Nama: Haerfing G. Auw

Nim: 1001051038

Hal: 178 - 181

CATATAN : Khusus untuk koordinat polar ( r , Ө ), pemetaat daerah Dxy ke bidang ( r , Ө ) untuk menentukan batas integral koordinat r dan Ө, tidaklah terlalu perlu. Karena, kaitan geometris koordinat polar ( r , Ө ) dengan ( x , y ) pada bidang xy sudahlah jelas, sehingga batas integral variabel r dan Ө yang meliputi daerah Dxy jelas terbaca. Dengan demikian, selanjutnya perhitungan integral lipat 2 dengan koordinat polar ( r , Ө ), dapat mengabaikan langkah pemetaan daerah integrasi yang diuraikan pada Contoh 8.5 di atas.

CONTOH 8.6

Pada integral :

I=∫x=0

12

(∫y= x

1−x

( x− yx+ y )

2

dy )dx

Lakukan perubahan variabel :

x=12

(u−v ), dan y=12(u+v)

Kemudian hitunglah integralnya dalam variabel u dan v.

PEMECAHAN :

Mengikuti langkah pemecahan pada contoh 8.5, kita hitung dahulu faktor Jacobinnya:

J ( x , yu , v )=det [1/2 −1/2

1/2 1/2 ]=1/2

Jadi, integrannya beralih menjadi :

( x− yx+ y )

2

dydx=(1/2 )( v2

u2 )dudv

Daerah integrasinya dalam bidang xy adalah yang dilukiskan pada gambar 8.9a. kurva batasnya ada 3 buah, yaitu : C1, C2, dan C3; ketiga titik potongnya adalah o (0,0 ) , P ¿ ), dan Q (0,1 ). Persamaan masing – masing kurva adalah :

C1 : sumbu y positif : x = 0 , 0 ≤ y ≤ 1 ,

C2 : garis y = x, 0 ≤ x ≤ 1/2 ,

C3 : garis y = 1 – x, 0 ≤ x ≤ 1/2 .

O

v

U = v

Duv

1 u

( b )

O

y

Dxy

Y = x

Y = 1 - x

x

( a )

Pemetaannya pada bidang ( u , v ), kita tentukan dengan menggunakan transformasi invers :

u=( x+ y ), dan v=(−x+ y )

Pada kurva yang berkaitan adalah :

c1' :u= y , atauu=v , 0≤ v ≤1 ,

c2' : u=2 x , v=0 , 0≤ x ≤1 /2(sumbu u positif )

c3' :u=1 , v=−2 x+1 , 0≤ x ≤1/2 ,

Ketiga kurva ini dalam bidang ( u, v ) diperlihatkan pada gambar 8.9b,yang berpotongan di titik : O’ ( 0, 0 ), P’ ( 1, 0 ), dan Q’ ( 1, 1 ). Daerah Duv adalah yang diarsir.

GAMBAR 8.9 ( a ). Daerah integrasi Dxy soal 8.6, dan ( b ) petanya Duv .

Karena daerah integrasi Duv terhadap sumbu u maupun v, maka dengan memilih kenormalan terhadap sumbu u misalnya, kita peroleh rumusan integral berulang :

I=12∫u=0

1

(∫v=0

uv2

u2dv )du=1

2∫

u=0

1 [ v3

3 u2 ]0

u

du=16∫u=0

1

udu= 112

CONTOH 8.7

Diketahui daerah Dxy pada kuadran I bidang xy dibatasi oleh kurva – kurva xy = 2, xy = 16, y2 = ½ x, dan y2 = 4x. Hitunglah :

O

Duv

v

4

U162 ( b )

Dxy

C4

C3C2C1

x

y

O

( a )

I=∬D xy

❑

( x2

y )dxdy

Dengan melakukan pengubahan variabel yang memudahkan.

PEMECAHAN :

pertama, kita gambarkan dahulu daerah integrasi Dxy :

GAMBAR 8.10 ( a ). Daerah integrasi Dxy Contoh 8.7, dan ( b ) petanya Duv

Kurva – kurva batasnya adalah :

C1 : xy=2

C2 : xy=16 ,

C3 : y2=12

x , atau ( y2/ x )=12

C4 : y2=4 x , atau ( y2/ x )=4

Dengan x, y > 0. Keempat titik potongnya adalah : P ( 2, 1 ), Q ( 8, 2 ), R ( 4, 4 ), dan S ( 1, 2 ) ( lihat Gmbar 8. 10a ).

Ada banyak tranformasi variabel untuk menghitung tranformasi di atas, dan kita memilih yang mempermudah perhitungan. Karena c1 dan c2 adalah sepasang hiperbola, c3 dan c4 sepasang parabola, masing – masing pasang bentuk fungsinya sama hanyalah berbeda koefisien, maka kita dapat memilih variabel integral baru sebagai berikut :

u=xy , dan v=( y2/ x )

Dalam hal ini, peta daerah Dxy pada bidang uv dapat dicirikan mmelalui peta masing – masing kurva batas seperti yang kita lakukan pada Contoh : 8.5 dan 8.6 di atas. Kita peroleh:

c1' :u=2 , v=1

2y3 , 1≤ y ≤2 ,

c2' : u=16 , v= 1

16y3 2≤ y ≤ 4,

c3' :u=2 y3 , v=1

2, 1≤ y ≤ 2

c4' :u=1

4y3, v=4 2≤ y ≤ 4

Dengan keempat titik potong bersangkutan adalah :

P' (2 ,12 ) , Q' (16 ,

12 ), R'=(16 , 4 ) , dan S ' (2 , 4 ) ( lihat Gambar 8.10 b ) .

Tampak, Duv adalah sebuah daerah empat persegi panjang. Faktor Jacobi J ( x , yu , v ) bagi

tranformasi di atas akan kita cari dari inversnya. Kita peroleh :

J ( u , vx , y )=det [ y x

− y2/ x2 2 y /x ]=3 ( y2/x )=3 v

Jadi, faktor Jacobi transformasinya adalah :

J ( x , yu , v )=J ( u , v

x , y )−1

= 13 v

Integral ( x2 / y ), di bawah transformasi di atas, beralih menjadi :

I=∫u=2

16

∫v=1 /2

4

(uv )( 1

3v )dudv=∫u=2

16

udu ∫v=1 /2

4

( 13v2 )dv=147

8.5 INTEGRAL LIPAT TIGA

Perluasan integral lipat dua ke dimensi tiga memperkenalkan integral lipat tiga yang akan kita bahas dalam pasal ini dan yang berikutnya. Sebagian besar gagasan dasarnya tidaklah berbeda dari integral lipat dua, kecuali analisisnya sedikit lebih rumit. Karena itu, berikut kita hanya memusatkan perhatian pada uraian ringkas hal –hal pentingnya serta beberapa contoh perhitungannya. Pada passal berikut dibahas penganlihan variabel interaksi, terutama tranformasi koordinat ke sistem koordiant bola dan silinder.

DEVINISI INTEGRAL LIPAT TIGA

Tinjaulah persoalan menentukan massa sebuah benda tiga dimensi terbatas V ( bola, kerucut, atau benda tak beraturan lainnya ), yang memeiliki rapat massa tak seragam ρ = ɸ ( x, y, z ). Untuk menghitung massa totalnya, pertama volume benda kita bagi atas sejumlah

elemen volume kecil ∆ v i=( ∆ xi ,∆ y i , ∆ zi ) (i=1 ,2 , …. , n ) ( lihat Gambar 8.11 )