dan bentuk kubik berikut.

a). Permukaan Putar Kuadratik

Misalkan kurva parametrik kuadratik dalam bentuk

p(u) = a2 u2 + a1 u + ao (13.4)

dengan 0 u 1 dan a2, a1, ao merupakan vektor dari koefisien-koefisien

bentuk aljabar persamaan (13.4). Turunannya terhadap variabel parameter u

adalah

pu(u) = 2 a2 u + a1. (13.5)

Jika kurva (13.4) diberikan kondisi batas

p(0) = ao (13.6)

p(1) = a2 + a1 + ao (13.7)

pu(1) = 2 a2 + a1, (13.8)

maka nilai a2, a1, ao dari sistem adalah

a2 = pu(1) - p(1) + p(0), (13.9)

a1 = 2 p(1) - pu(1) – 2 p(0) (13.10)

ao = p(0). (13.11)


1

8

6 Bila selanjutnya nilai-nilai pada bentuk (13.11), (13.10) dan (13.9) kita

substitusikan ke persamaan (13.4), maka akan diperoleh kurva kuadratik dalam

bentuk

p(u) = p(0) (1 - 2u + u2) + p(1) (2u - u2) + pu(1) (-u + u2). (13.12)

Untuk penyederhanaan penulisan, jika harga

K1(u) = (1 - 2u + u2); K2(u) = (2u - u2); K3(u) = (-u + u2),

maka persamaan (13.12) dapat dinyatakan sebagai

p(u) = p(0) K1(u) + p(1) K2(u) + pu(1) K3(u). (13.13)

Dalam hal ini, p(0) dan p(1) merupakan titik kontrol (geometrik) bentuk kurva

yang dapat dipandang sebagai titik biasa di R2 atau di R3, sedangkan pu(1)

merupakan vektor singgung kurva di p(1). Adapun K1(u), K2(u) dan K3(u)

disebut fungsi-fungsi basis kurva p(u).

Di lain hal, jika kondisi (13.6), (13.7) dan (13.8) untuk kurva

persamaan (11) digantikan oleh syarat batas

p(0) = ao; p(1) = a2 + a1 + ao; pu(0) = a1,

maka diperoleh bentuk persamaan kurva kuadratik

p(u) = p(0) N1(u) + p(1) N2(u) + pu(0) N3(u) (13.14)

dengan N1(u) = (1 - u2); N2(u) = u2 N3(u) = (u - u2).

Oleh karena itu dalam kasus kurva ruang, untuk membangun bentuk

kurva kuadratik persamaan (13.13) ataupun persamaan (13.14), prosedurnya

berikut ini. Pertama, tetapkan dua titik batas kurva di (xo,yo,zo) dan (x1,y1,z1)

untuk menentukan vektor posisi p(0) = <xo,yo,zo> dan p(1) = <x1,y1,z1>.

Kedua, tetapkan vektor singgung pu(1) untuk menentukan bentuk kurva

persamaan (13.13) dan menetapkan vektor singgung pu(0) untuk menentukan

bentuk kurva persamaan (13.14). Selanjutnya, kurva persamaan (13.13) dan

Bagian I

187

(13.14) dapat direalisasikan. Dari kedua bentuk persamaan kurva tersebut,

selanjutnya dapat kita konstruksi permukaan putar kuadratik berikut.

Pandanglah ruang vektor ortonormal [O,i,j,k] dan padanya melekat

suatu koordinat Cartesius tegak lurus [O,X,Y,Z]. Tetapkan sumbu OZ sebagai

sumbu putar dan kurva bentuk persamaan (13.13) terletak pada bidang

meridian XOZ. Permukaan putar hasil pemutaran kurva (13.13), dapat

dirumuskan dalam bentuk

P(u,v) = < px(u) Cos v, px(u) Sin v, pz(u) > (13.15)

untuk 0 u 1 dan 0 v 2 dengan px(u) dan pz(u) merupakan fungsi skalar

dari komponen-komponen p(u) di bidang XOZ.

Untuk contoh validasi, tetapkan titik batas kurva putarnya di (1,0,1)

dan (2,0,6). Selanjutnya, kita simulasikan masing-masing grafik permukaan

putar dari perputaran kurva persamaan (13.13) dan persamaan (13.14) masing-

masing seperti dalam Gambar 13.4a dan Gambar 13.4b dengan memilih

terlebih dahulu vektor pu(1) dan pu(0) secara berbeda.

(a)

pu(1) = <2,0,-2> pu(1) = <5,0,0>

pu(1) = <5,0,5>


1

8

8

(b)

Gambar 13.4 Permukaan putar kuadratik kondisi batas di pu(1) dan pu(0)

b). Permukaan Putar Kubik

Misalkan kurva parametrik kubik dalam bentuk kondisi batas Hermit

seperti disajikan dalam bagian 12.1 berikut

q(u) = q(0) H1(u) + q(1) H2(u) + qu(0) H3(u) + qu(1) H4(u) (13.16)

dengan

H1(u) = 2u3 – 3 u2 + 1; H2(u) = -2u3 + 3 u2;

H3(u) = u3 - 2u2 + u; H4(u) = u3 – u2.

Jadi dalam membangun kurva kubik Hermit, kita diberi 4 (empat) fasilitas

untuk memodelisasi bentuk kurva tersebut, yaitu dalam hal memilih posisi titik

batas awal kurva q(0) dan akhir q(1) serta dalam hal pemilihan bentuk kurva

karena pengaruh besar dan arah vektor singgung qu(0) dan qu(1). Adapun

untuk membangun permukaan putar dari kurva Hermit, dapat kita analogkan

seperti model permukaan putar persamaan (13.15), dan contoh hasilnya seperti

terlihat dalam Gambar 13.5 berikut.

pu(0) = <5,0,-5>

pu(0) = <5,0,0>

pu(0) = <5,0,5>

Bagian I

189

Gambar 13.5 Permukaan putar kubik Hermit

13.4 Silinder Dibatasi Bidang Bujur Sangkar

Misalkan suatu keratan permukaan putar. Pada terdefinisikan

bentuk bujur sangkar ABCD yang sisi-sisinya dibatasi oleh kedua kurva batas

keratan permukaan putar tersebut dan bertitik pusat di titik P (Gambar 13.6a).

Masalahnya adalah melalui data sumbu bujur sangkar g1 tidak tegak lurus bujur

sangkar ABCD dan segmen sumbu permukaan putar EF dari benda putar ,

perlu dibangun suatu silinder berjari-jari r dalam batas sisi-sisi bujur sangkar

ABCD dengan ketentuan g1 dalam salah satu posisi berikut (Gambar 13.6b):

a). sumbu g1 berjarak sama terhadap titik tengah sisi vertikal (tegak) bujur

sangkar dan membentuk sudut terhadap bujur sangkar ABCD (Gambar

13.6c),

b). seperti (a) tetapi g1 berjarak sama terhadap titik tengah sisi horisontal bujur

sangkar ABCD (Gambar 13.6d).

p(0) = <1,0,1>, p(1) = <6,0,6>

pu(0) = <16,0,0>, pu(1) = <10,0,0>

pu(0) = <10,0,0>, pu(1) = <-10,0,10>


1

9

0

(a) (b) (c)

(d) (e)

Gambar 13.6 Masalah konstruksi silinder dibatasi bidang bujusangkar miring

Sehubungan dengan dua masalah tersebut, cukup didiskusikan mencari solusi

permasalah (a) sedangkan untuk solusi masalah (b) analog dengan kasus (a).

Adapun perhitungannya sebagai berikut (Gambar 13.6c, e).

g1

S

R

P

r

T’

P’

T’’

g1

S

R

d

P

U

T

g1

D C

B A

P

g1

S

R

P

F

Q

E

g1

g

Bagian I

191

Andaikan jari-jari silinder r ditetapkan 0< r (PR Sin ) dengan 0 dan

proyeksinya pada PR diketahui PT , maka proyeksi PT pada g1 adalah d = 'PT =

CosPT . Dengan demikian panjang CosPTdUT 22" . Jika dua vektor

ortonormal [w1, w2] didefinisikan oleh

w1 = TT

TT

'

' dan w2 =

PTTT

PTTT

''

''

(13.17)

maka persamaan lingkaran berpusat di titik T’ berjari-jari r berbentuk

L(v) = ][' 21 vSinvCosrOT WW (13.18)

dengan 0 v 2. Jadi silinder bersumbu PT ' dibatasi bidang bujur sangkar ABCD

dapat dinyatakan sebagai

S(u,v) = ])...[)(1()(. 2 vSinrvCosPTOPuvu WL (13.19)

dengan 0 u 1 dan 0 v 2. Contoh hasil formulasi (13.19) diperlihatkan pada

Gambar 13.7a,b dengan mengambil posisi titik A = (1,3,3), B = (-1,3,3), C = (-

1,3,1), D = (1,3,1), titik Q di garis g1 sebagai Q = (0,0,0) dan r diambil bervariasi.

(a) (b) (c)

Gambar 13.7 Masalah konstruksi silinder dibatasi bidang bujusangkar miring

r =0,5

r = 0,8


1

9

2 Dari uraian tersebut, maka prosedur konstruksi silinder yang salah satu

kurva batasnya dalam bujursangkar ABCD dapat disimpulkan sebagai berikut:

a. menentukan pusat bujur sangkar P dan menetapkan sumbu silinder g1

melalui P,

b. menghitung sudut kemiringan 0 yang dibentuk antara g1 terhadap

bujursangkar ABCD, yaitu = ( 1, gPR ),

c. menentukan jari-jari silinder r PR.Sin dan menghitung pusat alas silinder

T’g1,

d. membangun permukaan silinder dengan sumbu PT ' .

13.5 Silinder Tegak Lurus Bidang Bujur Sangkar

Diketahui bidang bujur sangkar ABCD. Titik R dan S masing-masing

merupakan titik tengah segmen AB dan BC. Masalahnya adalah membangun

silinder tinggi d, jari-jari r PR, sumbu silinder g1 melalui pusat bujur sangkar

P dan posisi sumbu g1 tegak lurus serta salah satu kurva batas terletak pada

bidang ABCD (Gambar 13.8a).

Untuk merealisasikan silinder dimaksud, prosedur konstruksi dapat

dilakukan dalam beberapa tahap berikut:

1. Menghitung pusat bidang bujur sangkar titik P;

2. Menentukan tinggi silinder d dan jari-jari r PR;

3. Menghitung vektor satuan searah PS , PR dan menentukan vektor

PRPSPQ ;

4. Konstruksi permukaan silinder dalam bentuk

S(u,v) = u.PQd.v]CosPRvCosPSr.[OP (13.20)


Adapun contoh hasil dari perlakuan (1) sampai dengan (4) diperlihatkan seperti

pada Gambar 13.8b.

Bagian I

193

a) b)

(a) (b)

Gambar 13.8 Silinder tegak lurus bidang bujursangkar

13.6 Silinder Terbatas Dua Bidang Berpotongan

Misalkan dua bidang 1 dan 2 berpotongan di garis g. Melalui Rg,

segmen RP dan RQ menentukan kaki-kaki sudut bidang dua PRQ (Gambar

13.9a). Masalahnya adalah bagaimana membangun sebuah silinder bersumbu

segmen PQ dan dibatasi oleh bidang 1 dan 2.

(a) (b)

d

S

R

C

B

D

A

P

r

T

R

S

P U Q

g

1

2 R

P

Q


1

9

4

(c) (d)

Gambar 13.9 Silinder terbatas dua bidang bepotongan

Untuk solusi dari permasalahan tersebut, dijelaskan dalam beberapa

tahapan perlakukan berikut (Gambar 13.9b):

1. Menetapkan data titik segitiga PQR dan harga dalam selang 0 < 1;

2. Menentukan posisi titik S dan T masing-masing pada segmen PR dan RQ

melalui harga interpolasi dan (1-);

3. Hitung vektor proyeksi satuan PS terhadap PQ , didapat PU

u ;

4. Hitung vektor satuan US , yaitu US

u , r = |US | dan vektor u = PU

u US

u ,

5. Formulasikan ellips berpusat di P dan Q masing-masing sebagai:

E1(v) = OP + ( PS Cos v + r. u. Sin v),

E2(v) = OQ + ( QT Cos v + r. u. Sin v)

dengan 0 v 2 ;

6. Konstruksi silinder terbatas dua bidang berpotongan dalam bentuk (Gambar

13.9c,d)

S(u,v) = u E1(v) + (1-u) E2(v) (13.21)


= 0.7

= 0.2

Bagian I

195

13.7 Silinder Terbatas Dua Bidang Sejajar

Misalkan dua bidang 1//2 dan dua titik P, Q masing-masing terletak

di bidang 1 dan 2. Masalahnya adalah bagaimana membangun sebuah

silinder bersumbu PQ dibatasi oleh bidang 1 dan 2 (Gambar 13.10).

Dengan menetapkan titik R2 sehingga PRQR , dapat digunakan

solusi seperti permasalahan di bagian 13.6 kecuali langkah (5), elips E1(v) dan

E2(v) berbentuk

E1(v) = OP + ( PS Cos v + r. u. Sin v),

E2(v) = OQ + ( PS Cos v + r. u. Sin v)

dengan 0 v 2.

Gambar 13.10 Silinder terbatas dua bidang sejajar

R

Q

P


1

9

6 BAB 14

BEBERAPA TEKNIK RANCANG BANGUN BENDA

Untuk mendapatkan sebuah model obyek (benda) melalui penyajian

kurva dan permukaan, dapat digunakan beberapa teknik konstruksi ataupun

cukup dengan satu teknik saja melalui bantuan operasi geometrik sederhana.

Namun demikian dalam prakteknya, teknik-teknik konstruksi yang sering

dipakai dan diaplikasikan dalam modelisasi obyek adalah teknik penggabungan

kurva (permukaan), teknik interpolasi linier dua kurva, interseksi kurva

(permukaan), teknik konstruksi permukaan evolutif dan benda putar, serta

teknik konstruksi kurva dan permukaan paralel. Untuk itu pada bab ini kita

uraikan garis besar cara kerja dari beberapa teknik dimaksud.

14.1 Teknik Penggabungan Kurva dan Permukaan

Pada prinsipnya permukaan setiap obyek dapat dipandang sebagai

gabungan (kumpulan) beberapa segmen kurva atau kepingan permukaan. Oleh

sebab itu untuk mendapatkan suatu model obyek, dapat dilakukan dengan cara

menggabung beberapa segmen kurva ataupun permukaan (Gambar 14.1b).

Khususnya bila obyek tersebut permukaannya kompleks, perlakuan

penggabungannya diperlukan kecukupan segmen kurva (permukaan) agar

dalam perhitungannya diperoleh ketelitian yang tinggi. Selain itu, kondisi batas

antara dua kurva dan permukaan yang tergabung perlu diperhitungkan guna

mendapatkan cukup kekontinyuan (kontinyu order satu atau order dua)

sehingga semua permukaan benda yang terbangun diperoleh mulus.

Sehubungan dengan perlakukan kekontinyuan pengabungan dua

segmen kurva dan permukaan ini, kita bedakan pengertian kontinyu parametrik

dan geometrik. Pada pengertian pertama, visualisasi penggabungan tergantung

pada perubahan parameter, sedangkan pada kontinyu geometrik bebas dari

segala perubahan parameter. Adapun untuk memahami perbedaan dari kedua

kekontinyuan kurva secara ekspresi matematis, dapat diketahui melalui 2 (dua)

formulasi berikut (deRose 1988, Du 1988, Kusno 1998):

a). misalkan t I, u I1 dan I = I1 = [0,1]. Dua kurva parametrik X1(t) dan

X2(u) di R3 klas Cn bergabung kontinyu parametrik order n pada titik P, jika

Bagian I

197

turunan ke n pertama parameter dari X1(n)

(1) dan X2(n)(0) adalah sama,

yaitu:

X1(i)(1) = X2

(i)(0) = P

untuk i = 0, ... , n (Gambar 14.1a).

b). misalkan t I, u I1 dan I = I1 = [0,1]. Dua kurva parametrik (I, X1) dan

(I1, X2) di R3 klas Cn disebut bergabung kontinyu geometrik order n pada

titik P, jika ada ekivalen klas Cn dalam bentuk ^X1 dari X1 sehingga ^X1(1) = X2(0) = P.

(a) (b)

(c) (d)

Gambar 14.1 Gabungan kurva dan permukaan

Untuk menggabung dua permukaan parametrik, prinsipnya sama

dengan gabungan antara dua kurva. Dalam hal ini, misalkan terdapat dua

kepingan permukaan S1(u,v) dan S2(u,v) dengan 0u,v1, maka

P

X (t)

X (u)

1

2

SS S

S1

2 34

P

P

O

L

A B

X (t) 1

X (u) 2

S (u,v) 1

S (u,v) 2

B

P Q

o

u

v

C1 C2

R


1

9

8 kekontinyuan geometrik oder 0, 1 dan 2, yaitu CG0, CG1 dan CG2

sepanjang kurva interseksi bersama (v) = S1(1,v) = S2(0,v) dapat

dikarakterisasi sebagai:

a). kedua keping kontinyu C0

bergabung CG0

, jika keduanya mendukung kurva

bersama (v);

b). dua kurva kontinyu C1 bergabung CG1, jika selain CG0, setiap titik

sepanjang kurva bersama (v), bidang singgungnya berimpit: Det (S1u(1,v),

S2u(0,v), v(v)) = 0;

c). dua keping permukaan S1(u,v) dan S2(u,v) kontinyu C2 bergabung CG2, jika

selain kontinyu CG1 antara kedua keping permukaan, kelengkungan dan

arah prinsipalnya identik sepanjang (u). Dengan kata lain, jika kedua

keping permukaan memiliki bentuk paraboloida oskulator sama di semua

titik sepanjang (u), yaitu:

(E x2 + 2 F xy + G y2)1 = (E x2 + 2 F xy + G y2)2

dengan x dan y koordinat lokal titik, sedangkan E, F dan G koefisien gauss

II.

Apabila kedua kurva (permukaan) yang tersambung bentuknya tidak

kompleks, kita dapat menggunakan teknik menggelindingkan lingkaran (bola)

pada kedua kurva atau permukaan yang tersambung tersebut untuk

mengevaluasi kekontinyuan di titik persambungannya. Pada Gambar 14.1c,

untuk mendapatkan kekontinyuan di titik sambungan P, kita potong busur AP

dan PB masing-masing dari kurva bidang X1 dan X2, digantikan busur AB dari

lingkaran L berjari-jari OA = OB. Pada Gambar 14.1d, untuk mendapatkan

kekontinyuan di titik P sepanjang kurva interseksi , kita potong busur kurva

pada arah parameter u, yaitu RP dan PQ masing-masing dari kurva C1 di

S1(u,v) dan C2 di S2(u,v), diganti dengan busur RQ dari bola B berjari-jari OR =

OQ.

14.2 Teknik Interpolasi Linier Dua Kurva

Karena alasan ukuran obyek atau permukaannya berkelengkungan

kecil, seringkali untuk mendapatkan bentuk obyek, kita perlu mencacah

terlebih dahulu obyek tersebut dengan sekumpulan bidang kearah vertikal,

horisontal atau miring agar didapatkan sejumlah kurva yang dapat

Bagian I

199

mendefinisikan permukaan obyek. Selanjutnya dari pasangan-pasangan berurut

kurva pembangunnya, kita rekonstruksi permukaan obyek tersebut melalui

teknik interpolasi linier. Dalam hal ini, setiap pasangan kurva tersebut

dibangkitkan permukaan garis yang secara matematis didefinisikan melalui

bentuk natural berikut. Permukaan garis S(u,v) dibangkitkan oleh dua kurva

parametrik C1(u) dan C

2(u) kelas Cn1 adalah permukaan terparametrisasi

(Gambar 14. 2)

S(u,v) = C1(u) + v g(u) dengan g(u) = C

2(u) - C

1(u)

atau

S(u,v) = (1-v) C1(u) + v C2(u)

dimana a u b dan c v d.

(a) (b)

Gambar 14.2 Permukaan hasil interpolasi linier dua kurva

14.3 Teknik Interseksi

Untuk membangun permukaan obyek, dapat didefinisikan melalui data

titik atau kurva dari hasil interseksi (potongan) antara benda-benda geometrik

standar, misalnya lingkaran, parabola, kerucut, tabung, bola dan sebagainya.

Pada Gambar 14.3a, obyek tersebut dapat didefinisikan melalui interpolasi

linier antara kurva interseksi Tabung-1 dan Tabung-2 pada sudut potong 45o

dengan kurva-kurva batas lain kedua tabung tersebut. Selanjutnya Gambar

4.3b, melalui permukaan blending (perekat) yang didefinisikan oleh interpolasi

kuadratik antara dua kurva disisi berbeda dari kurva interseksi Tabung-1 dan

x

S(u,v)

C (u)

C (u)1

2

(1 - v)

v

.

u

v


2

0

0 tabung-2 , dapat kita rekatkan kedua potongan tabung tersebut menjadi sebuah

bentuk obyek baru. Demikian juga untuk obyek berpermukaan kompleks,

sangat mungkin kita peroleh dari teknik interseksi kurva dan permukaan dari

penyajian bentuk implisit, eksplisit atau parametrik.

(a) (b)

Gambar 14.3 Interseksi dua tabung

Secara umum problem interseksi kurva dan permukaan dapat

diselesaikan dengan teknik solusi pendekatan diskret atau aljabar. Pada solusi

diskret, perhitungannya dilakukan dengan cara mensubdivisi (mencacah) dua

obyek yang berinterseksi menjadi beberapa potongan sub-obyek, kemudian

mencari sub-potongan yang berinterseksi. Proses subdivisi ini dihentikan, jika

kondisi error yang ditetapkan telah terpenuhi. Pada pendekatan aljabar,

masalah yang harus diselesaikan umumnya non-linier, sehingga persolannya

berupa

Problem: Min

(.)

dengan dan (.) masing-masing menyatakan vektor error dan variabel

parametrik yang dilibatkan.

14.4 Teknik Konstruksi Permukaan Pipa Evolutif dan Benda Putar

Untuk membangkitkan obyek evolutif berupa tabung dengan jari-jari

tidak konstan dan sumbu berbentuk kurva, dapat dijelaskan sebagai berikut

(Leon, 1991). Pertama, berangkat dari kurva C(t), di titik awal C(to) dapatkan

kurva (lingkaran) Lo terletak di bidang (bo,no) yang dibangun oleh vektor

TABUNG-1

TABUNG-2

Interseksi

TABUNG-1

TABUNG-2

BLENDING

Bagian I

201

binormal dan normal kurval C(t). Selanjutnya, dari kurva Lo, lingkaran

digerakkan sepanjang kurva C(t) secara tegaklurus terhadap vektor

singgungnya t sehingga mencapai titik akhir C(tn) dengan kurva Ln di bidang

(bn,nn). Dengan demikian di setiap titik C(ti), kita dapatkan kurva lingkaran Li

di bidang (bi,ni). Selanjutnya, dari himpunan kurva Li, permukaan evolutif

secara umum dapat berbentuk pipa (Gambar 14.4).

Gambar 14.4 Permukaan pipa evolutif

Pada prinsipnya, benda putar kompleks dapat kita bangun melalui

kurva bidang (sebagai generatrik) yang diperoleh dari gabungan kurva

potongan kerucut diputar terhadap sumbu putarnya. Jika kurva generatriknya

tunggal, kita dapat merumuskannya dalam bentuk parametrik berikut

R (u,v) = [p(u) Cos v] i + [p(u) Sin v] j + z(u) k

dengan z(u) kita tetapkan sebagai sumbu putar (tegak).

Gambar 14.5 Benda putar

Kurva Generatrik

Sumbu Putar

Lo

C(t)

C(to)

bo

to

no

nn

tn

bn

Ln

C(tn)


2

0

2 14.5 Teknik Konstruksi Kurva dan Permukaan Paralel

Dalam rancang bangun obyek, terkadang kita perlu memperhitungkan

ketebalan obyek. Jika obyek terdefinisi dari kurva atau permukaan, maka untuk

mendapatkan permukaan dalamnya (luarnya) berketebalan , diperlukan

penggeseran (offset) terhadap kurva atau permukaan luarnya (dalamnya)

sebesar , searah vektor normal dalam (luar) kurva sehingga kurva atau

permukaan asal dan hasil geserannya saling paralel. Untuk jelasnya, kita

uraikan sebagai berikut.

a. Kurva dan Permukaan Paralel

Pada kasus kurva bidang, kurva paralel hasil geseran C(t) dapat

dibangun oleh sebuah kurva awal C0(t) sejauh menurut bentuk matematis

berikut

C (t) = Co(t) + no(t)

dengan no dari panjang aljabar no = 1. Dalam hal kurva asal C0(t)

terdapat titik singuler P, kurva C(t) disekitar P dapat ditentukan melalui busur

lingkaran berjari-jari yang di gelidingkan dengan pusat kurva Co(t) seperti

pada Gambar 14.6.

Pada kasus kurva ruang, untuk b, n dan t masing-masing menyatakan

vektor binormal, normal prinsipal dan vektor tangen kurva awal Co(s), kurva

paralel C(s,) berjarak dalam kerangka Frenet kearah t, dapat ditentukan

melalui bentuk

C(s,) = Co(s) + [n Cos + b Sin ]

dengan adalah parameter konstan atau fungsi dari s.

Pada kasus permukaan, suatu permukaan paralel S(u,v) dibangun

melalui permukaan awal S(u,v) dengan jarak dapat ditentukan oleh

S(u,v) = S

(u,v) + n

0(u,v).

Bila vektor normal n o, bidang singgung suatu titik P

di S

(u,v) dapat

ditentukan melalui bidang singgung titik pasangannya Po di S

(u,v) dari bentuk

Bagian I

203

Su

= Su

+ nou

dan

Sv

= Sov

+ nov ,

sedangkan normalnya: n = [S

u S

v].

b. Aproksimasi dengan Poligon

Jika kurva atau permukaan awal dibangkitkan oleh poligon karakteristik,

misalnya kurva dan permukaan Bezier, maka untuk mendapatkan kurva atau

permukaan paralelnya, dapat kita aproksimasi melalui offset poligon

karakteristiknya. Ide dasarnya adalah sebagai berikut. Pertama, misal

(P0,P1,...,Pn) sebuah poligon karakteristik dari kurva awal Co(t) berderajat n.

Dengan mengkombinasikan antara teknik subdivisi (mencacah) dan

transformasi segmen poligon, kita bangun sebuah poligon karakteristik baru

(qo, q1,..., qn) sehingga sisi-sisinya yang bersesuaian berjarak terhadap

poligon lama. Kemudian kita bangun kurva C(t) melalui (qo, q1,..., qn).

(a) (b)

Gambar 14.6 Kurva Bezier paralel dan posisi titik singuler P

Kurva Awal

Kurva Paralel

Kurva Paralel

P

Titik Singuler

Arah geseran


2

0

4 14.6 Optimasi Rancang Bangun Benda

Beberapa teknik konstruksi permukaan obyek (benda) dengan kurva

dan permukaan telah diperkenalkan. Pertanyaan selanjutnya yang perlu

didiskusikan adalah bagaimana kita memilih teknik-teknik konstruksi tersebut

agar dalam merealisasikan obyek, hasilnya sesuai dengan yang diharapkan.

Jelasnya, bagaimana mendapatkan obyek agar tidak hanya kondisi geometrik

permukaannya saja yang dipenuhi, yaitu mulus dan alaminya obyek, tetapi juga

dalam proses perancangannya diharapkan sederhana, efisien serta mudah

dilaksanakan.

Secara natural, umumnya permukaan setiap obyek terkomposisi dari

permukaan sederhana sampai dengan kompleks. Sedangkan komponen-

komponennya, dapat terbangun dari permukaan tunggal ataupun jamak,

misalnya dari gabungan permukaan benda-benda geometrik standar seperti

halnya bola, tabung, ellipsoida ataupun hiperboloida. Selain itu karena

pengaruh dimensi dan ketebalan obyek, maka kelengkungan permukaannya

dapat bervariatif dari kecil sampai yang besar. Oleh sebab itu agar pemilihan

penggunaan teknik-teknik kostruksi tersebut dapat optimal dan sesuai dengan

yang kita harapkan, maka dalam aplikasinya disarankan perlu memperhatikan

prosedur konstruksi obyek berikut ini.

a) Dekomposisi obyek yang akan dibangun menjadi beberapa komponen

obyek. Kemudian untuk masing-masing komponen obyek tersebut,

permukaannya didekomposisi lagi menjadi beberapa kepingan permukaan

sehinggga setiap kepingan memungkinkan untuk dilakukan modifiksi

(contoh Gambar 14.1a, 14.3a dan 14.3b). Sedangkan data untuk

membangun kepingan tersebut dapat dibangkitkan melalui beberapa titik

atau kurva hasil interseksi dari beberapa kepingan permukaan.

b) Lakukan perlakukan konstruksi keping dan antar keping guna membangun

permukaan komponen-komponen obyek. Dalam hal ini dapat dipilih teknik

penggabungan permukaan kontinyu geometrik order 1, jika komponen

obyek yang dihasilkan diharapkan mulus order 1 atau digunakan teknik

interpolasi linier dua kurva, jika permukaan yang terbangun tidak perlu

kompleks. Demikian juga untuk teknik-teknik yang lain dapat diterapkan

menurut bentuk komponen obyek yang akan kita konstruksi. Tujuan dari

perlakuan per keping ini tidak hanya untuk memudahkan operasi teknik

penggabungan, interseksi ataupun teknik lainnya, tetapi juga memungkinkan

Bagian I

205

untuk membangkitkan parameter lokal guna membantu memudahkan proses

kreasi dan modifikasi bentuk obyek.

c) Rekonstruksi masing-masing keping permukaan dari setiap komponen-

komponen obyek pada perlakuan (b) agar didapat bentuk permukaan obyek

secara penuh. Jika terdapat suatu komponen obyek yang belum sempurna,

maka pada bagian tersebut dapat diulang menurut teknik konstruksi yang

dipilih.

BAGIAN III

BEBERAPA CONTOH RISET

BIDANG PEMODELAN BENDA-BENDA INDUSTRI

BAB 15

PEMODELAN PERMUKAAN PELAT

Permukaan pelat secara matematis mempunyai keistimewaan dapat dibeber ke

bidang secara isometrik tanpa ditarik maupun ditekan seperti halnya pelat. Oleh karena

itu studi tentang permukaan pelat dipandang penting untuk aplikasi industri-industri

berbasis logam pelat atau lembaran pelat, yaitu industri kapal laut, pesawat, kereta api

ataupun industri automotif (Faux 1987, Frey 1993, dan Elber 1995).

Bagian-bagian permukaan pesawat dan kapal secara umum berupa permukaan

kompleks dan tidak dapat hanya dinyatakan dalam satu keping permukaan pelat. Oleh

sebab itu agar pengoperasian pelat cepat dan mudah dilaksanakan, maka perlu

dilakukan pendeteksi dan lokalisasi bagian-bagian pelat dan bukan pelat dari

permukaan obyek tersebut agar masing-masing jenis permukaan dimaksud dapat

diperlakukan secara tersendiri. Jelasnya, jika permukaan obyek umumnya terdefinisi

dari permukaan garis R(u,v) didukung oleh dua kurva bidang [1(u), 2(u)] masing-

masing terletak di bidang 1 sejajar 2, maka masalah yang perlu dicari solusinya

adalah mencari kepingan permukaan Si(u,v) yang bersifat pelat atau hampir pelat

sebagai aproksimasi Ri(u,v) dalam batas error yang kita tentukan (Kusno, 1998,

2003). Dari permasalahan ini, berikut kita bahas tentang membangun permukaan pelat

dengan sejumlah data yang telah diketahui dan beberapa kondisi yang ditetapkan

tersebut.

15.1 Permukaan Pelat Bezier Reguler Terdukung Dua Bidang Sejajar

Definisi 15.1: Permukaan garis S(u,v) dari kelas Cn1 adalah semua permukaan

terparametrisasi

(u,v) I x R f(u) + v g(u)

dengan f : I R3 dan g: I R3 dari kelas Cn atas I dan o g(I). Pasangan

(I,f) disebut kurva direktrik dan g(u) berupa garis disebut generatrik.

Definisi 15.2: Permukaan garis S(u,v) = f(u) + v g(u) adalah permukaan pelat jika

semua u I, ketiga vektor [g'(u),f'(u),g(u)] sebidang, yaitu terdapat

skalar unik (u) dan (u) sehingga g'(u) = (u) f'(u) + (u) g(u).

Permodelan Permukaan Pelat

218

Gambar 15.1 Permukaan pelat

Definisi 15.3: Keping pelat Bezier adalah permukaan pelat yang dibangun oleh dua

kurva Bezier C1(u) dan C2(u) dalam penyajian:

S(u,v) = C1(u) + v g(u) dengan g(u) = C2(u) - C1(u)

atau juga

S(u,v) = (1-v) C1(u) + v C2(u) (15.1)

dimana 0 u,v 1. Berdasarkan pada definisi 15.2, maka dapat disimpulkan bahwa

keping permukaan garis Bezier S(u,v) adalah pelat jika ketiga vektor g'(u), C1'(u) dan

g(u) sebidang, yaitu jika terdapat skalar real (u) dan (u) sehingga

g'(u) = (u) C1'(u) + (u) g(u)

atau

C2'(u) = [1 + (u)] C1'(u) + (u) g(u)

= (u) C1'(u) + (u) g(u).

Dari ketiga definisi tersebut, misalkan kurva Bezier C1(u) dan C2(u) berderajat

[n,n+k] dari klas Cn

dengan n1 dalam bentuk

)()(0

1 uu Bn

i

n

ii

pC

dan

)()(0

2 uu Bkn

i

kn

ii

qC

S(u,v)

Bagian III

219

dengan 0 u 1. Jika C1(u) dan C

2(u) disyaratkan masing-masing terletak pada bidang

sejajar [1,2], maka kondisi pelat S(u,v) dapat disederhanakan menjadi (Kusno,

1998)

C2'(u) = (u) C

1'(u). (15.2)

Adapun untuk kondisi keregulerannya, selanjutnya dapat kita manfaatkan studi dari

Frey (1993) dan dapat kita nyatakan bahwa agar keping Bezier S(u,v) yang dibangun

oleh dua kurva [C1(u), C

2(u)] masing-masing terletak pada dua bidang sejajar [1,2]

adalah reguler, maka pemilihan (u) pada kondisi C2'(u) = (u) C

1'(u) harus (u) >

0.

15.2 Keping Pelat Bezier Kurva Batas Derajat [n, n+k]

Andaikan R(u,v) diketahui sebagai keping permukaan garis Bezier yang

dibangun oleh dua kurva Bezier C1(u) dan C

2(u) seperti dinyatakan dalam penyajian

(13.1). Tetapkan, pertama, kurva tersebut terletak masing-masing pada dua bidang

sejajar berbeda [1,2]. Kedua, kurva C1(u) diketahui semua titik kontrolnya,

sedangkan kurva C2(u) hanya titik kontrol pertama q

o dan terakhir q

n+k saja yang

diketahui. Masalahnya adalah mencari permukaan pelat Bezier S(u,v) yang dibangun

atas dasar data dimaksud (Gambar 15.2). Dalam hal ini secara umum permukaan

yang dicari hasilnya akan berupa keluarga dari permukaan pelat Bezier yang

memenuhi kondisi tersebut.

Gambar 15.2 Problem penyajian keping pelat bezier

Y

Z

1

2

q

qo

X

.

.

C (u)1

C (u)2

n+k

p

p

p

p

p

o

1

i

n-1

n

. . . . ..


220

Andaikan dari persamaan (15.2), kita tentukan skalar (u) dalam bentuk

penyajian kubik (u) = [o (1-u) + 3 1 (1-u)2 u + 3 2 (1-u) u2 + 3 u] > 0 dan

kedua kurva batasnya berbentuk

C1(u) =

3

0

3

iii Bp (u); C

2(u) =

6

0

6

iii Bq (u),

maka dengan menggunakan prinsip identitas [(1 – u) + u = 1] dan

a). (1-u) Bii

i

33

0

a (u) = Bii

i

i 44

0

)4

4(

a (u) (15.3a)

b). u Bii

i

33

0

a (u) = Bii

i

i 44

01

)4

(

a (u) (15.3b)

c). (1-u)2 u Bii

i

33

0

a (u) = Bii

i

iii 66

01120

))(6)(5(

a (u) (15.3c)

d). u (1-u)2 Bii

i

33

0

a (u) = Bii

i

iii 66

02120

))(1)(6(

a (u) (15.3d)

kondisi pelat (15.2) dapat dinyatakan sebagai (Kusno 1998 dan 2002)

5

0i120 (qi – qi+1) + o [(3-i).(4-i).(5-i)].(pi+1 – pi) +

o [2(4-i).(5-i).(i).(pi – pi-1) + (5-i).(i-1).(i).(pi-1 – pi-2)] +

3 1 (4-i).(5-i).(i).(pi – pi-1) + 3 2 (5-i).(i-1).(i).(pi-1 – pi-2) +

3 [(4-i).(5-i).(i).(pi – pi-1) + 2 (5-i).(i-1).(i).(pi-1 – pi-2)] +

3 [(i-2).(i-1).(i)].(pi-2 - pi-3) Bi

5

(u) = o. (15.4)

Karena Bi

5

(u) tidak nol untuk i = 0,...,5, maka Bi

5

(u) membentuk ruang polinom

derajat 5. Oleh sebab itu pada setiap suku bentuk (15.4), yang ada dalam kurung

kurawal adalah nol dan diperoleh persamaan-persamaan

[120.(qi – qi+1) + o [(3-i).(4-i).(5-i)].(pi+1 – pi) +

o [2(4-i).(5-i).(i).(pi – pi-1) + (5-i).(i-1).(i).(pi-1 – pi-2)] +

Bagian III

221

3 1 (4-i).(5-i).(i).(pi – pi-1) + 3 2 (5-i).(i-1).(i).(pi-1 – pi-2) +

3 [(4-i).(5-i).(i).(pi – pi-1) + 2 (5-i).(i-1).(i).(pi-1 – pi-2)] +

3 [(i-2).(i-1).(i)].(pi-2 – pi-3)] = o (15.5)

untuk i = 0, 1, …, 5.

Selanjutnya jika kita menjumlahkan sistem persamaan (15.5), maka akan

diperoleh persamaan titik berat poligon Bezier kurva C1(u) dalam bentuk:

o ( p - po ) +

3 ( p3 - p ) = [(q

6 - q

o) -

1 v1 -

2 v2] (15.6)

dengan

p = 4

1

3

0i

pi

v1 =

3

1

)5)(4(40

1

i

iii ( pi – pi-1)

v2 =

5

2

)1)(5(40

1

i

iii ( pi-1 – pi-2).

Jika kita pilih titik-titik kontrol pi untuk i = 0, ..., 3 di bidang 1 dan dua titik kontrol

qo dan q

5 pada bidang 2 sebagai datanya, maka keping pelat Bezier berkurva batas

derajat 3 dan 6 masing-masing terletak pada bidang sejajar [1, 1], dapat

direalisasikan sebagai berikut:

a). menetapkan harga 1 dan 2 pada persamaan (15.6), kemudian menghitung harga

o, 3 dan (u). Jika didapat (u) > 0, kita lanjutkan perhitungan (b), jika tidak, kita

ulang perlakukan (a).

b). menyelesaikan persamaan (15.5) untuk mendapatkan titik-titik kontrol qi dengan i

= 1,...,5 selanjutnya mengkonstruksi permukaan.

Untuk validasi prosedur konstruksi ini, contoh hasilnya dapat dilihat pada Gambar 1

dan Gambar 2.


222

(a)

(b)

Gambar 15.3 Keping pelat Bezier [3,6] dan contoh aplikasinya

Dengan menggunakan metode yang sama, kita pilih selanjutnya kasus lebih

umum untuk kurva batas berderajat n dan n+k dengan n, k 1 berikut. Tetapkan kurva

C1(u), C2(u) dan skalar real (u) derajat k dalam bentuk

C1(u) =

n

i

n

ii Bp0

(u)

C2(u) =

kn

i

kn

ii Bq0

(u)

(u) = [o (1-u) +i

k

1

1

i i

k

B (u) + k u] > 0 (15.7)

Kondisi pelat persamaan (15.2) dapat kita nyatakan sebagai

C2'(u) = [o (1-u) +

i

k

1

1

i i

k

B (u) + k u ] C1'(u) (15.8)

Dengan menggunakan identitas (Du 1988)

CBDR[(3,6),1]

1

2

Pelat kapal

Bagian III

223

(1-u)k1 uk2 i

n

0

ai i

n

B (u) = i

n k k

0

1 2

N N

D

1 2. ai-k2 i

n k k

B 1 2

(u)

dengan

N1 = (n + k2 +1 -i) (n + k2 + 2 -i) ... (n + k2 + k1 -i) jika k1 1, jika tidak N1 = 1

N2 = (i - k2 + 1) (i - k2 + 2) ... (i) jika k2 1, jika tidak N2 = 1

D = (n + 1) (n + 2) ... (n + k1 + k2) jika k1 + k2 1, jika tidak D = 1

dan kemudian membawa ke bentuk seperti persamaan (15.4), maka dari persamaan

(15.8) didapat persamaan-persamaan titik kontrol sebagai berikut:

(n+1)(n+2)...(n+k) (qi – qi+1) + o (n-i).(n+1-i)...(n-1+k-i).(pi+1 - pi) +

o [ 1

1k

C

(n+1-i).(n+2-i)...(n+(k-1)-i).i.(pi – pi-1) + .......... +

k

k

C

1

1

(n-1+k-i).(i-(k-1)+1)...(i-1).i.(pi-(k-2) – pi-(k-1) )] +

[1 1

k

C (n+1-i).(n+2-i)...(n+(k-1)-i).i.(pi-pi-1) +

...................................................................... +

k-1 k

k

C 1(n-1+k-i).(i-(k-1)+1)...(i-1).i.(pi-(k-2)- pi-(k-1))] +

k [ 0

1k

C

(n+1-i).(n+2-i)...(n+(k-1)-i).i.(pi – pi-1) + ........... +

k

k

C

2

1

(n-1+k-i).(i-(k-1)+1)...(i-1).i.(pi-(k-2)- pi-(k-1))] +

k (i-k+1).(i-k+2)...(i-1).i.(p

i-(k-1) – p

i-k) = o (15.9)

untuk i = 0, ..., (n+k-1) dan k 1. Dengan melalui perhitungan yang panjang, kita

dapatkan persamaan titik berat poligon Bezier kurva C1(u) dalam bentuk

o ( p - p

o ) + k ( pn

- p ) = [(qm - q

o) -

i

k

1

1

i vi] (15.10)

dengan


224

p = 1

1n i

n

0

pi

v1 = 1

1 2

k

Cn n n k( )( )...( )

i

n

1

(n+1-i).(n+2-i)...(n+(k-1)-i).i.(pi - pi-1)

v2 = 2

1 2

k

Cn n n k( )( )...( )

i

n

2

1

(n+2-i).(n+3-i)...(n+1+(k-2)-i).(i-1).i.(pi-1- pi-2)

...............................................................................................................................

vk-1 = k

k

Cn n n k

1

1 2( )( )...( ) i k

n k

( )

( ) ( )

1

1 1

(n-1+k-i).(i-(k-1)+1)...(i-1).i.(pi-(k-2) – pi-(k-1)).

Oleh karena itu untuk membangun keping pelat Bezier reguler dari kurva batas derajat

n dan n+k pada bidang sejajar [1, 1], dapat dilakukan sebagai berikut:

a) menetapkan titik-titik kontrol pi dengan i = 0, ..., n pada bidang 1 dan dua titik

kontrol qo dan q

n+k pada bidang 2;

b) menetapkan i dengan i = 1, …, (k-1) kemudian menghitung o dan k persamaan

(15.10). Jika didapat (u)>0, dilanjutkan perhitungan (c), jika tidak, diulang

perlakuan (b);

c) dengan persamaan (15.9), menghitung qi dengan i = 1,...,n + (k-1).

15.3 Pembeberan Permukaan Pelat

Telah diketahui bahwa dalam perancangan kapal umumnya permukaan kapal

terdefinisi dari deretan permukaan garis yang terbangun dari dua kurva batas di bidang

sejajar (Gambar 15.4). Jika masing-masing kepingan deretan permukaan garis tersebut

telah kita lakukan pendeteksian sifat yang pelat dan bukan pelat, maka persolan

berikutnya adalah bagaimana kepingan-kepingan yang bersifat pelat itu dapat terbeber

ke bidang sehingga ukuran dan bentuknya dapat diketahui di bidang. Dengan demikian

selanjutnya pemotongan pelat dapat dilakukan secara otomatis oleh robot. Berikut kita

berikan beberapa hasil riset untuk pembeberan permukaan pelat di dari ruang ke

bidang.

Bagian III

225

Gambar 15.4 Masalah pembeberan deretan permukaan garis

a. Pembeberan Permukaan Pelat Karakter Bidang

Pandang potongan bidang dibatasi oleh segitiga ABC dengan vektor AB dan

AC membentuk sudut xo di ruang ortonormal [O,i,j,k]. Masalahnya adalah

membeber bidang ABC ke bidang ortonormal [O,i,j] dengan vektor '' BA (sebagai

beberan sisi AB dari segitiga ABC) melekat pada vektor satuan a1 (Gambar 15.5a).

Beberan permukaan pelat

Kepingan S1 di bidang beberan

Surfas Garis

S1

S2

Si

Sn

C1(u)

C2(u).

. .. . .

. .

...

Permukaan garis


226

(a) (b) (c)

Gambar 15.5 Pembeberan potongan bidang bentuk segitiga

Prosedur pembeberan permukaan jenis ini ke bidang ortonormal [O,i,j] dapat

dilakukan sebagai berikut.

1). Tetapkan vektor '' BA = AB a1, dan hitung vektor satuan a2 a1

2). Hitung ukuran sudut x = arc Cos [ ACABACAB ./. ]

3). Menetapkan '''' CAOAOC

'OC = <xA’, yA’> + ( AC .Cos xo) a1 + ( AC . Sin xo) a2

(15.11)

4). Kontruksi bidang beberan bentuk segitiga A’B’C’ di bidang ortonormal [O,i,j].

Pandang potongan bidang dibatasi oleh poligon konveks segi-n dengan titik-

titik sudutnya diketahui P0, P1, P2, .., Pn di ruang ortonormal [O,i,j,k] seperti pada

Gambar 15.6. Pembeberan potongan bidang tersebut ke bidang ortonormal [O,i,j]

dapat dilakukan sebagai berikut:

k

j

j

i

i

a1

a2

C

B

A xo

C’

B’

A’

xo

Bagian III

227

1). Tentukan titik awal beberan Q0 dan dua vektor satuan saling tegak lurus a1 a2.

2). Tentukan titik beberan Q1 peta dari P1 sehingga 1010 PPQQ a1.

3). Hitung panjang di = 10 iPP dengan i = 1, 2, 3,...,(n-1)

dan ukuran sudut i = uP1P0Pi+1 dengan i = 1, 2, 3,...,(n-1).

4). Tentukan posisi titik Qi+1 dengan i = 1, 2, 3,...,(n-1) di bidang [O,i,j]

sebagai peta P2, P3, P4,..., Pn melalui perhitungan

][ 21010 aa iiii SinCosdOQQQ .

5). Kontruksi bidang beberan Q0Q1Q2... Qn di bidang ortonormal [O,i,j].

Gambar 15.6 Pembeberan potongan bidang bentuk poligon konveks

Secara umum untuk kasus pembeberan bidang segitiga, misalkan diberikan

barisan n potongan bidang bentuk segitiga di ruang didefinisikan oleh n+2 titik P1, P2,

P3, ..., P(n+2). Maka pembeberan barisan potongan bidang P1P2P3, P2P3P4, ... ,

PnP(n+1)P(n+2) ke bidang [O,i,j] dapat dilakukan secara berurutan melalui teknik hitung

persamaan (15.11) untuk masing-masing bidang tersebut. Contoh hasilnya terlihat

dalam Gambar 15.7.

Po P1

P2

P3

Pn


228

Gambar 15.7 Pembeberan barisan bidang bentuk segitiga

b. Pembeberan Permukaan Pelat Silinder dan Kerucut

Andaikan suatu permukaan silinder atau kerucut S(u,v) = (1-v) C1(u) + v

C2(u) dengan ketinggian alas bawah dan atas masing-masing zC1 dan zC2, sedangkan

kurva batas C1(u) dan C2(u) masing-masing berupa lingkaran berjari-jari r1 dan r2

berbentuk

C1(u) = < r1 Cos u, r1 Sin u, zC1>

dan

C2(u) = < r2 Cos u, r2 Sin u, zC2>

dengan interval parametrik 0 v 1 dan 0 u 2 seperti pada Gambar 15.8.

Pembeberan permukaan S(u,v) dari ruang ke bidang [O,i,j] dapat dilakukan sebagai

berikut:

1). Tetapkan (n +1) harga parameter ui = (1/n).(i-1).( 2 ) dengan i = 1, 2, 3, ..., (n+1)

untuk menentukan 2n barisan potongan bidang berbentuk segitiga P1Q1P2,

P2Q1Q2, P2Q2P3, ..., P1Q(n+1)Q1 dengan Pi didefinisikan melalui C1(ui) dan Qi

didefinisikan dari C2(ui).

2). Hitung panjang ii PQ , 1iiPQ dan 1iiQQ serta ukuran pasangan sudut

1 iii PQP dan 11 iii QQP untuk i = 1, 2, 3, ...,n.

3). Di bidang [O,i,j], tetapkan titik pangkal beberan S1 dan vektor satuan saling tegak

lurus a1 a2. Dengan menggunakan bentuk persamaan (15.11) untuk pembeberan

bidang bentuk segitiga dan titik pangkal S1, beber ke bidang secara berurut

masing-masing potongan bidang segitiga P1Q1P2, P2Q1Q2, P2Q2P3,..., P1Q(n+1)Q1

Bagian III

229

untuk mendapatkan permukaan beberan R1S1R2, R2S1S2, R2S2R3, ..., R(n+1)SnS(n+1) di

bidang.

(a) (b)

(c)

Gambar 15.8 Contoh visual pembeberan permukaan silinder/kerucut ke bidang

c. Pembeberan Permukaan Pelat Terdukung Dua Kurva Batas

Q

2

C1(u)

C2(u)

P(n+1)

Q(n+1

)

P2 P1

Q

1

i

R

3

S2

S1

R

2

R

1

j


230

Weiss (1988), dalam hal pembeberan permukaan pelat

S(u,v) berbentuk kombinasi linier dua kurva batas 1(u) dan

2(u), memberi

prosedur sebagai berikut:

menumerisasi masing-masing kurva batas 1(u) dan 2(u) dengan poligon p dan q

(Gambar 15.9a) dan kesalahan aproksimasi <.

setiap titik P(i) atas kurva batas 1(u) dan titik Q(i) atas kurva batas 2(u)

dengan harga i = 1, ..., n, evaluasi:

a). panjang [P(i-1)P(i)], [P(i)Q(i)], dan [P(i)P(i+1)],

b). sudut A(i) = Q(i)P(i)P(i+1) dan B(i) = P(i-1)P(i)Q(i),

hitung posisi titik terbeber P(i)d dan Q(i)d di bidang pembeberan U-V menurut

bentuk (Gambar 15.9b):

UP(i) = [P(i-1)P(i)] . Cos[G(i-1)], VP(i) = [P(i-1)P(i)] . Sin[G(i-1)],

UQ(i) = [P(i)Q(i)] . Cos[F(i)], VQ(i) = [P(i)Q(i)] . Sin[F(i)],

dimana:

F(1) = 0; G(0) = 0;

F(i) = - G(i-1) - B(i)

dan G(i) = F(i) + A(i),

bangun kembali permukaan terbeber di bidang U-V.

(a) (b)

P

P

P

P

P

P

Q

Q

Q

Q

Q

U

V

A

A

A

AB

B

B

(i)(i)

(i)(i)

p q (i)

(i)

(i)

(i)

(i)

(i)F

G

(i-1)

(i-1)(i-1)

(i-1)

(1) (1)

d

d d

d

d(i+1)(i+1)

(i+1)(i+1)

(u)(u)1 2

Bagian III

231

(c) Contoh pembeberan permukaan pelat Bezier ke bidang

Gambar 15.9 Membeber permukaan pelat terdukung dua kurva batas

CBDR[(3,4),1]

CBDR[(3,6),1]

Permukaan pelat Permukaan pelat


232

BAB 16

PEMODELAN BENDA PUTAR

Benda putar umumnya sangat diminati oleh banyak orang, sebab tampilan

benda putar umunya menarik dan indah. Hal ini dikarenakan secara geometris bentuk

benda putar bersifat tegak dan simetris sehingga tampak setimbang dan proporsional.

Oleh karena itu, banyak kalangan industri menggunakan pengemas barang

produksinya dengan model benda putar agar pemasaran hasil produksinya semakin

kompetitif. Mengingat besarnya manfaat benda putar dimaksud dalam dunia industri,

pada bab ini dibahas tentang garis besar membangun dan memodifikasi lokal

permukaan putar, menggabung dan memodifikasi kontinyu permukaan putar Bezier,

beserta aplikasinya. Uraian detailnya sebagai berikut (Kusno, 2007).

16.1 Modifikasi Bentuk Kurva dan Permukaan Putar Kuadratik Bezier

Misalkan kurva kuadratik Bezier dinyatakan dalam bentuk

C2(u) = )(22

0

uBi

i

i

P (16.1)

dengan 0u 1, maka turunan pertama C2’(0) = 2(P1-P0) dan C2’(1) = 2(P2-P1).

Pandang pada poligon Bezier [P0,P1,P2] titik kontrol antara W21, W22 dan W23 masing-

masing didefinisikan oleh hubungan

W21 = 21 P1 + (1- 21) P0 (16.2)

W22 = 22 P2 + (1- 22) P1

W23 = 23 W22 + (1- 23) W21

dengan 0 21, 22, 23 1 dan 21, 22, 23 ditetapkan (Gambar 16.1).

Gambar 16.1 Pendefinisian titik kontrol interpolasi kurva kuadratik

P2

C2(u)

W23 W22

W21

P1

P0

Bagian III

233

Dengan titik-titik kontrol poligon Bezier baru = [P0, W21, W23, W22, P2]

dapat dimodifikasi model kurva kuadratik Bezier C2(u) menjadi kurva kuartik Bezier

C4(u) dalam poligon berbentuk

C4(u) = P0 (1-u)4 + 4 W21 (1-u)3.u + 6 W23 (1-u)2.u2 +

4 W22 (1-u).u3 + P2 u4 (16.3)

dengan 0 u 1. Diketahui turunan pertama C4’(0) dan C4’(1) masing-masing

diberikan oleh

C4’(0) = 4 (W21 - P0) = 4 210WP (16.4)

C4’(1) = 4 (P2 - W22) = 4 222PW .

Karena titik W2110 PP dan W22

21PP , maka 10210 // PPWP dan

21122 // PPPW .

Hal ini berarti bahwa arah kecekungan (kecembungan) kurva C2(u) dan C4(u) pada

harga u = 0 dan u = 1 dari kedua kurva adalah sama, sedangkan untuk mengubah

bentuk kurva C2(u) sepanjang harga 0< u <1, dapat ditentukan melalui pemilihan

harga 21, 22 dan 23 (Gambar 16.2)

(a) Kurva awal (b) Permukaan hasil pemutaran kurva (a)

(c) Harga 21=0,2; 22=0,5 dan 23=0,2 (d) Permukaan hasil pemutaran kurva (c)


234

(e) Harga 21=0,9; 22=0,5 dan 23=0,6 (f) Permukaan hasil pemutaran kurva (e)

Gambar 16.2 Beberapa contoh modifikasi bentuk kurva kuadratik bezier

Dalam persamaan (16.2), diberikan kebebasan pemilihan 3 (tiga) parameter

untuk memodifikasi bentuk kurva C2(u). Seperti diperlihatkan dalam Gambar 16.2,

dari kurva awal (Gambar 16.2a) dapat dimodifikasi ke bentuk kurva baru

berketinggian dibawah/diatas kurva awal (Gambar 16.2c,e). Akibatnya, permukaan

putar yang terbentuk (Gambar 16.2d,f) berbeda dengan permukaan putar awal

(Gambar 16.2b).

16.2 Modifikasi Bentuk Kurva dan Permukaan Putar Kubik Bezier

Pandang kurva kubik Bezier

C3(u) = )(33

0

uBi

i

i

P (16.5)

dengan 0 u 1 dan data titik kontrol [P0,P1,P2,P3] ditetapkan. Misalkan titik-titik

kontrol antara W31, W32 dan W33 didefinisikan sebagai

W31 = 31 P1 + (1- 31) P0 (16.6)

W32 = 32 P1 + (1- 32) P2

W33 = 33 P3 + (1- 33) P2

dengan 031, 32, 33 1 dan harga 31, 32, 33 dipilih terlebih dahulu (Gambar 16.3).

Bagian III

235

Gambar 16.3 Pendefinisian titik kontrol interpolasi kurva kubik

Analog kasus modifikasi kurva kuadratik Bezier ke kurva kuartik, maka

melalui titik-titik kontrol poligon baru [P0, W31, W32, W33, P3] dapat dilakukan

pemodelan kurva kubik Bezier C3(u) dengan kurva kuartik Bezier C4(u) dalam

bentuk

C4(u) = P0 (1-u)4 + 4 W31 (1-u)3.u + 6 W32 (1-u)2.u2 +

4 W33 (1-u).u3 + P2 u4 (16.7)

dengan 0 u 1. Dalam hal ini perubahan bentuk kurva C3(u) oleh kurva C4(u)

mutlak dipengaruhi oleh letak pergeseran titik-titik kontrol W31, W32 dan W33 di

sepanjang masing-masing sisi poligon Bezier [P0,P1,P2,P3] dari kurva kubik. Hasil

beberapa pemilihan parameter 31, 32, 33 dan aplikasinya diperlihatkan dalam

Gambar 16.4-5.

(a) Kurva awal (b) Permukaan hasil pemutaran kurva (a)

C3(u) W33

W32

W31

P3

P2

P1

P0


236

(c). Harga 31=0,5; 32=0,5 dan 33=0,7 (d) Permukaan hasil pemutaran kurva (c)

(g) Harga 31=0,9; 32=0,5 dan 33=0,2 h). Permukaan hasil pemutaran kurva (e)

Gambar 16.4 Beberapa contoh modifikasi bentuk kurva kubik Bezier

(a) (b) (c)

Gambar 16.5 Beberapa contoh hasil modifikasi permukaan putar kubik Bezier

Dari beberapa formula permukaan putar beserta teknik pemodifikasian bentuk

kurva Bezier yang telah dikenalkan, selanjutnya perlu diaplikasikan untuk modelisasi

Bagian III

237

beragam bentuk komponen benda putar. untuk itu dalam studi selanjutnya, dibahas

tentang teknik penggabungan (pemasangan) dua permukaan putar Bezier berdekatan

kontinyu parametrik order dua. Uraian detailnya sebagi berikut.

16.3 Penggabungan Dua Permukaan Putar Bezier

Misalkan dua permukaan putar S1(u,v) dan S2(u,v) memiliki sumbu putar g

dan orientasi arah kurva sama, masing-masing pada bidang meridian dibangkitkan

oleh kurva generatris C1(u) dan C2(u). Masalahnya adalah menggabung kontinyu

parametrik kedua permukaan S1(u,v) dan S2(u,v) sepanjang kurva persekutuannya

(Gambar 16.6). Dalam hal ini pemilihan S1(u,v) dan S2(u,v) dapat berupa permukaan

putar natural, bentuk standar (berupa potongan bola, ellipsoida, paraboloida,

hiperboloida, silinder dan kerucut) ataupun dari permukaan putar Bezier.

Gambar 16.6 Problem penggabungan dua permukaan putar

Jika pada permukaan tersebut masing-masing parameter u dan v terdefinisi

dalam selang u0u u1 dan 0v2, maka untuk mendapatkan kekontinyuan

parametrik sepanjang kurva persekutuan lingkaran harus dipenuhi kondisi berikut.

1. Kontinyu order nol, apabila dipenuhi

S2(u0,v) = S1(u1,v) atau C2(u0) = C1(u1). (16.8a)

2. Kontinyu order 1, apabila selain kontinyu order nol dipenuhi

S2u(u0,v) = 1 S1

u(u1,v) atau C2’(u0) = 1 C1

’(u1) (16.8b)

S2(u,v)

C2(u)

C1(u)

S1(u,v)

g


238

dengan 1 suatu konstanta.

3. Kontinyu order 2, apabila selain kontinyu order satu dipenuhi

S2uu(u0,v) = 2 S1

uu(u1,v) atau C2’’(u0) = 2 C1

’’(u1) (16.8c)

dengan 2 suatu konstanta.

Karena alasan aplikasi, misalkan S1(u,v) berupa permukaan putar kubik Bezier

dan S2(u,v) merupakan permukaan standar paraboloida dengan sumbu OZ sebagai

sumbu simetri/putarnya, masing-masing dalam bentuk

S1(u,v) = < )(33

0

uBi

i

xi

P . Cos v, )(33

0

uBi

i

xi

P Sin v, )(33

0

uBi

i

zi

P > (16.9)

dengan 0 u 1 dan 0 v 2 dan

S2(u,v) = < r. u. Cos v, r. u. Sin v, u2> (16.10)

dengan r > 0 konstan, a u b dan 0 v 2.

Di bidang meridian XOZ, untuk mendapatkan kontinyu

a. Order nol, cukup dipenuhi

C2(a) = C1(1), artinya Px3 = r.a dan Pz3 = a2;

b. Order satu, jika dipenuhi juga

C2’(a) = 1 C1

’(1), yaitu r = 1(Px3 - Px2) dan 2a = 1(Pz3 – Pz2) ;

c. Order dua, jika selain order satu dipenuhi juga

C1’’(a) = 2 C2

’’(1) artinya 2 = 2 (Pz3 –2Pz2 + Pz1).

Untuk persamaan (16.9) dan (16.10) misalkan dipilih titik-titik kontrol

P0 =<6,0,-4>, P1 =<0,0,-2>, P2=<2,0,0> dan P3=<4,0,4>,

sedangkan r = 2, a = 2 dan b = 3. Jika dievaluasi maka didapatkan (Gambar 16.7a,b,c)

a). kondisi order nol terpenuhi, sebab Px3 = 4 = r.a dan Pz3 = 4 = a2;

b). kondisi order satu terpenuhi, karena r = 2 = 1(4 – 2) dan 2a = 4 = 1(4 – 0);

c). kondisi order dua terpenuhi, karena 2 = 2 (Pz3 –2Pz2 + Pz1) = 2 (4 –2.0 – 2).

Bagian III

239

Gambar 16.7 Contoh penggabungan permukaan putar Bezier dengan paraboloida

Dalam hal persamaan (16.10) berbentuk permukaan putar kubik Bezier dalam

interval 0 u 1 dan 0 v 2 berikut

S2(u,v) = < )(33

0

uBi

i

xi

Q . Cos v, )(33

0

uBi

i

xi

Q Sin v, )(33

0

uBi

i

zi

Q > (16.11)

maka untuk mendapatkan kontinyu parametrik di bidang meridian XOZ antara

permukaan putar S1(u,v) dan S2(u,v) dipersyaratkan:

(a) Permukaan putar kubik Bezier

(c) Beberapa posisi pandang permukaan (b)

(b) Gabungan permukaan putar kubik Bezier

dengan paraboloida


240

a. Order nol, cukup dipenuhi

C2(0) = C1(1), artinya [Qx0]2 = [Px3]1 dan [Qz3]2 = [Pz3]1; (16.12a)

b. Order satu, jika dipenuhi juga (contoh aplikasi dalam Gambar 16.8)

C2’(0) = 1 C1

’(1), yaitu [Qx1 - Qx0]2 = 1[Px3 - Px2]1 (16.12b)

dan [Qz1 – Qz0]2 = 1[Pz3 – Pz2]1;

c. Order dua, jika selain order satu dipenuhi juga

C1’’(0) = 2 C2

’’(1) artinya [Qx2 –2Qx1 + Qx0]2 = 2 [Px3 –2Px2 + Px1]1 (16.12c)

dan [Qz2 –2Qz1 + Qz0]2 = 2 [Pz3 –2Pz2 + Pz1]1.

Gambar 16.8 Contoh penggabungan kontinyu parametrik order satu

Kurva

(a) Penggabungan dua permukaan putar kubik Bezier

(b) Penggabungan tiga dan empat permukaan putar kubik Bezier

Bagian III

241

Dalam kasus yang lebih umum dari generatris kurva kubik Bezier persamaan

(12) dan (14), apabila masing-masing dari bentuk

S1(u,v) = < )(0

uB n

i

n

i

xi

P . Cos v, )(0

uB n

i

n

i

xi

P Sin v, )(0

uB n

i

n

i

zi

P > (16.13)

S2(u,v) = < )(0

uBn

i

n

i

xi

Q . Cos v, )(0

uBn

i

n

i

xi

Q Sin v, )(0

uB n

i

n

i

zi

Q > (16.14)

dengan 0 u 1 dan 0 v 2, maka untuk mendapatkan kontinyu parametrik di

bidang meridian XOZ antara permukaan putar Bezier S1(u,v) dan S2(u,v) syarat yang

harus dipenuhi adalah

a. Order nol:

[Qx0]2 = [Pxn]1 dan [Pz3]2 = [Qzn]1;

b. Order satu, jika dipenuhi juga:

[Px1 - Px0]2 = 1[Qxn - Qx(n-1)]1 dan [Pz1 – Pz0]2 = 1[Qzn – Qz(n-1)]1;

c. Order dua, jika selain order satu dipenuhi juga:

[Px2 –2Px1 + Px0]2 = 2 [Qxn –2Qx(n-1) + Qx(n-2)]1

dan

[Pz2 –2Pz1 + Pz0]2 = 2 [Qzn –2Qz(n-1) + Qz(n-2)]1.

16.4 Modifikasi Kontinyu Gabungan Permukaan Putar Bezier

Misalkan dua permukaan putar kubik Bezier bentuk (16.9) dan (16.11). Di

bidang meridian XOZ, masing-masing permukaan memiliki kurva generatris

C1(u) = )(33

0

uBi

i

i

P (16.15a)

dan

C2(u) = )(33

0

uBi

i

i

Q (16.15b)

termodifikasi oleh kurva kuartik formula (16.7) dan (16.6) masing-masing ke dalam

bentuk

C41(u) = P0 (1-u)4 + 4 W311 (1-u)3.u + 6 W321 (1-u)2.u2 +

4 W331 (1-u).u3 + P3 u4 (16.16)


242

C42(u) = Q0 (1-u)4 + 4 W312 (1-u)3.u + 6 W322 (1-u)2.u2 +

4 W332 (1-u).u3 + Q3 u4 (16.17)

dengan 0 u 1. Masalahnya adalah, apabila kedua kurva C1(u) dan C2(u) bergabung

kontinyu parametrik order dua di bidang meridian XOZ, bagaimana melakukan

modifikasi kontinyu pasangan titik-titik kontrol [W311, W321, W331] dan [W312, W322,

W332] agar bentuk kurva C1(u) dan C2(u) berubah tetapi pada titik gabungannya tetap

memiliki tingkat kontinyuan parametrik yang sama dengan titik gabung kurva semula.

Karena kurva generatris C1(u) dan C2(u) bergabung kontinyu parametrik order

2 (dua), maka keduanya memenuhi kondisi persamaan (16.12a,b,c). Pengubahan

posisi titi-titik kontrol [W311, W321, W331] dan [W312, W322, W332] karena variasi

pemilihan parameter dalam selang 0 1, tetap menghasilkan gabungan order nol,

sebab nilai Q0 = P3 tidak berubah. Kondisi kontinyu order satu gabungan kurva awal

berbentuk (Q1-Q0) = 1(P3-P2) identik/segaris dengan (W312-Q0) = 1(P3-W331) karena

titik W312Q0Q1 dan W331P3P2. Oleh karerna itu hasil gabungan kurva kuartik Bezier

juga kontinyu parametrik order satu. Kondisi kontinyu order 2 (dua) gabungan kurva

awal berbentuk (Q2 - 2Q1-Q0) = 2 (P3-2P2-P1) dan gabungan kurva kuartik Beziet

berbentuk (W322-2W312-Q0) = 2 (P3-2W331-W321). Untuk mendapatkan gabungan

kurva kuartik Bezier kontinyu order dua, vektor pada masing-masing ruas dari kedua

persamaan terakhir dipilih sehingga satu merupakan kelipatan dari yang lain. Contoh

hasil teknik perlakukan order satu dapat dilihat pada Gambar 16.9.

Gambar 16.9 Modifikasi kontinyu gabungan permukaan putar Bezier

Gabungan

kontinyu

order satu

Gabungan

kontinyu

order nol

(a) Kurva awal (b) Kurva termodifikasi

kontinyu order satu

(c) Benda hasil modifikasi

kurva generatris tergabung

kontinyu order satu

Bagian III

243

16.5 Contoh Desain Prototype Benda Onyx dan Marmer

Dari beberapa fasilitas parameter pengubah bentuk permukaan putar Bezier

yang ada dalam formula (16.1) sampai dengan (16.17), selanjutnya dapat

dimanfaatkan untuk memodelisasi benda-benda industri karakter putar, misalnya

benda onyx dan marmer. Adapun metode perancangannya dapat menggunakan teknik

penggabungan beberapa komponen benda putar berikut. Pertama, tetapkan sumbu

putar utama benda yang akan dibangun. Kedua, konstruksi secara bertahap beberapa

potongan benda putar dalam urutan ketinggian sumbu putar naik (turun) untuk

mendefinisikan masing-masing potongan bentuk luar benda onyx (marmer) yang

diinginkan. Dalam hal ini, konstruksi komponen benda dapat hanya menggunakan satu

sumbu putar atau multi sumbu. Ketiga, evaluasi beberapa parameter dalam formula

yang telah digunakan agar penggabungan antar dua komponen benda putar yang

berdekatan didapat kontinyu parametrik dan permukaannya menjadi lebih alami.

Beberapa contoh hasil dari perlakukan ini, dapat dilihat pada Gambar 16.10 berikut.

bar 16.10 Contoh hasil simulasi desain prototype benda onyx dan marmer

(a)

(b)


244

BAB 17

PEMODELAN TABUNG/PIPA EVOLUTIF

Rancang bangun jaringan pipa pada sistem aliran fluida/gas untuk

mesin ataupun industri, secara umum bentuknya berupa rangkaian pipa dengan

jari-jari konstan dan dalam melakukan operasi desain terhadap jaringan pipa

tersebut, banyak digunakan pendekatan teknik sketsa/denah ataupun wireframe

(berbentuk penyajian kurva atau garis). Dampaknya dalam desain sistem pipa

tersebut dibutuhkan waktu yang relatif lama, karena dalam visualisasinya,

perancang sulit mendeteksi dan menghindari terjadinya interseksi antar pipa

alir di ruang. Selain itu, dalam perancangan tersebut, sulit dilakukan efisiensi

dan kontrol pengaturan ruang yang dibutuhkan industri ataupun perancangan

mesin. Demikian juga terdapat kendala operasi hitung ketebalan dan volume

interior pipa guna deteksi kekuatan, keselamatan dan hitung output hasil

fabrikasi. Sehubungan dengan hal tersebut, dalam bagian ini diperkenalkan

beberapa formula geometrik untuk, pertama, mengkonstruksi secara efisien

beragam bentuk pipa evolutif (pipa dengan jari-jari tidak konstan) yang

terkontrol melalui kurva pusat pipa dan, kedua, formula untuk mendapatkan

kondisi kontinyu penggabungan dua pipa berdekatan, baik secara posisi

horisontal, vertikal, ataupun miring (Kusno, 2008). Selain itu untuk validasi

terhadap implementasi formula yang telah diperkenalkan, disajikan pula

gambar hasil simulasi dari formula dimaksud. Uraian detailnya berikut ini.

17.1 Tabung Evolutif Terdefinisi dari Kurva Bezier dan Natural

Kita definisikan kembali kurva Bezier derajat n dinyatakan dalam

bentuk parametrik:

C(u) =

n

ii

0P i

n

B (u) dan 0 u 1 (17.1a)

dengan i

n

B (u) = iinn

iuuC .)1( dan

)!(!

!

ini

nC

n

i . Dalam hal kurva

Bezier persamaan (17.1a) berbentuk kubik, maka derivasi order dua kurva

terhadap variabel parameter u dapat diuraikan sebagai berikut.

C3(u) = P0 (1 – u)3 + 3 P1 (1 – u)2.u + 3 P2 (1-u).u2 + P3 u3 (17.1b)

Bagian III

245

C3’(u) = P = 3 (P1 – P0) (1 – u)2 + 2 (P2 – P1) (1 – u).u + 3 (P3 – P2).u2 (17.1c)

C3’’(u) = Q = 6 [ (P2 – 2 P1 + P0).(1 – u) + (P3 – 2 P2 + P1).u]. (17.1d)

Oleh sebab itu jika dari bentuk (17.1c) notasi Px, Py, dan Pz masing-masing

merupakan komponen skalar untuk vektor basis i , j dan k dari vektor singgung

kurva C(u), maka diperoleh bentuk vektor singgung satuan

T(u) = C’(u) = s

uPuPuP zyx )(),(),( (17.2)

dengan s = (Px2 + Py

2 +Pz2)1/2. Penyajian vektor normal dari kurva diperoleh

N(u) = C’’(u) = .'..,'..,'..

2s

sPsQsPsQsPsQ zzyyxx (17.3)

Dengan demikian vektor binormal B(u) dari kurva C(u) dapat ditentukan

melalui perhitungan

B(u) =

222

'..'..'..

///

s

sPsQ

s

sPsQ

s

sPsQ

sPsPsP

zzyyxx

zyx

kji

. (17.4)

Berdasarkan teknik hitung penyajian bentuk trihedron kurva Bezier kubik

dalam formula (17.2), (17.3), dan (17.4) maupun untuk penyajian kurva

natural, selanjutnya dapat dilakukan evaluasi konstruksi tabung evolutif dari

beberapa jenis derajat kurva dan tipe pipa berikut.

a). Hitung tabung evolutif mono/tanpa gelembung

Andaikan kurva Bezier kuadratik

C2(u) =

2

0iiP Bi

2

(u) dan 0 u 1,

maka diperoleh:

1) Turunan pertama Bezier kuadratik

Px = 2((P1x - P0x).(1-u) + (P2x - P1x).u);

Py = 2((P1y - P0y).(1-u) + (P2y - P1y).u);

Pz = 2((P1z - P0z).(1-u) + (P2z - P1z).u);


246

2) Vektor satuan singgung t dari kurva Bezier kuadratik:

tx = Px/(Px . Px + Py . Py + Pz . Pz)1/2;

ty = Py/(Px . Px + Py . Py + Pz . Pz)1/2;

tz = Pz/(Px . Px + Py . Py + Pz . Pz)1/2;

3) Vektor normal N ditentukan sebagai:

r =(Px.Px+Py.Py+Pz.Pz)1/2;

r1 =0.5.(2.Px.2.(P2x -2 P1x + P0x)+

2.Py.2.(P2y -2 P1y + P0y)+ 2.Pz. 2.(P2z -2 P1z + P0z))/r;

nx =(2.(P2x -2 P1x + P0x).r-r1.Px)/r2;

ny =(2.(P2y -2 P1y + P0y).r-r1.Py)/r2;

nz =(2.(P2z -2 P1z + P0z).r-r1.Pz)/ r2;

4) Vektor Binormal B dan panjang dari vektor N dan B dari kurva Bezier

kuadratik:

bx = -(ty . nz - ny . tz);

by = -(nx . tz - tx . nz);

bz = -(tx . ny - nx . ty);

PN = (nx2+ny

2+nz2)1/2;

PB = (bx2+by

2+bz2)1/2.

Dengan demikian tabung evolutif dari pembangkit kurva kuadratik jari-jari r

dapat dirumuskan sebagai:

T2(u,v) =

2

0iiP Bi

2

(u) + r.((N/PN).cos(v)+(B/PB).sin(v)) (17.5)

dengan 0 u 1 dan 0 v 2. Dalam kasus ini jari-jari tabung r dipilih

konstan. Jika titik-titik kontrol Bezier dipilih

P0x = -12 ; P1x = 2; P2x = 10;

P0y = 0 ; P1y = -2; P2y = 5;

P0z = 9 ; P1z = -12; P2z = 10,

maka hasilnya seperti disajikan dalam Gambar 17.1.

Bagian III

247

r = 2 r = 5

Gambar 17.1 Tabung evolutif dari kurva bezier kuadratik jari-jari konstan

Untuk kurva Bezier derajat n dengan vektor-vektor normal dan

binormalnya masing-masing adalah N dan B, maka bentuk (17.5) dapat

diperumum menjadi

Tn(u,v) =

n

ii

0P B

n

i (u) + r.(N/PN).cos(v)+(B/PB).sin(v)). (17.6)

Dengan mengambil harga n = 3 untuk persamaan (17.6), yaitu kurva Bezier

kubik, contoh hasilnya dapat dilihat dalam Gambar 17.2 berikut.

a) b)

Gambar 17.2 Tabung evolutif dari kurva bezier kubik


248

b). Hitung tabung evolutif multi gelembung

Untuk mendapatkan perubahan jari-jari tabung secara terkontrol

sepanjang parameter u, dipilih r dalam persamaan (17.6) dari bentuk Bezier

kubik seperti pada persamaan (17.7a) berikut

r(u) = a.(1-u).(1-u).(1-u) + b.(3).(1-u).(1-u).u +

c.(3).(1-u).u.u + d.u.u.u (17.7a)

dengan a = 2, b = 1, c = 1 dan d =5. Hasilnya diperoleh perubahan bentuk

tabung dari Gambar 17.3a menjadi Gambar 17.3b. Sedangkan jika r dalam

bentuk kuartik

r = a.(1-u).(1-u).(1-u).(1-u) + b.(4).(1-u).(1-u).(1-u).u +

c.(6).(1-u).(1-u).u.u + d.(4).(1-u).u.u.u + e.u.u.u.u (17.7b)

dengan a = 3, b = 0.1, c = 8, d =0.1 dan e =5 didapat perubahan bentuk dari

Gambar 17.3c menjadi Gambar 17.3d.

a) b) c) d)

e) f)

Gambar 17.3 Tabung evolutif bergelembung

Bagian III

249

c). Kontruksi tabung evolutif model pilin/puntir

Dalam kontruksi tabung evolutif model pilin/puntir, dapat dilakukan

dengan pendekatan aproksimasi dan eksak. Pendekatan pertama dilakukan

melalui penentuan titik-titik kontrol sepanjang sekitar kurva pusat tabung yang

bentuknya pilin/puntir. Pendekatan kedua dilakukan dengan hitung eksak yaitu

menggunakan formula natural dari heliks dan torus serta gabungannya. Hitung

tabung evolutif untuk heliks terformulasi sebagai berikut . Andaikan kurva

heliks

CH(u) = < p.cos(u), p.sin(u), q.u>

dengan 0 u 1 dan skalar-skalar vektor singgung satuan serta normalnya

adalah

Hx = -p.sin(u)/s; Hy = p.cos(u)/s; Hz = q/s;

Kx = p.cos(u)/s; Ky = p.sin(u)/s; Kz = 0;

dengan s =(p2 + q2)1/2, maka didapat skalar untuk vektor binormalnya berupa

bx =-(Hy.Kz-Ky.Hz);

by =-(Kx.Hz-Hx.Kz);

bz =-(Hx.Ky-Kx.Hy);

dan panjang vektor normal dan binormal sebagai:

Hn = (Kx.Kx+ Ky.Ky+ Kz.Kz)1/2

Hb = (bx.bx+ by.by+ bz.bz)1/2.

Oleh karena itu formula untuk tabung pilin yang terkonstruksi dari kurva heliks

dapat dinyatakan sebagai

TL(u,v):= <p.cos(u)+ r.(((1/Hn).Kx).cos(v)+((1/Hb).bx).sin(v)),

p.sin(u) + r.(((1/Hn).Ky).cos(v)+((1/Hb).by).sin(v)),

q.u + r.(((1/Hn).Kz).cos(v)+((1/Hb).bz).sin(v))> (17.8)

dengan 0 u 1 dan 0 v 2. Dengan mengambil harga p dan q bernilai

3, didapat bentuk seperti terlihat pada Gambar 17.4a dan Gambar 17.4b.


250

a) b) (c)

Gambar 17.4 Tabung evolutif pilin dari kurva heliks

17.2 Tabung Evolutif Terdefinisi dari Kurva Kondisi Batas

Andaikan suatu kurva parametrik kubik yang dibangun melalui kondisi

batas Hermit dalam bentuk:

q(u) = q(0) H1(u) + q(1) H2(u) + q’(0) H3(u) + q’(1) H4(u) (17.9)

dengan H1(u) = 2u3 – 3 u2 + 1; H2(u) = -2u3 + 3 u2;

H3(u) = u3 - 2u2 + u; H4(u) = u3 – u2,

sedangkan q(0), q(1), q’(0), dan q’(1) merupakan titik-titik kontrol yang

ditetapkan, maka tabung evolutif dari pembangkit kurva q(u) dengan jari-jari r

dapat dirumuskan sebagai:

TH(u,v) = q(u) + r.((N/PN).cos(v) + (B/PB).sin(v)) (17.10)

dengan 0 u 1 dan 0 v 2. Dalam hal ini N dan B masing-masing

merupakan vektor normal dan binormal dari kurva (5.9). Apabila kita tetapkan

jari-jari r dalam bentuk Bezier kuartik, maka hasilnya dapat diperoleh beberapa

contoh berikut.

Bagian III

251

a). Tabung evolutif dengan q(u) terletak di bidang/ruang bentuk mono

gelembung

Andaikan dengan persamaan (5.10) kita pilih titik-titik kontrol dalam

bentuk berikut:

q(0) = <0,0,0>, q(1) = <9,10,9>,

q’(0) = <16,0,16>, q’(1) = <-6,12,11>,

maka akan diperoleh Gambar 17.5.

Gambar 17.5 Tabung evolutif konstan terdefinisi dari kurva kondisi batas

b). Tabung evolutif multi gelembung.

Apabila data diambil dari contoh kasus (a) dan jari-jari r dipilih

berbentuk:

r = 3.(1-u).(1-u).(1-u).(1-u)+

2.(4).(1-u).(1-u).(1-u).u +

2.(6).(1-u).(1-u).u.u +

1.(4).(1-u).u.u.u +

3.u.u.u.u

maka diperoleh bentuk tabung seperti Gambar 17.6a. Adapun Gambar 17.6b

hasil pemberian r yang lain.


252

(a) (b)

Gambar 17.6 Tabung evolutif multi gelembung

17.3 Kondisi Kontinyu Penggabungan Dua Tabung Evolutif

Pada bagian ini, kita evaluasi beberapa penggabungan antara dua

tabung (lurus), tabung dengan tabung evolutif dan penggabungan antar dua

tabung evolutif. Uraian detailnya sebagai berikut.

Andaikan suatu vektor satuan E dan dua vektor satuan N dan B yang

masing-masing tegak lurus pada vector E. Maka dapat dirumuskan suatu

tabung terpancung dengan jari-jari lingkaran alas r, berketinggian a dan

pemilihan parameter sudut pancungan 0,5 dalam bentuk interpolasi

linier u pada interval 0 u 1 dan 0 v 2 berikut:

TL(u,v) = r.[u.{ cos v . N + sin v . B } +

(1-u).{(a + sin) . E + N ).cos v + sin v . B }]. (17.11)

Jika dipilih = 0.5 , a = 4 dan 0 v 2, maka akan diperoleh bentuk

seperti terlihat pada Gambar 17.6a. Dengan memilih titik pusat penyabungan,

beberapa komposisi pasangan harga , a, dan v yang sesuai untuk membentuk

model tabung terpancung, maka penyambungan tabung dapat dilaksanakan

baik untuk penyambungan pertemuan 3 tabung ataupun 4 tabung (seperti

dalam Gambar 17.7b,c).

Bagian III

253

a) b) c)

Gambar 17.7 Penyambungan antar tabung lurus

Dalam hal penyambungan 2 tabung yang berupa tabung lurus bentuk

persamaan (17.11) dengan tabung Bezier persamaan (17.6), maka kondisi

kontinyu penyambungan yang harus dipenuhi adalah:

a). pusat lingkaran TL(1,v) dan Tn(0,v) untuk 0 v 2 sama

c). panjang jari-jari pada masing-masing tabung di TL(1,v) dan Tn(0,v)

sama b). arah vektor satuan E dari tabung TL(u,v) searah dengan

Tn’(0,v).

Dalam Gambar 17.7 diperlihatkan gabungan antara tabung lurus dengan tabung

evolutif Bezier kuadratik berjari-jari bentuk persamaan (17.8b).

Gambar 17.8 Penyambungan antara tabung lurus dan evolutif bergelembung


254

Andaikan 2 (dua) tabung Bezier berderajat sama dari persamaan (17.6),

yaitu Tn_1(u,v) dan Tn_2(u,v), maka untuk mendapatkan kontinyu

penyambungan order satu sepanjang 0 v 2 harus dipenuhi:

a). pusat lingkaran Tn_1(1,v) dan Tn_2(0,v) untuk 0 v 2 sama;

b). panjang jari-jari tabung di Tn_1(1,v) dan Tn_2(0,v) sama.

c). turunan pertama terhadap parameter u memenuhi Tn_1u(1,v) =

Tn_2u(0,v), yaitu vektor:

(Pn_1, n - Pn_1, n-1) = (Pn_2, 1 - Pn_2, 0).

Contoh dari hasil penyambungan dua tabung evolutif Bezier menurut kondisi

tersebut diperlihatkan seperti dalam Gambar 17.8a,b,c.

Penyambungan dua tabung dapat dilakukan dengan cara interpolasi atau

pemberian cincin antara kedua tabung yang akan disambung tersebut. Dalam

kasus pertama, prinsipnya membangun kurva interpolasi yang menghubungkan

masing-masing ujung kurva pusat dua tabung yang secara berurutan

berdekatan, kemudian membangun bentuk tabung dengan jari-jari kedua ujung

tabung sama dengan jari-jari masing-masing ujung tabung yang akan

disambung (Gambar 17.9d,e,f). Kasus kedua, dilakukan dengan menambahkan

bentuk cincin dengan ukuran jari-jari cincin sama dengan jari-jari ujung

masing-masing tabung yang secara berurutan berdekatan (Gambar 17.9g,h).

a) b) c)

Bagian III

255

c) d) e)

f) g) h)

Gambar 5.9 Penyambungan antar Tabung Evolutif Bezier

Andaikan dua tabung evolutif TH_1(u,v) dan TH_2(u,v) terdefinisi dari

kondisi batas seperti dalam persamaan (17.10), maka untuk mendapatkan

kekontinyuan order satu penggabungan dua tabung tersebut perlu memenuhi

kondisi sebagai berikut:

a. posisi titik sambung identik, yaitu

qH_1(0) = qH_2(1);

b. q H_1’(0) = q H_2’(1);

c. panjang jari-jari rH_1 = rH_2.

Beberapa contoh hasilnya diperlihatkan pada Gambar 17.9a,b. Adapun untuk

mendapatkan gabungan tabung evolutif TH1(u,v) dalam persamaan (17,10)

dengan tabung heliks T(u,v) persamaan (17.8) kontinyu order satu, pada

prinsipnya juga harus dipenuhi posisi titik sambungnya perlu identik, kurva

pusat kedua tabung harus kontinyu order satu di titik sambung dan jari-jari di


256

titik tersebut ukurannya sama. Contoh dari perlakuan ini diperlihatkan pada

Gambar 17.10c,d.

a) b)

c) d)

Gambar 17.10 Penyambungan tabung evolutif terdefinisi dari kondisi batas

Bagian III

257

BAB 18

DESAIN BENDA ORNAMEN BANGUNAN

Dalam ban ini diperkenalkan beberapa contoh pemodelan benda

ornamen (aksesoris) bangunan yang diangkat dari sebagian riset Kusno (2007

dan 2009) dan Anton (2009). Tujuannya adalah agar kita dapat memahami

beberapa formula parametrik yang berguna untuk mendefinisikan bentuk

segitiga, persegi panjang ataupun kurva dengan data titik, beserta aplikasinya

untuk membangun bentuk-bentuk dasar desain benda aksesoris bangunan.

Kedua, kita dapat mengetahui contoh transformasi titik yang digunakan dalam

desain benda-benda dimaksud baik di bidang atau di ruang.

18.1Kontruksi Bangun-Bangun Dasar Benda Ornamen Bangunan

Dalam pokok bahasan ini, pertama-tama ditetapkan data 3 (tiga) titik di

dimensi 2 (dua), selanjutnya dilakukan formulasi parametrik bangun segitiga

guna menghasilkan bentuk-bentuk simetris desain benda aksesoris bangunan

(melalui kekongruenan hubungan ketiga sisi/sudutnya). Selanjutnya dengan

memilih data berupa lingkaran ataupun elips dilakukan desain profil benda

menggunakan kombinasi bangun-bangun tersebut. Perinciannya sebagai

berikut.

a. Desain Motif Segitiga Nuansa Simetris

Data: 3 (tiga) titik A(xA,yA), B(xB,yB), dan C(xC,yC).

Perhitungan: Dihitung panjang AB, AC, dan BC dan besar ( ACAB, ).

Selanjutnya kita evaluasi beberapa kasus membangun relief motif segitiga

berikut.

Jika AB = BC = AC

Jika AB = BC = AC, maka dengan formula parametrik segmen garis AB

berbentuk BAAB uu )1( dalam interval 0 u 1, dapat kita bangun

motif segitiga melalui bentuk dasar persegi (bujur sangkar) ABDE dengan

ukuran panjang sisi sama dengan AB tertutup oleh beberapa segitiga sama sisi

ABC seperti pada Gambar 18.1. Dalam hal ini posisi sisi titik D dan E dapat

dihitung melalui


258

AB

AB

B

B

yy

xx

y

xBDOBOD

01

10

dan .)AB(ODOE Jika tinggi segitiga ABC bernilai t = (0,75)AB, maka

posisi ABt)ODOB(,OF 50 . Dalam hal ukuran sisi AB, AC, dan BC

ingin dipanjangkan/dipendekkan secara proporsional sebesar , maka cara

desain motif tersebut adalah sama (Gambar 18.1a).

Jika AB = AC dan ukuran (AB,AC) 60o

Jika AB = AC dan ukuran (AB,AC) 60o, maka dapat kita bangun

motif kesimetrian putar berpusat di titik A dari bangun dasar segitiga ABC

diputar berurut 90o, 180o dan 270o searah jarum jam melalui matriks operasi

pemutaran berbentuk matriks koefisien

01

10. Pembesaran/pengecilan

ukuran dapat dilakukan melalui dilatasi sisi AB dan AC terhadap pusat

dilatasi titik A (Gambar 18.1b).

Lainnya

Jika ukuran AB, AC, dan BC berbeda dapat dilakukan desain motif

simetris melalui pencerminan sisi AC terhadap BC sehingga diperoleh AD .

Selanjutnya titik C, B, dan D diputar 180o atau dicerminkan terhadap titik pusat

A agar diperoleh titik pasangannya C’, B’ dan D’. Bangun yang diperoleh

bersifat simetris terhadap titik A (Gambar 18.1c).

A

B

C

A

B

D

E

F

G

H

P1

P3

P5

P7

P4

P6

P8

P2

Bagian III

259

(a) (b) (c)

Gambar 18.1 Desain beberapa motif segitiga dan simetris

b. Desain Motif Lingkaran/Elips Nuansa Simetris

Data: 3 (tiga) titik A(xA,yA), B(xB,yB), dan C(xC,yC).

Perhitungan: Perpotongan antar garis bagi sudut segitiga ABC di titik P(xP,yP)

yang merupakan pusat lingkaran dalam segitiga ABC dapat ditentukan melalui

perhitungan berikut (Gambar 18.2a). Pertama, menghitung vektor satuan

searah dengan garis bagi sudut A dan sudut B masing-masing nA, dan nB.

Kedua, membangun persamaan garis melalui titik A dan B dengan vektor arah

masing-masing nA, dan nB untuk mendapatkan dua bentuk persamaan garis:

g1 a1x + b1y + c1 = 0

g2 a2x + b2y + c2 = 0.

Ketiga, menghitung titik potong kedua garis tersebut sebagai

2121

2121

2121

2121 danabba

caacy

abba

bccbx

; (18.1)

dengan 02121 abba . Dalam hal titik A, B, dan C pada posisi di ruang dengan

titik asal O(0,0,0) tidak sebidang dengan ketiga titik tersebut, pusat lingkaran

dapat ditentukan melalui perhitungan berikut.

AP

APuOAOP atau

BP

BPvOBOP


260

sehimgga AP

APuOA =

BP

BPvOB . Oleh karena itu diperoleh parameter

variabel

])/[()(AP

AP

BP

BPOBOA

BP

BPOBu . (18.2)

Jari-jari lingkaran dalam segitiga ABC berukuran rD dapat ditentukan dari

hubungan

rD = S

= ).(5.0 cba

(18.3)

dengan sebagai luas segitiga ABC, sedangkan a, b, dan c masing-masing

merupakan panjang sisi segitiga ABC.

Pusat lingkaran luar P(xL,yL) dari segitiga ABC dapat ditentukan

melalui perpotongan antara sumbu AB dan AC dari segitiga tersebut (Gambar

18.2b). Andaikan titik tengah dan vektor normal segmen AB dan AC masing-

masing adalah D((xA+xB)/2,(yA+yB)/2), E((xA+xC)/2,(yA+yC)/2), nD, dan nE,

maka posisi titik P dapat ditentukan melalui persamaan (18.1). Dalam hal titik

A, B, dan C pada posisi di ruang dengan titik asal O(0,0,0) tidak sebidang

dengan ketiga titik tersebut, pusat lingkaran dapat ditentukan melalui

perhitungan:

DtODOP n atau EwOEOP n (18.4)

sehingga DtOD n = EwOE n . Oleh karena itu diperoleh parameter

variabel

])/[()( DEE OEODOEt nnn . (18.5)

Dalam hal ini, jari-jari lingkaran luar segitiga ABC dapat ditentukan dengan

hitungan

Bagian III

261

22 OAOPrL . (18.6)

Jadi lingkaran dalam/luar segitiga ABC dapat dikonstruksi. Oleh karena itu

melalui data 3 titik, dapat kita bangun relief motif lingkaran dan/atau segitiga

berikut.

Alternatif 1:

a. Membangun lingkaran dalam/luar L(P,r) segitiga ABC dari data titik A,

B, dan C berbentuk L(u) = P + r <(cos u), (sin u)> dengan 0 u 2π;

b. Membangun lingkaran/elips sepusat Ln(P,[1/n] r) dengan n dipilih salah

satu dari harga n = 2,...,5;

c. Konstruksi 2 lingkaran berjari-jari [(n-1)/(2n)]r pada masing-masing

diameter horisontal dan vertikal yang menyinggung lingkaran

perlakuan (a) dan (b);

d. Terbangun motif lingkaran/elips simetris (Gambar 18.2c,d,e).

Alternatif 2:

1. Membangun lingkaran dalam/luar segitiga ABC berjari-jari r berbentuk

L(P, r);

2. Membangun 4 lingkaran/elips dengan data pusat lingkaran L dan titik-

titik maksimum/minimum diameter vertikal/horisontal

3. Terbangun motif lingkaran/elips simetris.

(a) (b)


262

(c) (d) (e)

Gambar 18.2 Desain motif lingkaran/elips

c. Desain Profil dalam Batas Segitiga

Data: 3 (tiga) titik bentuk segitiga dan/atau 4 (empat) titik untuk bentuk kurva.

Alternatif 1:

1. Membangun segitiga ABC dari data 3 titik;

2. Membangun segitiga DEF dan data titik pusat segmen AB, AC, dan BC;

3. Memilih salah desain berikut:

a. membangun lingkaran dalam segitiga dari 4 bentuk segitiga yang ada,

atau

b. melakukan seperti kegiatan (2) untuk segitiga awal DEF;

4. Membangun lingkaran dalam/luar segitiga dari semua/sebagian bentuk

segitiga yang tersedia (Gambar 18.3a,b).

Alternatif 2:

1. Membangun segitiga ABC sama sisi/kaki dari data 3 titik;

2. Membangun segitiga DFE dengan data titik pusat segmen AB, AC, dan BC;

3. Dengan menggunakan salah satu data titik terurut (A-F-D-A, B-D-E-B, C-E-

F-C) atau (A-C-C-B, B-A-A-C, C-B-B-A) membangun kurva dengan

persamaan (Mortenson 1985, Rusli dan Kusno 2006):

p(u) = p(0) H1(u) + p(1) H2(u) + pu(0) H3(u) + pu(1) H4(u) (18.7)

Bagian III

263

pada interval 0 u 1 dengan p(0), p(1), pu(0), dan pu(1) masing-masing

merupakan vektor posisi di titik awal dan akhir kurva, serta vektor

singgung kurva di titik awal dan akhir kurva dan

H1(u) = 2u3 – 3 u2 + 1; H2(u) = -2u3 + 3 u2

H3(u) = u3 - 2u2 + u; H4(u) = u3 – u2;

4. Membangun lingkaran dalam segitiga DEF (Gambar 18.3c,d).

(a) (b)

(c) (d)

Gambar 18.3 Desain profil dalam batas segitiga

d. Desain Profil dalam Batas Persegi Panjang


264

Data: 4 (titik) persegi panjang dan 4 (empat) titik bentuk kurva.

Alternatif Desain:

1. Membangun persegi panjang ABCD dengan sisi-sisi sejajar sumbu

koordinat;

2. Menghitung data titik berat/pusat persegi panjang E dan titik tengah F, G,

H, dan I masing-masing dari segmen AB, BC, CD, dan DA;

3. Memilih salah satu hitungan berikut:

a. membangun lingkaran pusat E berjari-jari [(1/n)EF]< EI dengan harga n

salah satu dari n = 2, ...,5 dan membangun kurva persamaan (18.7)

dengan pasangan data titik (A-I-F-A, D-I-H-D, B-G-F-B, C-G-H-C), atau

b. membangun kurva persamaan (18.7) dengan pasangan titik (E-A-B-E,

E-B-C-E, E-D-C-E, E-A-D-E);

4. Terdesain bentuk simetris (Gambar 18.4).

Gambar 18.4 Desain profil dalam batas persegi panjang

Di lain pihak, untuk membangun profil permukaan benda bersifat

relief, prinsip sama dengan perlakuan pada kasus di dimensi dua, tetapi data-

data titik pada kasus ini diambil terletak pada ruang. Penyajian permukaan

relief dapat ditampilkan secara timbul atau cekung terhadap bidang datar. Agar

pemodelan desain permukaan relief mudah dilaksanakan, kita pilih teknik

desain menggunakan persamaan interpolasi linier/kubik dua kurva parametrik

Bagian III

265

(hasil penyajian data yang diberikan) C1(u) dan C2(u) kelas Cn1

berbentuk

berikut:

S(u,v) = (1-v) C1(u) + v C2(u)

atau

S(u,v) = (1-v3) C1(u) + v3 C2(u)

dimana 0 u 1 dan 0 v 1. Agar keperluan data menjadi efisien, proses

penyambungan dan pemodelan bentuk kurva menjadi mudah dilaksanakan,

dalam pembahasan ini kurva C1(u) dan C2(u) dipilih dari jenis kurva terdefinisi

kondisi batas kubik persamaan (18.7), bentuk segmen garis, atau berupa titik.

Sebagai contoh, modifikasi Gambar 18.3a,c dapat diperoleh hasil bentuk

Gambar 18.5 berikut ini.

Gambar 18.5 Desain relief benda aksesoris bangunan

18.2 Transformasi Bentuk Poligon, Kurva, dan Permukaan

Dari bangun-bangun dasar desain benda aksesoris bangunan yang

terdefinisikan di bagian (18.1), selanjutnya dilakukan operasi transformasi

geometri (titik) guna mendapatkan beberapa model baru bentuk benda-benda

aksesoris bangunan. Tekniknya antara lain, pertama, kita pilih bangun dasar

sebagai pembangkit profil yang diidentifikasi oleh titik-titik pembangkitnya.

Kedua, menggunakan operasi pencerminan dan/atau rotasi titi-titik

pembangkitnya tersebut terhadap sumbu cermin atau titik pusat perputarannya

agar mendapatkan kesimetrian benda. Ketiga, dilakukan operasi transformasi

dilatasi pasangan bentuk yang simetri agar dapat terbentuk beragam model


266

permukaan benda sesuai dengan ukuran yang kita perlukan. Terakhir,

membangun kembali semua titik hasil transformasi untuk mendapatkan profil

permukaan benda dimaksud (contoh Gambar 18.6a,b,c,d,e,f).

Di lain pihak agar didapatkan kesimetrian bentuk benda ruang, maka

perlu dilakukan operasi pencerminan/refleksi atas komponen-komponen benda

dimaksud. Dengan demikian hasil konstruksi benda akan menjadi lebih

menarik (Gambar 18.6g,h).

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (j)

Gambar 18.6 Transformasi bangun-bangun dasar benda aksesoris bangunan

Bagian III

267

DAFTAR BUKU BACAAN DAN PUSTAKA

Anton, H., 1993. Aljabar Linier Elementer (Terjemahan), Erlangga, Jakarta.

Antonius C.P., Dewi, Y.K., Kusno, 2009. Desain dan Fabrikasi Benda-benda

Aksesoris Bangunan (Laporan Penelitian Hibah Bersaing). Lemlit UNEJ.

Bezier, P., 1987. Mathematiques et CAO Volume 4: Courbes et Surfaces. Hermes,

Paris-France.

Bohm, W., 1984. A Survey of Curve and Surface Methods in CAGD. CAGD,

Volume 1 (P.1-60).

Borceaux, F., 1986. Invitation a la Geometrie, Ciaco, Louvain la Neuve, France.

DeRose T.D. and Barsky B.A., 1988. Geometric Continuity, Shape Parameter, and

Geometric Construction for Catmull-Rom Splines. ACM Transaction on

Graphics Volume 7 (P.1-41).

doCarmo M.P., 1976. Differential Geometry of Curve and Surfaces. Prentice Hall

Englewood Cliff, New Jersey.

Dony, R., 1990. Graphisme, Masson, Paris.

Du, W.H., 1988. Etude sur la Representation des Surfaces Complexes: Application a

la Reconstruction de Surfaces Echantillonees, Sup. Telecom (ENST), Paris.

Du, W.H. and Schmitt, J.M., 1990. On the G1 Continuity of Picewise Bezier Surfaces:

a Review with New Results, CAD , Volume 22 No.9 (P.556-571).

Du, W.H., Schmitt, F.J.M., 1990. On the G1 Continuity of Piecewise Bezier Surfaces: a

Review with New Results. CAD, Volume 22, No.9 (P.556-571).

Elber ,G., 1995. Model Fabrication Using Surface Layout Projection, CAD, Volume

27 (P.283-291) Utah, USA.

Farin, G., 1990. Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design,

Academic Press Inc., Boston.

Faux, I.,D. and Pratt, M.J., 1987. Computational Geometry for Design and

Manufacture. Ellis Horwood Limited, Reading.


268

Florent, P., Lauton, G. dan Lauton, M., 1981. Outils et Modeles Mathematiques Calcul

Vectoriel, Geometrie Analytique, Vuibert, Quebec.

Frey, W.H. et.al, 1993. Computer Aided Design Of Class Of Developable Bézier

Surfaces. GM Publication R&D-8057. North American Operations.

Hoschek, J. and Lasser, D., 1989. Fundamentals of Computer Aided Geometric

Design. AK Peter, Willesly Massachusetts.

Hui, K.C., 1999. Shape Blending of Curves and Surfaces with Geometric Continuity,

CAD, Volume 31 (P.819-828).

Kusno 1998. Contribution à la Solution du Problème de Construction et de

Raccordement Géométrique de Surfaces Développables Régulières à l’Aide

des Carreaux de Bézier (Microfilm). ANRT, Grenoble CEDEX 9, France.

Kusno 2002. Kekontinyuan Parametrik dan Geometrik Order-2 Kurva dan Surfas

dalam “Computer Aided Geometric Design”. Natural Volume 6 (Edisi Khusus

316-320) UNIBRAW.

Kusno 2002. Survey Rancang Bangun Kurva dengan Kurva dan Permukaan. Jurnal

Matematika , Ilmu Pengetahuan Alam dan Pengajarannya, Tahun 22, Nomor

1, Januari 2003.

Kusno, 2000. Survey tentang Kondisi Cukup Kereguleran dan Klasifikasi Surfas Plat

Natural, Jurnal Ilmu Dasar Volume 1 No. 2 (P.30-38), FMIPA UNEJ.

Kusno, 2001., Visualisasi dan pembeberan Permukaan Plat Bezier, Jurnal MIPA No. 2

(P.137-148), FMIPA Universitas Negeri Malang.

Kusno, 2002. Realisasi Permukaan Plat dalam Bentuk Kepingan Permukaan Bezier,

MIHMI Volume 8 No. 1 (P.77-87), Jurusan Matematika ITB.

Kusno, 2002. Studi Numerik dan Visualisasi Permukaan Kerucut Terdukung Dua

Kurva Ruang, MATEMATIKA Tahun VIII No. 2 (P.105-117), Jurusan

Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang.

Kusno, 2003. Permukaan Plat dalam Bentuk Permukaan Bezier dan Aplikasinya pada

Bidang Teknologi Perkapalan (Laporan Akhir Riset Unggulan Terpadu VIII

Tahun 2001-2003), DRN.

Bagian III

269

Kusno, 2003. Simulasi Penggunaan Proyeksi Perspektif dalam Penyajian Kurva dan

Surfas, Jurnal Ilmu Dasar Volume 4, Nomor 1, FMIPA-UNEJ.

Kusno, 2006. Membangun Kurva dan Permukaan dengan Menggunakan Maple 6.

Jurusan Matematika FMIPA, Universitas Jember.

Kusno, Agustina Pradjaningsih, Dewi Junita Koesumawati, 2006. Modelisasi Benda

Onyx dan Marmer Multi-Sumbu dengan Bantuan Permukaan Putar/Geser

Bezier. Jurnal Ilmiah Sains & Teknologi Volume 2 No.1 (P. 47-57) UBAYA.

Kusno, Antonius Cahyo P., Mahros darsin, 2007. Modelisasi Benda Onyx dan Marmer

melalui Penggabungan dan Pemilihan Parameter Pengubah Bentuk

Permukaan Putar Bezier, Vol. 8 No. 2 (P.175-185). Jurnal Ilmu Dasar FMIPA

Universitas Jember.

Kusno, Hidayat, H., Santoso, K.A., 2006. Penggunaan Kurva Bezier untuk Desain

Benda Pecah Belah dan Plastik Karakter Simetrik dan Putar, Proseding

Konferensi Nasional Matematika XIII-Universitas Negeri Semarang, p 747-

756.

Kusno, Hidayat R., Julianto, B. 2008. Studi Geometri Rancang Bangun Bentuk Pipa

Evolutif Bahan Besi, Gelas dan Plastik (Laporan Penelitian Hibah

Fundamental). Lemlit UNEJ.

Kusno, Hidayat R., Julianto, B. 2009. Pengembangan Seni dan Teknik Desain

Relief Benda-benda Industri Kerajinan Onyx Berbasis Kurva Kuartik dan

Natural Berbantu Komputer (Laporan Penelitian Hibah Kompetensi). Lemlit

UNEJ.

Leon, J.C. 1991. Modelisation et Construction de Surfaces pour la CFAO. Hermes,

Paris-France.

Lipcchutz, M.M. --. Theory and Problems of Differential Geometry, Schaum’s

Outline Series, McGraw-Hill Book Company, New York.

Liu, D. 1990. GC1 Continuity Conditions between two adjacent rational Bezier Surface

patches. CAGD, Volume 7 (P.151-163).

Mortenson, M, E., 1985. Geometric Modeling, JWS, New York,

Pogorelov, A. 1987. Geometry, Mir Publisher, Moskow.


270

Purcell, E.J. dan Varberg, D., 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis (Terjemahan),

Erlangga, Jakarta.

Rawuh, Teng Tek Hoen, Entoem dan Gouw Key Hong, 1959. Ilmu Ukur Analitis,

Penerbit Tarate, Bandung.

Rogers, D.F. dan Adams, J.A., 1990. Mathematical Elements for Computer Graphics,

MacGraw-Hill, New York.

Rose, T.D. dan Barsky, B., 1988. Geometric Continuity, Shape Parameters and

Geometric Constructions for Catmull-Rom Splines. ACM Transactions on

Graphics, Volume 7, No.1 (P.1-41).

Rusli Hidayat, M. Hasan, M. Fatekurahman, Kusno, 2006. Modelisasi Benda Onyx dan

Marmer dengan Bantuan Permukaan Putar, Jurnal Ilmu Dasar (Terakreditasi),

Volume 7, No.1, FMIPA UNEJ.

Rusli Hidayat, Firdaus Ubaidillah dan Kusno, 2007. Pembeberan Permukaan Bambu

Tipe Pelat Silinder dan Kerucut ke Bidang. Jurnal Ilmiah Sains dan Tenologi.

Lemlit UNEJ.

Spiegel, M.R., 1981. Vector Analysis, Schaum’s Outline Series - MacGraw-Hill, New

York.

Sukirman, 1994/1995. Geometri Analitik Bidang dan Ruang (Modul 1-9),

DEPDIKBUD, Jakarta.

Suryadi, H.S., 1984. Teori dan Soal Ilmu Ukur Analitik Ruang, Ghalia Indonesia,

Jakarta.

Thomas, G.B., 1964. Calculus and Analytic Geometry, Addison-Wesley, Reading.

Vollewens, W.J., 1963. Diktat Ilmu Ukur Analitik, Lembaga Bahasa dan Budaja

Fakultas Sastra, UI.

Watt, A. 1989. Fundamentals of Three-Dimensional Computer Graphics, Addison-

Wesley, Reading.

Weiss, G. dan Furtner, P. 1988. Computer-Aided Treatment Of Developable Surfaces.

Computer & Graphics. Volume 12 (P.39-51).

Bagian III

271

DAFTAR INDEKS

A

aksesoris, 200, 207, 208

aksioma, 18, 53

arah prinsipal, 132, 158

B

basis, 22, 61, 115, 120, 134, 135, 139, 140, 150, 190

benda kuadratis, 70

berkas garis, 22, 24

Bezier, 134, 136, 137, 139, 140, 144, 145, 146, 147, 149, 163, 164, 166, 167,

168, 170, 171, 172, 178, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 185, 186, 187, 188,

189, 190, 191, 192, 195, 197, 198, 199

bidang gambar, 114, 115, 116, 120

bidang meridian, 144, 145, 150, 183, 184, 185, 186, 187

blending, 160

bola, 2, 3, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 77, 86, 87, 88, 89, 91, 92, 96, 97, 121, 141,

142, 143, 159, 160, 164, 183

B-Splin, 134, 139, 140, 144

C

CAD/CAM, 134

Cartesius, 2, 3, 7, 115, 119, 150

Casteljau, 134, 138, 140

D

de-Boor, 134, 139, 140

dilatasi, 6, 103, 108, 111, 112, 113, 201, 207

direktrik, 86, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 167

diskriminan, 77

E

ekivalen, 158

ekivalen, 6, 7, 135 eksplisit, 18, 20, 23, 160


272

elips, 75, 76, 78, 79, 81, 82, 118, 157, 200, 203, 204 elipsoida, 77, 78, 79, 141, 142 evolutif, 189, 190, 191, 192, 193, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 157, 161

G garis singgung, 97, 129, 130 Gauss, 128, 129, 132, 133 gelembung, 190, 192, 195, 196 generatrik, 85, 92, 94, 95, 97, 167, 161 geometrik, 6, 135, 136, 150, 157, 158, 160, 164, 189 geser, 147, 149 gradien, 18, 19, 22, 23, 24

H heliks, 193, 194, 195, 199 Hermit, 135, 151, 152, 195 Hess, 25, 28, 52, 57, 64 hiperbola, 78, 81, 84, 89, 91 hiperboloida, 79, 80, 81, 82, 84, 89, 90, 91, 143, 164, 183

I imajiner, 71 implisit, 18, 19, 70, 160 interior, 189 interpolasi linier, 140, 157, 159, 160, 164, 196, 207 interseksi, 6, 23, 24, 52, 75, 80, 86, 130, 137, 157, 158, 159, 160, 164, 189

J jarak aljabar, 127, 132 jarak, 18, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 52, 57, 59, 64, 65, 66, 67, 68, 115, 121, 127,

132, 146, 163 jari-jari, 70, 71, 72, 74, 75, 91, 102, 141, 142, 146, 153, 154, 155, 161, 189,

191, 192, 195, 196, 197, 198, 199, 203

K

Bagian III

273

kabinet, 119 katenoida, 143 kavaleri, 119 kelengkungan, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 133, 158, 164 keping pelat, 168, 170, 172 kerucut, 73, 88, 93, 94, 97, 98, 99, 115, 144, 160, 161, 176, 177, 183 koefisien arah, 61, 68 koefisien geometrik, 135, 136 koefisien, 19, 20, 26, 59, 60, 61, 68, 73, 94, 96, 99, 100, 101, 102, 103, 108,

109, 110, 112, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 139, 149, 159, 201 komponen, 2, 7, 8, 52, 59, 70, 118, 144, 145, 147, 151, 164, 165, 182, 188,

190, 207 kondisi batas, 149, 151, 157, 195, 196, 199, 200, 207 kondisi geometrik, 94, 97, 164 konstan, 70, 134, 161, 163, 184, 189, 191, 192, 196 konstanta, 22, 64, 183 kontinyu, 139, 157, 158, 164, 178, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 197,

198, 199 koordinat homogen, 99, 112, 113, 121, 122 kosinus arah, 26, 52, 72, 94, 96 kuadratik, 144, 145, 149, 150, 151, 160, 178, 179, 180, 181, 190, 191, 192, 197 kuartik, 145, 147, 179, 181, 187, 193, 195 kubik, 134, 135, 136, 144, 145, 149, 151, 152, 169, 180, 181, 182, 183, 185,

186, 187, 189, 190, 192, 195, 207 kurva, 85, 86, 87, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 123, 126, 127, 128, 129, 130,

131, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 144, 145, 146, 147, 149, 150, 151, 152, 154, 155, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 186, 187, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 198, 199, 200, 204, 205, 206, 207

kutub, 18, 30, 31, 73

L lingkaran, 71, 73, 75, 85, 86, 87, 91, 96, 98, 99, 118, 142, 153, 159, 160, 161,

162, 176, 183, 196, 197, 198, 200, 202, 203, 204, 205, 206 linier, 22, 54, 64, 73, 74, 137, 146, 161, 177 lokal, 126, 128, 133, 140, 144, 159, 164, 178

M


274

marmer, 188, 189

Meusnier, 130

model, 2, 18, 19, 61, 144, 152, 157, 178, 179, 193, 197, 207

modifikasi, 164, 180, 181, 182, 187, 207

monitor, 114, 121, 123, 124, 125

motif, 200, 201, 202, 203, 204

N

natural, 141, 126, 134, 159, 164, 183, 190, 193

non-rasional, 136, 139, 140

norm Euclid, 6

normal bidang, 52, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 62, 67

normal garis, 21, 23, 25, 26, 29

normal, 18, 21, 23, 25, 26, 28, 29, 52, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 62, 64, 67, 68, 86,

113, 122, 126, 128, 129, 130, 131, 132, 161, 162, 163, 190, 191, 192, 194,

195, 203

O

observator, 115, 116, 121, 122, 123, 124, 125

offset, 162, 163

oktan, 2

onyx, 188, 189

ornamen, 200

ortogonal, 11, 27, 118

ortonormal, 7, 8, 12, 115, 120, 150, 153, 173, 174, 175

P

panjang aljabar, 162

parabola, 82, 84, 91, 160

paraboloida, 77, 83, 84, 90, 128, 133, 143, 159, 183, 184, 185

parameter, 19, 61, 64, 74, 77, 79, 80, 82, 83, 86, 93, 123, 126, 134, 149, 157,

159, 163, 164, 176, 180, 181, 183, 187, 188, 189, 192, 196, 198, 202, 203

parametrik, 18, 19, 23, 27, 54, 61, 126, 127, 128, 134, 135, 141, 149, 151, 157,

158, 159, 160, 161, 176, 182, 183, 185, 186, 187, 188, 189, 195, 200, 207

pelat, 133, 134, 144, 166, 167, 168, 169, 171, 173

pembeberan, 173, 174, 175, 176, 177, 178

Bagian III

275

pemotongan, 104, 105, 173

penggabungan, 6, 126, 157, 164, 182, 183, 185, 186, 188, 189, 196, 199

permukaan garis, 159

permukaan garis, 166, 167, 168, 173

permukaan garis, 85, 87

permukaan pelat, 166, 167, 168, 173, 177, 178

permukaan putar, 85, 86, 87, 91, 92, , 93, 94, 134, 144, 145, 146, 147, 149,

150, 151, 152, 178, 180, 182, 183, 185, 186, 187, 188

Phytagoras, 7, 64

pilin/puntir, 193

polar, 2, 3, 30

polinom, 139, 169

potongan normal, 130, 131

prinsipal, 128, 129, 131, 162

profil, 145, 200, 206, 207

prosedur, 2, 28, 64, 66, 82, 137, 154, 155, 164, 170, 177

prototype, 189

proyeksi paralel, 117, 118, 119, 120

proyeksi perspektif, 114, 116, 121

proyeksi titik, 28, 107, 115, 117, 123

proyeksi, 10, 11, 27, 28, 52, 107, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 123,

125, 129, 153, 156

pseudo-bola, 144

puntiran, 127

R

real, 2, 5, 6, 9, 19, 20, 22, 54, 60, 63, 64, 70, 73, 74, 126, 127, 136, 167, 171

refleksi, 6, 100, 108, 109, 112, 113, 149, 207

reguler, 126, 127, 133, 168, 172

relasi, 3,18, 19, 21, 60, 75, 121

rotasi, 102, 110, 112, 207

S


276

segmen, 4, 5, 6, 7, 18, 27, 28, 52, 117, 121, 134, 146, 147, 149, 152, 154, 155,

156, 157, 163, 200, 203, 204, 205, 206, 207

sejajar, 6, 11, 13, 17, 20, 21, 24, 56, 59, 61, 62, 63, 64, 67, 68, 76, 78, 82, 84,

85, 96, 114, 117, 118, 141, 157, 166, 168, 170, 172, 173, 206

silinder, 87, 88, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 141, 142, 152, 153, 154, 155, 156, 157,

176, 177, 183

silindrik, 117

simetris, 144, 147, 149, 178, 200, 201, 202, 203, 204, 206

skalar, 6, 9, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 54, 55, 58, 61, 115, 128, 135,

145, 151, 167, 169, 171, 190, 194

sorting, 2

T

tabung, 2, 3, 160, 161, 164, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199,

200

Taylor, 127, 132

tegak lurus, 2, 7, 11, 115, 119150, 152, 155, 174, 176, 196

titik benda, 115

titik kontrol, 136, 137, 138, 139, 140, 146, 150, 168, 170, 171, 172, 178, 179,

180, 181, 184, 187, 191, 193, 195

titik lenyap, 114, 115

titik mata, 115, 116, 121

torus, 144, 193

transformasi, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112,

113, 121, 122, 163, 200, 207

translasi, 6, 106, 108

tripel, 3, 16, 17, 67

Prof. Drs. Kusno, DEA, Ph.D lahir di Tulungagung Jawa

Timur pada tanggal 8 Januari 1961. Tahun 1986 sampai

dengan tahun 1996 aktif menjadi dosen bidang matematika di

FKIP Universitas Jember (UNEJ) dan mulai tahun 1997

sampai sekarang bertugas sebagai dosen yang sama di FMIPA

UNEJ. Pengalaman menjadi Ketua Jurusan Matematika

FMIPA UNEJ dijalani tahun 1999-2004, menjadi ketua

Lembaga Penelitian UNEJ tahun 2004-2007, dan tahun 2007

sampai sekarang menjadi Dekan FMIPA UNEJ. Jabatan Guru

Besar Matematika diperoleh terhitung mulai 1 April 2004.

Pengalaman pendidikan yang pernah dilakukan diantaranya adalah lulus

SMAN/SMPP Boyolangu Tulungagung tahun 1980, sarjana pendidikan matematika

diselesaikan pada tahun 1985 di Jurusan Matematika FPMIPA IKIP Malang (sekarang

Universitas Negeri Malang). Pada Desember 1989 terseleksi mengikuti kegiatan

Program Bridging bidang matematika di ITB (atas kerja sama ITB dengan IDP

Australia) selama 13 bulan hingga akhir tahun 1990. Pada tahun 1991 sampai dengan

1993 ditugaskan mengikuti pelatihan bahasa dan studi S2 bidang matematika murni

ke Prancis. Tingkat DEA (Master) Bidang Geometri Algoritmik diperoleh tahun 1993

di Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Joseph Fourier Prancis. Tingkat

S3 diselesaikan dalam waktu tepat 3 (tiga) tahun, yaitu periode tahun 1995-1998, di

Jurusan Matematika/Informatika FMIPA Universitas Metz Prancis untuk bidang

Informatika, spesialisasi Geometri Rancang Bangun (CAD/CAM).

Pengalaman penelitian kompetitif di bidang perancangan benda berbantu

komputer yang pernah dilakukan sampai sekarang diantaranya adalah sebagai peneliti

utama kegiatan riset sumber dana Proyek ADB Loan 1253 Jakarta - DIKTI (tahun

1994 dan tahun 1999), peserta kegiatan Overseas Research bagi dosen senior selama

4 bulan di Grenoble Prancis program Pascasarjana ITB sumber dana Proyek Bank

Dunia XXI (tahun 1995), peneliti utama Riset Unggulan Terpadu (RUT) program

Dewan Riset Nasional (DRN) RISTEK selama 3 (tiga) tahun periode tahun 2001-

2003, pendamping peneliti utama kegiatan Riset Penguatan Sains Dasar RISTEK

(tahun 2005), dan peneliti utama program Insentif Riset Terapan RISTEK (tahun

2007). Selain itu juga aktif dalam kegiatan penelitian DP2M DIKTI diantaranya

adalah Penelitian Hibah Bersaing (tahun 2006, tahun 2007, dan tahun 2009), peneliti

utama kegiatan Riset Fundamental (tahun 2006 dan 2008), dan peneliti utama Riset

Strategis Nasional Batch II (tahun 2009-2010).

Buku ini menerangkan prinsip-prinsip dasar geometris membangun dan mengatur sistem dimensi grafik agar benda yang ditampilkan (didesain) pada komputer terlihat alami dan dapat dilihat dari segala posisi.

Buku ini memberikan pencerahan, fasilitas, dan beragam ilustrasi geometris kepada para mahasiswa Jurusan Matematika ataupun Pendidikan Matematika, mahasiswa Informatika, Teknik Engineering, Pengajar Matematika, ataupun para praktisi dan peminat rancang bangun benda berbantu komputer dalam hal melakukan analisa, evaluasi, dan pemilihan formula guna rancang bangun dan visualisasi benda maupun dalam hal mengkreasi keindahan bentuk benda melalui operasi geometris.

dengan kurva dan permukaan berbantu...

Documents