enem 1-conjunto
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Teleport EducacionalPreparatório para o ENEM
Aula 1Conteúdo: Conjunto
Professor (a): Alexandre Sena
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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
• Quem somos?
• De onde viemos?
• Para onde vamos?
• Tem perguntas que nos fazemos quando somos
mais jovens que a nossa vida cuida de sufocar.
• Mas num certo momento, olhamos para dentro de
nós e então, as perguntas voltam com a mesma
força.
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É a Filosofia onde não há margens para interpretações que
dependa do estado emocional, social, temporal de quem pensa a
respeito. Não abre margem para duvidas, por conta de credo, cor
ou localização geográfica. Raciocínio lógico e abstrato.
Alice's Adventures in Wonderland, frequentemente abreviado
para Alice in Wonderland (Alice no País das Maravilhas) é a
obra mais conhecida de Charles Lutwidge Dodgson, publicada a 4
de julho de 1865 sob o pseudônimo de Lewis Carroll.
Para onde eu vou? Para onde quer ir?
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O know-how, é o conhecimento prático de como executar alguma tarefa,
ao contrário de know-what (fatos), know-why (ciência), ouknow-
who (comunicação).
Para viver o homem faz conta, ou faz de conta.
Não é possível viver sem know-how!
O homem pensa sobre o seu mundo e a cerca dele mesmo, nesse
ponto entra as quantidades.
Eu tenho comida, tem um, dois, três ou mais animais me
perseguindo?
O que me faz igual a outro ser humano?
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P A R A C O N S T R U I R U M A C A S A
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Base, fundação
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A linguagem escrita pode ser simplificada com os símbolos descritos
nos exemplos a seguir:
- O elemento 1(um) pertence ao conjunto A: 3∈A
- O elemento 3 não pertence ao conjunto A: 3∉A
- Existe algum: ∃∃- Qualquer que seja: ∀∀- Tal que: |
- E :
- Ou :
Conjuntos importantes:
- Conjunto vazio: não possui nenhum elemento. É representado
por ∅ ou { }.
- Conjunto unitário: possui um único elemento.
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Conjunto
Teoria dos conjuntos
Admitiremos que um conjunto seja uma coleção de objetos
chamados elementos e que cada elemento é um dos
componentes do conjunto.
Geralmente, para dar nome aos conjuntos, usaremos uma letra
maiúscula do nosso alfabeto, e os elementos por letras
minúsculas do nosso alfabeto.
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Representação dos conjuntos
Enumeração ou listagem dos elementos:
Nesta representação, todos os elementos do conjunto são
representados numa lista, envolvidos por um par de chaves e separados por
ponto e virgula ou por vírgula.
Seja “A” o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:
A = {a, e, i, o, u}
Uma propriedade de seus elementos:
É a apresentação de um conjunto por meio de uma listagem de seus
elementos traz o inconveniente de não ser uma notação prática para os casos
em que o conjunto apresente uma infinidade de elementos. Para estas
situações, podemos fazer uma apresentação do conjunto por meio de uma
propriedade que sirva a todos os elementos do conjunto e somente a estes
elementos.
Seja “A” o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:
A = {x | x são as vogais do nosso alfabeto}
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Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número
natural, então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com
uma cardinalidade de n ou número cardinal n.
A = {a, e, i, o, u}
O conjunto A tem número cardinal 5.
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Diagrama de Venn – Euler:
A apresentação de um conjunto por meio do diagrama de Venn-
Euler é gráfica e, portanto, muito prática. Os elementos são
representados por pontos interiores a uma linha fechada e não
entrelaçada. Dessa forma, os pontos exteriores a linha
representação elementos que não pertencem ao conjunto
considerado.
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Relação de Pertinência
Quando queremos indicar que um determinado elemento x faz
parte de um conjunto A, dizemos que o elementos x pertence ao
conjunto A, indicado por:
Para indicarmos que um elemento x não pertence ao conjunto A,
indicamos:
Obs.: Quando fazemos uso da relação de pertinência, estamos,
necessariamente, relacionando um elemento a um conjunto,
nesta ordem.
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Consideremos o conjunto A={0; 2; 4; 6; 8}. Indique se
verdadeiro ou falso as sentenças abaixo.
( ) 7 A.
( ) 2 A.
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Relação de inclusão
Dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B se todo
elemento que pertencer a A, pertencer também a B. Indicamos
que o conjunto A está contido em B por meio da seguinte
simbologia:
Em outra notação para relação de inclusão, temos:
B
A
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O conjunto A não está contido em B quando existe pelo
menos um elemento de A que não pertence a B.
B
A
Inclusão, estamos necessariamente,
relacionado um conjunto a outro
conjunto.
Se um conjunto A está contido no Conjunto B, dizemos
que A é um subconjunto de B.
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Tipos de Conjuntos
Conjunto vazio
É o conjunto que não possui elementos.
{ } ou
Quando vem dentro de um conjunto deve ser tratado
como subconjunto.
A={ { }, 0, 1}
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Exemplo
Seja o conjunto A={ ;1 ; 2; 3}. São corretas as afirmações:
( ) A
( ) A
( ) A
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Conjunto Unitário
É o conjunto formado por um único elemento.
Conjunto dos números primos, pares e positivos.
{ 2 }
Conjunto de satélites naturais da Terra.
{ Lua }
Conjunto da raiz da equação x+5=11.
{ 6 }
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Conjunto das Partes
Conjunto das partes de um conjunto A, denotado por
P(A), é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A.
Assim o conjunto das partes é o conjunto dos subconjuntos.
Obs.: é um dos subconjuntos de qualquer conjunto e o
próprio conjunto.
Seja o conjunto A={2; 3; 5} determine o P(A).
vazio { }
Um elemento {2}; {3}; {5}
Dois elementos {2; 3} , {2; 5} , {3; 5}
Três elementos { 2; 3; 5 }Assim o Conjuntos das partes é
{ ; {2}; {3}; {5} ; {2; 3} , {2; 5} , {3; 5} ; { 2; 3; 5 } }
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Número de elementos dos conjunto das partes
Podemos determinar o número de elementos do
conjunto das partes de um conjunto A dado, ou seja, o
número de subconjuntos do referido conjunto, sem que haja a
necessidade de escrevermos todos os elementos do
conjuntos P(A).
Assim o número de subconjuntos de A={2, 3, 5}, será:
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Algumas Operações de Conjunto
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Número de elementos na relação de conjuntos
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0
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Dizimas simples
É aquela em que a parte periódica vem logo após a vírgula.
0,111; 0,2525; 6,3434
Gerar número racional de uma dizimas:
Colocasse no numerador o período e no denominador tatos noves
quantos forem os algarismos do período, em seguida, simplifica-se.
Após a vírgula, a parte periódica vem depois de uma parte não
periódica.
0,1222 2,1444
Como obter:
Colocamos no numerador a parte não periódica seguida da
parte periódica, menos a parte não periódica. No denominador,
colocamos tantos noves quantos forem algarismos da parte
periódica, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos
da parte não periódica.
Dizimas composta
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Conjunto dos números reais podem ser associados
biunivocamente com cada ponto de uma reta, estabelecendo o que
nós chamamos de reta real ou eixo real.
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(UFF) Os conjuntos não-vazios M, N e P estão, isoladamente,
representados abaixo. Considere a seguinte figura que estes
conjuntos formam.
A região hachurada pode ser representada
por:
a) M ∪ (N ∩ P)
b) M – (N ∪ P)
c) M ∪ (N – P)
d) N – (M ∪ P)
e) N ∪ (P ∩ M)
Solução
Opção (B).
Os elementos da região
hachurada pertencem a
M e não pertencem
a N∪P-N∪P.
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Numa turma de 42 alunos, o professor perguntou: “Quem é torcedor
do Flamengo?” 36 levantaram o braço. A seguir, perguntou: “Quem é
nascido na cidade do Rio de Janeiro?” 28 levantaram o braço.
Sabendo que nenhum aluno deixou de levantar o braço, vamos
determinar quantos alunos são flamenguistas e cariocas.
Flamenguistas: F
Cariocas: C
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Das companhias que publicam anúncios nos jornais C, D ou F, sabemos que:
- 30 publicam no C,
- 25 publicam no D,
- 30 publicam no F,
- 10 publicam em C e D,
- 9 publicam em F e D,
- 11 publicam em C e F, e
- 6 publicam em C, D e F.
Considerando estas informações, analise as sentenças a seguir.
0-0) Onze companhias publicam anúncios em exatamente dois dos jornais.
1-1) Dezoito companhias publicam anúncios em pelo menos dois dos jornais.
2-2) Quarenta e três companhias publicam anúncios em um único jornal.
3-3) Sessenta e uma companhias publicam anúncios em pelo menos um dos três
jornais.
4-4) Treze companhias publicam anúncios apenas no jornal D.O gráfico inclui o número de companhias que publicam anúncios em três jornais, em
dois jornais e em um jornal. Segue do gráfico que: 4 + 5 + 3 = 12 companhias
publicam em exatamente dois dos jornais; 12 + 6 = 18 companhias publicam em
pelo menos dois dos jornais; 12 + 15 + 16 = 43 companhias publicam em um único
jornal; 43 + 12 + 6 = 61 companhias anunciam em pelo menos um jornal; 12
companhias publicam anúncios apenas no jornal D. FVVVF
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(UFBA – 96) Na questão a seguir escreva
no parêntese a soma dos itens corretos,
considerando os conjuntos:
É verdade que:
A={0,1,2,3,}
B={2}
C={-2,-3}
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