1

Pertemuan 5

P.D. Tak Eksak Dieksakkan

Matakuliah : K0602/Persamaan Diferensial

Tahun : 2005

Versi : versi-1/revisi-1

2

Learning Outcomes

Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa

akan mampu :

• TIK-6 :

Mhs dapat menhitung PD Tak Eksak Dieksakkan

3

Outline Materi

• Materi 5

- PD Tak Eksak Dieksakkan

4

<<ISI>>

P.D. Tak Eksak Dieksakkan

Bentuk: f x y dx g x y dy, , 0

f

y

g

x

Cara penyelesaian:P.D. dikalikan dengan fungsi v x y,sedemikian hingga menjadi eksak v x y,

disebut faktor integrasi

5

Singkatnya: f x y dx g x y dy, , 0

v f dx

y

v g

x

vf

yf

v

yv

g

xg

v

x

.

.

. . . .

+ v. g dy = 0

v. f

vf

y

g

xg

v

xf

v

y

vg

v

xf

v

yf

y

g

x

v

. .

. .?

6

Kemungkinan-kemungkinan jenis

yang digunakan:a. v x fungsi x saja, maka

v

y0

b. v y fungsi y saja, maka

v

x0

c. v z

z x y

v

x

v

z

z

x

v

zv

y

v

z

z

y

v

z

.

.

7

d. v z

z xy

v

x

v

z

z

xy

v

zv

y

v

z

z

yx

v

z

. .

. .

e. v z

z x y

v

x

v

z

z

x

v

zv

y

v

z

z

y

v

z

.

.

8

f. v z

z x y 2 2

v

x

v

z

z

xx

v

zv

y

v

z

z

yy

v

z

. .

. .

2

2

g. dll

9

Catatan:(i). Jika v x y, ditentukan bukan masalah

(ii).Jika v x y, ditentukan jenisnya, jabarkan seperti di atas

(iii). Jika v x y, tidak ditentukan jenis, harus mencari sendiri ini menjadi masalah, hal ini nanti kita bicarakan kemudian.

10

Contoh:1. x y y dx x x dy v x2 31 0 ,

Jawab : v xv

y

0 singkatnya:

du

v g

f

y

g

x

du

v

x x

x xdx

1

1 1 32 2

3

dx

11

du

v

x

xdx

2

12

ln lnvx

vx

1

11

1

2

2

x y y

xdx

x x

xdy

x y y

xdx x dy

2

2

3

2

2

2

1

1 10

1

1

= 0 eksak

12

du

v

x

xdx

2

12

ln lnvx

vx

1

11

1

2

2

x y y

xdx

x x

xdy

x y y

xdx x dy

2

2

3

2

2

2

1

1 10

1

1

= 0 eksak

13

xx

1

12

xx

dx Arc tg x1

12

Jadi

F x y c xy Arc tg x , = c

14

2. y dx dy v y+ 2x - y.e y 0,

Jawab:

v yv

x

f

y

g

x

v

v f

f

y

g

xdy

v

v ydy v y v y

0 1 2

1

1

dan ,

ln ln

15

P.D menjadi:

y dx xy y e dyy2 22 0 .

F

xy dF y dx 2 2

F xy y 2

Eksak

16

F

yxy y xy y e

y y e

y y e dy y d e

y y e y e dy

y e yd e

y

y

y y

y y

y y

2 2

2

2

2

2

2 2

2

2

.

.

. .

. .

.

y y e y e e cy y y 2 2 2. .

17

Silahkan latihan untuk faktor integrasi-nya:

v x y v x y v x y v x y , , . , 2 2

Menentukan Jenis Faktor Integrasi

Secara umum: f dx + g dy = 0 tak eksak, maka

vg

v

xf

v

yf

y

g

x

. .

18

Dengan penjabaran rumus faktor integrasi tersebut, dapat kita temu-kan sebagai indikator:

1. Jika

f

y

g

xg

fungsi x saja, maka v x

2. Jika

f

y

g

xf

fungsi y saja, maka v y

19

3. Jika

f

y

g

xy g x f

. . fungsi x.y saja, maka v x y.

4. Jika

f

y

g

xg f

fungsi x+y saja, maka v x y

20

5. Jika

f

y

g

xg f

fungsi y-x saja, maka v y x

6. Jika

f

y

g

xx g y f

. .

fungsi x2+y2 saja, maka v x y2 2

21

Contoh:1. xy y dx x dy2 = 0, jenis v x y, ?

agar eksakJawab:

f xy yf

yxy 2 2 1

g xg

x

1

22

Kita lihat dari indikator-indikator ter-sebut secara berurutan:a.

f

y

g

xg

xy

x

xy

x

2 1 1 2 2 tidak ada keputusan

b.

f

y

g

xf

xy

xy y y

2 1 1 22

Jadi v x y v y,

23

2. y xy dx x xy dy 1 1 0,

jenis v x y, ?

agar eksakJawab:

f xy yf

yxy

g x y xg

xxy

2

2

2 1

2 1

24

a.

f

y

g

x

g

xy xy

x xy x xy

2 1 2 1

1

2

1

tak ada keputusanb.

idem

f y xy

2

1tak ada keputusan

C. idem

y g x f x y xy x y xy xy. .

2

2 2 2 2

1

jadi v x y v y,

25

<< CLOSING>>

Catatan:Untuk menyelesaikan P.D tak eksak, ciri-ciri

v x y, tak diketahui.Langkah-langkahnya:- menentukan ciri / jenis

- menentukan v x y,

v x y,

- menyelesaikan P.D eksak