csamt_teori_01
TRANSCRIPT
-
8/12/2019 CSAMT_Teori_01
1/9
1
Control Source Audio-frequency
Magneto Tellurics (CSAMT)
(Oleh: Asep Harja)
A. Medan Harmonik dari suatu dipole listrik horisontal di permukaan untukkasus half-space uniform.
Definisi dari suatu sistem koordinat dalam half-space
Kita ambil sistem koordinat kartesian dan sistem koordinat silinder yang sepusat dan
posisi dipole listrik, berada di atas half-space, dan searah sumbu-x. Bila arus dipole
berbentuk sinusoid:
ti-
0
ti-
eH
eE
H
E 0 (1)
Dengan assumsi arus pergeseran yang dapat diabaikan karena dari sifat pertimbangan
kuasi-statik(Nabighian,1991), persamaan Maxwell dapat ditulis sebagai berikut:
0
0
x
ix
E
H
EH
HE
(2)
E dan H pada persamaan (2) menggambarkan medan dengan fungsi amplitudo
kompleks. Dari defenisi potensial vektor dari jenis listrik() :
x
z
h
r
P
-
8/12/2019 CSAMT_Teori_01
2/9
2
AH x (3)
Karena medan elektromagnetik dalam half-space uniform bersifat relatif rumit, makauntuk menyederhanakan pencarian solusi digunakan potensial vektor listik.
Substitusi (3) ke M1 :
AE xx i
Atau (karena curl dari gradient nol)
E= iA U (4)
Dari M2 didapat :
Ukxx AAAE 22).(
Dimana konstanta propagasi didefenisikan ; k2= i-2, bentuk
adalah bentuk pergeseran yang dominan pada frekuensi tinggi dan dalam medium
nonkonduktif. Sedangkan adalah konduktivitas yang dominan pada frekuensi
rendah dan medium relatif konduktif. Dominasi bentuk konduktif terhadap bentuk
pergeseran adalah yang paling banyak terjadi pada material bumi pada frekuensi
CSAMT.Untuk kasus kuasi statik (>> ) , k2 = i, kmerupakan
bilangan gelombang.
Selanjutnya :
Div A= -U
Selanjutnya persamaan akan menjadi sederhana dalam fungsi Adan seluruh komponen
medan elektromagnetik dapat dinyatakan dalam bentuk potensial vektor A. Dari (3) dan
(4):
E= iA 1/ grad div U (5)
2A+k 2A = 0 (6)
Berbeda dengan kasusfull-spacehomogen yang konduktif, pada kasus half space, kita
akan mencari solusi dengan menggunakan dua komponen vektor potensial, yaitu
komponen horizontal Axdan komponen vertikal Az:
A = ( Ax,0,Az) (7)
-
8/12/2019 CSAMT_Teori_01
3/9
3
Persamaan 6 menggambarkan perilaku medan di mana saja kecuali pada interface
dimana komponen tangensial dari medan bersifat kontinyu. Dalam sistem koordinatkartesian, jika z = h, kondisi syarat batas ini ditulis sebagai berikut:
E1x=E2x, E1y=E2y
H1x=H2x, H1y=H2y (8)
Dimana E1, H1 dan E2, H2 adalah medan-medan bagian atas dan bagian bawah dari
half-space. Agar memenuhi kondisi syarat batas, kita harus mendapatkan persamaan
berikut di permukaan bumi:
2
2
1
1
2
2
21
1
1
11
11
AA
AA
divy
divy
divxAidivxAixx
Dan
xzxzyy
zxzxzz
221121 , AAAAAA
dengan mengintegrasikan persamaan di atas terhadap x dan y, kita peroleh dua
kelompok syarat batas:
A1x = A2x,1 2x xA A
z z
(9)
A1z= A2z, 22
1
1
11AA
(10)
Jika syarat batas pada persamaan (9) tidak mengandung suku-suku Az, maka terlebih
dahulu kita selesaikan komponen horizontal Ax, kemudian gunakan persamaan (10)
untuk menemukan komponen vertikal dari vektor potensial, Az.
Bila diassumsikan dipol berada pada kedalaman z = h. Sesuai dengan persamaan (6) dan
(9), komponen horizontal Axharuslah memenuhi persamaan :
2 2
1 1 1 0x xA k A jika z < 0 (11)
2 2
2 2 2 0x xA k A jika z > 0
dan
A1x = A2x, 1 2x xA Az z
jika z = 0
-
8/12/2019 CSAMT_Teori_01
4/9
4
Pada bagian bawah half space, komponen Azdapat ditulis sebagai penjumlahan
dari :
02 2 2
sx x xA A A (12)
dengan 0
2xA adalah komponen potensial vektor untuk sumber dipol listrik pada kasus
full space homogen, dan suku 2
s
xA adalah potensial vektor yang merepresentasikan
efek medan sekunder. Potensial vektor untuk sumber dipol listrik dinyatakan sebagai
berikut :
2
20
2 0 2 0 2 0
20
ik R m z h
xe mA p p e J mr dmR m
(13)
dengan 204
Ip dx
dx adalah panjang dipol, I adalah arus,
22 2 2 2
2 2 2, m =R r z h m k m i
Oleh karena vektor potensial
0
2xA
tidak bergantung pada koordinat , kita
dapat nyatakan vektor potensial untuk medan total dan sekunder sebagai fungsi
koordinat r dan z saja. Dengan asumsi bahwa medan harus berkurang seiring dengan
bertambahnya jarak dari sumber dipol, ekspresi untuk komponen Ax dapat ditulis
sebagai berikut :
1
2 2
1 0 2 1 0
0
2 0 2 1 0
20
m z
x
m z h m z
x
A p C e J mr dm
mA p e D e J mr dmm
(14)
Untuk mendapatkan konstanta C1dan D1, substitusi persamaan di atas ke persamaan (9)
sehingga diperoleh persamaan berikut:
2
2
1 1
2
1 1 2 1
m h
m h
mC e D
m
m C me m D
(15)
Konstanta C1 dan D1dapat ditulis sebagai berikut :
-
8/12/2019 CSAMT_Teori_01
5/9
5
2
2
1
1 2
2 11
2 2 1
2 m h
m h
mC e
m m
m mmD e
m m m
(16)
dengan 2 21 1m m k
Dengan demikian, ekspresi untuk komponen horizontal Ax adalah sebagai
berikut:
2 1
2 2
1 0 2 0
1 20
2 12 0 2 0
2 2 10
2 m h m z x
m z h m z h
x
mA p e e J mr dm
m m
m mmA p e e J mr dmm m m
(17)
Selanjutnya kita dapat menentukan ekspresi untuk komponen vertikal dari
vektor potensial Az, yang memenuhi persamaan gelombang :
2 2
1 1 1 0z zA k A jika z < 0 (18)
2 2
2 2 2 0z zA k A jika z > 0
serta syarat batas dari persamaan (10)
A1z= A2z
1 21 2
1 2
1 1x xz zA AA A
x z x z
Hasil yang diperoleh untuk Az ditulis sebagai berikut :
1
2
1 0 2 2 1
0
2 0 2 2 1
0
cos jika z0
m z
z
m z
x
A p C e J mr dm
A p D e J mr dm
(19)
Berbeda dengan komponen horizontal Ax, komponen vertikal Azbergantung pada sudut
azimutal karena Azuntuk HED pada kasusfull spacebernilai nol.
Dalam sistem koordinat silinder persamaan (18) dapat ditulis sebagai berikut :
011 2
2
2
22
2
2
2
z
zzzz AkA
rz
A
r
A
rr
A
Dapat dilihat bahwa fungsi pada persamaan (19) memenuhi persamaan ini tanpa harusmencari nilai koefisian C2 dan D2. Dengan mensubstitusi persamaan (19) ke (10), kita
-
8/12/2019 CSAMT_Teori_01
6/9
6
dapatkan dua persamaan dimana nilai C2dan D2bisa ditentukan:
C2= D2
221
22
211
1
211
DmDem
mmCmmC hm
(20)
substitusi persamaan (16) ke (20), diperoleh :
221121
221
22
22
mmmm
emDC
hm
(21)
Dengan demikian kita dapatkan persamaan untuk komponen vertikal dari vektor
potensial Az:
dmmrJmmmm
eempA
dmmrJmmmm
eempA
zmhm
z
zmhm
z
1
0 221121
2
21022
1
0 221121
2
21021
22
12
2cos
2cos
(22)
Pada kasus ini, bagian atas sebagai insulator dan dipol berada di permu-
kaan bumi pada h = 0, kemudian dengan definisi m1=m dan m2=m1maka kita
dapatkan :
dmmrJemm
mpA
dmmrJemm
mpA
m zz
m zx
1
0 1
01
0
0 1
01
2cos
2
jika z < 0 (23)
dmmrJemm
mpA
dmmrJemm
mpA
zm
z
zmx
1
0 1
02
0
0 1
02
1
1
2cos
2
jika z > 0 (24)
dengan
dxI
p
40 imkmm
222
1 (25)
Untuk mendapatkan medan listrik di permukaan, kita tentukan pernyataan-pernyataan
untuk div A, Mengikuti persamaan (23) dan (24):Div A1 = 0
-
8/12/2019 CSAMT_Teori_01
7/9
7
dan
dmmrJmcosp2div 1002
A
jika z = 0 (26)
Integral ini adalah 1/r2, sehingga
cosr
p2div
2
0x1 A (27)
Dengan defenisi : div A = U
Di permukaan bumi, fungsi potenial U akan coincide dengan potensial medan stationer
( = 0) pada seluruh frekuensi. Sehingga :
cosr4
Idx2cosr
p2U 220 (28)
Dengan menggunakan persamaan (28) di atas dan persamaan (5), pernyataan untuk
kelakuan medan elektromagnetik di penghantar half-space dalam koordinat silinder:
Ar
AiE rr
1
z
Ar
A
rH zr
1
ArAiE
1
r
A
z
A
H
zz
(29)
Az
AiE zz
1
rz
ArA
rrH
1
dengan
cosxr AA sinxAA (30)
Kita mempunyai pernyataan berikut untuk komponen mendatar dari intensitas medan
listrik:
2
0 1
00r
r
1
r
1dm
mm
)mr(mJicosp2E
(31)
3
0 1
00
r
11dm
mm
)mr(mJisinp2E
(32)
Diketahui:
ikr1e1rk1
dm)mr(Jmm
m ikr32
00
1
(33)
-
8/12/2019 CSAMT_Teori_01
8/9
8
Karena itu :
ikr1e1r
cosp2E ikr
3
0r
(34)
ikr1e2r
sinp2E ikr
3
0
(35)
Kemudian untuk komponen vertikal dari medan listrik dalam medium penghantar akan
mendekati nol saat titik pengukuran dilakukan di permukaan. Kemudian untuk medan
magnet :
dm)mr(Jmm
mmdm)mr(Jmm
msinr2
IdxH0
0
1
1
0
1
1
r
(36)
Dengan menggunaka identitas dari fungsi Bessel didapat0:
22002
1100r KIKI4
rkKIKI
rsin
r4
IdxH
(37)
Dengan menggunaka identitas deret :
2
ikrK2
ikrI2
ikrK2
ikrIikr2
ikrk2
ikrI6sinr4
IdxH 1001112r
(38)
Dan untuk komponen medan dalam arah :
dm)mr(Jmm
m2dm)mr(J
mm
mm2cos
r2
IdxH
0
'1
1
2
0
0
1
1
(39)
Seperti untuk Hr, menggunakan identitas didapat:
cos2
ikrK2
ikrIr2
IdxH 112
(40)
Dan untuk komponen vertikal dari medan magnet :
dm)mr(Jmmdm)mr(Jmr
sin2
IdxH
0
01
0
02
z
(41)
Dengan identitas :
22ikr42z
rk
3
1ikr1e1sin
rk2
Idx3H
(42)
-
8/12/2019 CSAMT_Teori_01
9/9
9
B. Penyelesaian Dipole Listrik Horisontal (Bumi homogen)Untuk dipole listrik panjang dl searah sumbu-x dan dibumikan di permukaan bumihomogen half-space dalam pendekatan kuasi statik (>>) dan jarak titik ukur dari
transmiter r