fungsi-dan-grafik-diferensial-dan-integral2.pdf

8/16/2019 fungsi-dan-grafik-diferensial-dan-integral2.pdf

1/224

ii

Sudaryatno Sudirham

Darpublic

Studi Mandiri

Fungsi dan Grafik Fungsi dan Grafik Fungsi dan Grafik Fungsi dan Grafik

Diferensial dan Integral Diferensial dan Integral Diferensial dan Integral Diferensial dan Integral


2/224


3/224

ii

Hak cipta pada penulis, 2010

SUDIRHAM, SUDARYATNOFungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Oleh: Sudaryatmo Sudirham

Darpublic, Bandung

fdg-1110

http://www.ee-cafe.org

Alamat pos: Kanayakan D-30, Bandung, 40135.

Fax: (62) (22) 2534117


4/224

iii

Kata Pengantar

Dalam buku ini penulis mencoba menyajikan bahasan matematika bagi

pembaca untuk memperoleh pengertian dengan lebih mudah tentang

kalkulus. Walaupun materi yang dibahas adalah materi matematika,

namun uraian dengan bahasa matematika telah dicoba untuk sangatdibatasi. Pendefinisian dan pembuktian formula-formula diganti dengan

pernyataan-pernyataan serta gambaran grafis yang lebih mudah difahami.

Penulis berharap bahwa pengertian dasar yang bisa diperoleh dari buku

ini akan mendorong minat untuk mendalami materi lebih lanjut.

Buku ini dutujukan untuk umum. Bahan utama isi buku adalah catatan penulis sewaktu mengikuti kuliah di Institut Teknologi Bandung,

sedangkan contoh-contoh hubungan diferensial dan soal-soal persamaan

diferensial penulis ambil dari buku “ Analisis Rangkaian Elektrik ”.

Bahasan dibatasi pada fungsi-fungsi dengan peubah bebas tunggal

berupa bilangan nyata.

Karakterisasi fungsi-fungsi serta perhitungan diferensial dan integral

sangat dipermudah dengan bantuan komputer. Hal demikian banyak

dilakukan dalam meghadapi persoalan yang kompleks. Namun buku ini

tidak membahas cara perhitungan dengan menggunakan komputer

tersebut, melainkan menyajikan bahasan mengenai pengertian-pengertian

dasar tentang fungsi serta hitungan diferensial dan integral.

Akhir kata, penulis harapkan tulisan ini ada manfaatnya. Saran-saran

pembaca sangat diharapkan untuk perbaikan lebih lanjut.

Bandung, Nopember 2010

Wassalam,

Penulis


5/224

iv

>

A. Schopenhauer, 1788 – 1860

dariMini-Encyclopédie, France Loisirs

ISBN 2-7242-1551-6


6/224

v

Daftar Isi

Kata Pengantar iii

Daftar Isi v

Bab 1: Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik 1

Fungsi. Domain. Kurva, Kekontinyuan, Simetri. Bentuk

Implisit. Fungsi Bernilai Tunggal dan Bernilai Banyak.

Fungsi dengan Banyak Peubah Bebas. Koordinat Polar.

Pembatasan Bahasan dan Sajian Bahasan.

Bab 2: Fungsi Linier 15

Fungsi Tetapan. Fungsi Linier – Persamaan GarisLurus. Pergeseran Kurva. Perpotongan Garis.

Bab 3: Gabungan Fungsi Linier 27

Fungsi anak Tangga. Fungsi Ramp. Pulsa. PerkalianRamp dan Pulsa. Gabungan Fungsi Ramp.

Bab 4: Mononom dan Polinom 37

Mononom: Mononom Pangkat Dua; Mononom Pangkat

Tiga. Polinom: Fungsi Kuadrat. Penambahan Mononom

Pangkat Tiga.

Bab 5: Bangun Geometris 55

Persamaan Kurva. Jarak Antara Dua Titik. Parabola.

Lingkaran. Elips. Hiperbola. Kurva berderajat Dua.

Perputaran Sumbu.

Bab 6: Fungsi Trigonometri 69

Peubah Bebas Bersatuan Derajat. Peubah Bebas

Bersatuan Radian. Fungsi Trigonometri Inversi.

Bab 7: Gabungan Fungsi Sinus 85

Fungsi Sinus Dan Cosinus. Kombinasi Fungsi Sinus.Spetrum Dan Lebar Pita.

Bab 8: Fungsi Logaritma. Natural, Eksponensial, Hiperbolik 95

Fungsi Logaritma Natural. Fungsi Exponensial. Fungsi

Hiperbolik.

Bab 9: Turunan Fungsi-Fungsi (1) 105

Pengertian Dasar. Mononom. Polinom. Nilai Puncak.

Garis Singgung.


7/224

vi Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral


Fungsi Perkalian Dua Fungsi. Fungsi Pangkat Dari

Suatu Fungsi. Fungsi Rasional. Fungsi Implisit. Fungsi

Berpangkat Tidak Bulat. Kaidah Rantai. Diferensial dx dan dy.


Fungsi Trigonometri. Fungsi Trigonimetri Inversi.

Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi. Fungsi

Logaritmik. Fungsi Eksponensial.

Bab 12: Integral (1) 141

Integral Tak Tentu. Penggunaan Integral Tak Tentu.

Luas Sebagai Suatu Integral. Penggunaan DalamPraktek.


Luas Sebagai Suatu Integral - Integral Tentu. Penerapan

Integral. Luas Bidang Di Antara Dua Kurva.


Volume Sebagai Suatu Integral. Panjang Kurva. NilaiRata-Rata Suatu Fungsi. Pendekatan Numerik.

Bab 15: Persamaan Diferensial 179

Pengertian. Solusi. Persamaan Diferensial Orde Satu

Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan. Persamaan

Diferensial Homogen Orde Satu. Persamaan Diferensial

Linier Orde Satu. Solusi Pada Berbagai FungsiPemaksa.

Bab 16: Persamaan Diferensial (2) 193

Persamaan Diferensial Linier Orde Dua. Tiga

Kemungkinan Bentuk Solusi.

Bab 17: Koordinat Polar 201Relasi koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku.Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar. Persamaan

Garis Lurus. Parabola, Elips, Hiperbola. Lemniskat dan

Oval Cassini. Luas Bidang.

Indeks 213

Referensi 215

Biodata penulis 216


8/224

1

Bab 1

Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik

1.1. Fungsi

Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran

lain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsi

besaran x. Contoh: panjang batang logam merupakan fungsi temperatur.

Secara umum suatu fungsi dituliskan sebagai sebuah persamaan

)( x f y = (1.1)

Perhatikan bahwa penulisan )( x f y ==== bukanlah berarti y sama dengan fkali x, melainkan untuk menyatakan bahwa y merupakan fungsi dari x

yang tidak lain adalah sebuah aturan atau sebuah ketentuan berapakah y

akan memiliki nilai jika kepada x kita berikan suatu nilai.

y dan x adalah peubah (variable) yang dibedakan menjadi peubah-tak-

bebas ( y) dan peubah-bebas ( x). Peubah-bebas x adalah simbol dari suatu

besaran yang bisa memiliki nilai sembarang dari suatu set bilangan.

Sementara peubah-tak-bebas y memiliki nilai yang tergantung dari nilai

yang dimiliki x.

Dilihat dari nilai yang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan, (1.1) adalah

sebuah persamaan. Namun kedua ruas itu memiliki peran yang berbeda.

Kita ambil contoh dalam relasi fisis

)1(0 T L LT λ+=

dengan LT adalah panjang sebatang logam pada temperatur T , L0 adalah

panjang pada temperatur nol, T temperatur dan λ adalah koefisien muai panjang. Panjang batang tergantung dari temperatur; makin tinggi

temperatur makin panjang batang logam. Namun sebaliknya, makin

panjang batang logam tidak selalu berarti temperaturnya makin tinggi.

Jika logam tersebut mengalami beban tarikan misalnya, ia akan

bertambah panjang namun tidak bertambah temperaturnya.

Walaupun nilai x di ruas kanan (1.1) bisa berubah secara bebas,

sementara ruas kiri tergantung dari ruas kanan, namun nilai x tetap harus

ditenttukan sebatas mana ia boleh bervariasi.


9/224

2 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

1.2. Domain

Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x

bervariasi. Dalam kebanyakan aplikasi, rentang nilai ini bisa berbentuk

sebagai berikut:

a). rentang nilai berupa bilangan-nyata yang terletak antara dua nilai a

dan b. Kita tuliskan rentang nilai ini sebagai

a


10/224

3

0 serta panjang satuan skala, sedemikian rupa sehingga kita dapat

menggambarkan nilai-nilai x pada garis ini (lihat Gb.1.1); peubah x

memiliki nilai yang berupa bilangan-nyata.

Gb.1.1. Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku.

Catatan: Suatu bilangan-nyata dapat dinyatakan dengan desimal

terbatas maupun desimal tak terbatas. Contoh: 1, 2, 3, ......adalah

bilangan-nyata bulat; 1,586 adalah bilangan-nyata dengan desimalterbatas; π adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas, yang

jika dibatasi sampai sembilan angka di belakang koma nilainya

adalah 3,141592654.

Selain sumbu- x ditetapkan pula sumbu- y yang tegak lurus pada sumbu- x,

memanjang ke −∞ arah ke bawah dan +∞ arah ke atas, yang melewatititik referensi 0 di sumbu- x dan disebut ordinat . Titik perpotongan

sumbu- y dengan sumbu- x merupakan titik referensi yang disebut titik-

asal dan kita tulis berkoordinat [0,0]. Pada sumbu- y ditetapkan juga

satuan skala seperti halnya pada sumbu- x, yang memungkinkan kitauntuk menggambarkan posisi bilangan-nyata di sumbu- y. Besaran fisik

yang dinyatakan dengan peubah-tak-bebas dalam skala sumbu- y tidak

harus sama dengan besaran fisik dan skala sumbu- x; misalnya sumbu- x

menunjukkan waktu dengan satuan detik/skala, sedangkan sumbu- y

menunjukkan jarak dengan satuan meter/skala.

Bidang datar di mana kita menggambarkan sumbu- x dan sumbu- y,selanjutnya kita sebut bidang x-y, akan terbagi dalam 4 kuadran, yaitu

kuadran I, II, III dan IV seperti terlihat pada Gb.1.1.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

P[2,1]

Q[-2,2]

R[-3,-3]

S[3,-2]

y

x

IV

III

III


11/224


Setiap titik K pada bidang datar ini dapat kita nyatakan posisinya sebagai

K[ xk , yk ], dengan xk dan yk berturut-turut menunjukkan jumlah skala di

sumbu- x dan di sumbu- y dari titik K yang sedang kita tinjau. Pada

Gb.1.1. misalnya, posisi empat titik yang digambarkan di kuadran I, II,III, IV, masing-masing kita tuliskan sebagai P[2,1], Q[-2,2], R[-3,-3] dan

S[3,-2].

Dengan demikian setiap pasangan bilangan-nyata akan berkaitan dengan

satu titik di bidang x- y. Dengan cara inilah pasangan nilai yang dimiliki

oleh ruas kiri dan ruas kanan suatu fungsi y = f ( x) dapat divisualisasikan

pada bidang x- y. Visualisasi itu akan berbentuk kurva fungsi y di bidang

x- y, dan kurva ini memiliki persamaan y = f ( x), sesuai dengan

pernyataan fungsi yang divisualisasikannya.

Contoh: sebuah fungsi

x y 5,0= (1.2)

Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y. Jika kita muatkan dalam

suatu tabel, nilai x dan y akan terlihat seperti pada Tabel-1.1.

Tabel-1.1.

x -1 0 1 2 3 4 dst.

y -0,5 0 0,5 1 1,5 2 dst.

Fungsi x y 5,0= yang memiliki pasangan nilai x dan y sepertitercantum dalam Tabel-1.1. di atas akan memberikan kurva seperti

terlihat pada Gb.1.2. Kurva ini berbentuk garis lurus melalui titik-

asal [0,0] dan memiliki kemiringan tertentu (yang akan kita pelajari

lebih lanjut), dan persamaan garis ini adalah x y 5,0= .

Gb.1.2. Kurva dari fungsi x y 5,0====

∆ x

∆ y

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-1

0 1 2 3 4

y

R

P

Q


12/224

5

Dengan contoh ini, relasi (1.2) yang merupakan relasi fungsional,

setelah berbentuk kurva berubah menjadi sebuah persamaan yaitu

persamaan dari kurva yang diperoleh. Ruas kiri dan kanan

persamaan ini menjadi berimbang karena melalui kurva tersebut kita bisa mendapatkan dengan mudah nilai y jika diketahui nilai x, dan

sebaliknya kita juga dapat memperoleh nilai x jika diketahui nilai y.

Dengan contoh di atas kita mengerti bahwa fungsi x y 5,0= membentukkurva dengan persamaan x y 5,0= di bidang x- y. Dalam contoh ini titik-titik P, Q, dan R terletak pada garis tersebut dengan koordinat P[-1,-0,5],

Q[2,1], R[3,1.5]. Pengertian tentang fungsi dan persamaan kurva ini

perlu kita fahami benar karena kedua istilah ini akan muncul secara

paralel dalam pembahasan bentuk-bentuk geometris.

Kekontinyuan. Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x

tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang

tersebut. Syarat untuk terjadinya fungsi yang kontinyu dinyatakan

sebagai berikut:

Suatu fungsi y = f ( x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan

kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat:

(1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f (c) di x =

c;

(2) nilai f ( x) akan menuju f (c) jika x menuju c; pernyataan ini kita

tuliskan sebagai )()(lim c f x f c x

=→

yang kita baca limit f ( x)

untuk x menuju c sama dengan f (c).

Contoh: Kita lihat misalnya fungsi y = 1/ x. Pada x = 0 fungsi ini

tidak terdefinisi karena 1/0 tidak dapat kita tentukan berapa nilainya;

)(lim x f c x→

tidak terdefinisi jika x menuju nol. Kedua persyaratan

kekontinyuan tidak dipenuhi; ia merupakan fungsi tak-kontinyu di x

= 0. Hal ini berbeda dengan fungsi yang terdefinisikan di x = 0

(lihat selanjutnya ulasan di Bab-3) sebagai

0untuk0

0untuk1 ),(


13/224


yang bernilai 0 untuk x < 0 dan bernilai 1 untuk x ≥ 0. PerhatikanGb.1.3.

Tak terdefinikan di x = 0.

Terdefinisikan di x = 0

Gb.1.3. Fungsi x y /1= dan y =u( x)

Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik

tertentu

a) jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan − x makakurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu- y;

b) jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurvafungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.

c) jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan − y, kurvafungsi tersebut simetris terhadap sumbu- x.

d) jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan − x dan − y,kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

Contoh: Perhatikan contoh pada Gb.1.4. berikut ini.

Kurva y = 0,3 x2 simetris terhadap sumbu- y. Jika kita ganti nilai x =

2 dengan x = - 2, nilai tidak berubah karena x berpangkat genap.

y = 1/ x

y = 1/ x

y

x

-1

0

1

-10 -5 0 5 10

x

y = u( x) 1

00


14/224

7

Kurva y = 0,05 x3 simetris terhadap titik-asal [0,0]. Di sini x

berpangkat ganjil sehingga fungsi tidak akan berubah jika x diganti

– x dan y diganti – y.

Kurva 922 =+ y x simetris terhadap sumbu- x, simetris terhadap

sumbu- y, simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III, dan juga

simetris terhadap garis-bagi kuadran II dan IV.

Gb.1.4. Contoh-contoh kurva fungsi yang memiliki simetri.

1.4. Bentuk Implisit

Suatu fungsi kebanyakan dinyatakan dalam bentuk eksplisit dimana

peubah-tak-bebas y secara eksplisit dinyatakan dalam x, seperti

)( x f y = . Namun sering kali kita jumpai pula bentuk implisit di mananilai y tidak diberikan secara eksplisit dalam x. Berikut ini adalah

beberapa contoh bentuk implisisit.

8

1

1

22

2

22

=++

=

=

=+

y xy x

x y

xy

y x

(1.3)

-6

-3

0

3

6

-6 -3 0 3 6

y = 0,3 x2

y = 0,05 x3

y2 + x

2= 9

x

y

tidak berubah jika x dan y diganti dengan − x dan − y

tidak berubah bila x diganti − x

tidak berubah jika

x diganti − x x dan y diganti dengan − x dan − y x dan y dipertukarkan y diganti dengan − y


15/224


Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x

akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas y. Contoh

pertama sampai ke-tiga pada (1.3) dengan mudah kita ubah dalam bentuk

eksplisit sehingga untuk menggambarkan fungsi tersebut kedalam sistemkoordinat x-y dengan menggunakan tabel tidaklah terlalu sulit. Contoh

yang ke-empat agak sulit, namun persamaan tersebut dapat dijadikan

bentuk persamaan kuadrat

822 =++ y xy x ⇒ 0)8( 22 =−++ x xy y

yang akar-akarnya adalah

2)8(4,

22

21 −−±−= x x x y y

Nilai y1 dan y2 dapat dihitung untuk setiap x yang masih memberikan

nilai nyata untuk y. Perhatikan bahwa akar-akar persamaan ini dapat kita

tuliskan sebagai

2

)8(4

2

22 −−±

−=

x x x y (1.4)

yang merupakan bentuk pernyataan eksplisit )( x f y = . Kurva fungsiini terlihat pada Gb.1.5.

Gb.1.5. Kurva2

)8(4

2

22 −−±

−=

x x x y

-8

-4

0

4

8

-4 -2 0 2 4


16/224

9

1.5. Fungsi Bernilai Tunggal dan Fungsi Bernilai Banyak

Fungsi Bernilai Tunggal. Fungsi yang hanya memiliki satu nilai

peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas, disebut fungsi

bernilai tunggal . Berikut ini contoh fungsi bernilai tunggal.

1).25,0 x y = .

Pada fungsi ini setiap nilai x hanya memberikan satu nilai y. Kurva

dari fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.6. Kita tahu bahwa kurva

fungsi ini simetris terhadap sumbu- y namun dalam gambar ini

terutama diperlihatkan rentang x ≥ 0.

Gb.1.6. Kurva 25,0 x y =

2). x y += .

Pada fungsi ini, y hanya mengambil nilai positif. Oleh karena itu ia

bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb 1.7.

Gb.1.7. Kurva x y +=

0

0,4

0,8

1,2

1,6

0 0,5 1 1,5 2

y

0

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4


17/224


3). x y −= .

Peubah tak-bebas y hanya mengambil nilai negatif. Oleh karena itu

ia bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb.1.8.Sesungguhnya kurva fungsi ini adalah pasangan dari kurva

x y += . Hal ini terlihat pada Gb.1.11 di mana y mengambil nilai baik positif maupun negatif.

Gb.1.8. Kurva x y −=

4). x y 10log= .

Sebelum melihat kurva fungsi ini ada baiknya kita mengingat

kembali tentang logaritma.

log10 adalah logaritma dengan basis 10; log10a berartiberapakah 10 harus dipangkatkan agar diperoleh a. Jadi

x y 10log= berarti x y =10

01log101 == y ;

31000log102 == y ;

30103,02log103 == y ; ...dst.

Kurva fungsi x y 10log= terlihat pada Gb.1.9.

Gb.1.9. Kurva x y 10log=

-1,6

-1,2

-0,8

-0,4

00 0, 1 1, 2

-0 8

-0 4

0

0 4

0,8

0 1 2 3 4

y


18/224

11

5). 2 x x y == .

Fungsi ini berlaku untuk nilai x negatif maupun positif.

Perhatikanlah bahwa2 x tidak hanya sama dengan x, melainkan

± x. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.1.10.

Gb.1.10. Kurva y = | x| = √ x2

Fungsi Bernilai Banyak. Jika untuk satu nilai peubah-bebas terdapat

lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas, fungsi tersebut disebut bernilai

banyak . Berikut ini adalah contoh fungsi bernilai banyak.

1). Fungsi x y ±= .

Perhatikan bahwa ada dua nilai y untuk setiap nilai x. Sesungguhnya

x bernilai ± x dan bukan hanya x saja. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.1.11. Jika y hanya mengambil nilai positif atau negatif

saja, fungsi akan menjadi bernilai tunggal, sebagaimana disebutkan

pada contoh 2 dan 3 pada fungsi bernilai tunggal .

Gb.1.11. Kurva x y ±= -2

-1 5

-1

-0 5

0

0 5

1

1 5

2

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4


19/224


2). Fungsi x

y12 = .

Fungsi ini bernilai banyak; ada dua nilai y untuk setiap nilai x.Kurva fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.12.

Gb.1.12. Kurva x y /12 = ⇒ x y /1±=

1.6. Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas

Fungsi dengan banyak peubah bebas tidak hanya tergantung dari satu

peubah bebas saja, x, tetapi juga tergantung dari peubah bebas yang lain.

Misalkan suatu fungsi dengan dua peubah bebas x dan t dinyatakansebagai

),( t x f y = (1.5)

Sesungguhnya dalam peristiwa fisis banyak fungsi yang merupakan

fungsi dengan peubah-bebas banyak, misalnya persamaan gelombang

berjalan. Simpangan gelombang berjalan merupakan fungsi dari posisi

( x) dan waktu (t ).

Secara umum kita menuliskan fungsi dengan peubah-bebas banyak

sebagai

),,,,( vu z y x f w = (1.6)

untuk menyatakan secara eksplisit fungsi w dengan peubah bebas x, y,

z,u,dan v.

Fungsi dengan peubah bebas banyak juga mungkin bernilai banyak,

misalnya

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3


20/224

13

2222 z y x ++=ρ (1.7)

Fungsi ini akan bernilai tunggal jika kita hanya meninjau nilai positif

dari ρ dan kita nyatakan fungsi yang bernilai tunggal ini sebagai

222 z y x +++=ρ (1.8)

1.7. Sistem Koordinat Polar

Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam

skala sumbu- x dan sumbu- y, kita mengenal pula sistem koordinat polar.

Dalam sistem koordinat polar ini posisi titik dinyatakan oleh jarak titik

ke titik asal [0,0] yang diberi simbol r , dan sudut yang terbentuk antara r dengan sumbu- x yang diberi simbol θ. Kalau dalam koordinat sudut-siku

posisi titik dinyatakan sebagai P( x, y) maka dalam koordinat polar

dinyatakan sebagai P(r ,θ).

Hubungan antara koordinat susut siku dan koordinat polar adalah

θ= sinr y ;

θ= cosr x ;

22

y xr +=

)/(tan 1 x y−=θ

Hubungan ini terlihat pada Gb.1.13.

Gb.1.13. Hubungan koordinat sudut-siku dan koordinat polar.

x

P

θ

r r sinθ

r cosθ


21/224


1.8. Fungsi Parametrik

Dalam koordinat sudut-siku fungsi )( x f y = mungkin juga dituliskan

sebagai)(t y y = )(t x x = (1.10)

jika y dan x masing-masing tergantung dari peubah lain t . Fungsi yang

demikian disebut fungsi parametrik dengan t sebagai parameter .

1.9. Pembatasan Bahasan dan Sajian Bahasan

Dalam buku ini kita hanya akan membahas fungsi-fungsi dengan peubah

bebas tunggal sedangkan fungsi dengan banyak peubah bebas dibahas di

buku lain. Kita juga membatasi diri hanya pada bilangan nyata. Bilangan

kompleks belum akan kita bahas sehingga fungsi-fungsi kompleks tidak

dicakup oleh buku ini.

Bahasan dari Bab-2 mengenai fungsi linier sampai dengan Bab-16

mengenai persamaan diferensial dilakukan dalam pengertian koordinatsudut-siku. Koordinat polar dibahas pada Bab-17.


22/224

15

Bab 2

Fungsi Linier

2.1. Fungsi Tetapan

Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari −∞ sampai +∞.Kita tuliskan

k y = [2.1]

dengan k bilangan-nyata. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.2.1. berupa

garis lurus mendatar sejajar sumbu- x, dalam rentang nilai x dari −∞ sampai +∞.

-4

0

5

-5 0 5 x

y

y = 4

y = −3,5

Gb.2.1. Fungsi tetapan (konstan):

4= y dan 5,3−= y .

2.2. Fungsi Linier - Persamaan Garis Lurus

Persamaan (2.1) adalah satu contoh persamaan garis lurus yang

merupakan garis mendatar sejajar sumbu-x, dengan kurva sepertiterlihat pada Gb.2.1. Kurva yang juga merupakan garis lurus tetapi tidaksejajar sumbu- x adalah kurva yang memiliki kemiringan tertentu.

Kemiringan garis ini adalah perbandingan antara perubahan y terhadap

perubahan x, atau kita tuliskan

∆

∆==

" delta"

" delta" :dibaca ,kemiringan

x

y

x

ym (2.2)


23/224


Dalam hal garis lurus, rasio x

y

∆

∆ memberikan hasil yang sama di titik

manapun kita menghitungnya. Artinya suatu garis lurus hanya

mempunyai satu nilai kemiringan, yaitu yang diberikan oleh m padafungsi mx y = . Gb.2.2. berikut ini memperlihatkan empat contoh kurvagaris lurus yang semuanya melewati titik-asal [0,0] akan tetapi dengan

kemiringan yang berbeda-beda. Garis y = lebih miring dari x y 5,0= , garis x y 2= lebih miring dari x y = dan jauh lebih miring

dari x y 5,0= , dan ketiganya miring ke atas. Makin besar nilai m, garisakan semakin miring. Garis yang ke-empat memiliki m negatif −1,5 dania miring ke bawah (menurun).

Gb.2.2. Empat contoh kurva garis lurus mx y = .

Secara umum, persamaan garis lurus yang melalui titik-asal [0,0] adalah

mx y = (2.3)

dengan m menunjukkan kemiringan garis; makin besar nilai m garis akan

semakin miring. Jika m bernilai positif, garis miring ke atas (naik). Jika

m bernilai negatif, garis akan miring ke bawah (menurun).

2.3. Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis

Bagaimanakah persamaan garis lurus jika ia tidak melalui titik-asal [0,0]

melainkan memotong sumbu- y misalnya di titik [0,2]? Misalkan garis ini

memiliki kemiringan 2. Setiap nilai y pada garis ini untuk suatu nilai x,

sama dengan nilai y pada garis yang melalui [0,0], yaitu y = 2 x, ditambah

2. Oleh karena itu kita dapat menuliskan persamaa garis ini sebagai

22 += x y . Perhatikan Gb.2.3.

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

y = 0,5x y = x

y = 2x

y = -1,5 x


24/224

17

Gb.2.3. Garis lurus melalui titik [0,2], kemiringan 2.

Secara umum, persamaan garis dengan kemiringan m dan memotong

sumbu- y di [0,b] adalah

mxb y =− )( (2.4)

b bisa positif ataupun negatif. Jika b positif, maka garis tergeser ke arah

sumbu- y positif (ke atas) yang berarti garis memotong sumbu- y di atas

titik [0,0]. Jika b negatif, garis tergeser kearah sumbu- y negatif (ke

bawah); ia memotong sumbu- y di bawah titik [0,0]. Secara singkat, b

pada (2.4) menunjukkan pergeseran kurva y sepanjang sumbu- y.

Kita lihat sekarang garis yang memiliki kemiringan 2 dan memotong

sumbu- x di titik [a,0], misalnya di titik [1,0]. Lihat Gb.2.4.Dibandingkan dengan garis yang melalui titik [0,0] yaitu garis x y 2= ,

setiap nilai y pada garis ini terjadi pada ( x−1) pada garis x y 2= ; ataudengan kata lain nilai y pada garis ini diperoleh dengan menggantikan

nilai x pada garis x y 2= dengan ( x−1). Contoh: y = 2,8 pada garis initerjadi pada x = x1 dan hal ini terjadi pada )1( 1 −= x x pada kurva

x y 2= .

Gb.2.4. Garis lurus melalui titik [1,0].

x1 x1−1

y = 2 x

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4

0

=2( x –1)

y = 2 x

y = 2 x + 2

-4

-2

0

2

4 6

8

10

-1 0 1 2 3 4


25/224


Secara umum persamaan garis yang melalui titik [a,0] dengan

kemiringan m kita peroleh dengan menggantikan x pada persamaan

mx y = dengan ( x−a). Persamaan garis ini adalah

)( a xm y −= (2.5)

Pada persamaan (2.5), jika a positif garis mx y ==== tergeser ke arahsumbu- x positif (ke kanan); dan jika a negatif garis itu tergeser ke arah

sumbu- x negatif (ke kiri). Secara singkat a pada (2.5) menunjukkan

pergeseran kurva y sejajar sumbu- x.

Pada contoh di atas, dengan tergesernya kurva ke arah kanan dan

memotong sumbu- x di titik [1,0] ia memotong sumbu- y di titik [0,-2].

Suatu garis yang titik perpotongannya dengan kedua sumbu diketahui,

pastilah kemiringannya diketahui. Dalam contoh di atas, kemiringannya

adalah

21

2

1

)2(0========

−−−−−−−−========

ym

∆∆

dan persamaan garis adalah

22 −= x y (2.6)

Bandingkanlah persamaan ini dengan persamaan (2.4), dengan

memberikan m = 2 dan b = −2.Secara umum, persamaan garis yang memotong sumbu-sumbu koordinat

di [a,0] dan [0,b] adalah

a

bmbmx y −=+= dengan (2.7)

Contoh:

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4

y

0

garis memotong sumbu x di 2,

dan memotong sumbu y di 4

Persamaan garis: 4242

4+−=+−= x x y


26/224

19

Bagaimanakah persamaan garis lurus yang tidak terlihat perpotongannya

dengan sumbu-sumbu koordinat? Persamaan garis demikian ini dapat

dicari jika diketahui koordinat dua titik yang ada pada garis tersebut.

Lihat Gb.2.5.

Pada Gb.2.5. kemiringan garis dengan mudah kita peroleh, yaitu

)(

)(

12

12

x x

y y

x

ym

−

−=

∆

∆= (2.8)

Gb.2.5. Garis lurus melalui dua titik.

Persamaan (2.8) ini harus berlaku untuk semua garis yang melalui dua

titik yang diketahui koordinatnya. Jadi secara umum harus berlaku

12

12

x x

y ym

−

−= (2.9)

Dengan demikian maka persamaan garis yang memiliki kemiringan ini

adalah

x x x y ymx y

11

12

−−== (2.10)

Persamaan (2.10) inilah persamaan garis lurus melalui titik asal dan

sejajar dengan garis melalui dua titik ( x1, y1) dan ( x2,y2).

Contoh: Carilah persamaan garis yang melalui dua titik P(5,7)dan Q(1,2).

[ x1, y1]

[ x2, y2]

-4

-2

0

2

4

6

8

-1 0 1 3x

y

2


27/224


Kemiringan garis ini adalah 25,115

27=

−

−=

−

−=

Q p

Q P

x x

y y y

Garis dengan kemiringan ini dan melalui titik asal adalah x y 25,1=

Perhatikan bahwa persamaan ini adalah persamaan garis yangmelalui titik asal, dan sejajar dengan garis yang melalui titik

P(5,7) dan Q(1,2) . Kita masih harus mencari perpotongannya

dengan salah satu sumbu agar kita dapatkan persamaan garis yang

melalui titik P dan Q tersebut. Untuk itu kita perhatikan hal

berikut lebih dulu.

Kita bisa melihat secara umum, bahwa kurva suatu fungsi

)( x f y =

akan tergeser sejajar sumbu- x sebesar x1 skala jika x diganti dengan ( x − x1), dan tergeser sejajar sumbu- y sebesar y1 skala jika y diganti dengan ( y

− y1)

)( x f y = menjadi )( 1 x x f y −= atau )(1 x f y y =− (2.11)

Walaupun (2.11) diperoleh melalui pembahasan fungsi linier, namun ia berlaku pula untuk fungsi non linier . Fungsi non linier memberikan

kurva garis lengkung yang akan kita pelajari dalam bab-bab selanjutnya.

Contoh:

+ 2 = 2 x (pergeseran –2

searah sumbu- y) y = 2 x

-4

-2

24

6

8

-1 0 1 2 3 4

0

kurva semula

atau

= 2( x – 1) (pergeseran +1

searah sumbu- x)


28/224

21

Contoh: Kita kembali pada contoh sebelumnya, yaitu persamaan

garis yang melalui titik P(5,7) dan Q(1,2). Persamaan garis

seharusnya adalah xb y 25,1=− atau )(25,1 a x y −= . Nilai a dan

b dapat kita peroleh jika kita masukkan koordinat titik yangdiketahui, misalnya P(5,7). Dengan memasukkan koordinat titik

ini kita dapatkan persamaan 525,17 ×=− b atau )5(25,17 a−= .

Dari sini kita akan mendapatkan nilai a = −0,6 dan juga b = 0,75sehingga persamaan garis yang melalui titik P(5,7) dan Q(1,2)

dapat diperoleh, yaitu x y 25,175,0 =− atau )6,0(25,1 += x y .Garis ini memotong sumbu- y di +0,75 dan memotong sumbu- x di

−0,6.

2.4. Perpotongan Garis

Dua garis lurus

111 b xa y += dan 222 b xa y +=

berpotongan di titik P sehingga koordinat P memenuhi 21 y y =

2 p21P1 b xab xa +=+

sehingga

2P2P1P1P

21

12P

atau b xa yb xa y

aa

bb x

+=+=⇒

−−=⇒

(2.12)

Contoh:

Titik potong dua garis 84dan32 21 −=+= x y x y

112843221 =→−=+→= x x x y y

5,52

11P == x ; 1435,5232P =+×=+= x y

atau 1485,54P =−×= y

Jadi titik potong adalah 14]P[(5,5), . Perhatikan Gb.2.6. berikut

ini.


29/224


Gb.2.6. Perpotongan dua garis.

Jika kedua garis memiliki kemiringan yang sama sudah barang tentu kita

tak akan memperoleh titik potong karena mereka sejajar; dikatakan juga

mereka berpotongan di ∞.

Contoh: Dua garis 84dan34 21 −=+= x y x y adalahsejajar.

2.5. Pembagian Skala Pada Sumbu Koordinat

Pada penggambaran kurva-kurva di atas, panjang per skala kedua sumbu

koordinat tidak sama. Apabila panjang per skala dibuat sama kita akanmemiliki kemiringan garis

θ= tanm (2.13)

dengan θ adalah sudut yang dibentuk oleh garis lurus dengan sumbu- x atau dengan garis mendatar, seperti pada Gb.2.7.

Gb.2.7. Panjang per skala sama di sumbu- x dan y.

-30

-20

-10

0

10

20

30

-10 -5 0 5 10

y

P ⇒ Koordinat P memenuhi persamaan y1 maupun y2.

y2

y1

−5

y

x||

−

−

5

5θ= tanm

θ


30/224

23

Sesungguhnya formulasi (2.13) berlaku umum, baik untuk pembagian

skala di kedua sumbu koordinat sama besar ataupun tidak. Namun jika

pembagian skala tersebut sama besar, sudut θ yang terlihat dalam grafik

menunjukkan kemiringan garis sebenarnya; jika pembagian tidak sama besar sudut θ yang terlihat pada grafik bukanlah sudut sebenarnyasehingga sudut θ sebenarnya harus dihitung dari formula (2.13) dan

bukan dilihat dari grafik.

2.6. Domain, Kekontinyuan, Simetri

Pada fungsi linier ba xm y +−= )( , peubah y akan selalu memiliki nilai,

berapapun x. Peubah x bisa bernilai dari −∞ sampai +∞. Fungsi ini juga

kontinyu dalam rentang tersebut.

Kurva fungsi mx y = simetris terhadap titik asal [0,0] karena fungsi ini

tak berubah jika y diganti dengan − y dan x diganti dengan − x.

2.7. Contoh-Contoh Fungsi Linier

Contoh-contoh fungsi linier berikut ini mamberikan gambaran bahwa

fungsi linier dengan kurva yang kita gambarkan berbentuk garis lurus,

merupakan bentuk fungsi yang biasa kita jumpai dalam praktik rekayasa.

1). Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan

memperoleh percepatan.

ma F = ; a adalah percepatan

Jika tidak ada gaya lain yang melawan F , maka dengan percepatan a

benda akan memiliki kecepatan sebagai fungsi waktu sebagai

at vt v += 0)(

v kecepatan gerak benda, v0 kecepatan awal, t waktu. Jika kecepatanawal adalah nol maka kecepatan gerak benda pada waktu t adalah

at t v =)(

2) Dalam tabung katoda, jika beda tegangan antara anoda dan katoda

adalah V , dan jarak antara anoda dan katoda adalah l maka antara

anoda dan katoda terdapat medan listrik sebesar


31/224


l

V E =

Elektron yangmuncul di

permukaan katodaakan mendapat

percepatan dari

adanya medan

listrik sebesar

eE a =

a adalah percepatan yang dialami elektron, e muatan elektron, E

medan listrik. Jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan waktutempuh dari anoda ke katoda adalah t , maka kecepatan elektron pada

waktu mencapai katoda adalah

at vk =

3) Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada

posisi semula jika tarikan yang dilakukan masih dalam batas

elastisitas pegas. Gaya yang diperlukan untuk menarik pegassepanjang x merupakan fungsi linier dari x.

kx F =

dengan k adalah konstanta pegas.

4) Dalam sebatang logam sepanjang l , akan mengalir arus listrik sebesar i

jika antara ujung-ujung logam diberi perbedaan tegangan sebesar V .

Arus yang mengalir merupakan fungsi linier dari tegangan dengan

relasi

V GV i == , dengan G

1=

G adalah tetapan yang disebut konduktansi listrik dan R disebut

resistansi listrik.Persamaan ini juga bisa dituliskan

iRV = yang dikenal sebagai relasi hukum Ohm dalam kelistrikan.

Jika penampang logam adalah A dan rata sepanjang logam, maka

resistansi dapat dinyatakan dengan

l R

ρ=

]]]] anoda katoda

l


32/224

25

ρ disebut resistivitas bahan logam.

Kerapatan arus dalam logam adalahi

j = dan dari persamaan di

atas kita peroleh

E l

V

RA

V

A

i j σ=

ρ===

1

dengan l V E /= adalah kuat medan listrik dalam logam, ρ=σ /1adalah konduktivitas bahan logam.

Secara infinitisimal kuat medan listrik adalah gradien potensial atau

gradien dari V yang kita tuliskandx

dV E = . Mengenai pengertian

gradien akan kita pelajari di Bab-9.

5). Peristiwa difusi. Secara thermodinamis, faktor pendorong untuk

terjadinya difusi,

yaitu penyebaran

materi menembus

materi lain, adalahadanya perbedaan

konsentrasi. Situasi

ini analog dengan

peristiwa aliran

muatan listrik di mana

faktor pendorong

untuk terjadinya aliran muatan adalah perbedaan tegangan.

Analog dengan peristiwa listrik, fluksi materi yang berdifusi dapat

kita tuliskan sebagai

dx

dC D J x −=

D adalah koefisien difusi, dC/dx adalah variasi konsentrasi dalam

keadaan mantap di mana C 0 dan C x bernilai konstan. Relasi ini

disebut Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa

fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradienkonsentrasi; dengan kata lain fluksi materi yang berdifusi merupakan

fungsi linier dari gradien konsentrasi.

xa x

C a

C x

materi masuk

di xa materi keluar

di x

∆ x


33/224


Berikut ini tersaji soal-soal untuk latihan. Soal-soal ini hanya berkenaan

dengan kurva garis lurus. Namun dengan contoh-contoh di atas kita

menyadari bahwa fungsi linier bukan hanya sekedar pernyataan suatu

garis lurus melainkan suatu bentuk fungsi yang banyak dijumpai dalam praktik rekayasa.

Soal-Soal

1. Tentukan persamaan garis-garis yang membentuk sisi segi-limayang tergambar di bawah ini.

2. Carilah koordinat titik-titik potong dari garis-garis tersebut padasoal nomer-1 di atas.

3. Carilah persamaan garis yanga) melalui titik asal (0,0) dan sejajar garis y2;

b) melalui titik asal (0,0) dan sejajar dengan garis y3.

4. Carilah persamaan garis yang melalui

a) titik potong y1 − y2 dan titik potong y3 – y4 ; b) titik potong y3 − y4 dan titik potong y1 – y5 ;c) titik potong y1 − y2 dan titik potong y4 – y5.

5. Carilah persamaan garis yanga) melalui titik potong y1 – y5 dan sejajar dengan garis y2 ;

b) melalui titik potong y4 – y5 dan sejajar dengan garis y1.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y1 y2

y3

y4

y5

y

x


34/224

27

Bab 3

Gabungan Fungsi Linier

Fungsi-fungsi linier banyak digunakan untuk membuat model dari

perubahan-perubahan besaran fisis. Perubahan besaran fisis mungkin

merupakan fungsi waktu, temperatur, tekanan atau yang lain. Artinya

waktu, temperatur, tekanan dan lainnya itu menjadi peubah bebas, x,

sedangkan besaran fisis yang tergantung padanya merupakan peubah tak

bebas, y.

Pada umumnya perubahan besaran fisis terjadi secara tidak linier. Jikadalam batas-batas tertentu perubahan tersebut dapat dianggap linier,

besaran fisis tersebut dapat dimodelkan dengan memanfaatkan fungsi-

fungsi linier dan model ini kita sebut model linier dari besaran fisis

tersebut. Fungsi-fungsi berikut ini biasa dijumpai dalam analisis

rangkaian listrik.

3.1. Fungsi Anak Tangga

Fungsi tetapan membentang pada nilai x dari −∞ sampai +∞. Jika kitamenginginkan fungsi bernilai konstan yang muncul pada x = 0 dan

membentang hanya pada arah x positif, kita memerlukan fungsi lain yang

disebut fungsi anak tangga satuan yang didefinisikan bernilai nol untuk

x < 0, dan bernilai satu untuk x ≥ 0 dan dituliskan sebagai )( xu . Jadi

0untuk0

0untuk1)(


35/224


-4

0

5

-5 0 5 x

y

y = 3,5 u( x )

y = −2,5 u( x )

Gb.3.1. Fungsi anak tangga.

Fungsi anak tangga seperti (3.2) dikatakan mulai muncul pada x = 0 dan

k disebut amplitudo. Kita lihat sekarang fungsi anak tangga yang barumuncul pada x = a. Ini tidak lain adalah fungsi anak tangga tergeser.

Fungsi demikian ini dinyatakan dengan mengganti peubah x dengan

)( a x − . Dengan demikian maka fungsi anak tangga

)( a xku y −= (3.3)

merupakan fungsi yang mulai muncul pada x = a dan disebut fungsi anak

tangga tergeser dengan pergeseran sebesar a. Jika a positif fungsi ini

bergeser ke arah positif sumbu- x dan jika negatif bergeser ke arah negatif

sumbu- x. Gb.3.2. memperlihatkan kurva fungsi seperti ini.

-4

0

5

-5 0 5 x

y

y = 3,5 u( x −1)

1

Gb.3.2. Kurva fungsi anak tangga tergeser.

Perhatikanlah bahwa fungsi anak tangga memiliki nilai yang terdefinisi

di x = 0. Oleh karena itu fungsi ini kontinyu di x = 0, berbeda denganfungsi y = 1/ x yang tidak terdefinisi di x = 0 (telah disinggung di Bab-1).


36/224

29

3.2. Fungsi Ramp

Telah kita lihat bahwa fungsi y = ax berupa garis lurus dengan

kemiringan a, melalui titik [0,0], membentang dari x = -∞ sampai x = +∞.Fungsi ramp terbentuk jika persamaan garis tersebut bernilai nol untuk x

< 0, yang dapat diperoleh dengan mengalikan ax dengan fungsi anak

tangga satuan u( x) (yang telah didefisisikan lebih dulu bernilai nol untuk

x < 0). Jadi persamaan fungsi ramp adalah

)( xaxu y = (3.4)

Jika kemiringan a = 1, fungsi tersebut menjadi fungsi ramp satuan.

Fungsi ramp tergeser adalah)()( g xu g xa y −−= (3.5)

dengan g adalah pergeserannya. Perhatikanlah bahwa pada (3.5)

bagian )(1 g xa y −= adalah fungsi linier tergeser sedangkan

)(2 g xu y −= adalah fungsi anak tangga satuan yang tergeser. Gb.3.3.

memperlihatkan kurva fungsi ramp satuan )(1 x xu y = , fungsi ramp

)(22 x xu y = , dan fungsi ramp tergeser )2()2(5,13 −−= xu x y .

Gb.3.3. Ramp satuan y1 = xu( x), ramp y2 = 2 xu( x),

ramp tergeser y3 = 1,5( x-2)u( x-2).

3.3. Pulsa

Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu nilai x1 tertentu dan

menghilang pada x2> x1. Bentuk pulsa ini dapat dinyatakan dengan

gabungan dua fungsi anak tangga, yang memiliki amplitudo sama tetapi

0

1

2

3

4

5

6

-1 0 1 2 3 4 x

y

y1 = xu( x)2 = 2 xu( x)

3 = 1,5( x-2)u( x-2)


37/224


berlawanan amplitudo dan berbeda pergeserannya. Persamaan umumnya

adalah

)()( 21 x xau x xau y −−−= (3.6)

x1 menunjukkan pergeseran fungsi anak tangga yang pertama dan x2

adalah pergeseran fungsi anak tangga yang ke-dua, dengan x2 > x1.

Penjumlahan kedua fungsi anak tangga inilah yang memberikan bentuk

pulsa, yang muncul pada x = x1 dan menghilang pada x = x2. Selisih

)( 12 x x − disebut lebar pulsa

12 x x pulsalebar −= (3.7)

Gb.3.4. memperlihatkan pulsa dengan amplitudo 2, yang muncul pada x

= 1 dan menghilang pada x = 2, yang persamaannya adalah

{ })2()1(2 )2(2)1(2

−−−=

−−−=

xu xu

xu xu y

Gb.3.4. Fungsi pulsa 2u( x-1)-2u( x-2)

Apa yanga berada dalam tanda kurung pada persamaan terakhir ini, yaitu

{ })2()1( −−−=′ xu xu y , adalah pulsa beramplitudo 1 yang muncul pada x = 1 dan berakhir pada x = 2. Secara umum pulsa beramplitudo A yang

muncul pada x = x1 dan berakhir pada x = x2 adalah

{ })()( 21 x xu x xu A y −−−=′ ; lebar pulsa ini adalah ( x2 – x1).

Contoh lain: Pulsa yang muncul pada x = 0, dengan lebar pulsa 3

dan amplitudo 4, memiliki persamaan { })3()(4 −−= xu xu y .

y1=2u( x-1)

y2=-2u( x-2)

y1+ y2= 2u( x-1)-2u( x-2)

lebar

pulsa

-2

-1

0

1

2

-1 0 1 2 3 4 x


38/224

31

Fungsi pulsa memiliki nilai hanya dalam selang tertentu yaitu sebesar

lebar pulsanya, )( 12 x x − , dan di luar selang ini nilanya nol. Oleh karenaitu fungsi apapun yang dikalikan dengan fungsi pulsa, akan memiliki

nilai hanya dalam selang di mana fungsi pulsanya juga memiliki nilai.

Dalam praktek, fungsi pulsa terjadi berulang secara periodik. Gb.3.5.

memperlihatkan deretan pulsa

Gb.3.5. Deretan Pulsa.

Peubah x biasanya adalah waktu. Selang waktu di mana pulsa muncul

biasa diberi simbol t on sedangkan selang waktu di mana ia menghilang

diberi simbol t off . Satu perioda T = t on + t off . Nilai rata-rata deretan pulsa

adalah

makson

rr y

T

t y = pulsa (3.8)

dengan ymaks adalah amplitudo pulsa.

3.4. Perkalian Ramp dan Pulsa.

Persamaan umumnya adalah

{ } )()()( 21 x xu x xu A xmxu y −−−×= (3.9)

dengan m dan A berturut-turut adalah kemiringan kurva ramp danamplitudo pulsa. Persamaan (3.9) dapat kita tulis

{ })()( 21 x xu x xumAx y −−−=

Perhatikan bahwa 1)( = xu karena ia adalah fungsi anak tangga satuan.

Gb.3.6. memperlihatkan perkalian fungsi ramp )(21 x xu y = dengan

fungsi pulsa { })3()1(5,12 −−−= xu xu y yang hanya memiliki nilaiantara x = 1 dan x = 3. Perhatikan bahwa hasil kalinya hanya memiliki

perioda

y


39/224


nilai antara x = 1 dan x = 3, dengan kemiringan yang merupakan hasil

kali antara amplitudo pulsa dengan kemiringan ramp.

{ }{ })3()1(3 )3()1(5,1)(2

213−−−=

−−−×==

xu xu x

xu xu x xu y y y

Gb.3.6. Perkalian fungsi ramp y1 dan pulsa y2.

Perkalian fungsi ramp )(1 xmxu y = dengan pulsa { })()(12 b xu xu y −−= membentuk fungsi gigi gergaji { })()()1( b xu xu xm y −−×= yangmuncul pada t = 0 dengan kemiringan m dan lebar b. (Gb.3.7).

Gb.3.7. Kurva gigi gergaji

Seperti halnya pada pulsa, fungsi gigi gergaji biasanya terjadi secara periodik, dengan perioda T , seperti terlihat pada Gb.3.8.

Nilai rata-rata fungsi gigi gergaji adalah

2gergaji-gigi maksrr

y y = (3.10)

y1=2 xu( x)

y2=1,5{u( x-1)-u( x-3)}

y3 = y1 y2

0

2

4

6

8

10

-1 0 1 2 3 4 5 x

0

2

4

6

8

10

-1 0 1 2 3 4 5 x

y y

xb

y2={u( x)-u( x-b)}

y1=mxu( x)

y3 = y1 y2 =mx{u( x)-u( x-b)}


40/224

33

dengan ymaks adalah nilai puncak gigi gergaji.

Gb.3.8. Gigi gergaji terjadi secara periodik.

3.5. Gabungan Fungsi Ramp

Penjumlahan fungsi ramp akan berbentuk

.......)()(

)()()(

22

11

+−−+

−−+=

x xu x xc

x xu x xb xaxu y (3.11)

Kita ambil contoh penjumlahan dua fungsi ramp, )(21 x xu y = dan

)2()2(22 −−−= xu x y seperti terlihat pada Gb.3.9. Gabungan duafungsi ramp ini akan memiliki nilai konstan mulai dari x = 2, karena

mulai dari titik itu jumlah kedua fungsi adalah nol sehingga fungsi

gabungan akan bernilai sama dengan nilai fungsi yang pertama pada saatmencapai x = 2.

Gb.3.9. Gabungan ramp y1 dan ramp tergeser y2.

Gb.3.10. memperlihatkan kurva gabungan dua fungsi ramp, )(21 x xu y =

dan )2()2(4 −−−= xu x y . Di sini, fungsi kedua memiliki kemiringan

0

2

4

6

0 1 2 3 4 5

y

x

-8

-6

-4

-20

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5x

y

y1=2 xu( x)

y2= −2( x−2)u( x−2)

y3= 2 xu( x)−2( x−2)u( x−2)

y


41/224


negatif dua kali lipat dari kemiringan positif fungsi yang pertama. Oleh

karena itu fungsi gabungan y3 = y1 + y2 akan menurun mulai dari x = 2.

Gb.3.10. Gabungan ramp y1 dan ramp tergeser y2.

Apabila fungsi gabungan ini kita kalikan dengan fungsi pulsa

)3()1( −−−= xu xu y pulsa akan kita peroleh bentuk kurva seperti

terlihat pada Gb.3.11.

Gb.3.11. Kurva {2 xu( x)−4 xu( x− 2)}{u( x-1)-u( x-3)}

Gabungan fungsi ramp dapat digunakan untuk menyatakan bentuk

gelombang segitiga seperti terlihat pada Gb.3.12.

Gb.3.12. Gelombang segitiga.

x

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5 5

y1=2 xu( x)

y2= −4( x-2)u( -2)

y3= {2 xu( x)−4( x-2)u( x-2)}{u( x-1)-u( x-3)}

y1=2 xu( x)

y2= −4( x−2)u( x− 2)

y3= 2 xu( x)−4( x−2)u( x− 2)

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5


42/224

35

Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banyak kita jumpai dalam

bentuk gelombang sinyal di rangkaian listrik, terutama elektronika.

Rangkaian elektronika yang membangkitkan gelombang gigi gergaji

misalnya, kita jumpai dalam osciloscope.


Fungsi anak tangga satuan yang tergeser )( a xu y −= hanya mempunyai

nilai untuk x ≥ a. Oleh karena itu semua bentuk fungsi yang dikalikandengan fungsi anak tangga ini juga hanya memiliki nilai pada rentang x ≥ a. Dalam rentang ini pula fungsi anak tangga kontinyu.

Fungsi anak tangga tidak memiliki sumbu simetri. Hanya fungsi yang

memiliki sumbu- x sebagai sumbu simetri yang akan tetap simetristerhadap sumbu- x apabila dikalikan dengan fungsi anak tangga satuan

yang tergeser.


43/224


Soal-Soal

Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banyak kita jumpai pada

bentuk gelombang sinyal dalam rangkaian listrik.

1. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk kurva fungsi anaktangga berikut ini :

a) y1: ymaks = 5, muncul pada x = 0.

b) y2: ymaks = 10 , muncul pada x = 1.

c) y3: ymaks = −5 , muncul pada x = 2.

2. Dari fungsi-fungsi di soal nomer 3, gambarkanlah kurva fungsi berikut ini.

3216315214 c). ; b). ;a). y y y y y y y y y y ++=+=+=

3. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk pulsa berikut ini :a). Amplitudo 5, lebar pulsa 1, muncul pada x = 0.

b). Amplitudo 10, lebar pulsa 2, muncul pada x=1.

c). Amplitudo −5, lebar pulsa 3, muncul pada x=2.

4. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik yang berupa deretan pulsa dengan amplitudo 10, lebar pulsa 20, perioda 50.

5. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik gigi gergaji denganamplitudo 10 dan perioda 0,5.

6. Tentukan persamaan siklus pertamadari kurva periodik yang

digambarkan di samping ini.

7. Tentukan persamaan siklus pertama

dari bentuk kurva periodik yangdigambarkan di samping ini.

5

−3

0

y

erioda

1 2 3 4 5 6

−5

0

y

erioda

5

1 2 3 4 5 6


44/224

37

Bab 4

Mononom dan Polinom

Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kxn, dengan k

adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol.

Fungsi polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Berikut ini

beberapa contoh fungsi polinom dalam bentuk eksplisit

5

10

)5(

735

4

3

222

231

==

−=

+−+=

y

x y

x y

x x x y

Contoh yang pertama, y1, adalah fungsi polinom berpangkat tiga, yaitu

pangkat tertinggi dari peubah bebas x. Contoh ke-dua, y2, adalah fungsi

berpangkat empat. Contoh y3 dan y4 adalah fungsi mononom berpangkat

satu dan berpangkat nol yang telah kita kenal sebagai fungsi linier dan

fungsi tetapan yang memiliki kurva berbentuk garis lurus.

4.1. Mononom

Mononom Pangkat Dua. Mononom pangkat dua kita pandang sebagai

fungsi genap, kita tuliskan

2kx y = (4.1)

Karena x di-kuadratkan, maka mengganti x dengan − x tidak akanmengubah fungsi. Kurva akan simetris terhadap sumbu- y. Nilai y hanya

akan negatif manakala k negatif.

Kita ingat bahwa pada fungsi linier kx y = nilai k merupakankemiringan dari garis lurus. Jika k positif maka garis akan naik ke arah

positif sumbu- x, dan jika negatif garis akan menurun. Jika k makin besar

kemiringan garis makin tajam.

Pada fungsi mononom pangkat dua, kurva akan berada di atas sumbu- x

jika k positif dan akan berada di bawah sumbu- x jika k negatif . Jika k

makin besar lengkungan kurva akan semakin tajam. Gb. 4.1.

memperlihatkan kurva fungsi (4.1) untuk tiga macam nilai positif k .


45/224


Makin besar nilai k akan membuat lengkungan kurva makin tajam.

Perhatikanlah bahwa pada x = 1, nilai y sama dengan k .

Gb.4.1. Kurva fungsi 2kx y = dengan k positif.

Gb.4.2 memperlihatkan bentuk kurva jika k bernilai negatif. Jika kurva

dengan nilai k positif menunjukkan adanya nilai y minimum, yaitu pada

titik [0,0], kurva untuk k negatif menunjukkan adanya nilai y maksimum

pada titik [0,0].

-100

-80

-60

-40

-20

0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y = −2x2

y = −10x2 y

x

Gb.4.2. Kurva fungsi 2kx y = dengan k negatif.

Peninjauan pada fungsi polinom akan kita lakukan pada k yang positif;

kita akan melihat bagaimana jika kurva ini digeser. Pergeseran kurva

sebesar a skala sejajar sumbu- x diperoleh dengan menggantikan peubah x

dengan ( x − a), dan pergeseran sejajar sumbu- y sebesar b skala diperolehdengan mengganti y dengan ( y − b). Dengan demikian persamaanmononom pangkat dua yang tergeser menjadi

2

)()( a xk b y −=− (4.3)

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

-3 -2 -1 0 1 2 3

y = x2

y = 3 x2 y = 5 x

2 y


46/224

39

Kurva fungsi seperti ini diperlihatkan pada Gb.4.3. untuk a = 0 dan b = 0,

a = 2 dan b = 0, serta a = 2 dan b = 30. Untuk nilai-nilai ini, dengan k =

10, persamaan dapat kita tuliskan menjadi

21 10 x y = 2

2 )2(10 −= x y

30)2(10 23 +−= x y

Gb.4.3. Pergeseran kurva mononom pangkat dua.

Perhatikanlah bahwa y2 adalah pergeseran dari y1 ke arah positif sumbu- x sebesar 2 skala; y3 adalah pergeseran dari y2 ke arah positif sumbu- y

sebesar 30 skala. Bentuk lengkungan kurva tidak berubah.

Mononom Pangkat Genap. Mononom pangkat genap yang lain adalah

berpangkat 4, 6 dan seterusnya. Semua mononom pangkat genap akan

membentuk kurva yang memiliki sifat seperti pada mononom pangkat

dua yaitu simetris terhadap sumbu- y, berada di atas sumbu- x jika k

positif dan berada di bawah sumbu- x jika k negatif. Gb.4.4.

memperlihatkan perbedaan bentuk kurva mononom pangkat genap yang

memiliki koefisien k sama besar.

Kita lihat pada Gb.4.4. bahwa makin tinggi pangkat mononom makin

cepat nilai y bertambah namun hal ini hanya terlihat mulai dari x = 1.

Pada nilai x lebih kecil dari satu, kurva makin landai jika pangkat makin

tinggi. Dengan kata lain lengkungan makin kurang tajam. Hal ini dapat

dimengerti karena pangkat bilangan pecahan bernilai makin kecil jika

pangkat makin besar.

0

50

100

-5 -3 -1 1 3 5 x

y1 = 10 x2

y2 = 10( x−2)2

y3 = 10( x−2)2 + 30


47/224


Gb.4.4. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien

sama.

Telah kita ketahui dalam kasus mononom pangkat dua, bahwa jika

koefisien k makin besar lengkungan menjadi makin tajam. Hal yang

sama terjadi juga pada kurva mononom pangkat genap yang lebih tinggi.

Gb.4.5. memperlihatkan kurva mononom pangkat genap dengan

koefisien yang yang meningkat dengan meningkatnya pangkat.

Gb.4.5. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien tak sama.

Pada Gb.4.5 terlihat bahwa makin besar k , nilai y juga makin cepat

meningkat. Kecepatan peningkatan y dengan koefisien yang lebih besar

sudah mulai terjadi pada nilai x kurang dari satu. Gejala kelandaian padanilai x yang kecil tetap terlihat.

Kurva-kurva pada Gb.4.5 adalah kurva mononom dengan koefisien yang

makin besar pada pangkat yang makin besar. Bila koefisien makin

kecilpada pangkat yang makin besar, situasi yang akan terjadi adalah

seperti terlihat pada Gb.4.6 berikut ini.

0

1

2

3

4

5

6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

3 = 2 x2

2 = 3 x4

1 = 6 x6 y

x

y2 = 2 x4

y3 = 2 x6

y1 = 2 x2

0

1

2

3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5


48/224

41

Gb.4.6. Kurva mononom pangkat genap dengan

koefisien yang makin rendah pada mononom berpangkat tinggi.

Kelandaian kurva pangkat tinggi tetap terjadi pada nilai x yang kecil.Kurva pangkat tinggi baru akan menyusul kurva berpangkat rendah pada

nilai x > 1; perpotongan dengan kurva dari fungsi yang berpangkat

rendah terjadi pada nilai y yang besar.

Contoh Fungsi Mononom Pangkat Dua. Kita ambil beberapa contoh

peristiwa fisis.1). Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan

memperoleh percepatan a sehingga kecepatan benda sebagai fungsi

waktu (apabila kecepatan awal adalah nol) dapat dinyatakan sebagai

at t v =)(

(lihat contoh fungsi linier sub-bab-2.7).

Jarak yang ditempuh mulai dari titik awal adalah

2

2

1)( at t s =

2). Dalam tabung katoda, jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan

waktu tempuh dari anoda ke katoda adalah t , maka kecepatan

elektron pada waktu mencapai katoda adalah

at vk =

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y = x6

= 3 x4

= 6 x2


49/224


(lihat contoh fungsi linier sub-bab-2.7).

Waktu tempuh dapat dihitung dari formula2

2

1)( at t s = , di mana s(t )

= l .

3). Dalam teori atom, di mana elektron dipandang sebagai gelombang,

fungsi gelombang dari elektron-bebas dibawah pengaruh medan

sentral adalah r jek =ψ dengan k adalah vektor bilangan gelombang

yang searah dengan rambatan gelombang.λ

π=

2k , λ : panjang

gelombang

Energi kinetik elektron sebagai

gelombang, E k , adalah

ek

m

k E

2

22h

=

me massa electron, h suatu konstanta.

E k dan k memiliki relasi mononomial

pangkat dua

(Dari Bab-8, ref. [4])

Mononom Pangkat Ganjil . Pangkat ganjil paling kecil adalah 1 dan

dalam hal demikian ini kita mendapatkan persamaan garis kx y = .Pangkat ganjil berikutnya adalah 3, 5, 7 dan seterusnya. Gb.4.5.

memperlihatkan kurva fungsi mononom berpangkat ganjil.

Kurva fungsi mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik asal. Ia

bernilai positif untuk x positif dan bernilai negatif untuk x negatif. Makin

tinggi pangkat mononom makin cepat perubahan nilai y untuk x > 1.

]]]] anoda katoda

l

k

E k


50/224

43

Untuk x < 1 kurva makin landai yang berarti makin tajam

“pembengkokan” garis lurus yang terjadi di dalam rentang 11 ≤≤− x .

Gb.4.5. Kurva fungsi mononom pangkat ganjil.

Apabila peningkatan pangkat disertai juga dengan peningkatan koefisien

k , perpotongan kurva dengan garis kx y = bisa terjadi pada nilai x < 1.

4.2. Polinom Pangkat Dua

Fungsi polinom pangkat dua berbentuk

cbxax y ++=2

(4.4)Berikut ini kita akan melihat apa yang terjadi pada proses penambahan

mononom demi mononom. Untuk penggambaran kurva masing-masing

mononom dalam tinjauan fungsi (4.4) diambil semua koefisien mononom

positif. Dengan mengambil nilai-nilai a = 2, b = 15, dan c = 13, kurva

masing-masing mononom diperlihatkan pada Gb.4.6.

Gb.4.6. Kurva masing-masing mononom dari fungsi kuadrat.

y1=2 x2

y3=13

y2=15 x

-150

0

150

-10 0

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y = 2 x y = 2 x5

y = 2 x3


51/224


Jika kurva y2 = 15 x ditambahkan pada y1 = 2 x2 maka kurva y1 akan

bertambah tinggi di sebelah kanan titik [0,0] dan menjadi rendah di

sebelah kiri titik [0,0] seperti terlihat pada Gb.4.7.a.

(a)

(b)

(c)

Gb.4.7. Penjumlahan y1 = 2 x2 , y2 = 15 x, dan y3 = 13

y4 = 2 x

2

+15 x

x

y

-150

0

150

-10 0

sumbu simetri y5 = 2 x2+15 x+13

y4=2 x2+15 x

−15 / 2 x

y

-150

0

150

-10 0

sumbu simetri

−15 / 4

1=2 x2

y4=2 x2+15 x

x

y

y2=15 x

-150

0

150

-10 0

x = −15/2


52/224

45

Karena x y 152 = melalui titik [0,0] dan y1 = 2 x2

juga melalui titik [0,0]

maka penjumlahan kedua kurva akan memberikan kurva

x x y y y 152 2214 +=+= (4.5)

yang juga melalui titik [0,0]. Selain di x = 0 kurva penjumlahan ini juga

memotong sumbu- x di 2/15−= x karena dua titik ini (yaitu x = 0 dan

2/15−= x ) memenuhi persamaan 0152 23 =+= x x y . Kurva ini

memiliki sumbu simetri yang memotong sumbu- x di 4/15−= x sepertiterlihat pada Gb.4.7.b. Jika kemudian tetapan 13 ditambahkan pada y4

tebentuklah

13152 25 ++= x x y (4.6)

yang merupakan pergeseran dari y4 ke arah positif sumbu- y sebesar 13skala, seperti terlihat pada Gb.4.7.c.

Kita lihat sekarang bentuk umum fungsi pangkat dua (4.4)

cbxax y ++= 2

yang dapat kita tuliskan sebagai

a

acb

a

b xa

ca

b

a

b xac x

a

b xa y

4

4

2

42

22

222

−−

+=

+−

+=+

+=

(4.7)

Kurva dari fungsi (4.7) ini dapat kita fahami sebagai berikut: kurva y

adalah kurva y = ax2 yang tergeser sejajar sumbu- x sejauh

a

b

2−

kemudian tergeser lagi sejajar sumbu- y sejauh

−−

a

acb

4

42.

Perhatikan Gb.4.8.


53/224


Gb.4.8. Pergeseran kurva y = ax2 sejajar sumbu- x ke kiri

sejauh

– b/ 2a kemudian tergeser lagi sejajar sumbu- y ke bawah

sejauh –(b2−4ac)/4a.

Sumbu simetri terletak pada

a

b x

2

−= dan kurva memotong sumbu- x di

sebelah kiri dan kanan sumbu simetri ini, yaitu di x1 dan x2 . Dari

persamaan (4.7) kita dapatkan

04

4

2

22

=−

−

+=

a

acb

a

b xa y →

a

acb

a

b xa

4

4

2

22 −=

+

→2

22

4

4

2 a

acb

a

b x

−=

+ →

2

2

4

4

2 a

acb

a

b x

−±=

+

a

acb

a

b x x

2

4

2,

2

21−

±−= (4.8)

yang kita kenal sebagai akar-akar persamaan kuadrat.

Keadaan kritis terjadi pada waktu kurva fungsi kuadrat bersinggungan

dengan sumbu- x; dua akar nyata dari persamaan kuadrat menjadi sama

besar. Hal ini terjadi jika pergeseran sejajar sumbu- y bernilai nol

-50

0

0

y = ax2+bx +c

1 x2

}

y = ax2

−− a

acb

4

42

a

b

2−


54/224

47

0)4(04

4 22

=−⇒=−

− acba

acb (4.9)

Jika 0)4( 2


55/224


4.3. Mononom dan Polinom Pangkat Tiga

Fungsi mononom pangkat tiga kita tuliskan 3kx y = . Jika k positif, fungsiini akan bernilai positif untuk x positif dan bernilai negatif untuk x

negatif. Jika k negatif maka keadaan akan menjadi sebaliknya. Kurva

fungsi ini diperlihatkan pada Gb.4.9.

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y =−3 x 3

y = 2 x

y = 2 x

y =−3 x 3

y

x

Gb.4.9. Kurva fungsi y = kx3.

Fungsi mononom yang tergeser sejajar dengan sumbu- x dengan

pergeseran sebesar a skala diperoleh dengan mengganti peubah x dengan

( x − a), dan jika tergeser sejajar sumbu- y sebesar b skala kita perolehdengan mengganti y dengan ( y − b) . Fungsi mononom pangkat tiga yangtergeser akan menjadi

ba xk y +−= 3)( (4.10)

dengan bentuk kurva diperlihatkan pada Gb.4.10.


56/224

49

Gb.4.10. Kurva fungsi pangkat tiga tergeser.

Jika mononom pangkat tiga ditambahkan pada polinom pangkat dua,

terbentuklan polinom pangkat tiga, dengan persamaan umum yang

berbentuk

d cxbxax y +++= 23 (4.11)

Karena 3kx y = naik untuk x positif (pada k positif) maka penambahanke fungsi kuadrat akan menyebabkan kurva fungsi kuadrat naik di

sebelah kanan titik-asal [0,0] dan turun di sebelah kiri [0,0].

Kita ambil a = 4 untuk menggambarkan3

1 ax y = dan b =19, c = −80, d

= −200 untuk menggambarkan kurva fungsi d cxbx y ++= 22 sepertiterlihat pada Gb.4.11.a.

-600

-400

-200

0

200

400

600

-5 -3 -1 1 3 5 x

= 10 x3

y = 10( x−2)3

y = 10( x−2)3 + 100

y


57/224


Gb.4.11. Mononom pangkat tiga y1 dan fungsi kuadrat y2.

Dengan a positif maka kurva y1 bernilai positif untuk x > 0 dan bernilai

negatif untuk x < 0. Kurva fungsi kuadrat y2 telah kita kenal. Jika y1

ditambahkan pada y2 maka nilai-nilai y2 di sebelah kiri titik [0,0] akan berkurang sedangkan yang di sebelah kanan titik [0,0] akan bertambah.

Kurva yang kita peroleh akan terlihat seperti pada Gb.4.9.b.

Terlihat pada gambar ini bahwa penjumlahan y1 dan y2 menghasilkan

kurva y3 yang memotong sumbu- x di tiga titik. Ini berarti bahwa

persamaan pangkat tiga 023 =+++ d cxbxax (dengan nilai koefisienyang kita ambil) memiliki tiga akar nyata, yang ditunjukkan oleh

perpotongan fungsi y3 dengan sumbu- x tersebut.

-2000

0

2000

-

0 10

y

x

y1=

4 x320080192

2 −−= x x y

-2000

0

2000

-10 0 10 x

y

y1

y2

20080194 23213

−−+=

+=

x x x

y y y

(a)

(b)


58/224

51

Hal demikian tidak selalu terjadi. Jika koefisien a kurang positif,

penurunan kurva y1 di daerah x negatif tidak terlalu tajam. Hal ini

menyebabkan pengurangan nilai y2 didaerah ini juga tidak terlalu banyak.

Kita akan memperoleh kurva seperti ditunjukkan pada Gb.4.12.a. Di sinifungsi pangkat tiga memotong sumbu- x di tiga tempat akan tetapi yang

terlihat hanya dua. Titik potong yang ke-tiga berada jauh di x negatif.

Makin kecil nilai a (tetap positif) akan makin jauh letak titik perpotonganyang ke-tiga ini.

(a) a kurang positif

(b) a terlalu positif

Gb.4.12. Pengaruh nilai a kurva fungsi pangkat tiga y = y1 + y2.

Jika koefisien a terlalu positif, penurunan y1 di daerah negatif sangat

tajam. Pengurangan y2 di daerah ini terjadi sangat besar. Kurva yang kita

2000

-10 10

y2

1

3 = y1 + y2

-2000

-2000

2000

-10 15

y1

y2

y3 = y1+ y2


59/224


peroleh akan terlihat seperti pada Gb.4.12.b. Di sini kurva tidak

memotong sumbu- x di daerah negatif. Hanya ada satu titik potong di

sumbu- x positif. Jika a = 0 akan terjadi fungsi kuadrat yang sudah kita

bahas di sub-bab sebelumnya.

Kita lihat sekarang keadaan di mana a bernilai negatif. Nilai a negatif

akan membuat kurva y1 bernilai positif di daerah x negatif dan bernilai

negatif di daerah x positif. Hal ini menyebabkan nilai y2 akan bertambah

di daerah negatif dan akan berkurang di daerah positif. Jika a tidak

terlalu negatif, kurva yang kita peroleh akan berbentuk seperti terlihat

pada Gb.4.13.a.

(a)

(b)

Gb.4.13. Fungsi pangkat tiga y3 = y1 + y2 dengan a negatif.

Kurva berpotongan dengan sumbu- x di tiga tiga tempat. Akan tetapi

perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif. Makin negatif a

-2000

0

-10 0

y3 = y1 + y2

y1

y2

15

-2000

0

2000

-10 0 15

y3 = y1 + y2

y1

y2


60/224

53

makin jauh letak titik perpotongan tersebut. Jika a terlalu negatif kurva

berpotongan dengan sumbu- x di satu tempat, seperti terlihat pada

Gb.4.13.b.

CATATA: Sesungguhnya perpotongan kurva fungsi pangkat tiga

dengan sumbu- x tidak semata-mata ditentukan oleh nilai koefisien

a pada mononom pertama ax3. Bentuk dan posisi kurva fungsi

kuadratnya, juga akan menentukan letak titik potong.


Peubah x pada semua fungsi polinom dapat mengambil nilai dari −∞ sampai +∞. Nilai peubah y akan mengikuti nilai x. Fungsi polinom

kontinyu dalam rentang x tersebut. Demikian pula halnya jika kitamempunyai fungsi yang merupakan hasilkali antara polinom dengan

polinom, 21 y y y ×= .

Kita telah melihat bahwa kurva mononom pangkat dua 2kx y ==== simetris

terhadap sumbu- y karena penggantian x dengan − x tidak mengubahfungsi ini. Hal ini juga akan berlaku untuk semua kurva mononom yang

berpangkat genap. Kenyataan ini menimbulkan istilah simetri genap

untuk fungsi-fungsi yang simetris terhadap sumbu- y; misalnya fungsi

cosinus yang akan kita pelajari di bab lain.

Kita juga telah melihat bahwa kurva mononom pangkat tiga 3kx y ====

simetris terhadap titik asal [0,0]. Penggantian y dengan − y dan

penggantian x dengan − x tidak akan mengubah fungsi ini. Hal ini berlaku

pula untuk semua kurva mononom berpangkat ganjil. Istilah simetri

ganjil diberikan pada fungsi yang simetris terhadap titik asal [0,0],

seperti fungsi sinus yang akan kita pelajari di Bab-6.

Penjumlahan antara mononom berpangkat genap dengan mononom berpangkat ganjil tidak menghasilkan kurva yang memiliki sumbu

simetri. Hal ini disebabkan karena kaidah untuk terjadinya simetri bagi

mononom berpangkat genap tidak sama dengan kaidah yang diperlukan

untuk terjadinya simetri pada kurva mononom berpangkat ganjil.

Keadaan khusus terjadi pada mononom berpangkat satu yang juga

merupakan mononom berpangkat ganjil. Kurva dari fungsi ini juga

simetris terhadap titik asal [0,0]. Namun fungsi ini adalah fungsi linier

dengan kurva yang berbentuk garis lurus, berbeda dengan kurva fungsi

mononom pangkat tiga. Kelinieran ini menyebabkan penjumlahan


61/224


dengan kurva mononom pangkat dua menghasilkan pergeseran kurva

fungsi pangkat dua; kurva yang tergeser ini memiliki sumbu simetri

yang sejajar dengan sumbu- y.

Soal-Soal

1. Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengansumbu- y kurva fungsi-fungsi berikut ini.

84 ;123

;75 ;4

24

23

22

21

+−=−=

−==

x y x y

x y x y

2. Dari soal nomer-1, tentukanlah koordinat titik perpotonganantara kurva-kurva fungsi berikut ini

433221 dan;dan;dan y y y y y y


x x y x x y x x y 24 ;123 ;105 232

22

1 +−=−=−=

4. Dari soal nomer-3, selidikilah koordinat titik perpotongankurva-kurva fungsi berikut.



824 ;2123 ;7105 232

22

1 ++−=+−=−−= x x y x x y x x y

6. Dari soal nomer-5, selidikilah koordinat titik perpotongankurva-kurva fungsi berikut.



62/224

55

Bab 5

Bangun Geometris

5.1. Persamaan Kurva

Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai

0),( = y x F (5.1)

Persamaan ini menentukan tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi

persamaan tersebut. Jadi setiap titik pada kurva akan memenuhi

persamaan dan setiap titik yang memenuhi persamaan harus pula terletak

pada kurva.Berikut ini adalah karakteristik umum suatu kurva. Beberapa di

antaranya telah kita pelajari di bab pertama.

Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik

tertentu

a) jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan − x makakurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu- y;

b) jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurvafunsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.

c) jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan − y, kurvafunsi tersebut simetris terhadap sumbu- x.

d) jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan − x dan − y,kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

ilai Peubah. Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata

dari y dan x yang kita perhatikan. Apabila dalam suatu persamaan

terdapat pangkat genap suatu peubah maka akan terlibat suatu nilai yang berasal dari akar pangkat dua (pangkat genap) dari peubah tersebut.

Dalam keadaan demikian kita anggap bahwa bilangan negatif tidak

memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks. Hal ini

telah dikemukakan di bab pertama dalam sub-bab pembatasan

pembahasan.

Contoh: 122 =+ x y . Jika kita cari nilai y kita dapatkan

21 x y −±=


63/224


Apabila nilai mutlak x lebih besar dari 1, maka nilai bilangan di

bawah tanda akar akan negatif. Dalam hal demikian ini kita

membatasi x hanya pada rentang 11 ≤≤− x . Karena kurva ini

simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang 11 ≤≤− y .

Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat. Koordinat titik potong dengan

sumbu- x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan

koordinat titik potong dengan sumbu- y diperoleh dengan memberi nilai x

= 0.

Contoh: 122 =+ x y . Titik potong dengan sumbu- x adalah P[1,0]

dan Q[−1,0]. Titik potong dengan sumbu- y adalah R[0,1] danS[0,−1].

Contoh: xy = 1. Dengan memberi nilai x = 0 kita tidak akan

mendapatkan solusi untuk y. Demikian pula memberi y = 0 tidak

akan memberi solusi untuk x. Kurva persamaan ini tidak

memotong sumbu- x maupun sumbu- y.

Asimptot. Suatu titik P[ x,y] pada kurva yang bergerak sepanjang kurva

menjauhi titik-asal mungkin akan semakin dekat dengan suatu garistertentu, namun tidak akan menyentuhnya. Garis tersebut merupakan

asimptot dari kurva.

Contoh: 10)( 222 +=− x x x y .

Persamaan ini memberikan)1(

102

−

+±=

x x

x y

Apa yang berada di dalam tanda akar, tidak boleh negatif. Hal ini

berarti jika x harus positif maka ia tidak boleh lebih kecil dari satuagar x( x−1) positif; jika x negatif maka x( x− 1) akan tetap positif.Jadi haruslah x < 0 atau x > 1. Tidak ada bagian kurva yang berada

antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah

asimptot dari kurva. Lihat Gb.5.1.


64/224


65/224


Soal-Soal:

1). Diketahui dua titik P(-2,1) dan Q(2,-3). Dengan menggunakan

persamaan persamaan (5.2) tentukan tempat kedudukan titik-titik

yang berjarak sama terhadap P dan Q.

2). Diketahui dua titik P(-1,0) dan Q(2,0). Dengan menggunakan

persamaan persamaan (5.2) tentukan tempat kedudukan R yang

sedemikian rupa sehingga RP = 2× RQ.

5.3. Parabola

Kita telah melihat bentuk kurva

2kx y = (5.3)

yang simetris terhadap sumbu- y. Bentuk kurva ini disebut parabola.Dalam persamaan ini, ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga jarak

antara satu titik P yang terletak pada kurva dengan titik Q yang terletak

di sumbu- y sama dengan jarak antara titik P dan suatu garis tertentu,

seperti diperlihatkan pada Gb.5.2. Titik Q disebut titik fokus parabola,

dan garis tertentu y = − p disebut garis direktriks dan titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya.

Gb.5.2. Titik fokus dan garis direktriks.

Hubungan antara k dan p dapat dicari sebagai berikut.

x p py y x p y x p 2222222 2)(

fungsi-dan-grafik-diferensial-dan-integral2.pdf

Documents