fismat i bilangan komplek
TRANSCRIPT
-
Fisika Matematika IFisika Matematika I
KontrakKontrak PerkuliahanPerkuliahan
Fisika Matematika IFisika Matematika I
(2 SKS)(2 SKS)
DosenDosen PengampuPengampu
SahrulSahrul HidayatHidayat
10:01:02
SahrulSahrul HidayatHidayat
KompetensiKompetensi yang yang diharapkandiharapkan
MetodeMetode PerkuliahanPerkuliahan
MetodeMetode EvaluasiEvaluasi
MateriMateri KuliahKuliah
ReferensiReferensihttp://staff.phys.unpad.ac.id/sahrul/http://staff.phys.unpad.ac.id/sahrul/
-
KOMPETENSIKOMPETENSI
MahasiswaMahasiswa mampumampu menggunakanmenggunakan BilanganBilangan dandan
PersamaanPersamaan AljabarAljabar Kompleks,Kompleks, Matriks,Matriks, dandan AnalisaAnalisa
VektorVektor untukuntuk melakukanmelakukan analisisanalisis gejalagejala fisikafisika..
10:01:02
Fisika Matematika IFisika Matematika I
MampuMampu merepresentasikanmerepresentasikan vektorvektor dandan matrikmatrik dalamdalam
sistemsistem koordinatkoordinat yangyang berbedaberbeda dandan melakukanmelakukan
operasioperasi vektorvektor dandan matriksmatriks dengandengan benarbenar
-
METODE PERKULIAHANMETODE PERKULIAHAN
SistemSistem pembelajaranpembelajaran dilakukandilakukan dengandengan caracara
presentasipresentasi dengandengan menggunakanmenggunakan fasilitasfasilitas
multimediamultimedia oleholeh dosendosen
10:01:02
Fisika Matematika IFisika Matematika I
multimediamultimedia oleholeh dosendosen
LatihanLatihan penyelesaianpenyelesaian soalsoal atauatau kasuskasus dengandengan
metodemetode diskusidiskusi dandan tanyatanya jawabjawab
PengayaanPengayaan materimateri dilakukandilakukan
dengandengan memberikanmemberikan tugastugas
peroranganperorangan atauatau kelompokkelompok
-
METODE EVALUASIMETODE EVALUASI
MetodeMetode evaluasievaluasi dilakukandilakukan dengandengan UjianUjian TengahTengah
SemesterSemester dandan UjianUjian AkhirAkhir SemesterSemester.. SelainSelain ituitu
ditambahditambah dengandengan komponenkomponen penunjangpenunjang daridari kuiskuis
//tugastugas..
10:01:02
Fisika Matematika IFisika Matematika I
//tugastugas..
PenilaianPenilaian
KuisKuis :: 1515 %%
TugasTugas :: 1515 %%
UTSUTS :: 3535 %%
UASUAS :: 3535 %%
-
MATERI KULIAHMATERI KULIAH
Bilangan dan Persamaan Aljabar KompleksBilangan dan Persamaan Aljabar Kompleks
Defenisi bilangan kompleksDefenisi bilangan kompleks
Aljabar bilangan kompleks Aljabar bilangan kompleks
Contoh Penerapan dalam FisikaContoh Penerapan dalam Fisika
10:01:02
Fisika Matematika IFisika Matematika I
MatriksMatriks
Defenisi serta aljabar matriks, dan Defenisi serta aljabar matriks, dan
determinandeterminan
Sistem persamaan linierSistem persamaan linier
Transformasi koordinatTransformasi koordinat
Analisis VektorAnalisis Vektor
Kalkulus diferensial fungsi vektorKalkulus diferensial fungsi vektor
KalkulusKalkulus Integral fungsi vektorIntegral fungsi vektor
-
REFERENSIREFERENSI
MaryMary LL.. Boas,Boas, MathematicalMathematical methodsmethods inin thethe
physicalphysical sciencessciences,, 33rdrd eded..,, JohnJohn WileyWiley && Sons,Sons,
NewNew York,York, 20062006
10:01:02
Fisika Matematika IFisika Matematika I
KK.. FF.. Riley,Riley, MM.. PP.. HobsonHobson andand SS.. JJ.. Bence,Bence,
MathematicalMathematical MethodsMethods forfor PhysicsPhysics andand
EngineeringEngineering 33rdrd editionedition ,Cambridge,Cambridge UniversityUniversity
Press,Press, 20062006
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek 10:01:02
Apa definisi Bilangan Imajiner/komplek?Apa definisi Bilangan Imajiner/komplek?
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek 10:01:02
Bilangan Asli ( bilangan hitung)Bilangan Asli ( bilangan hitung)
-1 Bilangan RasionalBilangan Rasional
1
Pengelompokkan BilanganPengelompokkan Bilangan
3 + 4i 2i
Bilangan Bilangan
Imajiner/KomplekImajiner/Komplek c
Bilangan RealBilangan Real-3
1
2
BilanganBilangan integersintegers0.41
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek 10:01:02
Bilangan imajiner adalah suatu bentukBilangan imajiner adalah suatu bentuk bilanganbilangan untuk untuk
mendefinisikan solusi persamaan polinomialmendefinisikan solusi persamaan polinomial
Arti bilanganArti bilangan imajiner:imajiner:
Atau:Atau:
Bilangan komplek adalah kombinasi dari bilangan real Bilangan komplek adalah kombinasi dari bilangan real
dan bilangan imajinerdan bilangan imajiner
Bagian real
imajinar
11 + 18i
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
KenapaKenapa munculmuncul istilahistilah bilanganbilangan komplekkomplek??
BilanganBilangan komplekkomplek munculmuncul padapada saatsaat mencarimencari akarakar--akarakar daridari
persamaanpersamaan polinomialpolinomial
ContohContoh padapada solusisolusi akarakar persamaanpersamaan kuadratkuadrat::
10:01:02
AkarAkar--akarakar persamaanpersamaan
kuadratkuadrat adalahadalah::
BagianBagian realreal
BagianBagian imajinerimajiner
BilanganBilangan komplekkomplek
-
KenapaKenapa solusisolusi akarakar kuadratkuadrat adaada yang yang bersifatbersifat komplekkomplek??
BagaimanaBagaimana bentukbentuk fungsifungsi
persamaanpersamaan
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek 10:01:02
TidakTidak adaada nilainilai z yang real z yang real
padapada kondisikondisi f(z)f(z) = 0= 0
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
PenulisanPenulisan bilanganbilangan komplekkomplek
iyxz += jyxz +=atauatau
xx adalahadalah bagianbagian real real dandan yy adalahadalah bagianbagian imajinerimajiner
AkarAkar--akarakar pesamaanpesamaan kuadratkuadrat::
10:01:02
AkarAkar--akarakar pesamaanpesamaan kuadratkuadrat::
DapatDapat ditulisditulis sbbsbb::
Bilangan komplek dapat di Bilangan komplek dapat di
representasikan dalam koordinat representasikan dalam koordinat
xx--y, bentuk tersebut dinamakan y, bentuk tersebut dinamakan
diagram komplekdiagram komplek (diagram (diagram
Argand).Argand).
-
y2
3
2 + 32 + 3ii
Diagram ArgandDiagram Argand
Bilangan komplek dapat Bilangan komplek dapat
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek 10:01:02
x
1 2 3
1
Bilangan komplek dapat Bilangan komplek dapat
diungkapkan dalam diungkapkan dalam bentuk titik bentuk titik
di dalam diagram Arganddi dalam diagram Argand
-
y1
2
3
A
Diagram ArgandDiagram Argand
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek 10:01:02
x
1 2 3
1
O
A
Bilangan komplek dapat Bilangan komplek dapat
diungkapkan dalam bentuk diungkapkan dalam bentuk
vektorvektor di dalam diagram di dalam diagram
ArgandArgand
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
OperasiOperasi PenjumlahanPenjumlahan dandan PenguranganPengurangan
BagianBagian real real dijumlahkandijumlahkan dengandengan bagianbagian real real dandan bagianbagian
imajinerimajiner dengandengan bagianbagian imajinerimajiner
10:01:02
PenjumlahanPenjumlahan duadua
bilanganbilangan komplekkomplek dalamdalam
representasirepresentasi diagramdiagram
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
ContohContoh
JumlahkanJumlahkan ketigaketiga bilanganbilangan komplekkomplek berikutberikut::
1 + 2i; 3 4i; 2 + i
10:01:02
BagianBagian realreal BagianBagian imajinerimajiner
HasilnyaHasilnya
2 - i
-
y1
2
3B
C
Penjumlahan/PenguranganPenjumlahan/Pengurangan
Di dalam Diagram ArgandDi dalam Diagram Argand
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek 10:01:02
x
1 2 3
1
O
A
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
Modulus Modulus dandan ArgumenArgumen
Modulus Modulus bilanganbilangan komplekkomplek adalahadalah nilainilai absolutnyaabsolutnya, , dituliskandituliskan sbbsbb::
Dalam diagram komplek, Dalam diagram komplek, |||||||| z z |||||||| adalah jarak/panjang dari titik acuan.adalah jarak/panjang dari titik acuan.
ArgumenArgumen adalahadalah sudutsudut yang yang dibentukdibentuk oleholeh |||||||| z z |||||||| dengandengan sumbusumbu x x
10:01:02
ArgumenArgumen adalahadalah sudutsudut yang yang dibentukdibentuk oleholeh |||||||| z z |||||||| dengandengan sumbusumbu x x positippositip didi dalamdalam diagram diagram komplekkomplek. . NilaiNilai argumenargumen dihitungdihitung sbbsbb::
ContohContoh: : HitungHitung modulus modulus dandan argumenargumen daridari bilanganbilangan komplekkomplek z = 2 z = 2 3i3i
Modulus:Modulus:
ArgumenArgumen:: Karena x positif dan y negatif, maka Karena x positif dan y negatif, maka
terletak dikuadran 4, jadi argumen z terletak dikuadran 4, jadi argumen z
adalah adalah 5656 atau 304atau 304
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
PerkalianPerkalian BilanganBilangan KomplekKomplek
i2= 1Catatan:
Hitung perkalian z1 = 3 + 2i dan z2 = 1 4i
10:01:02
Operasi perkalian bilangan komplek berlaku sifat komutatif dan asosiatif
Modulus dan argumen perkalian bilangan komplek memiliki sifat:
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
HitungHitung hasilhasil kali kali bilanganbilangan komplekkomplek zz11 = 3 + 2i = 3 + 2i dandan zz22 = = 1 1 4i4iCekCek untukuntuk operasioperasi perkalianperkalian berlakuberlaku ||||||||zz22zz22|||||||| = = ||||||||zz11|||||||| ||||||||zz22||||||||
10:01:02
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek 10:01:02
Sederhanakan Bentuk bilangan berikut:Sederhanakan Bentuk bilangan berikut:
1.1.
2.2.
3.3.
4.4.
5.5.
6.6.
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek 10:01:02
0136
:berikutkuadrat persamaan akar Cari.7
2 =+ xx
2
52366x
=
komplekbentuk dalam Solusi23
2
1166
2
166
2
ix
x
x
=
=
=
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek 10:01:02
=
=
=
3
2
i
i
ii
Pangkat dari bilangan imajinerPangkat dari bilangan imajiner
( )iii
i
ii
==
==
=
3
22
1
11
=
=
=
=
=
7
6
5
4
3
i
i
i
i
i
ii
i
ii
i
iii
=
=
=
==
==
7
6
5
4
3
1
111
1
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
KonjugatKonjugat KomplekKomplek
KonjugatKonjugat komplekkomplek daridari z z diberidiberi simbolsimbol zz**
KonjugateKonjugate komplekkomplek daridari zarizari z= x + z= x + iyiy adalahadalah zz** = x = x iyiy
10:01:02
KonjugatKonjugat komplekkomplek daridari zz
memilikimemiliki nilainilai xx dandan yy yang yang
samasama, , tetapitetapi jikajika dikalikandikalikan
akanakan menghasilkanmenghasilkan bilanganbilangan
real real tanpatanpa komponenkomponen
imajinerimajiner
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
TentukanTentukan konjugatkonjugat komplekkomplek daridari z = a +2i + 3ibz = a +2i + 3ib
KonjugatKonjugat komplekkomplek diperolehdiperoleh dengandengan menggantimengganti ii dengandengan ii
Konjugat kompleknya:
ixwwz ixy 5 dimana )23( +== +
10:01:02
TentukanTentukan konjugatkonjugat komplekkomplek daridari :: ixwwz ixy 5 dimana )23( +== +
Konjugat kompleknya:
SifatSifat konjugatkonjugat komplekkomplek::
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
PembagianPembagian bilanganbilangan komplekkomplek
MengubahMengubah bagianbagian pembilangpembilang sehinggasehingga menjadimenjadi real, real, dengandengan caracara
mengalikanmengalikan konjugatkonjugat komplekkomplek daridari pembilangpembilang
10:01:02
EkspresikanEkspresikan bilanganbilangan komplekkomplek berikutberikut dalamdalam bentukbentuk z = x + z = x + iyiy
i
iz
41
23
+
=
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
KalikanKalikan dengandengan konjugatkonjugat komplekkomplek daridari pembilangpembilang::
SifatSifat pembagianpembagian bilanganbilangan komplekkomplek: :
10:01:02
SifatSifat pembagianpembagian bilanganbilangan komplekkomplek: :
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
UngkapanUngkapan bilanganbilangan komplekkomplek dalamdalam bentukbentuk polarpolar
Bentuk polar adalah bentuk fungsi eksponensial, definisi
fungsi eksponensial adalah sbb:
Jika z = i, maka:
10:01:02
Jika z = i, maka:
Cos Sin
dinamakandinamakan persamaanpersamaan EulerEuler
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
NotasiNotasi polar polar bilanganbilangan komplekkomplek
10:01:02
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
PerkalianPerkalian dandan pembagianpembagian bilanganbilangan komplekkomplek dalamdalam notasinotasi
polarpolar
dan
10:01:02
PerkalianPerkalian::
dan
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
PembagianPembagian::
10:01:02
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
TeoremaTeorema dede--MoivreMoivre
DalamDalam notasinotasi komplekkomplek
berlakuberlaku hubunganhubungan::PersamaanPersamaan Euler Euler
menyatakanmenyatakan::
MakaMaka berlakuberlaku
hubunganhubungan::
10:01:02
hubunganhubungan::
TeoremaTeorema dede--MoivreMoivre
( ) ninrerz ninnn sincos +==
+==n
in
rerz nninn sincos//1/1
SelanjutnyaSelanjutnya dapatdapat diturunkanditurunkan hubunganhubungan::
BilanganBilangan komplekkomplek
pangkatpangkat nn
BilanganBilangan komplekkomplek
akarakar pangkatpangkat nn
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
UngkapkanUngkapkan coscos 33 dandan sin 3sin 3 dalamdalam coscos dandan sin sin
MenurutMenurut teoremateorema dede--MoivreMoivre::
RealReal ImajinerImajiner
10:01:02
BagianBagian real real dandan bagianbagian imajinerimajiner dapatdapat dipisahdipisah sbbsbb::
RealReal ImajinerImajiner
BagianBagian RealReal
BagianBagian ImajinerImajiner
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
( )81 i+HitungHitung nilainilai daridari::
iz +=1
Modulus:Modulus:
ArgumenArgumen::
2=r
=
DalamDalam notasinotasi polar:polar:4/2 iez =
10:01:02
ArgumenArgumen::
4 =
( ) ( ) 161621 284/8 ===+ ii eei
12sin2cos =+ i
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
DenganDengan menggunakanmenggunakan teoremateorema dede--MoivreMoivre buktikanbuktikan bahwabahwa
berlakuberlaku hubunganhubungan::
10:01:02
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
UntukUntuk kasuskasus n=1 n=1
berlakuberlaku hubunganhubungan::
NyatakanNyatakan coscos33 dalamdalam bentukbentuk coscos 33 dandan coscos
10:01:02
DenganDengan demikiandemikian::
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
MencariMencari solusisolusi persamaanpersamaan zznn= 1= 1
MenurutMenurut rumusrumus Euler : Euler : kike ik 2sin2cos2 +=
= 1 ; = 1 ; untukuntuk k = 0,1,2,3k = 0,1,2,3
= 2k
10:01:02
DapatDapat dituliskandituliskan: :
JadiJadi solusisolusi persamaanpersamaan zznn = 1 = 1 adalahadalah
k=nk=n--11
-
TentukanTentukan solusisolusi ((akarakar--akarakar) ) persamaanpersamaan zz33 = 1= 1
UntukUntuk n =3:n =3:
SolusiSolusi persamaanpersamaan didi atasatas adalahadalah ::
FisikaFisika MatematikaMatematika II
10:01:02
SolusiSolusi persamaanpersamaan didi atasatas adalahadalah ::
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
LogaritmaLogaritma komplekkomplek dandan pangkatpangkat komplekkomplek
BilanganBilangan komplekkomplek dapatdapat dituliskandituliskan dalamdalam bentukbentuk::
DenganDengan: : argarg z = z = +2n+2nn = 0,1,2,3,.n = 0,1,2,3,.
DenganDengan mengoprasikanmengoprasikan logaritmalogaritma padapada keduakedua ruasruas, , diperolehdiperoleh::
10:01:02
DenganDengan mengoprasikanmengoprasikan logaritmalogaritma padapada keduakedua ruasruas, , diperolehdiperoleh::
TentukanTentukan nilainilai daridari LnLn ((--ii))
Modulus :Modulus : 1)1( 2 === rz ArgumenArgumen ::20
1tan 1
=
=
JadiJadi nilainilaiLnLn 1 = 01 = 0
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
SederhanakanSederhanakan bilanganbilangan komplekkomplek z = iz = i--2i2i
OperasikanOperasikan logaritmalogaritma padapada fungsifungsi::
LnLn ii dapatdapat ditulisditulis dalamdalam bentukbentuk::
10:01:02
LnLn ii dapatdapat ditulisditulis dalamdalam bentukbentuk::
z z dapatdapat disederhanakandisederhanakan sbbsbb::
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
FungsiFungsi HiperbolikHiperbolik
TrigonometriTrigonometri sudutsudut komplekkomplek:: DidefinisikanDidefinisikan::
AnalogiAnalogi dengandengan fungsifungsi trigonometritrigonometri, , berlakuberlaku jugajuga untukuntuk fungsifungsi
10:01:02
AnalogiAnalogi dengandengan fungsifungsi trigonometritrigonometri, , berlakuberlaku jugajuga untukuntuk fungsifungsi
hiperbolikhiperbolik::
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
HubunganHubungan trigonometritrigonometri dengandengan fungsifungsi hiperbolikhiperbolik::
10:01:02
PersamaanPersamaan identitasidentitas dalamdalam trigonometritrigonometri jugajuga
berlakuberlaku untukuntuk fungsifungsi hiperbolikhiperbolik
-
ContohContoh AplikasiAplikasi
IRVR =
dt
dILVL =
IdVC =
10:01:02
FisikaFisika MatematikaMatematika II
C
I
dt
dVC =
tieII 0=
RIeRIV tiR ==
0
LIieLIiV tiL == 0
ICi
eICi
V tiC 11
0 ==
IC
LiR
VVVV CLR
+=
++=
1
ImpedansiImpedansi (Z)(Z)