4 DIFERENSIAL

Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, danjuga masalah menentukan maksimum atau minimum fungsi. Kemudian, kaitan antaragaris singgung kurva dan velositas atau kecepatan suatu benda bergerak ditemukan padamasa berikutnya sekitar tahun 1660 an oleh Sir Isaac Newton (1642-1727). Selanjutnya,Newton mengembangkan temuan ini menjadi teori �uksi yang didasarkan ide intuitif darilimit; didalamnya muncul konsep diferensial dimana beberapa istilah dan notasi dicip-takan. Pada pihak lain, secara terpisah Gottfried Leibniz (1646-1716) sekitar tahun 1680menyelidiki bahwa luas daerah di bawah kurva dapat dihitung dengan membalik prosesdiferensial. Teknik menarik Leibniz ini dapat memecahkan masalah yang sebelumnyasangat sulit menjadi sangat mudah; merupakan pemicu ketertarikan bagi banyak matem-atikawan melakukan riset pengembangan dan dihasilkan teori koheren yang dewasa inimenjadi kalkulus diferensial dan kalkulus integral.

Pada bab ini kita akan memahami teori diferensial dimana diasumsikan bahwa maha-siswa sudah memahami interprestasi �sika dan geometris dari derivatif suatu fungsi.Diingatkan bahwa teori diferensial dan teori diferensial adalah dua topik yang konsep-nya berbeda, namun keduanya dihubungkan oleh teorema fundamental kalkulus. Teoriintegral akan dipelajari pada bab berikutnya.

4.1 Pengertian derivatif

Pada sub bab ini mahasiswa harus memahami beberapa pengetahuan dan keterampilanberikut :

1. Memahami de�nisi derivatif fungsi di suatu titik.

2. Memahami maksud istilah derivatif dan diferensial.

3. Menentukan derivatif fungsi di suatu titik dengan menggunakan de�nisi.

4. Memahami hubungan antara fungsi kontinu dan fungsi terdiferensial.

5. Memahami dan membuktikan sifat-sifat aljabar derivatif.

6. Memahami aturan rantai sebagai aturan diferensial untuk fungsi komposisi

7. Membuktikan (teorema) aturan rantai

8. Menggunakan sifat-sifat derivatif dan aturan rantai untuk menentukan derivatifsuatu fungsi.

1

4 DIFERENSIAL

9. Memahami teorema yang menghubungkan derivatif fungsi dan derivatif fungsi in-versnya.

10. Mengkaji masalah-masalah kritis yang berkaitan dengan konsep diferensial, seperti

a) fungsi yang kontinu di mana-mana tetapi tidak terdiferensial di mana-mana

b) ketakberlakuan aturan rantai jika ada syarat pada hipotesis yang tidak dipenuhi.

c) ketakberlakuan torema pada indikator 9 jika fungsinya tidak naik tegas

d) dll

Sungguh banyak tuntutan pengetahuan dan keterampilan yang harus dicapai oleh maha-siswa. Bayangkan, ini hanya untuk 1 sub pokok bahasan. Padahal kita masih akan mem-pelajari 3 sub pokok bahasan yang lebih luas lagi yaitu Teorema nilai rata-rata (TNR),aturan L'Hospital dan Teorema Taylor. Tidak ada pilihan kecuali wajib memenuhi tun-tutan seperti ini, kecuali kalau nanti siap menjadi sarjana 'ecek-ecek'. Hanya sistempembelajaran berpusat pada mahasiswa sajalah yang dimungkinkan dapat mencapaituntutan seperti ini. Mahasiswa yang pasif, hanya 'nrimo' dan pasrah pada nasib di-pastikan tidak mungkin dapat 'eksis', akhirnya TERSINGKIR. Semangat dan motivasimempunyai kekuatan luar biasa dalam mencapai sukses belajar, bukan kecerdasan.

De�nisi 4.1. Misalkan I ⊂ R suatu interval, dan f : I −→ R, c ∈ R. Bilangan real Ldikatakan derivatif f di titik c jika diberikan sebarang ε > 0 terdapat δ > 0 sehinggaberlaku

x ∈ I dimana 0 < |x− c| < δ −→∣∣∣∣f(x)− f(c)x− c

− L∣∣∣∣ < ε. (4.1)

Dalam kasus ini dikatakan f terdiferensial di c, ditulis f ′(c) = L.

Lihat kembali de�nisi limx→c g(x) = L, kemudian diambil g(x) := f(x)−f(c)x−c dalam ek-

spresi (4.1). Dengan demikian dapat dikatakan, derivatif f di c diberikan oleh

f ′(c) = limx→c

f(x)− f(c)x− c

(4.2)

asalkan limit ini ada. Sebelum lanjut, pahami dulu maksud De�nisi 4.1, pahami mengapaekspresi (4.1) dapat ditulis ke dalam bentuk (4.2).

Fungsi f dikatakan terdiferensial di c jika derivatifnya f ′(c) ada. Fungsi f dikatakanterdiferensial pada I jika ia terdiferensial di setiap c ∈ I. Sampai di sini seharusnyasudah jelas perbedaan istilah derivatif dan diferensial. Istilah 'turunan' adalah bentuknasionalisasi istilah 'derivative'.

Contoh 4.1. Perhatikan fungsi f(x) := x2, untuk x ∈ R.Misalkan c titik sebarang dalamR. Diperoleh

f ′(c) = limx→c

f(x)− f(c)x− c

= limx→c

x2 − c2

x− c= lim

x→c(x+ c) = 2c.

2

4 DIFERENSIAL

Karena f ′(c) = 2c terde�nisi untuk setiap c ∈ R maka diperoleh f ′(x) = 2x untuk x ∈ R.

Dua sifat, kekontinuan dan keterdiferensialan ternyata memiliki hubungan implikasiseperti diungkapkan pada Teorema berikut.

Teorema 4.1. Misalkan I ⊂ R suatu interval, dan f : I −→ R, c ∈ R. Jika f terdiferen-sial di c maka f kontinu di c.

Bukti. Lihat kembali de�nisi f kontinu di c pada bab sebelumnya. Untuk x ∈ I danx 6= c, dibentuk

f(x)− f(c) =(f(x)− f(c)

x− c

)(x− c).

Karena f ′(c) ada, kemudian dengan memasangkan limit pada kedua ruas per-samaan ini dan gunakan sifat limit hasil kali fungsi maka diperoleh limx→c f(x) =f(c), yaitu f kontinu di c. � (lengkapi tahapan yang dihilangkan pada bukti ini)

Dengan teorema ini, dapatkah Anda menyimpulkan �lebih luas mana, himpunan fungsiterdiferensial atau himpunan fungsi kontinu ?�

Teorema ini tidak mengatakan �kontinu → diferensial�. Diperhatikan fungsi f(x) :=|x|, x ∈ R. Fungsi ini jelas kontinu di 0 (lihat kembali bab kekontinuan semester lalu).Sekarang perhatikan untuk x 6= 0,diperoleh

f(x)− f(0)x− 0

=|x|x

=

{1 jika x > 0

−1 jika x < 0.

Dengan mengambil limit satu sisi di 0 maka diperoleh hasil sebagai berikut

limx→0−

f(x)− f(0)x− 0

= limx→0−

|x|x

= −1 dan limx→0+

f(x)− f(0)x− 0

= limx→0+

|x|x

= +1.

Karena kedua limit satu sisi tidak sama maka disimpulkan limx→0f(x)−f(0)

x−0 tidak adasehingga f ′(0) tidak ada. Jadi, f tidak terdiferensial di 0.

Pahami dulu sajian dalam kotak di atas. Berikut ini diberikan masalah kritis yangberkaitan dengan kekontinuan dan keterdiferensialan.

Kritis 4.1.1. Pada tahun 1872, Karl Weirestrass mende�nisikan fungsi f dalam bentukderet takhingga berikut

f(x) :=

∞∑n=0

1

2ncos(3nx).

Ternyata fungsi ini kontinu di mana-mana tetapi tidak terdiferensial di mana-mana.Buktinya sangat sulit. Tapi bagi mahasiswa berjiwa peneliti/penemu akan mencari tahubagaimana cara membuktikan fakta ini. Banyak sumber belajar yang dapat digunakan,

3

4 DIFERENSIAL

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Gambar 4.1: Gra�k fungsi Weierstrass

seperti informasi melalui buku cetak ataupun referensi elektronik pada jaringan internet.Untuk jumlah parsial 5 suku pertama (n = 4) fungsi ini berbentuk

f(x) = cosx+1

2cos 3x+

1

4cos 9x+

1

8cos 27x+

1

16cos 81x

dan gra�knya diberikan sebagai berikut.

Sifat aljabar diferensial

Teorema 4.2. Misalkan I ⊂ R suatu interval, dan c ∈ R. Bila fungsi f : I −→ R dang : I −→ R terdiferensial di c maka

a. untuk sebarang α ∈ R, fungsi (αf) terdiferensial di c, dimana

(αf)′ (c) = αf(c) (4.3)

b. fungsi jumlahan f + g terdiferensial di c, yaitu

(f + g)′ (c) = f ′(c) + g′(c) (4.4)

c. fungsi perkalian fg terdiferensial di c, dimana

(fg)′ (c) = f ′(c)g(c) + f(c)g′(c) (4.5)

d. fungsi hasil bagi f/g terdiferensial di c asalkan g(c) 6= 0, dimana(f

g

)′(c) =

f ′(c)g(c)− f(c)g′(c)(g(c))2

. (4.6)

4

4 DIFERENSIAL

Bukti. Hanya diberikan outline bukti untuk bagian c, sedangkan yang lainnya sudah di-tulis dengan jelas pada buku paket. Silahkan dipelajari sendiri! Ketidaklengkapanini harusnya dijadikan sarana untuk belajar mandiri, kecuali orang-orang pemalas(bukan bodoh) yang bermental kuli dan pengemis. Misalkan p := fg, makauntuk x 6= c kita mempunyai bentuk berikut :

p(x)− p(c)x− c

=f(x)g(x)− f(c)g(c)

x− c

=f(x)g(x)− f(c)g(x) + f(c)g(x)− f(c)g(c)

x− c

=f(x)− f(c)

x− c· g(x) + f(c) · g(x)− g(c)

x− c.

Perhatikan pada baris kedua, pembilang ditambah dengan suku−fc)g(x)+f(c)g(x)suatu kuantitas bernilai nol sehingga tidak merubah apa-apa. Tujuannya agardiperoleh bentuk pada de�nisi diferensial seperti tampak pada baris berikutnya.Dengan menggunakan fakta g kontinu di c (mengapa ?), yaitu limx→c g(x) = g(c),dan fakta yang diketahui pada hipotesis teorema maka diperoleh

limx→c

p(x)− p(c)x− c

= f ′(c)g(c) + f(c)g′(c),

yaitu disimpulkan p = fg terdiferensial di c. �

Perjelas langkah-langkah yang masih bolong pada pembuktian ini, kemudian buktikanbagian lainnya yang belum disinggung.

Kalau pada teorema ini hanya terlibat dua fungsi f dan g. Sesungguhnya dapat dikem-bangkan untuk berhingga banyak fungsi f1, f2, · · · , fn dengan menggunakan prinsip in-duksi matematika. Kita amati untuk sifat jumlahan fungsi terdiferensial berikut.

Corollary 1. Jika fungsi f1, f2, · · · , fn terdiferensial di c ∈ I maka f1 + f2 + · · · + fndan f1f2 · · · fn terdiferensial di c, dimana

(f1 + f2 + · · ·+ fn)′ (c) = f ′1(c) + f ′2(c) + · · ·+ f ′n(c) (4.7)

(f1f2 · · · fn)′ (c) = f ′1(c)f2(c) · · · fn(c) + f1(c)f′2(c) · · · fn(c)

+ · · ·+ f1(c)f2(c) · · · f ′n(c). (4.8)

Suatu kejadian khusus pada sifat diferensial perkalian adalah bilamana f1 = f2 = · · · =fn := f maka berlaku

(fn)′(c) = n (f(c))n−1 f ′(c). (4.9)

Tunjukkan mengapa ? Lebih khusus lagi bila f(x) = x, maka fn(x) = xn. Tulis sajag(x) := xn, maka diperoleh

g′(x) = n (f(x))n−1 f ′(x) = nxn−1 · 1 = nxn−1. (4.10)

5

4 DIFERENSIAL

Fakta ini sudah Anda kenal dengan baik pada kalkulus, yaitu bila y = xn maka y′ =nxn−1.

Notasi lain yang digunakan untuk f ′ adalah Df dan dfdx bila x variabel bebas pada fungsi

f , yaitu f = f(x). Notasi dfdx dikenal dengan notasi Leibniz salah seorang founding fatherkalkulus diferensial.

Aturan rantai (chain rule)

Ketika Anda di SMA atau pada kuliah kalkulus dasar tentunya tidak asing lagi proses

menentukan turunan fungsi y = sin(√

1 + x2)seperti berikut :

y′ = cos(√

1 + x2)· ddx

(√1 + x2

)= cos

(√1 + x2

)· 1

2√1 + x2

· ddx

(1 + x2

)= cos

(√1 + x2

)· 1

2√1 + x2

· 2x

= cos(√

1 + x2)· x√

1 + x2·

Semuanya paham prosedur tersebut di atas, ada yang kurang paham. Segeralah sadardan insya�ah!....Pertanyaannya, apa dasar Anda boleh melakukan langkah-langkah ini ?Bagaimana pembenarannya ? Pada bagian ini kita membahas turunan fungsi komposisig ◦ f .

Teorema 4.3. [Aturan Rantai] Misalkan I dan J interval pada R, dan misalkan g :I → R, f : J → R adalah fungsi-fungsi dimana f(J) ⊆ I, dan misalkan c ∈ J . Bila fterdiferensial di c dan g terdiferensial di f(c) maka fungsi komposisi g ◦ f terdiferensialdi c, dimana

(g ◦ f)′ (c) = g′(f(c)) · f ′(c). (4.11)

Bukti. Fakta yang diketahui pada teorema ini adalah c ∈ J , f(J) ⊆ I, f terdiferensialdi c dan g terdiferensial di f(c). Tulis d := f(c) dan dide�nisikan G : I → R sebagaiberikut

G(y) :=

{g(y)−g(d)y−d bila y ∈ I, y 6= d,

g′(d) bila y = d.

Karena g terdiferensial di d, yaitu g′(d) ada dan berlaku limy→dG(y) = g′(d) = G(d)maka diperoleh bahwa G kontinu di d. Karena f kontinu di c dan f(J) ⊆ I makadisimpulkan G ◦ f juga kontinu di c (justi�kasi !, mengapa?), sehingga berlaku

limx→c

(G ◦ f)(x) = (G ◦ f)(c) = G(f(c)) = G(d) = limy→d

G(y) = g′(d) = g′(f(c)) (4.12)

6

4 DIFERENSIAL

ditulis limx→c(G ◦ f)(x) = g′(f(c)). Menurut de�nisi fungsi G maka diperoleh

g(y)− g(d) = G(y)(y − d)

untuk setiap y ∈ I. (Mengapa?). Jadi, untuk x ∈ J dan misalkan y = f(x) maka berlaku

g ◦ f(x)− g ◦ f(c) = g (f(x))− g (f(c))= g(y)− g(d)= G(y)(y − d)= G (f(x)) (y − d)= G ◦ f(x)(f(x)− f(c)).

Untuk x 6= c, kita bagi kedua ruas persamaan yang baru diperoleh dengan x−c, diperoleh

g ◦ f(x)− g ◦ f(c)x− c

= G ◦ f(x)f(x)− f(c)x− c

Diambil limit mendekati c pada kedua ruas maka diperoleh,

limx→c

g ◦ f(x)− g ◦ f(c)x− c

= limx→c

G ◦ f(x)f(x)− f(c)x− c

= limx→c

G ◦ f(x) · limx→c

f(x)− f(c)x− c

↔ (f ◦ g)′ (c) = g′(f(c)) · f ′(c). �

Pahami betul setiap langkah dan pembenaran pada bukti di atas!.

Contoh 4.2. Pada ilustrasi awal sub pokok bahasan ini, fungsi h(x) = sin(√

1 + x2)

dapat dipandang sebagai komposisi fungsi h = g ◦ f dimana g(x) = sinx dan f(x) =√1 + x2. Kemudian, fungsi f(x) =

√1 + x2 suatu komposisi fungsi f = g1 ◦ f1 dimana

g1(x) =√x dan f1(x) = 1 + x2. Untuk fungsi komposisi yang terdiri dari tiga fungsi

seperti ini, aturan rantai dapat diperumum sebagai

(g ◦ g1 ◦ f1)′(c) = g′(g1 ◦ f1(c)) · g′1(f1(c)) · f ′(c).

Cek kebenaran prosedur di atas dengan formula ini !

Contoh berikut adalah cara lain membuktikan turunan fungsi fn := ff · · · f︸ ︷︷ ︸n faktor

.

Contoh 4.3. Misalkan f : I → R terdiferensial pada I dan g(y) = yn. Karena g′(y) =nyn−1 dan fn = g ◦ f maka berdasarkan aturan rantai diperoleh

(g ◦ f)′(x) = g′(f(x)) · f ′(x),

yaitu (fn)′ (x) = n (f(x))n−1 f ′(x) untuk setiap x ∈ I.

Contoh berikut ini menentukan derivatif fungsi dengan menggunakan aturan rantai dande�nisi derivatif.

7

4 DIFERENSIAL

Contoh 4.4. Misalkan fungsi f dide�nisikan sebagai berikut

f(x) :=

{x2 sin(1/x) bila x 6= 0

0 bilax = 0.

Tentukan f ′(x)?

Penyelesaian. Untuk x 6= 0 kita dapat menggunakan aturan rantai bersamaan denganformula turunan hasil kali, yaitu diperoleh

f ′(x) = 2x sin(1/x)− cos(1/x), untuk x 6= 0.

Untuk x = 0 tidak ada aturan yang dapat digunakan. Oleh karena itu dikembalikanke de�nisi originalnya, yaitu

f ′(0) = limx→0

f(x)− f(0)x− 0

= limx→0

x2 sin(1/x)

x= lim

x→0x sin(1/x) = 0.

Langkah terakhir menggunakan hasil yang pernah dipelajari pada pokok bahasanlimit, ingatkah?...lihat lagi. Jadi fungsi f terdiferensial pada R dengan derivatif

f ′(x) :=

{2x sin(1/x)− cos(1/x) bila x 6= 0

0 bilax = 0.

Ingat nilai 0 pada derivatif f ′ (cabang bawah) tidak diperoleh dari f(0) = 0. �

Diperhatikan bahwa fungsi f kontinu di x = 0 tetapi fungsi f ′ tidak mempunyai limit dix = 0 (mengapa ?), f ′ tidak kontinu di 0.

Fungsi invers

Pada bagian ini dibahas hubungan derivatif fungsi dan derivatif inversnya, seperti di-ungkapkan pada teorema berikut.

Teorema 4.4. Misalkan I ⊂ R suatu interval, dan f : I −→ R fungsi monoton tegasdan kontinu pada I. Bila J = f(I) dan g : J −→ R monoton tegas dan kontinu, inversfungsi f . Bila f terdiferensial di c ∈ I dan f ′(c) 6= 0, maka g terdiferensial di d := f(c),dimana

g′(d) =1

f ′(c)=

1

f ′(g(d)). (4.13)

Bukti. Dapat dilihat pada buku teks. �

Untuk sementara dilewatkan dulu memahami buktinya, tapi pahami dulu maksud teore-manya. Untuk memahami teorema ini, beberapa istilah: fungsi kontinu, monoton tegas,fungsi invers harus dipahami kembali.

8

4 DIFERENSIAL

Contoh 4.5. Misalkan n ∈ N, I := [0,∞) dan misalkan f(x) = xn. Dengan mudahdapat dimengerti bahwa f monoton tegas dan kontinu pada I, sehingga inversnya adayaitu g(y) = y1/n untuk y ∈ J := [0,∞) juga monoton tegas, kontinu. Diketahui pulaf ′(x) = nxn−1 untuk semua x ∈ I. Jadi berdasarkan hal ini, jika y > 0 maka g′(y) ada,yaitu

g′(y) =1

f ′(g(y))=

1

n (g(y))n−1=

1

n(y1/n

)n−1 =1

ny(n−1)/n.

Akhirnya disimpulkan g′(y) = 1ny

(1/n)−1, y > 0. �

Soal-soal yang dipecahkan

1. Gunakan de�nisi untuk menentukan derivatif fungsi berikut

a) f(x) := x3, x ∈ R

b) k(x) := 1√x, x > 0

Penyelesaian. Untuk (a), ambil sebarang c ∈ R. Diperoleh

f ′(c) := limx→c

f(x)− f(c)x− c

= limx→c

x3 − c3

x− c

= limx→c

(x− c)(x2 + xc+ c2)

x− c= c2 + c · c+ c2

= 3c2.

Ada beberapa langkah yang sengaja tidak diberikan secara eksplisit. Tugasmahasiswalah yang harus melengkapinya. Jadi f ′(x) = 3x2 untuk setiap x ∈R. Untuk (b), diambil sebarang c > 0. Didapat

k′(c) := limx→c

k(x)− k(c)x− c

= limx→c

1√x− 1√

c

x− c

= limx→c

(√c−√x)

(x− c)√xc

= limx→c

(√c−√x)√

xc(√x−√c)(√x+√c)

= limx→c

−1√xc(√x+√c)

= − 1

c · 2√c= − 1

2c√c.

Karena bentuk ini terde�nisi untuk setiap c > 0 maka diperoleh k′(x) =− 1

2x√x, x > 0. �

2. Tunjukkan fungsi f(x) := x1/3, x ∈ R tidak terdiferensial di x = 0.

9

4 DIFERENSIAL

Penyelesaian. Dibentuk pecahan yang mengarah pada f ′(0), yaitu

f(x)− f(0)x− 0

=x1/3 − 0

x=

1

x2/3.

Selanjutnya tunjukkan bahwa limx→01

x2/3tidak ada (Petunjuk: gunakan kri-

teria barisan untuk limit !). Karena limx→0f(x)−f(0)

x−0 tidak ada maka disim-pulkan f ′(0) tidak ada. �

3. Misalkan fungsi f terde�nisi pada R dengan

f(x) :=

{x2 jika x rasional

0 jika x irrasional.

Buktikan f terdiferensial di 0, dan tentukan f ′(0)! �

Penyelesaian. Berdasarkan de�nisi fungsi ini diperoleh f(0) = 0. Diperhatikan

bentuk f(x)−f(0)x−0 = f(x)

x , diperoleh

f(x)

x=

{x jika x rasional

0 jika x irrasional.

Selanjutnya, ditunjukkan limx→0f(x)x . Misalkan (xn) barisan yang konvergen

ke 0, maka diperoleh barisan(f(xn)xn

)sebagai berikut

f(xn)

xn=

{xn jika xn rasional

0 jika xn irrasional.

Jadi apapun kasusnya barisan(f(xn)xn

)konvergen ke 0. Terbukti limitnya ada

dan f ′(0) = 0. �

4. Tentukan turunan dan sederhanakanlah !

a) f(x) := x1+x2

b) h(x) :=(sinxk

)m, m, k ∈ N.

Penyelesaian. Untuk (a) dikerjakan sendiri, cukup gunakan aturan turunan hsilbagi. Untuk (b), digunakan aturan rantai berikut :

h′(x) = m(sinxk)m−1 · ddx

(sinxk

)= m(sinxk)m−1 · cosxk · d

dx

(xk)

= m(sinxk)m−1 · cosxk · kxk−1

= kmxk−1(sinxk)m−1 · cosxk. �

10

4 DIFERENSIAL

5. Misalkan n ∈ N dan f : R→ R dide�nisikan sebagai berikut

f(x) :=

{xn untuk x ≥ 0

0 untuk x < 0.

Tentukan nilai n apa saja yang membuat fungsi ini kontinu di 0. Pertanyaan yangsama yang membuat fungsi ini terdiferensial di 0.

Penyelesaian. Syarat kontinu di 0: limx→0 f(x) = f(0) = 0. Agar syarat inidipenuhi maka haruslah limx→0 x

n = 0. Syarat ini otomatis dipenuhi un-tuk setiap bilangan aslin. Jadi fungsi ini kontinu untuk setiap n ∈ N.Untukketerdiferensialan di 0, diperhatikan bentuk berikut

f(x)− f(0)x− 0

=f(x)

x=

{xn−1 jika x ≥ 0

0 jikax < 0.

Agar f ′(0) ada maka haruslah limx→0f(x)−f(0)

x−0 ada. Agar limit ini ada makanilainya haruslah nol. Jadi, harus dipenuhi

limx→0

xn−1 = 0.

Keadaan ini hanya dipenuhi oleh n = 2, 3, · · · . (Mengapa n = 1 tidakdipenuhi?) �

6. Misalkan f : R→ R terdiferensial di c dan f(c) = 0. Buktikan g(x) := |f(x)|terdiferensialbila hanya bila f ′(c) = 0.

Penyelesaian.

4.2 Teorema nilai rata-rata (TNR)

Seharusnya materi pada bagian sebelumnya sudah dipahami dengan baik. Pada subpokok bahasan ini, kompetensi minimal yang yang harus dipenuhi adalah

1. Memahami maksud ekstrim relatif (minimum relatif dan maksimum relatif).

2. Memberikan interpretasi gra�k untuk minimum relatif dan maksimum relatif.

3. Memahami maksud teorema ekstrim interior (TEI) dan dapat membuktikannya.

4. Memahami kasus kritis pada TEI.

5. Memahami maksud dan dapat membuktikan teorema Rolle (TR).

6. Memahami maksud teorema nilai rata-rata (TNR).

7. Memberikan interpretasi gra�k untuk TNR.

8. Mengetahui sifat-sifat fungsi asal melalui informasi pada derivatifnya.

11

4 DIFERENSIAL

9. Memahami pengertian fungsi naik dan fungsi turun.

10. Memahami teorema yang menghubungkan derivatif dan naik turunnya fungsi dandapat membuktikannya.

11. Memahami uji derivatif pertama untuk ekstrim dan mampu membuktikan teore-manya.

12. Mampu menggunakan TNR untuk menyelesaikan masalah pertidaksamaan.

Sungguh banyak pengetahuan dan keterampilan yang harus dikuasai oleh mahasiswa.Bayangkan untuk 1 pertemuan saja seperti ini, bagaimana kalau selama kuliah ada 20mata kuliah per semester × 13 kali pertemuan × 7 semester = 1520 kompetensi dasaryang seharusnya dapat dari tatap muka saja, belum lagi hasil belajar mandiri. Seharus-nya semua lulusan mempunyai kualitas tinggi sejajar dengan lulusan perguruan tinggikelas dunia, hebat.

De�nisi 4.2. Ada dua macam ekstrim relatif, yaitu maksimum relatif dan minimumrelatif. Fungsi f : I → R dikatakan mempunyai

1. minimum relatif di c ∈ I jika ada persekitaran V := Vδ(c) sehingga f(x) ≤ f(c)untuk setiap x ∈ V ∩ I,

2. maksimum relatif c ∈ I jika ada persekitaran V := Vδ(c) sehingga f(x) ≥ f(c)untuk setiap x ∈ V ∩ I.

Teorema berikut memberikan syarat cukup untuk ekstrim interior, yaitu bilamana c titikinterior interval I.

Teorema 4.5. [Teorema ekstrim interior (TEI)] Jika c titik inteior interval I dan f :I → R mempunyai ekstrim di c maka f ′(c) = 0.

Bukti. Hanya dibuktikan kasus f mempunyai minimum relatif di c. Untuk maksimumrelatif dibuktikan sendiri. Dibuktikan dengan kontradiksi, yaitu diandaikan f ′(c) >0 dan f ′(c) < 0, kemudian ditunjukkan kontradiksi sehingga disimpulkan f ′(c) = 0.Karena diketahui f mempunyai minimum relatif di cmaka terdapat V1 persekitaranc sehingga berlaku

f(c) ≤ f(x), untuk setiap x ∈ V1. (4.14)

Pengandaian f ′(c) > 0 mengakibatkan terdapat persekitaran V2 dari c sehingga

f(x)− f(c)x− c

> 0 untuk setiap x ∈ V2. (4.15)

Dengan mengambil V := V1 ∩ V2 maka kedua ketidaksamaan ini berlaku untuksetiap x ∈ V . Ambil x ∈ V dan x < c maka berlaku x − c < 0. Di lain pihakdiperoleh

f(x)− f(c) = f(x)− f(c)x− c︸ ︷︷ ︸>0

(x− c)︸ ︷︷ ︸<0

< 0→ f(x) < f(c),

kontradiksi dengan f(c) ≤ f(x). �

12

4 DIFERENSIAL

Kritis 4.2.1. Fungsi f(x) := x3 mempunyai sifat f ′(0) = 0 tetapi x = 0 bukan titik ek-strim. Ini berarti f ′(0) = 0 bukan syarat cukup agar c menjadi titik ekstrim. Ilustrasinyalihat pada gambar (kiri).

Terkait dengan masalah kritis ini, kebiasaan mengambil turunan pertama kemudian di-ambil harga nolnya bukanlah cara yang sempurna dalam menentukan nilai ekstrim baikminimum maupun maksimum. Ada tahapan lagi untuk memastikan bahwa nilai nol tu-runan pertama merupakan ekstrim, yaitu menggunakan uji derivatif pertama yang akandibahas berikutnya.

Kritis 4.2.2. Fungsi f(x) := |x| jelas mempunyai minimum relatif di x = 0, tetapi f ′(0)tidak ada. Ini menunjukkan bahwa adanya f ′(c) pada TEI sangat penting. Ilutrasinyadapat dilihat pada gambar (kanan).

Teorema 4.6. [Teorema Rolle] Bila fungsi f : I → R kontinu pada interval I := [a, b],terdiferensial pada interval (a, b) dan f(a) = f(b) = 0 maka ada c ∈ (a, b) sehinggaf ′(c) = 0.

Ilustrasi Teorema Rolle mengatakan bahwa bila dipenuhi beberapa syarat maka ada titikekstrim di dalam interval (a, b). Ilustrasinya diberikan pada gambar berikut.

a

b

c

f'(c) =0

y=f(x)

Gambar 4.2: Ilustrasi teorema Rolle (kiri)

Bukti. Bila f ≡ 0, yaitu identik dengan fungsi nol maka sebarang c ∈ (a, b) pastimemenuhi f ′(c) = 0 karena derivatifnya juga nol di mana-mana. Sekarang andaikansaja f tidak identik dengan nol, yaitu cukup diasumsikan ada bagian f yang posi-tif. Bila semua bagian f negatif, cukup diambil −f . Lihat ilutrasi pada gambarberikut ini. Karena f kontinu dalam interval tertutup [a, b] maka berdasarkan Teo-rema maksimum-minimum, fungsi f mencapai maksimum di dalam [a, b], yaitu adac ∈ [a, b] sehingga

f(c) = supx∈[a,b]

f(x).

Karena f > 0 maka f(c) > 0. Sekarang dipastikan bahwa c adalah titik interior,yaitu c ∈ (a, b). Seandainya c bukan interior maka c = a atau c = b. Tetapi halini tidaklah mungkin sebab f(a) = f(b) = 0, sedangkan f(c) > 0. Jadi dapatdiyakini c adalah titik interior. Karena f ′(x) ada untuk setiap x ∈ (a, b) maka

13

4 DIFERENSIAL

a

b

y=f(x)

c

fmaks

a

b

y=f(x)

c

fmaksy= -f(x)

Gambar 4.3: Kemungkinan fungsi f tidak identik dengan nol

otomatis f ′(c) juga ada. Sampai di sini semua asumsi pada TEI terpenuhi, yaituc titik interior, f mencapai ekstrim pada I dan f ′(c) ada, sehingga disimpulkanf ′(c) = 0. �

Sebagai konsekuensi langsung Teorema Rolle, diperoleh Teorema nilai rata-rata berikut.

Teorema 4.7. [Teorema nilai rata-rata] Bila fungsi f : I → R kontinu pada intervalI := [a, b], terdiferensial pada interval (a, b) maka ada c ∈ (a, b) sehingga

f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a) atau f(b)− f(a)b− a

= f ′(c). (4.16)

Ilustrasi Berdasarkan persamaan di atas, TNR mengatakan bahwa c adalah suatu titikdimana gradien garis singung kurva y = f(x) di x = c sejajar dengan garis yangmelalui (a, f(a)) dan (b, f(b)) seperti diilustrasikan pada gambar berikut.

a bc x

h(x)

sejajar

y = f(x)

(b,f(b))

(a,f(a))

Gambar 4.4: Ilustrasi dan interpretasi TNR

Bukti. Dide�nisikan fungsi h : I → R sebagai berikut

h(x) := f(x)− f(a)− f(b)− f(a)b− a

(x− a).

Selanjutnya ditunjukkan h memenuhi syarat pada Teorema Rolle:

14

4 DIFERENSIAL

• h kontinu pada [a, b] karena ia tersusun atas fungsi-fungsi kontinu pada [a, b],

• Dengan argumen yang mirip, kita simpulkan h fungsi terdiferensial pada (a, b),

• h(a) = f(a)−f(a)− f(b)−f(a)b−a (a−a) = 0 dan h(b) = f(b)−f(a)− f(b)−f(a)

b−a (b−a) = 0.

Berdasarkan Teorema Rolle, terdapatlah c ∈ (a, b) sehingga h′(c) = 0. Derivatifh′(x) diperoleh sebagai berikut

h′(x) = f ′(x)− f(b)− f(a)b− a

sehingga diperoleh

0 = h′(c) = f ′(c)− f(b)− f(a)b− a

→ f(b)− f(a)b− a

= f ′(c). �

4.3 Penggunaan teorema rata-rata

4.3.1 Identi�kasi sifat fungsi asal melalui derivatifnya

Teorema 4.8. Jika f kontinu pada interval tutup I := [a, b] dan terdiferensial padainterval buka (a, b) dengan f ′(x) = 0 untuk setiap x ∈ (a, b) maka f fungsi konstan.

Bukti. Kita mulai dari f(a) yaitu nilai f di titik a. Dibuktikan f(x) = f(a) untuksetiap x ∈ (a, b]. Ambil sebarang x ∈ (a, b]. Karena fungsi f memenuhi syaratcukup TNR pada [a, x], maka terdapat c ∈ (a, x) sehingga

f(x)− f(a) = f ′(c)(x− a).

Karena f ′(c) = 0 maka diperoleh f(x) − f(a) = 0, yaitu f(x) = a. Karena xdiambil sebarang maka terbukti f fungsi konstan. �

Teorema 4.9. Jika f dan g kontinu pada interval tutup I := [a, b] dan terdiferensialpada interval buka (a, b) dengan f ′(x) = g′(x) untuk setiap x ∈ (a, b) maka f = g + Cuntuk suatu konstanta C.

Bukti. Ambil h(x) := f(x) − g(x), maka diperoleh h′(x) = 0. Berdasarkan teoremasebelumnya diperoleh h fungsi konstan, katakan h(x) = C. Akibatnya f(x)−g(x) =C atau f(x) = g(x) + C. �

4.3.2 Identi�kasi fungsi naik dan fungsi turun

De�nisi 4.3. Fungsi f dikatakan naik (increasing) pada interval I jika berlaku �x1 <x2 → f(x1) ≤ f(x2)�, dikatakan turun (decreasing) jika berlaku �x2 < x2 → f(x1) ≥f(x2)�. Dikatakan naik tegas atau turun tegas jika tidak memuat tanda kesamaan.

15

4 DIFERENSIAL

4.3.3 Uji derivatif pertama untuk ekstrim

4.3.4 Penyelesaian masalah pertidaksamaan

4.4 Aturan L'Hospital

Marquis Guillame Francois L'Hospital (1661-1704) mempublikasikan teorema imit dalamkalkulus yang belakang ini disebut aturan L'Hospital.

Pada teorema limit hasil bagi berlaku bahwa jika limx→c f(x) = A dan limx→c g(x) = B,dan jika B 6= 0 maka

limx→c

f(x)

g(x)=A

B.

Namun, jika B = 0 maka tidak ada kesimpulan yang dapat diambil. Dalam kasus A 6= 0maka limit tersebut menjadi ∞ asalkan limitnya ada. Dalam kasus A = 0 dan B = 0maka limit hasil bagi f

g menghasilkan bentu taktentu 00 . Limit bentuk tentu mungkin

ada, mungkin juga tidak ada.

Contoh 4.6. Misalkan f(x) := αx dan g(x) := x. Dalam kasus ini untuk c = 0, munculbentuk taktentu 0

0 . Tetapi

limx→0

f(x)

g(x)= lim

x→0

αx

x= α.

Dalam kasus ini bentuk taktentu 00 memberikan hasil bilangan real. �

Bentuk taktentu lainnya diberikan sebagai berikut :

∞∞, 0 · ∞, 00, 1∞,∞0,∞−∞.

Aturan hospital untuk bentuk 00

Teorema 4.10. Misalkan f, g : [a, b]→ R berlaku f(a) = g(a) = 0, dan g(x) 6= 0 untuka < x < b. Bila f dan g terdiferensial di a dan g′(a) 6= 0 maka

limx→a+

f(x)

g(x)=f ′(a)

g′(a).

Bukti. Karena f(a) = g(a) = 0, kita dapat menulis bentuk yang ekuivalen sebagaiberikut

f(x)

g(x)=f(x)− f(a)g(x)− g(a)

=

f(x)−f(a)x−a

g(x)−g(a)x−a

Selanjutnya dengan menggunakan teorema limit hasil bagi diperoleh

limx→a+

f(x)

g(x)=

limx→a+f(x)−f(a)

x−a

limx→a+g(x)−g(a)x−a

=f ′(a)

g′(a). �

16

4 DIFERENSIAL

Hati-hati dengan syarat f(a) = g(a) = 0.

Sebagai contoh, jika f(x) := x+ 17 dan g(x) := 2x+ 3 maka diperoleh

limx→0

f(x)

g(x)=

17

3,

padahalf ′(0)

g′(0)=

1

2.

Hasil ini tidak sama dengan hasil yang ada dalam teorema dikarenakan f(0) = g(0) = 0tidak terpenuhi.

Contoh 4.7. Hitunglah limit berikut dengan menggunakan teorema di atas

limx→0

x2 + x

sin 2x.

Penyelesaian. Dalam soal ini kita mempunyai f(x) = x2+x dan g(x) = sin 2x, limx→0 f(x) =limx→0 g(x) = 0. Jadi diperoleh

limx→0

f(x)

g(x)= lim

x→0

x2 + x

sin 2x= lim

x→0

2x+ 1

2 cos 2x=

2(0) + 1

2 cos 2(0)=

1

2. �

Teorema nilai rata-rata Cauchy (TNR-C)

Teorema 4.11. Misalkan f an g kontinu pada [a, b] dan terdiferensial pada (a, b), dandiasumsikan g′(x) 6= 0 untuk setiap x ∈ (a, b). Maka terdapat c ∈ (a, b) sehingga

f(b)− f(a)g(b)− g(a)

=f ′(c)

g′(c).

17