Teori AntrianBy: Dwi Liestyowati

Slide 2

Pengertian dan Definisi

• Antrian adalah gambaran kondisi kinerja suatu sistem produksi/pelayanan yang ditandai dengan adanya suatu panjang antrian dan waktu tunggu tertentu.

• Antrian terjadi karena adanya unsur random (memoriless) dalam sistem kedatangan dan pelayanan.

• Beberapa contoh antrian:– Kendaraan yang menunggu di lampu lalulintas– Kendaraan yang meunggu di loket jalan tol– Pasien yang menunggu di rumah sakit– Kendaraan yang menunggu giliran di bengkel– Surat yang menunggu pengetikan oleh sekretaris– Sistem inventory barang di gudang

Elemen dasar Model Antrian• Model antrian adalah model yang menggambarkan kondisi elemen suatu

antrian secara matematis.• Elemen Antrian umumnya terdiri dari:

– Gambaran distribusi kedatangan (arrival process)– Gambaran distribusi waktu pelayanan (service time)– Desain fasilitas pelayanan– Disiplin pelayanan– Kapasitas jumlah antrian– Gambaran sumber permintaan (calling source)– Perilaku orang yang antri

Sistem Produksi / Pelayanan

INPUT PROCESS

OUTPUT

Model Kedatangan

Model Pelayanan

AntrianDisiplin

pelayanan

Fasilitas pelayanan

Distribusi kedatanga

nPerilaku orang

Kapasitas antrian

Sumber permintaan

Slide 3

Jenis dan Tipologi Antrian

• Sistem Antrian

x x x x x x x x x

1

2

c

|

|

|

Kedatangan Pelanggan

Antrian atau Lajur tunggu

Fasilitas Pelayanan

Keberangkatan Pelanggan

Notasi Antrian

• Kodifikasi / Notasi Kendall-Lee D.G. Kendall (1953) dan A.M. Lee (1966)

(a/b/c) : (d/e/f)

a = distribusi kedatanganb = distribusi waktu pelayananc = jumlah server paralel (1,2…)d = disiplin pelayanan (FCFS, LCFS, SIRO)e = kapasitas sistem (antrian + service)f = ukuran sumber permintaan.

Pola Distribusi Kedatangan dan Pelayanan

Pola distribusi kedatangan dan waktu pelayanan

M = Ditribusi kedatangan/keberangkatan Poisson (Markovian) atau distribusi

waktu antar kedatangan/ waktu pelayanan exponential.

D = waktu antar kedatangan dan pelayanan konstan atau deterministik

Ek = Distribusi Erlang atau gamma dengan parameter k

GI = Distribusi independen umum untuk kedatangan atau waktu antar kedatangan

G = Distribusi umum untuk keberangkatan atau waktu pelayanan.

Slide 4

Model Antrian1. Pola Distribusi Kedatangan/Keberangkatan Tingkat kedatangan/keberangkatan umumnya mengikuti distribusi diskrit Poison:

mean = variance = t = tingkat kedatangan per satuan waktu

2. Pola Distribusi waktu antar-kedatangan ( interarrival ) / waktu pelayanan umumnya mengikuti distribusi kontinyu exponential:

mean = 1/ ; variance = 1/2 = tingkat kedatangan per satuan waktu

f (T) = e -T T > 0 …

Ukuran Kinerja Antrian

Pada kondisi stabil, ukuran kinerja antrian dapat digambarkan oleh parameter berikut:

Ls = rata-rata jumlah orang dalam sistemLq = rata-rata panjang antrianWs = rata-rata waktu tunggu dalam sistem (dalam antrian + dalam pelayanan)Wq = rata-rata waktu tunggu dalam antrian

Intensitas = = / < 1.0

Ukuran Kinerja Antrian

Ls = Ws

Lq = Wq

Ws = Wq + 1/

Tingkat pelayanan =

Tingkat Kedatangan =

Slide 5

Ukuran Kinerja Antrian

Ls = n.pn

Ws = Ls/

Wq = Ws-1/

Lq = Wq

Pn = Probabilitas n

Rumus Antrian Tipe(M/M/1): (GD// )

Ls = /(1-)

Ws = 1/ (1- )

Wq = / (1- )

Lq = 2/(1-)

Pn = (1-) n

Notasi Dalam Sistem Antriann = jumlah pelanggan dalam sistem

Pn = probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem

λ = jumlah rata-rata pelanggan yang datang per satuan waktu

μ = jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per satuan waktu

Po = probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem

P = tingkat intensitas fasilitas pelayanan

L = jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dalam sistem

Lq = jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam sistem

W = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam sistem

Wq = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama menunggu

dalam antrian

1/ μ = waktu rata-rata pelayanan

1/ λ = waktu rata-rata antar kedatangan

S = jumlah fasilitas pelayanan

Slide 6

Contoh Antrian Tipe(M/M/1): (GD// )

Contoh Soal 1:

Sebuah gerbang tol memiliki tingkat kedatangan rata-rata 400 kendaraan per jam mengikuti distribusi Poisson. Rata-rata kendaraan dilayani selama 7 detik yang sebarannya mengikuti distribusi exponensial.

Hitung Panjang antrian rata-rata (Lq) dan waktu antrian rata-rata Wq.

Jawab:Tingkat kedatangan = = 400 kendaraan/jamTingkat pelayanan = = 3600/7= 514 kendaraan/jamTingkat intensitas = / = 400/514 = 0.778 < 1

Mengingat tipe antrian adalah (M/M/1), makaLs = /(1-) = 0.778/(1-0.778) = 3.5 kendaraanWs = 1/ (1- ) = 1/514(1-0.778)=31.5 dtkWq = / (1- ) = 0.778/514(1-0.778)=24.5 dtkLq = 2/(1-) =0.7782/(1-0.778)=2.72 3 kendaraan

Jadi panjang antrian rata-rata adalah = 3 kendaraan, dengan waktu antrian rata-rata 24.5 detik.

Contoh Soal 2 :

UD ABC mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu orang pekerja yaitu Ali. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi Poisson, yaitu 20 kendaraan/jam. Ali dapat melayani rata-rata 25 kendaraan/jam. Jika diasumsikan model sistem antrian yang digunakan adalah M/M/1, hitunglah:

1) Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan2) Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem3) Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian4) Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggu pelayanan)5) Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrianJawab.Diketahui: λ = 20, μ = 25 p = λ / μ = 20/25 = 0.80Bahwa Ali akan sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktunya, sedangkan 20% dari waktunya (1-p) untuk istirahatL = λ / (μ – λ) = 20 / (25 - 20) = 4, atau L = p / (1-p) = 0.80 / (1-0.80) = 4Angka 4 menunjukkan bahwa Ali dapat mengharapkan 4 kendaraan yang berada dalam sistem

Lq = λ2 / μ (μ – λ) = (20)2 / 25(25-20) = 3.2Jadi kendaraan yang menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3.2 kendaraanW = 1 / (μ – λ) = 1 / (25 - 20) = 0.2 jam atau 12 menitJadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menitWq = λ / μ (μ – λ) = 20 / 25(25 - 20) = 0.16 jam atau 9.6 menitJadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam antrian selama 9.6 menit

Slide 7

Latihan Soal.

1.Sebuah Airport dapat menerima 2 pesawat dalam kurun waktu 3 menit dengan variasi mengikuti distribusi poisson. Rata-rata waktu tunggu mempunyai distribusi exponential sebesar 5 menit

a) Berapa rata-rata waktu antar kedatangan pesawat ?b) Berapa peluang sistem dalam keadaan sibuk guna melayani pesawat-2

tersebut ?c) Berapa jumlah rata-rata pesawat yang dapat dilayani dalam sistem ?

Jawab:Kronologis simulasi antrian

Tabel 1. Waktu antar Kedatangan (menit) Tabel 2. Waktu Service (menit)

Tabel 3. Hasil Simulasi

Tabel 4. Kronologis Urutan Kejadian

CustomerAntar

KedatanganJam waktu

Kedatangan1 0 02 2 23 4 64 1 75 2 96 6 15

CustomerWaktu

Pelayanan1 22 13 34 25 16 4

Nomor Customer

Waktu (jam) Kedatangan

Awal Pelayanan

(jam)

Waktu Pelayanan

(durasi)

Akhir Pelayanan

(jam)1 0 0 2 22 2 2 1 33 6 6 3 94 7 9 2 115 9 11 1 126 15 15 4 19

Tipe KejadianNomor

PelangganWaktu (jam)

Kedatangan 1 0Keberangkatan 1 2Kedatangan 2 2Keberangkatan 2 3Kedatangan 3 6Kedatangan 4 7Keberangkatan 3 9Kedatangan 5 9Keberangkatan 4 11Keberangkatan 5 12Kedatangan 6 15Keberangkatan 6 19

Slide 8

2. Perusahaan A sedang mencoba menentukan rata-rata customer menunggu dalam sistem , jika customer rata-rata menunggu lebih dari 10 menit maka pihak perusahaan akan menambah kasir dan memberikan bonus. Data yang didapat pada tabel A.8.5 dan tabel A.8.6 Kasir buka jam 9 pagi. Pertanyaannya:

a) Apakah perlu menambah kasir dengan simulasi 15 kali ?b) Customer ke berapa yang mendapatkan bonus ?

Jawab:

Tabel 5. Waktu Pelayanan Tabel 6. Waktu Kedatangan

Tabel 7. Interval Bilangan Acak

Tabel Bilangan Acak untuk Service dan Kedatangan

Pertanyaan:Apakah perlu menambah Kasir dengan simulasi 15 kali?Customer ke berapa yang mendapatkan Bonus?

Waktu Pelayanan

Probabilitas Frequensi

0 01 0,252 0,23 0,44 0,15

Waktu antar Kedatangan

Probabilitas (Frequensi)

0 0,11 0,352 0,253 0,154 0,15 0,05

Antar Kedatangan

Kumulatif Probabilitas

Interval Bilangan acak

Waktu Pelayanan

Kumulatif Probabilitas

Interval Bilangan acak

0 0,1 1 - 10 0 0 -1 0,45 11 - 45 1 0,25 1 - 252 0,7 46 - 70 2 0,45 26 - 453 0,85 71 - 85 3 0,85 46 - 854 0,95 86 - 95 4 1 86 - 995 1 99

Kedatangan Pelayanan

No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Service 52 37 82 69 98 96 33 50 88 90 50 27 45 81 66Arrival 50 28 68 36 90 62 27 50 18 36 61 21 46 1 14

Slide 9

Penyelesaian:Tabel 8. Antar Kedatangan dan Waktu Pelayanan

Tabel 9. Perhitungan antrian

Bil acak Antar Bil acak WaktuKedatangan Kedatangan Service Service

1 50 2 52 32 28 1 37 23 68 2 82 34 36 1 69 35 90 4 98 46 62 2 96 47 27 1 33 28 50 2 50 39 18 1 88 4

10 36 1 90 411 61 2 50 312 21 1 27 213 46 2 45 214 01 0 81 315 14 1 66 3

No. Cust

Antar Waktu Waktu Awal Akhir Waktu Waktu WaktuKedatangan Kedatangan Service Service Service Tunggu dlm Sistem Idle

1 2 9.02 3 9.02 9.05 0 3 22 1 9.03 2 9.05 9.07 2 4 03 2 9.05 3 9.07 9.10 2 5 04 1 9.07 3 9.10 9.13 4 7 05 4 9.10 4 9.13 9.17 3 7 06 2 9.12 4 9.17 9.21 5 9 07 1 9.13 2 9.21 9.23 8 10 08 2 9.15 3 9.23 9.26 8 11 09 1 9.16 4 9.26 9.30 10 14 0

10 1 9.17 4 9.30 9.34 13 17 011 2 9.19 3 9.34 9.37 15 18 012 1 9.20 2 9.37 9.39 17 19 013 2 9.22 2 9.39 9.41 17 19 014 0 9.22 3 9.41 9.44 19 21 015 1 9.23 3 9.44 9.47 21 24 0

45 144 188 2

No. Cust