DISTRIBUSI TEORITIS

DISTRIBUSI TEORITIS

• Variabel Acak

• Distribusi Teoritis

• Binomial• Binomial

• Normal

Variabel acak adalah sebuah besaran yang merupakan hasil dari

percobaan acak yang secara untung-untungan, dapat mempuyai

nilai yang berbeda-beda.

Variabel Random adalah variabel yang nilai-nilainya ditentukan

oleh kesempatan atau variabel yang dapat bernilai numerik yang

didefinisikan dalam suatu ruang sampel.

Definisi : Misalkan E suatu experimen acak dan S ruang

sampelnya. Suatu fungsi X (ditulis dengan huruf besar) yang

memberikan pada setiap elemen s dari S suatu bilangan riil,

disebut suatu variabel acak.

Conntoh 1 :

Misalkan sebuah koin dengan dua sisi yaitu sisi gambar (G) dan

sisi angka (A) dilemparkan sebanyak tiga kali berturut-turut.

Hasil-hasil yang mungkin terjadi adalah :

GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA

Misalkan X adalah jumlah sisi gambar yang muncul.

Nilai X yang mungkin terjadi adalah : 0, 1, 2, 3

X = 0, berarti tidak ada sisi G yang muncul.

X = 1, berarti sisi G muncul satu kali.

X = 2, berarti sisi G muncul dua kali.

X = 3, berarti sisi G muncul tiga kali.

X disebut variabel acak (random)

Distribusi Probabilitas Teoritis

Dari contoh 1 diatas, bisa dibuat tabel distribusi probabilitas

Teoritis dan diagram batang untuk variabel acak X sebagai berikut :

X P(X)

0 1/8 = 0,1250.35

0.4

0 1/8 = 0,125

1 3/8 = 0,375

2 3/8 = 0,375

3 1/8 = 0,125

Jumlah 1,000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

X=0 X=1 X=2 X=3

P(X)

Conntoh 2 :

Misalkan sebuah koin dengan dua sisi yaitu sisi gambar (G) dan

sisi angka (A) dilemparkan sebanyak 4 kali berturut-turut. Hasil-

hasil yang mungkin terjadi adalah :

Misalkan X adalah jumlah sisi gambar (G) yang muncul.

Nilai X yang mungkin terjadi adalah : 0, 1, 2, 3, 4

X=0 X=1 X=2 X=3 X=4X=0 X=1 X=2 X=3 X=4

AAAA GAAA GGAA GGGA GGGG

AGAA AGGA GGAG

AAGA AAGG GAGG

AAAG GAGA AGGG

GAAG

AGAG

1 4 6 4 1

Dari contoh 2 diatas, bisa dibuat tabel distribusi probabilitas

Teoritis dan diagram batang untuk variabel acak X sebagai berikut :

X P(X)

0 1/16 = 0,0625 0.3

0.35

0.4

0 1/16 = 0,0625

1 4/16 = 0,2500

2 6/16 = 0,3750

3 4/16 = 0,2500

4 1/16 = 0,0625

Jumlah 1,00 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

X=0 X=2 X=4

P(X)

Distribusi BinomialDistribusi Binomial atau distribusi Bernoulli (ditemukan oleh James

Bernoulli) adalah suatu distribusi teoritis yang menggunakan

variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang

berkomplemen, seperti sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat, kepala-

ekor dll.

Ciri-ciri distribusi Binomial adalah sbb :

1. Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti ya-tidak, sukses-1. Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti ya-tidak, sukses-

gagal.

2. Probabilitas suatu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap

percobaan.

3. Percobaannya bersifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan

tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya.

4. Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan

binomial harus tertentu.

Rumus Distribusi Binomial

a). Rumus binomial suatu peristiwa

Probabilitas suatu peristiwa dapat dihitung dengan mengalikan

kombinasi susunan dengan probabilitas salah satu susunan.

Berdasarkan hal tersebut, secara umum rumus dari probabilitas

binomial suatu peristiwa dituliskan :

xnxn −== xnxn

x qpCxXP −== ..)(

)!(!

!

xnx

nC n

x−

= dan q = 1 – p

Dimana :

b). Probabilitas binomial kumulatif

Probabilitas binomial kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa

binomial lebih dari satu sukses.

Probabilitas binomial kumulatif dapat dihitung dengan

menggunakan rumus :

nxnxn

x

n

x

qpCPBK −

=

∑= ..0

∑=

==n

x

xXP0

)(

)(....)2()1()0( nXPXPXPXP =++=+=+==

Contoh :

Sebuah dadu dilemparkan keatas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari

peristiwa berikut :

a). Mata dadu 5 muncul 1 kali

b). Mata dadu genap muncul 2 kali

c). Mata dadu 2 atau 6 muncul sebanyak 4 kali.

Penyelesaian :Penyelesaian :

a). Karena dadu memiliki 6 sisi, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, sehingga setiap sisi memiliki

probabilitas 1/6. Jadi, probabilitas untuk mata 1 adalah 1/6, sehigga :

p=1/6; q=5/6; n=4; x=1 (muncul 1 kali )

P(X=1) = C14.p1.q3

= 4(1/6)1(5/6)3

= 0,386

b). Mata dadu genap ada 3, yaitu 2,4, dan 6, sehingga :

p = 3/6 = 1/2; q = 1/2; n = 4; x = 2

P(X=2) = C24.p2.q2

= 6(1/2)2(1/2)2

= 0,375

c). Muncul mata dadu 2 atau 6 sebanyak 4 kali, sehngga :

p = 2/6; q = 2/3; n = 4; x = 4

P(X=4) = C44.p4.q0P(X=4) = C4 .p .q

= 1(2/6)4(2/3)0

= 0,0123

Contoh 2 :

Sebanyak 5 mahasiswa akan mengikuti ujian sarjana dan diperkirakan probabilitas

kelulusannya adalah 0,7. Hitunglah probabilitas :

a). Paling banyak 2 orang lulus.

b). Yang akan lulus antara 2 sampai 3 orang.

c). Paling sedikit 4 diantaranya lulus.

Penyelesaian :

a). n = 5 ; p = 0,7; q = 0,3; x = 0, 1 dan 2

P(X ≤ 2)= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

= 1(0,7)0(0,3)5 + 5(0,7)1(0,3)4 + 10(0,7)2(0,3)3

= 0,16

b). n = 5 ; p = 0,7; q = 0,3; x = 2 dan 3

P(X=2 & 3)= P(X=2) + P(X=3)P(X=2 & 3)= P(X=2) + P(X=3)

= 10(0,7)2(0,3)3 + 10(0,7)3(0,3)2

= 0,44

c). n = 5 ; p = 0,7; q = 0,3; x = 4 dan 5

P(X ≥ 4)= P(X=4) + P(X=5)

= 5(0,7)4(0,3)1 + 1(0,7)5(0,3)0

= 0,53

Distribusi NormalDistribusi Normal adalah salah satu distribusi teoritis dari variabel

random kontinu. Distribusi Normal sering disebut distribusi Gauss.

Distribusi Normal memiliki bentuk fungsi sebagai berikut :

µ 2)(11

−−

x

σ

µ

πσ

)(

2

1

2

1)(

−−

=x

exf

Keterangan :

X = nilai data µ = rata-rata x

π = 3,14 e = 2,71828

σ = Simpangan baku

Karakteristik Distribusi Normal

Distribusi probabilitas normal dan kurva normal yang

menyertainya memiliki beberapa karakteristik sebagai berikut :

1. Kurva normal berbentuk lonceng

2. Simetris

3. Asimtotis 3. Asimtotis

KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KURVA NORMAL

DISTRIBUSI NORMAL

µ

1. Kurva berbentuk genta (µ= Md= Mo)2. Kurva berbentuk simetris3. Kurva normal berbentuk asimptotis4. Kurva mencapai puncak pada saat X= µ5. Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai

tengah dan ½ di sisi kiri.

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

m

Mes oku r tic Pla ty ku r tic Lep toku r tic

Distribusi kurva normal dengan µ sama dan σ berbeda

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL

Mangga “C”

Mangga “B”

Mangga “A”

Distribusi kurva normal dengan µ berbeda dan σ sama

150

300

450

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL

Distribusi kurva normal dengan µ dan σ berbeda

85 850

Grafik kurva normal :

0,50,5

µµµµ

P(x≤µ) = 0,5

P(x≥µ) = 0,5

Luas kurva normal :

µµµµ

Luas kurva normal antara x=a & x=b

= probabilitas x terletak antara a dan b

a µµµµ b x

Distribusi Probabilitas Normal Baku (Standar)

Distribusi normal baku memiliki rata-rata hitung 0 dan nilai standarDistribusi normal baku memiliki rata-rata hitung 0 dan nilai standar

deviasi 1.

Nilai Z adalah jarak dari rata-rata hitung yang dihitung dalam satuan

standar deviasi.

Dalam bentuk rumus :

σ

µ−=X

Zσ

Dengan :

X adalah nilai dari suatu pengamatan atau pengukuran

tertentu.

µ Adalah rata-rata hitung dari distribusi.

σ Adalah standar deviasi dari distribusi.

TRANSFORMASI DARI NILAI X KE Z

Transformasi dari X ke Z

x z

Di mana nilai Z:

Z = X - µµµµ

σσσσ

Contoh :

1. Diketahui data berdistribusi normal dengan

mean µ = 55 dan deviasi standar = 15

a) P(55≤x≤75) =

=

= P(0≤Z≤1,33)= P(0≤Z≤1,33)

= 0,4082 (Tabel III)

Atau

Tabel III � A = 0,4082

b) P(60≤x≤80) =

= P(0,33≤Z≤1,67)

= P(0≤Z≤1,67) – P(0≤Z≤0,33)

= 0,4525 – 0,1293 = 0,3232

Z1 = = 0,33 � B = 0,1293

Z2 = = 1,67 � A = 0,4525

C = A – B = 0,3232

c) P(40≤x≤60)= A + B

=

= P(-1,00≤Z≤0,33)

= P(-1,00≤Z≤0) + P(0≤Z≤0,33)

= 0,3412 + 0,1293= 0,3412 + 0,1293

= 0,4705

Atau : Z1 = = -1,00

� A = 0,3412

Z2 = = 0,33

� B = 0,1293

d) P(x ≤ 40) = 0,5 – A

= 0,5 – 0,3412

= 0,1588

e. P(x ≥ 85)

f. P(x ≤ 85) = 0,5 + A

= 0,5 + 0,4772

= 0,9772

2) Diketahui rata-rata hasil ujian adalah 74 dengan simpangan

baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian bersidtribusi normal dan

12% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas

nilai A yang terendah ?

Jawab:

Jika 5% peserta terendah mendapat nilai E,

berapa batas atas nilai E ?

P( ≤ x ≤ 0) = 0,45

P( ≤ Z ≤ 0) = = -1,645 � (x<µ)

σ µ= .σ + µ

= (-1,645).7 + 74

= 62,485

Distribusi Binomial :

Exp : Pendekatan normal untuk binomial dengan n = 15, p

= 0,4

PENDEKATAN NORMAL UNTUK BINOMIAL

= 0,4

Menurut Teorema Limit Pusat :

Jika x suatu variable random binomial dengan

mean & variansi .

Jika n cukup besar (n>30) dan p tidak terlalu

dekat dengan 0 atau 1, maka :

Contoh :

1) Suatu pabrik/ perusahaan pembuat CD menghasilkan 10%

CD yang cacat/ rusak. Jika 100 CD dipilih secara random,

berapa probabilitas terdapat :

a) 8 CD yang rusak

b) Paling sedikit 12 CD yang rusak

c) Paling banyak 5 CD yang rusakc) Paling banyak 5 CD yang rusak

Jawab :

x = banyak CD yang rusak

x ∼ Bin(100; 0,1) n = 100, p = 0,1

µ = n.p = 100.(0,1) = 10

= n.p.(1-p)=100.(0,1).(0,9)=9 � σ = = 3

a) P(x=8) = Luas kurva normal antara x1 = 7,5

dan x2 = 8,5

Z1 = = -0,83 � A = 0,2967

Z2 = = -0,50 � B = 0,1915

P(x=8) = A – B

= 0,2967 – 0,1915 = 0,1052

b) P(x≥12) = Luas kurva normal dari

x = 11,5 ke kanan

� A = 0,1915

P(x≥12) = 0,5 – 0,1915 = 0,3085

c) P(x ≤ 5)=Luas kurva normal

dari x = 5,5 ke kiri

= -1,50

� A = 0,4332

P(x≤5) = 0,5 – 0,4332 = 0,0668

2) Dalam ujian pilihan ganda, tersedia 200

pertanyaan dengan 4 alternatif jawaban dan

hanya 1 jawaban yang benar. Jika seseorang

memilih jawaban secara random, berapa peluang dia lulus ujian (syarat lulus : benar paling sedikit 60)

Jawab :

x = banyak jawaban yang benar

P = 0,25 = ¼ � 1 – p = 0,75P = 0,25 = ¼ � 1 – p = 0,75

x ∼ Bin(200; 0,25)

µ = n.p = 50

= n.p(1-p) = 200(0,25).(0,75) = 37,5

� σ = 6,13

P(x≥60) = Luas kurva normal dari x = 59,5 ke kanan

Z1 = = 1,55

� A = 0,4394

P(x≥60) = 0,5 – 0,4394

= 0,0606

= 6,06 %