1 MATEMATIKA BISNIS

DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA

Tujuan instruktusional khusus :

Diharapkan mahasiswa dapat memahami konsep diferensial dan memanfaatkannya

dalam melakukan analisis bisnis dan ekonomi yang berkaitan dengan masalah

perubahan penentuan tingkat maksimum dan minimum.

Materi Pembahasan :

1. Elastisitas

2. Biaya Marjinal

3. Penerimaan Marjinal

4. Utilitas Marjinal

5. Produk Marjinal

6. Analisis Profit Maksimum

2 MATEMATIKA BISNIS

1. Elastisitas

Elastisitas dari suatu fungsi y = f (x) berkenaan dengan x dapat didefinisikan

sebagai:

Berarti bahwa elastisitas y = f (x) merupakan limit dari rasio antara perubahan relatif

dalam y terhadap perubahan relatif dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil

atau mendekati nol, dengan kata lain elastisitas y terhadap x dapat juga dikatakan

sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap persentase perubahan x.

1. Elastisitas Permintaan

Menunjukkan besarnya perubahan jumlah barang yang diminta disebabkan

karena adanya perubahan harga. Jadi merupakan rasio antara persentase

perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga.

Jika fungsi puritan dinyatakan dengan Qd = f (p) maka elastisitas permintaannya :

Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat :

Elastis apabila d > 1 yang artinya jika harga barang berubah sebesar

persentase tertentu maka jumlah barang yang diminta akan berubah

(secara berlawanan arah) dengan persentase yang lebih besar daripada

persentase perubahan harganya.

Unitary elastis apabila d = 1 yang artinya jika harga barang berubah

sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang diminta akan

berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase yang sama besar

daripada persentase perubahan harganya.

Inelastis apabila d < 1 yang artinya jika harga barang berubah

sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang diminta akan

berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase yang lebih kecil

daripada persentase perubahan harganya.

y

x

dx

dy

xx

yy

E

E

xx

y*

/

/lim

0

d

dd

P

ddd

Q

P

dP

dQ

PP

QQ

EP

EQ

P

Q*

)/(

)/(lim

%

%

0

3 MATEMATIKA BISNIS

Contoh :

Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan dengan persamaan Qd = 25 –

3P². Tentukan elastisitas permintaan pada tingkat harga P = 5.

PdP

dQQPQ d

dd 6'325 2

2325*6*

P

PP

Q

P

dP

dQ

d

dd

)(37525

5*)5(6 elastis

d = 3 berarti bahwa apabila, dari kedudukam P =5, harga naik (turun) sebesar

1% maka jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak

3%.

2. Elastisitas Penawaran

Menunjukkan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan disebabkan

karena adanya perubahan harga. Jadi merupakan rasio antara persentase

perubahan jumlah barang yang ditawarkan terhadap persentase perubahan

harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan Qs = f (P) maka elastisitas

penawarannya :

Penawaran akan suatu barang dikatakan bersifat :

Elastis apabila s >1 yang artinya jika harga barang berubah sebesar

persentase tertentu maka jumlah barang yang ditawarkan akan berubah

(secara searah) dengan persentase yang lebih besar daripada persentase

perubahan harganya.

Unitary elastis apabila s = 1 yang artinya jika harga berubah sebesar

persentase tertentu maka jumlah barang yang ditawarkan akan berubah

(secara searah) dengan persentase yang sama besarnya daripada

persentase perubahan harganya.

s

ss

P

sss

Q

P

dP

dQ

PP

QQ

EP

EQ

P

Q*

)/(

)/(lim

%

%

0

4 MATEMATIKA BISNIS

Inelastis apabila s <1 yang artinya jika harga barang berubah

sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang ditawarkan akan

berubah (secara searah dengan persentase yang lebih kecil daripada

persentase perubahan harganya.

Contoh :

Fungsi penawaran akan suatu barang ditunjukkan dengan persamaan

Qs = -200 +7P²

Tentukan elastisitas penawaran pada tingkat harga P = 10.

PdP

dQQ s

s 14'

2

7200

*14*

P

PP

Q

P

dP

dQ

s

ss

)(8,2700200

10*)10(14 elastis

s = 2,8 berarti bahwa apabila, dari kedudukan P = 10, harga naik (turun)

sebesar 1% maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang)

sebanyak 2,8%.

3. Elastisitas Produksi

Menunjukkan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan

akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jadi

merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap

persentase perubahan jumlah masukan. Jika fungsi produksi dinyatakan dengan

P = f (x), maka elastisitas produksinya :

P

x

dX

dP

xx

PP

EX

EP

x

P

xp *

)/(

)/(lim

%

%

0

Produksi akan suatu barang dikatakan bersifat :

Elastis apabila p > 1 yang artinya jika jumlah input berubah sebesar

persentase tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) dengan

persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan inputnya.

Unitary elastis apabila p =1 yang artinya jumlah input berubah sebesar

persentase tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) dengan

persentase yang sama besarnya daripada persentase perubahan inputnya.

5 MATEMATIKA BISNIS

Inelastis apabila p < 1 yang artinya jika jumlah input berubah sebesar

persentase tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) dengan

persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan inputnya.

Contoh :

Fungsi produksi akan suatu barang ditunjukkan dengan persamaan P = 6x² - x³

Tentukan elastisitas produksi pada tingkat penggunaan faktor produksi

sebanyak 3 unit.

2'32 3126 xxdx

dPPxxP

elastis)(unitary 12754

3*)2736(

p = 1 berarti bahwa apabila, dari kedudukan X = 3, maka jika jumlah input

dinaikkan (diturunkan) sebesar 1 % maka jumlah output akan bertambah

(berkurang) sebesar 1 %.

2. Biaya Marjinal

Biaya marjinal (Maginal Cost = MC) ialah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk

menghasilkan suatu unit tambahan produk. Secara matematik fungsi biaya marjinal

merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total. Jika fungsi biaya total dinyatakan

dengan C = f (Q) dimana C adalah biaya total dan Q melambangkan jumlah produk,

maka biaya marjinalnya :

dQ

dC = c' = MC

Contoh :

Biaya total : C = f (Q) = Q³ - 3 Q² + 4 Q + 4

Biaya Marjinal : MC = C’ = dC/dQ = 3Q² - 6Q + 4

Pada umumnya fungsi biaya total yang non linear berbentuk fungsi kubik sehingga

fungsi biaya marjinalnya berbentuk fungsi kuadrat.

xxxP

x

dx

dPp *312* 2

6 MATEMATIKA BISNIS

3. Penerimaan Marjinal

Adalah penerimaan tambahan yang diperoleh berkenaan bertambahnya satu unit

keluaran yang diproduksi atau terjual. Secara matematik fungsi penerimaan marjinal

merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan total. Jika fungsi penerimaan

total dinyatakan dengan R = f(Q) dimana R adalah penerimaan total dan Q

melambangkan jumlah keluaran, maka penerimaan marjinalnya :

Contoh :

Andaikan fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh P = 16 – 2Q, maka

C = Q³ -3 Q² + 4Q + 4

MC = C’ = 3Q² - 6Q + 4

(MC)’ = C” = 6Q - 6

MC minimum jika (MC)’ = 0

(MC)’ = 0 → 6 Q – 6 = 0 → Q = 1

Pada Q = 1 → MC = 3 (1)² - 6(1) + 4 = 1

C = 1³ - 3(1)² + 4(1) + 4 = 6

Penerimaan total : R = P*Q = f(Q) = 16Q – 2Q²

Penerimaan marjinal :

MR = R’ = 16 – 4Q

Pada MR = 0, Q = 4

P= 16 – 2(4) = 8

R =16(4) – 2(4)² = 32

R= 16Q- 2 Q²

dQ

dRRMR '

7 MATEMATIKA BISNIS

4. Utilitas Marjinal

Adalah utilitas tambahan yang diperoleh konsumen berkenaan bertambahnya satu

unit barang yang dikonsumsinya. Secara matematik fungsi utilitas marjinal

merupakan turunan pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total

dinyatakan dengan U = f(Q) dimana U adalah utilitas total dan Q melambangkan

jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marjinalnya :

dQ

dU = U'= MU

Contoh :

U = f(Q) = 90Q – 5 Q²

MU = U’ = 90 – 10Q

U maksimum pada MU = 0

MU = 0; Q = 9

U maks = 90(9) – 5(9)²

= 810 – 405

= 405

5. Produk Marjinal

Adalah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan faktor produksi

yang digunakan. Secara matematik fungsi produk marjial merupakan turunan

pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan dengan P = f(x)

dimana P adalah produk total dan X melambangkan jumlah masukan, maka produk

marjinalnya

dX

dPPMP '

Contoh : Produksi total = P = f(x) = 9x² - x³

Produk marjinal = MP = P’ = 18x – 3x²

P maksimum pada P’ = 0 yakni pada X = 6 dengan P maks + 108.

P berada pada titik belok dan MP maks pada P” = (MP)’ = 0 ;

Yakni pada X = 3

8 MATEMATIKA BISNIS

6. Analisis Profit Maksimum

Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum dapat disidik dengan

pendekatan diferensial. Karena penerimaan total (Revenue, R) maupun biaya

(Cost, C) sama-sama merupakan fungsi dari jumlah keluaran yang dihasilkan/terjual

(Quantity, Q), maka di sini dapat dibentuk suatu fungsi baru yaitu fungsi keuntungan

(π). Ada dua syarat agar diperoleh suatu keuntungan maksimum (maximum profit):

1. π’ = 0

2. π’’ < 0, dimana π = R – C

Contoh

Diketahui: R = – 2Q2 + 1000Q

C = Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000

Ditanyakan:

a. Berapa tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum?

b. Berapa biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan keuntungan maksimum?

c. Berapa besarnya penerimaan pada saat perusahaan mencapai keuntungan

maksimum?

d. Berapa harga jual per unit pada saat perusahaan mencapai keuntungan

maksimum?

e. Berapa besarnya keuntungan maksimum tersebut?

9 MATEMATIKA BISNIS

Penyelesaian:

a. π = R – C = (– 2Q2 + 1000Q) – (Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000)

π = – Q3 + 57Q2 – 315Q – 2000

π’ = – 3Q2 + 114Q – 315

Agar keuntungan maksimum:

Syarat 1. π’ = 0

π’ = – 3Q2 + 114Q – 315 = 0

Maka didapat Q1 = 3 dan Q2 = 35 (dengan rumus abc maupun dengan pemfaktoran)

Syarat 2. π’’ < 0,

Q1 = 3, π’’ = – 6Q + 114 = – 6.3 + 114 = 96

Q2 = 35, π’’ = – 6Q + 114 = – 6.35 + 114 = – 96 √

Karena syarat ke 2 untuk Q = 35 hasilnya < 0, maka tingkat produksi yang menghasilkan

keuntungan maksimum adalah Q = 35 unit.

b. Biaya yang menghasilkan keuntungan maksimum:

C = Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000

C = 353 – 59.(352)+ 1315.(35) + 2000

C = 18.625

c. Besarnya pendapatan:

R = – 2Q2 + 1000Q

R = – 2.(352)+ 1000.(35)

R = 32.550

d. Harga jual per unit:

R = P.Q, maka P = R/Q

P = 32550/35 = 930/unit

e. Adapun besarnya keuntungan maksimum tersebut adalah:

π = - (35)3 + 57 (35)2 – 315 (35) – 2000 =

atau:

13.925

π = R – C

π = 32.550 – 18.625 = 13.925

10 MATEMATIKA BISNIS

Latihan Diketahui:

1. R = – 26Q2 + 3300Q

C = Q3 – 2Q2 + 420Q + 750

2. P = – 0,2Q + 557

C = 0,05Q3 – 0,2Q2 + 17Q + 7000

3. P = – 3Q + 216

C = 0,08Q3 – 3Q2 + 120Q + 200

Ditanyakan:

a. Berapa tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum?

b. Berapa biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan keuntungan maksimum?

c. Berapa besarnya penerimaan pada saat perusahaan mencapai keuntungan

maksimum?

d. Berapa harga jual per unit pada saat perusahaan mencapai keuntungan

maksimum?

e. Berapa besarnya keuntungan maksimum tersebut?

Daftar Pustaka:

1. Dumairy. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. 1999. Yogyakarta. 2. Dowling Edward. Matematika untuk Ekonomi. 1995. Jakarta