hidrodinamika - hmj pendidikan fisika | universitas islam ... · web viewaplikasi termodinamika...

Bab II. Statistik Maxwell-Boltzmann

Bab VIII. Aplikasi Termodinamika Statistik

Pada bagian ini kita akan membicarakan bagaimana penggunaan konsep fungsi partisi yang telah dibahas sebelumnya. Akan ditunjukkan bagaimana konsep ini digunakan pada termodinámica statistik. Sekalipun metode yang kita gunakan dalam pembicaraan sebelumnya dilakukan terhadap assembly dengan energi dan jumlah sistem yang tetap, tetapi kita akan perluas pada interaksi diantara sistem yang ada.

GAS PARAMAGNETIK

Pada bagian sebelumnya kita telah membahas paramagntime Pauli, dimana tiap molekul memiliki momen magnet intrinsik. Ketika Medan magnet bekerja pada gas akan muncul momen paramagnetik terinduksi persatuan volume

dimana adalah suseptibilitas magnetik gas per satuan volume dan adalah medan magnet yang bekerja. Bentuk persamaan suseptibilitas magnetik yang diperoleh nanti bergantung pada apakah momen magnetnya diperlakukan secara mekanika klasik atau kuantum. Untuk melihat bagaimana perbedaannya, maka kita akan bahas dengan memperlakukan momen magnet menurut mekanika klasik.

155


SUSEPTIBILITAS PARAMAGNETIK KLASIK

Misalkan gas mengandung molekul per satuan volume, tiap molekul mengandung momen magnet intrinsik dan tidak ada interaksi diantara molekul. Ketika medan magnet bekerja gas, sejumlah molekul yang momen magnetnya membentuk sudut sebesar terhadap arah medan memiliki energi magnetik sebesar

Fungsi partisi energi magnetik

dimana penjumlahan dilakukan terhadap semua harga yang mungkin. Anggap bahwa jumlah keadaan yang

tersedia bagi molekul yang arahnya dalam suatu eleven sudut ruang sebanding besar . Maka

dimana adalah tetapan kesebandingan.

Sudut ruang yang berada dalam interval dan adalah sehingga

156


Energi magnetik untuk molekul dalam satu satuan volume gas

Jika terdapat momen magnetik induksi per satuan volume yang searah dengan medan magnet, maka energi magnetiknya dapat dinyatakan dengan

Jadi

(x) adalah fungís Langevin yang didefenisikan sebagai . Jika syarat terpenuhi, maka

bernilai 1, dimana pada saat nilai Medan magnetik yang memenuhi syarat ,menurut persamaan 8.8 momen magnetik induksi akan mencapai nilai maksimum atau nilai jenuh (saturasi), nilainya sama

157


dengan . Sebaliknya jika , uraian atas suku-sukunya mengandung nilai ; dengan nilai pendekatan

Jadi momen magnetiknya

Bentuk fungís Langevin ditunjukkan pada gambar berikut

Suseptibilitas magnetiknya dapat diperoleh dari hubungan .Jadi

dalam kasus medan rendah.Selanjutnya dapat juga dibuktikan bahwa hasil

yang sama akan diperoleh untuk nilai dan jika nilai momen total magnetik sepanjang arah medan magnet diambil sama dengan jumlah semua componen cos dari momen magnet masing-masing molekul. Nilainya

158

kemiringan=1/3

L(x)

x


sama dengan yang diperoleh dengan cara merata-ratakan nilai momen magnet

Nilai dan telah diberikan dan tak lain adalah factor Boltzmann . Induksi momen magnet per satuan volume adalah .

SUSEPTIBILITAS PARAMAGNETIK KUANTUM

Menurut mekanika kuantum momentum sudut atom atau molekul ditandai oleh bilangan kuantum momentum sudut , yang merupakan bilangan bulat. Bilangan kuantum magnetik , yang merupakan componen dalam arah medan magnet dapat berharga

Untuk molekul dengan nilai , componen momen magnet yang searah dengan arah medan magnet yang bekerja

Dimana adalah magneton Bohr dan g adalah factor Lande, atau factor pemisahan spektroskopik molekul. Jika energi potencial molekul adalah maka fungsi partisinya menjadi

159


Kita akan tinjau bentuk fungsi partisi untuk dua kasus, yakni untuk nilai tinggi dan nilai yang rendah. Ketika

sangat besar, suku dimana akan menjadi sangat besar dibandingkan dengan suku-suku lainnya. Hal ini berarti bahwa semua momen magnetik searah dengan medan magnet yang diberikan untuk memperoleh momen magnet sebesar mungkin yakni

.Dalam kasus dengan medan kecil, uraian dan pendekatan dapat digunakan, sehingga

Energi magnetik total

160


=

Dalam daerah dengan medan kecil dimana , penyebut dalam persamaan 8.14 dekat nilainya dengan 2J+1 sehingga

Momen magnetik per volume

Suseptibilitas magnetik per satuan volume,

Jika dibandingkan dengan persamaan 8.10, nampak bahwa untuk molekul yang mengikuti sifat-sifat kuantum, melalui pendekatan ini momen magnetik efektifnya adalah

Nilai di atas dapat dicari dengan metode lain yakni konsep perata-rataan`momen magnetik molekul melalui humus

161


Dalam kasus ini

OSILATOR HARMONIK

Menurut mekanika klasik tidak terdapat pembatasan energi pada osilator harmonik. Hal ini sudah dijelaskan dalam bagian 3.6 bahwa energi rata-rata osilator harmonik sederhana satu dimensi dalam suatu assembly pada temperatur adalah . Sebaliknya jika osilator harmonik dipandang mengikuti aturan kuantum, maka hanya dapat memiliki energi diskrit sebesar

dimana adalah frekwensi dan adalah bilangan bulat positif. Energi terendah yang ada pada sistem seperti ini adalah yang disebut juga energi titik nol.Energi rata-rata osilator harmonik menurut mekanika kuantum pada temperatur dapat diperoleh dengan menjumlahkan fungsi partisinya

Penjumlahan suku-suku dalam persamaan di atas

menyerupai bentuk sehingga fungsi

partisinya

162


Energi rata-rata osilator adalah

Pada temperatur tinggi dimana kita dapat mengurai bentuk eksponen

suku-suku di atasnya dapat diabaikan, jadi

seperti yang hasil yang kita harapkan untuk temperatur tinggi dimana tidak terdapat lagi perbedaan mendasar antara sistem kuantum dan sistem klasik.

MOLEKUL DIATOMIK

Untuk molekul diatomik energinya dihasilkan oleh paling kurang lima jenis gerak yang independen. Kelima jenis gerak tersebut adalah :

a. gerak translasi.163


b. Gerak rotasi.c. Gerak vibrasi sepanjang penghubung antara

kedua atom.d. Gerak atom di sekitar intinya.e. Gerak spin inti.

Tingkat energi yang ada dalam kelima jenis gerak energinya perlu terkuantisasi dan hanya pada khusus kasus gerak translasi tingkatan energinya kontinu. Dalam jenis gerak lainnya dapat tingkatan energinya adalah diskrit kecuali pada temperatur tinggi.

Untuk mengkaji lebih jauh beberapa sifat termodinamika gas klasik diatomik ideal perlu kita nyatakan fungsi partisi masing-masing dari relima jenis geraknya. Berdasarkan pembahasan sebelumnya, fungsi partisinya dapat dinyatakan dengan

dimana = fungsi partisi translasi = fungsi partisi rotasi = fungsi partisi vibrasi = fungsi partisi elektronik = fungsi partisi spin inti

Gerak translasi molekul diatomik analog dengan molekul sederhana monoatomik yang telah dibahas sebelumnya. Fungsi partisinya adalah

Untuk fungsi partisi gerak rotasi molekul diatomik, perlu dirumuskan tingkat energi rotasi yang bersesuaian dengan bilangan kuantum momentum sudut

164


dimana adalah bilangan kuantum momentum sudut, bilangan bulat bernilai positif, adalah momen inersia molekul di sekitar sumbu yang melalui pusat gravitasinya. Untuk tiap nilai bilangan kuantum , bilangan kuantum magnetik dapat bernilai bulat antara dan salah satunya bernilai . Tiap tingkatan energi merepsentasikan keadaan, fungsi partisinya

dengan Untuk gerak vibrasi, dapat kita ambil model

osilator harmonik sederhana sebagai pendekatan. Fungsi partisinya (seperti yang telah dibahas pada bagian sebelumnya)

Untuk fungsi partisi elektronik, kita akan nayatakan dalam bentuk keadaan dasar, energi yang diperlukan untuk mengeksitasi elektron dari keadaan dasar ke keadaan diatasnya, dan seterusnya. Fungsi partisinya

165


Dalam situasi normal, kecuali pada temperatur tinggi, cukup kita ambil hanya sampai pada dua suku saja

Fungsi partisi total molekul diatomik diperoleh dari masing-masing komponen

Fungsi partisi total untuk gas identik mengikuti persamaan 7.21 yakni .

Energi molekul gas diatomik

Kontribusi dari fungsi partisi spin tak diperhitungkan karena energinya tak bergantung pada temperatur.

Untuk melihat seberapa besar sumbangan masing-masing fungsi partisi terhadap energi, maka perlu diungkapkan temperatur karakteistik untuk gerak vibrasi, rotasi dan energi elektronik. Temparatur masing-masing kita nayatakan dengan

166


untuk gerak rotasiuntuk gerak rotasiuntuk energi elektronik

Perbandingan untuk ketiganya secara umum mengikuti ketidaksamaan . Sebagai contoh untuk molekul hodrogen

Untuk molekul lainnya umumnya lebih rendah dibandingkan dengan molekul hidrogen, misalnya khlor

Pada temperatur rendah, , jelas dari rumus fungsi partisi bahwa hanya sebagian kecil dari tingkatan energi rotasi,vibrasi dan elektronik yang berada di atas keadaan dasar. Dalam kasus ini energi total molekul kontribusinya berasal dari energi translasi bersama-sama dengan energi keadaan dasar dari energi vibrasi yakni dan energi keadaan dasar elektron. Dari tiga suku yang ada hanya energi translasi yang bergantung pada temperatur yakni , sehingga untuk , panas jenis gas pada volume konstan

Pada temperatur rendah, komponen fungsi partisi dapat diambil sebagai berikut :

sementara tetap konstan (tak bergantung pada temperatur).

167


Jika temperatur dinaikkan sampai mencapai orde beberapa molekul akan mengalami eksitasi untuk melakukan rotasi dengan energi di atas keadaan dasar. Gerak rotasinya selanjutnya akan memberikan kontribusi pada energi total dan panas jenis gas. Selanjutnya jika temperaturnya dinaikkan mendekati nilai , maka fungsi partisi rotasi dapat diuraikan atas

Jika diambil pendekatan , maka

Energi rotasi pada temperatur ini

yang bersesuaian dengan energi klasik untuk 2 derajat kebebasan rotasi molekul. Maka panas jenisnya

Tingkat energi vibrasi molekul tak akan memberikan sumbangan pada energi total maupun panas jenis sedemikian sampai temperaturnya mendekati

168


temperatur vibrasi . Akan tetapi pada temperatur yang cukup tinggi , energi vibrasi rata-rata akan mendekati nilai klasik per molekul. Jadi energi vibrasinya

dan panas jenisnya

Jadi pada temperatur tinggi , energi total yang diperoleh merupakan sumbangan dari energi translasi, rotasi dan vibrasi

dan panas jenisnya

169

T

Cv

R=Nk


Perhitungan yang dilakukan sejauh ini belum memperhitungkan sumbangan tingkatan energi oleh gerak spin. Hal ini berarti bahwa untuk molekul diatomik syarat telah terpenuhi, kecuali pada temperatur yang sangat tinggi. Sebagai contoh untuk oksigen nilai adalah sekitar 11,000 K dan ini adalah salah satu nilai terendah untuk molekul diatomik. Jadi gas yang mengandung molekul oksigen, tidak ada sumbangan yang berarti terhadap energi total dan panas jenis dari tingkatan energi elektronik sampai temperatur dinaikkan di atas 2000 K. Dalam kasus ini kontribusi energi elektronik pada fungsi partisi adalah perkalian faktor (dengan pendekatan).

Kontribusi spin inti pada pada fungsi partisi secara umum muncul dari degenerasi keadaan spin inti. Jika total spin yang dikontribusi oleh dua molekul memiliki bilangan kuantum maka keadaan spinnya ada (2I+1) kali lipat degerasinya. Fungsi partisi dapat diganti dengan suku keadaan dasar .

Fungsi partisi yang lengkap dengan memasukkan degenerasi elektronik dan spin adalah

Nampak bahwa fungsi partisi ini tetap tak memberikan kontribusi pada energi maupun pada panas jenis.

170


171


172

hidrodinamika - hmj pendidikan fisika | universitas islam ... · web viewaplikasi termodinamika...

Documents