fisika statistik - universitas · pdf filemateri diawali dengan peninjauan ulang (review)...

Diktat Kuliah

Fisika Statistik

Oleh

Tasrief Surungan

Jurusan Fisika FMIPA

Universitas Hasanuddin

2011

ii

Kata Pengantar

Fisika statistik yang juga disebut sebagai mekanika statistik adalah kajian teoretik untuk fenomena

termodinamika. Dengan menggunakan hukum-hukum mekanika, persamaan-persamaan termodi-

namik yang dirumuskan melalui eksperimen dapat diperoleh.

Naskah ini dimaksudkan sebagai referensi tambahan, bagi peserta mata kuliah fisika statistik di

Jurusan Fisika FMIPA Universitas Hasanuddin. Biasanya mata kuliah ini disajikan pada tingkat

kedua, setelah mahasiswa belajar Termodinamika dan Fisika Matematika I. Topik-topik dalam

buku ini diselaraskan untuk maksud pengajaran dengan 3 SKS.

Naskah ini masih jauh dari sempurna sehingga memerlukan perbaikan secara berkesinambungan.

Umpan balik berupa kritik atau saran dari para pembaca sangat diharapkan. Semoga naskah ini

bermanfaat dan secara umum memberi sumbangsih bagi peningkatan kualitas pembelajaran di

Jurusan Fisika Universitas Hasanuddin.

Makassar, 8 Februari 2010

iii

Garis-Garis Besar Rencana Pembelajaran

Nama Mata Kuliah: Fisika Statitistik

Kode Mata Kuliah: 247H2103

Dosen: Dr. Tasrief Surungan, M.Sc.

Dr. P. L. Gareso, M.Sc.

Pekan Materi

1 Pendahuluan Fisika Statistik

2 Fungsi Distribusi Diskret

3 Fungsi Distribusi Kontinu

4 Teori Kinetik Gas (I)

5 Teori Kinetik Gas (II)

6 Fungsi Distribusi Kecepatan dan Laju

7 Statistik Maxwell-Boltzmann

8 Mid Test

9 Statistik Bose-Einstein (I)

10 Statistik Bose-Einstein (II) (Aplikasi)

11 Statistik Fermi-Dirac (I)

12 Statistik Fermi-Dirac (II) (Aplikasi)

13 Majelis Kanonik (Mikro)

14 Majelis Kanonik(Makro)

15 Model Ising dan Metoda Monte Carlo

16 Final Test

Deskripsi Singkat

Fisika statistik adalah kajian teoretik mengenai sistem yang terdiri atas banyak partikel/molekul

dengan menggunakan mekanika dan statitistik. Kompetensi utama yang diharapkan adalah ma-

hasiswa dapat menggunakan konsep fisika statitik dalam menganalisis sifat-sifat bahan, baik gas

maupun padat. Materi diawali dengan peninjauan ulang (review) mengenai termodinamika dan

latar belakang fisika statistik, kemudian dilanjutkan dengan konsep statistik, teori kinetik gas,

distribusi kecepatan dan laju, statistik Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein dan Fermi Dirac, Teori

Majelis dan beberapa topik pilihan.

iv

Referensi

1. F. W. Sears, Thermodynamics, the Kinetic Theory of Gases andStatistical Mechanics, Addi-

son Wesley, 1963.

2. T. Surungan, Diktak Kuliah: Fisika Statistik, Jurusan Fisika FMIPA, Universitas Hasanud-

din, 2009.

3. W. Greiner, L. Neise, H. Stocker, Thermodynamics and Statistical Mechanics, Springer,

Berlin, 1995.

4. L. E. Reichl, A Modern Course in Statistical Physics, John Wiley & Sons, 1998.

5. K. Huang, Statistical Mechanics, 2nd Ed., John Wiley & Sons, 1987.

Daftar Isi

Kata Pengantar ii

GBRP iii

I Termodinamika 1

1 Konsep Dasar 3

1.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Sistem Termodinamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Peubah dan Fungsi Keadaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Ruang Keadaan dan Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Persamaan Keadaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 Proses-Proses Termodinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.7 Soal-soal latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Hukum-Hukum Termodinamika 13

2.1 Hukum Ke-Nol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

v

vi DAFTAR ISI

2.2 Hukum Pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Hukum Kedua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.1 Siklus Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.2 Entropi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Hukum III Termodinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Potensial Termodinamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

II Mekanika Statistik 23

3 Konsep Dasar Fisika Statistik 25

3.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Keadaan Makro dan Mikro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Majelis (Ensemble) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.1 Ruang Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 Teorema Lioville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5 Soal-Soal Bagian 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Konsep-Konsep Statistik 31

4.1 Kebolehjadian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Peubah Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Fungsi-Fungsi Distribusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.1 Distribusi Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3.2 Distribusi Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

DAFTAR ISI vii

4.3.3 Distribusi Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4 Harga Ekspektasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.5 Permutasi dan Kombinasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Teori Kinetik Gas 43

5.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2 Asumsi-asumsi Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3 Tumbukan dengan Dinding Permukaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.4 Persamaan Keadaan Gas Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6 Distribusi Kecepatan Molekuler 49

6.1 Ruang Kecepatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.2 Penentuan Nilai Parameter Distribusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.3 Fungsi Distribusi Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.4 Prinsip Ekipartisi Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.5 Soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7 Statistik Maxwell Boltzmann 57

7.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.2 Ruang Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.3 Keadaan Mikro dan Keadaan Makro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.4 Bobot Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.5 Perhitungan Entropi Gas Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.6 Paradoks Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

viii DAFTAR ISI

7.7 Teori Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.8 Soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8 Statistik Bose Einstein 65

8.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.2 Perumusan Statistik Bose Eistein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.3 Bobot Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.4 Statistik Gas Foton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9 Statistik Fermi Dirac 71

9.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9.2 Bobot Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9.3 Fungsi Parstisi Raya untuk Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9.4 Fungsi Persamaan Keadaan Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9.5 Soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

10 Majelis dalam Mekanika Statistik 77

10.1 Majelis Kanonik Mikro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

10.2 Majelis Kanonik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

10.3 Majelis Kanonik Makro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

10.4 Soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

11 Perubahan Fase dan Fenomena Kritis 83

11.1 Pendahluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

DAFTAR ISI ix

11.2 Energi Bebas dan Potensial Termodinamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

11.3 Perubahan Fase Orde Pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

11.4 Perubahan Fase Orde Kedua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

11.4.1 Kelas Universalitas dan Hubungan Penyekalaan . . . . . . . . . . . . . . . . 86

11.4.2 Penyekalaan Ukuran Berhingga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

11.5 Perubahan Fase Kuantum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

11.6 Soal-Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

12 Metode Monte Carlo 91

12.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

12.2 Ragam Algoritma MC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

12.3 Algoritma Metropolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

12.4 Teknik Pembobotan Ulang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

12.5 Algoritma Wang-Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

12.6 Metoda Histogram Lebar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

12.7 Metoda Hibrid (Kombinasi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

13 Grup Renormalisasi 103

13.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

13.2 Fixed Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

13.3 Kondensasi Boson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Appendix A: Integral Gaussian 106

x DAFTAR ISI

Daftar Pustaka 109

Index 110

Bagian I

Termodinamika

1

Bab 1

Konsep Dasar

1.1 Pendahuluan

Termodinamika, sesuai namanya, adalah kajian tentang dinamika panas. Sebagai cabang fisika, ter-

modinamika membahas hukum-hukum kausalitas dinamika panas yang meliputi semua proses pe-

rubahan dan perpindahan panas. Termodinamika bersifat fenomenologis dimana hukum-hukumnya

dirumuskan langsung dari eksperimen. Hukum-hukum ini hanya dalam ranah besaran-besaran

makroskopik. Contohnya, jika volume gas diperbesar, tekanannya akan mengecil. Mekanisme

penyebab tekanan mengecil tidak dipersoalkan dari sudut pandang termodinamika. Hukum-hukum

termodinamika bersifat empiris-fenomenologis.

Termodinamika mempersoalkan bagaimana panas dapat diubah menjadi kerja atau sebaliknya.

Salah satu aplikasinya dalam bidang keteknikan adalah kajian perpindahan panas (heat transfer)

yang mengulas metoda atau cara perpindahan panas.

1.2 Sistem Termodinamik

Pembahasan termodinamik memerlukan konsep sistem, yaitu obyek yang secara konseptual memi-

liki batas geometri yang jelas. Disebut konseptual sebab batas sistem dapat dibuat sembarang,

tergantung pada kebutuhan. Semua yang terlingkupi oleh batas disebut sistem sedangkan yang

diluar disebut lingkungan. Air dalam gelas dapat dipandang sebagai sistem sedangkan gelas dan

3

4 BAB 1. KONSEP DASAR

udara sekelilingnya adalah lingkungan. Air dan gelas selanjutnya juga dapat dipandang sebagai

sistem sedangkan udara dan benda lain di sekelilingnya adalah lingkungan.

Pemisahan antara sistem dan lingkungan dimaksudkan agar pembahasan fenomena yang ada lebih

fokus sehingga uraian tentang hubungan kausalitas lebih jelas.

Sistem dapat berinteraksi dengan sistem lain atau lingkungan sehingga mengalami perubahan

sifat. Berdasarkan jenis interaksinya dengan lingkungan, sistem dibedakan atas sistem terbuka

(open), tertutup (closed) dan terisolasi (isolated). Sistem terbuka (open system) ditandai oleh

adanya pertukaran baik energi maupun materi dengan lingkungan. Akibatnya, energi dan massa

sistem tidak tetap. Jika terjadi kesetimbangan dengan lingkungan, maka rerata energi dan jumlah

partikel sistem akan ditentukan oleh temperatur dan potensial kimianya. Sebab itu, temperatur

dan potensial kimia dapat digunakan dalam karakterisasi keadaan makroskopik sistem.

Sistem tertutup tidak mengalami pertukaran materi dengan lingkunan tetapi tetap dimungkinkan

adanya pertukaran energi. Energi sistem tertutup tidak tetap. Apabila sistem mengalami kese-

timbangan dengan lingkungan, maka energi sistem akan berada pada nilai rerata dan bergantung

pada temperaturnya atau temperatur lingkungan.

Sistem juga dapat diisolasi sehingga tida terjadi pertukaran baik energi maupun materi dengan

lingkungan. Semua perubahan yang dialami oleh sistem terisolasi bergantung pada keadaan inter-

nalnya.

1.3 Peubah dan Fungsi Keadaan

Keadaan termodinamik (thermodynamic states) suatu sistem dinyatakan sebagai titik dalam ru-

ang keadaan yang sumbu-sumbunya adalah peubah termodinamik, volume (V ), tekanan (P ) dan

temperatur (T ). Peubah keadaan secara umum tidak saling bebas, dengan perkataan lain dapat

bergantung satu sama lain. Kenyataan ini menyebabkan persamaan keadaan secara umum dapat

dituliskan sebagai

f(P, V, T ) = 0 (1.1)

yang merupakan sajian permukaan dalam ruang 3D yang sumbunya adalah P, V dan T .

Setiap titik dalam ruang keadaan adalah titik setimbang dimana temperatur, densitas dan rerata

kecepatan tidak berubah. Keadaan setimbang dapat didefinisikan sebagai keadaan dimana besaran-

besaran termodinamik tidak mengalami perubahan terhadap waktu.

1.3. PEUBAH DAN FUNGSI KEADAAN 5

T

solid

liquid

vapor

b

a

P

C

Tr

Gambar 1.1: Diagram fase sistem PVT (Air dalam fase padat, cair dan gas)

Untuk setiap titik keadaan dapat didefinisikan suatu fungsi termodinamik yang nilainya bergantung

pada peubah termodinamik. Nilai peubah termodinamik diperoleh melalui pengukuran sedangkan

fungsi termodinamik biasanya melalui perhitungan. Contoh fungsi termodinamik adalah energi

dalam, entropi, energi bebas, entalpi dan panas jenis.

Di antara fungi termodinamik, ada yang digolongkan sebagai fungsi keadaan (state function) yaitu

fungsi yang nilainya tidak bergantung pada lintasan untuk mencapai titik keadaan bersangkutan.

Salah satu contohnya adalah energi dalam (internal energy). Energi dalam dari suatu sistem adalah

jumlah kandungan energi yang ada dalam sistem, terdiri atas energi potensial dan energi kinetik.

Jika sistem dipanaskan, energi dalam sistem berubah sebab vibrasi molekul-molekul penyusunnya

meningkat. Jadi energi dalam adalah fungsi dari temperatur.

Tentu saja orang dapat membuat alat ukur yang memanipulasi respons luar sehingga seolah-olah

dapat mengukur fungsi termodinamik secara langsung. Pada sisi lain, secara matematik suatu

fungsi dapat di-invers-kan sehingga peubah bebasnya menjadi peubah bergantung. Ini menun-

jukkan bahwa penetapan peubah sepenuhnya bergantung pada pilihan. Contohnya, energi dalam

sebagai fungsi termodinamik, pada kasus tertentu menjadi peubah termodinamik sebab merupakan

fungsi keadaan. Besaran yang merupakan fungsi keadaan pada hakekatnya dapat dijadikan sebagai

peubah termodinamik.


1.4 Ruang Keadaan dan Fase

Ruang keadaan dapat dipandang sebagai himpunan dari semua titik keadaan. Ruang keadaan

dapat dibagi atas sejumlah himpunan bagian. Masing-masing himpunan bagian memiliki sifat

homogen tertentu dan membentuk satu fase. Dua fase yang berbeda dapat dibatasi oleh pembatas

fase. Ruang fase sistem PVT, fase cair, padat dan gas dibatasi oleh garis co-existence, sedangkan

antara fase cair dan gas di atas temperatur kritis tidak ada pembatas.

Sifat dan fase suatu sistem dapat dikarakterisasi dengan menggunakan fungsi termodinamik. Fase

padat sebagai misal, dikarakterisasi melalui jarak antar molekul-molekulnya yang relatif statis.

1.5 Persamaan Keadaan

Persamaan keadaan adalah persamaan matematik yang melibatkan peubah atau fungsi termodi-

namik. Salah satu contoh yang lazim adalah persamaan gas ideal

pV = nRT → T = T (P, V ) (1.2)

dimana n dan R masing-masing adalah jumlah mol zat dan tetapan umum gas per mol. Persamaan

ini merupakan hasil percobaan oleh Charles dan Gay-Lussac sehingga disebut Hukum Charles-Gay-

Lussac. Tetapan umum gas dalam persamaan ini juga dapat dinyatakan dalam tetapan Boltzmann

k yang juga disebut tetapan umum gas per molekul. Nilai keduanya dapat dihitung dari Hukum

Boyle-Gay-Lussac bahwa volume 1 mol gas pada temperatur dan tekanan standar (T = 273K,P =

1Atm) adalah 22,4 liter, sehingga

R =PV

nT=

(1Atm)(22, 4L)

(1mol)273K= 8, 21 × 10−2AtmL/molK

Jika menggunakan Sistem Internasional (SI), maka satuan tekanan dan volume harus dinyatakan

masing-masing dalam N/m2 dan m3, sehingga

R =PV

nT=

1Atm(105Nm−2/Atm)(22, 4L)(10−3m3/L)

(1mol)273K= 8, 21Nm/molK

Untuk gas non-ideal, persaamaan keadaannya sudah tentu berbeda dengan Pers. 1.2. Contoh

persamaan keadaan untuk gas non-ideal dinyatakan melalui expansi virial

P =nRT

V

(

1 +n

VB2(T ) +

( n

V

)2

B3(T ) + . . .

)

(1.3)

dimana Bn merupakan tetapan virial ke-n. Untuk gas ideal, Bn = 0, sedangkan untuk gas kuantum

ideal (gas Bose-Einstein dan gas Fermi-Dirac), nilai Bn 6= 0.

1.6. PROSES-PROSES TERMODINAMIKA 7

Untuk gas dimana molekul-molekulnya berinteraksi, persamaan keadaanya dapat dinyatakan oleh

persamaan Van der Waals sbb

P =nRT

V − nb(1.4)

dimana b merupakan parameter yang bersesuaian dengan pengurangan volume gas akibat adanya

interaksi antara molekul berupa gaya tolak menolak. Persamaan keadaan ini adalah koreksi ter-

hadap persamaan keadaan gas ideal. Hal ini dapat dilihat dari penyebut Pers. (1.4) dimana

akibat interaksi tarik menarik (attractive), volume sistem mengecil (b > 0) atau membesar jika

interaksinya tolak menolak (repulsive).

1.6 Proses-Proses Termodinamika

Proses termodinamik adalah perubahaan yang terjadi akibat perubahan peubah termodinamik.

Proses digambarkan sebagai kurva disertai tanda panah dalam ruang keadaan (Lihat Gb. 1.2).

Panah menujukkan arah berlangsungnya proses. Proses expansi misalnya terjadi akibat membe-

sarnya volume yang biasanya sebagai akibat pemanasan. Proses dapat berlangsung secara perlahan

sedemikian sehingga titik-titik keadaan yang dilewati selama proses semuanya merupakan keadaan

setimbang. Keadaan setimbang berati setiap bagian sistem tidak berubah terhadap waktu.

Bentuk kurva sebagai representasi proses termodinamik harus sesuai dengan hukum-hukum ter-

modinamika. Dalam suatu proses, beberapa peubah termodinamik (P, V dan T ) dapat berubah

secara simultan atau salah satunya dibuat tetap. Misalnya, proses isobarik berlangsung pada

tekanan tetap sedangkan proses isokhorik berlangsung pada volume tetap.

V

P

AP1 B

V VA

Gambar 1.2: Proses dari A ke B berlangsung pada tekanan tetap.


Jika sistem dibiarkan tanpa pengaruh luar, maka sistem tidak akan mengalami perubahan keadaan,

dengan kata lain tidak terjadi proses. Kenyataannya, sistem merespon pengaruh luar untuk menuju

ke keadaan yang susuai dengan parameter-paremeter luar dan paramenetr-parameter intenalnya.

Ketika sistem sedang dalam tahap berubah, berarti sistem tidak berada dalam keadaan setimbang.

Artinya, kendati pengaruh luar sudah lenyap, sistem masih mungkin mengalami proses, yaitu

proses menuju kesetimbangan.

Suatu sistem disebut berada dalam keadaan setimbang jika semua parameter internalnya secara

rata-rata tidak lagi berubah. Disebut rata-rata karena secara mikroskopik, sistem senantiasa men-

galami fluktuasi. Jadi ada perubahan kecil setiap saat.

Dalam hubungannya dengan keadaan setimbang, proses termodinamika dibedakan atas proses

statik, quasi-statik dan proses dinamik. Sebagai analogi, keadaan statik dalam mekanika adalah

keadaan dimana tidak terjadi gerak dengan kata lain benda diam. Contoh untuk proses statik

adalah gas dalam wadah tanpa ada pengaruh luar. Sedangkan untuk proses quasi-statik, sistem

mengalami proses sedemikian setiap keadaan merupakan keadaan setimbang. Gas dalam wadah

yang dipanaskan dengan sangat perlahan akan menjadikan sistem mengalami perubahan keadaan

dimana setiap titik keadaan merupakan titik setimbang. Sedangkan untuk proses dinamik, pe-

rubahan keadaan dari A ke B diantarai oleh keadaan yang tidak setimbang.

Proses Isokhorik

Iso dari bahasa latin ratinya sama atau tetap sedangkan khorik berarti volume. Proses isockhorik

adalah proses dengan volume tetap. Pada proses isokhorik, tidak ada kerja sebab kerja didefinisikan

sebagai W = PdV dimana dV = 0.

Proses Isobarik

Bar artinya tekanan, sebab itu alat pengukur tekanan disebut barometer. Proses Isobarik adalah

proses perubahan gas yang terjadi pada tekanan tetap. Untuk gas ideal, pV = nRT , maka kerja

yang dilakukan atau diterima selama proses isobarik adalah

W = PdV = nRdT

1.6. PROSES-PROSES TERMODINAMIKA 9

P

V

Gambar 1.3: Proses dari A ke B berlangsung pada suhu tetap.

Proses Isotermik

Proses isotermik adalah perubahan keadaan yang terjadi pada temperatur tetap. Biasanya sis-

tem dihubungkan dengan kolam bahang (heat bath) dan perubahan terjadi secara perlahan yang

memungkinkan terjadinya kesetimbangan termal antara resevoir dan sistem. Sistem menerima

kalor ∆Q 6= 0, sementara ∆T = 0.

Persamaan keadaan gas ideal adalah

P =nRT

V=

c

V(1.5)

dimana c adalah tetapan. Gambar (1.3) menunjukkan kurva-kurva isotermis untuk berbagai nilai

temperatur. Kurva pada bagian kiri temperaturnya lebih rendah dari kurva bagian kanan.

Kerja yang dilakukan oleh sistem yang mengalami proses isotermik adalah

W =

∫ V2

V1

PdV = nRT lnV2

V1(1.6)

Proses Adiabatik

Proses adiabatik terjadi pada keadaan tidak ada pertukaran kalor dengan lingkungan, sehingga

dQ = 0. Berbeda dengan proses isotermik, pada proses adibataik ∆T 6== 0. Hukum I Termodi-

namika dituliskan sebagai

dU = dQ − W → dU = −W

dU = −PdV


Dari persamaan gas ideal PV = nRT diperoleh

d(PV ) = d(nRT ) → PdV + V dP = nRdT

Hubungan antara perubahan energi dalam dU dengan kenaikan temperatur adalah

dU = ncV dT (1.7)

Dengan menggunakan hubungan dari Hk I, yaitu dU = −PdV dan mensubtitusi dT dari PdV +

V dP = nRdT , diperoleh

dU = ncV dT → −PdV =ncV

nR[PdV + V dP ] (1.8)

− R

cVPdV = PdV + V dP (1.9)

(1.10)

Dari definisi cP = cV + R dan γ = cP /cV diperoleh

dP

P+ γ

dV

V= 0

terakhir menghasilkan

PV γ = C (1.11)

dimana C adalah tetapan.

Contoh soal

Untuk proses adiabatik dari B ke C, buktikan bahwa

TB

TC=

(

VC

VB

)γ−1

Jika proses terjadi dari keadaan B ke C, maka

PBVBV γ−1B = PCVCV γ−1

C =

Persamaan keadaan gas ideal PV = nRT , diperoleh

TBV γ−1B = TCVCV γ−1

C =→ TB

TC=

(

VC

VB

)γ−1

1.7. SOAL-SOAL LATIHAN 11

1.7 Soal-soal latihan

1. Jelaskan perbedaan antara sistem dan lingkungan.

2. Uraikan persamaan dan perbedaan antara sistem terbuka, tertutup dan sistem terisolasi.

3. Jelaskan perbedaan antara proses quasi-statik dan proses dinamik.

4. Dengan menggunakan Hk. Avogadro bahwa jumlah molekul gas pada keadaan baku (standar)

adalah 6, 02 × 1023 molekul, hitunglah tetapan Boltzmann k dari hubungnan PV = NkT .

Hitung pula tetapan umum gas R dari hubungan PV = nRT . Selanjutnya, uraikan makna

fisis dari k dan R.

Bab 2

Hukum-Hukum Termodinamika

Hukum-hukum termodinamika adalah ketetapan yang berlaku pada proses dan gejala termodi-

namik. Hukum-hukum ini bersifat fenomenologis (diturunkan langsung dari percobaan, bukan

melalui penelusuran hukum-hukum dasar mekanika). Terdapat empat hukum termodinamika yaitu

Hukum ke-nol, pertama, kedua, dan hukum ketiga.

2.1 Hukum Ke-Nol

Hukum ke-nol termodinamika adalah hukum kesetimbangan termal. Hukum ini mengungkapkan

bahwa jika dua buah sistem setimbang termal dengan sistem ketiga maka keduanya juga setimbang

termal satu dengan yang lain. Dari segi nama, hukum ke-nol termodinamik tidak lazim sebab

pada umumnya penomoran dimulai dari pertama, kedua, dst. Hal ini berkaitan dengan kronologi

bahwa hukum pertama, kedua dan ketiga telah dikenal lebih awal. Hukum kesetimbangan termal

meskipun baru ditemukan kemudian, tetapi karena sifatnya lebih dasar, maka diberi nomor lebih

awal dari hukum I, sehingga menjadi hukum ke-nol.

Berdasarkan hukum ke-nol, jika tiga buah sistem A,B dan C, masing-masing dengan pasangan

koordinat tekanan dan volume (PA, VA), (PB , V B) dan (PC , VC). setimbang termal maka akan

ada fungsi bernilai tunggal T sedemikian

T = TA(PA, VA) = TB(PB , VB) = Tc(PC , VC) (2.1)

Artinya ada hubungan fungsional antara P, V dan T , dengan perkataan lain ketiganya tidak saling

13

14 BAB 2. HUKUM-HUKUM TERMODINAMIKA

Gambar 2.1: Permukaan keadaan termodinamika.

bebas sehingga dapat dituliskan sebagai

T = T (P, V ) → f(P, V, T ) = 0 (2.2)

Implikasi matematiknya adalah bahwa ruang keadaan dari sistem termodinamik akan berupa per-

mukaan (Lihat Gmb. 2.1.).

Oleh karena ketiga peubah tersebut tidak saling bebas, maka kita dapat memilih tiga kemungkinan

pasangan koordinat, yaitu (P, V ), (P, T ) dan T, V . Hal ini ekivalen dengan menyatakan bahwa

ruang keadaan diproyeksi ke bidang keadaan. Misalkan dipilih pasangan (P, V ), maka

dT =

(

∂T

∂P

)

V

dP +

(

∂T

∂V

)

P

dV (2.3)

Dua pasangan yang lain menghasilkan

dP =

(

∂P

∂T

)

V

dT +

(

∂P

∂V

)

T

dV (2.4)

dV =

(

∂V

∂P

)

T

dP +

(

∂V

∂T

)

P

dT (2.5)

2.2 Hukum Pertama

Hukum I termodinamika adalah pernyataan kuantatif hubungan antara kalor yang diserap oleh

sistem, kerja yang dilakukan dan perubahan energi dalam. Menurut Hukum I: perubahan energi

dalam sistem

dU = dQ − dW (2.6)

2.2. HUKUM PERTAMA 15

0.20.4

0.6

0.8

1

V0.2

0.4

0.6

0.8

1

T

0

2

4

6

P

0.20.4

0.6

0.8V

Gambar 2.2: Ruang keadaan dengan peubah termodinamik P dan V .

tidak bergantung pada lintasan terjadinya proses termodinamik, melainkan hanya ditentukan oleh

keadaan awal dan keadaan akhir dari sistem. Selisih antara kalor yang diserap dan kerja yang

dilakukan selalu sama dengan perubahan energi dalam. Dengan demikian terlihat bahwa tidak ada

energi yang hilang. Itu sebabnya hukum ini ekivalen dengan hukum kekekalan energi. Meskipun

kalor dan kerja bukan merupakan fungsi keadaan, selisih antara keduanya yaitu energi dalam

merupakan fungsi keadaan.

Jika peubah bebas untuk U dipilih P dan V , maka

dU =

(

∂U

∂V

)

P

dV +

(

∂U

∂P

)

V

dP (2.7)

Selanjutnya dari Hk. I dQ = dU + dW = dU + pdV , diperoleh

dQ =

(

∂U

∂V

)

P

dV +

(

∂U

∂P

)

V

dP + pdV

dQ =

[(

∂U

∂V

)

P

+ P

]

dV +

(

∂U

∂P

)

V

dP (2.8)

Jika peubah bebasnya adalah (T, P ), sajian Hk. I menjadi

dQ =

[(

∂U

∂T

)

P

+ P

(

∂U

∂T

)

P

]

dT +

[(

∂U

∂P

)

T

+ P

(

∂V

∂P

)

T

]

dP (2.9)

Sedangkan jika peubah bebas adalah (T, V ) maka

dQ =

(

∂U

∂T

)

V

dT +

[(

∂U

∂V

)

T

+ P

]

dV (2.10)


Dari persamaan-persamaan ini diperoleh

CV =

(

∂U

∂T

)

V

(2.11)

CP =

(

∂H

∂T

)

P

(2.12)

dimana CV dan CP masing-masing adalah panas jenis pada volume dan tekanan tetap, sedangkan

H = U + PV adalah entalpi sistem.

2.3 Hukum Kedua

Hukum ini pada hakekatnya merupakan kriteria kelayakan berlangsungnya suatu proses termodi-

namik. Ia berkaitan dengan arah waktu yang selalu maju dan tidak pernah mundur. Sebagaimana

dipahami, kita tidak pernah menyaksikan kalor diserap oleh benda panas dari benda dingin kendati

hal ini tidak bertentangan dengan Hk. I. Alasannya, perpindahan kalor misalnya sejumlah 50 Kkal,

akan diterima sejumlah itu juga, jadi tidak ada kelor yang hilang; dengan perkataan lain kalor kekal.

Pertanyaannya, kenapa hal ini tidak berlangsung? Jawabnya karena bertentangan dengan Hk. II

termodinamika. Jika kalor diserap oleh benda yang bertemperatur lebih tinggi maka itu artinya

entropi mengecil, sementara suatu proses dapat berlangsung jika entropi membesar.

Entropi merupakan besaran sentral dalam pembahasan Hukum II. Itu sebabnya Hk. II biasa

disebut sebagai Hk. entropi.

Pernyataan Hk. II dinyatakan dalam berbagai redaksi yang ekivalen, antara lain:

Kelvin: Tidak mungkin ada proses termodinamika dimana sistem hanya menyerap kalor dan

mengubah seluruhnya menjadi kerja.

Clausius: Tidak mungkin ada proses termodinamika dimana sistem hanya menyerap kalor

dari resevoir bertemperatur rendah dan membuangnya pada resevoir bertemperatur tinggi.

Pernyataan Kelvin menegaskan bahwa tidak mungkin membuat mesin yang efisiensinya 100%

sedangkan Clasius secara tidak langsung mensyaratkan adanya kerja ekternal untuk mengalirkan

kalor dari resevoir bertemperatur rendah ke resevoir bertemperatur tinggi.

Kedua pernyataan Hk. II di atas setara. Pembuktian kesetaraan dapat dilakukan dengan menga-

sumsikan bahwa kedua perntaan tersebut salah. Jika pernyataan Kelvin salah, maka kita dapat

2.3. HUKUM KEDUA 17

V

P

V V1 2

B

C

D

A

Gambar 2.3: Siklus Carnot, dua proses isotermal, dua proses adiabatik.

membuat mesin yang menyerap kalor dari resevoir bertemperatur T1. Kalor tersebut kemudian

diubah seluruhnya menjadi kerja dan memberikannya ke resevoir T2, dimana T2 > T1. Implikasi,

kita telah membuat proses yang menyerap kalor dari resevoir T1 dan memberikannya ke resevoir

T2, padahal T2 > T1. Artinya, kedua pernyataan tersebut salah.

2.3.1 Siklus Carnot

Siklus Carnot adalah proses termodinamik yang dialami oleh zat kerja (working substance) pada

mesin Carnot. Siklus ini terdiri atas dua proses isotermal dan dua proses adiabatik. Proses isoter-

mal pertama terjadi pada temperatur tinggi, Th, dimana zat mengalami ekspansi dan menyerap

kalor Qh. Proses isotermal kedua terjadi pada temperatur rendah Tc, dimana zat mengalami kom-

presi dan melepas kalor Qc. Dua kurva isotermal ini dihubungkan oleh dua kurva adibatik dimana

adiabatik pertama zat mengalami ekspansi, sedangkan adiabatik kedua zat mengalami kompresi.

Diagram siklus Carnot terdapat dalam Gmb. 2.3.

Pada siklus Carnot kalor diserap dan kemudian sebagian dikonversi menjadi kerja mekanik dan

sebagiannya dilepaskan lagi sebagai kalor.

Oleh karena perubahan energi dalam ∆U = 0 untuk proses tertutup (siklus), maka berdasarkan

Hk. I,

W = Qh − Qc

Efisiensi mesin Carnot adalah

η =W

Qa= 1 − Qc

Qh(2.13)

Kalor Qc dapat diperoleh dari Hk. I, yaitu dengan menghitung kerja oleh proses isotermal yaitu


sbb:

WAB =

∫ VB

VA

PdV =

∫ VB

VA

nRTh

VdV = nRTh ln

VB

VA(2.14)

Untuk proses isotermal, ∆U = 0, sehingga Q = W . Perbandingan kalor yang dilepas dan kalor

yang diserap adalahQc

Qh=

Tc

Th

ln(VC/VD)

ln(VB/VA)(2.15)

Efisiensi mesin adalah

η =W

Qin=

Qin − Qout

Qinatau η = 1 − Qout

Qin

Analisis proses adiabatik dimana berlaku PV γ = C menghasilkan

VB

VA=

VC

VD

sehingga

η = 1 − Qc

Qh= 1 − Tc

Th(2.16)

Soal

Buktikan bahwa kurva proses isotermik dan adiabatik sebagaimana digambarkan dalam

kurva untuk siklus Carnot, kurva adiabatik lebih curam dari pada isotermik.

Solusi

Pada proses adiabatik, tidak ada pertukaran kalor antara sistem dan lingkungan dQ =

0, sehingga berdasarkan Hk. I

dU = dQ − W → dU = −W → nCV dT = −PdV

Sebab dU = nCV dT Selanjutnya, dari persamaan gas ideal d(PV ) = nRdT berarti

PdV + V dP = nRdT

Dengan mengiliminasi dT diperoleh

PdV + V dP = − R

CVPdV

Dengan memasukkan R = CP − CV dan mengalikannya dengan 1/PV diperoleh

dV

V+

dP

P= −(γ − 1)

dV

V→ dP

P+ γ

dV

V= 0

Hasilnya adalah

PV γ = Konstan

2.3. HUKUM KEDUA 19

Siklus Otto

Kerja dari CD:

WCD =

∫ D

C

PdV =1

1 − γ(PDVD − PCVC)

Karena γ > 1, maka

WCD =

∫ D

C

PdV =1

γ − 1(PCVC − PDVD)

2.3.2 Entropi

Konsep entropi (diperkenalkan oleh Clausius) muncul dalam termodinamika untuk membahas

proses termodinamik dan keadaan kesetimbangan sistem. Entropi secara makroskopik didefin-

isikan sebagai

dS =dQ

T

dimana dQ adalah pertukaran kalor antara sistem dan lingkungan dan T adalah temperatur mutlak.

Perubahan entropi harus positif (dS > o) agar proses dapat berlangsung. Artinya, kalor harus

diserap oleh sistem. Penyerapan kalor oleh sistem akan meningkatkan derajat ketidak teraturan

sistem.

Pendefinisian secara mikroskopik dikaitkan dengan keberadaan keadaan makro dan keadaan mikro.

Suatu keadaan makro terdiri atas sejumlah keadaan mikro. Keadaan setimbang bersesuaian den-

gan keadaan makro yang memiliki jumlah keadaan mikro paling banyak. selanjutnya entropi

didefinisikan sebagai

S = k ln Ω (2.17)

dimana Ω adalah bobot statistik dari keadaan makro yang bersesuaian dengan keadaan setimbang.

Hk. II termodinamika memungkinkan kita mendefinisikan besaran termodinamik entropi S yang

fungsi keadaan.

Teorema 2.1 (Teorema Clausius) Dalam suatu proses termodinamika tertutup, ketidaksamaan

berikut selalu berlaku∮

dQ

T≤ 0

dimana integrasi dilakukan dalam proses tertutup. Tanda sama dengan berlaku untuk proses re-

versibel.


2.4 Hukum III Termodinamika

Hukum III Termodinamika diusulkan pertama kali oleh Nernst dalam Tahun 1906 M berdasarkan

hasil eksperimen yang berimplikasi pada mekanika kuantum. Dapat dikatakan bahwa suatu sistem

pada temperatur nol mutlak (0K) jatuh pada keadaan kuantum paling rendah dan menjadi sangat

teratur sehingga entropinya minimum.

Hukum III dapat dinyatakan dalam redaksi yang setara yaitu: tidak mungkin mencapai temperatur

nol mutlak melalui sejumlah proses dapat balik (reversibel) . Pernyataan ini dapat dibuktikan lewat

analisis entropi.

Dalam Gambar 2.4 ditunjukkan dua kurva yang bersesuaian dengan keadaan X = 0 dan X =

X1 untuk sembarang sistem. Sistem dapat didinginkan melalui sejumlah proses adiabatik dan

isotermal antara kedua kurva keadaan tersebut. Dengan menggunakan dalil diferensial, dapat

S

T

12

34

56

Gambar 2.4: Perubahan Temperatur terhadap S, Tidak Mungkin Mencapai OK.

dituliskan persamaan berikut

(

∂T

∂Y

)

SN

=

(

∂T

∂S

)

Y N

+

(

∂S

∂Y

)

TN

(2.18)

Syarat stabilitas termal memerlukan (∂S/∂T )Y ≥ 0. Pers. (2.18) mengungkapkan bahwa jika T

berkurang akibat membesarnya Y secara isentropik, maka S harus mengecil akibat pengurangan

Y secara isotermal seperti dalam Gmb. 2.4.

2.5 Potensial Termodinamik

Potensial termodinamik adalah fungsi termodinamik yang digunakan dalam membahas sifat dan

stabilitas suatu sistem termodinamik.

2.5. POTENSIAL TERMODINAMIK 21

Potensial termodinamik yang umum digunakan adalah energi dalam (U), energi bebas Helmholtz

(H), energi bebas Gibbs (G), entalpi (H) dan potensial grand.

Proses termodinamik melibatkan peubah dan fungsi termodinamik tertentu. Secara matematik,

biasanya pasangan peubah dan fungsi tertentu lebih elegan dibandingkan jika menggunakan pasan-

gan peubah termodinamik yang lain. Contohnya, peninjauan fisika biasanya menggunakan energi

dalam U(V, T ) sebagai potensial termodinamik, sedangkan dalam kimia digunakan entalpi H(P, T ).

Antara dua peubah ini dapat dilakukan transformasi, yaitu transformasi Legendre.

Contoh soal

Jika Hukum termodinamika I digabungkan dengan hukum termodinamika II yaitu dq =

Tds, maka tunjukkalah bahwa kita dapat memperoleh dua persamaan berikut

(

∂s

∂T

)

v

=1

T

(

∂u

∂T

)

v

Bagian II

Mekanika Statistik

23

Bab 3

Konsep Dasar Fisika Statistik

3.1 Pendahuluan

Sesuai namanya, fisika statistik adalah kajian fisika yang memanfaatkan pendekatan statistik un-

tuk menganalisis sifat bahan. Fisika statistik merupakan kajian teoretik dari termodinamika. Jika

termodinamika bersifat fenomenologis, maka fisika statistik justru berupaya membahas hubun-

gan kausalitas suatu fenomena. Sebab itu, fisika statistik melibatkan tinjauan mikroskopik yang

memperhitungkan kenyataan bahwa benda terdiri atas atom-atom dan molekul.

Tinjauan mikroskopik melalui fisika statistik tidak berarti menghitung secara rinci prilaku setiap

molekul atau partikel, sebab jika hal itu dilakukan selain tidak praktis juga akan sangat sulit.

Jumlah molekul dalam satu mol zat ordenya sekitar 1023, bilangan yang sangat besar. Perata-

rataan dengan menggunakan statistik merupakan perangkat utama dalam fisika statistik.

3.2 Keadaan Makro dan Mikro

Keadaan termodinamika digambarkan sebagai titik dalam ruang keadaan. Setiap titik dalam dia-

gram fase sistem PV T bersesuan dengan sebuah keadaan, yaitu keadaan termodinamik. Keadaan

termodinamik adalah keadaan makro (macrostate). Setiap keadaan makro bersesuaian dengan

banyak sekali keadaan mikro, bahkan tak-hingga untuk sistem kontinu.

Keadaan mikro adalah konfigurasi sesaat dari semua elemen mikroskopik. Keadaan-keadaan

25

26 BAB 3. KONSEP DASAR FISIKA STATISTIK

mikroskopik suatu sistem dapat dinyatakan dalam ruang fase. Ruang fase dari suatu gas dalam

wadah tertutup yang terdiri atas N molekul dapat digambarkan dalam ruang fase berdimensi 6N ,

yaitu x1 · · · pzN.

3.3 Majelis (Ensemble)

Majelis secara umum berarti kumpulan orang atau obyek. Makna kata majelis dapat dipahami

dengan mudah sebab sering didengar, misalnya Majelis Permusyawatan Rakyat (MPR). Majelis

dalam mekanika statistik adalah konstruksi mental dan dikaitkan dengan keadaan mikroskopik atau

konfigurasi sesaat dari sistem. Anggota majelis dalam mekanika statistik bukan berupa benda,

melainkan konfigurasi dari elemen mikroskopik. Sebagai contoh sederhana, jika kita memiliki dua

anak panah dengan orientasi ke atas atau ke bawah maka ada empat kemungkinan konfigurasi

yaitu: (↓↓), (↓↑), (↑↓), (↑↑). Meskipun sistemnya hanya terdiri atas dua anak panah, jumlah

anggota majelisnya ada empat.

Suatu majelis dapat ditandai sebagai Ω = ω1, ω2, . . . , ωn = ωi : i = 1, 2, . . . n. Artinya, majelis

tersebut terdiri atas Ω anggota. Masing-masing anggota majelis memiliki kebolehjadian untuk

muncul.

Tinjaulah gas dalam ruang. Pada saat t = 0, sistem berada pada konfigurasi tertentu dimana

letak dan momentum molekul-molekul gas terdefinisi secara prinsip diketahui. Sesaat kemudian,

konfigurasi berubah menjadi konfigurasi lain. Apabila digambarkan, maka akan terdapat tak-

hingga konfigurasi dari letak molekul-molekul gas. Setiap konfigurasi ini merupakan aggota dari

majelis, yakni majelis makrokanonik.

Kita dapat membagi majelis tersebut menjadi majelis yang lebih kecil; misalkan dikatakan bahwa

suatu majelis kecil, dalam hal ini majelis mikrokanonik, (micro-canonical ensemble) bersesuian

dengan temperatur dan tekanan Ta dan Va. Maka, semua konfigurasi yang cocok dengan Ta dan

Va menjadi anggota dari majelis bersangkutan. Sedangkan konfigurasi yang tidak sesuai dengan

Ta dan Va merupakan anggota dari majelis yang lain.

Konfigurasi adalah keadaan mikro sedangkan keadaan yang bersesuaian dengan pasangan peubah

makroskopik (Va, Ta) adalah keadaan makro. Keadaan makro beranggotakan banyak keadaan

mikro.

Untuk lebih mudahnya, kita misalkan terdapat 4 orang prajurit yang ditugaskan mengecek dua

3.3. MAJELIS (ENSEMBLE) 27

buah bilik. Kita dapat mengambil satu keadaan makro dengan kriteria 2 prajurit di bilik pertama

sedangkan 2 lainnya di bilik lain. Untuk keadaan makro ini, terdapat beberapa keadaan mikro.

Andaikan prajurit-prajurit tersebut diberi label a, b, c dan d, maka keadaan-keadaan mikro yang

berseusaian adalah seperti terdapat dalam baris ketiga Tabel 3.1.

Table 3.1: Keadaan Makro dan Keadaan Mikro

Keadaan Makro Keadaan Mikro

(4,0) (abcd,...)

(3,1) (abc,d),(abd,c),(acd,b),(bcd,a)

(2,2) (a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)

(1,3) (d,abc),(c,abd),(b,acd),(a,bcd)

(0,4) (...,abcd)

3.3.1 Ruang Fase

Tinjaulah suatu gas dalam wadah. Jumlah molekul gas sangat banyak, ordenya pada kisaran

bilangan Avogadro, 6, 02×1023. Jika kita membagi wadah menjadi empat bilik, lalu kita andaikan

suatu keadaan makro dimana masing-masing bilik terisi oleh 1/4 bagian gas, maka jumlah keadaan

mikro yang bersesuaian dengan ini akan sangat banyak. Akan tetapi, jika molekul-molekul gas

tersebut tidak terbedakan, maka semua keadaan mikro yang ada akan identik. Akibatnya, pemerian

keadaan mikro menjadi hal yang trivial (tidak penting).

Pemerian keadaan mikro untuk sistem gas adalah dengan menandai posisi dan kecepatan setiap

molekul gas. Andaikan kita memotret gas tersebut pada suatu saat tertentu dan kita memperoleh

data detail sbb

x1, y1, z1, . . . , xn, yn, zn; px1, py1, pz1, . . . , pxN , pyN , pzN

dimana qn = (xn, yn, zn) adalah posisi molekul ke-n dengan momentum pn = (pxn, pyn

, pzn).

Hasil pemotretan ini dapat digambarkan sebagai sebuah titik dalam ruang koordinat 6 dimensi,

yaitu 3 sumbu koordinat untuk posisi dan 3 sumbu lainnya untuk kecepatan. Setiap titik dalam

koordinat tersebut dapat dinyatakan dalam pasangan koordinat (qn, vn), n = 1, . . . 3N , yang mas-

ing=masing merupakan sebuah keadaan mikro. Kumpulan dari semua titik membetuk ruang fase

yang menyatakan semua kemungkinan keadaan mikro.

Evolusi temporal dari sistem akan bersesuaian dengan sebuah kurva (qv(t), pv(t)) dalam ruang-fase.


Kurva ini diberi nama trayektori ruang-fase dan memenuhi persamaan Hamilton sbb

qn =∂H

∂pn, pn = −∂H

∂qn(3.1)

dimana Hamiltonian H(qn, pn) bersesuaian dengan energi total dari sistem. Untuk sistem tertutup,

Hamiltonian tidak bergantung waktu, artinya energi tetap (kekal) sehingga

H(qn, pn) = E = konstan (3.2)

Secara umum perubahan waktu besaran A(q, t) dapat dinyatakan sebagai

dA

dt=

∂A

∂t+

3N∑

n=1

(

∂H

∂qndqn +

∂H

∂pndpn

)

(3.3)

Dengan menggunakan Pers. (3.1) diperoleh,

dA

dt=

∂A

∂t+

3N∑

n=1

(

∂H

∂qndqn +

∂H

∂pndpn

)

=∂A

∂t+ A,H

dimana A,H dinamakan kurung Poisson. Sebagai ilustrasi, jika diambil A = H, dengan

∂H/∂t = 0, maka H,H = 0, berarti dH/dt = 0 yang menunjukkan hukum kekalan momen-

tum. Teoremanya, jika H, tidak bergantung secara eksplisit terhadap waktu maka energi tidak

mengalami perubahan.

-1 -0.5 0.5 1x

-1

-0.5

0.5

1

dxdt

Gambar 3.1: Penggambaran gerak osilator harmonik dalam ruang fasa

Konsep ruang fase banyak dijumpai dalam mekanika analitik, misalnya dalam menggambarkan

gerak osilator harmonik. Solusi persamaan geraknya dinyatakan oleh x = A sin(wt + φ). Ruang

fase gerak osilator harmonik ditunjukkan oleh Gambar 3.1 dimana x sebagai sumbu horizontal dan

x = dx/dt sebagai sumbu vertikal. Setiap titik pada kurva garis fase menyatakan secara lengkap

keadaan sistem.

3.4. TEOREMA LIOVILLE 29

3.4 Teorema Lioville

Majelis titik konfigurasi membentuk ruang fase. Contohnya, untuk model spin Ising yang menem-

pati kisi bujur sangkar dengan sisi L, berarti terdapat N = L2 spins, maka jumlah titik konfigurasi

dalam raung fase adalah 2N . Teorema Lioville menyatakan bahwa volume dari ruang fase dalam

aliran fase (dinamika) adalah tetap. Teorema ini lebih mudah dipahami untuk sistem diskret

seperti model Ising sebab jumlah konfigurasinya berhingga.

Berbeda dengan model Ising, molekul-molekul gas dalam suatu wadah memiliki jumlah konfigurasi

yang tak berhingga sebab sistemnya bersifat kontinu, bukan diskret. Jika dilakukan pemotretan

terhadap konfigurasi molekul-molekul gas, maka untuk setiap titik waktu t, potret yang dipeoleh

selalu berbeda. Perubahan dari satu konfigurasi ke konfigurasi lainnya terus menerus membentuk

suatu lintasan konfigurasi. Bentuk dari lintasan konfigurasi dalam ruang fase secara fisis diyakini

dapat ditelusuri dari hukum-hukum mekanika Newton melalui formulasi Hamilton ssb

qi =∂H

∂pipi = −∂H

∂qi(3.4)

Persamaan ini memungkinkan perolehan posisi dan momentum setiap partikel gas. Karena sistem-

nya tertutup (volume berhingga), maka ruang fase xi, pix juga terbatas. Hamiltonian H sebagai

tetapan gerak (untuk sistem non-dissipatif), menyebabkan E(xi) = const, yang mendefinisikan

supra-permukaan (hyper-surface) N − 1 dimensi. Lintasan dari dinamika titik ruang fase berada

pada permukaan ini.

Sebelum pembuktian teorema ini secara umum kita tinjau aliran fase dari sebuah pendulum.

Undriven pendulum dinyatakan oleh Hamiltonian berikut

H(t, θ, pθ) =p2

θ

22lm+ glm cos θ (3.5)

Penggambaran ruang fase dari pendulum ini kemudian menandai suatu trayektorinya akan meng-

hasilkan bahwa pada selang waktu yang sama volume (luasan) dari ruag fase tetap (preserved).

Penggambaran teorema Lioville dapat dilihat pada aliran fluida. Volume fluida (yang tidak ter-

mampatkan) selama mengalir tidak berubah (tetap), kendati bentuk geometrinya dapat berubah.

Jadi, teorema Lioville berkaitan dengan suatu obyek yang bergerak, volumenya tetap selama ger-

aknya. Teorema Lioville berkaitan denga obyek (dalam hal ini) ruang fase. Volume ruang fase

konstan selama aliran dari ruang fase ini.

Kendati secara prinsip lintasan dari titik ruang fase pada supra-permukaan ini bersifat determnisi-


tik, namum bentuknya tidak teratur (zigzag) sehingga dapat ditafsirkan mengikuti hukum-hukum

statistik. Tidak ada pengtahuan pasti kapan titik ruang fase berada pada suatu lokasi tertentu,

tetapi kita dapat mengkuantsasi peluang keberadaannya pada suatu area, misalnya A. Supra-

permukaan dalam kalkulus probabilty dinamakan ruang atribut (atribute space). Selanjutnya

kita dapat menyatakan permukaan ini melalui koordinat-koordinat ortogonal (y1, · · · , yN−1) dan

mendefinisikan pada ruang atribut ini suatu fungsi distribusi

ϕ(y1, · · · , yN−1)

yang integralnnya pada daerah ini menyatakan kebolehjadian berada pada daerah A, yaitu

p(SA) =

∫

A

Dyϕ(y1, · · · , yN−1); Dy = Πdyi

Teorema Lioville mengatakan bahwa volume (luas) dari A konstan1. Pembuktian kualitatif teorema

ini adalah sbb. Andaikan kita melakukan duplikasi dari semua titik yang terdapat pada domain A.

Selanjutnya semua titik konfigurasi ini dibiarkan berevolusi sesuai dengan hukum Newton, (Pers.

(3.4)), perubahan duplikasi pertama A → A′, dan yang kedua A → A′′, maka volume dari A,A′

dan A′′ adalah sama. Teorema Lioville ekivalen dengan keseimbangan rinci pada metoda Monte

Carlo.

3.5 Soal-Soal Bagian 3

1. Jelaskan perbedaan dasar dari termodinamika dan fisika statistik.

2. Berikan tiga buah contoh kasus yang dapat menjelaskan dengan baik tentang konsep keadaan

makro (macrostate) dan keadaan mikro.

3. Hitung jumlah keadaan mikroskopik dari 4 orang mahasiswa yang akan duduk pada 5 kursi

yang disiapkan.

4. Apa yang dimaksud dengan majelis, berikan contohnya untuk kasus fisika statistik.

5. Jika dua buah atom menempati titik kisi segi empat L = 2 × 3, maka tuliskanlah keadaan-

keadaan mikroskopiknya.

6. Besaran A(p, q, t) bergantung secara ekplisit terhadap waktu. Telusuri perolehan kurung

Poisson dengan menurunkan terhadap waktu dari besaran ini

1Ref. [5]

Bab 4

Konsep-Konsep Statistik

4.1 Kebolehjadian

Kebolehjadian (probability) merupakan konsep penting dalam statistik. Kebolehjadian adalah uku-

ran kuantitatif akan terealisasinya suatu harapan atau kemungkinan (possibility). Sebagai contoh,

dalam suatu percobaan acak misalnya pelemparan dadu terdapat 6 kemungkinan. Kebolehjadian

munculnya angka 4 (ditulis P (4)) adalah 1/6. Makna fisis dari P (4) = 1/6 adalah bahwa jika

dadu dilemparkan N kali, maka angka 4 akan muncul kurang lebih sebanyak P (4).N = (N/6) kali.

Untuk 600 kali lemparan, angka empat muncul sekitar 100 kali.

Semua kemungkinan dari suatu percobaan acak membentuk himpunan yang disebut ruang cuplikan

(sample space). Untuk contoh yang disebutkan di atas, ruang cupilkan memiliki 6 anggota yaitu:

S = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ruang cuplikan untuk dua kali lemparan adalah S = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4),

(1, 5), · · · , (2, 1), (2, 2), · · · , (6, 6) yang terdiri atas 36 anggota. Ruang cuplikan yang terakhir ini

sama dengan ruang cuplikan pelemparan secara bersamaan dua buah dadu. Elemen (1, 1) dari ru-

ang cuplikan pertama adalah representasi dari dua kali lemparan, sedangkan (1, 1) untuk yang ke-

dua adalah representasi dari sebuah lemparan. Hal ini berarti bahwa dua percobaan acak berbeda

dapat meiliki ruang cuplik yang sama. Jika menggunakan bahasa teori relativitas (sistem koor-

dinat ruang-waktu (4D)), (1, 1) untuk yang pertama adalah representasi dari dua buah peristiwa

(event), sedangkan (1, 1) untuk yang kedua adalah sebuah peristiwa. Konsep peristiwa/kejadian

dalam statistik, sebagaimana akan disinggung, berbeda dengan konsep peristiwa dalam Teori Rel-

ativitas.

31

32 BAB 4. KONSEP-KONSEP STATISTIK

Contoh Soal

Buatlah ruang cuplikan untuk hasil pelemparan koin (uang logam) sebanyak 3 kali.

Solusi

Uang logam dapat disimbolkan sebagai anak panah, ke atas atau ke bawah. Ruang

cuplikannya adalah

(↓↓↓), (↓↓↑), (↓↑↓), . . . , (↑↑↑)

Ruang cuplikan dapat dibagi atas sejumlah himpunan bagian, yang masing-masing merupakan ke-

jadian atau peristiwa (event). Himpunan bagian S1 = 1 bersesuaian dengan peristiwa ”hasilnya

satu”. Demikian pula, SA = 1, 3, 5 ⊂ S bersesuaian dengan peristiwa ”hasilnya merupakan bi-

langan ganjil”. Dalam bahasa TR, seperti disinggung sebelumnya, 1, 3 dan 5 masing-masing adalah

sebuah peristiwa. Jadi, SA adalah peristiwa dengan tiga kemungkinan peristiwa ruang-waktu.

Peristiwa yang bersesuaian dengan himpunan bagian dari ruang cuplikan dengan hanya satu titik

cuplikan disebut peristiwa dasar (elementary event) atau simple event. Contoh peristiwa dasar

adalah S1 = 1, S2 = 2, dll; sedangkan SA = 1, 3, 5 bukanlah peristiwa dasar. Sebuah peris-

tiwa dasar, dalam kaitannya dengan mekanika statistik dapat dipandang sebagai sebuah keadaan

mikro (microstate). Alasannya, sebuah keadaan mikro adalah konfigurasi sesaat dari sebuah sis-

tem. Peristiwa dasar S2 = 2 dapat dipandang sebagai sebuah keadaan sesaat. Keadaan-keadaan

mikro dari SA adalah 1, 3 dan 5, yang masing-masing merupakan peristiwa dasar.

Kebolehjadian dari suatu peristiwa A dapat dihitung dengan prosedur berikut

(a) Susun ruang cuplikan,

(b) Beri nilai kebolehjadian dari setiap elemen (untuk percobaan acak, setiap elemen bernilai

sama).

(b) Tandai elemen yang bersesuaian dengan peristiwa A, dan jumlahkan kobolehjadiannya.

Contoh soal

Hitung kebolehjadian memperoleh dua angka lebih kecil dari 5 pada percobaan pelem-

paran dua buah dadu.

4.1. KEBOLEHJADIAN 33

Solusi

Ruang cuplikan pelemparan dua buah dadu adalah

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

Jika kita tandai peristiwa tersebut sebagai P (x < 5, y < 5), maka

P (x < 5, y < 5) =20

36= 2/3

Gambar 4.1: Peristiwa A dan B , (a)A ∪ B (b) A ∪ B (c) A dan B eksklusif.

Konsep kebolehjadian yang berhubungan dengan ruang cuplikan (himpunan) memungkinkan kita

menggunakan teori himpunan. Gabungan peristiwa A dan B dituliskan sebagai A ∪ B, dimana

anggotanya adalah anggota dari A atau B atau kedaunya. Irisan antara peristiwa A dan B ditulis

A ∩B adalah himpunan yang aggotanya merupakan anggota dari A dan B . Jika A ∩B = ∅ ( irisan

antara A dan B merupakan himpunan kosong), maka A dan B disebut tidak saling terhubung

(mutually exclusive).

Hubungan kebolehjadian dari dua peristiwa berbeda dapat diperoleh melalui peninjauan ruang

cuplikan.


Teorema 4.1 Jika irisan antara A dan B tidak kosong, maka

P (A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

sebaliknya jika keduanya (mutuallay exclusive) maka

P (A ∪ B) = P(A) + P(B)

Contoh soal

Peristiwa A dan B dihubungkan dengan pelemparan dua buah koin dengan definisi:

A: peristiwa dengan hasil lemparan kedua belakang, A = MB,BB

B: peristiwa dengan hasil lemparan sedikitnya satu muka, B = MM,MB,BM

selesaikanlah operasi himpunan berikut:

(a) A ∪ B

(b) A ∩ B

(c) A− B

(d) A′ (Complemen dari A).

Solusi

A ∪ B → Union: Elemen dari A atau B atau keduanya = MM, MB, BM, BB

B ∩ A = A ∩ B → Irisan (Intersection): Elemen A dan B = MB

B − A → Selisih (Difference): Elemen B yang bukan A = MM, BM

B′ → komplemen B: bukan B = BB

Penggunaan kata kebolehjadian atau peluang juga sering dijumpai dalam peramalan, misalnya

peramalan cuaca. Jika disebutkan bahwa besok pagi berpeluang hujan dengan kebolehjadian 70%,

tidaklah berarti bahwa kita dapat membuat ruang cuplikan lalu dari peristiwa yang mungkin ke-

mudian menghitung kebolehjadian. Dengan perkataan konsep kebolehjadian dalam kaitan dengan

ramalan cuaca, dan semacamnya dinamakan Hessian. Disini, kebolehjadian tidak secara eksplisit

berkaitan dengan ruang cuplikan, melainkan lebih pada kuantisasi dari harapan (expectation).

4.2. PEUBAH STOKASTIK 35

4.2 Peubah Stokastik

Konsep peubah stokastik atau acak (random) sangat penting dalam upaya mengaplikasikan teori

statistik pada masalah nyata. Nilainya ditentukan oleh hasil percobaan acak, misalnya pelemparan

dadu. Sebuah peubah stokastik X, pada suatu ruang cuplikan S, adalah sebuah fungsi yang

memetakan elemen-elemen S ke himpunan bilangan Real R. Contohnya, pelemparan 3 buah koin

secara bersamaan akan menghasilkan ruang cuplikan seperti dalam contoh 1, sedangkan peubah

stokastiknya dapat berbeda-beda, bergantung pada definisi. Jika didefinsikan

xi =∑

si

dimana si = 1 untuk ↑, maka ruang cuplikan dimaksud akan terpetakan menjadi ruang peubah

stokastiks sbb

−3,−1,−1, 1,−1, . . . 3

Peubah stokastik dibedakan atas peubah stokastik diskret dan kontinu. Peubah stokastik diskret

terdiri atas nilai-nilai diskret sedangkan yang kontinu terdiri atas nilai-nilai kontinu. Contoh yang

diberikan di atas adalah peubah stokastik diskret, jumlah anggotanya berhingga (finite).

Hasil pengukuran berkali-kali dari suatu besaran kontinu merupakan contoh peubah stokastik

kontinu. Jumlah anggotanya banyak sekali, tak-hingga (infinite). Andaikan batas bawah hasil

pengukuran adalah a dan batas atasnya adalah b, maka peristiwa yang bersesuaian dengan ini

berada pada selang kontinu yaitu X ǫ [a, b]. Kebolehjadian hasil pengukuran berada dalam range

ini adalah

PX(a ≤ X ≤ b) =

∫ b

a

pX(X)dX = 1 (4.1)

dimana pX(X) adalah fungsi distribusi kebolehjadian. Tafsiran fisis dari fungsi ini adalah bahwa

kebolehjadian menemukan nilai pengukuran yang persis sama dengan nilai tertentu adalah lenyap.

Ini analog dengan permasalahan kalkulus dasar yaitu luas daerah di bawah kurva. Segmen luasan

dinyatakan oleh pX(X)dX yang menyatakan kebolehjadian memperoleh peubah stokastik X dalam

interval X → X + dX.

Fungsi distribusi FX(x) dituliskan sebagai

F (a ≤ x ≤ b) =

∫ x

−∞

PX(x)dx (4.2)

yang merupakan kebolehjadian memperoleh peubah stokastik X dalam interval −∞ ≤ x.


4.3 Fungsi-Fungsi Distribusi

Andaikan X merupakan peubah stokastik diskret untuk ruang cuplikan S dengan n buah elemen.

Untuk mudahnya, kita tinjau saja peubah stokastik dari pelemparan dua buah dadu dimana ruang

cuplikannya adalah (1, 1), (1, 2), (1, 3), · · · (2, 1)(2, 2)(2, 3),

· · · , (3, 1)(3, 2)(3, 3), · · · (4, 1), (4, 2), · · · , (6, 6). Jika untuk setiap konfigurasi dari S diasosiasikan

sebuah bilangan yang menyatakan kebolehjadiannya, maka ruang cuplikan dapat dipetakan men-

jadi distribusi kebolehjadian yang memenuhi dua syarat: pi ≥ 0 dan∑

pi = 1. Untuk contoh

kasus yang ditinjau, pemetaan ruang cuplikan ke distribusi kebolehjadian akan menjadi

(1/36), (1/36), (1/36), · · · (1/36)(1/36)(1/36), · · · , (1/36)(1/36)(1/36), · · · (1/36), · · · , (1/36).

Selanjutnya dapat didefinisikan fungsi rapat kebolehjadian

PX(x) =

n∑

i=1

piδ(x − xi) (4.3)

Perhatikan bahwa pi adalah kebolehjadian konfigurasi ke-i. Ini adalah sajian rapat kebolehjadian

untuk peubah diskret, sedangkan untuk peubah kontinu rapat kebolehjadian mengharuskan

PX(x) =

∫ ∞

−∞

p(x)dx = 1

Fungsi distribusi didefinisikan sebagai

FX(x) =

∫ x

−∞

dx′PX(x′) =

n∑

i=1

piΘ(x − xi) (4.4)

dimana Θ(x − xi) adalah fungsi Heaviside dengan definisi sbb

Θ(x − a) =

0 x < a

1 x > a(4.5)

Di sini terlihat bahwa fungsi rapat kebolehjaidian tiada lain adalah turunan dari fungsi distribusi

yaitu

PX(x) =FX(x)

dx(4.6)

Contoh berikut menggambarkan perhitungan PX dan FX .

Tinjaulah dadu dengan peluang kemunculan hasil yang tidak seragam: p1 = 1/12, p2 =

3/12, p3 = 2/12, p4 = 1/8, p5 = 2/8, dan p6 = 1/8, dimana tetap terpenuhi∑

i = pi = 1.

4.3. FUNGSI-FUNGSI DISTRIBUSI 37

1 2 3 4 5 6x

0.2

0.4

0.6

0.8

PHxL

F(x)

Gambar 4.2: (a) Fungsi rapat kebolehjadian, (b) fungsi distribusi.

4.3.1 Distribusi Binomial

Binomial dari kata bi + nomim (Perancis) berarti memiliki dua nama. Distribusi binomial adalah

distribusi yang diperoleh dari N percobaan acak dimana setiap percobaan hanya memiliki dua

kemungkinan. Pelemparan N kali koin dapat menghasilkan distribusi binomial. Jika N cukup

besar, distribusi Binomial mendekati distribusi Gauss atau Poisson dan akan dibahas pada bagian

selanjutnya.

Andaikan kita melaksanakan percobaan acak N kali dimana masing-masing hanya memiliki dua

kemungkinan. Andaikan kebolehjadian peristiwa pertama q dan peristiwa lainnya p, dengan p+q =

1. Andaikan pula peristiwa pertama terjadi m× dan yang kedua terjadi n×, dimana N = m + n,

maka kebolehjadian dari ”peristiwa gabungan” adalah

PN (m) = C(N,m)pmqn =N !

m!(N − m)!pmqN−m (4.7)

dimana C(N,m) adalah kombinasi dari N dan m. Persamaan ini merupakan sajian disribusi

binomial. Biasanya p merupakan kebolehjadian sukses.

Pers. (4.7) memenuhi syarat normalisasi yaitu

N∑

m=0

PN (m) =N

∑

m=0

N !

m!(N − m)!pmqN−m = 1 (4.8)

Contoh Soal

Dalam percobaan pelemparan dadu 4 kali, buat ruang cupliknya dan tentukan kebole-

hjadian hasilnya 3 kali muka.


Solusi

↓↓↓↓ ↓↓↓↑ ↓↓↑↓ ↓↓↑↑↓↑↓↓ ↓↑↓↑ ↓↑↑↓ · ↓↑↑↑↑↓↓↓ ↑↓↓↑ ↑↓↑↓ · ↑↓↑↑↑↑↓↓ · ↑↑↓↑ · ↑↑↑↓ ↑↑↑↑

Jumlah peristiwa dengan 3 muka adalah 4 (diberi tanda dot)

P (3 ↑) =4

16= 0, 25

Dengan menggunakan hubungan sebelumnya

P (3 ↑) =4!

3!1!(1/2)3(1/2) = (4)(1/16) = 0, 25

Contoh Soal

Kebolehjadian berhasil seorang pemanah mengenai sasarannya adalah 1/4. Hitunglah

berapa kebolehjadiannya jika ia memanah 5× berhasil paling sedikit 3×.

Solusi

Andaikan m jumlah sukses, berarti N = m + n = 5. p = 1/4 dan q = 3/4. Kebolehja-

dian berhasil 3× adalah

P5 = (5, 3)(p)3(q)2 =5!

3!2!(1/4)3(3/4)2 =

Selanjutnya kita andaikan YN = X1 + X2 + . . . + XN sebagai peubah stokastik yang merupakan

penjumlahan dari N percobaan yang saling bebas. Rapat kebolehjadian untuk peubah stokastik

YN dituliskan sebagai

PYN(y) =

∫

ΠNn=1dxnδ(y − x1 − . . . − xN )PX1

(x1)PX2(x2) . . . PXN

(xN ) (4.9)

dengan fungsi karakteristik sbb

fYN(k) =

∫

ΠN1 dxnδ()PX1

(x1)PX2(x2) . . . PXN

(xN )

= ΠNi=1fXi

(k) = (q + peik)N (4.10)

Persamaan ini dapat diekspansi dengan menggunakan teorema binomial sehingga diperoleh

fYN(k) =

N∑

m=0

C(N,m)pmqN−meimk (4.11)

4.3. FUNGSI-FUNGSI DISTRIBUSI 39

Rapat kebolehjadian PYn(x) untuk peubah stokastik YN adalah

PYn(y) =

1

2π

∫

dkeikyfYN(k) =

N∑

m=0

C(N,m)pmqN−mδ(y − m) (4.12)

=

N∑

m=0

PN (m)δ(y − m) (4.13)

dimana PN (m) merupakan kebolehjadian sukses dan terjadi sebanyak m× untuk percobaan yang

dilakukan N kali.

4.3.2 Distribusi Normal

Distribusi Normal, sering pula disebut distribusi Gauss, termasuk jenis distribusi yang paling

banyak dijumpai dalam kehidupan dan fenomena alam. Sajian matematiknya adalah

f(X) =1

σ√

2πe−(X−µ)2/2σ2) (4.14)

x

PHxL

Gambar 4.3: Profil distribusi Normal.

Jika kita mengukur tinggi badan suatu komunitas maka kurva distribusinya akan memiliki puncak,

yang menunjukkan bahwa sebagian besar anggota komunitas bersangkutan memiliki tinggi pada

kisaran yang bersesuaian dengan absis dari puncak kurva distribusi. Absis pada tail kiri dan kanan

masing-masing bersesuaian ukuran pendek dan tinggi.

Profil distribusi Normal ditunjukkan dalam Gmb. 4.3 dimana beberapa karakteristiknya dapat

dikenali

⋆ Simetrik

⋆ Bentuknya menyerupai lonceng

⋆ Jangkauannya [−∞,∞]

⋆ Jumlah observasi tak hingga


⋆ Bentuknya ditentukan oleh mean dan deviasi standar.

⋆ Nilai numerik dari mean, median dan mode-nya sama.

4.3.3 Distribusi Poisson

Distribusi Poisson dapat diperoleh dari distribusi binomial pada limit N → ∞, sedemikian Np =

a ≪ N , dimana (a merupakan tetapan). Andaikan p = (a/N), maka

fYN(k) =

(

1 − a

N+

a

Neik

)N

(4.15)

Jika diambil nilai N → ∞, diperoleh

fY (k) = limN→∞

fYN(k) = lim

N→∞

(

1 − a

N(eik − 1)

)N

= exp(

a(eik − 1))

(4.16)

= e−a∞∑

m=0

am

m!eimk (4.17)

Dengan demikian rapat kebolehjadian dituliskan sebagai

PY (y) =1

2π

∫ ∞

∞

dke−ikyfy(k) =∞∑

m=0

am

m!e−aδ(y − m) (4.18)

Dari sajian ini, diperoleh distribusi Poisson yaitu

P (m) =am

m!e−a (4.19)

4.4 Harga Ekspektasi

Harga ekpektasi atau harga harapan dari suatu fungsi distribusi dapat dipandang sebagai harga

rerata. Artinya, seandainya kita melakukan percobaan acak dan mengukur nilai pada setiap peri-

stiwa, lalu nilai ini dirata-ratakan, maka hasilnya merupakan harga ekspektasi.

Andaikan suatu besaran A(q) hendak dicari harga expektasinya dalam fungsi distribusi yang diny-

atakan sebagai P (q) dengan daerah definisi qǫ[a, b], maka

〈A〉 =

∫ b

a

A(q)P (q)dq, (4.20)

Contoh Soal

Jika P (q) = 1/(b − a), maka buktikan bahwa 〈q〉 = (a + b)/2. Juga buktikan bahwa

variansi (rerata simpangan baku adalah) ∆q = (< q2 > − < q >2) = (b − a)/√

12.

4.5. PERMUTASI DAN KOMBINASI 41

Solusi

Rerata < q > :

< q > =

∫ b

a

qP (q)dq =1

b − a

∫ b

a

qdq =1

2(b − a)q2

∣

∣

b

a=

1

2(b − a)(b2 − a2)

=a + b

2

Simpangan baku ∆q(< q2 > − < q >2) :

< q2 > =

∫ b

a

q2P (q)dq =1

b − a

∫ b

a

q2dq =1

3(b − a)q3

∣

∣

b

a=

1

3(b − a)(b3 − a3)

< q2 > =(a + b)2

4

4.5 Permutasi dan Kombinasi

Permutasi berkaitan dengan pengaturan N buah obyek berbeda dalam urutan yang teratur. Con-

tohnya, jika ada 4 mahasiswa yang akan menghadap ke dosen untuk urusan kartu rencana studi,

maka jumlah urutan yang mungkin adalah 4! sebab urutan pertama dapat ditempati oleh 4 orang

mahsiswa. Ketika seorang mahasiswa telah menempati urutan pertama, urutan kedua hanya

mungkin ditempati oleh 3 orang mahasiswa, demikian seterusnya, untuk urutan ketiga mungkin

ditempati oleh 2 orang. Barangkali muncul pertanyaan, bukankah jumlah mahasiswa yang mungkin

menempati setiap urutan adalah 4? Benar, memang demikian keadannya, tetapi kita harus mem-

perhitungkan istilah perhitungan ganda (double counting).

Table 4.1: Permutasi 4 buah Obyek

Permutasi

(abcd), (abdc),(acbd), (acdb), (adbc), (adcd)

(bcda), (bcad),· · · · · · · · ·· · · , · · · · · ·

(dabc), (dacb),· · · (dcba)

Jumlah kemungkinan → 4 × 6 = 24(4!)

Supaya jelas, permutasi dari 4 orang ini ditunjukkan dalam Tabel 4.1.

Kombinasi adalah pemilihan N obyek berbeda tanpa memperhitungkan urutan. Jumlah kombinasi


dari N obyek diambil R kali setiap kali adalah

C(N,R) =N !

(N − R)!R!(4.21)

Jumlah permutasi dari N obyek dimana terdiri dari N1 jenis pertama, N2 jenis kedua, N3 jenis

ketiga, dst adalah

P (N,N1, N2, . . . ) =N !

N1!N2!N3! . . .=

N !

ΠNi!(4.22)

Soal-soal Latihan

1. Seorang pekerja bebas mengenakan baju putih, biru atau hijau setiap hari dalam 5 hari

kerja. Jika diasumsikah bahwa setiap harinya tersedia ketiga warna tersebut yang boleh

dipilihnya secara acak, hitung peluang menemukan ia berpakaian warna putih di kantor dua

kali sepekan.

2. Zarah seorang pegawai mempunyai jilbab berwarna biru (2 helai), putih (3 helai), dan hitam

(3 helai). Setiap hari ia berganti jilbab. Jika dianggap bahwa ia ke kantor dalam 5 hari kerja.

a. Hitung peluang menjumpai Zarah mengenakan jilbab biru di kantor paling sedikit dua

kali sepekan!

b. Berapa peluang Zarah mengenakan jilbab putih dalam seminggu?

c. Hitung peluang menjumpai Zarah mengenakan jilbab hitam 2 kali, biru sekali, dan

merah tiga kali dalam sepekan!

3. Fungsi distribusi normal dinyatakan oleh

P (x) = Ae−(x2/2σ2)

Hitung (a) Harga expektasi < x > (b) Simpangan baku ∆x.

4. Spin Ising hanya memiliki dua orientas, yaitu atas (+1) dan bawah (-1). Jika hendak

dikatakan bahwa spin Ising adalah spin dengan komponen tunggal (vektor 1D, bilangan

real, bukan vektor 2D yang berarti dua komponen) yang nilainya kontinue s ǫ[−∞,∞], maka

supaya dipeoleh spin Ising yang sesunguhnya, rumuskanlah funsi ditribusi W (s).

Jawab:

W (si) =1

2[δ(si − 1) + δ(si + 1)]

Bab 5

Teori Kinetik Gas

5.1 Pendahuluan

Pendekatan teori kinetik selangkah lebih maju daripada termodinamika. Hukum-hukum termod-

inamika diturunkan dari eksperimen sedangkan teori kinetik mengawalinya dari hukum-hukum

mekanik. Teori kinetik dapat dipandang sebagai jalan tengah antara termodinamika dan mekanika

statistik.

Pada intinya teori kinetik gas adalah deskripsi gas dari sudut pandang tumbukan antar molekul.

Dalam teori kinetik, sudah mulai diperkenalkan asumsi bahwa benda tidak lagi kontinu melainkan

terdiri atas molekul-molekul. Dengan teori kinetik, sifat-sifat bahan sudah dapat diprediksi lalu

dibuktikan melalui eksperimen. Unsur kemampuan meprediksi sudah tampak pada teori kinetik.

Dengan teori ini besaran-besaran seperi energi dalam (internal energy) dan kapasitas panas dapat

dihitung. Selain itu, juga akan diturunkan persamaan keadaan gas ideal dan Hukum Joule E =

E(T ) yang menyatakan bahwa energi dalam dari gas hanya bergantung pada temperatur dan bukan

pada volume dan tekanan. Juga akan didiskusikan pula ketebatasan teori ini apabila rapat jenis

gas secara signifikan diperbesar.

43

44 BAB 5. TEORI KINETIK GAS

5.2 Asumsi-asumsi Dasar

Pada bagian ini akan dicoba ditelusuri perolehan persamaan keadaan gas ideal (PV = nRT )

melalui teori kinetik. Untuk ini diperlukan beberapa asumsi sbb

1. Gas terdiri atas molekul-molekul yang jumlahnya sangat banyak untuk suatu volume ter-

tentu. Asumsi ini cocok dengan eksperimen yang menunjukkan bahwa volume 1 mol gas

pada keadaan standar (0oC, 1Atm) terdiri atas N molekul, dimana N adalah bilangan Avo-

gadro dan menempati Volume sebesar 22, 4L.

Soal latihan

Hitung berapa jumlah molekul H2 yang terdapat pada volume 1cm3. (Kunci:

3 × 1016molekul).

2. Jarak antar molekul jauh lebih besar dari pada ukuran molekul. Jika diasumsikan molekul

berupa bulatan kecil, diameternya hanya berkisar (2 ∼ 3) × 10−10m. Jarak antar molekul

berkisar 10 kali dari diameternya.

3. Tidak ada gaya interaksi antar molekul kecuali saat mereka bertumbukan. Asumsi ini tentu

tak berlaku untuk plasma, dimana molekul-molekulnya bermuatan listrik.

4. Tumbukan atar molekul bersifat lenting sempurna, dan dinding diasumsikan sangat rata

sehingga tidak ada perubahan tangensial arah kecepatan setelah tumbukan.

5. Tidak ada gaya eksternal sehingga distribusi molekul merata dalam ruang. Jika N dan V

masing-masing adalah jumlah molekul dan Volume ruang, maka rerata jumlah molekul n per

satuan volume adalah

n =N

V

Dengan asumsi bahwa molekul tersebar merata maka jumlah molekul dalam elemen volume

dV adalah

dN = ndV (5.1)

Sistem yang sedang ditinjau bukanlah sistem kontinu, sebab itu jika volume dV sangat kecil

ada kemungkinan tidak berisi molekul.

6. Semua arah kecepatan molekuler memiliki peluang sama besar. Artinya, vektor kecepatan

dari semua molekul, apabila vektor ini digambarkan dengan titik tangkap pada titik pusat,

maka vektor-vektor tersebut akan menembus permukaan bola secara homogen. Titik-titik

5.2. ASUMSI-ASUMSI DASAR 45

Gambar 5.1: Rapat jumlah molekul dengan kecepatan dalam arah θ → θ + ∆θ dan φ → φ + ∆φ.

represenasi pada permukaan bola bersesuaian dengan molekul-molekul gas. Rerata jumlah

titik representasi per satuan luas adalah

N

4πr2

Sedangkan jumlah titik pada elemen luasan dA adalah

dN =N

4πr2dA

Elemen luas dA dalam sistem koordinat Bola adalah

dA = r2 sin θdθdφ

Jumlah titik representasi dalam elemen luasan ini, atau jumlah molekul yang memiliki ke-

cepatan dalam arah antara θ → θ + dθ dan φ → φ + dφ adalah

dNθφ =N

4πr2× r2 sin θdθdφ =

N

4πsin θdθdφ (5.2)

Jika kedua ruas dibagi dengan Volume maka persamaan ini dapat ditulis sbb

dnθφ =n


yang menyatakan jumlah molekul per satuan volume yang memilki kecepatan dengan arah

antara θ dan θ + dθ, dan φ dan φ + dφ.

7. Laju (magnitudo kecepatan) setiap molekul berbeda, dan diasumsikan berada pada range

[0,∞]. Elemen volume dapat dibuat pada ruang kecepatan dengan menggunakan koordinat

bola dan menuliskan dNv sebagai jumlah molekul yang memiliki kecepatan antara v dan

v + dv. Dalam keadaan setimbang (steady state), jumlah titik represenasi pada elemen

volume ini tidak berubah. Hal ini perlu penjelasan, sebab kenyataannya molekul-molekul

gas bergerak kontinu dan terjadi tumbukan antar molekul secara terus menerus. Berarti,


asumsi bahwa jumlah titik representasi dalam elemen volume konstan berarti bahwa ketika

suatu molekul berkurang keceatannya, ada molekul lain yang menerima energi kinetiknya.

Artinya, energi kinetik total dalam sistem tetap.

5.3 Tumbukan dengan Dinding Permukaan

Dinding wadah setiap saat ditumbuk oleh molekul-molekul gas. Kita harus dapat menghitung

jumlah molekul yang menumbuk dinding. Jumlah molekul gas per satu unit volume yang ke-

cepatannya antara v dan dv dinyatakan oleh unit volume yang telah disebutkan sebelumnya, yaitu

dnv = dNv/N . Molekul-molekul dalam elemen volume ini tidak seluruhnya menumbuk dinding

sebab tentu saja ada yang gerakannya menjauhi dinding.

Kecepatan molekul yang menumbuk dinding diandaikan memiliki arah antara θ dan θ + dθ dan φ

dan φ + dφ serta lajunya antar v dan v + dv. Jumlahnya per satuan volume adalah

dnθφv =1

4πdnv sin θdθdφ (5.4)

Apabila dikalikan dengan elemen volume dV yang dinyatakan sebagai

dV = dAvdt cos θ,

maka jumlah molekul yang dimaksud adalah

d3nθφvdV = dAdt × vdnv


Untuk memperoleh jumlah tumbukan per satuan waktu per satuan luas oleh molekul yang lajunya

v, persamaan di atas diintegrasi untuk θ ǫ[0, π/2] dan untuk φ ǫ[0, 2π]. Hasilnya adalah

1

4vdnv

Selanjutnya untuk memperoleh jumlah tumbukan yang dialami oleh dinding sajian terkahir ini

diintegrasi,∫

1

4vdnv =

1

4nv

dimana v adalah laju rerata molekul yang didefinsikan sebagai

v =

∑

Nivi

N=

∑

nivi

n

Pada keadaan standar, jumlah molekul dalam 22, 4dm3 adalah NA (bilangan avogadoro), sehingga

dalam 1m3

n =NA

22, 4dm3=

NA × 103

22, 4m3)= 2, 69 × 1025molekul/m3

5.4. PERSAMAAN KEADAAN GAS IDEAL 47

Contoh Soal

Jika laju rerata atom Oxigen pada keadaan standar adalah 450m/s, hitung jumlah

tumbukan dengan dinding persatuan luas per sekon!

Solusi

Dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh

N =1

42, 69 × 1025 × 450 = 3, 027

5.4 Persamaan Keadaan Gas Ideal

Besarnya gaya akibat tumbukan dapat dihitung, yaitu

dF =1

3m

[∫

v2dnv

]

dA (5.6)

Dari sini dapat diperoleh tekanan, yaitu

p =dF

dA=

1

3m

[∫

v2dnv

]

(5.7)

Analogi dengan v pada bagian sebelumnya, rerata laju kuadrat v2 adalah

v2 =

∑

v2

N

Untuk distribusi kontinu

v2 =

∫

v2dnv

n→

∫

v2dnv = nv2 (5.8)

Dengan demikian, Pers. (5.7) dapat dituliskan kembali sebagai

p =1

3nmv2 (5.9)

sajian yang memperlihatkan bahwa tekanan gas berkaitan dengan energi kinetik gas. Karena

n = N/V , sajian terakhir ini menjadi

pV =1

3Nmv2 (5.10)

atau,

pV =1

3nRT. (5.11)

Melalui subtitusi n = N/NA, persamaan terakhir dapat dituliskan sebagai

pV =1

3N

R

NAT =

1

3NkT (5.12)

dimana k adalah tetapan Boltzmann. Persamaan terakhir ini adalah persamaan keadaan gas ideal.

Bab 6

Distribusi Kecepatan Molekuler

6.1 Ruang Kecepatan

Dalam bab ini akan dirumuskan distribusi kecepatan gas dengan menggunakan konsep fungsi dis-

tribusi yang diulas dalam Bab 4 dan konsep ruang fase yang diulas dalam Bab 3.

Setiap titik dalam ruang fase adalah representasi lengkap dari posisi dan kecepatan semua molekul

gas. Jika kecepatan setiap molekul dinyatakan sebagai vektor dengan titik tangkap pada pusat

koordinat maka vektor-vektor ini akan tampak sebagai kumpulan anak panah yang menembus per-

mukaan khayal tertentu, misalnya permukaan bola dengan jejari kecil. Arah masing-masing anak

panah ditentukan oleh komponen kecepatannya, yaitu vx, vy dan vz dimana vx adalah komponen

kecepatan pada sumbu-x.

Untuk setiap vektor kecepatan berlaku

v =√

v2x + v2

y + v2z (6.1)

Setiap vektor dapat diwakili oleh ujung vektor berupa titik. Titik-titik ini akan membentuk sebuah

ruang yang kita sebut sebagai ruang kecepatan (velocity space).

Ruang repsentasi kecepatan adalah ruang tiga dimensi Kartesian dengan sumbu vx, vy dan vz. Pada

ruang kecepatan, ada kemungkinan dua buah vektor berimpit. Keadaan ini bersesuaian dengan

keadaan bahwa dua molekul memiliki kecapatan yang persis sama, kendati posisinya berbeda.

Dalam ruang fase, tidak mungkin ada dua titik representasi berimpit sebab posisi setiap molekul

unik.

49

50 BAB 6. DISTRIBUSI KECEPATAN MOLEKULER

vx

xvd

vxNd

Gambar 6.1: Ruang Kecepatan

Elemen volume dvxdvydvz pada ruang kecepatan menyatakan jumlah molekul yang memiliki ke-

cepatan antara (vx, vy, vz) dan (vx + dvx, vy + dvy, vz + dvz). Secara konsep, elemen volume ini

tidak dapat diambil sangat kecil (menuju nol) sebab harus memperhitungkan orde perbedaan ke-

cepatan. Jika diambil terlalu kecil, jumlah titik dalam elemen tersebut menjadi tidak sesuai dengan

kenyataan fisis. Dengan kata lain, sebenarnya kita menghendaki ditribusi kecepatan yang kontinu,

akan tetapi jumlah titik representasi berhingga, yaitu dalam orde bilangan Avogadro. Banyak

ruang kosong dalam ruang kecepatan sehingga akan mempengaruhi tingkat akurasi pendekatan

yang digunakan.

Jumlah molekul dengan komponen kecepatan arah-x antara vx dan vx + dvx dinyatakan oleh

lempeng dNvx, sehingga fraksi molekul dengan kecepatan ini adalah

dNvx

N

Fraksi ini akan bergantung pada dua faktor, yaitu ketebalan lempeng (dvx) dan letak lempeng,

dalam hal ini vx,dNvx

N= f(vx)dvx → dNvx

= Nf(vx)dvx (6.2)

Fraksi untuk komponen lain dapat diasumsikan memiliki bentuk serupa. Tentu saja, akibat grav-

itasi bentuk untuk komponen vy sedikit berbeda, tetapi dapat diabaikan, sehinga tetap dapat

tuliskan,

dNvy= Nf(vy)dvy (6.3)

dNvz= Nf(vz)dvz (6.4)

Sejumlah molekul dalam fraksi yang dinyatakan oleh Pers. (6.2) tetap memiliki komponen vy dan

vz. Sebab itu, kita dapat menyatakan fraksi molekul yang kecepatannya berada antara vy dan

6.1. RUANG KECEPATAN 51

vy + dvy baik terhadap total molekul N maupun subtotal dNvx. Nilai kedua fraksi ini sama sebab

fraksi dapat dipandang sebagai besaran homogen (Bandingkan dengan massa jenis, massa jenis

bahan sama dengan massa jenis potongannya). Dengan demikian kita dapat menuliskan

d2Nvxvy

dNvx

=dNvy

N→ d2Nvxvy

=dNvy

NdNvx

Dengan mensubtitusikan dNvxdari Pers. (6.2) diperoleh

d2Nvxvy=

dNvy

NNf(vx)dvx = dNvy

f(vx)dvx = Nf(vx)f(vy)dvxdvy (6.5)

Sajian ini menyatakan jumlah titik representasi pada balok yang merupakan interseksi antara

lempengan dvx dan dvy.

Melalui argumentasi yang analog, fraksi molekul yang memiliki kecepatan antara vz dan vz + dvz

dalam d2Nvxvydapat dinyatakan sebagai

d3Nvxvyvz

d2Nvxvy

=dNvz

N

Sehingga diperoleh

d3Nvxvyvz= Nf(vx)f(vy)f(vz)dvxdvydvz (6.6)

yang menyatakan jumlah titik representasi kecepatan dalam elemen volume dvxdvydvz. Dari sajian

(6.6) diperoleh densitas titik representasi kecepatan

ρ =d3Nvxvyvz

dvxdvydvz= Nf(vx)f(vy)f(vz) (6.7)

Sesuai asumsi sebelumnya, kecepatan bersifat isotropik sehingga nilai ρ(vx, vy, vz) homogen secara

radial. Ada perubahan nilai ρ dari titik v ke v + dv sebesar dρ yaitu

dρ =∂ρ

∂vxdvx +

∂ρ

∂vydvy +

∂ρ

∂vzdvz (6.8)

Oleh karena ρ terpisahkan atas f(vx), f(vy) dan f(vz), maka persamaan ini dapat dituliskan sebagai

dρ = N

([

df(vx)

dvx

]

f(vy)f(vz)dvx + f(vx)

[

df(vy)

dvy

]

f(vz)dvy + f(vx)f(vy)

[

df(vz)

dvz

]

dvz

)

(6.9)

Kasus khusus bisa ditinjau, yaitu elemen volume yang berada pada jarak yang sama dari pusat,

yaitu v, sehingga dρ = 0, akibatnya

f ′(vx)

f(vx)dvx +

f ′(vy)

f(vy)dvy +

f ′(vz)

f(vz)dvz = 0 (6.10)

Sesuai syarat dρ = 0, dua element volume yang ditinjau berada pada lempeng permukaan konsen-

trik yang sama, sehingga

v2 = v2x + v2

y + v2z = konstan (6.11)


yang berarti

vxdvx + vydvy + vzdvz = 0 (6.12)

Ada konflik antara Pers. (6.10) dan (6.12), yang pertama mengharuskan dvx, dvy dan dvz saling

bebas, sedangkan yang kedua tidak. Konflik ini dapat dipecahkan dengan menggunakan tetapan

pengali Lagrange, yanit mengalikan Pers. (6.12) dengan tetapan λ. Kedua persamaan dijumlahkan

dan diperoleh

(

f ′(vx)

f(vx)+ λvx

)

dvx +

(

f ′(vy)

f(vy)+ λvy

)

dvy +

(

f ′(vz)

f(vz)+ λvz

)

dvz = 0 (6.13)

Persamaan ini dapat dipisahkan menjadi tiga,

f ′(vx) + λf(vx)vx = 0 (6.14)

f ′(vy) + λf(vy)vy = 0 (6.15)

f ′(vz) + λf(vz)vz = 0 (6.16)

Dengan integrasi, solusinya dapat dituliskan sebagai

f(vx) = αe−β2v2

x (6.17)

dimana β2 = λ/2 Selanjutnya, sesuai dengan Pers. (6.6), jumlah titik representasi dalam elemen

volume dV adalah

d3N = Nα3e−β2(v2

x+v2

y+v2

z)dvxdvydvz (6.18)

Rapat titik representasi dapat dituliskan sebagai

ρ =d3N

dvxdvydvz= Nα3e−β2v2

(6.19)

Sajian ini hanya bergantung pada laju v sebagai konsekuensi dari asumsi bahwa laju molekul gas

isotropik. Fungsi ini dinamakan fungsi distribusi kecepatan Maxwell yang plotnya ditunjukkan

dalam Gmb. 6.2; profilnya serupa dengan setengah dari distribusi Gaussian.

6.2 Penentuan Nilai Parameter Distribusi

Seperti halnya dalam penentuan konstanta penyelesaian persamaan diferensial, nilai parameter α

dan β dari distribusi kecepatan Maxwell harus ditentukan secara explisit.

6.2. PENENTUAN NILAI PARAMETER DISTRIBUSI 53

x

Ρ

Gambar 6.2: Fungsi distribusi kecepatan Maxwell.

Penentuan nilai ini adalah dengan memanfaatkan bentuk integral generik dari integral gaussian

sbb

2

∫ ∞

0

e−y2

dy =

∫ ∞

−∞

e−y2

dy

(

2

∫ ∞

0

e−y2

dy

)2

=

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

e−(x2+y2)dx dy

=

∫ 2π

0

∫ ∞

0

e−r2)rdr dθ

= π

Perlu diingat bahwa Jumlah titik representasi pada lempeng konsentrik yang berjarak v dari pusat

dan ketebalan dv adalah

dNv = (ρ)(

4πv2dv)

dimana 4πv2dv adalah volume dari lempeng konsentrik (volume materialnya, bukan volume yang

dilingkupi oleh material tersebut).

Dengan memanfaatkan bentuk integral Gaussian dan integrasi parsial (Lihat Apendix A) diperoleh

N =

∫

dNv =

∫ ∞

0

(

Nα3e−β2v2)

(

4πv2dv)

= 4Nπα3

∫ ∞

0

v2e−β2v2

dv

=

√π

4β2(6.20)

sehingga

α3 = π−3/2β3

Artinya, fungsi distribusi tersebut dapat dituliskan dengan satu parameter yaitu β,


N =4N√

πβ2v2 exp(−β2v2)dv (6.21)

Tetapan β dapat ditentukan melalui integrasi

v =

∫

vdNv

N

=4β2

√π

∫ ∞

0

v3 exp(−β2v2)dv =1

2β4(6.22)

Berarti,

v =2

β√

π(6.23)

Dari sini laju kuadrat rerata vrms dapat diperoleh

vrms =√

v2 =

[∫

v2dNv

N

]1/2

=

[

4β2

√π

∫ ∞

0

v4 exp(−β2v2)dv

]1/2

=3√

π

8β5(6.24)

Dengan demikian

vrms =1

β

√

3

2(6.25)

Dari hubungan 6.25 terdapat hubungan antara vrms dengan temperatur, yaitu melalui hubungan

vrms =

√

3kT

m→ β =

m

2kT

Dengan demikian fungsi distribusi tidak lagi dinyatakan dalam parameter β, tetapi dalam besaran

fisis nyata yang dituliskan sebagai

dNv =4N√

π

( m

2kT

)3/2

v2 exp(

−mv2/2kT)

dv (6.26)

dNvxvyvz=

4N√π

( m

2kT

)3/2

v2 exp(

−mv2/2kT)

dvxdvydvz (6.27)

dNvx=

4N√π

( m

2kT

)3/2

v2 exp(

−mv2/2kT)

dvx (6.28)

6.3 Fungsi Distribusi Energi

Berdasarkan prinsip ekipartisi energi, energi kinetik translasi suatu partikel yang bergerak dengan

kecepatan v adalah

wx =1

2mv2

x; wy =1

2mv2

y; wz =1

2mv2

z

Jumlahan energi kinetik w sama dengan 3kT , sebab masing-masing komponen mendapat porsi

(1/2)kT . Jumlah molekul yang memiliki energi kinetik antara w dan w + dw dapat diperoleh dari

6.4. PRINSIP EKIPARTISI ENERGI 55

distribusi kecepatan melalui transformasi peubah w = 1/2mv2, dimana

dw = mvdv → dv =dw√2mw

Dengan demikian fungsi distribusi energi kinetik dapat dituliskan sebagai

dNw =4N√

π

( m

2kT

)3/2 2w

mexp

(

−mv2/2kT)

dv (6.29)

=2N√

π(kT )

−3/2w1/2 exp (−w/2kT ) dw (6.30)

Dari fungsi distribusi ini dapat ditunjukkan bahwa energi yang paling mungkin adalah E = kT/2,

yang bersesuaian dengan absis dari puncak distribusi.

6.4 Prinsip Ekipartisi Energi

Secara experimen ditemukan bahwa tekanan parsial dari campuran gas memenuhi persamaan

keadaan gas ideal yaitu

p1V = N1kT, p1V = N2kT

dimana p1, p2 dst adalah tekanan parsial dari gas penyusun. Tekanan parsial ini bersesuaian

keadaan dimana gas murni, misalnya gas pertama ke dalam tangki. Berikutnya, tangki dikosongkan

lalu diisi dengan gas kedua. Kondisi dijaga sedemikian T dan V sama dengan yang pertama,

penunjukan tekanan itu disebut tekanan parsial.

Andaikan m1,m2 masing-masing menyatakan massa dari jenis molekul yang dicampur, andaikan

pula v21 , v2

2 merupakan kecepatan reratanya, maka dari hasil yang diperoleh sebelumnya kita peroleh

p1V =1

3N1m1v

21 , p2V =

1

3N2m2v

22 , ; . . .

Dengan menyatamakan p1V, p2V maka diperoleh

1

2m1v

21 =

3

2kT ;

1

2m2v

22 =

3

2kT

yang mengungkapkan bahwa energi kinetik rerata dari campuran gas semua sama.

6.5 Soal Latihan

1. Fungsi distribusi Maxwell Boltzmann dari laju molekuler dapat dituliskan sebagai

dNx

dx= G(x2), vm =

√

2kT

mx = v/vm, F (x2) =

4N√π

x2e−x2

Buat grafik dari fungsi distribusi ini dan hitunglah nilai y di beberapa titik.

Bab 7

Statistik Maxwell Boltzmann

7.1 Pendahuluan

Alasan pengembangan mekanika statistik adalah untuk memberi landasan yang kokoh bagi fenom-

ena termodinamik. Dua fisikawan mashur disebut sebagai pelopornya, yaitu Boltzmann di Jerman

dan Gibbs di Amerika Serikat. Bab ini akan membahas konsep statistik Maxwell-Boltzman dan

aplikasinya dalam penurunan persamaan gas ideal (PV = NkT ). Perhatikan bahwa persamaan

gas ideal dituliskan bukan dalam bentuk PV = nRT sebab melalui pendekatan mekanika statistik

kita mulai mempersoalkan gerak molekul-molekul gas. Sebagaimana dipahami, k adalah tetapan

umum gas untuk setiap molekul, sedangkan n adalah untuk setiap mol.

7.2 Ruang Fase

Ruang fase yang telah diulas dalam Bab 3 sangat berguna dalam membahas distribusi kecepatan

molekul. Setiap titik dalam ruang fase adalah representasi lengkap dari posisi dan kecepatan setiap

molekul. Jika kecepatan setiap molekul dinyatakan sebagai vektor dengan titik tangkap pada pusat

koordinat, maka vektor-vektor ini akan menembus permukaan radial khayal tertentu.

Untuk setiap vektor kecepatan berlaku

v =√

v2x + v2

y + v2z (7.1)

dimana index x menandakan komponen dalam arah Sumbu-x. Setiap vektor yang bersesuaian

57

58 BAB 7. STATISTIK MAXWELL BOLTZMANN

dengan satu molekul dan direpresentasikan oleh anak panah dapat diwakili oleh ujung vektor

berupa titik. Titik-titik ini berada dalam ruang yang kita sebut sebagai ruang kecepatan (velocity

space).

Ruang repsentasi kecepatan adalah ruang tiga dimensi Kartesian dengan sumbu vx, vy dan vz. Pada

ruang kecepatan, ada kemungkinan dua buah vektor berimpit. Keadaan ini bersesuaian dengan

keadaan bahwa dua molekul memiliki kecepatan yang persis sama, kendati posisinya berbeda.

Dalam ruang fase, tidak mungkin ada dua titik representasi berimpit sebab posisi setiap molekul

unik.

Suatu elemen volume dV dalam ruang fase diasumsikan mengandung banyak sekali titik repre-

sentasi. Elemen-elemen volume selanjutnya dipandang sebagai bilik kemudian diberi nomor. Kita

dapat mendefinisikan densitas pada masing-masing elemen volume ini

ρ =Ni

H; H = dxdydzdvxdvydvz (7.2)

Densitas ini akan merupakan fungsi dari 3 peubah ruang dan 3 peubah kecepatan; dan perlu

dirumuskan bentuk eksplisitnya.

7.3 Keadaan Mikro dan Keadaan Makro

Keadaan mikro adalah konfigurasi sesaat yang memuat data lengkap posisi dan kecepatan (mo-

mentum) setiap molekul. Konfigurasi dapat dipandang sebagai hasil pemotretan pada satu titik

waktu. Potret nyata dari suatu sistem hanya memuat informasi posisi masing-masing molekul

dan tidak ada informasi tentang kecepatan. Kenyataan bahwa pemotretan benda bergerak akan

menghasilkan gambar yang kualitasnya tidak sebaik dengan pemotretan benda diam. Sebab itu

dikonsepkan bahwa potret untuk keperluan keadaan mikro memuat informasi bukan hanya posisi,

tetapi juga kecepatan yang dinyatakan oleh warna. Pemotretan dapat dilakukan pada berbagai

titik waktu, sedangkan hasil dari masing-masing pemotretan adalah satu keadaan mikro.

Sejumlah keadaan mikro kemungkinan merepresentasikan keadaan makro yang sama. Jumlah

keadaan mikro untuk berbagai keadaan makro dapat berbeda, sebagaimana dibahas dalam Bab 3.

Misalnya seperti yang ditunjukkan dalam Gmb. 7.1.

7.4. BOBOT STATISTIK 59

eabc de f gh

i jkl m n

Gambar 7.1: Ilustrasi sebuah keadaan makro.

7.4 Bobot Statistik

Andaikan N buah molekul terbagi ke dalam n bilik dimana masing-masing bilik berisi N1, N2 . . . Nn

molekul, maka jumlah keadaan mikroskopik dapat dihitung sbb

Ω =N !

N1!N2! . . . Nn!=

N !

Πni=1Ni!

(7.3)

dimana Ω biasa juga disebut sebagai bobot statistik (Statistical weight). Faktorial dari bilangan

yang ordenya hingga 1023 akan sangat besar sehingga perlu teknik khusus untuk menghitungnya.

Kita akan menggunakan pendekatan Stirling yaitu

lnx! = x lnx − x (7.4)

Elaborasi

Rumus Stirling dalam Persamaan di atas sebenarnya merupakan pengintegralan seder-

hana sbb

lnx! = lnx + ln(x − 1) + ln(x − 2) + . . . + ln 1

=∑

lnx ≈∫ x

1

lnx dx

≈ x ln x − x

Selanjutnya, kita akan merumuskan entropi yang secara mekanika statistik didefinsikan sebagai

S = k ln Ω (7.5)

Dengan menggunakan rumus Stirling, diperoleh

ln Ω = N lnN −∑

Ni lnNi;∑

Ni = N (7.6)

Jumlah molekul yang berada pada bilik ke-i tentu saja berubah setiap saat. Akan tetapi pada saat

entropi maksimum, maka perubahan bobot statistik maksimum Ωmax akibat perubahan dari Ni


adalah nol. Jika bobot statistik Ω maximum, logaritmanya juga maximum, sehingga

δ ln Ωmax = −∑

Niδ lnNi −∑

lnNiδNi = 0 (7.7)

Suku pertama dari sini hasilnya lenyap sebab

∑

Niδ lnNi =∑

NiδNi

Ni=

∑

δNi = 0

Alasan kenapa∑

δNi = 0, terkait dengan kenyataan bahwa jumlah molekul tetap, pertambahan

jumlah dalam suatu bilik adalah akibat pengurangan pada bilik yang lain. Implikasinya,

∑

lnNiδNi = 0

Perlu diperhatikan bahwa δNi tidak saling bebas karena

δN =∑

δNi = 0 (7.8)

yang merupakan persamaan syarat pertama. Karena sistem yang ditinjau merupakan sistem ter-

isolasi dimana energi dalamnya tetap, maka

U =∑

wiNi (7.9)

Variasi dari persamaan ini menghasilkan persamaan syarat yang kedua (yang pertama adalah Pers.

7.8).

δU =∑

wiδNi = 0 (7.10)

Dengan alasan yang sama saat mebahas distribusi kecepatan molekuler, kita menggunakan pengali

Lagrange, dalam hal ini lnα dan β, sehingga diperoleh

∑

(lnNi − lnα + βwi) δNi = 0, (7.11)

Karena telah dikalikan dengan pengali Lagnrange, δNi dalam persamaan di atas secara efektif

sudah saling bebas sehingga untuk setiap nilai i berlaku

lnNi − lnα + βwi = 0

yang menghasilkan

Ni = α exp(−βwi) (7.12)

Karena∑

Ni = N , berarti

N =∑

α exp(−βwi)

= αZ → Z =∑

exp(−βwi) (7.13)


dimana Z disebut sebagai fungsi partisi. Persamaan untuk Ni dalam (7.12) dapat dituliskan

sebagai

Ni =N

Zexp(−βwi) (7.14)

Hubungan antar fungsi partisi dan entropi dapat ditelusuri dari bobot statistik sbb

ln Ω = N lnN −∑

Ni lnNi

= N lnN −∑

Ni(lnN − lnZ − βwi) (7.15)

Apabila ke dalam persamaan terakhir ini dimasukkan∑

Ni = N dan U =∑

wiNi, diperoleh

S = k ln Ω = Nk lnZ + kβU (7.16)

Di sini kita mulai dapat memperkenalkan konsep temperatur yang muncul murni dari peninjauan

fisika statistik.

Contoh soal

Telusuri perolehan hubungan berikut:

(

∂U

∂S

)

V

= T

Solusi

Dari Hk. I termodinamika,

dU = dQ − PdV = TdS − PdV

sehingga dengan menandai U(S,V) diperoleh

dU =

(

∂U

∂S

)

V

dS +

(

∂U

∂V

)

S

dV

Dengan demikian diperoleh

(

∂U

∂S

)

V

= T ;

(

∂S

∂U

)

V

=1

T

Dari Pers. 7.16 dan melalui turunan parsial S terhadap energi dalam U

(

∂S

∂U

)

V

= Nk1

Z

(

∂Z

∂β

)

V

(

∂β

∂U

)

V

+ kβ + kU

(

∂β

∂U

)

V

(7.17)

Dari hubungan antara U,Z dan Ni diperoleh

(

∂Z

∂β

)

V

= −∑

wi exp(−βwi) =UZ

N


Ternyata dari hubungan terakhir ini dapat diperoleh

(

∂S

∂U

)

V

= kβ → β = 1/kT

Dengan demikian berdasarkan distribusi Maxwell-Boltzaman, jumlah molekul pada tingkatan en-

ergi wi adalah

Ni =N

Zexp(−wi/KT ) (7.18)

dan fungsi partisi

Z =∑

exp(−wi/KT ) (7.19)

Fungsi partisi Z dapat dianggap sebagai pembangkit sebab melalui Z semua fungsi termodinamik

dapat diperoleh. Contohnya,

U = NkT 2 d lnZ

dT(7.20)

Juga dari hubungan 7.16 diperoleh

S = NkT lnZ +U

T(7.21)

Juga dari F = U − TS diperoleh

F = −nkT lnZ (7.22)

dimana F adalah energi bebas Helmholtz. Dengan demikian tinjaun mekanika statistik memu-

ngkinkan perolehan hubungan-hubungan termodinamika yang diturunkan langsung dari experi-

men.

Sebagai contoh, kita akan menggunakan statistik MB untuk menghitung entropi gas ideal.

7.5 Perhitungan Entropi Gas Ideal

Dalam bagian ini akan digunakan konsep statistik Maxwell-Boltzmann untuk perhitungan entropi

gas ideal. Hamiltonian sistem dinyatakan oleh

H(q, p) =

N∑

i

~p2i

2m=

3N∑

i

p2i

2m(7.23)

suku energi potensial tidak ada karena molekul-molekul gas ideal saling bebas. Perhatikan bahwa

batas penjumlahan berubah dari N menjadi 3N , yaitu karena ~p2 = p2x+p2

y+p2z. Jumlah mikrostate

sistem dinyatakan oleh integrasi

7.6. PARADOKS GIBBS 63

Ω(E,N) =

∫

H(q,p)

d3N d3Np (7.24)

Oleh karena Hamiltonian tidak bergantung pada posisi q, integrasi terhadap d3Nq menghasilkan

V N , sehingga

Ω(E,N) = V N

∫

H(q,p)

d3Nq d3Np (7.25)

Perhitungan sisa integral dilakukan dengan memperhitungkan keadaan bahwa semua titik dalam

ruang fase memenuhi3N∑

i

p2i ≤ 2mE

yang beberati bahwa daerah integrasi dapat dipandang sebagai bola berdimensi 3N berjejari√

2mE. Volume bola tersebut adalah berupa integrasi

VN (R) =

∫

P

3Ni x2

i≤R2

dx1 · · · dxN = RN

∫

P

3Ni y2

i ≤1

dy1 · · · dyNdx1 · · · dxN = RN

dimana telah dilakukan transformasi peubah yi = xi/R. Dengan demikian integrasi terakhir tidak

lagi bergantung pada R melainkan hanya pada dimensi N , sehingga

VN (R) =

∫

P

3Ni x2

i≤R2

dx1 · · · dxN = RN

∫

P

3Ni y2

i ≤1

dy1 · · · dyNdx1 · · · dxN = RN

Perhatikanlah integral generik berikut

∫ ∞

−∞

ex2

dx =√

π

sehingga∫ ∞

−∞

dx1 · · ·∫ ∞

−∞

dxN

[

−(ex2

1+ ···+ x2

N )]

= πN/2

yang berarti bahwa Pers. 7.25 bergantung hanya pada R = (x21 + · · ·+ x2

N )1/2. Akibatnya elemen

volume Πdxi dapat dinyatakan oleh kulit bola, menggunakan Pers. (7.23)

S(E, V,N) = Nk

[

3

2+ ln

V

σ(4π

3N)

]

(7.26)

7.6 Paradoks Gibbs

Sajian entropi gas ideal seperti dalam 7.26 memiliki kontradiksi. Kontradiksi ini adalah

S(E, V,N) = Nk

[

3

2+ ln

V

σ(4π

3N)

]

(7.27)


Andaikan terdapat dua jenis gas yang terpisah seperti gambar. Kemudian pada saat t = 0, dinding

pemisah diangkat, sehingga setelah selang waktu tertentu keadaan setimbang baru dicapai. Entropi

sistem sebelum diding pemisah diangkat adalah

S(0)tot = S

(0)A (T, VA, NA) + S

(0)B (T, VB , NB) (7.28)

dan setelah diangkat

S(t)tot = S

(0)A (T, VA, NA) + S

(0)B (T, VB , NB) (7.29)

Berdasarkan Pers. (7.27) maka selisi antara entropi setelah dan sebelum dinding diangkat adalah

∆S = S(1) − S(0) = NAk ln

VA + VB

VA

+ NBk ln

VA + VB

VB

(7.30)

Hingga disini belum terlihat kontradiksi sebab percampuran gas merupakan proses ireversibel (tak-

terbalikkan). Setelah beberapa waktu sejumlah molekul gas jenis A akan ke wilayah B, demikian

sebaliknya. Kontradiksi muncul ketika molekul yang ditinjau sejenis dan tak terbedakan. Hal ini

berarti kita tidak mampu menomori molekul-molekul gas. Jumlah keadaan mikro menjadi lebih

sedikit dibandingkan dengan keadaan untuk sistem terbedakan. Keadaan mikro tidak berubah ak-

ibat pertukran molekul dari satu tempat ke tempat lain. Perhitungan perubahan entropi menurut

Pers. (7.30) bersifat paradoksal sebab di satu pihak ∆S > 0 berarti bahwa pertukaran tempat

molekul tidak mengubah Secara klasik

7.7 Teori Debye

Teori ini membahas panas jenis zat pada pada temperatur rendah.

Cv ≈ T 3

7.8 Soal Latihan

1. Andaikan terdapat empat bilik dengan jumlah molekul masing-masing N1 = 20, N2 =

10, N3 = 30 dan N4 = 40. Jika w1 = 2, w2 = 4, w3 = 6 dan w4 = 8, carilah δN1 dan

δN2 apabila energi dalam tetap dan jumlah molekul pada bilik ketiga dan keempat tetap.

2. Andaikan terdapat 30 molekul yang terdistribusi merata pada tiga bilik 1, 2 dan 3. Apabila

tingkat energi w1 = 2 Joule, w2 = 4 Joule dan w3 = 6 Joule dan δN3 = −2, maka carilah

δN1 dan δN2 sedemikian sehingga δN = 0 dan δU = 0.

Bab 8

Statistik Bose Einstein

8.1 Pendahuluan

Prediksi statistik Maxwell-Boltzmann (MB) tentang prilaku gas elektron tidak sesuai dengan hasil

percobaan (ekperimen). Contohnya, prediksi mengenai energi termal konduktor lebih kecil dari-

pada nilai nyata. Menurut percobaan, kapasitas panas dari logam adalah 3R, sedangkan prediksi

MB adalah 3R/2. Kekeliruan prediksi statistik MB disebabkan oleh pendefinisian jumlah keadaan

mikro (microstate). Kenyataan bahwa elektron adalah zarah yang tidak terbedakan harus diper-

hitungkan.

8.2 Perumusan Statistik Bose Eistein

Dalam rangka merumuskan statistik BE, kita kembali memerlukan konsep ruang fase, yaitu ruang

dengan 6 sumbu (x, y, z, px, py, pz). Di sini tidak digunakan kecepatan melainkan momentum yang

pada intinya identik sebab ~p = m~v. Dengan demikian elemen volume dapat dituliskan sebagai

H = dxdydzdpxdpydpz (8.1)

Dengan demikian, setiap molekul dapat direpresentasikan sebagai satu titik dalam ruang fase.

Ingat, jika ruang fase dibuat dalam 6N dimensi, maka setiap titik akan bersesuaian dengan keadaan

sistem pada satu saat tertentu.

Oleh karena prinsip ketidak-pastian Heisenberg, suatu titik representasi sistem kuantum harus

65

66 BAB 8. STATISTIK BOSE EINSTEIN

dikoreksi. Representasi dengan titik berarti kita dapat menentukan posisi dan momentum pada

saat yang bersamaan dan itu hanya berlaku untuk sistem klasik. Sistem kuantum mengharuskan

partikel direpresentasikan oleh dot (compartment) yang dimensinya pada orde h3, dimana h adalah

tetapan Planck. .

Elemen volume H memuat sejumlah dot sedemikian dapat didefinisikan jumlah dot dalam elemen

volume H adalah n = H/h3.

8.3 Bobot Statistik

Wj

Wi

Gambar 8.1: Keadaan Makro dan Mikro untuk statistik BE

Perumusan distribusi BE dari bobot statistik harus memperhitungkan kenyataan bahwa partikel

tidak lagi dapat dibedakan (indistinguishable). Pertukaran partikel antar bilik, karena partikelnya

tak-terbedakan tidak menyebabkan perbedaan keadaan mikro. Sebab itu, cara perhitungan bobot

statistik untuk BE berbeda dengan MB.

Dalam diagram yang ditunjukkan oleh Gbr. 8.1 molekul atau partikel digambarkan sebagai

lingkaran kecil, bukan huruf. Pada bagian sebelah kiri mengingatkan kita pada statistik BM,

dimana untuk N = 4 dengan N1 = 1 dan N2 = 3; maka akan ada 4 keadaan mikro. Akan tetapi

karena partikelnya tidak terbedakan, jumlah keadaan mikro yang bersesuaian dengan keadaan

makro ini hanya satu. Pada bagian kanan diperlihatkan bahwa partikel N1 = 3 membagi diri

ke dalam sub-bilik sehingga menghasilkan jumlah sub-bobot statistik wi = 2 dan untuk wj = 4.

Bobot statistik Ω untuk N = 4, N1 = 1, N2 = 3, dengan jumlah sub-bilik pada E1 dan E2 masing-

masing 2 adalah Ω = 4 × 2 = 8. Di sini terlihat bahwa bobot statistik untuk sistem yang terdiri


atas n tingkatan energi adalah

Ω = Πni=1Ωi (8.2)

Penamaan statistik Bose-Einstein berhubungan dengan kenyataan bahwa partikel yang ditinjau

adalah partikel boson, yaitu yang memiliki momen magnetik intrisik (spin) bulat. Partikel je-

nis ini tidak diatur oleh larangan Pauli sehingga dapat berada pada tingkat energi yang sama

dengan yang lainnya. Boson dapat berupa partikel elementer, contohnya foton, gluon dan par-

tikel hipotetik Higgs boson; dapat pula berupa komposit seperti meson dan atom-atom bahkan

molekul; bergantung pada jumlahan spin-nya, apakah bulat atau pecahan. Seperi dalam gambar,

masih dimungkinkan jumlah partikel berada pada sub bilik yang sama lebih dari dua.

Partikel yang mengikuti prinsip larangan Pauli disebut fermion. Maksimum hanya boleh ada dua

fermion berada pada bilik yang sama dan statistiknya disebut statitistik Fermi-Dirac. Spin dari

fermion adalah bilangan rational, yaitu n+1/2 dimana n adalah bilangan bulat. Contohnya adalah

elektron dan proton.

Andaikan terdapat N partikel boson yang terbagi ke dalam n tingkatan energi. Pada masing-

masing tinkatan energi Ei terdapan Ni partikel. Jika jumlah sub-bilik dalam masing-masing

tingkatan energi adalah seragam, yaitu m maka bobot statistiknya adalah

Ω = Πni=1

(n + Ni − 1)!

(n − 1)!N1!(8.3)

Sama dengan prosedur sebelumnya,

lnΩ =n

∑

i=1

ln(n + Ni − 1! − ln(n − 1)! − lnN1! (8.4)

Dengan menggunakan rumus Stirling diperoleh

ln Ω =

n∑

i=1

(n + Ni) ln(n + Ni) − n ln n − Ni lnNi (8.5)

Untuk entropi maksimum, maka variasi δ ln Ω = 0, sehingga

δ ln Ω =

n∑

i=1

(

(n + Noi )

Noi

)

δNi = 0 (8.6)

Jika jumlah partikel dan energi total tetap, maka diperoleh keadaan berikut

δN =∑

δNi = 0, δU =∑

wiδNi = 0 (8.7)

Dengan menggunakan pengali Lagrange − lnα dan β diperoleh

δ ln Ω =

n∑

i=1

(

(n + Noi )

Noi

)

δNi = 0 (8.8)


Akhirnya diperoleh distribus BE, yaitu

Noi

n=

1

α exp(βwi) − 1(8.9)

Statistik BE dan MB memiliki pola yang sama, bedanya, ruas kiri adalah jumlah titik representasi

dalam kompartmen serta pada ruas kanan penyebutnya dikurangkan 1. Seperti juga dalam statistik

MB, pengali β = 1/kT , yang diperoleh dari hubungan dU = TdS = kd ln Ω.

8.4 Statistik Gas Foton

Gas foton dapat disiapkan secara experimental melalui silinder yang divakumkan dimana pistonnya

berupa dinding yang dapat memantulkan secara sempurna cahaya dari dalam. Dalam silinder

tersebut harus ada bahan kecil yang permukaanya hitam sempurna. Jika ini terpenuhi, maka

dalam silinder tersebut dapat dianggap berisi gas foton. Jumlah foton tidak harus tetap karena

akan diserap atau dipancarkan oleh bahan hitam sempurna yang ada. artinya, syarat δN = 0 tidak

harus dipenuhi, tetapi syarat δU = 0 tetap terpenuhi.

Bentuk distribusi foton gas diperikan oleh

Noi

n=

1

exp(wi/kT ) − 1(8.10)

Energi dan momentum sebuah foton yang frekuensi ν masing-masing adalah

w = hν p =hν

c=

w

c

Selanjutnya karena

n =2

h3dxdydzdpxdpydpz;N

oi = d6N

distribusi foton gas dapat dituliskan dalam bentuk diferensial

d6N =2

h3

1

exp(wi/kT ) − 1dΓ (8.11)

dimana dΓ = dxdydzdpxdpydpz. Jika ini diintegrasikan terhadap volume dV = dxdydz diperoleh

d3N =2V

h3

1

exp(wi/kT ) − 1dpxdpydpz (8.12)

Sajian ini simetrik secara sferis. Melalui transformasi peubah w = pc maka akan terlihat bahwa

sajian terdiri atas p saja sehinga jumlah titik representasi pada lempengan sferis tipis dalam ruang

momentum yang jejarinya p dan tebalnya dp adalah

dNp =2V

h3

4πp2

exp(pc/kT ) − 1dp (8.13)

8.4. STATISTIK GAS FOTON 69

Dalam peubah frekuensi ν sajian terakhir ini dapat ditulis sebagai

dNν =8πV

c3

ν2

exp(hν/kT ) − 1dν (8.14)

Jumlah foton per satuan volume dalam ruang Kartesian adalah dNν/V . Sajian jumlah energi per

satuan volume (rapat energi) dalam range dν juga dapat diperoleh, yaitu dengan mengalikannya

dengan hν,hν

VdNν =

8πh

c3

ν2

exp(hν/kT ) − 1dν (8.15)

Persamaan terakhir ini dikemukakan oleh Planck sebagai rumus untuk energi radian yang ter-

lungkupi oleh dinding bertemperatur T . Rumusan Planck murni bersifat empiris dalam rangka

menjelaskan hasil percobaan oleh Lummer dan Pringsheim. Karena Planck mencoba menurunkan-

nya dari teori elektrodinamika klasik yang terbukti gagal, ia kemudian mengubah asumsinya dan

melahirkan mekanika kuantum

Bab 9

Statistik Fermi Dirac

9.1 Pendahuluan

Telah disinggung sepintas dalam Bab 8 bahwa statistik Fermi-Dirac adalah statistik untuk partikel

yang mengikuti prinsip larangan Pauli. Partikel jenis ini disebut fermion; Contohnya antara lain

adalah elektron, proton dan neutron. Dalam kompartmen h3 tidak dibolehkan terdapat lebih dari

dua fermion.

Dalam bab ini akan diulas fungsi distribusi gas fermion yang merupakan salah satu sistem Fermi

penting. Sistem gas fermion ideal mampu menjelaskan dengan baik prilaku elektron-elektron dalam

zat padat (logam), dalam hal ini elektron konduksi. Analisis prilaku elektron konduksi pada logam

menggunakan teori Fermi merupakan salah satu capaian penting fisika statistik. Selanjutnya akan

diulas pula fungsi partisinya dan menurunkan beberapa fungsi termodinamik.

9.2 Bobot Statistik

Koordinat dari suatu bilik (compartment) dalam ruang fase dapat dianalogikan sebagai bilangan

kuantum. Berdasarkan prinsip Larangan Pauli, tidak boleh ada dua partikel yang memiliki 4

bilangan kuantum yang sama. Larangan Pauli berimplikasi bahwa hanya ada dua partikel dalam

satu bilik. Alasannya, bilangan kuantum spin untuk partikel Femion hanya ada dua kemungkinan,

yaitu +1/2 atau −1/2.

71

72 BAB 9. STATISTIK FERMI DIRAC

W

W

i

j

Gambar 9.1: Ilsutrasi Keadaan Mikro untuk Statistik FD

Untuk keperluan perumusan bobot statistik, setiap bilik dibagi atas dua sub-bilik, dimana masing-

masing sub-bilik hanya dapat diisi oleh satu fermion. Dengan demikian jumlah maximum titik

representasi dalam satu sel adalah dua kali dari jumlah bilik. Tentu saja jika ada bilik yang kosong,

jumlah sesungguhnya akan berbeda.

Dalam setiap sel, jumlah sub-bilik adalah

n = 2H

h3(9.1)

yang juga merupakan jumlah maximum titik representasi. Perkalian dengan 2 bersesuaian dengan

keadaan bahwa dibolehkan ada 2 fermion dalam satu bilik.

Sebagai contoh sederhana, akan ditinjau sistem yang terdiri hanya atas dua sel, yaitu i dan j,

masing-masing terdiri atas empat sub-bilik Kita tinjau keadaan makro Ni = 3 dan Nj = 1.

Seperti ditunjukkan dalam Gmb. 9.1. Akibat larangan Pauli yang membolehkan hanya satu

partikel dalam setiap sub-bilik (dua partikel untuk satu bilik), maka hanya ada empat konfigurasi

yang dimungkinkan bagi 3 partikel untuk empat sub-bilik. Untuk satu partikel dengan empat

sub-bilik, jumlah konfigurasi yang mungkin juga empat. Di sini, bilik yang kosong dapat dipandag

sebagai refleksi dari bilik yang berisi untuk dua kasus ini.

Penurunan sajian bobot statistik untuk Ωi bagi statistik FD lebih sederhana dabandingkan statistik

BE, sebab begitu diberikan n sub-bilik dari suatu sel maka kita tinggal mengelompokkan sub-bilik

tersebut antara yang terisi dan yang kosong.

Pada saat membahas ditribusi MB, kasusnya adalah ada N buah partikel yang akan mengisi

sejumlah sel, masing-masing sel terisi oleh Ni, maka jumlah konfigurasi yang mungkin adalah

Ω =N !

ΠNi!

Pada kasus statistik FD, untuk suatu jumlah bilik adalah n dan jumlah partikel yang akan mengisi

adalah Ni, dimana n > Ni. Supaya analoginya sama dengan kasus MB, maka jumlah bilik

dipetakan menjai N sedangkan kosong dan terisi menjadi kelompok. Berarti, bobot statistik untuk


suatu sel yang terdiri atas n bilik dan ada Ni partikel adalah

Ωi =n!

(n − Ni)!Ni!(9.2)

Bobot statistik total yang terdiri atas beberapa tingkatan energi, dimana untuk setiap tingkatan

energi ada n bilik adalah

Ω =∏

Ωi =∏ n!

(n − Ni)!Ni!(9.3)

Perlu diingat bahwa pemetaan yang disebutkan hanya berlaku untuk kedaan diaman setiap sub-

bilik hanya mungkin dihuni oleh satu partikel (titik representasi). Lagaritma dari bobot statistik

adalah

ln Ω =∑

i

[n ln n − Ni lnNi − n ln(n − Ni) + Ni ln(n − Ni)] (9.4)

Karena entropi berbading lurus dengan logaritma dari bobot statistik, sedangkan keadaan setim-

bang bersesuaian dengan entropi maximum, maka

δ(ln Ωo) =∑

i

lnn − No

i

Noi

δNi = 0 (9.5)

dimana Ωo adalah bobot statistik yang bersesuaian dengan entropi maximum.

Seperti pada dua ditribusi sebelumnya, persamaan ini juga memerlukan syarat yaitu jumlah par-

tikel tetap (sistem tertutup) dan energi dalam tetap,

δN =∑

δNi = 0; δU =∑

wiδNi = 0

Dengan mengalikan syarat ini masing-masing dengan − ln B dan −β dan menjumlahkannya dengan

Pers. 9.5 diperoleh∑

i

(

lnn − No

i

Noi

− βwi − lnB

)

δNi = 0 (9.6)

Dengan demikian, setiap suku untuk δNi saling bebas, sehingga

lnn − No

i

Noi

= βwi + lnB

yang menghasilkan fungsi distribusi untuk satatistik FD.

Noi

n=

1

B expβwi + 1(9.7)

Jika melihat bentuknya, perbedaannya dengan distribusi MB dan BE adalah karena suku sebelah

kiri dari distribusi FD adalah ratio antara jumlah partikel dengan jumlah sub-bilik untuk masing-

masing tingkat energi. Jika Ni dipetakan menjadi Noi /n maka distribusi MB dan BE menjadi

Noi

n=

1

B exp(βw)(9.8)

Noi

n=

1

B exp(βw) − 1(9.9)


Nilai tetapan B dan β diperoleh dari Hk. I bahwa untuk volume konstan (tidak ada kerja) dU =

TdS, sehingga

β =1

kT

Besaran B ditentukan dengan menggunakan syarat bahwa jumlah partikel tidak berubah (tidak

ada proses kreasi dan anihilasi). Jumlah partikel dapat dihitung dengan mengubah asumsi dari

sistem diskret menjadi sistem kontinu (sigma dapat diganti menjadi integrasi),

n =2H

h3=

2

h3dΓ

dimana dΓ adalah elemen volume ruang fase. Jumlah titik representasi Noi selanjutnya dapat

dituliskan sebagai

d6N =2

h3

1

B exp(w/kT ) + 1dΓ (9.10)

Apabila diintegrasikan terhadap volume ruang Kartesian, diperoleh

d3N =2V

h3

1

B exp(w/kT ) + 1d3p (9.11)

Sajian ini adalah distribusi dalam ruang momentum. Jika integrasi dilakukan dengan domain

pǫ[0,∞], hasilnya harus sama dengan jumlah partikel, yaitu N . Akan tetapi karena penginte-

grasiannya cukup rumit, untuk sementara dilakukan pendekatan dengan menuliskan

B = exp(−wb/kT )

Fungsi distribusi dalam ruang momentum dapat dituliskan sebagai

d3N =2V

h3

1

exp [(w − wb)/kT ] + 1d3p (9.12)

d3N = ρd3p

Jika pada T = 0K dilakukan penandaan wb = wm untuk w < wm, d3N/d3p = 1, sebaliknya jika

w > wm, d3N/d3p = 1. wm bersesuaian dengan energi maximum yang dimiliki oleh elektron,

lazim disebut sebagi permukaan Fermi, ditunjukkan dalam Gmb. 9.2.

Pada temperatur T = 0K, rapat titik representasi dalam ruang momentum bernilai konstan, yaitu

ρ = 2V/h3, dan semua titik memeliki energi E < wm. Hubungan antara energi dan momentum,

w =p2

2m

memeberi hasil momentum maximum pada T = 0K, yaitu

pm =√

2mwm

Artinya, pada temperatur T = 0K, ruang momentum tersisi penuh pada daerha p, pm, sedangkan

di luar dari itu tidak ada titik representasi. Jumlah titik representasi adalah N , sehingga

ρ × Vp =2V

h3× 4

3πp3

m = N

9.3. FUNGSI PARSTISI RAYA UNTUK FERMI-DIRAC 75

T = 0

T = T1

T = T2

T = T3

dN

dp dpdpx y z

px

py

pz

Gambar 9.2: Distribusi Statistik FD untuk T = 0K dan T > 0.

yang berarti bahwa

pm =

(

3Nh3

8πV

)3

wm =h3

8m

(

3N

πV

)2/3

(9.13)

9.3 Fungsi Parstisi Raya untuk Fermi-Dirac

Seperti ditunjukkan untuk BE dan MB, fungsi partisi raya untuk FD juga dapat dituliskan sbb

Z =

∑

n1

[e(µ−ǫ1)/kT ]n1

∑

n2

[e(µ−ǫ2)/kT ]n2

· · · (9.14)

dimana n1, n2, · · · menyatakan jumlah partikel dalam keadaan 1, 2, · · · . Berbeda dengan sistem

MB dan BE dimana tidak ada batasan mengenai jumlah partikel dalam satu keadaan, sistem FD

membolehkan ni berharga 0 atau 1, sehingga

Z =

1 + [e(µ−ǫ1)/kT ]

1 + [e(µ−ǫ2)/kT ]

· · · (9.15)

9.4 Fungsi Persamaan Keadaan Fermi-Dirac

9.5 Soal Latihan

1. Sistem terdiri atas 4 titik representasi dengan dua tingkat energi dan jumlah sub-bilik n = 6

Hitunglah bobot statistik dari masing-masing keadaan makro berikut

a Ni = 4, Nj = 0.

b Ni = 3, Nj = 1.


c Ni = 2, Nj = 2.

d Ni = 1, Nj = 3.

2. Dengan mengasumsikan bahwa terdapat dua elektron bebas untuk setiap atom tungsten,

tunjukkanlah bahwa pada T = 3000oK, perbedaan nilai wb dan wm terpaut hanya sekitar

10%.

Bab 10

Majelis dalam Mekanika Statistik

10.1 Majelis Kanonik Mikro

Majelis kanonik mikro (MKM) cocok untuk membahas sistem tertutup dengan peubah alamiah

E, V dan N , masing-masing adalah energi, volume dan jumlah partikel. Oleh karena setiap sistem

dapat dibuat tertutup (total), yaitu dengan memasukkan lingkungan, maka majelis kanonik mikro

pada hakekatnya cocok untuk semua situasi.

MKM dapat berupa sistem dengan subsistem (V,E,N) dan kolam bahang (heat bath) yang men-

jaga temperatur agar tetap T . Sistem tersebut akan berada pada satu keadaan makro tertentu

dengan sejumlah keadaan mikro. Jika sistem tertutup, maka semua keadaan mikro akan memiliki

energi E yang kebolehjadiannya sama. Artinya, tidak ada keadaan mikro yang kebolehjadiannya

lebih besar (more preferable microstate). Ini merupakan asumsi dasar dari fisika statistik.

Untuk sistem yang tidak tertutup, kebolehjadian dari keadaan mikro yang energinya lebih besar

akan berbeda dengan kebolehjadian dari keadaan mikro yang energinya lebih kecil. Perbedaan

energi menyebabkan perbedaan kebolejadian dari keadaan mikro berlaku untuk sistem tertutup.

Setiap titik pada permukaan energi adalah representasi dari konfigurasi. Kita dapat membagi

permukaan energi atas sejumlah kompartemen atau elemen luasan.

Sebagai tinjauan sederhana, misalkan ditinjau sistem diskret dengan N kofigurasi. Jika dimisalkan

N = 5 dengan 4 elemen permukaan dimana n1 = 2, n2 = 2, n3 = 1 dan n4 = 0.

77

78 BAB 10. MAJELIS DALAM MEKANIKA STATISTIK

SystemEs, T

Kolam Bahang Er, T

Gambar 10.1: Majelis kanonik dimana kolam bahang bukan merupakan bagian dari sistem.

SystemEs, T

Kolam Bahang Er, T

Gambar 10.2: Majelis kanonik dimana kolam bahang bukan merupakan bagian dari sistem.

10.2 Majelis Kanonik

Kolam bahang (heat bath) sebagai bagian dari MKM seperti disebut dalam bagian sebelumnya

tidak menarik diulas. Selain itu MKM secara matematik rumit sebab volume dari suatu sistem

sulit ditentukan, terutama karena strukturnya tidak teratur. Jika kolam bahang dianggap bukan

bagian dari sistem meskipun fungsinya menjaga agar temperatur sistem yang ditinjau tetap, maka

majelisnya menjadi majelis kanonik. Gambar di bawah ini menujukkan MK.

Meskipun energi dari majelis kanonik tidak tetap, temperaturnya dibuat tetap sebab dihubungkan

dengan kolam bahang. Sistem ini ditandai oleh N,V dan T . Ada fluktuasi energi. Konfigurasi

dari sistem tersebut berada pada permukaan energi seperti terdapat dalam Gmb. xxx

Andaikan Es dan Ek masing-masing adalah energi sistem dan kolam bahang maka,

E = Es + Ek → Es

E= 1 − Ek

E≪ 1 (10.1)

Karena sistem berada dalam kolam bahang, temperatur sistem tetap, meskipun Es dimungkinan

berubah. Misalkan energi memiliki nilai beragam, katakanlah Ei, dimana i = 1, 2, · · · , n. Andaikan

10.2. MAJELIS KANONIK 79

pi adalah kebolehjadian sistem berada dalam keadaan mikro dengan energi Ei, maka

pi ∝ Ωs(Es) (10.2)

dimana Ωs adalah bobot statistik sistem untuk berada dalam keadaan energi Ei. Kebolehjadian

ini setara dengan kebolehjadian kolam bahang berada pada keadaan mikro dengan energi E −Es.

Hal ini berarti,

pi ∝ Ωk(Ek) = Ωk(E − Ei)

Jika kolam bahang cukup besar sedemikian Ei ≪ E maka Ωk dapat diekspansikan terhadap Ei.

k ln Ωk(E − Ei) ∼ k ln Ωk(E) − ∂

∂E(k ln Ωk(E))Ei + · · · (10.3)

Cukup dua suku ini yang diperhitungkan jika E ≈ Ek ≫ Ei. Oleh karena

∂

∂E(k ln ΩR(E)) =

∂SR

∂E=

1

T(10.4)

maka

Ωk(E − Ei) ≈ Ωk(E) exp

(

− Ei

kT

)

(10.5)

Hubungan ini mengungkapkan bahwa jumlah keadaan mikro berkurang secara eksponensial ter-

hadap energi sistem. Oleh karena E tetap, maka kebolehjadian menjadi

pi ∝ exp

− Ei

kT

(10.6)

Hal ini berarti bahwa semua keadaan mikro dengan energi Ei memiliki kebolehjadian yang sama.

Keadaan mikro dengan energi Ej dimana EJ > Ei memiliki kebolehjadian lebih kecil. Meskipun

energi tidak tetap, sistem S dapat berada pada semua permukaan energi yang mungkin. Dengan

menormalisasi pi diperoleh

∑

pi = 1, →∑

e−Ei/kT = 1 → pi =e−Ei/kT

∑

e−Ei/kT(10.7)

Untuk sistem kontinu tanda∑

menjadi∫

sehingga

ρc(qν , pν) =e−βH(qν ,pν)

1/(h3N )∫ (10.8)

Persamaan ini menghasilkan rapat ruang fase kanonik, yang ditandai oleh index c. Penurunan

rapat ruang fase dapat diturunkan melalui teori majelis.

Energi Ei dari masing-masing keadaan mikro tidak seragam. Oleh sebab itu, titik da;am ruang

fase memiliki kebolehjadian untuk muncul.


Kebolehjadian distribusi ni dalam keadaan mikro adalah

Ωni = N !Πi(ωi)

ni

ni!(10.9)

Oleh karena entropi S = k ln Ω, maka perlu dihitung sbb

ln Ωni = N lnN −N +∑

i

ni lnωi − ni lnni + ni

= N lnN +∑

i

ni lnωi − ni lnni

(10.10)

Sajian merupakan ekstremum untuk distribusi ni yang paling mungkin, sehingga

d ln Ωni =∑

i

(lnωi − lnni)dni = 0 (10.11)

dimana telah digunakan hubungan berikut

∑

dni = 0 (10.12)

yang berarti bahwa dni tidak saling bebas sebab pengurangan pada satu kompartmen akan menye-

babkan pertambahan pada kompartmen lain. Kenyataan ini menjadikan koefisien dari dni tidak

lenyap. Kenyataan bahwa

d(∑

Eini) =∑

Eidni = 0 (10.13)

maka dengan menggunakan pengali Lagrange diperoleh

∑

i

(lnωi − lnni + αEi + β) dni = 0 (10.14)

dimana masing-masing koefisien lenyap sebab melalui pengali Lagrange dni telah menjadi saling

bebas. Dengan demikian dapat dituliskan ssb

lnωi

ni= −αEi − β

ni = ωieαEi+β

(10.15)

10.3 Majelis Kanonik Makro

Majelis kanonik makro dibedakan dari kanonik mikro dan kanonik adalah dari segi adanya per-

tukaran energi dan materi. Majelis kanonik mikro menjelaskan sistem tertutup dengan energi E,

V dan N, sedangkan majelis kanonik menjelaskan sistem dalam heat bath, yaitu dengan pada T, V

dan N .

10.4. SOAL LATIHAN 81

Dalam bagian ini akan dibahas sistem terbuka dimana terjadi pertukaran kalor dan partikel dengan

lingkungan. Peubah bebas yang sesuai adalah T, V dan µ, dimana µ tertentu nilainya untuk

resevoir partikel yang terhubung dengan sistem, analog dengan T untuk majelis kanonik mikro.

Jika resevoir partikel cukup besar maka nilai µ sangat bergantung pada sifat resevoir. Pertukaran

partikel yang terjadi secara kontinu antara sistem dan resevoir menjadikan jumlah partikel tidak

tetap. Rerata jumlah partikel dapat dihitung, sebagaimana sebagaimana rerata energi untuk T

tertentu pada kasus sebelumnya.

Sistem dengan T, V dan µ tetap cukup menarik ditinjau. Tinjaulah fluida dalam keadaan setim-

bang dengan uapnya pada temperatur tertentu (sistem fluida dan uap yang berada dalam kolam

bahang). Molekul-molekul secara kontinu berpindah dari keadaan cair ke uap dan sebaliknya. Sis-

tem secara keseluruhan (fluida + gas + kolam bahang) dapat diperlakukan sebagai majelis kanonik

mikro, sedangkan fluida+gas sebagi majelis kanonik. Jika hanya satu fase yang ditinjau misalnya

gas, maka harus digunakan mejelis makro kanonik.

Peninjauan mejelis kanonik makro memerlukan penentuan ρ, yaitu rapat ruang-fase dari sistem

pada T, V dan µ. besaran ini selain menujukkan kebolehjadian berada dalam suatu ruang fase

dengan N tertentu, juga menujukkan kebolehjadian bahwa sistem terdiri atas N partikel. Hal ini

penting sebab pada kasus majelis kanonik makro, nilai N dimungkinkan sembarang. Penentuan

distribusi kebolehjadian menggunakan tata cara yang mirip dengan majelis kanonik.

Jika tidak terjadi pertukaran energi dengan??

10.4 Soal Latihan

1. Model Ising pada kisi bujur sangkar L = 2 × 2. Jika Hamiltonian dinyatakan sebagai H =

−∑

sisj maka hitunglah energi untuk masing-masing konfigurasi.

2. Sama pada soal No. 1, tetapi L = 3 × 3, carilah rapat keadaannya dan tentukan keadaan

mana yang paling mungkin.

Bab 11

Perubahan Fase dan Fenomena

Kritis

11.1 Pendahluan

Studi perubahan fase merupakan tema sentral dalam fisika. Fase adalah himpunan titik keadaan

yang memiliki sifat-sifat homogen dan dapat digambarkan dalam berbagai diagram misalnya PT ,

PV ataupun PV T , dimana P, V dan T adalah peubah termodinamik. Suatu fase sebagai kumpulan

titik keadaan homogen memiliki sifat-sifat tertentu yang membedakannya dengan fase lainnya. Fase

cair dari air berbeda dengan fase gas (uap) dan fase padat (es). Setiap fase bersesuaian dengan

suatu fungsi termodinamik yang kontinu, dalam hal ini energi bebas. Energi bebas berangatung

pada peubah termodinamik.

Berbagai material menunjukkan sifat khusus dan bernilai ekonomi tinggi saat berada dalam fase

tertentu yang dicontohkan oleh fase feromagnetik (FM) bahan magnet di bawah temperatur Curie.

Dalam studi perubahan fase dikenal perubahan fase orde pertama, kedua dan orde tinggi[1,2]. Hal

ini berkaitan dengan sifat analitik energi dalam (internal energy) dari sistem. Perubahan fase

disebut orde pertama jika turunan pertama energi dalam terhadap peubah termodinamik bersifat

diskontinu, dan orde kedua jika turunan kedua diskontinu. Perubahan fase orde pertama selalu

disertai oleh kehadiran kalor laten dan ko-eksistensi antara dua fase selama peralihan, sedangkan

pada perubahan fase orde kedua tidak terdapat kalor laten. Perubahan fase orde tinggi dicontohkan

oleh perubahan fase Kosterlitz-Thouless (KT) dimana energi dalam tetap kontinu hingga turunan

83

84 BAB 11. PERUBAHAN FASE DAN FENOMENA KRITIS

ke-n (n ¿ 1 ). Perubahan fase KT dijumpai pada sistem dua dimensi dengan grup simetri U(1)[3].

Perubahan fase terjadi jika peubah termodinamik diubah hingga nilai tertentu. Secara matematik,

perubahan fase ditandai oleh diskontinuitas dari turunan energi bebas terhadap peubah termod-

inamik yang bersesuaian. Jika energi bebas kontinu dalam domain peubah termodinamik yang

sesuai, sistem berada dalam fase yang sama. Perubahan fase selalu disertai oleh perubahan sifat

sistem secara makroskopik meskipun secara mikroskopik belum tentu dapat teramati secara jelas.

Apabila ke dalam wadah tertentu, katakanlah tabung besi diisi setengah air dan setengahnya dib-

iarkan kosong, lalu dipanaskan, maka setelah temperatur tertentu, sejumlah air akan menguap.

Uap air tersebut mengisi ruang kosong tadi. Jumlah uap air (gas) akan semakin banyak seiirng

dengan peningkatan suhu. Dalam peristilahan yang lebih tepat, pertambahan gas adalah pen-

ingkatan massa jenisnya, sebab dalam hal ini, volume gas relatif sama dengan volume kosong

sebelumnya, yaitu ketika semua molekul H2O masih dalam wujud cair.

Perubahan fase berikut perubahan sifat zat terjadi akibat perubahan peubah-peubah termodi-

namik. Perubahan fase dapat digolongkan atas tiga, yaitu orde pertama, orde kedua dan orde

tinggi.

Orde perubahan fase secara matematik berkaitan dengan kontinuitas dari orde turunan energi be-

bas. Perubahan fase akibat perubahan peubah termodinamik x disebut orde pertama jika turunan

pertama energi bebas terhadap x bersifat tidak kontinu. Jika turunan pertama kontinu sedangkan

turunan keduanya tidak kontinu, perubahan fase disebut orde kedua.

11.2 Energi Bebas dan Potensial Termodinamik

Energi bebas adalah energi minimum sistem yang berada dalam keadaan setimbang. Di sini akan

diulas dua jenis energi bebas, yaitu energi bebas Helmhotz F , dan energi bebas Gibbs G. Peubah

alamiah dari F adalah suhu dan parameter makroskopik yang menentukan tingkat energi dari

sistem, misalnya volume. Karena itu energi bebas Helmholtz dapat dituliskan sebagai F (T, V ).

Untuk sistem magnetik, energi bebas Helmholtz dituliskan sebagai F (T,B), karena medan magnet

B adalah penentu tingkat energi sistem magnetik. Fungsi bebas Gibbs dapat diperoleh dari F

melalui transformasi Legendre, sehingga kita peroleh

G(T, p) = F + pV dan G(T,M) = F + BM (11.1)

11.3. PERUBAHAN FASE ORDE PERTAMA 85

yang masing-masing berlaku untuk fluida dan bahan magnet.

F dan G keduanya merupakan peubah extensif, yaitu bergantung pada massa sistem. Biasanya

lebih praktis mengulas besaran yang tak bergantung pada massa, karena itu didefinisikan energi

bebas jenis f = F/m dan g = G/m. Besaran ini, f dan g merupakan potensial termodinamik,

dalam pengertian bahwa besaran-besaran penting lainnya dapat diperoleh melalui turunan dari

potensial tersebut. Beberapa contohnya adalah

P =

(

∂F

∂V

)

T

(11.2)

S = −(

∂F

∂T

)

V

(11.3)

CV =

(

∂U

∂T

)

V

(11.4)

dimana F dan U masing-masing adalah energi bebas Helmholtz dan energi dalam (internal energy),

sedangkan S dan CV adalah entropi dan kapasitas panas.

11.3 Perubahan Fase Orde Pertama

Perubahan fase orde pertama secara umum ditandai oleh keberadaan kalor laten. Kalor laten

adalah kalor yang diserap atau dilepas selama perubahan. Laten artinya tetap, digunkan untuk

menandai temperatur yang tetap selama proses perubahan. Selain kalor laten, perubahan fase orde

pertama juga ditandai oleh kehadiraan fase secara berasamaan (co-existence). Fase asal (A) dan

fase tujuan (B) selama perubahan fase hadir bersamaan. Saat bagian tertentu telah berada dalam

fase B, bagian lain masih dalam fase A. Es yang sedang mencair merupakan contoh perubahan

fase orde pertama, kalor laten 334kJ/kg dan Tc = 0C, dan ada koeksitensi antara es dan air.

11.4 Perubahan Fase Orde Kedua

Pada perubahan fase orde kedua, tidak ada kalor laten, sebab itu pula tidak dijumpai co-existence

fase. Perubahan fase jenis kedua sering pula disebut sebagai perubahan fase kontinu. Hal ini

berhubungan dengan kenyataan bahwa sifat sistem berubah secara kontinu.

Model-model dengan transisi fase orde pertama dan model dengan transisi fase orde kedua secara

khusus dibedakan oleh sifat kontinuitas dari kuantitas yang relevan, misalnya bentangan korelasi

(correlation length).


Perubahan fase dari gas ke cair atau sebaliknya di atas temperatur kritis terjadi secara kontinu.

Kita dapat memperoleh fase cair dari fase gas tanpa melalui perubahan fase orde pertama. Selisi

rapat massa yang merupakan order parameter (parameter keteraturan) antara kedua fase berubah

secara kontinu.

Parameter keteraturan merupakan konsep penting dalam membahas perubahan fase orde kedua.

Nilai parameter keteraturan pada fase teratur berhingga, sedangkan dalam fase yang lain nilainya

lenyap. Contoh yang analog dengan perubahan fase dari cair ke gas adalah perubahan fase dari

paramagnet ke ferromagnet, dimana magnetisai merupakan parameter keteraturan. Pada temper-

atur tinggi (fase paramagnet) magnetisasi lenyap, sedangkan pada temperatur rendah (di bawah

temperatur Curie), magnetizasi berhingga.

Beberapa fungsi termodinamik di sekitar titik kritis bersifat homogen dan dipengaruhi oleh parameter-

parameter makroskopik seperti dimensi ruang dan simetri dari sistem. Fungsi termodinamik meru-

pakan fungsi ekponensial dari parameter temperatur |Tc − T |. Panas jenis misalnya dinyatakan

sbb

Cv = L−2β/nuf(

(T − Tc)L1/ν

)

(11.5)

Andaikan secara umum kita memiliki fungsi f(ǫ), dimana ǫ = (1 − T/Tc).

Bentuk fungsi penyekalaan dari magnetisasi adalah

〈M2〉 = L−2β/nuf(

(T − Tc)L1/ν

)

(11.6)

11.4.1 Kelas Universalitas dan Hubungan Penyekalaan

Universalitas adalah fenomena dimana sistem berbeda memiliki nilai eksponen kritis yang sama.

Eksponen kritis merupakan parameter yang menjadai karakteristik dari suatu fenomena kritis.

Sistem dinamakan berada dalam kelas universalitas yang sama jika nilai eksponennya sama. Con-

tohnya adalah sistem PVT dan sistem spin Ising.

Eksponen-eksponen kritis (α, β · · · , η) bergantung satu sama lain melalui hubungan penyekalaan

11.4. PERUBAHAN FASE ORDE KEDUA 87

Table 11.1: Eksponen kritis beberapa sistem fisis.

Model α β γ δ ν η

Ising 2D 0 1/8 7/4 15 1 1/4

Ising 3D 0.12 0.31 1,25 5 0,64 0,05

Heisenberg 3D -0,14 0,3 1,4 0,7 0,04

3-p Potts

(HB) sbb

HB Fisher : γ = ν(2 − η) (11.7)

HB Rushbrooke : α + 2β + γ = 2 (11.8)

HB Widom : α + 2β + γ = 2 (11.9)

HB Josephson : dν = 2 − α (hyperscaling) (11.10)

Hubungan-hubungan ini dapat diuji dengan menggunakan ekponen kritis model Ising 2D yang

diperoleh secara eksak, yaitu α = 0, β = 1/8,γ = 7/4, η = 1/4, ν = 1.

11.4.2 Penyekalaan Ukuran Berhingga

Fungsi termodinamik secara umum merupakan besaran extensif yaitu besarnya bergantung pada

ukuran sistem. Sifat ini memungkinkan penentuan temperatur dan eksponen kritis sistem melalui

metoda penyekalaan ukuran berhingga (Finite Size Scaling).

Andaikan suatu fungsi termodinamik f(L) bergantung pada ukuran sistem L sbb

f(L) = Lg(L) (11.11)

selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa untuk sistem yang mengalami perubahan fase orde kedua,

fungsi termodinamik f(L) bersifat homogen tepat pada temperatur kritis; yang berarti bahwa

f(L1) = f(L2), dimana L1 dan L2 adalah dua ukuran berbeda dari sistem.

Dengan sifat ini, kita dapat menentukan temperatur kritis, yaitu melalui hubungan FSS (finite

size scalin) sbb

f(L) = Lg(L) (11.12)


Andaikan suatu fungsi f(λx) bersifat homogen untuk semua nilai λ, maka

f(λx) = g(λ)f(x) (11.13)

Bentuk umum dari g(λ) secara umum dapat diperoleh. Pertama, kita tuliskan

f(λµx) = g(λµ)f(x) = g(λ)g(µ)f(x) → g(λµ) = g(λ)g(µ) (11.14)

Jika persamaanini diturunkan terhadap µ, diperoleh

∂

∂µg(λµ) = λg′(λµ) = g(λ)g′(µ), (11.15)

dimana g′(µ) = dg(µ)/dµ. Selanjutnya, jika dibuat µ = 1 dan g′(1) = p, maka

λg′(λ) = pg(λ) (11.16)

Apabila diintegrasikan dari 1 ke λ diperoleh

g(λ) = λp (11.17)

sehingga

f(λx) = λpf(x) (11.18)

Dengan bentuk ini, f(x) dinamakan fungsi homogen dengan derajat p. Suatu fungsi homogen

memiliki bentuk khusus, yaitu jika diandaikan λ = 1/x, maka

f(λx) = f(1)xp (11.19)

yang menunjukkan bahwa ketergantungan fungsi f(x) terhdapat peubah bebasnya mengikuti

hukum pangkat (power law ). Sifat ini sangat berguna dalam upaya mengextrak eksponen kri-

tis suatu sistem, yaitu dengan memplot fungsi tersebut pada berbagai nilai argumennya. Bentuk

f(x) dapat ditulis dalam bentuk

f(λx, λqy) = λf(x, y) (11.20)

yang dikarakterisasi oleh dua parameter p dan q. Dengan menuliskan λ = y−1/q, diperoleh

f(x, y) = y−1/qf

(

x

yp/q, 1

)

(11.21)

Untuk perbandingan korelasi, fungsi penyekalaannya adalah sbb

Q = f ((T − Tc)Lν) (11.22)

Soal Latihan

Uraikan dengan jelas kenapa replot dari panas jenis QL vs (T − Tc)L1/ν menyebabkan

kurva-kurva QL relatif berada pada kurva yang sama.

11.5. PERUBAHAN FASE KUANTUM 89

11.5 Perubahan Fase Kuantum

Perubahan fase yang di uraikan di atas, secara umum disebabkan oleh perubahan temperatur.

Dalam termodinamika, tempertur dipandang sebagai medan, dalam hal ini medan temperatur.

Terdapat jenis medan lain, misalnya medan listrik, medan magnet. Sebab itu, perubahan fase

dapat saja terjadi bukan akibat perubahan temperatur.

Perubahan fase pada temperatur T = 0 dimungkinkan terjadi dengan mengubah parameter pen-

gendali, misalnya konsentrasi, dll. Perubahan fase yang terjadi sebagai akibat bukan perubahan

temperatur dinamakan perubahan fase kuantum.

Dengam mengubah parameter tertentu, fase sistem seolah berkompetisi. Untuk Nilai tertentu fase

sistem memilih keadaan A misalnya, sedangkan nilai parameter tertentu, fase sistem menjadi B,

atau bukan A.

Pertanyaan yang menarik adalah, apa keistimewaan dari perubahan fase kuantum. Jawabnya dapat

kita peroleh dengan menijau kasus superkonduktor. Banyak penelitian dicurahkan apakah material

superkonduktor memiliki titik kritis kuantum. Jika terdapat TKK, maka bahan superadihantar

temperatur tinggi dimungkiknan dipabrikasi.

11.6 Soal-Soal

1. Telah disebutkan bahwa untuk sistem yang mengalami transisi phase orde kedua (fenomena

kritis), panas jenis dapat dituliskan dalam bentuk hukum pangkat (power law) sbb

C ≈ |Tc − T |−α

Buktikan bahwa nilai α harus lebih kecil dari 1 agar transisi tidak memiliki kalor laten.

Bab 12

Metode Monte Carlo

12.1 Pendahuluan

Metoda Monte Carlo (MC) adalah teknik perhitungan numerik yang memanfaatkan bilangan acak

(random). Metoda ini sangat ampuh sebab dapat memecahkan masalah rumit yang tidak mungkin

diselesaikan secara analitik. Salah satunya, dapat mengitutung integrasi multi-dimensi. Sebagai

langkah awal, dalam bagian ini ditunjukkan perhitungan secara MC integral yang dapat disele-

saikan secara eksak.

Integrasi numerik tanpa MC dari suatu fungsi f(x), dimana xǫR dengan batas [a, b] adalah dengan

melakukan diskritisasi, dimana bentangan [a, b] dibagi atas N segmen yang sama panjang ∆x.

Ekivalensi (pendekatan) terhadap nilai eksak dengan nilai numerik dinyatakan sbb

∫ b

a

f(x)dx =

N∑

i

f(xi)∆x (12.1)

dimana deretan titik sample (xi+1 = xi + ∆x) bersifat teratur.

Dengan MC, titik-titik xi dibangkitkan secara acak melalui generator bilangan acak,

∫ b

a

f(x)dx =b − a

N

N∑

i

f(xi) (12.2)

Kedua sajian di atas pada dasarnya ekivalen jika jumlah titik sample cukup memadai sebab ∆x =

(b − a)/N .

Untuk melihat teknik perhitungan MC, kita akan menghitung integral berikut yang hasilnya dapat

91

92 BAB 12. METODE MONTE CARLO

diperoleh secara eksak, yaitu√

π∫ ∞

−∞

e−x2

dx

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-3 -2 -1 0 1 2 3

Plot Exp(-x2)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-3 -2 -1 0 1 2 3

Plot Exp(-x2)

implicit real*8 (a-h,o-z)

NMC=300000

iseed=86029

a=-200.d0

b=400.d0

c delta=b-a

C=0.d0

do i=1,NMC

c x=2.*RAND0(iseed)-1

x=(b+1.0)*RAND0(iseed)

y=x*x

y=max(y,-60.)

y=min(y,60.)

c print *, x

C=C+dexp(-y)

if(mod(i,5000).eq.0) then

c delta=b/i

print *,i/5000, (2.*b*C)/float(i)

endif

enddo

end

12.2. RAGAM ALGORITMA MC 93

Di sini, kita belum melakukan pembobotan terhadap titik sample atau dengan perkataan lain,

bobot dari setiap titik sample masih seragam, yaitu 1/N . Dalam perhitungan MC untuk kasus

yang rumit titik-titik sample harus dicuplik dengan baik sehingga tidak harus melibatkan banyak

titik sample untuk memperoleh hasil yang relatif akurat. Teknik pencuplikan dalam metoda MC

cukup esensial sebab selain menyangkutkan akurasi, juga untuk efisiensi perhitungan. Salah satu

contohnya adalah menghitung nilai π melalui percobaan MC berikut:

Perbandingan antara luas lingkaran dan bujursangkar adalah sbb

L©

L¤

=πr2

4r2=

π

4(12.3)

Jika kita menembaki permukaan ini dengan jarum, kemungkinannya adalah, jarum mengenai area

lingkaran atau tidak. Jika ada N kali penembakan, dan Ns kali jaru mengenai area lingkaran dan

selebihnya tidak maka nilai π dapat diestimasi sbb:

L©

L¤

=πr2

4r2=

π

4=

Ns

N→ π =

4Ns

N(12.4)

Kode numeriknya adalah sbb:

implicit real*8 (a-h,o-z)

NMC=200000

iseed=86029

C=0.

do i=1,NMC

x=RAND0(iseed)

y=RAND0(iseed)

c print *, x

if(x**2+y**2.lt.1.) C=C+1.

if(mod(i,5000).eq.0) print *,i, 4.*C/i

enddo

end

12.2 Ragam Algoritma MC

Sebagaimana telah disebutkan, metoda Monte Carlo kini telah mapan sebagai metoda ampuh

dalam penelitian masalah partikel banyak. Terdapat sejumlah algoritma yang telah dikembangkan,

masing-masing memiliki kelebihan tertentu untuk suatu kasu yang ditinjau.


Meskipun algoritma Metropolis dipandang sebagai yang paling umum dan dapat digunakan untuk

memecahakan banyak hal serta mudah diterapkan, algoritma kurang efisien untuk menangani

masalah kontinu, termasuk untuk perhitungan yang membtuhkan temperatur kontinu. Algoritma

ini mengharuskan kita mengulaginya setiap kali jika diperlukan penelaahan pada temperatur yang

baru. Selain kekurangan ini, ia juga mengalami lambat pada temperatur rendah, termasuk sangat

lambat untuk menangani sistem frustrasi (frsutrated problems). Masalah kelambatan dinamik

sangat penting ditangani agar tinjauan dapat diperluas ke sistem kompleks.

Ada dua kategori algoritma MC untuk mengatasi perlambatan dinamik. Pertama adalah update

spin secara berkelompok (cluster spin update), dan kedua pencuplikan majelis diperluas. Algo-

ritma Swendsen-Wang, Wolf dan kluster dengan kebolehjadian berubah termasuk dalam kategori

pertama, sedangkan metoda multi-kanonik, histogram lebar dan Wang-Landau termasuk dalam

kategori kedua. Selain itu, juga terdapat sejumlah algoritma hybrid yang meruapakan penggabun-

gan dari dua algoritma atau lebih. Algoritma yang digabungkan dapat berasal dari kategori yang

sama atau berbeda. Algoritma yang digunakan selalu diupaytakan yang paling cocok dengan kasus

yang ditinjau.

12.3 Algoritma Metropolis

Andaikan ditinjau N titik kisi yang masing-masing diduduki oleh spin Ising, maka, terdapat 2N

konfigurasi. Rerata termal besaran Q pada temperature T dinyatakan sbb

〈Q〉T =

2N

∑

i=1

Qipi (12.5)

dengan Qi adalah nilai besaran pada konfigurasu ke-i, pi adalah kebolehjadian Gibbs bagi sistem

untuk berada dalam konfigurasi i-th yang dinyatakan sbb

pi =exp(−βEi)

Z; Z =

∑

i

exp(−βEi) (12.6)

dengan Ei dan β(= 1/kT ) masing-masing adalah energi konfigurasi ke-i dan temperatur invers, Z

fungsi partisi.

The calculation of expression (12.5) needs huge computer memory and enormous amount of time

even for a moderate size of system. To avoid this we need to find a clever way of sampling the

microstates so that we pick up only the microstates corresponding to the equilibrium state of the

system at temperature T . One technique to fulfill this is by performing the so-called importance

sampling procedure which was firstly introduced by Metropolis.

12.3. ALGORITMA METROPOLIS 95

Suppose we choose a configuration wi with the probability P (wi), and take M samples into account,

then the estimate of 〈Q〉 is given by

〈Q〉M =

∑Mi Qwi

e−βEwi /P (wi)∑M

i e−βEwi /P (wi)(12.7)

Since the natural choice for P (wi) would be the Gibbs probability itself, the Boltzmann factors

cancel each other and the estimate for 〈Q〉M will simply be the arithmetic mean

〈Q〉M =1

M

M∑

i=1

Qwi(12.8)

A Markov process is a technique to randomly generate a new configuration from the one preceding

it. This process is defined by specifying a transition probability W (i → j) from one microstate to

another one. In order for the Markov process to have the desired property, i.e., P (wi) converges

to Gibbs distribution, it is sufficient to impose the detailed balance condition as the following

piW (i → j) = pjW (j → i) (12.9)

We can write the ratio of transition probabilities which depends on the change in energy as follows

W (i → j)

W (j → i)=

pj

pi= e−β(Ej−Ei) (12.10)

Although W (i → j) in Eq. (12.10) is not uniquely specified, the choice that commonly used is the

following

W (i → j) =

e−β(Ej−Ei) for Ej > Ei

1 otherwise,(12.11)

which means that the transition to a higher energy is accepted with the probability exp(−β(Ej −Ei)) while that to a lower energy configuration is always accepted.

A simple algorithm to apply this procedure is the Metropolis algorithm which implements single

spin update for the transition Ei → Ej .

To measure the simulational time, we define 1 Monte Carlo step (MCS) as visiting each lattice

either in turn or randomly and perform the probability update. We apply Eq. (12.11) to decide

whether to accept or to reject the update. In order to obtain a reliable calculation, the sampled

points have to be independent and not highly correlated to each other. To achieve this we have

to perform extra MCS’s between two successive sample points, particularly for the single update

algorithm (Metropolis algorithm).

Now since the quantity Xi from each sample can be considered as independent measurement we are

allowed to apply standard statistical expression of calculating the error which takes the following


form

∆X =

√

M∑

i X2i − (

∑

i Xi)2

M(M − 1)(12.12)

As a canonical method, we need to repeat the entire procedure for the calculation at another

temperature. The spin configuration needs to be equilibrated. Therefore, we have to perform

initial MCS’s before starting the measurement. The sensible number of steps taken as initial MCS

runs around 104 − 105, depending on how fast the system reaches the equilibrium.

12.4 Teknik Pembobotan Ulang

Teknik ini merupakan cara sederhana guna meng-efisienkan algoritma Metropoli. Dengan teknik

ini, perhitungan langsung terhadap besaran yang hendak diketahui tidak perlu dilakukan. Alasan-

nya, nilai besaran pada temperatur tetangga dapat diperoleh. Andaikan perhitungan dilakukan

pada temperatur T = 1/β, maka kebolehjadian distribusi kanonik dapat ditulis sebagai

Pβ(E) =1

Zβg(E)e−βE (12.13)

untuk setiap energi E yang mungkin, dengan g(E) adalah degenerasi keadaan energi E yang

bersesuaian dengan rapat energi, sedangkan Z(β) adalah fungsi partisi. Rerata termal dari besaran

〈Q〉 pada temperature T=1/β dihitung melalui hubungan berikut,

〈Q〉β =∑

E

〈Q(E)〉Pβ(E) (12.14)

dengan 〈Q(E)〉 sebagai rerata kanonik mikro. yaitu nilai rerata Q yang diperoleh pada energi yang

tetap (seragam) atau tertentu.

Suppose we wanted to obtain the thermal average of quantity Q at different inverse tempera-

ture β′, then one needs to obtain the reweighted distribution Pβ′(E). This can be done quite

straightforward by first taking the ratio of the two canonical distribution, so one has

Pβ′(E) = CPβe−(β′−β)E (12.15)

where C is the normalization constant, which is trivially determined by enforcing the condition∑

E Pβ(E) = 1. Therefore, the explicit form of the reweighted canonical distribution at inverse

temperature β′ can be written as

Pβ′(E) =Pβe−(β′−β)E

∑

E Pβe−(β′−β)E(12.16)

12.5. ALGORITMA WANG-LANDAU 97

by which the thermal average of Q at inverse temperature β′ can be calculated through

〈Q〉β′ =

∑

E Q(E)e−(β′−β)E

∑

E e−(β′−β)E(12.17)

It is to be noticed that the energy E appears in the equation is the total energy of a corresponding

state and not energy per spin as commonly done in many Monte Carlo calculation.

12.5 Algoritma Wang-Landau

Algoritma Wang-Landau (WL) merupakan salah satu metoda dari kategori pertama sebagaimana

dijelaskan dalam Bag. 12.2. Perjalanan acak (Random walk) dalam algoritma dengan kategori

pertama ini menyisir seluruh ruang konfigurasi energi guna menghitung rapat keadaan energi

(density of states (DOS)). Akan tetapi, karena ruang energi cukup lebar, perjalanan acak (PA)

menghadapi dua masalah umum: (i) PA cenderung terhalang dan tidak mengunjugi keadaan-

keadaan energi yang sudah sering dikunjungi, (ii) diperlukan waktu cukup lama menyisir dari satu

tepi ke tepi lain dari ruang energi. Masalah ini merupakan maslah umu dari PA.

Metoda WL mengatasi dua masalah yang disebutkan sehingga mempercepat gerak PA. Dengan

demikian rapat keadaan energi g(E) dapat dihitung secara efisien dan akurat. Hal ini dilakukan

dengan memperkenalkan kebolehjadian transisi sbb

P (E → E′) = min

[

1,g(E)

g(E′)

]

(12.18)

dimana g(E) adalah rapat energi dari energi E. Oleh karena g(E) tidak diketahuai pada awal

simulasi maka diberi nilai g(E) = 1 untuk semua energi. Rapat keadaan energi selanjutnya dihitung

secara iteratif melalui PA. Nilainya diperoleh saat histogram dari energi h(E) mencapai syarat

rata (flatness condition), yaitu i.e. saat semua turus dari keadaan energi E tidak kurang dari nilai

rerata, misalnya 0.80. Rapat keadaan energi dan histogram di-update setiap kali E dikunjungi

yang mengikuti aturan sbb

ln g(Ei) → ln g(Ei) + fi (12.19)

h(Ei) → h(Ei) + 1 (12.20)

dimana fi adalah parameter untuk modifikai nilai rapat keaadaan dan histogram. Parameter ini

mendekati nol saat rapat keadaan mulai konvergen.

Rerata termal besaran Q diperoleh melalui hubungan berikut,

〈Q〉β =

∫

dE g(E) Q(E) exp(−βE)∫

dE g(E) exp(−βE)(12.21)


dimana β = 1/kT , k dan T masing-masing adalah temparatur invers, tetapan Boltzmann dan

temperatur.

Secara rinci, langakah-langkahnya adalah sbb

1. Set (a) initial spin configuration and initial iteration factor fi = 1; (b) assume that the initial

values of the DOS and histogram as ln g(Ei) = 1 and h(Ei) = 0,∀i.

2. Update the configuration based on the transition probability (12.18).

3. Update the DOS and the histogram as (12.19) and go to step 2 until the histogram reaches

the flatness condition.

4. Refine the iteration factor fi = fi/2, rescale the DOS by using condition∑

Eig(Ei) = 2N

(for the case of the Ising model); and reset the histogram h(Ei) = 0 before going back to

step 2.

5. Do steps 1 to 4 until the DOS achieves convergence, then perform measurement of physical

quantity Qi with a definite number of MCS’s.

Dalam aplikasinya, pada saat kita mengunjungi suatu keadaan, kita dapat saja melakukan pen-

gukuran (perhitungan) besaran fisis yang hendak diukur. Akan tetapi, jika DOS belum konvergen,

maka ada kecenderungan keadaan yang memiliki nilai DOS lebih tinggi akan sering dikunjungi,

sedangkan yang DOS-nya kecil akan jarang dikunjungi, bahkan mungkin tidak pernah. Itu sebab-

nya disarankan, pengukuran terhadap besaran fisis A, dilakukan setelah DOS mulai konvergen,

yaitu setelah iterasi (jfnum ¿ 18). Dapat pula dilakukan dua tahap, yaitu setelah DOS benar-

benar konvergen barulah pengukran dilakukan. Jadi, algoritma WL ada dua tahap, pertama

untuk memperoleh DOS yang konvergen, kedua, mengukur besaran fisis, berdasarkan DOS yang

sudah konvergen. Dengan begitu, masing-masing keadaan diukur secara beragam.

Kelihatannya cara ini bagus, tetapi tetap menyisakan pertanyaan. Bukankan keadaan yang DOS-

nya besar justru memang harus diukur banyak kali dibanding dengan keadaan yang DOS-nya lebih

kecil.

Penerapan algoritma WL untuk sistem besar memerlukan pembagian ruang energi atas sejumlah

jendela. Hasil dari masing-masing potongan jendela digabungkan pada langkah terakhir. Oleh

karena energi harus bersesuaian dengan konfigurasi spin, maka jika dikehendaki dilakukan WL

dalam range energi [Ea,Eb], maka perlu dilakukan langkah penyesuaian sedemikian sehingga kon-

12.6. METODA HISTOGRAM LEBAR 99

figurasi yang di-input ke dalam WL diketahui energinya. Di sini perlu melakukan equilibrasi

metropolis, begitu energi E masuk dalam jangkauan [Ea,Eb], maka langkah WL segera dilakukan.

Masalah kelambatan dinamis yang bersifat klasik kemungkinan masih hadir, khususnya buat sis-

tem yang memiliki banyak minima lokal. Akibatnya, DOS sulit mengalami konvergensi. Untuk

mengatasi hal ini, metoda WL dapat ditingkatkan unjuk-kerjanya dengan menggunakan metoda

histogram lebar. broad histogram method (BHM) sebagaimana yang akan diulas dalam bagian

berikut.

By this combination, we perform the simulation in three major steps. The first step is performing

WL algorithm until we reach a relatively convergent DOS. Then we calculate the potential move

in order to refine the DOS obtained from the first stage. After refining the DOS we move to third

stage where calculation of physical quantities of interest with the refined DOS is performed.

12.6 Metoda Histogram Lebar

Metoda histogram lebar merupakan penyempurnaan dari teknik pembobotan ulang.

The broad histogram method (BHM) is the improvement of the reweighting technique which is

not quite practical for a larger system size since the energy distribution presents a sharp peak and

exponential decays on both sides. The evaluation of thermal average will be less reliable unless

one is ready to perform a simulation on adequate number of points. 1

The BHM is proposed to overcome the sharp peak and exponential tail problems. In proposing

the BHM, Oliveira et al. paid attention to the number of potential moves, or the number of the

possible energy change, N(S,E → E′), for a given state S. The total number of moves is

∑

∆E

N(S,E → E + ∆E) = N (12.22)

for a single spin flip process of the Ising model simulation. The energy DOS is related to the

number of potential moves as

g(E) 〈N(S,E → E′)〉E = g(E′) 〈N(S′, E′ → E)〉E′ , (12.23)

where 〈· · · 〉E denotes the microcanonical average with fixed E. This relation is shown to be valid

on general grounds, and we call Eq. (12.23) the broad histogram relation. We measure the average

of the potential move, 〈N(S,E → E′)〉E , and use this information for getting a better estimate

1This Part is taken from my PhD Thesis, Tasrief Surungan (2004).


of the energy DOS. It was stressed that N(S,E → E′) is a macroscopic quantity, which is the

advantage of using the number of potential moves.

12.7 Metoda Hibrid (Kombinasi)

Guna optimasi lebih lanjut spin-spin diupdate secara berkelompok (cluster), termasuk juga dibuat

multi random walkers. 2

1. Cluster spin updates: Sistem spin frustrasi memiliki landskep ruang energi yang rumit yang

dapat menjebak random walker tunggal terjebak pada energi minimum tertentu. kecenderun-

gan ini dapat dihindari dengan menerapkan update spin secara berkelompok ( cluster spin

update). Cara ini memungkinkan random walker berpindah jauh dari satu titik energi ke

titik energi lain. Gambar 12.1 menunjukkan perbadingan dinamika random walker untuk

update spin tunggal dan yeng berkelompok.

2. Multiple random walkers (parallel computation): The problem of slow dynamics can be

further cured by making use of parallel programming which enables us to use multiple random

walkers. The number of random walkers corresponds to the number of processors used.

In performing the sampling, each random walker independently moves in the phase space

of energy and communicates its intermediate sampling results with other random walkers

through the master node. By this procedure, we can faster achieve the flatness condition of

the histogram which is a crucial step in the WL algorithm.

2This Part is taken from my PhD Thesis, Tasrief Surungan (2004).

12.7. METODA HIBRID (KOMBINASI) 101

EW

Gambar 12.1: Illustration of two possible moves of a random walker in the energy space. A random

walker with single spin update tends to be trapped at particular local minima, while the one with

cluster update can jump far away. EW is the energy range of the chosen energy window.

WE

Gambar 12.2: Illustration of the dynamics of multiple random walkers in the complex landscape

of energy space. EW is the energy range of the chosen energy window.

Bab 13

Grup Renormalisasi

13.1 Pendahuluan

Gagasan mengenai RG berhubungan dengan invariasi skala atau sifat kovarian dari berbagai be-

saran terhadap transformasi koordinat. Tranformasi seperti ini diperlukan dalam memudahkan

pemecahan masalah-masalah fisika.

Meskipun RG dijumpai dalam banyak cabang fisika, di sini akan diulas dalam kaitannya dengan

gejala kritis. Kendati demikian harus ditekankan bahwa RG berlaku pula bagi semua temperatur

pada keadaan teratur (di bawah temperatur kritis), jadi bukan hanya pada daerah kritis.

Grup renormalisasi meliputi banyak konsep antara lain: titik-titik tetap stabil (stable fixed points),

simetri dinamik kontinu, universalitas, interaksi tak relevan, dll.

Titik stabil tetap berkaitan dengan kelas universalitas (universality class). Titik stabil ini memiliki

parameter kritis. Sistem yang secara makroskopik berbeda dapat saja masuk dalam kelas univer-

salitas yang sama jika memiliki parameter-parameter kritis yang sama. Contohnya, titik tetap

Ising berhubungan perubahan fase sistem magnetik dan sistem PVT pada fluida.

Sifat yang merupakan peralihan dari dua atau lebih titik stabil dinamakan sifat antara (cross-over

behaviour). Artinya, sifat tersebut tidak dikendalikan oleh titik tetap tertentu, jadi tidak masuk

dalam daerah titik stabil tertentu.

Simetri kontinu dinamik merupakan konsep penting yang dibahas oleh RG. Konsep ini memper-

103

13.2. FIXED POINT 105

lakukan zat mampat sebagai kontinum dan bukan terdiri atas atom. Atom-atom secara kolektif

berprilaku sebagai partikel tunggal (quasi-partikel). Dari sudut pandang lain, kontinum mengalami

eksitasi yang dapat berupa antara lain fonon (bergantung pada medium). Dalam bahasa Salam

dan Weinberg, jika terdapat simentri kontinu (Invariansi perpindahan), maka harus ada boson

tak bermassa dan dat berinteraksi. Partikel medan seperti gelombang bunyi adalah boson dalam

bahasa SW.

Simetri kontinu memiliki implikasi, antara lain adalah universalitas, yaitu bahwa sistem berbeda,

dapat memiliki eksponen kritis yang sama.

13.2 Fixed Point

13.3 Kondensasi Boson

Referensi

1. G.Benfatto and G. Gallavotti, Renormalization Group

2. Ulrich Kbler, Andreas Hoser, Renormalization Group Theory: Impact on Experimental Mag-

netism

106 BAB 13. GRUP RENORMALISASI

Appendix A: Integral Gaussian

Integaral berikut akan dihitung untuk berbagai nilai n,

F (n) =

∫ ∞

0

vne−β2v2

dv

Untuk n = 0, integral ini menjadi

F (0) =

∫ ∞

0

e−β2v2

dv

dengan menandai u = βv, integral ini merupakan bentuk generik integral Gaussian

∫ ∞

0

e−u2

du =1

2

√π

Untuk n = 1, integral yang dihitung adalah

F (1) =

∫ ∞

0

v e−β2v2

dv

∫ ∞

0

v2e−β2v2

dv =

∫ ∞

0

v2e−β2v2

dv (1)

2

∫ ∞

0

e−y2

dy =

∫ ∞

−∞

e−y2

dy

(

2

∫ ∞

0

e−y2

dy

)2

=

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

e−(x2+y2)dx dy

=

∫ 2π

0

∫ ∞

0

e−r2)rdr dθ

= π

107

108 BAB 13. GRUP RENORMALISASI

Daftar Pustaka

[1] W. Greiner, L. Neise, H. Stocker, Thermodynamics and Statistical Mechanics, Springer,

Berlin, 1995.

[2] L. E. Reichl, A Modern Course in Statistical Physics, John Wiley & Sons, 1998.

[3] K. Huang, Statistical Mechanics, 2nd Ed., John Wiley & Sons, 1987.

[4] F. W. Sears, Thermodynamics, the Kinetic Theory of Gases and Statistical Mechanics,

Addison Wesley, 1963.

[5] R. C. Tolman, The Principles of Statistical Mechanics, Dover Pub., New York, 1979.

[6] T. Surungan, Cooperative Phenomena of Two-Dimensional Complex Planar Spin Sys-

tems, PhD Thesis, Tokyo Metropolitan Uni. Japan, (2004)

[7] R. J. Baxter,Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, Dover Publication, 1982

[8] W. R. Gibbs, Computation in Modern Physics, World Scientific, 1999.

[9] S. Eliezer, A. K. Ghatak and H. Hora, Fundamentals of Equations of State, World

Scientific, 2002.

109

Index

algoritma

Metropolis, 94

bilangan

Avogadro, 50

bobot

statistik, 19, 59, 72

Boltzmann, 57

boson, 67

Clausius, 19

co-existence, 6

dadu, 35

densitas, 58

distribusi

binomial, 37

energi, 55

normal, 38

Poisson, 39

double counting, 41

elektrodinamika, 69

elemen

volume, 50

energi

dalam, 84

entalpi, 16

entropi, 5, 19, 20, 59

maximum, 73

expectation, 34

fase, 6

fenomena

kritis, 83

fenomenologis, 13

Fermi-Dirac, 67

fungsi

Heaviside, 36

partisi, 61

gas

foton, 68

ideal, 47

gas ideal, 6

harga

expektasi, 40

rerata, 40

Hessian, 34

kalor

laten, 85

kapasitas

panas, 65

kausalitas, 3

keadaan

makro, 25

setimbang, 4

termodinamika, 25

kebolehjadian, 31

kesetimbangan, 4

ketidak-pastian, 65

110

INDEX 111

kombinasi, 37, 41

larangan Pauli, 67

lingkungan, 3

majelis, 26

makrokanonik, 26

mekanika

kuantum, 20

microstate, 32

osilator, 28

panas

jenis, 16

parameter

keteraturan, 85

pengukuran, 5

penyekalaan, 87

peristiwa, 32

permukaan Fermi, 74

permutasi, 41

perubahan fase

orde pertama, 85

peubah

stokastik, 35

termodinamik, 4

Planck, 69

proses

reversibel, 19

termodinamik, 7

random, 35

rapat

energi, 68

reversibel, 20

ruang

cuplikan, 31

fase, 26, 49, 71, 74

Kartesian, 68

keadaan, 4

kecepatan, 49

momentum, 68

setimbang, 45, 73

sistem, 3

klasik, 66

terbuka, 4

terisolasi, 4

tertutup, 4

statistik

Bose-Einstein, 65

Fermi-Dirac, 71

Maxwell-Boltzmann, 57

Stirling, 59

tak-terbedakan, 66

temperatur, 61

kritis, 6

teorema

binomial, 38

teori

kinetik, 43

tetapan Planck, 66

transformasi

Legendre, 21

tumbukan, 43

universalitas, 86

vektor

kecepatan, 49

zat

kerja, 17

fisika statistik - universitas · pdf filemateri diawali dengan peninjauan ulang (review)...

Documents