gerakan kurva parameterisasi pada ruang · pdf filehasil dan pembahasan bedasarkan hasil...

141

GERAKAN KURVA PARAMETERISASI PADA RUANG EUCLIDEAN

Iis Herisman dan Komar Baihaqi

Jurusan Matematika,Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

[email protected] , [email protected]

ABSTRAK. Dalam ruang Euclidean , diberikan kurva ( ) dan ( ) bagaimana hubungan kedua kurva dalam memliki nilai kelengkungan atau

torsi secara geometris. Parameterisasi dapat mengorientasikan dari hubungan

tersebut, memfokuskan gerakan kurva dengan arah kurva lama. Dengan

pertimbangan jejak arah kurva sebagai objek yang bergerak dan memindahkan

dalam ruang

Kata kunci : Parameterisasi, gerakan kurva, kelengkungan , torsi

1. PENDAHULUAN

Berdasarkan pertimbangan dari geometri diferensial, bahwa perlu dasar definisi dan

sifat kurva dalam yaitu pada ruang Euclidean kurva dalam secara umum

memiliki sifat-sifat yang berhubungan dengan kelengkungan. Diberikan kurva

diferensiabel dalam parameterisasi, pemetaan ( ) untuk semua

bahwa ( ) untuk semua tingkat. Kurva dikatakan regular, jika

untuk

semua ( ) Vektor tangen dari ( ) didefinisikan ( )

( ) dengan norm dari

( ) adalah ‖ ( )‖ √ ( ) ( ) dikatakan kecepatan dari pada ( ) Permasalahan selanjutnya perlu didefinisikan kurva parameterisasi.

Definisi 1.1 Diberikan ( ) kurva diferensiabel, regular, parameterisasi

dan ( ) adalah fungsi yang bernilai real. Jika fungsi kontinu

dan mempunyai fungsi invers dikatakan fungsi parameterisasi jika ada

kurva merupakan vektor satuan.

Hubungan kedua kurva kurva ( ) dan ( ) pada bidang datar yang menjadikan suatu

persmasalahan pada gambar 1, yaitu kurva pendulum atau bandulan jam dinding yang

bergerak mengikuti kurva. Selanjutnya dengan mempertimbangkan masalah tersebut,

maka kurva yang dilintasi pendulum yang akan ditentukan ini. Diberikan kurva

( ) dan ( ) , maka pada bidang datar dibangun kedua kurva dan

selanjutnya dibuat garis tangen di titik sepanjang kurva

𝛽

𝛼

𝐺𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 1

mailto:[email protected]


Gerakan Kurva Parameterisasi pada Ruang Euclidean

Seminar Nasional Matematika 2014 142 Prosiding

Maka terdapat hubungan kedua kurva dengan persamaan ( ) ( ) ( ) ( ) dengan ( ) tegak lurus pada ( ) untuk semua . John McCleary [1]

Sebuah dataran tertentu yang dibatasi sepanjang kurva tetap dengan lintasan selalu

mengikuti lintasan involute dari Hasil penelitian dari Huygens adalah dengan jam

pendulum dibangun menggunakan sepasang pelat melengkung mengikuti lingkaran

antara pendulum yang akan berayun. Seperti biasa, itu akan sangat membantu untuk

dapat menghitung kelengkungan dan torsi saat kurva adalah biasa tapi tidak unit

kecepatan.

Permasalah ini biasanya diperlukan pada gerakan bandul jam diding , yaitu

mengharuskan membangun evolute dari cycloid. Selanjutnya mengembangkan beberapa

sifat dari involutes dan evolutes untuk memecahkan masalah ini Salah satu aplikasi

kelengkungan sering dipakai pada pergerakan suatu benda yang sepanjang kurva reguler

( ) yang diasumsikan sebagai kecepatan benda tersebut, sebagai contoh pada teorema

Frenet-Serret Dalam dimensi tiga, diberikan kurva ( ) , menggambarkan

kelengkungan dari kurva pada bidang merupakan generalisasi ide untuk kurva dalam

ruang. Dalam dua dimensi yang normal untuk garis singgung mudah untuk dijelaskan,

sedangkan dalam tiga dimensi ada kontinum pilihan vektor normal. Selain itu, akan

menghadapi dengan fenomena baru, yaitu kurva dapat naik keluar dari pergerakan titik

yang direntang oleh garis singgung dan normal. Komplikasi ini diatasi dengan fitur

khusus keberadaan produk silang dan titikdari dua vektor. Theodore Shifrin [3]

2. RUMUSAN MASALAH

Suatu titik bergerak melintasi kurva ( ) dalam ruang Euclidean selalu

mempertahankan bingkai Frenet-Serret, yaitu tiga buah sumbu koordinat yang saling

tegak lurus, untuk setiap Kurva ( ) menyatakan suatu vector posisi untuk setiap

Sebelum pada permasalahan perlu diingat definisi dan sifat dari aljabar vektor, terutama

operasi perkalian silang dari dua buah vektor.

Definisi 2.1 Diberikan dua vektor ( ) ( ) maka berlaku

( ).

Berdasarkan definisi, maka sifat utama dari produk silang adalah:

1. Untuk setiap ( ) dan ( ) 2. ( ) 3. ( ) ( ) ( ) 4. ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ( ) 5. Jika ( ) adalah kurva differensiabel, maka

( )( ) = ( ) ( ) ( ) ( )

Artinya, aturan Leibniz berlaku untuk turunan dari produk silang dari fungsi

terdiferensialkan. Theodore Shifrin [3]

Diberikan kurva ( ) untuk setiap selanjutnya akan mencari kelengkungan dengan

jari-jari kelengkungan , sebagai dasar teori bentuk kurva didapat dari kurva dalam

bentuk ekplisit Suatu kurva dalam bentuk fungsi ekplisit yang kontinu dan differensiabel,



lihat gambar 2. Pandang fungsi ( ) maka kelengkungan dititik didefinisikan

sebagai berikut:

Definisi 2.2 Diberikan sebarang titik dan lihat gambar 2, adalah berdekatan dan

terletak pada kurva ( ) yang kontinu dan differensibel, maka

kelengkungan di titik didefinisikan:

dengan jari-jari kelengkungan adalah

Soehardjo [2].

Hasil dari definisi dikembangkan untuk mendapatkan rumus kelengkungan pada teorema

berikut.

Teorema 2.3 Diberikan kurva fungsi eksplisit ( ) yang differensiabel. Maka

kelengkungan dan jari-jari kelengkungan dari kurva masing-masing

adalah:

, ( ) -

⁄ dan

0 ( ) 1

⁄

Kelengkungan dari kurva bentuk eksplisit, dapat dikembangkan untuk menurunkan lagi

dari kurva parameter ( ) Selanjutnya perlu juga mendefinisi dari fungsi torsi yang

berhubungan vektor binormal dan normal pada bingkai Frenet-Serret dan hubungan

dengan kelengkungan kurva disajikan pada definisi berikut.

Definisi 2.4 ( ) ( ) ( ) dan fungsinya ( ) disebut torsi di

Untuk kurva, reguler kurva satuan ( ), koleksi terkait * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +

disebut bingkai Frenet-Serret. Hal ini dasar dari ortonormal * ( ) ( ) ( ) + disebut

kerangka yang bergerak sepanjang kurva pada bidang ruang.

𝒔 .

. .

Y

𝛼

O

𝛼 𝛼

X

Q

y = f(x)

𝛼

A s

P

Gambar 2

T

N

B

N B

T

Gambar 3



Teorema 2.5 Jika ( ) kurva satuan regular dengan kelengkungan tidak nol, maka

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Untuk selanjutnya rumusan permasalahan akan dikembangkan pada pergerakan suatu titik

yang melintasi kurva diferensiabel dan paramaterisasi dalam ruang Euclidean.

3. HASIL DAN PEMBAHASAN

Bedasarkan hasil penelitian Huygens, yang merupakan cikal bakalnya dari Geometri

Diferensial, bahwa bandul jarum jam didinding diapit oleh dua plat yang diasumsikan

sebagai kurva ( ) dan ( ) Dengan demikian permasalahan makalah, bagaimana

hubungan antara kedua kurva ( ) dan ( ) salah satunya berkaitan tentang involute

dan evolute, yang dikaji pada definisi berikut.

Definisi 3.1 Dua buah kurva ( ) dan ( ) dengan ( ) terletak

di sepanjang garis singgung ke ( ) dan jika ( ) ( ) dinamakan

involute dari , dan dinamakan evolute dari

Berdasarksn definisi, hubungan kedua kurva dikembangkan pada teorema, tentang

involute dari kedua kurva pada bidang datar.

Teorema 3.2 Kurva ( ) adalah involute dari kurva satuan ( ) jika dan

hanya jika untuk konstanta berlaku: ( ) ( ) ( ) ( )

Bukti.

Syarat Cukup. Misalkan ( ) ( ) ( ) ( ) kurva terletak di sepanjang

garis singgung di setiap titik. Garis tangen dari didapat

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Karena kurva

satuan dan berakibat

Syarat Perlu. Jika adalah involute dari , didapat ( ) ( ) ( ) ( ) Dengan

metoda derivatif dari dot product dengan ( ) didapat

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Akibat dari

kurva satuan dan maka didapatkan persamaan diferensial ( ) 1 Ini

berarti bahwa ( )

Perhatikan bahwa ( ) dikatakan kurva reguler, jika ( ) untuk semua .

Selanjutnya akan membuktikan teorema atau menurunkan formulasi kelengkungan

dari kurva ( )yang melintasi kurva lingkaran. Untuk menyelesaikan permasalahan

ini,akan membuktikan teorema Huygens berikut.

Teorema 3.3 Suatu lingkaran, selalu memiliki sebuah lingkaran yang kongruen sebagai

evolutenya.

Bukti. Andaikan cycloid parametrization bukan merupakan vektor satuan, masih dapat

menentukan kelengkungannya, karena terdapat kurva pusat kelengkungan. Jelas, secara

umum memiliki radius dari kurva lingkaran. Diberikan sebarang kelengkungan bidang



kurva reguler ( ) ( ( ) ( ) ) dengan ( ) |

(( ) ( ) )

⁄| Untuk kurva cycloid

( ) ( 1 ), didapat

( ) |( )( ) ( )( )

,( ) ( ) -

⁄| ( ) |

. ⁄ /|

Pusat kelengkungan kurva, adalah: ( ) ( )

( ) ( ) dengan ( ) adalah

normal satuan kurva di ( ) (1 ) jadi

( )

√ ( 1 ) ( )

√

.

√ √1 /

( ) √

( . ⁄ / . ⁄ /

√ . ⁄ / √ ( ⁄ )) ( ) ( ( ⁄ ) ( ⁄ ))

Catatan: , vektor ( ) menunjuk arah keatas, dari titik pada kurva,

berakibat ( ) bernilai positif. Dengan mensubstitusikan ( ) ke persamaan diatas

didapat pusat kelengkungan:

( ) ( 1 ( ⁄ )( ( ⁄ )) ( ⁄ ))

( ) . 1 ( ⁄ )/

( ) ( 1 ) Dengan transformasi maka ( )

dipetakan ke ( ) ( 1 ) ( ) berarti telah membuktikan

teorema.

Pada gambar 4 diasumsikan, bahwa pendulum atau bandul jam dinding diapit oleh dua

buah kurva dan melintasi kurva cycloid.

Kelengkungan dan torsi dari kurva, yang diasumsikan sebagai pemetaan ( )

akan diturunkan dengan formulasi pada terorema berikut.

Teorema 3.4 Diberikan kurva umum ( ) maka kelengkungan dan torsi

dirumuskan:

( ) ‖ ( ) ( )‖

‖ ( )‖ dan ( )

. ( ) ( )/ ( )

‖ ( ) ( )‖

Gambar 4



Bukti. Dalam suatu bidang, panjang busur parametrisasi ( ) ( ( )) dengan ( )

adalah fungsi panjang busur dan ( ) adalah inversnya. Berdasarkan

√ ( ) ( ) ( ) ‖ ( )‖ atau

‖ ( )‖ sehingga didapat

. /

⁄

( ) ( )

‖ ( )‖ Misalkan ( ) dan akan

menghitung kelengkungan dan torsi pada ( ) Dengan aturan berantai didapat:

( ) ‖ ( )‖

( ) ‖ ( ) .

/

( )

‖

( ) ‖

( )

‖ ( )‖ .

( ) ( )

‖ ( )‖ / ( )‖

( )

‖ ( )‖

‖ ( )‖

( ( ) ( ))

‖ ( )‖

( ( ) ( ))

‖ ( )‖

( )

‖ ( )‖ ‖ ( )‖

. ( )

( )/

‖ ( )‖ ( )

‖ ( ) ( )‖

‖ ( )‖

Kemudian dengan menggunakan teorema Frenet-Serret untuk mencari ( ) yaitu

( ( )) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ) Untuk mendapatkan panjang

busur kurva parameter ( ) dari persamaan ( ) ( ) ( )

( ) didapat

( ) ( )

( )

( )

( )

didapat ( ( ))

. ( ) ( )/ ( )

( ) Dari

persamaan ( ) ( ) ( )

‖ ( )‖ dan ( )

( )

‖ ( )‖ ( )

didapat ( ) ( )

( ) ( )

‖ ( )‖ Sedemikian hingga didapat pula

( ) ( )

‖ ( )‖

( ) ( ) untuk konstanta dan dan

( ) . ( ) ( )/

( )

( ) ( )

. ( ) ( )/ ( )

‖ ( )‖

‖ ( )‖

‖ ( ) ( )‖

hal ini membuktikan bahwa teorema terbukti.

Contoh. Diberikan kurva ( ) ( )

dengan 1 Kurva ( ) diferensial sampai tingkat tiga didapat:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Hal ini menyatakan bahwa ( ( ) ( )) ( ) jadi ( ) untuk

semua dan ( ) adalah sebidang. Setelah perhitungan yang panjang

mendapatkan kelengkungannya: ( ) ‖ ( ) ( )‖

‖ ( )‖

√

( )

⁄



Kurva ini memiliki kelengkungan yang sama seperti kelengkungan dari kurva

ellips pada bidang datar. Dengan teorema dasar ini untuk kurva di ( )

lintasan ellips dengan menentukan konstanta dan Untuk selanjutnya ternyata

banyak lagi yang bisa dikembangkan terutama sifat-sifat khusus, yaitu kurva dari

kerangka atau bingkai aparat Frenet-Serret.

4. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil-hasil pada bagian sebelumnya dapat ditarik dua kesimpulan utama

seperti berikut ini :

1. Pergerakan bandul jam dinding, pada penelitian Huygen merupakan awal

perkembangan dari geometri diferensial.

2. Suatu pergerakan titik pada kurva bidang datar digeneralisasikan pada ruang

Euclidean

3. Pergerakan kurva untuk setiap titik mempertahankan bingkai Frenet-Serret.

4. Semua persoalan pada makalah merupakan aplikasi dari diferensial dan vektor.

DAFTAR PUSTAKA

[1] John McCleary., Geometry From A Differentiable Viewpoint, Cambridge

University Press, 1994.

[2] Soehardjo., Diktat Matematika I, Jurusan Matematika F.MIPA ITS, 1999.

[3] Theodore Shifrin., Differential Geometry: Afirst Course in Curves and Surfaces,

University of Georgia, 2012.

[email protected] , [email protected]



gerakan kurva parameterisasi pada ruang · pdf filehasil dan pembahasan bedasarkan hasil...

Documents