perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id prediksi … adalah model arch(1) -m. ramalan berdasar...
TRANSCRIPT
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
PREDIKSI HARGA SAHAM TELKOM DENGAN ARCH
DHESI LILIA AYU NAWANGSARI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA
PREDIKSI HARGA SAHAM TELKOM DENGAN ARCH-M
Oleh
DHESI LILIA AYU NAWANGSARI
M0106036
SKRIPSI
iajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA
2011
M
ALAM
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
SKRIPSI PREDIKSI HARGA SAHAM TELKOM DENGAN ARCH-M
yang disiapkan dan disusun oleh
DHESI LILIA AYU NAWANGSARI
M0106036
dibimbing oleh
telah dipertahankan di depan Dewan Penguji
pada hari Rabu, tanggal 19 Januari 2011
dan dinyatakan telah memenuhi syarat.
Anggota Tim Penguji Tanda Tangan
1. Drs. Sugiyanto, M.Si
NIP. 19611224 199203 1 003
1. …………………
2. Dra. Yuliana Susanti, M.Si
NIP. 19611219 198703 2 001
2. …………………
3. Drs. Santosa B. W, M.Si
NIP. 19620203 199103 1 001
3. …………………
Surakarta, Januari 2011
Disahkan oleh
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Pembimbing I
Winita Sulandari, M.Si
NIP. 19780814 200501 2 002
Pembimbing II
Sri Kuntari, M.Si
NIP. 19730225 199903 2 001
Dekan,
Prof. Drs. Sutarno, M.Sc., Ph.D
NIP. 19600809 198612 1 001
Ketua Jurusan Matematika,
Drs. Sutrima, M.Si
NIP. 19661007 199302 1 001
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ABSTRAK
Dhesi Lilia Ayu Nawangsari. 2011. PREDIKSI HARGA SAHAM TELKOM DENGAN ARCH-M. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.
ABSTRAK. Harga saham pada TELKOM merupakan deretan observasi variabel random yang dapat dinyatakan sebagai data runtun waktu karena merupakan himpunan observasi yang terurut. Dalam data finansial khususnya data harga saham TELKOM biasanya data tersebut mengandung unsur heteroskedastisitas. Heteroskedastisitas menggambarkan suatu fluktuasi harga yang berubah-ubah dari waktu ke waktu. Keadaan demikian dapat diestimasi menggunakan model Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH). Model ini pertama kali dikembangkan oleh Engle (1982). Gagasan dari Engle, et al (1987) tersebut kemudian digunakan untuk mengembangkan suatu model yang disebut Autoregressive Conditional Heteroscedasticity in Mean (ARCH-M). Model ARCH-M adalah model dengan variansi bersyarat atau deviasi standar dimasukkan ke dalam persamaan mean. Data yang digunakan adalah data mingguan tanggal 25 Februari 2008 sampai 12 April 2010 (http://finance.yahoo.com/q/pr?s=TLK). Hasil penelitian bahwa model yang cocok adalah model ARCH(1)-M. Ramalan berdasar model tersebut untuk harga saham TELKOM bulan April sampai Mei 2010 mempunyai nilai MSE adalah Rp 2.387,00.
Kata kunci : Heteroskedastisitas, ARCH, ARCH-M.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ABSTRACT
Dhesi Lilia Ayu Nawangsari. 2011. TELKOM STOCK PRICE PREDICTION USING ARCH-M. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Sebelas Maret University.
ABSTRACT. The price of stock in TELKOM is the observation sequence of
random variables that can be expressed as data time series because it is the set of
ordered observations. In financial data specially the price of stock in TELKOM
typically contains data heteroscedasticity. Heteroscedasticity describes a
fluctuation prices from time to time. Such circumstances can be estimated
Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model (ARCH). It was first
develop by Engle (1982). The idea of Engle, et al (1987) is then used to develop a
model that called Autoregressive Conditional Heteroscedasticity in Mean (ARCH-
M). ARCH-M is a model with a conditional variance or standard deviation into in
the mean equation. The data used are weekly data on 25 February 200 until 12
April 2010 (http://finance.yahoo.com/q/pr?s=TLK). The study show that a
suitable model is the ARCH(1)-M model. Forecast based model for the price of
TELKOM stock from April to May 2010 MSE value is Rp 2.387.00.
Keywords: Heteroscedasticity, ARCH, ARCH-M.
.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan kepada:
v Keluargaku,khususnya ibu dan bapak tersayang. Terima
kasih doa dan semangatnya.
v Teman-temanku. Terima kasih atas dukungan dan
kerjasamanya.
v Seseorang yang telah membantuku. Terima kasih
dukungan dan bantuannya.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan
rahmat dan hidayahNya sehingga penulis berhasil menyelesaikan skripsi ini.
Keberhasilan dalam penyusunan skripsi ini tidak terlepas dari bantuan
banyak pihak. Penulis menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah
memberikan dukungan, bimbingan, petunjuk dan juga saran selama penyusunan
skripsi ini, antara lain kepada
1. Ibu Winita Sulandari, M.Si sebagai Pembimbing I yang telah memberikan
saran, arahan, dukungan semangat dan bimbingan dalam penulisan skripsi
ini.
2. Ibu Sri Kuntari, M.Si sebagai Pembimbing II yang telah dengan sabar,
memberikan semangat dan memberikan bimbingan dalam penulisan
skripsi ini.
3. Teman-teman angkatan 2006 yang selalu kompak.
4. Semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini.
Semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca.
Surakarta, Januari 2011
Penulis
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ....................................................................................... i
PENGESAHAN………………………………………………………………. ii
ABSTRAK. ...................................................................................................... iii
ABSTRACT ....................................................................................................... iv
PERSEMBAHAN..................................................................................... ....... v
KATA PENGANTAR ..................................................................................... vi
DAFTAR ISI .................................................................................................... vii
DAFTAR TABEL ............................................................................................ ix
DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... x
DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL ................................................................ xi
BAB I PENDAHULUAN ...................................................................... 1
1.1 Latar Belakang Masalah ........................................................ 1
1.2 Perumusan Masalah .............................................................. 2
1.3 Tujuan Penelitian .................................................................. 2
1.4 Manfaat Penulisan ................................................................. 2
BAB II LANDASAN TEORI .................................................................. 3
2.1 Tinjauan Pustaka ................................................................... 3
2.1.1 Ruang Sampel........................................................ ..... 3
2.1.2 Variabel Random.................................................... .... 3
2.1.3 Uji Akar Unit .............................................................. 4
2.1.4 Log Return dan Fluktuasi Harga............................... . 4
2.1.5 Fungsi ACF dan PACF ............................................... 5
2.1.6 Model AR ................................................................... 6
2.1.7 Estimasi Parameter AR(1).. ........................................ 7
2.1.8 Uji Autokorelasi Eror ................................................. 8
2.1.9 MSE Model ................................................................. 8
2.1.10 Uji Heteroskedastisitas ............................................. 9
2.1.11 Fungsi Maksimum Likelihood................................ . 9
2.1.12 Model ARCH(q)........................................................ 11
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
2.2 Kerangka Pemikiran .............................................................. 11
BAB III METODOLOGI PENELITIAN .................................................. 13
BAB IV PEMBAHASAN ......................................................................... 15
4.1 Pembentukan Model ARCH(q)-M ..................................... .. 15
4.2 Estimasi Model ARCH(1)-M............................................. ... 16
4.3 Contoh Penerapan.......... ....................................................... 21
4.3.1 Deskripsi Data .................................................................... 21
4.3.2 Log Return dan Fluktuasi Harga ........................................ 22
4.3.3 Pembentukan Model Stasioner ........................................... 23
4.3.4 Uji Heteroskedastisitas ....................................................... 26
4.3.5 Pembentukan Model Heteroskedastisitas ........................... 26
4.3.6 Peramalan ........................................................................... 28
BAB V PENUTUP ................................................................................... 30
5.1 Simpulan ............................................................................... 30
5.2 Saran...................................................................................... 30
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 31
LAMPIRAN .................................................................................. ........ 32
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Sifat-sifat Teoritis ACF dan PACF untuk Proses Stasioner ......... 7
Tabel 4.1 Hasil Estimasi Model AR(1) pada Data Log Return.................... 24
Tabel 4.2 Uji Breusch-Godfrey Eror Model AR(1).................................... .. 24
Tabel 4.3 Uji Pengali Lagrange ARCH untuk Eror Model AR(1)................ 25
Tabel 4.4 Hasil Estimasi Model Model ARCH(1) dan ARCH(1)-M............. 26
Tabel 4.5 Uji ARCH LM Model ARCH(1)-M ............................................. 27
Tabel 4.6 Korelogram Eror Kuadrat yang Distandarsasi .............................. 27
Tabel 4.7 Hasil Peramalan Harga Saham TELKOM Bulan April sampai
Mei 2010 ..................................................................................... 29
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
DAFTAR GAMBAR
Gambar 4.1 Plot Harga Saham TELKOM................................................. ... 22
Gambar 4.2 Plot Log Return Harga Saham TELKOM ................................. 22
Gambar 4.3 Plot ACF Log Return Harga Saham TELKOM ........................ 23
Gambar 4.4 Plot PACF Log Return Harga Saham TELKOM...................... 23
Gambar 4.5 Histogram Distribusi Normal Eror AR(1)................................. 25
Gambar 4.6 Histogram Distribusi Normal Eror Model ARCH(1)-M ........... 28
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL
: bilangan real Æ迫 : data pengamatan ke t
T : ukuran sampel 棍崎,(飘能囊) : distribusi Student-t dengan derajat bebas T-1 ƅ迫 : log return 刮( ) : harga harapan 幌 : rata-rata ℎ迫挠 : variansi ¦k : autokovariansi pada lag-k
ρ浓 : autokorelasi pada lag-k Φkk : autokorelasi parsial 顾 : operator Backshift
: parameter AR 凰 : parameter MA
p : order parameter AR
q : order parameter MA 管∗ : jumlah kuadrat eror 蝗迫 : eror model rata-rata bersyarat pada waktu t 观挠 : koefisien determinasi 悔k挠 : distribusi Chi-Squared dengan derajat bebas k
t* : statistik uji Breusch-Godfrey 谎 : statistik uji pengali Lagrange 慧迫 : himpunan semua informasi 蝗迫 pada waktu sampai di t N(0, h疟挠) : distribusi normal dengan rata-rata nol dan variansi h疟挠 荒 : vektor parameter variansi model ¦ : vektor parameter variansi model 慌 : konstanta variabel eksogen 贯迫 : variabel eksogen
Â
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
j : parameter conditional variance 灌 : matriks identitas ∅ : kombinasi parameter (荒,慌, ¦, j) 拐迫 : fungsi likelihood ℘迫 : matriks informasi
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
PT Telekomunikasi Indonesia, Tbk. (TELKOM) merupakan perusahaan
bisnis T.I.M.E (Telecomunication, Information, Media and Edutainment) yang
terbesar di Indonesia. Harga saham pada PT TELKOM merupakan deretan
observasi variabel random yang dapat dinyatakan sebagai data runtun waktu
karena merupakan himpunan observasi yang terurut. Indeks harga saham adalah
suatu indikator yang menunjukkan pergerakan harga saham.
Dalam analisis perilaku data runtun waktu di sektor finansial misalnya
harga saham, nilai tukar rupiah, inflasi, suku bunga dsb, peneliti seringkali
ditemukan bahwa kemampuan atau presisi peramalan berubah-ubah dari waktu ke
waktu. Misalnya, pada satu periode peramalan mengalami kesalahan yang kecil
tetapi di waktu lain mengalami kesalahan yang cukup besar. Variabilitas ini
disebabkan bahwa volatilitas di dalam pasar finansial sangat sensitif terhadap
perubahan-perubahan kebijakan fiskal dan moneter, ketidakstabilan politik bahkan
yang sifatnya sekedar rumor. Kondisi tersebut berbeda dengan asumsi yang
selama ini menjadi kajian ekonometrika, yakni data runtun waktu
kecenderungannya mempunyai varian kesalahan penganggu atau eror yang
konstan dari waktu ke waktu.
Berdasarkan kenyataan tersebut, dalam bahasa ekonometrika berarti
bahwa varian dari data runtun waktu ini tidak konstan, tetapi berubah-ubah dari
satu periode ke periode yang lain. Model runtun waktu yang dapat mengestimasi
perilaku tersebut adalah model Autoregressive Conditional Heteroscedasticity
(ARCH). Model ini pertama kali dikembangkan oleh Engle (1982). Gagasan dari
Engle, et al (1987) tersebut kemudian digunakan untuk mengembangkan suatu
model yang disebut dengan model Autoregressive Conditional Heteroscedasticity
in Mean (ARCH-M). Model ARCH-M adalah model dengan variansi bersyarat
atau deviasi standar dimasukkan ke dalam persamaan mean.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Data PT TELKOM tersebut merupakan data finansial yang mengandung
unsur heteroskedastisitas. Model yang cocok kemudian digunakan untuk
meramalkan data. Data yang digunakan adalah data mingguan tanggal 25 Februari
2008 sampai 12 April 2010. Data diambil dari alamat web
http://finance.yahoo.com/q/pr?s=TLKM.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah, disusun perumusan masalah sebagai
berikut
1. Bagaimana model ARCH-M yang sesuai dengan data saham PT
TELKOM ?
2. Bagaimana hasil peramalan harga saham PT TELKOM bulan April
sampai Mei 2010?
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini antara lain
1. Dapat menentukan model ARCH-M yang sesuai dengan saham PT
TELKOM.
2. Meramalkan data harga saham PT TELKOM bulan April sampai
Mei 2010.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah hasil peramalan harga
saham PT TELKOM yang diperoleh dapat menjadi pertimbangan dalam
mengindikasi kondisi harga saham pada periode selanjutnya serta penelitian yang
dilakukan diharapkan dapat memberikan pemahaman mengenai pemodelan data
menggunakan ARCH-M.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Tinjauan Pustaka
Pada sub bab ini dikemukakan beberapa teori yang mendasari pembahasan
pemodelan volatilitas harga saham dengan variansi heteroskedastisitas bertipe
ARCH-M. Teori yang relevan dalam penelitian ini meliputi tentang Ruang
Sampel, Variabel Random, Uji Akar Unit, Log Return dan Fluktuasi Harga,
Fungsi ACF dan PACF, Model ARMA, Uji Autokorelasi, Uji Heteroskedastisitas,
Fungsi Maksimum Likelihood, Model ARCH.
2.1.1 Ruang Sampel
Menurut Bain dan Engelhardt (1992), jika dilakukan suatu pengamatan
terhadap data, maka himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu
pengamatan dinamakan ruang sampel dan dinotasikan dengan S.
2.1.2 Variabel Random
Variabel R dikatakan variabel random jika suatu fungsi yang terdefinisi
dalam ruang sampel S, mempunyai hubungan dengan bilangan real sehingga
R(e)= r untuk setiap e dalam S. Jika himpunan dari semua nilai yang mungkin
dalam variabel random R merupakan himpunan terhitung r1,r2,...,rT maka R
disebut variabel random diskrit, tetapi jika semua nilai yang mungkin dalam
variabel random R adalah himpunan tak terhitung, misalkan ),( bar Î dengan r, a
dan b real, maka R disebut variabel random kontinu. Bain dan Engelhardt (1992),
menyajikan fungsi densitas probabilitas dari R sebagai f(r)= P[R = r], r =
r1,r2,...,rT untuk R diskrit dan ),( baxÎ untuk R kontinu, dan mempunyai sifat
1. ÂÎ"³ rrf 0)(
2. 1)( =å"r
rf untuk R variabel random diskrit, dan
3. 1)( =ò"r
rf untuk R variabel random kontinu.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Setelah variabel random R dengan himpunan terurut r1,r2,...,rT didapatkan
langkah selanjutnya menguji kestasioneran data dengan menggunakan uji akar
unit.
2.1.3 Uji Akar Unit
Kebanyakan dalam data runtun waktu di sektor finansial cenderung tidak
stasioner dalam mean. Untuk mengetahui kestasioneran data dapat digunakan uji
akar unit (Tsay, 2002) dengan hipotesis sebagai berikut
H0 : 1=f (data mempunyai akar unit / tidak stasioner)
H1 : 1<f (data tidak mempunyai akar unit / stasioner)
Statistik uji dengan Augmented Dickey-Fuller (ADF) atau rasio t dirumuskan
sebagai berikut
ADF =
1
)(
1
)(1
1
21
1
21
11
-
-
-
=-
å
å
å
=-
=-
=-
T
PP
P
PP
T
ttt
T
tt
T
ttt
ffs
f (2.1)
dengan P0 = 0, T adalah ukuran sampel, dan Pt adalah harga saham TELKOM.
H0 akan ditolak jika ADF > )1(, -Tta .
Apabila dari data harga saham TELKOM tersebut belum stasioner dalam
mean dan variansi maka dilakukan transformasi data. Tranformasi dengan
mnggunakan log return.
2.1.4 Log Return dan Fluktuasi Harga
Dalam analisis finansial time series (data runtun waktu keuangan), yang
menjadi pusat perhatian adalah fluktuasi harga yang terjadi. Pada dasarnya jika
harga saham TELKOM merupakan fungsi waktu t, yang dinotasikan dengan
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
P = P(t) = Pt
maka fluktuasi harga saham TELKOM merupakan variabel yang menunjukkan
naik turunnya harga sebagai dampak dari mekanisme pasar yang ada. Secara
umum, fluktuasi harga saham dapat didefinisikan sebagai perubahan harga saham
terhadap waktu t yaitu
1--=D ttt PPP .
Pendekatan untuk fluktuasi harga adalah perubahan relatif atau return yaitu
1-
=t
tt P
Pr . (2.2)
Pada kenyataannya harga saham yang diperoleh dengan nominal yang
cukup besar sehingga untuk mempermudah perhitungan digunakan log return
1
1
logloglog
)log(log
-
-
-=
=
ttt
t
tt
PPr
P
Pr
(2.3)
Selain itu log return juga bermanfaat untuk menjadikan data stasioner terhadap
rata-rata (Tsay, 2002).
Sebelum memodelkan ARCH-M, terlebih dahulu menentukan model rata-
rata bersyarat. Dalam memodelkan rata-rata bersyarat ARMA diperlukan suatu
alat yaitu ACF dan PACF.
2.1.5 Fungsi ACF dan PACF
Fungsi autokorelasi adalah fungsi yang menunjukkan besarnya korelasi
antara pengamatan pada waktu ke-t dengan pengamatan waktu sebelumnya.
Sedangkan PACF adalah fungsi yang menunjukkan besarnya korelasi parsial
antara pengamatan waktu ke-t dengan pengamatan waktu sebelumnya.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Menurut Cryer (1986) proses tr dikatakan stasioner apabila
2)(,)( sm == tt rVarrE adalah konstan dan
kkttktt rrErrCov gmm =--= ++ ),(),( ,
dengan ),( st rrCov adalah fungsi dari selisih waktu |棍− 滚|. Korelasi antara ktt rdanr + adalah
0)var()var(
),cov(),(
gg
r k
ktr
kttkttk
rr
rrrrcorr ===
+
++ ,
dengan )()(0 ktt rVarrVar +==g dan kr adalah fungsi autokorelasi atau ACF.
Autokorelasi parsial antara ktt rdanr + adalah korelasi antara ktt rdanr +
setelah ketergantungan linearnya dengan 121 ,...,, -+-- kttt rrr dihilangkan.
Autokorelasi parsial antara ktt rdanr - dinotasikan dengan
1
1
1
1
1
1321
2311
1221
1321
2311
1221
rrrr
rrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrr
KMMMMMM
KKK
MMMMMMKK
---
--
--
---
-
-
=F
kkk
kk
kk
kkkk
k
k
kk
Φkk disebut fungsi autokorelasi parsial atau PACF.
Apabila sudah didapatkan plot ACF dan PACF, maka langkah selanjutnya
memodelkan rata-rata bersyarat AR.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
2.1.6 Model AR
Menurut Cryer (1986), model AR(p) secara umum dinotasikan sebagai
berikut
tptpttt rrrr efff ++++= --- ...2211
<=>
<=> ttP
P rBBB efff =---- )...1( 221
<=> ttrB ef =)(
dengan RP Îfff ,...,21 , dan te adalah proses white noise dengan rata-rata nol.
Proses AR(p) akan stasioner jika akar dari 0)( =Bf terletak di luar lingkaran
satuan yaitu 1>iB , i =1,2,...,p. Tabel 2.1 merupakan ringkasan sifat teoritis ACF
dan PACF untuk proses stasioner (Tarno, 2008).
Tabel 2.1. Sifat-Sifat Teoritis ACF dan PACF untuk Proses-Proses Stasioner
Proses ACF PACF
AR(p) Meluruh secara eksponensial
menuju nol
Terputus setelah lag-p
MA(q) Terputus setelah lag-q Meluruh secara eksponensial
menuju nol
ARMA(p,q) Meluruh menuju nol
kemudian terputus setelah lag-
(q-p)
Meluruh menuju nol kemudian
terputus setelah lag-(q-p)
Untuk mengetahui model AR yang diperoleh tersebut cocok digunakan
untuk memodelkan harga saham TELKOM, maka dilakukan estimasi parameter.
tptpttt rrrr efff =---- --- ...2211
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
2.1.7 Estimasi Parameter AR(1)
Estimasi parameter untuk AR(1) menggunakan metode kuadrat terkecil.
Menurut Cryer (1986), estimasi parameter kuadrat terkecil yaitu dengan
meminimumkan jumlahan kuadrat dari eror. Untuk model AR(1)
.
Kemudian meminimumkan jumlah kuadrat dari )( 1 mfme ---= -ttt rr yang
merupakan eror dari AR(1). Rumus dari jumlah kuadrat eror adalah
( )[ ]2
21* )(),( å
=- ---=
n
ttt rrS mfmmf (2.4)
dengan memilih nilai m) dan f)
yang dapat meminimumkan ),(* mfS dengan
rumus
å
å
å å
=-
=-
= =-
-
--=
--
-=
T
tt
T
ttt
T
t
T
ttt
rr
rrrr
n
rr
2
21
21
2 21
)(
))((
)1)(1(
f
f
fm
)
)
dengan
åå=
-
= -»
-»
T
t
tT
t
t
T
r
T
rr
2
1
2 11.
Setelah diperoleh model AR yang cocok, kemudian melakukan uji
autokorelasi eror. Apabila eror AR (1) tidak memiliki autokorelasi maka model
AR(1) dikatakan baik.
ttt rr emfm +-=- - )( 1
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
2.1.8 Uji Autokorelasi Eror
Autukorelasi merupakan korelasi antara anggota serangkaian observasi
yang diurutkan menurut waktu. Model rata-rata beryarat dikatakan baik apabila
eror yang dihasilkan sudah tidak memiliki autokorelasi. Menurut William H.G
(1993) dapat diuji menggunakan uji Breusch-Godfrey, hipotesisnya adalah
H0 : tidak terdapat autokorelasi di dalam eror model rata-rata bersyarat
H1 : terdapat autokorelasi di dalam eror model rata-rata bersyarat.
Statistik uji Breusch-Godfrey adalah sebagai berikut
t* = (T – k)R2 (2.5)
dengan T adalah ukuran sampel, k adalah jumlah lag dan R2 adalah koefisian
determinasi dari model regresi. H0 akan ditolak jika t* > 2kc .
Dalam pembahasan skripsi ini menggunakan uji F, adapun hubungan
antara uji F dan 2kc adalah jika 2
1kc dan 2
2kc variabel chi-kuadrat yang
didistribusikan secara independen dengan derajat bebas secara berturut-turut k1
dan k2 , variabel
瓜= 恰塞前潜恰塞潜潜 (2.6)
mengikuti distribusi F dengan derajat bebas k1 dan k2 (Gujarati, D., 1978).
Selain menguji autokorelasi eror dalam model AR(1) menghitung pula
nilai MSE model. Apabila nilai dari MSE kecil maka model tersebut baik
digunakan.
2.1.9 MSE Model
Menurut John E. H (2005) untuk melihat kecocokan model dapat dilihat
dari nilai MSE yang lebih kecil, dengan rumus
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
( ) ÷ø
öçè
æ-= å
=
T
ttt PP
TMSE
1
2ˆ1 (2.7)
dengan Pt adalah data observasi waktu ke-t, tP̂ adalah nilai ramalan waktu ke-t
dan T adalah banyak sampel.
Setelah melakukan uji autokorelasi eror dan menghitung nilai MSE,
kemudian menguji efek heteroskedastisitas dalam eror dengan menggunakan uji
ARCH LM.
2.1.10 Uji Heteroskedastisitas
Unsur homokedastisitas merupakan salah satu asumsi yang harus dipenuhi
oleh suatu model regresi linear agar estimasi model memiliki sifat Best Linear
Unbiased Estimator (BLUE). Heteroskedastisitas adalah keadaaan suatu data yang
tidak memenuhi asumsi homokedastisitas yaitu variansi eror untuk setiap variabel
bebas rt yang diketahui tidak konstan atau �Ǵƅ纵蝗平邹= Ε纵蝗平挠邹= 徽平挠, 轨= 1,2, …馆
dengan T adalah ukuran sampel.
Menurut William H.G (1993), menguji ada tidaknya efek
heteroskedastisitas dengan menggunakan uji ARCH Lagrange Multiplier (LM)
dengan uji hipotesis adalah
H0 = α1 = α2 = … = αq (tidak ada efek ARCH sampai lag-q)
H1 : paling sedikit terdapat satu αk ≠0, k = 1,2, …, q.
Menggunakan asumsi normalitas, statistik uji yang digunakan adalah
2TR=x (2.8)
dengan T adalah ukuran sampel dan R2 adalah koefisian determinasi data dengan
model. H0 akan ditolak jika 2kcx > . Hubungan antara uji F dan 2
kc dapat dilihat
pada persamaan (2.6).
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Karena parameter dari model ARCH-M tersebut tidak diketahui maka
dilakukan estimasi parameter menggunakan estimasi maksimum Likelihood.
2.1.11 Fungsi Maksimum Likelihood
Suatu variabel random TRRR ,...,, 21 dari suatu distribusi memiliki fungsi
densitas probabilitas );( frf , dengan f merupakan suatu parameter yang tidak
diketahui. Fungsi densitas probabilitas bersama dengan ukuran sampel T dari
variabel random TRRR ,...,, 21 yang dievaluasi pada Trrr ,...,, 21 adalah
);()...,();();,...,,( 2121 ffff TT rfrfrfrrrf =
Menurut Bain dan Engelhardt (1992) fungsi likelihood didefinisikan
sebagai fungsi densitas probabilitas bersama dari Trrr ,...,, 21 yang dapat dianggap
sebagai fungsi f dan dinotasikan dengan )(fL .
);(
);()...;();();,...,,()(
1
2121
f
fffff
i
T
i
TT
rf
rfrfrfrrrfL
Õ=
=
==
Estimasi maksimum likelihood dari f adalah nilai f̂ pada )(fL yang maksimum
);,...,,(max)ˆ;,...,,( 2121 ff TT rrrfrrrf =
Nilai f̂ yang akan memaksimumkan )(fL dapat diperoleh dengan mencari solusi
dari persamaan
0)(ˆ
=¶¶ ff
L
atau sering menggunakan
.0)(logˆ
=¶¶ ff
L (2.9)
Setelah log )(fL diturunkan terhadap parameter f akan didapatkan nilai f̂ yang
dapat memaksimumkan fungsi dari )(fL . Nilai dari log )(fL tidak mungkin
bernilai negatif, sehingga prinsip dari log likelihood yaitu memaksimumkan akan
terpenuhi.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Dalam fungsi likelihood diasumsikan data mempunyai distribusi normal.
Bain dan Engelhardt (1992), mendefinisikan suatu variabel random R berdistribusi
normal dengan mean 幌 dan variansi 2th dinotasikan ),(~ 2
thNR m dan mempunyai
fungsi densitas probabilitas
2
2)(21
2
2
2
1),;( th
r
t
t eh
hrfm
pm
--
=
dengan ¥££¥- r , 幌 dan h adalah parameter yang masing-masing
mempunnyai nilai −∞ ≤ 幌≤ ∞ dan ¥££¥- 2th .
Selanjutnya model ARCH yang diperkenalkan pertama kali oleh Engle
(1982), model tersebut dapat mengestimasi adanya suatu efek heteroskedastisitas.
2.1.12 Model ARCH (q)
Model ARCH dapat dinyatakan dalam bentuk regresi linear. Misalkan
terdapat deret runtun waktu yaitu log return {rt}. Rata-rata rt diasumsikan sebagai
tXb ¢ yang merupakan kombinasi linear dari lag variabel eksogen dan dimasukkan
dalam himpunan informasi 1-ty dengan b ¢ vektor parameter yang tidak
diketahui. Menurut Engle (1982), model ARCH(q) adalah
ttt
tttr
Xr
hXNr
eb
by
+¢=
¢- ),(~ 21
å=
-
--
+=
+++=q
kktk
qtqtth
1
20
22110
2 ...
eaa
eaeaa
(2.10)
dengan b ¢ adalah vektor parameter yang belum diketahui, Xt adalah variabel
eksogen, q adalah orde dari proses ARCH, a merupakan parameter variansi yang
tidak diketahui dengan 0a > 0 dan, dan te adalah eror dari model.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
2.2 Kerangka Pemikiran
Data harga saham TELKOM merupakan deretan observasi variabel random
yang dapat dinyatakan sebagai data runtun waktu karena merupakan himpunan
observasi terurut. Data ini ditransformasi ke dalam bentuk log return untuk
mengecilkan data. Transformasi ini mengakibatkan data stasioner dalam rata-rata
tetapi memiliki variansi tidak konstan.
Model yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah ARCH-M. Model
ini memerlukan asumsi eror model rata-rata bersyarat tidak memiliki autokorelasi.
Langkah pertama dalam pembentukan model ARCH-M adalah menguji
kestasioneran data. Apabila data belum stasioner maka dilakukan transformasi.
Transformasi yang dapat dilakukan dengan mengubah data ke dalam bentuk log
return. Setelah itu, langkah berikutnya adalah mencari model rata-rata bersyarat
AR. Eror model AR yang telah diperoleh harus diuji efek heteroskedastisitas.
Apabila terdapat efek heteroskedastisitas, maka langkah selanjutnya adalah
mengestimasi parameter model ARCH. Disisi lain juga mengestimasi model
ARCH-M dan melakukan uji diagnostik model. Model ARCH-M digunakan
untuk meramalkan data. Model yang baik adalah model yang memiliki nilai
peramalan mendekati nilai data asli.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
Pada penelitian ini, metode yang digunakan adalah studi literatur yang
diaplikasikan pada data harga saham mingguan PT TELKOM. Data diambil pada
tanggal 25 Februari 2008 sampai dengan 12 April 2010 diakses tanggal 12 April
2010 (http://finance.yahoo.com/q/pr?s=TLKM).
Langkah-langkah pemodelan dan peramalan menggunakan model ARCH-M
adalah sebagai berikut.
1. Membuat plot data kemudian melakukan uji stasioneran dengan
menggunakan uji akar unit pada persamaan (2.1) untuk melihat
kestasioneran data terhadap rata-rata dan variansi.
2. Mentransformasikan data dalam bentuk log return pada persamaan (2.3),
sehingga data menjadi stasioner dalam rata-rata tetapi variansi tidak
konstan.
3. Menganalisis model AR.
a. Membuat plot ACF dan PACF untuk mengidentifikasi model awal
AR yang digunakan untuk memodelkan proses rata-rata bersyarat
dari data.
b. Mengestimasi parameter model AR dengan Metode Kuadrat
Terkecil dengan persamaan (2.4).
c. Melakukan pemeriksaan diagnostik model dengan uji statistik
Breusch-Godfrey pada persamaan (2.5) untuk mengetahui apakah
sudah layak model tersebut digunakan dan menentukan nilai MSE
yang lebih kecil dari persamaan (2.7).
4. Menganalisis model ARCH-M.
a. Mengidentifikasi model dengan memeriksa autokorelasi dalam
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
kuadrat eror model rata-bersyarat, jika memiliki autokorelasi berarti
terdapat efek heteroskedastisitas dalam eror model rata-rata
bersyarat. Efek heteroskedastisitas dapat diuji dengan uji Lagrange
Multiplier (LM) pada persamaan (2.8).
b. Mengestimasi model dengan Estimasi Maksimum Likelihood
dengan persamaan (2.9). Menentukan model ARCH-M yang dapat
digunakan untuk memodelkan heteroskedastisitas dari eror model
rata-rata bersyarat.
c. Melakukan pemeriksaan diagnostik.
i. Memeriksa apakah sudah tidak ada efek heteroskedastisitas
dalam eror terstandar menggunakan uji LM.
ii. Memeriksa asumsi distribusi dari eror terstandar.
5. Melakukan peramalan.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
BAB IV
PEMBAHASAN
4.1 Pembentukan Model ARCH(q)-M
Menurut Engle, et al (1987) model ARCH-M secara umum dapat
dituliskan sebagai berikut
tttr em += (4.1)
dengan rt adalah return yang diharapkan, tm adalah conditional mean, dan te
adalah eror model.
Spesifikasinya diambil rata-rata sebagai fungsi linier dari variansinya,
sehingga jika ht adalah conditional variance dari te maka conditional mean dapat
dituliskan sebagai berikut
0,)()( >-+¢-= ddbm ttt hX (4.2)
dengan b ¢ adalah konstanta yang tidak diketahui, Xt adalah variabel eksogen, dan
d adalah parameter conditional variance.
Premi resiko adalah fungsi naik dari conditional variance, dengan kata lain
semakin besar return dari conditional variance semakin besar pula ganti rugi yang
diperlukan (Engle, et al ,1987).
Persamaan (4.1) dapat dijabarkan menjadi
tttt hXr edb +-+¢-= )()( (4.3)
dengan ttt hu=e , Xt adalah variabel eksogen yang merupakan nilai dari rt-1 dan
th 2 adalah conditional variance.
Sehingga model ARCH(q)-M dapat dituliskan pada persamaan (4.1)
dengan conditional variance pada persamaan (2.9). Secara sederhana model
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ARCH-M terbentuk jika variansi bersyarat ht dimasukkan dalam persamaan
mean rt .
4.2 Estimasi Model ARCH(1)-M
Jika suatu eror dari model regresi mengikuti proses ARCH, maka dengan
asumsi normalitas dan didefinisikan ty sebagai himpunan informasi yang
diketahui pada waktu ke-t, maka distribusi bersyarat dari eror ARCH(1)-M adalah
),0(~ 21 ttt hN-ye
dengan fungsi densitas sebagai berikut
2
2
21
212
1)( t
t
h
t
tt eh
fe
pye
-
- = .
Diberikan model ARCH(q)-M secara umum
),(~ 21 ttt hN mye - dengan )()( ttt hX -+¢-= dbm
tttt hXr edb +-+¢-= )()(
ttt ZWh ga h ¢+¢=2
dengan
b : parameter dari variabel eksogen yang tidak diketahui dengan ordo vektor
1´k
Xt : variabel eksogen yang merupakan nilai dari rt-1 dengan ordo vektor 1´k
d : parameter conditional variance dengan ordo vektor 1´l
ht : conditional variance
Zt : vektor konstan dari ht dengan ordo 1´j
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
W : matriks identitas untuk menentukan parameter dengan ordo pq ´
a : vektor parameter variansi yang tidak diketahui dengan ordo 1´q
g : vektor parameter variansi yang tidak diketahui dengan ordo 1´j
f : kombinasi dari parameter ( dgba ,,, ).
Vektor 1´p 221 ,..., qttt --=¢ eeh dengan te adalah eror dari
tttttt hXrhXr dbdb +¢+=--¢-- )()( . Parameter ini dapat dikombinasi ke dalam
),,,()
dgbaf ¢¢¢=¢ dengan vektor 1´m dimana lkjqm +++= .
Fungsi likelihood dapat dinyatakan dengan
( ) ( )ff å=t
tLL ,
dan misal Lt adalah fungsi log likelihood untuk observasi ke-t adalah
( ) ( )
( )
2
2
2
2
2
22
12
2
21
log)2log(21
21
log)2log(21
21
exp2log
)),()((log)(
t
tt
t
tttt
t
tttt
tttt
hh
h
hXrh
h
hXrh
hhXfL
ep
dbp
dbp
dbf
---=
=¢+---=
÷÷ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ +¢+-=
-+¢-=
-
(4.4)
dengan menghilangkan bentuk konstan dari persamaan (4.4) karena dianggap
tidak berpengaruh maka persamaan (4.4) dapat ditulis sebagai berikut
( ).
21
log
21
log)(
2
2
2
2
t
tttt
t
ttt
h
hXrh
hhL
db
ef
+¢+--=
--=
(4.5)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Untuk mengetahui estimasi parameter ),,,( dgbaf)))))
= terlebih dahulu persamaan
(4.5) diturunkan terhadap masing-masing parameter.
a. Persamaan (4.5) diturunkan terhadap parameter b)¢
( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )24
24
22
2
211
22
211
)()()(
t
ttttt
t
tttttttt
t
t
ttttt
t
tttttttt
t
tt
t
tttt
h
XhXrh
h
hXrhhXrh
h
h
XhXrh
h
hhXrhhXr
h
Lh
h
hLhL
dbb
dbddb
dbb
dbddb
bb
bb
+¢+-¢¶
¶÷÷ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ +¢+-+¢+--=
+¢+-¢¶
¶÷÷ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ +¢+-+¢+--=
¢¶
¢¶+¢¶
¶¶¶
=¢¶
¶
)
)
)))
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )24
222
22
22
2
22
2
22
23
)(21
1)(
21)(
11
11
_1
t
tt
t
ttttt
t
tt
t
tttt
t
tt
t
tt
t
tttt
t
t
tt
t
tttt
t
t
ttt
t
ttt
t
hX
hhhh
h
X
h
hh
h
hL
h
X
h
hhh
h
X
h
hhh
h
Xh
h
hh
eedeb
eedebb
eedeb
eedeb
eb
ede
-÷÷ø
öççè
æ -+-¢¶
¶=
-÷÷ø
öççè
æ-
+-¢¶
¶=
¢¶¶
-÷÷ø
öççè
æ-
+-¢¶
¶=
-÷÷ø
öççè
æ-
--¢¶
¶=
-¢¶
¶÷÷ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ--=
)
))
)
)
)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
b. Persamaan (4.5) diturunkan terhadap parameter d)
( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
t
t
t
ttttt
t
t
t
tttt
t
tt
t
t
t
tttt
t
t
t
t
tttt
t
t
tt
t
ttt
t
t
tttt
t
tttttttt
t
t
tttt
t
tttttttt
t
tt
t
tttt
hh
hhh
hh
hh
h
hL
hh
hh
h
hh
hh
h
h
h
h
h
h
h
hXrh
h
hXrhhXrh
h
h
hXrh
h
hhXrhhXr
h
Lh
h
hLhL
eeded
eede
dd
eeded
eeded
ed
ede
dbd
dbddb
dbd
dbddb
dd
dd
-÷÷ø
öççè
æ -+-
¶
¶=
-÷÷ø
öççè
æ-
+-
¶
¶=
¶¶
-÷÷ø
öççè
æ-
+-
¶
¶=
-÷÷ø
öççè
æ-
--¶¶
=
-¶
¶÷÷ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ ---=
+¢+-
¶¶÷÷ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ +¢+-+¢+--=
+¢+-
¶¶÷÷ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ +¢+-+¢+--=
¶¶
+¶¶
¶¶
=¶
¶
4
222
2
22
2
2
2
2
3
4
4
22
)(
21
1ˆ)(
2
1)(
11
11
1
2
211
22
211
)()()(
)
)
)
)
)
)
)
)))
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
c. Persamaan (4.5) diturunkan terhadap parameter a)¢
( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )a
dbddb
adbddb
aa
aa
)
)
)))
¢¶¶
÷÷ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ +¢+-+¢+--=
¢¶¶
÷÷ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ +¢+-+¢+--=
¢¶¢¶
+¢¶
¶¶
¶=
¢¶¶
t
t
tttttttt
t
t
t
tttttttt
t
tt
t
tttt
hh
hXrhhXrhh
hh
hhXrhhXrh
Lhh
hLhL
4
4
22
2211
22211
)()()(
( )
( )
÷÷ø
öççè
æ -+-¢¶
¶=
÷÷ø
öççè
æ-
+-¢¶
¶=
¢¶¶
÷÷ø
öççè
æ-
+-¢¶
¶=
÷÷ø
öççè
æ-
--¢¶
¶=
¢¶¶
÷÷ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ ---=
4
222
2
22
2
2
2
2
3
)(21
1)(
21)(
11
11
1
t
ttttt
t
tttt
t
tt
t
tttt
t
t
tttt
t
t
t
ttt
t
hhhh
hhh
hhL
hhh
h
hhh
h
hhh
h
edea
edeaa
edea
edea
aede
)
))
)
)
)
d. Persamaan (4.5) diturunkan terhadap parameter g)¢
( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )÷÷ø
öççè
æ-
--¢¶
¶=
¢¶¶÷÷ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ ---=
¢¶¶÷÷ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ +¢+-+¢+--=
¢¶¶÷÷ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ +¢+-+¢+--=
¢¶¢¶
+¢¶
¶¶
¶=
¢¶¶
11
1
2211
22211
)()()(
2
3
4
4
22
t
tttt
t
t
t
ttt
t
t
t
tttttttt
t
t
t
tttttttt
t
tt
t
tttt
h
hhh
h
h
hh
h
h
hXrhhXrhh
h
h
hhXrhhXrh
Lh
h
hLhL
edeg
gede
gdbddb
gdbddb
gg
gg
)
)
)
)
)))
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Dari langkah-langkah penurunan masing-masing ketika d = 0 diperoleh
÷÷÷÷÷÷
ø
ö
çççççç
è
æ
-¶¶
÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷
ø
ö
çççççççççççç
è
æ
÷÷ø
öççè
æ -+-¶
¶
÷÷ø
öççè
æ -+-¢¶
¶
÷÷ø
öççè
æ -+-¢¶
¶
÷÷ø
öççè
æ -+-¢¶
¶
=
÷÷÷÷÷÷
ø
ö
çççççç
è
æ
-¶¶
÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷
ø
ö
çççççççççç
è
æ
¶¶
¢¶¶
¢¶¶
¢¶¶
=¶
¶
¶¶
+¶¶
¶¶
=¶
¶
0
0
0
)(21
)(21
)(21
)(21
0
0
0
)(
)(
)(
)(
)(
)()()(
22
4
222
4
222
4
222
4
222
22
t
ttt
t
ttttt
t
ttttt
t
ttttt
t
ttttt
t
ttt
tt
tt
tt
tt
tt
tt
t
tttt
hX
h
hhhh
hhhh
hhhh
hhhh
hX
h
hL
hL
hL
hL
hL
Lhh
hLhL
e
f
eded
edeg
edeb
edea
e
f
d
g
b
a
f
ff
ff
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)))
(4.6)
Persamaan (4.6) dapat dituliskan sebagai
fb
ff)))
¶¢¶
+¶¶
¶¶
=¶
¶ )ˆ()()( tt
t
tttt LhhhLhL
÷÷ø
öççè
æ -+-¢¶
¶=
÷÷ø
öççè
æ-
+-¢¶
¶=
¢¶¶
÷÷ø
öççè
æ-
+-¢¶
¶=
4
222
2
22
2
2
2
)(21
1)(
21)(
11
t
ttttt
t
tttt
t
tt
t
tttt
t
h
hhh
h
hh
h
hL
h
hhh
edeg
edegg
edeg
)
))
)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
dengan
fb
bbe
fb
bb
fb
))
)))
¶¢¶
¢¶¢¶
=
¶¢¶
¢¶¢¶
=¶
¢¶
)(
)()(
2t
tt
t
tt
LX
h
LL
.
Sehingga diperoleh
tX=¶¢¶fb) .
Dengan demikian maksimum Likelihood dari parameter f adalah
÷÷ø
öççè
涶
÷÷ø
öççè
æ-
¶¶÷÷ø
öççè
æ --=
¶¶ åå f
bef
deef
))) ')(21)(
2
2
4
22
t t
tt
t t
tttttt
hh
hhhhL
. (4.7)
Dari persamaan (4.7) estimasi parameter f)
dapat dituliskan dalam suatu matriks
S dengan ukuran mT ´
[ ]i
ttti
hLS
f)
¶¶
=)(
dan
iSL ¢=¶¶f)
dengan i adalah unit vektor 1´T sehingga order pertama yang sederhana adalah
0=¢iS .
Matriks Hessian adalah matriks turunan kedua dari log likelihoods, ( )ftL .
Dengan asumsi bahwa fungsi likelihood dituliskan sebagai
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
÷÷ø
öççè
梶¶
¶E-=÷÷
ø
öççè
梶
¶¶
¶E=Ã
fff
ff
ff
)))))()()( 2
tttt
LLL
dengan Ãt adalah matriks informasi dari observasi ke t. Maksud informasi dari
sampel à adalah rata-rata informasi dari masing-masing observasi yakni
÷øö
çèæ ¢E=Ã
TSS
.
4.3. Contoh Penerapan
4.3.1 Deskripsi Data
Data harga saham PT TELKOM mingguan tanggal 25 Februari 2008
sampai dengan tanggal 12 April 2010 diakses tanggal 12 April 2010
(http://finance.yahoo.com/q/pr?s=TLK). Gambar 4.1 memperlihatkan harga
saham PT TELKOM tidak stasioner dalam rata-rata maupun variansinya.
Gambar 4.1. Plot Harga Saham TELKOM
Selain mengamati dari Gambar 4.1, data tidak stasioner dapat diuji dengan
menggunakan uji akar unit dengan hipotesis
H0 : 1=f (data mempunyai akar unit / tidak stasioner)
H1 : 1<f (data tidak mempunyai akar unit / stasioner)
Dengan menghitung nilai dari f diperoleh 1=f yang berarti data tidak stasioner.
Diperoleh pula dari software Eviews 4.1 bahwa nilai probabilitas Augmented
Dickey-Fuller adalah 0,22. Nilai probabilitas tersebut lebih besar dari nilai
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
signifikansi 05,0=a . Sehingga H0 tidak ditolak yang berarti data mempunyai
akar unit atau dengan kata lain data tidak stasioner.
4.3.2 Log Return dan Fluktuasi Harga
Berdasarkan plot data diatas terlihat bahwa data tidak stasioner, sehingga
dilakukan transformasi untuk mempermudah analisis data sekaligus data menjadi
stasioner. Transformasi dengan menggunakan log return. Gambar 4.2 merupakan
plot log return data harga saham TELKOM yang telah stasioner dalam rata-rata
tetapi variansi tidak konstan. Dengan menghitung nilai f mempunyai nilai 0,00
dapat disimpulkan bahwa data sudah stasioner.
Gambar 4.2. Plot Log Return Harga Saham TELKOM
4.3.3 Pembentukan Model Stasioner
Pembentukan model stasioner langkah pertama adalah mengidentifikasi
model. Setelah data stasioner dalam rata-rata, model dapat diidentifikasi dengan
melihat fungsi autokorelasi (ACF) dan fungsi autokorelasi parsial (PACF) dari
data log return.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Gambar 4.3. Plot ACF Log return Harga Saham TELKOM
Gambar 4.4. Plot PACF Log return Harga Saham TELKOM
Berdasarkan dari Gambar 4.3 dan Gambar 4.4 terdapat kemungkinan-
kemungkinan model rata-rata bersyarat yaitu AR(1), MA(1) dan ARMA(1,1).
Selanjutnya melakukan estimasi parameter model AR(1), MA(1) dan
ARMA(1,1). Hasil pengujian ketiga model diberikan pada Tabel 4.1. Hasil
estimasi parameter MA(1) dan ARMA(1,1) mempunyai nilai probabilitas yang
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
lebih besar dari 05,0=a . Berarti kedua model tersebut tidak sesuai untuk
memodelkan data log return.Hasil estimasi parameter model AR(1) menunjukkan
nilai f̂ signifikan berbeda dengan nol. Nilai probabilitas eror AR(1) adalah
0,0339 lebih kecil dari 05,0=a . Berarti model AR(1) sesuai untuk memodelkan
data log return. Model AR yang sesuai untuk memodelkan data log return adalah
AR(1)
dengan rt adalah log return pada waktu ke-t dan te adalah eror model pada waktu
ke-t.
Tabel 4.1 Hasil Estimasi Model AR(1) pada Data Log Return
Model Variabel Koefisien Standar
Deviasi
t- statistik Probabilitas
Eror
AR(1) f̂ -0,201522 0,093805 -2,148312 0,0339
MA(1) q̂ -0,165154 0,094037 -1,756260 0,0818
ARMA(1,1) (f̂ ,q̂ )
0,024615
-0,239864
0,430392
0,418154
0,057192
-0,573527
0,9545
0,5674
Setelah melakukan estimasi parameter model AR(1), kemudian melakukan
uji diagnostik eror model AR(1). Dengan menggunakan uji Breusch-Godfrey
untuk mengetahui apakah eror model rata-rata bersyarat terdapat autokorelasi atau
tidak hipotesisnya adalah
H0 : tidak terdapat autokorelasi di dalam eror model rata-rata bersyarat
H1 : terdapat autokorelasi di dalam eror model rata-rata bersyarat.
ttt rr e+-= -1201522,0
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Uji Breusch-Godfrey Eror Model AR(1) dari lag-1 sampai lag-10 diberikan pada
Tabel 4.2.
Tabel 4.2 Uji Breusch-Godfrey Eror Model AR(1)
Koefisien Probabilitas
AR(1) AR(1)
Uji Breusch-Godfrey 0,262713
5,582409 0,2124 辉囊 -5,645737 0,2071 辉挠 1,053203 0,2455 辉脑 -0,113227 0,5831 辉恼 0,137642 0,1896 辉闹 0,179661 0,0712 辉淖 0,002965 0,9760 辉呢 -0,171994 0,0819 辉馁 -0,138479 0,1653 辉内 -0,079355 0,4287 辉囊, -0,083884 0,4049
Dari Tabel 4.2 dapat disimpulkan bahwa untuk lag-1 sampai lag-10
menunjukkan nilai probabilitas eror AR(1) lebih besar dari nilai 05,0=a . Berarti
tidak terdapat autokorelasi di dalam model AR(1). Selain itu nilai probabilitas eror
AR(1) dalam uji Breusch-Godfrey adalah 0,262713 lebih besar dari 05,0=a .
Sehingga H0 tidak ditolak yang berarti juga tidak terdapat autokorelasi di dalam
eror model rata-rata bersyarat. Oleh karena itu model AR(1) cukup baik
digunakan dalam pemodelan mean data log return saham TELKOM.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Langkah selanjutnya
normalitas eror dari model AR(1) diberikan pada Gambar 4.
AR(1) berdistribusi normal. Sehingga dapat disimpulkan model AR(1) adalah
model yang sesuai untuk data log
Gambar 4.5 Histogram Distribusi Normal Eror AR(1)
4.3.4 Uji Heteroskedastisitas
Sebelum melakukan estimasi model ARCH
efek ARCH (efek heteroskedastisitas) dalam model AR(1). Menguji efek
heteroskedastisitas dapat dilakukan dengan menggunakan uji ARCH LM
(Lagrange Multiplier) pada Tabel 4.3 sebagai berikut
Tabel 4.
Uji hipotesis dari ARCH LM adalah
H0 : α1 = α2 = … = αq (tidak ada efek ARCH sampai lag
H1 : paling sedikit terdapat satu
Pada Tabel 4.3 terlihat bahwa nilai probabilitas statistik
kecil dari 05,0=a . Berarti H
Langkah selanjutnya dalam pengujian diagnostik model adalah u
normalitas eror dari model AR(1) diberikan pada Gambar 4.5. Berarti eror model
berdistribusi normal. Sehingga dapat disimpulkan model AR(1) adalah
model yang sesuai untuk data log return saham TELKOM.
mbar 4.5 Histogram Distribusi Normal Eror AR(1)
4.3.4 Uji Heteroskedastisitas
Sebelum melakukan estimasi model ARCH-M, terlebih dahulu memeriksa
efek ARCH (efek heteroskedastisitas) dalam model AR(1). Menguji efek
heteroskedastisitas dapat dilakukan dengan menggunakan uji ARCH LM
pada Tabel 4.3 sebagai berikut :
Tabel 4.3 Uji ARCH LM Model AR(1)
Uji hipotesis dari ARCH LM adalah
(tidak ada efek ARCH sampai lag-q)
: paling sedikit terdapat satu αk ≠0, k = 1,2, …, q.( terdapat efek ARCH)
terlihat bahwa nilai probabilitas statistik F adalah 0,032071 lebih
erarti H0 ditolak jadi eror AR(1) terdapat efek ARCH.
dalam pengujian diagnostik model adalah uji
eror model
berdistribusi normal. Sehingga dapat disimpulkan model AR(1) adalah
M, terlebih dahulu memeriksa
efek ARCH (efek heteroskedastisitas) dalam model AR(1). Menguji efek
heteroskedastisitas dapat dilakukan dengan menggunakan uji ARCH LM
.( terdapat efek ARCH)
adalah 0,032071 lebih
ditolak jadi eror AR(1) terdapat efek ARCH.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
4.3.5 Pembentukan Model Heteroskedastisitas
Sebelum pembentukan model ARCH-M, terlebih dahulu diestimasi
menggunakan model ARCH. Kemudian menggunakan model ARCH-M. Dari
Tabel 4.4, parameter model ARCH(1) tidak signifikan terhadap nol dengan nilai
P-value adalah 0,0858 yang lebih besar 05,0=a . Sehingga model ARCH(1)
tidak cukup baik digunakan. Disisi lain, model ARCH(1)-M signifikan berbeda
nol, karena nilai P-value adalah 0,0157 yang lebih kecil 05,0=a . Sehingga
model ARCH(1)-M yang sesuai dengan data harga saham PT TELKOM. Model
tersebut adalah
21
2 521073,0000230,0 -+= tth e
rt = -0,022111+1,130838 tth e+
dengan ht adalah conditional volatility, te adalah eror dan rt adalah return.
Intepretasi dari model ARCH(1)-M adalah jika dengan bertambahnya conditional
variance (ht) maka return yang diharapkan akan bertambah sebanyak 1,130838
satuan.
Tabel 4.4 Hasil Estimasi Model ARCH(1) dan Model ARCH(1)-M
ARCH(1) ARCH(1)-M j 1,130838
P-value 0,0157
a 0.000291 0,000230
P-value 0,00000 0,00000
g 0,345157 0,521073
P-value 0,0858 0,0223
b -0,022111
P-value 0,0113
MSE 0,020988 0,021405
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Untuk menguji model yang terbentuk cukup baik menggunakan uji ARCH
LM yang diperoleh pada Tabel 4.5. Diperoleh nilai probabilitas statistik F adalah
0,916811 lebih besar dari 05,0=a . Berarti H0 tidak ditolak jadi eror ARCH(1)-
M tidak terdapat efek ARCH dalam eror.
Tabel 4.5 Uji ARCH LM Model ARCH(1)-M
Langkah selanjutnya adalah mengetahui ada tidaknya autokorelasi dalam
model dengan korelogram eror kuadrat yang distandarisasi. Dari Tabel 4.6 bahwa
plot ACF dan PACF, semua grafik tidak melewati garis Bartlett. Selain itu nilai
probabilitas lebih besar dari 05,0=a , sehingga dapat disimpulkan tidak ada
korelasi serial dalam model.
Tabel 4.6 Korelogram Eror Kuadrat yang Distandarisasi
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Selanjutnya menguji kenormalan eror model ARCH(1)-M. Gambar 4.6
terlihat bahwa eror model ARCH(1)-M mengikuti kurva normal. Sehingga dapat
disimpulkan model ARCH(1)-M cukup baik digunakan untuk memodelkan data
log return harga saham TELKOM.
Gambar 4.6 Histogram Distribusi Normal Eror Model ARCH(1)-M
4.3.6 Peramalan
Dari pemeriksaan model diagnostik diperoleh model yang cocok adalah
model ARCH(1)-M tanpa menggunakan model rata-rata bersyarat. Untuk
mengetahui model tersebut yang lebih cocok maka akan dilakukan peramalan.
Model yang baik adalah model yang nilai peramalannya mendekati nilai data
sebenarnya. Hasil ramalan dapat disajikan pada Tabel 4.7. Karena log return
bukan data yang sebenarnya, maka bentuk log return diubah dalam bentuk semula
yakni hasil ramalan dalam bentuk harga. Log return dirumuskan sebagai
1
1
logloglog
)log(log
-
-
-=
=
ttt
t
tt
PPr
P
Pr
dengan Pt adalah data harga saham TELKOM periode t, Pt-1 adalah data harga
saham TELKOM periode t-1. Persamaan untuk data harga saham pada periode t
adalah
trtt PP log
1 10´= -
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Persamaan tersebut untuk mencari nilai harga saham TELKOM
berdasarkan nilai ramalan dari log return. Hasil ramalan pada bulan April sampai
Mei tahun 2010.
Tabel 4.7 Hasil Peramalan Harga Saham TELKOM Bulan April sampai Mei 2010
Dari Tabel 4.7 terlihat bahwa data asli dan data peramalan terpaut kurang lebih Rp
50,00. Nilai MSE untuk peramalan tersebut sebesar Rp 2.387,00.
BULAN DATA ASLI RETURN RAMALAN
APRIL 8.150,00 0,00267221847927 8.200,00
8.100,00 0,00267221847927 8.150,00
MEI 8.000,00 0,00267221847927 8.049,00
8.050,00 0,00267221847927 8.100,00
7.850,00 0,00267221847927 7.898,00
7.600,00 0,00267221847927 7.647,00
7.650,00 0,00267221847927 7.697,00
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari pembahasan adalah sebagai berikut.
1. Model yang sesuai untuk memodelkan data harga saham PT TELKOM
mingguan tanggal 25 Februari 2008 sampai 12 April 2010 adalah model
ARCH(1)-M . Model ARCH(1)-M adalah
21
2 521073,0000230,0 -+= tth e
rt = -0,022111+1,130838 tth e+2
2. Nilai peramalan harga saham PT TELKOM bulan April sampai Mei 2010
mempunyai nilai MSE sebesar Rp 2.387,00.
5.2 Saran
Hasil peramalan menggunakan model ARCH(1)-M memberikan informasi
bagi investor. Akan tetapi, dari hasil peramalan masih mempunyai selisih nilai
yang cukup besar terhadap nilai asli. Oleh karena itu, bagi pembaca yang tertarik
untuk mengembangkan penelitian ini dapat menggunakan model lainnya yang
lebih cocok untuk memodelkan data finansial, misalnya GARCH-M.