cakul_1kalkulus_variasi

7/25/2019 cakul_1kalkulus_variasi

1/20

Bab 1

Kalkulus Variasi

Persoalan mencari nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi telahdipelajari menggunakan konsep turunan. Pada bagian ini akan dibahas lebihdalam mengenai persoalan me-minimum-kan suatu kuantitas menggunakankonsep kalkulus variasi.

1.1 Persamaan Euler

Misalkan terdapat dua buah titik (titik pertama dan titik kedua) yang ko-rdinatnya dinyatakan dengan (x1, y1) dan (x2, y2). Suatu kurvay(x) melaluikedua titik tersebut. JikaImenyatakan panjang kurva yang menghubungkan

kedua titik tersebut dapat diperoleh sebagai berikut

I=

titik keduatitik pertama

ds (1.1)

dengands menyatakan elemen panjang dalam sistem koordinat kartesis yangdinyatakan sebagai

dx2 +dy2. Bentuk integralI selanjutnya dapat ditu-

liskan sebagai berikut

I=


dx2 +dy2

=


dx2

1 +

dy

dx

2=

x2x1

1 +y2 dx

(1.2)

1


2/20

2 Kalkulus Variasi

dengany = dy

dxmenyatakan turunan dari fungsiy(x). Dalam hal ini biasanya

fungsi y(x) tersebut dikenal sebagai extremal. Perlu diingat bahwa turun-an suatu kurva menyatakan gradien garis singgung kurva tersebut. IntegralItersebut di atas secara umum menyatakan panjang kurva yang menghu-bungkan dua titik dalam koordinat kartesian.

Jika terdapat dua buah titik sembarang pada bidang kartesian, makaakan ada tak hingga banyaknya kurva yang dapat menghubungkan keduatitik tersebut. Kurva-kurva yang banyaknya tak hingga tersebut disebutsebagai varied curvesatau kurva-kurva variasi. Misalkan kurva-kurva yangbanyak tersebut dinyatakan denganY(x). Bila dihubungkan denganextremaly(x), maka dapat dinyatakan bahwa

Y(x) = y(x) +(x)

dengan(x) menyatakan fungsi yang nilainya nol di titikx1dan x2 sedangk-an menyatakan suatu parameter. Jika parameter sama dengan nol, makafungsi Y(x) akan diperoleh sama dengan extremal. Dengan demikian, se-cara umum bila terdapat dua buah titik, maka panjang kurva antara yangmenghubungkan kedua titik tersebut adalah

I=

x2x1

1 +Y 2 dx (1.3)

yang berarti Iadalah fungsi dari parameter . Jika integralI ingin dimini-malkan, berarti syaratnya yang harus dipenuhi adalah

dI

d = 0 untuk = 0 (1.4)

Bila integral Ididiferensialkan terhadap , maka dapat dituliskan

dI

d =

d

d

x2

x1

1 +Y 2 dx

=

x2x1

1

2

1

1 +Y 2 2Y dY

d

dx

(1.5)

sedangkan

Y(x) =y(x) +(x) = Y (x) =y (x) +(x)

ckhbasar2014


3/20

1.1 Persamaan Euler 3

dY

d = (x)

maka dengan menggunakan syarat dId

= 0 untuk = 0 akan diperoleh

dI

d

=0

=

x2x1

y(x)(x)1 +y2

dx= 0 (1.6)

Perhatikan bahwa karena dihitung untuk nilai = 0, maka Y (x) = y(x).

Dengan menggunakan metode integral parsial (yaitu

u dv= uv

v du),

integral tersebut dapat diselesaikan dengan memisalkan u = y

1 +y

2dan

dv= (x)dx maka didapat

u= y

1 +y2= du= d

dx

y1 +y2

dx

dv= (x)dx= v= (x)

Dengan demikian

dI

d

=0

=

x2x1

y(x)(x)

1 +y2dx= 0

= y

1 +y2(x)

x2

x1

x2

x1

(x)d

dx

y1 +y2

dx = 0

(1.7)

Karena (x) adalah fungsi yang nilainya nol di titik x1 dan x2 maka sukupertama persamaan 1.7 di atas akan bernilai nol. Hal ini berarti integral su-

ku kedua pada persamaan 1.7 (yaitu

x2x1

(x) d

dx

y1 +y2

dx) juga harus

sama dengan nol. Kemudian karena (x) adalah suatu fungsi sembarang,

maka yang harus sama dengan nol adalah bagian

d

dx y

1 +y2

. Dengan

demikian, maka akan diperoleh

d

dx

y1 +y2

= 0 = y(x) = konstan (1.8)

ckhbasar2014


4/20

4 Kalkulus Variasi

Karena diperoleh y(x) = konstan berarti bahwa y(x) adalah berupa garislurus. Hal ini sesuai dengan yang telah diketahui bahwa lintasan terpendek

antara dua buah titik adalah berupa garis lurus yang menghubungkan keduabuah titik tersebut.

Konsep yang telah diuraikan di atas dapat dikembangkan untuk persoalankalkulus variasi yang lebih umum. Misalkan terdapat suatu fungsi F(x,y ,y)sedemikian sehingga integral Imempunyai bentuk

I=

x2x1

F(x,y ,y) dx (1.9)

yang ingin dicari adalah bentuk fungsi y(x) yang akan membuat fungsi in-tegral I tersebut bersifat stasioner. Fungsi y(x) yang membuat integral I

bersifat stasioner (maksimum atau minimum) dinamakanextremal(sebagai-mana yang telah diuraikan sebelumnya). Sebagaimana cara yang telah di-gunakan sebelumnya, maka dimisalkan variasi kurva-kurva yang dinyatakandenganY(x) =y(x) + (x) yang akan memberikan bentuk lain dari integral

I=

x2x1

F(x,Y,Y) dxdan dengan mengatur agar syarat dI

d= 0 untuk = 0,

maka akan dapat dinyatakan

dI

d =

d

d

x2

x1

F(x,Y,Y ) dx

=

x2

x1

d

d(F(x,Y,Y )) dx

=

x2x1

F

Y

dY

d +

F

Y dY

d

dx =

x2x1

F

Y(x) +

F

Y (x)

dx

(1.10)

Selanjutnya syarat dI

d= 0 untuk = 0 memberikan

dI

d

=0

=

x2x1

F

Y(x) +

F

Y (x)

dx = 0

=

x2x1

F

Y(x) dx+

x2x1

F

Y

(x) dx= 0

(1.11)

Selanjutnya, misalkan u = F

Y dan dv = (x)dx dan kemudian dengan

menggunakan metode integral parsial, maka suku kedua dapat dinyatakan

ckhbasar2014


5/20


sebagai berikut

x2

x1

F

y (x) dx=

F

y (x)

x2

x1

x2

x1

d

dx

F

y

(x) dx (1.12)

Sebagaimana penjelasan sebelumnya, suku pertama pastilah sama dengannol, sehingga

dI

d

=0

=

x2x1

F

y d

dx

F

y

(x) dx= 0 (1.13)

Dengan demikian didapat persamaan Euler (dikenal juga sebagai persamaan

Euler-Lagrange):d

dx

F

y F

y = 0 (1.14)

Persamaan Euler-Lagrange memberikan informasi bahwa untuk membuat

suatu integral I=

x2x1

F(x,y ,y)dxbersifat stasioner, maka sama artinya de-

ngan menyelesaikan persamaan Euler-Lagrange sebagaimana dinyatakan da-lam persamaan 1.14. Variabel x dalam ungkapan Idisebut sebagai variabelbebas (independent variable), sedangkan variabel y disebut sebagai variabelterikat/ tak bebas (dependent variable). Identifikasi jenis variabel ini menjadi

hal yang cukup penting dalam penyelesaian persamaan Euler-Lagrange.Untuk fungsi yang melibatkan variabel lainnya, maka persamaan Euler-

Lagrange juga dapat diperoleh dalam bentuk yang serupa. Misalkan untukpersoalan dalam sistem koordinat polar (dengan variabel r dan ), bentuk

integral Iadalah

F(r,,) dr dengan =

d

drakan dapat dinyatakan

d

dr

F

F

= 0 (1.15)

Sedangkan untuk meminimalkan bentuk integral Iyang lain, misalnya I =

F(t,x, x) dt dengan x= dxdt

, persamaan Euler-Lagrange yang harus dise-

lesaikan berbentukd

dt

F

x F

x = 0 (1.16)

Sering dijumpai juga bentuk fungsi Fyang tidak mempunyai variabelterikat, y sehingga integran F berbentuk F(x, y) sebagaimana yang telah

ckhbasar2014


6/20

6 Kalkulus Variasi

diberikan pada uraian terdahulu (persoalan lintasan terpendek antara dua

buah titik pada bidang kartesian). Untuk kondisi ini, berarti

F

y = 0, aki-batnya persamaan 1.14 menjadi

d

dx

F

y = 0

yang memberikan hasilF

y = konstan

keadaan ini dikenal sebagai integral pertama (first integral) dari persama-an Euler. Jadi terlihat bahwa bentuk integral pertama akan memberikanpenyederhanaan dalam penyelesaiaan persamaan Euler-Lagrange.

Bentuk lain yang mungkin juga dijumpai adalah jika fungsiFtidak secaraeksplisit mengandung variabel bebas x, yaitu F(y, y). Persamaan Euler-Lagrange sebagaimana persamaan 1.14, dapat dituliskan juga dalam bentukF

y =

d

dx

F

y

. Jika bentuk ini dikalikan dengan y maka akan diperoleh

yF

y =y

d

dx

F

y

(1.17)

sedangkan dengan menggunakan konsep turunan berantai, turunan terhadap

variabel x dari fungsi

y

F

y

dapat diperoleh sebagai berikut

ddx

y F

y

=y F

y +y d

dx

Fy

(1.18)

selanjutnya jika kedua ruas pada persamaan 1.17 ditambahkan dengany F

y

maka akan diperoleh bentuk yang sama dengan ruas kanan pada persamaan1.18, sehingga dapat diperoleh hubungan

d

dx

y

F

y

=y

F

y +y

F

y (1.19)

Karena fungsi F hanya merupakan fungsi eksplisit dari y dan y namun ti-dak merupakan fungsi eksplisit dari x, maka dengan menggunakan konsep

turunan total dapat dinyatakan

dF

dx =

F

y

dy

dx+

F

y dy

dx

=y F

y +y

F

y

ckhbasar2014


7/20


Dengan demikian terlihat bahwa ruas kanan persamaan 1.19 dapat dituliskan

sebagai

dF

dx, sehingga

d

dx

y

F

y

=

dF

dx

d

dx

F y F

y

= 0 = F y F

y = konstan

(1.20)

Contoh 1

Minimalkan fungsi Iyang berbentuk

x2x1

x

1 +y2 dx.

Dalam hal ini fungsi F berbentuk F(x,y ,y) =x

1 +y2 dengan y =dy/dx. Dengan demikian

F

y = 0

yang berarti akan memberikan bentuk integral pertama. Selanjutnya dipe-roleh

F

y =

1

2

x1/2

(1 +y2)1/22y =

x1/2y

(1 +y2)1/2

Dengan demikian persamaan Euler-Lagrange memberikan

d

dx x1/2y

(1 +y2)1/2

= 0

yang berartix1/2y

(1 +y2)1/2=K= y = K

xK2Penyelesaian persamaan differensial tersebut akan memberikan

y= K

1

xK2 dx= 2K

xK2 +C

yang merupakan bentuk persamaan parabola.

Contoh 2

Minimumkan integral berikut I =

1 +y2

y dx dengan mencari integral

pertama (first integral)-nya.

ckhbasar2014


8/20

8 Kalkulus Variasi

Dalam hal ini fungsi Fmempunyai bentukF(x,y ,y

) =1 +y2y .

Untuk membuatnya menjadi bentuk integral pertama, maka bentuk fungsiFdibuat agar tidak mempunyai variabel terikat. Salah satu cara yang dapatdilakukan adalah dengan melakukan pengubahan variabel. Dengan menggu-

nakanx = dx

dy =

dy

dx

1

, sehingga y = 1

xdan dx =

dx

dydy = x dy, maka

berarti 1 +y2dx=

1 +y2 xdy=

x2 + 1 dy

sehingga integral Idapat dituliskan kembali dalam bentuk

I=x2 + 1y dy

Dalam bentuk yang baru fungsiFdinyatakan sebagaiF(y ,x,x) =

x2 + 1

y

denganx =dx

dy. Terlihat bahwa fungsi Ftidak mengandung variabel terikat

x, sehingga dengan demikian dapat diperoleh bentuk integral pertama.Persamaan Euler untuk persoalan ini dapat dituliskan sebagai berikut

d

dy

F

x

F

x = 0

Selanjutnya diperoleh F

x= 0 sedangkan

F

x=

x

y

x2 + 1. Dengan de-

mikian persamaan Euler memberikan

d

dy

x

y

x2 + 1

= 0

yang berartix

y

x2 + 1= konstan

Contoh 3

Tentukanlah geodesic pada permukaan kerucut yang dinyatakan denganz2 =8(x2 +y2).

ckhbasar2014


9/20


Istilah geodesic mengacu pada kurva terpendek yang menghubungkan dua ti-tik pada suatu permukaan. Dalam hal ini permukaan yang dimaksud adalah

berbentuk suatu kerucut yang dinyatakan dengan persamaan z2 = 8(x2 +y2).Bila menggunakan variabel dalam sistem koordinat silinder, maka persamaanpermukaan tersebut dapat dinyatakan sebagai

z2 = 8r2 = z= r

8 ; dz= dr

8

Panjang lengkungan dalam sistem koordinat silinder dinyatakan sebagai

ds2 =dr2 + (rd)2 +dz2

sehingga panjang lengkungan pada permukaan kerucut tersebut adalah

ds2 =dr2 +r2d2 + 8dr2 = 9dr2 +r2d2

Geodesic pada permukaan kerucut tersebut berarti mencari nilai minimum

dari integralI=

ds. Dalam hal ini fungsi F adalah berbentuk

F(r,,) =

9 +r22 dengan =d

dr

Karena fungsi F tidak mengandung variabel , maka berarti F

= 0, se-

hingga dapat diperoleh integral pertama dari persamaan Euler:

d

dr

F

= 0

atauF

=

r29 +r22

= konstan =K

Persamaan differensial tersebut dapat diselesaikan untuk mendapat fungsi(r).

r42 =K2

9 +r22

2

r4 K2r2 = 9K2 d=

3K dr

r

r2 K2

ckhbasar2014


10/20

10 Kalkulus Variasi

1.2 Persamaan Lagrange

Dalam pembahasan terdahulu, fungsi F mempunyai satu variabel terikat(misalnya variabel y pada persamaan 1.9). Jika fungsi yang ingin dicari nilaistasionernya mempunyai dua atau lebih variabel terikat (misalnya y(x) danz(x)) maka persamaan Euler-Lagrange yang digunakan untuk menyelesaikanpersoalan tersebut berlaku untuk masing-masing variabel, artinya jika terda-pat dua variabel terikat, y dan z maka ada dua persamaan Euler-Lagrangeyang harus diselesaikan yaitu

d

dx

F

y

F

y = 0

d

dxF

z

F

z

= 0

(1.21)

Dalam persoalan dinamika partikel sering dijumpai bentuk fungsi F dengansatu variabel terikat (dalam hal ini biasanya variabel waktu, t) dan sejumlahvariabel terikat (biasanya variabel dalam koordinat ruang, misalnya x,y,z).FungsiFdikenal sebagai Lagrangian, L. Untuk persoalan ini berarti persa-maan Euler-Lagrange (dan lebih dikenal sebagai persamaan Lagrange) yangharus diselesaikan ada 3, yaitu

d

dt

L

x

F

x = 0

d

dtF

y Fy = 0

d

dt

F

z

F

z = 0

(1.22)

Dinamika suatu benda dibahas menggunakan prinsip Hamilton. Dalam prin-sip Hamilton ini, dinyatakan bahwa gerak suatu sistem selalu dalam kondisi

tertentu yang ditandai dengan stasionernya nilai integral I=

t2t1

L dt, dengan

Lagrangian L = T V dengan Tadalah energi kinetik dan V menyatakanenergi potensial sistem.

Contoh

Tentukan persamaan gerak suatu partikel bermassa m yang bergerak di se-panjang sumbu x jika energi potensialnya dinyatakan dengan V = 1

2kx2

dengank adalah suatu tetapan.

ckhbasar2014


11/20

1.3 Metode Pengali Lagrange: persoalan isoperimetrik 11

Energi kinetik partikel tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut

T=1

2mv2 =

1

2mx2 dengan x=

dx

dt =v

Lagrangian untuk sistem ini dapat dinyatakan dalam bentuk

L= T V =12

mx2 12

kx2

Terlihat bahwa dalam kasus ini fungsi L mempunyai satu variabel terikat(yaitu variabel x) dengan variabel bebas t, sehingga persamaan Lagrangeyang harus diselesaikan adalah

ddt

dLdx dL

dx = 0

karenadL

dx = kx

dand

dt

dL

dx =

d

dt(mx) =mx

maka persamaan Lagrange memberikan

mx+kx = 0 = x= km

x

Persamaan differensial tersebut bila diselesaikan akan memberikan bentukfungsi osilasi harmonik sederhana.

1.3 Metode Pengali Lagrange: persoalan iso-

perimetrik

Sering pula dijumpai persoalan meminimalkan (atau memaksimalkan) suatubesaran dengan kondisi (batasan) tertentu yang disebut kendala (constra-int). Salah satu cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan

yang menyangkut kendala adalah dengan menggunakan metode pengali La-grange (Lagrange multipliers). Dalam kaitannya dengan persoalan kalkulusvariasi, hal ini juga dapat terjadi. Hal ini dikenal sebagai persoalan isope-rimetrik. Persoalan isoperimetrik berusaha menyelesaikan luas terbesar darisuatu kurva tertutup dengan parameter tertentu. Dalam perumusan inte-gralnya, ingin dimaksimumkan nilai suatu integral dengan kondisi (kendala)

ckhbasar2014


12/20

12 Kalkulus Variasi

nilai integral lain yang konstan. Dengan menggunakan notasi integral se-bagaimana pada saat membahas persamaan Euler pada bagian terdahulu,

misalnya integral yang ingin dimaksimumkan adalah yang berbentuk

I=

x2x1

F(x,y ,y) dx (1.23)

sementara ada kendala integral lain yang nilainya konstan, yaitu

J=

x2x1

G(x,y ,y) dx (1.24)

Dengan memanfaatkan metode pengali Lagrange, persoalan yang harus dise-lesaikan dapat dinyatakan dalam bentuk mencari nilai stasioner dari integralberikut

x2x1

(F+G) dx (1.25)

dengan adalah konstanta yang disebut konstanta pengali Lagrange.

Contoh 1

Jika diberikan dua titik yang terletak pada sumbux, yaitux1danx2yang ke-

duanya dihubungkan dengan suatu kurva yang panjang lengkungannya ada-lahl >(x2x1), tentukanlah bentuk kurva tersebut agara luas daerah yangdibentuk kurva dengan sumbux bernilai maksimal.

Misalnya kurva yang ingin dicari persamaannya adalahy(x), maka nilai yangingin dicari maksimumnya adalah bentuk integral luas di bawah kurva y(x)yang dapat dinyatakan dalam bentuk

I=

x2x1

y dx

sedangkan kondisi (kendala) yang harus dipenuhi adalah panjang lengkunganyang tertentu. Panjang lengkungan dinyatakan dengan integral yang berben-tuk

J=

x2x1

ds= l

ckhbasar2014


13/20


Dalam persoalan ini isoperimetrik ini, integral yang dicari nilai stasionernya

berbentuk

x2x1

(F+G) dx dengan F = y dan G =

1 +y2. Persamaan

Euler untuk kasus ini adalah

d

dx

(F+G)

y

(F+G)

y = 0

Karena(y+

1 +y2)

y =

y1 +y2

dan(y+1 +y2)

y = 1

maka persamaan Euler dapat dituliskan kembali dalam bentuk

d

dx

y

1 +y2

1 = 0

d

dx

y

1 +y2

= 1 = y

1 +y2

=x+C

Selanjutnya

2

y

2

= (x+C)

2

(1 +y

2

)y2

2 (x+C)2

= (x+C)2

dy= (x+C) dx

2 (x+C)2

y+C =

2 (x+C)2(y+C)2 =2 (x+C)2 = (x+C)2 + (y+C)2 =2

yang merupakan suatu persamaan lingkaran. Jika nilai-nilai x1, x2 dan ldiberikan maka persamaan lingkaran tersebut dapat diperoleh secara spesifik.

Contoh 2

Tentukan persamaan kurva yang panjangnya l sedemikian sehingga jika ku-rva tersebut diputar terhadap sumbuxakan memberikan permukaan denganluas minimum.

ckhbasar2014


14/20

14 Kalkulus Variasi

Untuk suatu kurva yang dinyatakan dengan persamaan y(x) maka luas per-mukaan yang dihasilkan bila kurva tersebut diputar terhadap sumbuxadalah

A=

x2x1

2y ds=

x2x1

2y

1 +y2dx

sedangkan panjang lengkungan dinyatakan dengan

L=

x2x1

1 +y2 dx

Bentuk integral yang akan dicari nilai stasionernya adalah

x2x1

(A+L) dx =

x2x1

[2 y

1 +y2+

1 +y2]dx=

x2x1

1 +y2(2 y+)dx

Persamaan Euler yang harus diselesaikan adalah

d

dx

(

1 +y2(2 y+))

y

(

1 +y2(2 y+))

y = 0

Karena bentuk integral yang akan dicari kondisi stasionernya tersebut tidaksecara eksplisit mengandung variabel bebas, maka dapat digunakan persa-maan 1.20. Karena

(

1 +y2(2 y+))

y =

(2 y+)y1 +y2

Maka dari persamaan 1.20 akan diperoleh

1 +y2(2 y+) (2 y+)y

21 +y2

=K

atau(2 y+)(1 +y2)

(2 y+)y2 =K1 +y2

(2y +) =K

1 +y2 = (1 +y2) =

(2 y+)

K

2

dy

dx=y =

(2 y+)2 K2

K2

1/2

ckhbasar2014


15/20


K2

(2 y+)

2

K2

dy= x+C

Selanjutnya bila dimisalkan variabel baru = 2y +, maka integral tersebutmenjadi

K2

2 K2d= x+C= Kln+ 2 K2 =x+C

Jadi dalam variabel y bentuknya adalah

Kln(2 y+) +

(2 y+)2 K2

=x+C

Contoh 3

Tentukan bentuk lengkungan yang dibentuk oleh sebuah tali bermassa yangkedua ujungnya digantung pada posisi vertikal yang sama.

Misalkan ujung tali berada pada titik x =a dan panjang tali adalah 2L,dengan rapat massa persatuan panjang homogen yang dinyatakan dengan .Untuk persoalan ini bentuk tali akan sedemikian sehingga energi potensialgravitasinya minimum, dengan kendala panjang tali yang tertentu (tetap).Dengan memandang tali sebagai terdiri dari elemen massa panjang yangmembentuk lengkungan kurva y(x), maka energi potensial elemen massa ta-li,dmdapat dinyatakan dengan

gy(x)dm=

gy(x)dl(dengan mengambil

acuan potensial gravitasi pada level horizontal posisi ujung tali). Energi po-tensial seluruh bagian tali dapat dinyatakan sebagai berikut

F= g

y ds= ga

a

y

1 +y2 dx

kendala yang membatasi adalah panjang total tali yang tertentu, yaitu

G=

aa

1 +y2 dx= 2L

Dengan demikian, bentuk integral yang harus dicari nilai stasionernya adalah

I=

x2x1

(F+G) dx = ga

a

y

1 +y2 +

1 +y2

dx

ckhbasar2014


16/20

16 Kalkulus Variasi

I=

g

a

a

(y+)1 +y2 dxTerlihat bahwa integral yang akan dicari nilai stasionernya tersebut tidaksecara eksplisit mengandung variabel bebasx. Oleh karenanya dapat digu-nakan persamaan 1.20. Dapat diperoleh persamaan yang berbentuk

(y+)

1 +y2 y2(y+)

1 +y2=K

denganKadalah konstanta. Selanjutnya dapat diperoleh

(y+)(1 +y2) y2(y+) = K1 +y2

(y+) = K

1 +y2 = y2 =(y+)2

K2 1 = (y+)

2 K2K2

dy

dx=y =

(y+)2 K2

K = dy

(y+)2 K2=

dx

K

Kemudian dengan substitusi variabel baru y + = Kcosh zyang berartidy = Ksinh z dz, maka

(y+)2 K2 =Ksinh z

sehingga persamaan differensial di atas menjadi

dy(y+)2 K2

=dx

K = dz= dx

K

Bila persamaan tersebut diselesaikan dengan cara integral langsung akandiperoleh

z= x

K+C = yang berarti Karccoshy+

K =x+C

atau y+

K = cosh

x+C

K

denganCadalah konstanta integrasi.Selanjutnya dengan menggunakan syarat batas yang diberikan yaitu bahway(a) = 0 akan diperoleh

x= a= cosh a+CK

=

K

ckhbasar2014


17/20


x= a = cosha+CK

=

K

Dengan demikian diperoleh persamaan

cosh

a+C

K

= cosh

a+CK

selanjutnya dengan mengingat bahwa fungsi cosinus hiperbolik merupakanfungsi genap, maka persamaan tersebut di atas terpenuhi untuk nilaiC= 0,

dan selanjutnya berarti

K= cosh

a

K.

Kemudian karena

y = (y+)2 K2

K =

Ksinhz

K = sinhz= sinh x

K

maka

2L=

aa

1 +y2 dx=

aa

1 + sinh2

xK

dx

=

aa

cosh2

xK

dx=

aa

cosh x

K

dx

=Ksinhx

Ka

a

= 2Ksinha

KAkhirnya akan diperoleh persamaan yang menggambarkan kurva bentuklengkungan tali yang digantung pada kedua ujungnya, yaitu

y+= Kcosh x

K

y= Kcosh

xK

= y = Kcosh x

K

Kcosh

aK

yang menggambarkan suatu persamaan yang disebut persamaan catenary.

Konstanta Kdapat dinyatakan dalam panjang tali, sebagaimana yang telahdiuraikan sebelumnya.

ckhbasar2014


18/20

18 Kalkulus Variasi

ckhbasar2014


19/20

Paket Soal Bab 1

1. Selesaikan persamaan Euler agar integral berikut stasioner:

(a)

x2x1

x

1 y2 dx (b)

x2x1

x ds (c)

x2x1

(y2 +

y) dx

(d)

21

2 + sin2 d dengan =d/d.

(e)

t2t1

s1

s2 +s2 dt dengans =ds/dt.

2. Ubah variabel terikat pada integral berikut ini untuk menyederhanakanpersamaan Euler, kemudian hitunglah integral pertamanya:

(a)

x2x1

y3/2 ds (b)

y2y1

x2

x2 +x2

dy

3. Tentukanlahgeodesicpada permukaan silinder paraboliky = x2.

4. Berdasarkan prinsip Fermat, berkas cahaya akan menempuh lintasanterpendek saat melintasi suatu medium. Tentukanlah bentuk lintasancahaya dalam medium yang indeks biasnya dinyatakan dengan:

(a)

y (b) r1

5. Tentukanlah persamaan gerak benda bermassa m yang dipengaruhi

potensialV = 1

2 kr dengank adalam konstanta danr menyatakan jarakdari pusat koordinat.Petunjuk: gunakan sistem koordinat polar.

6. Suatu benda titik bergerak pada permukaan bola yang berjejari a di-pengaruhi potensial gravitasi bumi. Dengan menggunakan sistem koo-

19


20/20

20 Paket Soal Bab 1

rdinat bola, susunlah persamaan Lagrange untuk gerak benda tersebutdan tentukanlah persamaan gerak benda untuk variabel dan.

7. Tentukanlah persamaan kurva yang melalui titik (0, 0) dan (2, 0) agarluas daerah yang dibentuk kurva tersebut dengan sumbu x maksimumdan dengan panjang lengkungan .

8. Tentukanlah bentuk kurva agar bila kurva tersebut diputar terhadapsumbu x mempunyai volume tertentu V dan dengan momen inersiaterhadap sumbux minimum.

ckhbasar2014

cakul_1kalkulus_variasi

Documents