TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL)

A. Pengertian Derivatif (turunan) suatu fungsi. Perhatikan grafik fungsi y=f(x) (pengertian secara geometri) yang melalui garis singgung.

f(x) y = f(x) f(x+∆x)

Q ( ) ( )[ ]xxfxx ∆+∆+ ,

f(x) P ( ))(, xfx 0 x (x+∆x) x

jika terjadi perubahan penambahan x sebesar ∆x maka terjadi perubahan f(x) sebesar f(∆x). Laju perubahan rata-rata adalah :

xdalamperubahanydalamperubahan

xy=

∆∆

x

xfxxfxxx

xfxxfxy

∆−∆+

−∆+−∆+

∆∆

==)()(

)()()(

Untuk ∆x diambil sekecil-kecilnya (∆x mendekati nol), apabila

xy

∆∆

mempunyai harga, maka harga dari xy

∆∆ maka ∆x mendekati nol itu disebut

Turunan (derivatif) /turunan pertama dari fungsi y=f(x) terhadap x. Definisi :

Apabila x

xfxxfx ∆

−∆+→∆

)()(lim0

ada harganya, maka harga tersebut

dikatakan sebagai derivatif pertama fungsi y=f(x) terhadap x dan biasa ditulis dengan simbol :

2

),('',)( xfydx

xdfdxdy == Jadi

x

xfxxfxfdxdy

x ∆−∆+==

→∆)()(lim)('

0

xy

∆∆

disebut koofisien differensi. Proses penarikan limit atas suatu koefisien

diferensi dalam hal tambahan variabel bebasnya mendekati nol disebut proses penurunan suatu fungsi atau diferensiasi. Sedangkan hasil yang diperoleh dari differensiasi disebut turunan atau derivatif. B. Menentukan Turunan Fungsi Melalui Proses Limit.

Langkah-langkah untuk mendapatkan turunan suatu fungsi melalui proses limit adalah sbb:

1. Tulis fungsinya, y=f(x) 2. Berikan tambahan terhadap x sebesar ∆x terhadap y sebesar ∆y,

sehingga didapat, y+∆y = f(x+∆y) 3. Pindahkan y=f(x) keruas kanan untuk mendapatkan ∆y=f(x+∆y)-

f(x). 4. Bagi di kedua ruas dengan ∆x, didapat

xxfxxf

dxdy

∆−∆+= )()(

5. Hitung limit untuk mendapatkan xy

∆∆

xxfxxfxf

dxdy

x ∆−∆+==

→∆)()(lim)('

0

Contoh Soal :

Tentukan dxdy dari y=f(x)= x2

x

xfxxfdxdy

x ∆−∆+=

→∆)()(lim

0 xxxx

x ∆−∆+=

→∆

22

0)(lim

x

xxxxxx ∆

−∆+∆+=→∆

222

0).2(lim

xxxx

x ∆∆+∆=

→∆

2

0.2lim

20

2lim xxx

∆+=→∆

= 2x

3

C. Menentukan Turunan Fungsi Melalui Rumus-Rumus Diferensial. Untuk memudahkan mencari turunan suatu fungai biasanya digunakan rumus-rumus diferensial sbb : c.1. Turunan fungsi aljabar :

y = f(x) )(' xfdxdy =

1. kxfy == )( 0=dxdy

2. nxkxfy .)( == 1.. −= nxnkdxdy

3. { }nxfky )(= { } )('.)(.. 1 xfxfnkdxdy n −=

4. )()( xgxfy ±= )(')(' xgxfdxdy ±=

5. )(.)( xgxfy = )('.)()(.)(' xgxfxgxfdxdy +=

)()(.6

xgxfy =

{ }2)()(.)(')(.)('

xgxfxgxgxf

dxdy −=

Keterangan : k = suatu konstanta n = bilangan bulat positif

Berikut ini adalah penjelasan peritem :

1. kxfy == )( 0=dxdy

y = 5

0=dxdy

2. nxkxfy .)( == 1.. −= nxnkdxdy

34xy =

213 12.3.4 xxdxdy == −

4

3. { }nxfky )(= { } )('.)(.. 1 xfxfnkdxdy n −=

disebut juga aturan Rantai, aturan ini juga bisa disebut deferensial fungsi dari suatu fungsi (komposit). Andaikan y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsi komposit y=f(g(x))=(f og)(x). Jika terdeferensialkan di x dan f terdeferensialkan di u=g(x), maka f og terdeferensial di x dan )('))((')()'( xgxgfxgf =o atau uDyDyD xux =

atau dxdu

dudy

dxdy ⋅=

Contoh :

a. 33 )(5 xxy += carilah ?dxdy

misalkan )( 3 xxu += 3)(5 uy =

2.3.5 ududy = ; )13( 2 += x

dxdu

maka,

)13(.)(3.5 23 2 ++= xxxdxdy

= 15 )13(.)( 223 ++ xxx

b. )4(sin3 xy = carilah ?dxdy

dari persoalan ini maka ada 3 unsur yaitu sinus, pangkat dan nilai 4x maka diselesaikan dengan aturan rantai bersusun.

Misalkan : y=f(u), u=sin v dan v = h(x) Maka,

dxdv

dvdu

dudy

dxdy ⋅⋅=

dari contoh di atas : y=u3 , u=sin v dan v=4x

4=dxdv , v

dvdu cos= dan 23u

dudy =

5

4.cos.3 2 vudxdy =

4.)4(cos).4(sin3 2 xxdxdy =

)4(cos).4(sin12 2 xx

dxdy =

4. )()( xgxfy ±= )(')(' xgxfdxdy ±=

xxy 25 3 +=

1.2.3.5 2 += xdxdy

= 215 2 +x

5. )(.)( xgxfy = )('.)()(.)(' xgxfxgxfdxdy +=

)3)(52( 32 xxxxy +++= )52()( 2 ++= xxxf )22()(' += xxf

)3()( 3 xxxg += )33()(' 2 += xxg

)33)(52()3)(22( 223 ++++++= xxxxxxdxdy

)15156633()6262( 2324324 +++++++++= xxxxxxxxx

)15122485( 234 ++++= xxxx

)()(.6

xgxfy =

{ }2)()(.)(')(.)('

xgxfxgxgxf

dxdy −=

212

++=

xxy

)1()( 2 += xxf xxf 2)(' = )2()( += xxg 1)(' =xg

6

{ }2)(

)(.)(')(.)('xg

xfxgxgxfdxdy −=

2

2

)2()1()2(.2

+

+−+=x

xxxdxdy

)44(

1422

22

++

−−+=xx

xxxdxdy

=44

142

22

++

−−+

xxxxx

c.2. Turunan Fungsi Logaritma Dalam perhitungan ada dua basis yang biasanya dipakai yakni 10

dan e. Logaritma yang memakai basis 10 disebut logaritma biasa dan yang memakai basis e disebut Logaritma natural.

( ) 71828,211

0lim =+→

= nnne

Rumus-rumus :

1. )(xfLogy = )(').(log)(

1 xfexfdx

dy =

2. )(xfLny = )(')(

1)(').(ln)(

1 xfxf

xfexfdx

dy ==

Catatan :

ln e = 1log =ee

aaxx ee lnlog;lnlog ==

Rumus-rumus deferensiasi penjumlahan, perkalian dan pembagian juga berlaku bagi fungsi algoritma. Untuk lebih jelasnya perhatikan deferensiasi dengan memakai rumus-rumus di atas :

7

Rumus 1.

)(xfLogy = )(').(log)(

1 xfexfdx

dy =

xy 5log= 5).(log51 exdx

dy =

Rumus 2.

)(ln xfy = )(')(

1 xfxfdx

dy =

xy 2ln= xxdx

dy 12.21 ==

Didasarkan pada kenyataan bahwa { }x

xdxd 1ln = dan bila z digantikan

dengan fungsi F, maka { }dxdF

FF

dxd ⋅= 1ln . Dengan mengingat hal ini,

marilah kita tinjau sebuah kasus wuvy = , dengan u,v,w dan y adalah

fungsi x. Kita ambil logaritmanya dengan bilangan dasar e makabdidapat ln y = ln u +ln v – ln w . Kita diferensiasikan masing-masing ruas diperoleh :

dxdw

wdxdv

vdxdu

udxdy

y⋅−⋅+⋅=⋅ 1111 maka,

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⋅−⋅+⋅=

dxdw

wdxdv

vdxdu

uy

dxdy 111 atau

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⋅−⋅+⋅=

dxdw

wdxdv

vdxdu

uwuv

dxdy 111

Contoh :

xxxy

2cossin2

= , tentukanlah ?dxdy

dimana u=x2, v=sin x dan w=cos 2x maka,

xdxdu 2= , x

dxdv cos= , x

dxdw 2sin2−=

8

Mengambil logaritma kedua ruasnya

xxxy

2cossin2

= ln y = ln(x2) + ln(sin x)-ln(cos 2x)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⋅−⋅+⋅=

dxdw

wdxdv

vdxdu

uwuv

dxdy 111

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⋅−⋅+⋅= )2sin2(2cos

1cossin

1212sin

2cos22

xx

xx

xxxx

xdxdy

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++= xxx

xxx

xdxdy 2tan2cot2

2sin2cos

22

c.3. Turunan Fungsi Eksponen

Untuk menentukan turunan fungsi eksponen digunakan 2 basis rumus yakni basis e dan bukan e.

Rumus-Rumus :

1. )(xfey = )('.)( xfedxdy xf=

2. )(xfay = )('.ln.)( xfaadxdy xf=

Contoh penggunaan rumus ini : Rumus 1.

)(xfey = )('.)( xfedxdy xf=

)425( += xey

)10(.)425( xedxdy x +=

9

Rumus 2.

)(xfay = )('.ln.)( xfaadxdy xf=

)2(10 xxy −=

)12(.10ln.10 )2( −= − xdxdy xx

D. Turunan Tingkat Tinggi.

Apabila fungsi y=f(x) dapat diturunkan/diderivatifkan sampai n kali terhadap x, maka didapat :

Jika y=f(x) maka

)(' xfdxdy = Turunan pertama

)(''2

2xf

dxyd = Turunan kedua

)(''3

3xf

dxyd = Turunan ketiga

)(xfdx

yd nn

n= Turunan ke-n

Contoh soal :

Carilah turunan tingkat 3 dari persoalan berikut ini :

Jika diketahui f(x)= y = 2x5 + 4x3

24 1210 xxdxdy += Turunan pertama

xxdx

yd 2440 32

2+= Turunan kedua

24120 23

3+= x

dxyd Turunan ketiga

10

Berikut ini diberikan cara penulisan diferensial :

Derivatif Penulisan F(x)

Penulisan y

Penulisan D

Penulisan Leibniz

Pertama 'f 'y yDxdxdy

Kedua ''f ''y yDx2

dxyd 2

Ketiga '''f '''y yDx3

dxyd3

Ke - n nf ny yDnx

dxyd n

E. Turunan Fungsi Implisit.

Fungsi Implisit adalah fungsi yang dinyatakan sebagai f(x,y)=0. Untuk mencari turunannya dapat dilakukan dengan dua cara. Pertama, bentuk fungsi dirubah terlebih dahulu bentuk eksplisit, baru

dipecahkan. Kedua, tetap dalam bentuk implisit dengan pemecahan melalui

difresiansi implisit. Contoh Soal : Bila diketahui sebuah persamaan sbb : 4x2+5xy+3y2-25=0,

carilah ?dxdy

⇒ 00658 =−+++ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛dxdyy

dxdyx

dxdxy

dxdxx

⇒ 06558 =+++dxdyy

dxdyxyx

⇒ 0)65()58( =+++dxdyyxyx

⇒ dxdyyxyx )65()58( +−=+

⇒ yxyx

dxdy

65)58(

++−=

11

F. Turunan Fungsi Trigonometrik. Beberapa identitas trigonometri yang perlu diketahui. a. 1cossin 22 =+ xx ; xx 22 tan1sec += ; xxec 22 cot1cos += b. BABABA sincoscossin)sin( +=+ BABABA sinsincoscos)sin( −=+ BABABA sinsincoscos)cos( +=−

BA

BABAtantan1

tantan)tan(−

+=+

BA

BABAtantan1

tantan)tan(+

−=−

c. misalkan A=B=x. xxx cossin22sin =∴ xxx 22 sincos2cos −= x2sin21−= 1cos2 2 −= x

x

xx 2tan1tan22tan

−=

d. misalkan 2xx =

2cos

2sin2sin xxx=∴

2

sin2

coscos 22 xxx −=

= 2

sin21 2 x−

= 12

cos2 2 −x

2tan1

2tan2

tan2 x

xx

−=

e. 2

cos2

sin2sinsin DCDCDC −+=+

2

sin2

cos2sinsin DCDCDC −+=−

12

2

cos2

cos2coscos DCDCDC −+=+

2sin

2sin2coscos DCDCCD −+=−

f. )(sin)(sincossin2 BABABA −++= )(sin)(sinsincos2 BABABA −−+= )(cos)(coscoscos2 BABABA −++= )(cos)(cossinsin2 BABABA +−−= Jika x adalah fungsi x yang dapat dideferensiasi, maka

y=f(x) dxdy

1. sin x cos x 2. cos x -sin x 3. tan x sec2 x 4. cot x -cosec2 x 5. sec x sec x . tan x 6. cosec x -cosec x . cot x

Contoh soal :

a. Buktikan y=f(x)=sin x maka xdxdy cos= dengan turunan fungsi,

x

xxxdxdy

x ∆−∆+=

→∆

sin)sin(lim0

x

xxxxxx ∆

−∆+∆=→∆

sinsincoscossinlim0

x

xxx

xxx ∆

∆+∆

−−=→∆

sincoscos1sinlim0

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

∆∆−

∆∆−−

→∆→∆ xxx

xxx

xx

sinlim)cos(cos1lim)sin(00

13

y (cos t, sin t) t t (1,0) x

ini membuktikan bahwa :

0cos1lim0

=∆

∆−

→∆ xx

x; dan 1sinlim

0=

∆∆

→∆ xx

x

Sehingga, D(sinx) = (-sin x).0 + (cos x). 1 = cos x

b. Diketahui f(x)=x

xy cos= , hitung ?dxdy

xxfxxf sin)('cos)( −=⇒=

1)(')( =⇒= xgxxg

maka dengan menggunakan rumus :

)()(

xgxfy = ⇒

{ }2)()(.)(')(.)('

xgxfxgxgxf

dxdy −=

didapat,

2cossin.

xxxx

dxdy −−=

x∆ x

x∆

∆− cos1 x

x∆∆sin

1,0 0,5 0,1 0,01 ↓ 0 ↑

-0,01 -0,1 -0,5 -1,0

0,45970 0,24483 0,04996 0,00500

↓ ? ↑

-0,00500 -0,04996 -0,24483 -0,45970

0,84147 0,95885 0,99833 0,99998

↓ ? ↑

0,99998 0,99833 0,95885 0,84147

14

G. Turunan Fungsi Invers. a. Diferensiasi invers fungsi trigonometri

Misalkan xy 1sin−= ⇒ yx sin=

ydydx cos= ⇒

ydxdy

cos1=

Selanjutnya nyatakan ycos dalam x Sebagaimana diketahui bahwa : 1cossin 22 =+ yy , maka ⇒ yy 22 sin1cos −= = 21 x− ( karena yx sin= )

⇒ 21cos xy −=

⇒ )1(

12xdx

dy−

=

⇒ )1(

1sin2

1

xx

dxd

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

dengan cara yang sama dapat dicari )1(

1cos2

1

xx

dxd

−−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

Bagaimana dengan ?tan 1⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ − x

dxd

Misalkan xy 1tan−= ⇒ yx tan=

ydydx 2sec= = 22 1tan1 xy +=+

21 xdydx += ⇒ 21

1xdx

dy+

=

b. Diferensiasi invers fungsi hiperbolik

Misalkan xy 1sinh−= ⇒ yx sinh=

⇒ ydydx cosh= ;

ydxdy

cosh1=

Sebagaimana diketahui bahwa : 1coshsinh 22 =− yy , maka ⇒ yy 22 sinh1cosh += = 21 x+ ( karena yx sinh= )

⇒ )1(cos 2xy +=

⇒ )1(

12xdx

dy+

= ⇒ )1(

1sinh2

1

xx

dxd

+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

15

dengan cara yang sama dapat dicari )1(

1cosh2

1

−−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

xx

dxd

Bagaimana dengan ?tanh 1⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ − x

dxd

Misalkan xy 1tanh−= ⇒ yx tanh= ; yhdydx 2sec=

Sebagaimana diketahui : yxh 22 tanh1sec −= , maka

⇒ yhdydx 2sec=

= 22 1tanh1 xy −=−

⇒ 211xdx

dy−

=

⇒ 211sin 1x

xdxd

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

Berikut ini tabel hasil turunan fungsi invers

Invers Fungsi Trigonometri Invers Fungsi Hiperbolik y

dxdy y

dxdy

x1sin−

x1cos−

x1tan−

x1cot−

x1sec−

x1csc−

)1(1

2x−

)1(1

2x−

−

211x+

211x+

−

)1(12 −xx

)1(12 −

−xx

x1sinh−

x1cosh−

x1tanh−

x1coth−

xh 1sec −

xh 1csc −

)1(12 +x

)1(12 −x

; )1( >x

211x−

; )1( 2 <x

211x−

; )1( 2 >x

)1(1

2xx −− ; )10( << x

)1(1

2 +−

xx; )0( ≠u

16

Contoh soal :

a. Cari dxdy , jika diberikan ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += 21 xy x1sin−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += 21)( xxf ; xxf 2)(' =

xxg 1sin)( −= ; =)(' xg)1(

12x−

⇒ xxx

xdxdy 1

22 sin2

)1(11 −+−

+= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

b. Cari dxdy , jika diberikan xy 3sinh 1−=

sebagaimana diketahui )1(

1sinh2

1

+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

xx

dxd

dxdy =

)19(

33)13(

122 +

=⋅+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ xx

H. Persamaan Parametrik.

Seringkali lebih enak mengungkapkan suatu fungsi dengan menyatakan suatu fungsi dengan menyatakan x dan y dalan suatu variabel bebas ketiga secara terpisah, contoh ty 2cos= , tx sin= . Dalam hal ini, sebuah harga t tertentu akan memberikan pasangan harga x dan y, yang jika perlu dapat saja digambarkan dalam grafik sebagai salah satu titik dari kurva y = f(x). Variabel yang ketiga ini, misalnya t, disebut parameter, dan kedua pernyataan untuk x dan y disebut persamaan parametrik. Ada kalanya kita masih memerlukan koefisien diferensial fungsi tersebut terhadap x. Contoh : Persamaan untuk fungsi adalah : ty 2cos= , tx sin= , cari pernyataan

dxdy dan 2

2

dxyd ?

Jika,

ty 2cos= ⇒ tdtdy sin2−= ; tx sin= ⇒ t

dtdx cos=

17

Dengan menggunakan kenyataan bahwa dxdt

dtdy

dxdy ⋅=

Sehingga,

t

tdxdy

cos1.2sin2−=

karena ttt cossin22sin = maka,

t

ttdxdy

cos1.cossin4−=

tdxdy sin4−=