MATEMATIKA II

Oleh:Dr. Parulian Silalahi, M.Pd

http://polmansem3.esy.es/

h)a(f)ha(f

lim)a(f0h

'

h)x(f)hx(f

lim)x(f0h

'

Turunan dari fungsi f(x) pada x = a ditentukan dengan rumus:

Jika fungsi f(x) dideferensialkan untuk semua x maka turunan dari fungsi f(x) untuk sembarang nilai x ditentukan dengan rumus:

• f’(x) dibaca f aksen x disebut turunan dari

fungsi f(x).

• f’(a) diperoleh dari f’(x) dimana x diganti

dengan a.

• f’(x) sering ditulis dengan df(x)/dx atau dy/dx

Contoh 1:

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi di bawah ini!

a.

b.

Jawab:

a. maka

=

Jadi turunan pertama 3x-1 adalah 3.

13)( xxF

52)( 2 xxxF

13)( xxF

1)(3)( hxhxF

h

xfhxfxf

h

)()(lim)(

0

'

3

313)133(lim

0

h

h

h

xhxh

Rumus Dasar:

y = sinx y’ = cos x

y = cos x y’ = - sin x

y = tg x y’ = sec2 x

y = ctg x y’ = -cosec2 x

y = sec x y’ = sec x. tg x

y = cosec x y’ = -cosec x. ctg x

Rumus Dasar:

y = sin ax y’ = a.cos ax

y = cos ax y’ = -a.sin ax

y = tg ax y’ = a.sec2 ax

y = ctg ax y’ = -a.cosec2 ax

y = sec ax y’ = a.sec ax. tg ax

y = cosec ax y’ = -a.cosec ax. ctg ax

Contoh 3:

Tentukanlah turunan dari fungsi trigonometri berikut:

1.Sin 5x

2.Tg 2x

Jawab:

1.Sin 5x = 5 cos 5x

2.Tg 2x = sec22x

dx

dv

dv

du

du

dy

dx

dydx

du

du

dy

dx

dy

..

.

Contoh4:

Tentukanlah turunan kedua dari fungsi berikut:

1.y = 5x3 – 7x2+ 1

2.y = 3/x2 + 2x4

3.y= sin2x

Jawab:

1.y = 5x3 – 7x2+ 1

dy/dx = 15x2- 14x

dy2/dx2 = 30x - 14

2. y = 3/x2 + 2x4

dy/dx = -6x-3 + 8x3

dy2/dx2 = 18x-4 + 24x2

3. y = sin 2x

dy/dx = 2 cos 2x

dy2/dx2 = -4 sin 2x

Rumus Dasar:

y = ex y’ = ex

y = e-x y’ = - e-x

y = eax y’ = a. eax

y = e-ax y’ = -a e-ax

Contoh 5:

Tentukan dy/dx dari fungsi hiperbolik berikut:

1. y = ecos5x

2. y = (e4x – e5x)4

Jawab:1. y = ecos5x

mis u = cos 5x du/dx = - 5.sin 5x

y = eu dy/du = eu = ecos5x

dy/dx = du/dx . dy/du = - 5.sin 5x. ecos5x

2. y = (e4x – e5x)4

mis u = (e4x – e5x) du/dx = 4e4x –5 e5x

y = u4 dy/du = 4u3 = 4(e4x – e5x)3

dy/dx = du/dx . dy/du = (4e4x –5 e5x). 4(e4x – e5x)3

= 4(4e4x –5 e5x). (e4x – e5x)3

Rumus Dasar:

1. y = alog x y’ =1/a. alog e

2. y = ln x y’ = 1/x elog e =1 /x

3. y = ax y’ = ax. ln a

Contoh 2.6:

Tentukan dy/dx dari fungsi logaritma berikut:

1. y = ln (x2 + 5)

2. y = )6( 2

3 xx

Jawab:

1. y = ln (x2 + 5)

mis: u = x2 + 5 du/dx = 2x

y = ln u dy/du = 1/u = 1/(x2 + 5)

dy/dx = du/dx . dy/du = 2x . 1/(x2 + 5) = 2x/(x2 + 5)

2. y =

mis: u = x2 + 6x du/dx = 2x + 6

y = 3u dy/du = 3u . ln 3 = . ln 3

dy/dx = du/dx . dy/du = (2x + 6) . ln 3

)6( 2

3 xx

)6( 2

3 xx

)6( 2

3 xx

Rumus Dasar:

1. y = sinh x y’ = cosh x

2. y = cosh x y’ = sinh x

Contoh 7:

Tentukan dy/dx dari fungsi hiperbolik berikut:

1. y = sinh 7x

2. y = cosh3 (1-x)

Jawab:

1. y = sinh 7x

mis u = 7x du/dx =7

y = sinh u dy/du = cosh u = cosh 7x

dy/dx = du/dx . dy/du = 7. cosh 7x

2. y = cosh3 (1-x)

mis u = 1 – x du/dx = -1

t = cosh u dt/du = sinh u = sinh (1-x)

y = t3 dy/dt = 3 t2 = 3 cosh2 (1-x)

dy/dx = du/dx . dt/du. dy/dt

= -1. sinh (1-x). 3 cosh2 (1-x)

= -3 sinh (1-x). cosh2 (1-x)

TERIMA KASIHSelamat Belajar