conjunto s

TEORIA DOS CONJUNTOS Um pouco de Histria

Smbolos lgicos

Pertinncia

Representao

Igualdade e Desigualdade

Incluso

Reunio e Interseco

Diferena

Exerccios resolvidos

Exerccios de Vestibulares

Aula

Um Pouco de Histria

matemticaconjuntos

russo Georg Cantor 1845 1918

matemtica coleo elementos

Nascimento 3 de Maro de 1845 So Petersburgo

Falecimento 6 de Janeiro de 1918 (72 anos)

Nacionalidade Russo

George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor

Smbolos Lgicos

Pertinncia

Igualdade e Desigualdade Igualdade e Desigualdade

Representao Representao

Incluso Incluso

Unio e Interseco Unio e Interseco

Diferena e Complementar Diferena e Complementar

Exemplo 1 Exemplo 1

Resoluo

3000 pessoas

EN DN

FM

100

200

250 400

450 400

650

1000 liam o DN 1100 liam o EN 1400 liam a FM

300 liam o DN e o EN 500 liam a FM e o EN 350 liam a FM e o DN

100 liam os trs jornais

Informaes

550 Nenhum dos Jornais

Resoluo

1000 pessoas

400 pessoas

Temos: 400 + 650 = 1050 pessoas

550 pessoas

Temos: 450 + 400 + 650 = 1500 pessoas

Temos: 100 + 400 + 200 + 250 = 950 pessoas

Resoluo Resoluo

Exemplo 2

Resolvendo:

Informaes: A B

12 8 40

Temos Portanto:

Nmero de elementos de B : 12 + 40 = 52 elementos

Alternativa e

Exemplo 2

Exerccios

01) (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as nicas matrias dadas so matemtica e portugus, 240 alunos estudam

matemtica e 180 alunos estudam portugus. O nmero de alunos que estudam matemtica e portugus :

a) 120 b) 60 c) 90 d) 180 e) N.d.a.

02) (PUC-CAMPINAS) Numa indstria, 120 operrios trabalham de manh, 130 trabalham tarde, 80 trabalham noite; 60

trabalham de manh e tarde, 50 trabalham de manh e a noite, 40 trabalham tarde e noite e 20 trabalham nos trs perodos.

Assim:

a) 150 operrios trabalham em 2 perodos;

b) h 500 operrios na indstria;

c) 300 operrios no trabalham tarde;

d) h 30 operrios que trabalham s de manh;

e) N.d.a.

03) (UNIV. FED. PAR) Num colgio foi realizada uma pesquisa para saber quais os esportes praticados pelos alunos. Sabe-se que

A={alunos que jogam basquete}, B={alunos que jogam futebol} e C={alunos que jogam voley}, e o resultado est resumido na

tabela abaixo.

150 180 100 30 40 25 20 245

O nmero total de alunos da escola :

a) 790 b) 600 c) 675 d) 570 e) 335

04) (NUNO LISBOA) Um subconjunto X de nmeros naturais contm 12 mltiplos de 4, 7 mltiplos de 6, 5 mltiplos de 12 e 8

nmeros mpares. O nmero de elementos de X :

a) 22 b) 27 c) 24 d) 32 e) 20

05) (CESGRANRIO) Em uma universidade so lidos dois jornais A e B; exatamente 80% dos alunos lem o jornal A e 60% o jornal B.

Sabendo-se que todo aluno leitor de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que lem ambos :

a) 48% b) 60% c) 40% d) 140% e) 80%

06) (GV) Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas vrias pessoas acerca de suas preferncias em relao a trs produtos A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que:

210 compram o produto A.

210 compram o produto B.

250 compram o produto C.

20 compram os trs produtos.

100 no compram nenhum dos trs produtos.

60 compram os produtos A e B.

70 compram os produtos A e C.

50 compram os produtos B e C.

Quantas pessoas foram entrevistadas?

07) (UF-BH) Um colgio ofereceu cursos de ingls e francs, devendo os alunos se matricularem em pelo menos um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto ingls quanto francs; em francs, matricularam-se 22 alunos. Quantos alunos se

matricularam em ingls?

Exerccios

08) (FAAP) Os scios dos clubes A e B formam um total de 2200 pessoas. Qual o nmero de scios do clube B se A tem 1600 e existem

600 que pertencem aos dois clubes?

09) (MED. RIO PRETO) Num almoo, foram servidos, entre outros pratos, frangos e leites. Sabendo-se que, das 94 pessoas presente, 56

comeram frango, 41 comeram leito e 21 comeram dos dois, o nmero de pessoas que no comeram nem frango nem leito :

a) 10 b) 12 c) 15 d) 17 e) 18

10) (UNIV. FED. PAR) Uma escola tem 20 professores, dos quais 10 ensinam Matemtica, 9 ensinam Fsica, 7 Qumica e 4 ensinam

Matemtica e Fsica. Nenhum deles ensina Matemtica e Qumica. Quantos professores ensinam Qumica e Fsica e quantos ensinam

somente Fsica?

a) 3 e 2. b) 2 e 5. c) 2 e 3. d) 5 e 2. e) 3 e 4.

Exerccios

Gabarito

Resoluo dos Exerccios

01) (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as nicas matrias dadas so matemtica e portugus, 240 alunos estudam matemtica

e 180 alunos estudam portugus. O nmero de alunos que estudam matemtica e portugus :

a) 120 b) 60 c) 90 d) 180 e) N.d.a.

Resolvendo:

Informaes: Total (Universo) = 360 Estudam Portugus P = 180 Estudam matemtica M= 240 Estudam Portugus e Matemtica PM = ?

360 Alunos

P M

Temos que: 240 + 180 = 420 Se temos 360 alunos logo:

420 360 = 60 alunos

Temos no diagrama: P M = 60 P = 180 M = 240

60 120 180


02) (PUC-CAMPINAS) Numa indstria, 120 operrios trabalham de manh, 130 trabalham tarde, 80 trabalham noite; 60 trabalham

de manh e tarde, 50 trabalham de manh e a noite, 40 trabalham tarde e noite e 20 trabalham nos trs perodos. Assim:

a) 150 operrios trabalham em 2 perodos;

b) h 500 operrios na indstria;

c) 300 operrios no trabalham tarde;

d) h 30 operrios que trabalham s de manh;

e) N.d.a.

Informaes: M = 120 T = 130 N = 80 MT = 60 MN = 50 TN = 40 MTN = 20

M

N

T

20

20 30

40

10

50 30

Respondendo Temos: H 30 operrios que trabalham s de manh


03) (UNIV. FED. PAR) Num colgio foi realizada uma pesquisa para saber quais os esportes praticados pelos alunos. Sabe-se que

A={alunos que jogam basquete}, B={alunos que jogam futebol} e C={alunos que jogam voley}, e o resultado est resumido na

tabela abaixo.

150 180 100 30 40 25 20 245 O nmero total de alunos da escola :

a) 790 b) 600 c) 675 d) 570 e) 335

Informaes: A = 150 B = 180 C = 100 A B = 30 A C = 40 C B = 25 A B C = 20 Nenhum = 245

A

C

B

245

20 5 20

10

55

145 100

Temos Portanto:

Total de Alunos = 100+20+20+10+145+5+55+245 = 600 alunos


04) (NUNO LISBOA) Um subconjunto X de nmeros naturais contm 12 mltiplos de 4, 7

mltiplos de 6, 5 mltiplos de 12 e 8 nmeros mpares. O nmero de elementos de X :

a) 22 b) 27 c) 24 d) 32 e) 20

Informaes: M4 = 12 M6 = 7 M12 = 5 M4 M6 M12 = 5 I= 8

Resolvendo:

Importante observar que os mltiplos de 12 tambm so mltiplos de 4 e 6. Portanto temos: 12- 5 = 7 7-5 = 2 Ento 5 a interseco entre M4 M6 e M12. Vejamos no Diagrama:

M4

M12

M6

I 5

7

0

2

8

Temos ento: 7+5+2+8 = 22 elementos


05) (CESGRANRIO) Em uma universidade so lidos dois jornais A e B; exatamente 80% dos alunos lem o jornal A e 60% o jornal B.

Sabendo-se que todo aluno leitor de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que lem ambos :

a) 48% b) 60% c) 40% d) 140% e) 80%

Informaes: Jornal A = 80% Jornal B = 60% A B = ?

Resolvendo:

Temos 80 + 60 = 140 Faamos agora : 140-100 = 40% No diagrama temos:

A B

40 40 20 Temos portanto o percentual de alunos Que lem ambos 40%


06) (FGV) Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas vrias pessoas acerca de suas preferncias em relao a trs produtos A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que:

210 compram o produto A.

210 compram o produto B.

250 compram o produto C.

20 compram os trs produtos.

100 no compram nenhum dos trs produtos.

60 compram os produtos A e B.

70 compram os produtos A e C.

50 compram os produtos B e C.

Quantas pessoas foram entrevistadas?

Informaes: A = 210 B = 210 C = 250 AB = 60 AC = 70 BC = 50 ABC = 20 Nenhum = 100

Resolvendo:

A

C

Nenhum

B

100

20

30 50

40

150

120 100 Temos no Total:

100+40+20+50+120+30+150+100 =

610 Pessoas


07) (UF-BH) Um colgio ofereceu cursos de ingls e francs, devendo os alunos se matricularem em pelo menos um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto ingls quanto francs; em francs, matricularam-se 22 alunos. Quantos alunos se

matricularam em ingls?

Informaes: Total: 45 I e F = 13 F = 22 I = ?

Temos No Diagrama:

I F

13 9 Se temos um total de 45 alunos Fazemos 45-22 = 23 alunos

Portanto temos: 23 +13 =

36 alunos que estudam Ingls

23


08) (FAAP) Os scios dos clubes A e B formam um total de 2200 pessoas. Qual o nmero de scios do clube B se A tem 1600 e

existem 600 que pertencem aos dois clubes?

Informaes: AUB = 2200 A = 1600 AB = 600 B = ?

No diagrama Temos:

A B

600 1000

Se temos 2200 pessoas fazemos: 2200-1600 =600 pessoas. Portanto so: 600 + 600=

1200 scios do clube B

600


09) (MED. RIO PRETO) Num almoo, foram servidos, entre outros pratos, frangos e leites. Sabendo-se que, das 94 pessoas presente,

56 comeram frango, 41 comeram leito e 21 comeram dos dois, o nmero de pessoas que no comeram nem frango nem leito :

a) 10 b) 12 c) 15 d) 17 e) 18

Informaes: Total = 94 F = 56 L = 41 F L = 21 Nenhum =

Temos No diagrama:

F L

Nenhum

21 20 35

Temos portanto: 94 76 = 18 pessoas

18

18


10) (UNIV. FED. PAR) Uma escola tem 20 professores, dos quais 10 ensinam Matemtica, 9 ensinam Fsica, 7 Qumica e 4 ensinam

Matemtica e Fsica. Nenhum deles ensina Matemtica e Qumica. Quantos professores ensinam Qumica e Fsica e quantos ensinam

somente Fsica?

a) 3 e 2. b) 2 e 5. c) 2 e 3. d) 5 e 2. e) 3 e 4.

Informaes: M = 10 F = 9 Q = 7 MF = 4 MQ = 0 QF = ? Somente F =

Temos no diagrama:

M

Q

F 4

0

6

Temos: Se somarmos 6 + 4 + 9 + 7 = 22 Portanto temos 2 professores que exatamente a Interseco entre Qumica e Fsica. Logo temos: 9 2 = 7 7 2 = 5 Professores de Fsica e Qumica so 2 e somente Fsica so 3

2

5

3

conjunto s

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