games theory

by Wasis A.Latief 1

Games TheoryBy Wasis A.Latief

by Wasis A.Latief 2

PENDAHULUAN

Dalam studi teori permaianan ini kita dapat mengembangkan model matematik sederhana, yaitu dengan mempelajari hubungan antara dua independen yang saling bersaing, baik individu maupun lembaga. Analisis ini diturunkan dari karya J. Von Neumann dan O. Morgenstern dalam Theory of Games And Economic Behavior.

Istilah games adalah istilah umum pada situasi konflik antarindependen. Ciri dari situasi konflik adalah suatu keberhasil-an (keuntungan) dari pihak pertama akan merupakan kegagalan pihak lain. Ciri-ciri penting lain banyak dicontohkan pada konflik-konflik sosial dan bsnis, sehingga bentuk matematik dari games ini umum sifatnya.

Dalam studi teori permainan kita akan mempelajari :(1) two person zero-sum game (2) nonconstant-sum game" atau "nonzero-sum game"

by Wasis A.Latief 3

TWO PERSON ZERO-SUM GAMESPada kasus two person zero-sum game, kepentingan dua pesaing yang berlawanan. Contoh, misalnya dua orang sedang berjudi, dimana dianggap masing-masing mempunyai fungsi utilitas yang linier terhadap uang. Oleh karena itu jumlah uang (utilitas) yang diperoleh dari kemenangan judi tesebut merupakan jumlah uang yang dikeluarkan oleh pihak lain karena membayar kekalahannya.Satu pemecahan penting dalam kasus ini adalah apa yang disebut "minimax solution", artinya meminimumkan kemungkinan kerugian yang maksimum, yang dalam hal ini berarti juga “maximin “ artinya memaksimumkan kemungkinan perolehan(keuntungan) yang minimum .Keunggulan solusi minimax tersebut merupakan pilihan terbaik bagi pembuat keputusan kalau di pihak lain juga menggunakan solusi yang sama.

by Wasis A.Latief 4

Tabel aplikasi berikut, kita gunakan "tabel Payoff" yang menggambarkan profit pihak pertama yang didaftar ke bawah, sedang profit pihak lawan tidak ditulis, hanya strateginya saja yang ditulis pada baris teratas. Meskipun profit pihak kedua tidak ditulis hal ini dapat dimengerti bahwa profitnya bernilai negatif (rugi) sebesar nilai profit pihak pertama.

Pihak IIPihak I Strategi 1 Strategi 2 Minimum

BarisStrategi 1 10 14 10Strategi 2 7 12 7

Maksimum Kolom 10 14 1010

Tabel Payoff Pemain I

by Wasis A.Latief 5

Kolom paling kanan , merupakan nilai baris yang paling kecil (minimum), sedangkan baris paling bawah merupakan nilai kolom yang paling besar (maksimum)Solusi minimax berusaha memaksimumkan keuntu-ngan para pemain, yang dalam hal ini boleh jadi memi-nimumkan kemungkinan kerugian yang maksimum (minimax) atau berarti pula memkasimumkan peroleh-an yang minimum (maximin). Setiap strategi pihak pertama oleh pihak kedua pasti diharapkan agar keuntungan yang diperolehnya seminimal mungkin. Oleh karena itu pada kolom paling kanan dipilih nilai-nilai yang paling kecil dari setiap strategi pihak petama (10 dan 7). Sedangkan setiap strategi pihak kedua sudah barang tentu diharapkan oleh pihak pertama agar kerugiannya semaksimal mungkin, oleh karena itu baris tabel paling bawah muncul angka-angka 10 dan 14.

Pihak IIPihak I Strategi 1 Strategi 2

Minimum Baris

Strategi 1 10 14 10Strategi 2 7 12 7

Maksimum Kolom 10 14 1010

by Wasis A.Latief 6

Contoh lainAda persaingan antara sebuah perusahaan dengan serikat buruh. Perjanjian kerja antara perusahaan dengan serikat buruh akan berakhir bebarapa waktu lagi. Kontrak baru harus segera dirundingkan sebelum kontrak lama berakhir. Saudara sebagai anggota kelompok manajemen perusahaan ditugasi menen-tukan strategi yang representatif dalam menghadapi perjanjian kerja yang akan datang. Setelah dipertimbangkan dari pengalaman yang lalu manajemen perusahaan menyetujui strategi-strategi yang layak bagi perusahaan, sbb.:C1 = bertempur secara mati-matian, keras, berunding secara agresif.C2 = pemikiran yang matang, pendekatan secara logika.C3 = strategi yang legal (hukum)C4 = persetujuan, pendekatan damai.Strategi mana yang terbaik bagi perusahaan ?. Hal ini tergantung dari strategi yang digunakan oleh serikat buruh. Akan tetapi kalau serikat buruh juga me-ngusulkan rangkaian strategi seperti berikut, :U1 = bertempur secara mati-matian, keras, berunding secara agresif.U2 = pemikiran yang matang, pendekatan secara logika.U3 = strategi yang legal (hukum)U4 = persetujuan, pendekatan damai,maka kita harus memperhatikan konsekuaensi setiap tindakan mereka.

by Wasis A.Latief 7

Dengan bantuan mediator luar, maka informasi lengkap dapat diikuti Tabel berikut.

St. PSt. B C1 C2 C3 C4

MinimumBaris

U1 +200 +150 +120 +350 +120U2 +250 +140 +80 +100 +80U3 +400 +20 +100 +50 +20U4 -50 +40 +110 0 -50

Maksimum Kolom +400 +150 +120 +350

120120

Perolehan Serikat Buruh (Pengeluaran Perusahaan) (dalam USD )

U4 - C2

U1 - C3

C4 - U1

C3 - U1

by Wasis A.Latief 8

St. PSt. SB C1 C2 C3 C4

MinimumBaris

U1 +200 +150 +120 +350 +120U2 +250 +140 +80 +100 +80U3 +400 +20 +190 +50 +20U4 -50 +40 +110 0 -50

Maksimum Kolom +400 +150 +190 +350

120150

Perolehan Serikat Buruh (Pengeluran Perusahaan)(dalam USD)

Untuk memecahkan masalah ini digunakan teknik dominasi, yaitu dengan melakukan penghapusan kolom atau baris yang mendominasi atau didominasi satu sama lain sedemikian rupa sehingga tabel menjadi "tabel 2 x 2". Untuk baris yang didominasi dihilangkan , untuk kolom yang mendominasi dihilangkan. Marilah kita ikuti Tabel di atas, baris U4 dihilangkan terlebih dulu karena didominasi oleh U1. Peng-hapusan kedua adalah terhadap kolom C1 karena mendominasi C2 dan C3. Peng-hapusan ketiga menghapus U2 karena didominasi U1 yang teakhir menghapus C4 karena mendominasi C2. Dengan empat penghapusan ini terbentuklah tabel 2 x 2. Lihat skema berikut ini.

by Wasis A.Latief 9

C1 C2 C3 C4U1U2U3U4

+200+250+400-50

+150+140+20+40

+120+80+190+110

+350+100+50

0Garis 1

Garis 3

Garis 2 Garis 4

Teknik Dominasi- untuk baris , Yang didominasi dihapus- untuk kolom, yang mendominasi dihapus

St. PSt. SB C2 C3

U1 +150 +120 120U3 +20 +190 20

150 190 150 / 120

by Wasis A.Latief 10

Dari Tabel tersebut jika dievaluasi minimax dan maximinnya masih juga tidak ada keseimbangan, sehingga barulah strategi campuran bisa diterapkan, yaitu mengkombinasi strategi-strategi yang ada dengan probabilitas tertentu. Sebagai catatan jikalau minimax = maximin, maka solusi optimal segera dicapai. Ditinjau dari pihak Serikat Buruh :Jika U1 memiliki peluang sebesar p,maka U3 mempunyai peluang 1 p. Kemudian peluang U1 dan U3 dicari :

150 (p) + 20 (1 p) = 120 (p) + 190 (1 p) 200 p = 170 p = 0,85

Jadi peluang U1 = 0,85 dan U3 = 0,15Perolehan atau nilai serikat buruh dengan menggunakan strategi campuran dapat dihitung :

E(U/C2) = E (U/ C3)150(0,85) + 20(0,15) = 120(0,85) +190(0,15)130,5 = 130,5

Jadi nilai permainan buruh sebesar 130,5

St. PSt. SB C2 C3

U1 +150 +120 120U3 +20 +190 20

150 190 150 / 120


Dengan perhitungan di atas jelas dapat disimpulkan bahwa besarnya perolehan pihak serikat buruh akan sama dengan pengeluaran perusahaan.

Ditinjau dari pihak Perusahaan :

Jika C2 memiliki peluang sebesar q, maka C3 memiliki peluang 1 q. Kemudian peluang C2 dan C3 dapat dicari : 150 (q) + 120 (1 q) = 20 (q) + 190 (1 q) 20 q = 7 q = 0,35 Jadi peluang C2 = 0,35 dan C3 = 0,65Pengeluaran atau nilai permainan pihak perusahaan dapat dihitung : E(C/U1) = E(C/ U3) 150(0,35) + 120(0,65) = 20(0,35) +190(0,65) 130,5 = 130,5 Jadi nilai permainan perusahaan sebesar 130,5

St. PSt. SB C2 C3

U1 +150 +120 120U3 +20 +190 20

150 190 150 / 120


U3

U1

Disamping penyelesaian dengan matemetik, dapat pula strategi campuran ini diselesaikan dengan solusi grafik, seperti terlihat pada Gambar berikut. Strategi Perusahaan menghadapi union.

(1C2, 0C3) (0,8C2, 0,2C3) (0,5C2, 0,5C3) (0,35C2, 0,65C3) (0C2, 1C3)

130,5

190

120


(1U1, 0U3) (0,85U1, 0,15U3) (0,5U1, 0,5U3) (0U1, 1U3)

130,5

C2

C3

20

190

Gambar ini keseimbangan terjadi apabila serikat buruh menggunakan strategi campurannya pada kombinasi (0.85U1,0.15U3) dengan hasil sebesar $130.5.


GAMEMATRIX

MINIMAX:

MAXIMIN

ITERASILINIER PROGRAMING

MATRIX2 x 2

TEKNIKDOMINAS

I

Satregi Murni

Satregi Campuran dengan menggunakan Probalitas

=

Ya

Ya


NONZERO-SUM GAMESUntuk sebagian besar situasi konflik dua pihak yang saling bersaing, uitilitas bagi kedua partsipan sama untuk semua hasil permainan. Dalam hal ini solusi akan lebih menghasil-kan kepuasan bersama bagi para partisipan. Permainan ini disebut sebagai "nonzero-sum games".Diasumsikan dua perusahaan dihadapkan pada sebuah ke-putusan yang relatif, antara melakukan advertensi atau tidak. Masing-masing mempunyai dua kemungkinan keputusan, yaitu melakukan advertensi atau tidak melakukan adverten-si. Tabel payoff atas tindakan kedua perusahaan yang bersaing tersebut ditunjukkan pada Tabel di bawah ini :

III

Tanpa Advertensi Advertensi

Tanpa Advertensi +2 +2

+5 15

Advertensi 15 +5

10 10


III



+5 15

Advertensi 15 +5

10 10

Jumlah atau nilai-nilai dalam tabel menunjukkan utilitas bagi kedua perusahaan secara berpasangan, yaitu utilitas perusahaan I ditunjukkan oleh warna hitam dan untuk perusahaan II dengan warna merah. Sebagai contoh jika perusahaan I melakukan advertensi dan perusahaan II tidak, perusahaan I akan mempunyai utilitas +5 dan perusahaan II sebesar 15.


Apapun yang dilakukan oleh perusahaan I, perusahaan II akan lebih baik jika melakukan advertensi. Ini berarti jika perusahaan I tidak melakukan advertensi, perusahaan II tetap melakukan advertensi, karena hal ini tentunya peru-sahaann II akan lebih menyukai payoff +5 daripada +2. Jika perusahaan I melakukan advertensi, perusahaan II akan melakukannya juga, karena dalam hal ini ia lebih menyukai payoff 10 dari pada 15 Jadi bagi perusahaan II strategi advertensi mendominasi strategi tanpa adver-tensi,

III Tanpa Advertensi Advertensi


+5 15

Advertensi 15 +5

10 10


Analisis yang sama pasti dilakukan pula oleh perusahaan I, yaitu apa yang dilakukan oleh perusahaan II, perusahaan I akan lebih baik melakukan advertensi. Perusahaan I dan II keduanya mengarah kepada sebuah proses keputusan yang rasional, yaitu untuk melakukan advertensi, sehingga masing-masing akan mengalami kerugian sebesar 10. Jika mereka tidak melakukan keputusan yang rasional, mereka harus mengikuti "strategi yang mendominasi", dalam hal ini adalah strategi "tidak melakukan advertensi" dan masing-masing akan menerima payoff sebesar +2.

III



+5 15

Advertensi 15 +5

10 10


Di atas adalah sebuah contoh dari two person nonzero-sum game. Meskipun dalam contoh itu ada sebuah tipe solusi yang menyebabkan keputusan advertensi mendominasi keputusan tanpa advertensi, solusi itu sangat tidak memuaskan. Justru sebuah pasangan permaianan yang tidak rasional, dimungkinkan mencapai solusi yang lebih disukai, dimana kedua pelaku tidak melakukan advertensi.

Non-zero-sum games sering kali tidak mempunyai solusi-solusi yang memuaskan yang dapat ditetapkan secara mudah.


KESIMPULANPembaca akan mempertimbangkan jika terda-

pat beberapa situasi dalam dunia nyata dimana terda-pat dua kelompok atau lebih yang saling bersaing baik secara zero-sum games maupun nonzero-sum games. Apakah hasil setiap permainan tersebut selalu mem-berikan manfaat bagi kelompok-kelompok tersebut ?

Dalam kenyataan, hal ini masih tidak jelas bahwa solusi-solusi yang eksak dapat dicapai untuk si-tuasi-situasi permainan, dan kemudian teori-teori dapat diaplikasikan dengan pasti atau tepat. Di lain pihak, game theory jelas dapat membantu kita mempelajari bagaimana mendekati dan mengerti sebuah situasi konflik serta memperbaiki proses keputusan.

games theory

Documents