desain_faktorial_3k
TRANSCRIPT
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
1/27
1
1. PENDAHULUAN
Eksperimen faktorial untuk faktor A dan B yang masing-masing
bertaraf a dan b telah di bahas di Bab V. Demikian pula eksperimen faktorial
untuk tiga faktor A, B dan C yang masing-masing mempunyai taraf a, b
dan c. Eksperimen ini jelas merupakan hal khusus dari pada eksperimen faktorial
berbentuk umum untuk k buah faktor yang
masing-masing bertaraf . bentuk khusus lain yang ternyata pula
dalam praktek sering di temukan, adalah apabila kita mempunyai k buah faktor
dengan tiap faktor bertaraf tiga. Dalam hal demikian, kita berhadapan dengan
eksperiman faktorial . Untuk mengetahui daya tahan semacam praktek
misalnya, kita bisa memperhitungkannya dari pengaruh tiga macam temperatur
(dingin, sedang, panas) dan pengaruh tiga macam kelembapan (50%,70%,90%).
Eksperimennya akan merupakan eksperimen faktorial . Juka juga untuk
pengukuran daya tahan perekat itu diperhitungkan kemungkinan adanya pengaruh
tiga macam larutan kosentrasi yang digunakan (encer, sedang, kental), maka kita
peroleh eksperimen faktorial .
Dalam bab ini akan dibicarakan analisis desain eksperimen faktorial ,
dengan titik berat dan .desain yang digunakan adalah desain acak
sempurna sedangkan faktor-faktornya akan di tinjau yang bertaraf tetap. Jenis
taraf faktor-faktor bisa kuantitatif atau kualitatif.
2. DESAIN FAKTORIAL
Seperti telah dikatakan diatas, apabila eksperimen kita menyangkut dua
faktor A dan B, tiap faktor bertaraf tiga, maka diperoleh eksperimen faktorial .
Perhatikan bahwa dalam , bilangan pangkat (ialah 2) menyatakan banyak faktor
sedangkan bilangan pokok (ialah 3) menunjukkan banyak taraf yang dimiliki
faktor-faktor.
Model untuk eksperimen ini, tanpa replikasi, adalah
VIII. (1) . . .
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
2/27
2
i = 1, 2, 3 dan j = 1, 2, 3
dengan arti setiap simbol dan asumsi-asumsi yang diperlukan seperti telah
diutarakan dalam bab-bab terdahulu.
Karena setiap faktor bertaraf tiga, maka akibatnya derajat kebebasan dk =
(3 - 1) = 2 untuk setiap faktor tersebut, sementara seluruhnya kita mempunyai 3 x
3 = 9 kombinasi perlakuan. Untuk menggambarkan atau melukiskan kesembilan
kombinasi dengan model diatas, ketiga taraf tiap faktor akan kita beri notasi
Taraf rendah dengan simbol 0,
Taraf menengah dengan simbol 1 dan
Taraf tinggi dengan simbol 2.
Dengan notasi ini, kesembilan kombinasi perlakuan dapat dilukiskan sebagai
berikut.
Taraf
2 02 12 22
* * *
Faktor B 1 01 11 21
* * *
0 00 10 20
* * *
0 1 2 Taraf
Faktor A
Secara lengkap, semua kombinasi di atas adalah , , , ,
, , , , dan untuk tiap kombinasi, nantinya berdasarkan
pengamatan hasil eksperimen, akan memiliki nilai respon eksperimen.
Dari skema di muka, jelas hendaknya bahwa angka pertama menyatakan
taraf faktor A sedangkan angka kedua menunjukkan taraf faktor B. demikianlah
misalnya 02, yang lengkapnya , merupakan kombinasi taraf rendah faktor A
dengan taraf tinggi faktor B.
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
3/27
3
Skema kombinasi perlakuan untuk eksperimen dengan model di atas,
memperlihatkan bahwa tiap sel kombinasi perlakuan hanya dikenakan kepada satu
unit eksperimen. Akibatnya, hanya efek-efek A dan B saja yang dapat diuji
dengan statistic F dibentuk sebagai rasio KT (sumber variasi A) dan KT (sumber
variasi B) terhadap KT (sumber variasi AB), sedangkan interaksi AB tidak dapat
diuji. Dengan kata lain, sumber variasi kekeliruan tidak ada, atau boleh dikatakan
melekatpada atau baurdengan interaksi AB. Ini dapat dilihat dari daftar ANAVA
berikut.
DAFTAR VIII (1)
ANAVA DESAIN FAKTORIAL
(SATU UNIT PER SEL)
Dari kenyataan ini, agar interaksi AB dapat diuji, maka dalam eksperimen perlu
dilakukan replikasi dalam kesembilan sel. Dengan kata lain, perlu dilakukan
eksperimen terhadap lebih dari satu unit eksperimen untuk tiap kombinasi
perlakuan. Jika replikasi ini dilakukan sebanyak r kali, maka model untuk
eksperimen faktorial menjadi (lihat model V (1), Bab V).
VIII. (2) . . .
i = 1, 2, 3
j = 1, 2, 3
k = 1, 2, 3, , r
Sumber Variasi dk
Rata-rata
Faktor A
Faktor B
Interaksi AB
1
2
2
4
Jumlah 9
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
4/27
4
Bahwasanya dengan melakukan replikasi kita dapat menguji interaksi AB, dapat
dilihat daftar ANAVA berikut.
DAFTAR VIII (2)
ANAVA DESAIN FAKTORIAL
(r REPLIKASI PER SEL)
Kekeliruan mempunyai dk = 9(r-1) sehingga oleh karenanya interaksi AB
dapat diuji terhadap sumber variasi kekeliruan ini.
Apabila salah satu faktor atau kedua faktor bertaraf kuantitatif dan
berinterval sama, dengan cara yang sudah dijelaskan dalam Bab VII, selanjutnya
kita dapat menentukan efek-efek linier dan kuadratik faktor-faktor tersebut,
termasuk semua interaksinya. Perhitungan jumlah kuadrat-kuadrat untuk tiap
sumber variasi, dapat dikerjakan sebagaimana telah dijelaskan dalam Bab V
mengenai eksperimen faktorial secara umum.
Untuk menjelaskan penggunaan kedua daftar ANAVA diatas, terlebih
dahulu kita analisis data yang tertera dalam daftar berikut. Daftar tersebut berisi
variabel respon karena efek faktor-faktor A dan B di mana replikasi tidak
dilakukan. Tiap faktor bertaraf 3 sehingga eksperimennya berbentuk factorial .
Sumber Variasi dk
Rata-rata
Faktor A
Faktor B
Interaksi AB
Kekeliruan
1
2
2
4
9(r-1)
Jumlah 9r
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
5/27
5
DAFTAR VIII (3)
RESPON KARENA DUA FAKTOR A & B
ANAVA DESAIN FAKTORIAL
(TANPA REPLIKASI)
FAKTOR
B
FAKTOR A
0 1 2
0 1.5 -3.0 4.5 3.0
1 0 6.0 1.5 7.5
2 3.0 -1.5 3.0 4.54.5 1.5 9.0 15.0
Jumlah kuadrat-kuadrat yang diperlukan adalah:
Dalam hasil perhitungan ini kita peroleh daftar ANAVA berikut.
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
6/27
6
DAFTAR VIII (4)
DAFTAR ANAVA UNTUK DATA DALAM DAFTAR VIII (3)
Sumber Variasi dk JK KT
Rata-rata
Faktor A
Faktor B
Interaksi AB
1
2
2
4
25
9.5
3.5
52
25
4.75
1.75
13
Jumlah 9 90.0
Tampak jelas bahwa interaksi AB tidak dapat diuji, sedangkan faktor-faktor A dan
B dapat diuji terhadap AB.
Jika kita lakukan replikasi terhadap eksperimen, misalkan dua kali, dan
diperoleh data seperti di bawah ini, keadaannya akan berbeda.
DAFTAR VIII (5)
RESPON DUA FAKTOR A DAN B DALAM DESAIN FAKTORIAL
(REPLIKASI 2 KALI TIAP SEL)
FAKTOR
B
FAKTOR A
0 1 2
0
1.5
1.0
(2.5)
-3.0
0.0
(-3.0)
4.5
2.5
(7.0) 6.5
1
0
1.0
(1.0)
6.0
2.5
(8.5)
1.5
2.0
(3.5) 13.0
2
3.0
2.0
(5.0)
-1.5
1.0
(-0.5)
3.0
2.0
(5.0) 9.5
8.5 5.0 15.5 29.0
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
7/27
7
Setelah disusun dalan daftar Anava, akan diperoleh daftar berikut.
DAFTAR VIII (6)
DAFTAR ANAVA UNTUK DATA DALAM DAFTAR VIII (5)
Sumber Variasi dk JK KT
Rata-rata
Faktor A
Faktor B
Interaksi AB
Kekeliruan
1
2
2
4
9
46.72
9.53
3.53
40.22
17.5
46.72
4.77
1.77
10.06
1.94
Jumlah 18 177.5 -
Dengan adanya sumber variasi untuk kekeliruan dengan dk = 9, maka
semua faktor termasuk interaksinya dapat diuji. Untuk model tetap misalnya,
semua diuji dengan mengambil rasio terhadap kekeliruan.
Apabila ternyata bahwa salah satu faktor atau kedua-duanya bertaraf
kuantitatif dan berinterval sama, maka selanjutnya kita dapat melakukan
pengujian untuk melihat apakah ada tidaknya efek-efek linier, kuadratik serta
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
8/27
8
segala bentuk interaksinya terhadap variabel respon Y. cara analisisnya dapat
dilakukan seperti telah diuraikan dalam Bab VII. Namun demikian marilah kita
lihat pemecahan efek faktor-faktor tersebut dalam hal kedua faktor berbentuk
kuantitatif.
Dengan menggunakan koefisien orthogonal dari Daftar F dalam Lampiran,
untuk k = 3, kita peroleh daftar koefisien berikut.
PolinomTaraf Faktor
Rendah Menengah Tinggi
0 1 2
Linier
Kuadratik
-1
+1
0
-2
+1
+1
2
6
1
3
Untuk menghitung jumlah kuadrat-kuadrat tiap bentuk polinom ataupun
interaksinya, sebaiknya kita buat daftar koefisien-koefisien seperti dalam Daftar
VIII (7) yang diturunkan dari daftar koefisien di atas.
DAFTAR VIII(7)
KOEFISIEN UNTUK DESAIN FAKTORIAL
KEDUA FAKTOR KUANTITATIF
FaktorKombinasi
00 01 02 10 11 12 20 21 22
-1
+1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
0
-2
0
+2
0
-2
-1
+1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
0
-2
-1
+1
0
0
+2
-2
0
-2
0
-2
0
0
0
+4
0
-2
+1
+1
0
0
-2
-2
+1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
+1
+1
0
-2
0
-2
0
-2
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
6
18
6
18
4
12
12
36
1.5 0 3.0 -3.0 6.0 -1.5 4.5 1.5 3.0 -
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
9/27
9
Dalam baris tidak terdapat faktor B. oleh karenanya tiga kolom
pertama berkoefisien -1 karena taraf A bernotasi 0; tiga kolom berikutnyaberkoefisien 0 dengan taraf A bernotasi 1 dan tiga kolom terakhir berkoefisien +1
karena taraf A bernotasi 2. Tiga kolom pertama untuk efek kuadratik
berkoefisien +1 karena taraf A bernotasi 0; tiga kolom berikutnya berisikan
koefisien -2 disebabkan taraf A bernotasi 1 dan tiga kolom terakhir berkoefisien
+1 untuk taraf A bernotasi 2. Dengan baris , efek linier untuk faktor B,
koefisien tiga kolom pertama berturut-turut -1, 0, +1. Ini disebabkan oleh karena
tarafnya berturut-turut bernotasi 0, 1, 2. Demikian pula tiga kolom terakhir. Tiga
kolom pertama dalam baris efek kuadratik berturut-turut berisikan koefisien-
koefisien +1, -2, +1 karena masing-masing taraf bernotasi 0, 1, 2. Hal yang sama
berlaku untuk tiga kolom ditengah dan tiga kolom terakhir. Koefisien-koefisien
untuk interaksi diperoleh sebagai hasil kali dari koefisien-koefisien bersesuaian
yang ada dalam kolom yang sama. Kolom terakhir berisikan jumlah kuadrat-
kuadrat koefisien yang diperlukan untuk perhitungan jumlah kuadrat-kuadrat
kontras.Jika daftar ini kita gunakan untuk memecahkan efek-efek faktor yang
datanya tercantum dalam Daftar VIII (3) misalnya, maka nilai pengamatan respon
diperlukan, dan ini telah dituliskan dalam baris akhir. (Jika ada replikasi,
dalam baris ini tentulah dituliskan jumlah nilai pengamatan dalam tiap sel
kombinasi).
Dengan cara yang telah dijelaskan dalam Bab VII, yakni mengalikan
koefisien-koefisien kontras dengan nilai-nilai yang bersesuaian kemudian
dijumlahkan, menggunakan Daftar VIII (3) dan Daftar VIII (7), diperoleh kontras-
kontras untuk ;
= -1(1.5)1(0)1(3.0) + 0(3.0) + 0(6.0) + 0(-1.5) + 1(4.5) + 1(1.5)
+ 1(3.0)
= 4.5
= +1(1.5) + 1(0) + 1(3.0)2(-3.0)2(6.0)2(-1.5) + 1(4.5) + 1(1.5)
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
10/27
10
+ 1(3.0)
= 10.5
= -1(1.5) + 0(0) + 1(3.0)1(-3.0) + 0(6.0) + 1(-1.5)1(4.5) + 0(1.5)
+ 1(3.0)
= 1.5
= +1(1.5)2(0) + 1(3.0) + 1(-3.0)2(6.0) + 1(-1.5) + 1(4.5)2(1.5)
+ 1(3.0)
= -7.5
= +1(1.5) + 0(0)1(-3.0) + 0(-3.0) + 0(6.0) + 0(-1.5)1(4.5) +
0(1.5) + 1(3.0)
= -3.0
= -1(1.5) + 2(0)1(-3.0) + 0(-3.0) + 0(6.0) + 0(-1.5) + 1(4.5)
2(1.5) + 1(3.0)
= 0.0
= -1(1.5) + 0(0) + 1(-3.0) + 2(-3.0) + 0(6.0)2(-1.5)1(4.5) +
0(1.5) + 1(3.0)
= -3.0
= +1(1.5)2(0) + 1(-3.0)2(-3.0) + 4(6.0)2(-1.5) + 1(4.5)
2(1.5) + 1(3.0)
= 42.0
Sehingga jumlah kuadrat-kuadrat kontras harganya adalah:
JK ( = = 3.375
JK ( = = 6.125
JK ( = = 0.375
JK ( = = 3.125
JK ( = = 2.25
JK ( = = 0
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
11/27
11
JK ( = = 0.75
JK ( = = 49
Hasil perhitungan di muka memberikan analisis lengkap seperti berikut.
DAFTAR VIII (8)
DAFTAR ANAVA UNTUK DATA DALAM DAFTAR VIII (3)
Sumber Variasi dk JK KT
Rata-rata
Faktor A
Faktor B
Interaksi AB
1
2
1
1
2
1
1
4
1
1
1
1
25
9.5
3.375
6.125
3.5
0.375
3.125
52
2.25
0
0.75
49
25
3.375
6.125
0.375
3.125
2.25
0
0.75
49
Jumlah 9 90.0
Karena tidak ada sumber variasi kekeliruann lihat juga Daftar VIII (4), kita
tidak bisa menguji efek-efek faktor. Agar efek-efek faktor bisa diuji, maka
pengamatan perlu dilakukan dengan replikasi.
Contoh Soal:
Pengaruh kekuatan pengembang (A) dan waktu pengembangan (B). Tiga
kekuatan pengembangan dan waktu pengembangan yang digunakan, dan empat
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
12/27
12
replikasi untuk desain faktorial . Kerjakan analisis data menggunakan metode
standar dari desain faktorial.DAFTAR VIII(9)
Kekuatan
Pengembang
Waktu Pengembangan
10 14 18
10
5
2
4
1
4
3
2
2
4
5
6
24
7
6
5
6
7
8
7
9
8
10
5
37
8
10
7
10
8
10
7
12
9
10
8
Penyelesaian :
DAFTAR VIII (10)
Kekuatan
Pengembang
Waktu Pengembangan
10 14 18
10
5
2
4 (11)
1
4
3
2 (10)
2
4
5
6 (17)
38
24
7
6
5 (22)
6
7
8
7 (28)
9
8
10
5 (32)
82
37
8
10
7 (32)
10
8
10
7 (35)
12
9
10
8 (39)
106
65 73 88 226
Dari di atas dapat dihitung jumlah kuadrat-kuadrat :
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
13/27
13
DAFTAR VIII (11)
DAFTAR ANAVA UNTUK DATA DALAM DAFTAR VIII (10)
Sumber Variasi dk JK KT
Rata-rata
Faktor A
Faktor B
Interaksi AB
Kekeliruan
1
2
2
4
27
1418.77
198.23
22.73
3.27
71
1418.77
99.115
11.36
0.81
2.62
Jumlah 36 1714 -
3. DESAIN FAKTORIAL 33
Desain faktorial 33merupakan desain eksperimen dengan 3 faktor misalnya
faktor A, B dan C dengan 3 taraf. Keseluruhan eksperimen tanpa replikasi
memerlukan 27 kombinasi perlakuan. Berikut ini sel-sel kombinasi perlakuan dari
desain eksperimen 33:
DAFTAR VIII(12)
Faktor B Faktor CFaktor A
0 1 2
0
0
1
2
000
001
002
100
101
102
200
201
202
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
14/27
14
Dalam notasi triplet diatas, angka pertama menyatakan notasi taraf faktor A,
angka kedua untuk notasi taraf faktor B dan angka terakhir menunjukkan notasi
taraf faktor C. Misalnya, notasi 012 menyatakan interaksi taraf rendah faktor A
dengan taraf menengah faktor B dan taraf tinggi faktor C.
Jika dilakukan eksperimen secara acak sempurna dan tanpa replikasi
terhadap ketiga faktor di atas, maka eksperimen tersebut akan mempunyai model:
Yijk= + Ai+ Bj+ ABij+ Ck+ ACik+ BCjk+ ABCijk+ ijk
dengan i = 1, 2, 3
j = 1, 2, 3
k = 1, 2, 3
Yijkt = variabel respon hasil observasi ke-t yang terjadi karena pengaruh
bersama taraf ke-i faktor A dengan taraf ke-j faktor B dan taraf ke-k
faktor C.
= rata-rata yang sebenarnya (konstan)
Ai = efek taraf ke-i faktor A
Bj = efek taraf ke-j faktor B
ABij = efek interaksi antara taraf ke-i faktor A dengan taraf ke-j faktor B
Ck = efek taraf ke-k faktor C
ACik = efek interaksi antara taraf ke-i faktor A dengan taraf ke-k faktor C
BCjk = efek interaksi antara taraf ke-j faktor A dengan taraf ke-k faktor C
ABCijk = efek interaksi antara taraf ke-i faktor A dengan taraf ke-j faktor B dan
taraf ke-k faktor C
t (ijk) = efek unit eksperimen ke-t dalam kombinasi perlakuan (ijk)
1
0
1
2
010
011
012
110
111
112
210
211
212
2
0
1
2
020
021
022
120
121
122
220
211
222
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
15/27
15
Karena tidak ada replikasi terhadap eksperimen, sebetulnya kedua buah
suku terakhir berbaur menjadi satu. Ini berarti sumber variasi kekeliruan tidak
terjadi mandiri. Akibatnya, penelitian terhadap interaksi ABC tidak dapat
dilakukan kecuali ada repikasi dalam eksperimen.
Tabel ANAVA untuk eksperimen faktorial 33dengan model di atas adalah
sebagai berikut:
DAFTAR VIII (13)
TABEL ANAVA DESAIN FAKTORIAL 3k
SATU UNIT TIAP SEL
Untuk model tetap, efek -efek faktor-faktor A, B, C dan interaksi-interaksi
AB, AC dan BC dapat diuji terhadap interaksi ABC. Dengan kata lain, bentuk
terakhir ini digunakan sebagai sumber variasi kekeliruan.
Apabila diinginkan penelitian terhadap efek interaksi ABC, maka replikasi
eksperimen perlu dilakukan dalam tiap sel kombinasi. Jika replikasi dilakukan
sebanyak r kali, maka akan diperoleh model
Yijk = + Ai+ Bj+ ABij+ Ck+ ACik+ BCjk+ ABCijk+ ijk
dengan i = 1, 2, 3
j = 1, 2, 3
Sumber Variasi dK
Rata-rata
Faktor A (a-1)
Faktor B (b-1)
Interaksi AB (a-1)(b-1)
Faktor C (c-1)
Interaksi AC (a-1)(c-1)
Interaksi BC (b-1) (c-1)
Interaksi ABC (a-1)(b-1) (c-1)
1
2
2
4
2
2
4
8
Jumlah 27
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
16/27
16
k = 1, 2, 3
= 1, 2, 3, , r
Dalam model terakhir ini, untuk menguji efek faktor-faktor dan interaksinya,
digunakan tabel ANAVA sebagai berikut.
DAFTAR VIII (14)
TABEL ANAVA DESAIN FAKTORIAL 33
(r REPLIKASI TIAP SEL)
Contoh:
Untuk mempelajari hasil produksi, telah dipertimbangkan kemungkinannya tiga
macam faktor, yaitu faktor hari (H), operator (O) dan konsentrasi larutan (K).
Hasil percobaan seperti dalam tabel di bawah ini.
DAFTAR VIII (15)
PRODUKSI SEBAGAI HASIL DESAIN FAKTORIAL 33
(DENGAN 3 REPLIKASI)
Sumber Variasi dK
Rata-rata
Faktor A (a-1)
Faktor B (b-1)
Interaksi AB (a-1)(b-1)
Faktor C (c-1)
Interaksi AC (a-1)(c-1)
Interaksi BC (b-1) (c-1)
Interaksi ABC (a-1)(b-1) (c-1)
Kekeliruan
1
2
2
4
2
2
4
8
27(r-1)
Jumlah 27r
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
17/27
17
Konsentrasi K
Hari
Senin Rabu Kamis
Operator O
X Y Z X Y Z X Y Z
0,5
1,0
1,2
1,7
0,2
0,5
0,7
0,2
0,0
0,3
1,0
0,0
0,5
1,0
0,0
0,0
1,2
0,0
0,5
1,7
1,2
1,2
0,2
0,7
1,0
0,5
1,0
1,7
1,0
5,0
4,7
4,2
3,2
3,7
3,5
3,5
3,5
3,2
4,0
3,5
3,5
3,2
3,0
4,0
3,7
4,0
4,2
4,5
5,0
4,7
3,7
4,0
4,2
3,7
4,5
3,7
2,0
7,5
6,5
7,7
6,0
6,2
6,2
7,2
6,5
6,7
6,5
6,0
6,2
5,2
5,7
6,5
7,0
6,7
6,8
6,7
7,5
7,0
7,5
6,0
6,0
6,2
6,5
7,0
Dalam eksperimen ini, tiga hari, tiga faktor dan tiga konsentrasi telah
diambil, sehingga dihasilkan faktor eksperimen 33. Hari dan operator merupakan
faktor kualitatif sedangkan konsentrasi larutan merupakan faktor kuantitatif dan
ditetapkan dengan ukuran 1/2, 1 dan 2. Taraf konsentrasi ini tidak berinterval
sama; tetapi akan berinterval sama apabila diambil logaritmanya. (Jika efek
polinom termasuk interaksinya ternyata signifikan, maka untuk keperluan
perkiraan tentulah logaritma ini yang digunakan).
Untuk menghitung jumlah kuadrat (JK) tiap sumber variasi, sebaiknya
dibuat tabel a x b x c, tabel a x b, tabel a x c dan tabel b x c seperti berikut.
Mialkan hari = a, operator = b dan konsentrasi = c.
Tabel a x b x c
a1 a2 a3
b1 b2 b3 b1 b2 b3 b1 b2 b3
c1
c2
c3
3,9
13,9
21,7
1,4
10,4
18,4
0,5
10,2
20,4
1,5
11,0
18,7
1,0
10,2
17,4
1,7
11,9
20,5
4,1
14,2
21,2
1,9
11,9
19,5
3,2
11,9
19,7
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
18/27
18
Tabel a x b
a1 a
2 a
3
b1 39,5 31,2 39,5
b2 30,2 28,6 33,3
b3 31,1 34,1 34,8
Tabel a x c
a1 a2 a3
c1 5,8 4,2 9,2c2 34,5 33,1 38
c3 60,5 56,6 60,4
Tabel b x c
b1 b2 b3
c1 9,5 4,3 5,4
c2 39,1 32,5 34c3 61,6 55,3 60,6
Dari tabel diatas dapat dihitung
Ry =
Dari tabel a x b x c, dapat dihitung
Jabc =
Dari tabel a x b, tabel a x c dan tabel b x c dapat dihitung
Jab =
Jac =
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
19/27
19
Jbc =
Selanjutnya kita dapatkan harga-harga
Ay =
By =
Cy =
ABy = 13,333,48 6,10 = 3,75
ACy = 469,323,48 465,35 = 0,49
BCy = 472,236,10465,35 = 0,78
ABCy = 480,873,486,10465,353,750,49 0,78 = 0,92
Ey = 1618,971128,213,486,10465,353,750,490,770,92
= 9,89
Misalkan eksperimen mempunyai model tetap, akan kita peroleh analisis
pertama seperti berikut.
DAFTAR VIII(16)
TABEL ANAVA
Sumber Variasi dK JK KT
Hari H
Operator O
Interaksi HO
Konsentrasi K
Interaksi HK
Interaksi OK
Interaksi HOK
Kekeliruan
2
2
4
2
4
4
8
54
3,48
6,10
3,75
465,35
0,49
0,78
0,92
9,89
1,74
3,05
0,94
232,675
0,12
0,19
0,12
0,18
Jumlah 80 490,76 -
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
20/27
20
Jika hasil-hasil KT di atas dibandingkan dengan nilai distribusi F
menggunakan dk yang sesuai, maka akan nampak bahwa pengaruh hari, operator
dan interaksi hari dan operator sangat nyata terhadap hasil produksi. Pengaruh
konsentrasi larutan sangat bukan main nyatanya terhadap variabel produksi.
Untuk melakukan analisis pemecahan faktor konsentrasi, kita susun daftar
yang terdiri dari jumlah nilai-nilai pengamatan dalam tiap sel.
DAFTAR VIII (16)
JUMLAH NILAI PENGAMATAN (PRODUKSI)
UNTUK INTERAKSI H X K dan O X K
HariKonsentrasi
OperatorKonsentrasi
0,5 1,0 2,0 0,5 1,0 2,0
Senin
Rabu
Kamis
5,8
4,2
9,2
34,5
33,1
38,0
60,5
56,6
60,4
X
Y
Z
9,5
4,3
5,4
39,1
32,5
34,0
61,6
55,3
60,6
Jumlah 19,2 105,6 177,5 Jumlah 19,2 105,6 177,5
Karena logaritma konsentrasi berinterval sama, maka dapat kita gunakan
koefisien-koefisien linier dan kuadratik untuk menghasilkan nilai-nilai kontras
konsentrasi.
KL = 1(19,2) + 0(105,6) + 1(177,5) = 158,3
KD = +1(19,2)2(105,6) + 1(177,5) = 14,5
Sehingga jumlah kuadrat-kuadrat kontras harganya masing-masing sebesar
JK(KL) = = 464,05
JK(KD) = = 1,30
Untuk menentukan kontras interaksi H x KL dan H x KD, perlu dihitung dulu
kontras tiap hari untuk tiap komponen KL dan KD. Perhitungannya dilakukan
dengan jalan mengalihkan koefisien-koefisien orthogonal dengan nilai-nilai
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
21/27
21
respon pada tiap taraf konsentrasi kemudian dijumlahkan. Jika hal tersebut
dilakukan, kita peroleh nilai-nilai kontras pada hari
Senin untuk KL = -1(5,8) + 0(34,5) + 1(60,5) = 54,7
Rabu untuk KL = -1(4,2) + 0(33,1) + 1(56,6) = 52,4
Kamis untuk KL = -1(9,2) + 0(38,0) + 1(60,4) = 51,2
Jumlah = 158,3
sehingga diperoleh
JK(H x KL) =
Selanjutnya kita hitung nilai-nilai kontras pada hari:
Senin untuk KD = +1(5,8)2(34,5) + 1(60,5) = 2,7
Rabu untuk KD = +1(4,2)2(33,1) + 1(56,6) = 5,4
Kamis untuk KD = +1(9,2)2(38,0) + 1(60,4) = 6,4
Jumlah = 14,5
sehingga diperoleh
JK(H x KD) =
Jelas bahwa jumlah nilai kedua JK interaksi ini haruslah sama dengan JK (H x K)
= 0,49.
Cara yang sama dapat dikerjakan, hanya sekarang untuk interaksi O x KLdan
O x KD. Kontras-kontras untuk KLpada hari
Senin : 1(9,5) + 0(39,1) + 1(61,6) = 52,1
Rabu : 1(4,3) + 0(32,5) + 1(55,3) = 51,0
Kamis : 1(5,4) + 0(34,0) + 1(60,6) = 55,2
Jumlah = 158,3
sehingga didapat
JK(O x KL) =
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
22/27
22
Selanjutnya dihitung nilai-nilai kontras untuk KDpada hari
Senin : +1(9,5)2(39,1) + 1(61,6) = 7,1
Rabu : +1(4,2)2(32,5) + 1(55,3) = 5,5
Kamis : +1(5,4)2(34,0) + 1(60,6) = 2
Jumlah = 14,6
sehingga dihasilkan
JK(H x KD) =
Lagi, jumlah kedua JK ini harus sama dengan JK (O x K) = 0,78.
Dengan memggunakan semua hasil perhitungan dia atas kita peroleh analisis
lengkap sebagai berikut
DAFTAR VIII (17)
TABEL ANAVA (LENGKAP)
Sumber Variansi dk JK KT
Hari H
Operator O
Interaksi HO
Komponen KL
Komponen KD
Interaksi H x KL
Interaksi H x KD
Interaksi O x KL
Interaksi O x KDInteraksi HOK
Kekeliruan
2
2
4
1
1
2
2
2
28
54
3,48
6,10
3,75
464,05
1,35
0,35
0,14
0,53
0,250,92
9,89
1,74
3,05
0,94
464,05
1,35
0,18
0,07
0,27
0,1250.12
0,18
Jumlah 80 490,76 -
Dari tabel ANAVA di atas, tampak bahwa konsentrasi larutan tidak saja
mempengaruhi produksi, akan tetapi juga mempunyai pengaruh berbentuk linier
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
23/27
23
dan kuadratik. (Statistik untuk bentuk kuadratik adalah F = = 7,83). Kedua
pengaruh tersebut sangat nyata sekali.
Contoh soal:
DAFTAR VIII (18)
Temperatur
Jenis Perangsang
A B C
Berat
20 g 25 g 30 g 20 g 25 g 30 g 20 g 25 g 30 g
15C
5,9
6,0
5,8
5,9
5,7
6,2
6,1
5,9
6,4
4,5
4,4
4,4
4,0
4,9
4,2
4,9
5,0
4,6
6,0
6,4
6,2
6,4
6,7
6,8
7,0
7,2
6,9
Jumlah 17,7 17,8 18,4 13,3 13,1 14,5 18,6 19,9 21,1
25C
5,4
5,8
5,2
5,4
5,0
5,1
5,9
6,0
5,6
4,5
4,0
4,4
4,9
5,0
4,7
5,1
5,2
5,0
5,9
5,9
5,8
6,2
6,3
6,5
6,9
7,3
7,5
Jumlah 16,4 15,5 17,5 12,9 14,6 15,3 17,6 19,0 21,7
30C
4,0
4,4
4,5
4,2
4,5
4,8
4,9
5,0
4,9
3,2
3,6
3,0
3,3
3,9
4,0
3,9
4,2
4,6
5,0
5,5
5,3
5,5
5,8
5,9
6,0
6,1
5,7
Jumlah 12,9 13,5 14,8 9,8 11,2 12,7 15,8 17,2 17,8
Untuk menghitung jumlah kuadrat (JK) tiap sumber variasi, sebaiknya dibuat
tabel a x b x c, tabel a x b, tabel a x c dan tabel b x c seperti berikut.
Mialkan jenis perangsang = a, berat = b dan temperatur = c.
Tabel a x b x c
a1 a2 a3
b1 b2 b3 b1 b2 b3 b1 b2 b3
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
24/27
24
c1
c2c3
17,7
16,412,9
17,8
15,513,5
18,4
17,514,8
13,3
12,99,8
13,1
14,611,2
14,5
15,312,7
18,6
17,615,8
19,9
19,017,2
21,1
21,717,8
Tabel a x b
a1 a2 a3
b1 47 36 52
b2 46,8 38,9 56,1
b3 50,7 42,5 60,6
Tabel a x c
a1 a2 a3
c1 53,9 40,9 59,6
c2 49,4 42,8 58,3
c3 41,2 33,7 50,8
Tabel b x c
b1 b2 b3
c1 49,6 50,8 54
c2 46,9 49,1 54,5
c3 38,5 41,9 45,3
Dari tabel a x b x c, dapat dihitung
2369,24
Ry =
Jabc =
Dari tabel a x b, tabel a x c dan tabel b x c dapat dihitung
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
25/27
25
Jab =
Jac =
Jbc =
Selanjutnya kita dapatkan harga-harga
Ay =
By =
Cy =
ABy = 56,3348,79 6,71 = 0,83
ACy = 68,1448,79 17,95 = 1,4
BCy = 25,0766,7117,95 = 0,41
ABCy = 76,9748,796,7117,950,831,40 0,41 = 0,88
Ey = 2369,242289,0948,796,7117,950,831,400,410,88
= 3,18
Dari perhitungan di atas, maka akan kita peroleh tabel ANAVA seperti
berikut.
TABEL ANAVA
Sumber Variasi dK JK KT
Jenis Perangsang P
Berat B
Interaksi PB
Temperatur T
Interaksi PT
Interaksi BT
Interaksi PBT
Kekeliruan
2
2
4
2
4
4
8
54
48,79
6,71
0,83
17,95
1,4
0,41
0,88
3,18
24,40
3,35
0,21
8,98
0,35
0,10
0,11
0,06
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
26/27
26
Dari tabel ANAVA di atas, berdasarkan jumlah JK maka akan terlihat
bahwa pengaruh jenis perangsang, berat dan temperatur sangat nyata terhadap
objek. Terutama pengaruh jenis perangsang sangat nyata sekali terhadap variabel
objek
4. DESAIN FAKTORIAL
Eksperimen faktorial untuk dan telah di jelaskan dalam
dua bagian terakhir bab ini. Urainnya dapat di perluas untuk harga-harga yang
lebih tinggi, misalnya untuk dan dan seterusnya. Eksperimen
faktorial misalnya, akan menyangkut empat faktor A, B, C dan D yang masing-
masing bertaraf tiga. Jika eksperimen dilakukan tanpa replikasi, keseluruhannya
akan melibatakan sebanyak 81 kombinasi perlakuan yang berarti sebanyak itu
pula unit eksperimen yang diperlukan. Mudah dimengerti kiranya, bahwa semakinbesar k, yakni makin banyak fakrtor yang di ikut sertakan dalam eksperimen
makin banyak lah unit eksperimen yang diperlukan; dan akan lebih maskin
banyak lagi apabila diperlukan replikasi.
Model eksperimen untuk harga-harga k yang lebih besar, dengan desai
acak sempurna dan dalam tiap sel kombinasi perlakuan terdapat r kali replikasi.
Jika demikian, tentulah makin panjang model yang akan kita milki dan makin
banyak pula suku-suku interaksi yang harus dibuat. Akan tetapi, karena dalm
prakteknya sering mengalami kesulitan menafsirkan interaksi antara banyaknya
faktor, biasanya orang membatasinya sampai paling tinggi dengan interaksi
anatara tiga faktor. Interaksi antara empat faktor atau lebih sering dianggap
sebagai sumber variasi kekeliruan.
Bentuk umum ANAVA untuk eksperimen faktorial dengan desian acak
sempurna dapat dilihat dalam daftar VIII (16)
Jumlah 80 80,15 -
-
7/26/2019 Desain_Faktorial_3k
27/27
DAFTAR ANAVA UNTUK DESAIN FAKTORIAL
(r Replikasi Tiap Sel)Sumber Variasi dk Jk
Rata-rata
Faktor
Interaksi 2 faktor
Interaksi 3 faktor
Interaksi 4 faktor dan
seterusnya
Kekeliruan
Dihitung dengan cara
biasa (lihat Bab V)
Jumlah
Daftar ANAVA di atas makin bertambah lagi apabila paling sedikit satu di antara
faktor-faktor bertaraf kuantitatif. Ini disebabkan oleh karena pemecahan tiap
faktor menjadi komponen-komponen linier dan kuardratik serta semua
interaksinya dapat diselidiki lebih lanjut.