SOAL-SOAL PERSAMAAN DIFFERENSIAL

1. (2xy + x²) dx + (x² + y²)= 0JawabLangkah 1buktikan persamaan differensial eksak.

M(x,y) = (2xy + x²) →

∂M ( x , y )∂ y = 2y dan

N(x,y) = (x² + y²) →∂N ( x , y )

∂ x = 2y

Nilai di atas = 0, maka persamaan differensial diatas merupakan persamaan ∂ y ∂ x

Langkah 2

Selesaian PD di atas adalah F(x,y) = C. Untukmendapatkan F(x,y) = C dapatdigunakankesamaan:

∂F ( x , y )∂ y = N(x,y) dan

∂F ( x , y )∂ x = M(x,y).

∂F ( x , y )∂ y = (x² + y²)

F(x,y) = ∫ x ²+ y ²dy

= x²y +2y + F(x)

∂F ( x , y )∂ x = M(x,y).

∂∂ x

(x²y +2y + F(x)) = 2xy + x²

2xy + F’(x) = 2xy + x²

F’(x) = x²

F(x) = 13x

3

+ C

Primitifpersamaanadalah F(x,y) = x ² y+2 y+ 13x

3

+¿ C

2) 3x²y² dx + (2x³y + 4y³) dy = 0

Jawab

Langkah 1

Pembuktian Persamaan Diferensial Eksak

𝜕𝑀 M (x, y) = 3x²y² à = 6𝑥² 𝑦𝜕𝑦𝜕𝑁 N (x, y) = 2x²y + 4y³à = 6𝑥² 𝑦𝜕𝑥𝜕𝑀𝜕𝑁 Karena = , maka persamaan diferensial diatas merupakan persamaan 𝜕𝑦𝜕𝑥 diferensial eksak.

Mencari Solusi Umum Langkah 2 (mencari f (x,y)) 𝑥 f (x,y) =[ M (x, y) dx ] + (∅ 𝑦) 𝑥 = 3x 2 y 2 dx + (∅ 𝑦) = x3y2+ (∅ 𝑦).

Langkah 3 𝜕𝑓𝜕𝑥𝜕 = [ M (x, y) dx ] + ∅ 𝜕𝑦𝜕𝑦𝜕𝑦𝜕𝑥𝜕 = [ 3x 2 y 2 dx ] + ∅ 𝜕𝑦𝜕𝑦𝜕 = 2x3y + (∅ 𝑦) 𝜕𝑦 Langkah 4

(mencari (∅ 𝑦))𝜕𝑓 = N (x,y)𝜕𝑦𝜕2x3y + (∅ 𝑦) = 2x3y + 4y3 𝜕𝑦𝜕 (∅ 𝑦) = 2x3y + 4y3 - 2x3y 𝜕𝑦 (∅ 𝑦) = 4y 3 dy = y4 + k

Langkah 5 (Solusi Umum)f (x,y) = x³y²+ (∅ 𝑦) = x³y²+ y⁴ = kMaka solusi umumnya adalah = x³y²+ y⁴ + C dengan nilai C = k

3.3 x2 y2dx+(4 x3 y−12 )dy=0

Jawab Langkah 1

Buktikan differensial eksaknya:

M(x,y) = (3 x2 y2

)→

∂M ( x , y )∂ y = 6y dan

N(x,y) = (4 x3 y−12

)→∂N ( x , y )

∂ x = 12x²

Sehingga persamaan di atas tidak eksak karena

∂M ( x , y )∂ y ¿

∂N ( x , y )∂ x

Langkah 2

mencari ψ (x,y) sebagai faktor integrasi

Karena

∂M (x , y )∂ y

−∂N ( x , y )

∂ xN ( x , y ) =

6 y−12x ²4 x ³ y−12

=

2 yy

Maka ψ (x,y) = e∫2 y / y = y²

Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan differensial eksak yaitu:

y2 (3x2 y2 )dx+ (4 x3 y−12 )dy+C

4. 2x²y dx + (x²-y²) dy

Langkah 1Buktikan differensial eksaknya:

M(x,y) = (2 x ² y

)→

∂M ( x , y )∂ y = 2x² dan

N(x,y) = (x ²− y ²

)→∂N ( x , y )

∂ x = 2x

Sehingga persamaan di atas tidak eksak karena

∂M ( x , y )∂ y ¿

∂N ( x , y )∂ x

Langkah 2

mencari ψ (x,y) sebagai faktor integrasi

Karena

∂M (x , y )∂ y

−∂N ( x , y )

∂ xN ( x , y ) =

2x ²−2xx ²− y ²

=

1y ²

Maka ψ (x,y) = e∫ y ²dx=e º=x

Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan differensial eksak yaitu:

(2 x ² y )dx+x (x ²− y ² )dy+C

5. (2y – x²) dx + x dy = 0Jawab

Langkah 1Buktikan differensial eksaknya:

M(x,y) = (2 y−x ²

)→

∂M ( x , y )∂ y = 2dan

N(x,y) = x dx→∂N ( x , y )

∂ x = 1

Sehingga persamaan di atas tidak eksak karena

∂M ( x , y )∂ y ¿

∂N ( x , y )∂ x

Langkah 2

mencari ψ (x,y) sebagai faktor integrasi

Karena

∂M (x , y )∂ y

−∂N ( x , y )

∂ xN ( x , y ) =

2−1x

=

1x

= f(x)

Maka ψ (x,y) = e∫ x dx=e∈x=x

Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan differensial eksak yaitu:

x (2 y−x ² )dx+x dy+C

6. ( x + 2y ) dx + ( 4y + 2x ) dy = 0

Jawab. Langkah 1

buktikan persamaan differensial eksak.

M(x,y) = (x + 2y) →

∂M ( x , y )∂ y = 2 dan

N(x,y) = (4y + 2x) →∂N ( x , y )

∂ x = 2

Nilai di atas = 0, maka persamaan differensial diatas merupakan persamaan ∂ y ∂ x

Langkah 2

Selesaian PD di atas adalah F(x,y) = C. Untukmendapatkan F(x,y) = C dapatdigunakankesamaan:

∂F ( x , y )∂ y = N(x,y) dan

∂F ( x , y )∂ x = M(x,y).

∂F ( x , y )∂ y = (4y + 2x)

F(x,y) = ∫ 4 y+2 xdy

= y+2x F(x)

∂F ( x , y )∂ x = M(x,y).

∂∂ x

(y +2x + F(x)) = x + 2y

x + F’(x) = x+2y

F’(x) = 2y

F(x) = y²+ C

Primitifpersamaanadalah F(x,y) = y+2 x+ y ²C

7. (2 x+3 y )dx+(3 x+4 y )dy=0

P=2 x+3 yQ=3 x+4 y

∂ p∂ y

=3∂Q∂ x

=3

P= ∂ f∂ x

=2x+3 y Q= ∂ f∂ y

=3x+4 y

f ( x , y )=∫ (2 x+3 y )dx+C ( y )

¿ x2+3xy+C ( y )

∂ f∂ y

=3x+C ' ( y )

¿3 x+4 y

C ( y )=4 y

C ( y )=∫ 4 ydy

¿2 y ²+C

f ( x , y )=x2+3xy+2 y2=C

8. (3 x+4 y )dx+( 4 x+4 y )dy=0

P=3 x+4 yQ=4 x+4 y

∂ p∂ y

=4∂Q∂x

=4

P= ∂ f∂ x

=3x+4 y Q= ∂ f∂ y

=4 x+4 y

f ( x , y )=∫ (3 x+4 y )dx+C ( y )

¿ x2+4 xy+C ( y )

∂ f∂ y

=4 x+C ' ( y )

¿4 x+4 y

C ( y )=4 y

C ( y )=∫ 4 ydy

¿2 y ²+C

f ( x , y )=x2+4 xy+2 y2=C

9. (3 x+8 y )dx+ (8x+4 y )dy=0

P=3 x+8 y Q=8 x+4 y

∂ p∂ y

=8∂Q∂ x

=8

P= ∂ f∂ x

=3x+8 y Q= ∂ f∂ y

=8 x+4 y

f ( x , y )=∫ (3 x+8 y )dx+C ( y )

¿ x3+8 xy+C ( y )

∂ f∂ y

=8 x+C ' ( y )

¿4 x+8 y

C ( y )=8 y

C ( y )=∫ 8 ydy

¿4 y ²+C

f ( x , y )=x3+8 xy+4 y2=C

10. (8 x+2 y )dx+(9 x+4 y )dy=0

M=8 x+2 y N=9 x+4 y

∂ p∂ y

=2∂Q∂x

=9

Sehingga persamaan diatas tidak eksak karena :

∂M∂ y

≠∂ N∂ x

11. (5 x+9 y )dx+ (4 x+2 y )dy=0M=5 x+9 y N=4 x+2 y

∂ p∂ y

=9∂Q∂ x

=4

Sehingga persamaan diatas tidak eksak karena :

∂M∂ y

≠∂ N∂ x

12. (2 x+5 y )dx+(7 x+6 y )dy=0

M=2 x+5 y N=7 x+6 y

∂ p∂ y

=5∂Q∂ x

=7

Sehingga persamaan diatas tidak eksak karena :

∂M∂ y

≠∂ N∂ x