bhn kuliah fisika i 2

1

1

MEKANIKA

Kelajuan, Perpindahan, Kecepatan:

Kelajuan rata-rata suatu partikel didefinisikan sbg

perbandingan jarak total yg ditempuh thd waktu total

yg dibutuhkan.

Gerakan Satu Dimensi

Utk mempermudah pembahasan, kita akan mengawali

dg benda2 yg posisinya dpt digambarkan sbg satu titik

→ dinamakan partikel.

totalwaktu

totaljarakratarataKelajuan

2


Dlm SI satuan kelajuan rata-rata adalah m/s dg

dimensi L/T atau LT-1.

Kecepatan = kelajuan dg mempertimbangkan arah

gerakan → Kelajuan adalah skalar sedangkan

kecepatan adalah vektor.

Perpindahan didefinisikan sbg perubahan posisi suatu

partikel. Posisi partikel dlm satu dimensi didefinisikan

sbg absis partikel tsb pd sumbu x.

Mis. pd saat t1 posisi partikel berada di x1 dan pd saat

t2 posisinya berubah ke x2, mk perpindahan partikel

tsb:

12 xxx

2

3


Kecepatan adalah laju perubahan posisi.

Kecepatan rata-rata partikel didefinisikan sbg perban-

dingan ant perpindahan Δx dan selang waktu Δt = t2 –

t1:

12

12

tt

xx

t

xv ratarata

t = 0

x = 0

t = t1

x = x1

t = t2

x = x2

Perpindahan dan kecepatan dpt bernilai positif atau

negatif. Positif = arah kanan, negatif = arah kiri.

4


Latihan:

1.Seekor semut berada di x1 = 18,0 mm pd saat t1 =

2,0 s, dan kemudian ditemukan berada di x2 = 14,0

mm pd saat t2 = 7,0 s. Tentukan perpindahan dan

kecepatan rata-rata semut tsb.

2. Berapakah jarak yg ditempuh mobil dlm wkt 5 menit,

jika kecepatan rata-ratanya dlm selang waktu tsb

adalah 80 km/jam? (Gunakan dua angka signifikan

di belakang koma).

3.Seorang pelari berlari dg kecepatan rata-rata 0,25

km/menit pd grs lurus. Brp wkt diperlukan utk

menempuh jarak 10 km?

3

5


4.Seorang pelari berlari menempuh jarak 100 m dlm

wkt 12 s, kemudian berbalik dan berjoging sejauh 50

m ke arah titik awal selama 30 s. Hitunglah kelajuan

rata-rata dan kecepatan rata-rata utk seluruh perja-

lanan tsb.

5.Sebuah mobil bergerak sepanjang grs lurus dg

kecepatan rata-rata 80 km/j selama 2,5 jam dan

kemudian dg kecepatan rata-rata 40 km/j selama 1,5

jam. (a) Berapa perpindahan total selama 4 jam tsb?

(b) Berapa kecepatan rata-rata total perjalanan mobil

tsb?

6

x

x2

x1

t1 t2t

P1

P2

P’2

Δt = t2 - t1

Δx = x2 - x1


rataratavslopet

x

t’2

4

7


Gbr tsb menunjukkan grafik posisi x thd waktu t utk

gerakan lurus sembarang di sepanjang sumbu x.

Sebuah partikel bergerak dari P1(posisi x1, waktu t1) ke

P2 (posisi x2, waktu t2).

Perpindahannya Δx = x2 – x1, selang waktunya Δt = t2

– t1. Rasio Δx/Δt disebut kemiringan atau slope.

Kecepatan rata-rata adalah kemiringan garis lurus

yg menghubungkan titik (x1,t1) dg titik (x2,t2).

Jika titk P2 digeser menjadi P’2 yg semakin dekat P1,

dg memilih t’2 yg semakin dekat t1, maka kecepatan

rata-ratanya semakin besar yg ditunjukkan dg slope

grs P1P’2 yg semakin curam.

8

x

t1 t2t

P1

P2

Δt1

Δt2Δt3

Δt4

Δt5


dt

dx

t

xv

t

0lim

5

9


Kecepatan sesaat pd saat tertentu adalah kemiringan

grs yg menyinggung kurva x terhadap t pd saat itu.

Kecepatan sesaat pd saat tertentu adalah limit rasio

Δx/Δt jika Δt mendekati nol.

Limit rasio Δx/Δt jika Δt mendekati nol dinamakan sbg

turunan x thd t dan ditulis sbg dx/dt.

dt

dx

t

xv

t

0lim

Besarnya kecepatan sesaat dinamakan kelajuan

sesaat.

10


Percepatan:

Percepatan rata-rata adalah perubahan kecepatan

rata-rata utk selang waktu tertentu Δt = t2 – t1 didefini-

sikan sbg rasio Δv/Δt, dimana Δv = v2 – v1.

t

va ratarata

Satuan percepatan dlm SI adalah m/s2 dan dimensi-

nya adalah LT-2

6

11


Percepatan sesaat adalah limit rasio Δv/Δt utk Δt

mendekati nol. Jika digambar grafik kurva kecepatan

vs waktu, mk percepatan sesaat adalah kemiringan

garis yg menyinggung kurva tsb pd saat itu. Jadi

percepatan adalah turunan kecepatan thd waktu.

Karena kecepatan adalah turunan posisi x thd t, mk

percepatan adalah turunan turunan kedua x thd t.

Satuan percepatan dlm SI adalah m/s2 dan dimensi-

nya LT-2

dt

dv

t

va

t

0lim

2

2

td

xd

dt

dx

dt

d

dt

dva

12


Jika x adalah fungsi pangkat sederhana dari t, maka

percepatannya dpt dihitung dg mudah, mis:.

2

2

21 )1( nnn tCnn

td

xdatCn

dt

dxtCx

Sifat-sifat Turunan

.konstCdt

tfdCtfC

dt

d

dt

dx

dx

xfdxf

dt

d

7

13

0

1

dx

dtjika

dx

dt

dt

dx

Sifat-sifat Turunan

dt

dUV

dt

dVUVU

dt

d

2V

dt

dVU

dt

dUV

V

U

dt

d

dt

dV

dt

dUVU

dt

d

14

Turunan Fungsi Tertentu

.0 konstCdt

Cd

1 nn

tndt

td

ttdt

d cossin tt

dt

d sincos

ttdt

d 2sectan tt

dt

d 2csccot

btbtt

bbt

dt

d e loglnln

718281828,2. naturalbileebedt

d btbt

8

15

Gerakan dg Percepatan Konstan

Gerakan satu dimensi dg percepatan konstan banyak

dijumpai di alam ini. Contoh: benda jatuh bebas ke

permukaan bumi akibat percepatan oleh gaya tarik

bumi (percepatan gravitasi) g:

22 /2,32/81,9 sftsmg

Percepatan konstan berarti kemiringan kurva v thd t

adalah konstan → kecepatan berubah secara linier

thd waktu. Jika nilai kecepatan = v0 pd saat t = 0, mk

nilai v sbg fungsi t adalah:

tavv .0

16


Jika posisi awal partikel di x0 pd saat t = 0, dan

posisinya adalah x pd saat t berikutnya, mk perpin-

dahannya Δx = x – x0 adalah:

Utk percepatan konstan, kecepatan berubah secara

linier thd waktu dan kecepatan rata-rata adalah

setengah dari kecepatan awal + kecepatan akhir:

tvx ratarata

vvv ratarata 021

9

17

v

t

v0

vrata-rata = ½(v0 + v)

v = v0 + a.t


Kecepatan rata-rata utk gerakan dg percepatan

konstan = ½ (kecepatan awal + kecepatan akhir).

18


Jadi perpindahannya adalah:

tvvtvx ratarata 021

Jika v dieliminasi dg substitusi v = v0 + a.t, mk:

2

21

00021

021 tatvttavvtvvx

Jadi fungsi posisinya adalah:

2

21

00 tatvxx

Jika t dieliminasi dg substitusi t = (v - v0)/a, mk:

10

19

Gerakan dg Percepatan Konstan 2

0

210

0

2

21

0

a

vva

a

vvvtatvx

Jika masing2 ruas dikalikan dg a dan tiap sukunya

dijabarkan, mk: 2

0212

212

021

0

2

212

00 vvvvvvvvvxa

atau:

xavv 22

0

2

20

Gerakan dg Percepatan Konstan Latihan:

1.Sebuah bola dilemparkan vertikal ke atas dg kece-

patan awal 30 m/s. Jika percepatan gravitasi 10

m/s2, (a) Berapa wkt yg diperlukan utk mencapai titik

tertingginya? (b) Berapa tinggi maksimumnya? (c)

Berapa lama bola tsb berada di udara?

2.Sebuah mobil bergerak dg kecepatan 45 km/jam pd

saat t = 10 s. Mobil dipercepat dg laju pertambahan

konstan sebesar 10 km/j.s. Brp kecepatannya pd

saat t = 2 s?

11

21


3.Sebuah mobil yg bergerak dg kecepatan 100 km/j

mengerem sampai berhenti. Jika percepatannya -5

m/s2 (a) Berapa jarak yg ditempuh mobil sebelum

berhenti? Berapa jarak penghentiannya jika kecepat-

an awalnya 25 m/s?

4.Sebuah mobil dipercepat dr keadaan diam dg

percepatan konstan 8 m/s. (a) Brp kecepatannya

setelah 10 s. (b) Brp jarak yg ditempuh dlm 10 s tsb?

(c) Brp kecepatan rata-ratanya dlm selang wkt t = 0

sampai t = 10?

22


5.Sebuah mobil yg bergerak dg kecepatan 80 km/j di

kawasan sekolah. Sebuah mobil polisi berangkat dr

keadaan diam tepat setelah pengebut tadi melewati-

nya dan dipercepat dg percepatan konstan 8 km/j.s.

(a) Bilamana mobil polisi menangkap mobil pengebut

tsb? Berapa kecepatan mobil polisi ketika menang-

kap pengebut itu?

6.Bola A dijatuhkan dr puncak sebuah bangunan pd

saat yg sama ketika bola B dilemparkan vertikal ke

atas dr tanah. Ketika bola bertumbukan, keduanya

sedang bergerak berlawanan arah dan vA = 2 vB. Pd

berapa bagian dr ketinggian bangunan tumbukan ini

terjadi?

12

23


Integrasi

Fungsi kecepatan v dan percepatan a diperoleh dg

cara mendeferensiasi fungsi posisi x. Sebaliknya,

fungsi posisi x dpt diperoleh dg cara mengintegrasi

fungsi kecepatan v atau percepatan a.

0vtadtavadt

dv

dttavdtvxvdt

dx 0

2

21

00 tatvxx

24


Integrasi

Contoh bentuk integrasi yg sering muncul dlm fisika:

11

1

nCn

tAdttA

nn

CtAt

dtAln Ce

bdte btbt 1

Ctdtt

sin1

cos Ctdtt

cos1

sin

13

25

Gerakan dlm 2 dan 3 Dimensi

Utk memahami gerakan dlm 2 dan 3 dimensi, perlu

dipelajari terlebih dulu konsepsi tentang vektor.

Vektor adalah besaran yg memiliki besar dan arah

seperti perpindahan, kecepatan dan percepatan.

Vektor ditulis sbg V atau . Vektor-vektor disebut

sama jika besar dan arahnya sama. V

y

x

26

Penjumlahan Vektor Secara Grafis

A

B C

C = A + B

A

B C

A + B = B + A = C

B

A

BAC

CABBA

14

27


A

B C

C = A + B

D

D = A - B

-B

BAD

BAC

28


A

B C

A + B = B + A = C B

A

-B D -B

A D = A - B

CABBA

BAD

15

29

Penjumlahan Vektor dr Komponen2nya

x

y A

Ax

Ay

θ

sin,cos AAAA yx

22

yx AAAA

30

B

A C

Cx = Ax + Bx

Penjumlahan Vektor dr Komponen2nya

x

y

Ay

Ax

By

Bx

Cy

Cx

Cy = Ay + By

C = A + B

16

31

Vektor Satuan dan Perkalian Skalar

Sebuah vektor A dpt dikalikan dg skalar s. Hasilnya

adalah vektor B = s.A, yg menunjuk ke arah A dan

memiliki besar s.A. Dimensi B adalah dimensi s dika-

likan dg dimensi A.

Suatu vektor dpt ditulis secara mudah dg memanfaat-

kan vektor satuan. Vektor satuan adalah vektor yg

tidak berdimensi yg didefinisikan memiliki besar 1 dan

menunjuk ke suatu arah tertentu.

Contoh: i, j dan k adalah vektor satuan pd arah sb x,

y dan z. Maka vektor A dpt dinyatakan sbg:

kAjAiAA zyx 222

zyx AAAA

32

Penjumlahan dua vektor A dan B dpt ditulis sbg:

kBjBiBkAjAiABA zyxzyx

kBAjBAiBABA zzyyxx

x

y

z

i

j

k

x

y

z

Ay j

Az k

Ax i

A

Penjumlahan Vektor

17

33

Hukum2 penjumlahan dan pengurangan vektor:

komutatifABBA

asosiatifCBACBA

ACBjikahanyadanjikaCBA

00 AAAA

Penjumlahan Vektor

34

Perkalian Titik (Dot Product) Vektor

Jika arah vektor A dan vektor B membentuk sudut φ,

maka perkalian titik (dot product) vektor A dan B

ditulis sbg A∙B atau didefinisikan sbg:

Berdasarkan definisi vektor satuan, maka:

→ hasilnya skalar

1 kkjjii

BA

cosBABA

0 ikkjji

zzyyxx BABABABA

18

35

Hukum2 perkalian-titik vektor:

komutatifABBA

fdistributiCBCACBA

skalarsBAsBAsBsA

2AAA

Perkalian Titik (Dot Product) Vektor

36

Jika arah vektor A dan vektor B membentuk sudut φ,

maka perkalian silang (cross product) vektor A dan B

ditulis sbg A × B = C atau . Vektor C

didefinisikan sbg vektor yg tegak lurus thd vektor A

dan B. Arah vektor C ditentukan dg “aturan tangan

kanan” dan besarnya dinyatakan sbg:

sinBAC

CBA

Perkalian Silang (Cross Product) Vektor

19

37

Berdasarkan definisi vektor satuan, maka:

0,0,0 kkjjii

jikikjkji ,,


jkiijkkij ,,

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

BA Determinan orde-3

Secara umum:

38

kBABAjBABAiBABABA xyyxxzzxyzzy

kBABAjBABAiBABABA xyyxzxxzyzzy


yx

yx

zx

zx

zy

zy

BB

AAk

BB

AAj

BB

AAiBA

20

39


Hukum2 perkalian-silang vektor:

tifantikomutaABBA

fdistributiCABACBA

skalarsBAsBAsBsA

0 AA

40


Latihan:

1.Diketahui vektor A = (4 m) i + (3m) j – (2 m) k, dan

vektor B = (2 m) i – (3 m) j + (4 m) k. (a) Hitunglah

|A|, |B|, A + B dan A – B, A∙B, A×B, (b) Berapa

besar sudut ant vektor A dan B?

2.Nyatakan vektor2 berikut ini dg menggunakan

vektor satuan i dan j: (a) kecepatan 10 m/s pd

sudut elevasi 60º, (b) sebuah vektor A yg besarnya

5 m dan mem-bentuk sdt 225º thd sb x, (c) sebuah

perpindahan dr titik asal ke titik x = 14 m, y = -6 m.

21

41


3.Diket vektor A = 3 i + 4 j. Carilah 3 vektor B lain yg

juga terletak pd bid xy dan mempunyai sifat bhw A

= B, tetapi A ≠ B. Tuliskan vektor2 ini dlm kompo-

nen2nya dan tunjukkan secara grafis.

4.Dua vektor A dan B terletak dlm bid xy. Dlm kondisi

bgmn rasio A/B sama dg Ax/Bx?

5. Jika A = 5i – 4j dan B = -7,5i + 6j, (a) tulis persm

vektor yg menghubungkan A dg B, (b) tentukan

panjang proyeksi vektor B pd vektor A, (c) hitung

panjang proyeksi vektor A pd vektor B.

42

Vektor Kecepatan dlm 2-Dimensi y

x

P1

P2

O

r1

r2

Δr

Satu partikel bergerak sepanjang kurva sembarang.

22

43

Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva dlm ruang

2-dimensi. Pd setiap saat posisinya dinyatakan dg

vektor posisi:

r = x i + y j atau: jyixr

Pd saat t1 partikel berada di titik P1 yg posisinya di-

nyatakan dg vektor r1. Kemudian, pd saat t2 partikel

berada di titik P2 dg vektor posisi r2. Vektor perpin-

dahan adalah perubahan vektor posisi:

12 rrr

Rasio vektor perpindahan thd selang waktu Δt = t2 - t1

adalah vektor kecepatan rata-rata:

Vektor Kecepatan dlm 2-Dimensi

44

t

rv ratarata

Vektor kecepatan sesaat didefinisikan sbg limit vektor

kecepatan rata-rata utk selang waktu Δt mendekati 0.

dt

rd

t

rv

t

0lim

Vektor kecepatan sesaat adalah turunan vektor

perpindahan thd waktu. Arahnya = grs singgung pd

kurva yg ditempuh oleh partikel dlm ruang → arahnya

= arah gerakan partikel. Besar kecepatan sesaat =

kelajuan sesaat = ds/dt (s = jarak tempuh).


23

45

y

x

P1

P2

O

r1

Δr

Satu partikel bergerak sepanjang kurva sembarang.

P2’

P2”

Δr’

Δr”

dt

rd

t

rv

t

0lim


46

Utk menghitung turunan vektor perpindahan thd

waktu → hrs dinyatakan dlm komponen2nya:

jyyixxrrr 121212

t

jy

t

ix

t

jyix

t

rv

tttt 0000limlimlimlim

jdt

dyi

dt

dxv


24

47

Vektor Percepatan dlm 2 Dimensi

Vektor percepatan rata-rata didefinisikan sbg rasio

perubahan vektor kecepatan sesaat Δv thd selang

waktu Δt.

t

va ratarata

Vektor percepatan sesaat adalah limit rasio Δv/Δt utk

selang waktu Δt mendekati nol.

dt

vd

t

va

t

0lim

Utk menghitung vektor percepatan sesaat, kecepatan

sesaat v dinyatakan dlm koordinat tegak (kartesian).

48

jdt

dyi

dt

dxjvivv yx

jdt

ydi

dt

xdj

dt

vdi

dt

vda

yx

2

2

2

2

Penting utk diingat bhw vektor kecepatan dpt berubah

baik besar, arah ataupun keduanya. Jika vektor

kecepatan berubah (dg cara apapun), berarti

partikel ybs mengalami percepatan.

Vektor Percepatan dlm 2 Dimensi

25

49

Kecepatan Relatif

Kecepatan suatu benda kadang2 diukur relatif thd

suatu sistem koordinat yg bergerak thd sistem

koordinat yg lain.

Contoh 1: Seseorang berjalan dg kecepatan vpc di

dlm gerbong kereta-api yg juga sedang berjalan dg

kecepatan vcg. Jika, vpc = kecepatan relatif orang thd

kereta-api, dan vcg = kecepatan relatif kereta-api thd

tanah. Maka kecepatan gerak orang relatif thd tanah

vpg adalah:

cgpcpg vvv

50

Kecepatan Relatif

http://media.ehs.uen.org/category/course-names/physics?page=9

Contoh 2: Seseorang akan

menyeberangi sungai yg

kecepatan arusnya vR dan

lebarnya Δx. Jika dia dpt

berenang dg kecep vY, mk

untuk mencapai seberang

sungai yg tepat tegak lurus

di hadapannya, dia harus

berenang dg arah miring ke

arah hulu sungai, shg:

YRX vvv

26

51

Gerak Proyektil

Gerak proyektil adalah gerakan suatu benda yg dilun-

curkan ke udara dan kemudian dibiarkan bergerak

secara bebas. Utk penyederhanaan, dianggap perce-

patan gravitasi bumi adalah konstan, g = 9,81 m/s2.

Dlm gerakan proyektil, komponen vertikal dan hori-

zontal gerakan tsb saling bebas.

Contoh: Bola yg dilempar vertikal ke atas dlm kereta-

api yg sedang bergerak. Titik tertinggi yg dicapai bola

bergantung pd kecepatan awal dan percepatan gravi-

tasi. Gerak ini tidak ada sangkut-pautnya dg gerak

horizontal kereta-api. Gerak horizontal bola relatif thd

tanah bergantung pd gerak horizontal kereta-api.

52

Gerak Proyektil

27

53

Gerak Proyektil

http://phy-061062.blogspot.com/2007_06_01_archive.html

54

http://phy-061062.blogspot.com/2007_06_01_archive.html

Gerak Proyektil

28

55

x

y v0

v0x

v0y

θ

Gerak Proyektil

Sebuah proyektil ditembakkan dg kecepatan awal v0,

berarah miring ke atas membentuk sudut elevasi θ

thd grs horizontal.

56

Gerak Proyektil

sin,cos 0000 vvvv yx

gaa yx ,0

Krn tidak ada percepatan horizontal, mk komponen-

komponen kecepatan proyektil adalah:

tgvvdanvv yyxx 00

Sedangkan komponen-komponen perpindahannya

adalah:

2

21

00 tgtvydantvx yx (*)

29

57

Gerak Proyektil

Persm umum utk lintasan y(x) dpt diperoleh dr persm

(*) dg mengeliminasi variabel t dan memilih x0 = y0 =

0, shg t = x/v0x, maka: 2

0

21

0

0

xx

yv

xg

v

xvy

2

2

0

21

0

0x

v

gx

v

vy

xx

y

Persm ini berbentuk y = ax + bx2 yg merupakan pers

parabola melalui titik asal (0,0).

58

Gerak Proyektil

Utk kasus istimewa di mana ketinggian awal dan

akhir sama, dpt diturunkan rumus umum jangkauan

proyektil R.

Wkt utk mencapai ketinggian maksimum diperoleh

jika vy = 0.

g

vttgvv

y

yy

0

0 0

Jangkauan R adalah jarak horizontal yg ditempuh dlm

waktu 2.t :

g

vv

g

vvR

yxy

x

000

0

22

30

59

http://demo.webassign.net/ebooks/hrw8demo/art/images/halliday8019c04/image_t/tfg010.gif

Gerak Proyektil

ymax

60

Gerak Proyektil

g

v

g

vvR

cossin2sincos22

000

2sin

2

0

g

vR

Krn nilai mks sin 2θ = 1 yaitu ketika θ = 45º, maka:

45

2

0 g

vRmaks

31

61

Gerak Melingkar

Gerak melingkar banyak dijumpai dlm kehidupan se-

hari2. Misalnya: bumi beredar mengelilingi matahari,

bulan dan satelit beredar mengelilingi bumi, roda

berputar saat kendaraan berjalan, jarum jam berputar

menunjukkan waktu, dll.

Newton adalah orang yg pertama menyadari penting-

nya gerak melingkar beraturan. Ia menyatakan bhw

jika partikel bergerak dg kelajuan konstan v dlm ling-

karan dg radius r maka partikel tsb memiliki percepat-

an yg besarnya v2/r dan berarah ke pusat lingkaran.

Percepatan ini disebut percepatan sentripetal.

62

Gerak Melingkar Gbr dr System of the

World Newton,

diterbitkan th 1728, yg

menggambarkan

hubungan ant gerakan

proyektil dg gerakan

satelit. → Semakin

besar kecepatan awal,

semakin jauh batu me-

lalui lintasan sebelum ia

jatuh di bumi, sampai

akhirnya melampaui

limit bumi, batu melejit

ke angkasa tanpa me-

nyentuh bumi.

32

63

Orbit satelit GPS (jarak berskala)

Jarak rata-rata satelit GPS dr pusat bumi adalah 26.560 km.

Dg asumsi radius rata-rata bumi 6360 km, ketinggian orbit

satelit tsb sekitar 20.200 km. Orbit pd ketinggian ini disebut

MEO – medium earth orbit (orbit bumi medium).

http://www.kowoma.de/en/gps/orbits.htm

Gerak Melingkar

64

Agar satelit memiliki periode orbit 1 hari sideris, ketinggiannya

harus sekitar 35.786 kilometer di atas permukaan bumi.

http://www.earthlyissues.com/apophis.htm

Gerak Melingkar

33

65

http://www.qrg.northwestern.edu/projects/vss/docs/space-environment/1-what-is-a-satellite.html

Gerak Melingkar

Orbit bulan dan

satelit buatan

manusia, saat

mengedari bu-

mi

66

Gerak Melingkar

Jika satelit tidak diper-

cepat (sentripetal), mk

satelit akan bergerak

dr P1 ke P2 dlm selang

waktu t. Pd kenyataan-

nya satelit tiba di titik

P2’ pd orbit melingkar-

nya. Jadi, se-akan2

satelit “jatuh” dr keting-

gian h spt pd gbr.

P1 P2

P2’r

r

h

v.t

O

34

67

Gerak Melingkar

Dari segitiga siku2 OP1P2, maka:

222rtvhr

22222 2 rtvhrhr

222 tvhrh

Utk selang waktu t yg sangat kecil, h << 2.r, shg ber-

laku 222 tvhr

22

2

1t

r

vh

68

Gerak Melingkar

Bandingkan persm tsb dg persm gerak dg percepatan

konstan: h = ½ a.t2, tampak bhw percepatan satelit

adalah:

r

va

2

Hasil ini berlaku umum utk gerak melingkar dg kelaju-

an konstan (gerak melingkar beraturan).

Perhatikan diagram vektor posisi dan vektor kecepat-

an utk gerak melingkar beraturan tsb:

35

69

Gerak Melingkar

P1

P2

v1

v2

r1

r2

v2

Δv=v2-v1

Δr=r2 -r

1

Δθ

Δθv1

Δs

70

Gerak Melingkar

Mula-mula vektor kecepatan awal v1 tegak lurus

vektor posisi awal r1. Sesaat kmdn kecepatannya

menjadi v2 yg tegak lurus vektor posisi r2. Sudut Δθ

ant v1 dan v2 sama dg sdt ant r1 dan r2, krn vektor

kecepatan dan vektor posisi selalu saling tegak lurus.

Jika selang wkt yg dipilih sangat kecil → besarnya

perpindahan |Δr| ≈ jarak tempuh sepanjang busur Δs.

Percepatan rata2 adalah rasio perubahan kecepatan

Δv atau v2 – v1 thd selang waktu Δt. Dr gbr tampak

bhw utk Δt yg sangat kecil, Δv hampir tegak lurus v →

berarti Δv menuju ke pusat lingkaran.

36

71

Gerak Melingkar

v

v

r

s

Krn Δs = v.Δt, maka: v

v

r

tv

lsentripetapercepar

v

t

v.

2

Dlm gerak melingkar beraturan, waktu utk menempuh

jarak satu putaran lengkap (2 πr) disebut periode (T).

T

rv

2

72

ar

r

at

a

r

v

Gerak Melingkar

Jika partikel bergerak

melingkar/melengkung

dg kelajuan berubah-

ubah, mk ada komp

percepatan tangensial

(at) yg menyinggung

lingkaran (kelengkung-

an) dan ada komp

percepatan sentripetal

(ar) yg menuju ke

pusat lingkaran

(kelengkungan). rt aaa

37

73

Gerak Melingkar

dt

vdat

r

var

2

rt aaa Percepatan tangensial →

Menyinggung lingkaran

Percepatan sentripetal →

Menuju pusat lingkaran

74

Latihan:

1.Sebuah partikel memiliki vektor posisi r = (30 t) i +

(40 t – 5 t2) j, dengan r dlm meter dan t dlm sekon.

Tentukan vektor kecepatan sesaat dan percepatan

sesaat sbg fungsi waktu t.

2.Sebuah partikel memiliki percepatan konstan a =

(6i + 4j) m/s2. Pd saat t = 0, kecepatannya = 0 dan

vektor posisinya r0 = (10 m) i. (a) Carilah vektor

kecepatan dan vektor posisinya setiap saat t. (b)

Tentukan persamaan lintasan partikel dlm bidang

xy dan gambarlah lintasan tsb.

Gerak Proyektil - Gerak Melingkar

38

75

3.Pd gbr ini partikel bergerak berlawanan arah jarum

jam dlm lingkaran beradius 5 m dg kecepatan yg

berubah-ubah. Vektor kecepatan ditunjukkan pd

saat2 tertentu. Hitunglah nilai v dan dv/dt pd saat2

tsb.

v

a

r = 5 m

a = 50 m/s2

45º

(c)

v

r = 5 m

a = 20 m/s2

(a)

v

r = 5 m

a = 30 m/s2

30º

(b)

76

4.Pd gbr a, b dan c di bwh ini, partikel bergerak me-

lingkar dg kecepatan yg berubah-ubah. Vektor

kecepatan diperlihatkan. Hitunglah vektor percepat-

an rata-rata ant 2 posisi pd masing2 kasus.

t = 0

90º

v = 20 m/s

t = 2 s

v = 60 m/s(a)

t = 0

45º

v = 20 m/s

t = 1,41 s

v = 48,2 m/s

(b)

39

77

t = 0

30º

v = 20 m/s

t = 1,16 s

v = 43,2 m/s

(c)

5.Sebuah partikel bergerak

dlm bid xy dg percepatan

konstan. Pd saat t = 0 s

partikel berada di posisi r

= 4 m i + 3 m j. Pd saat t

= 2 s, partikel berada di

posisi r = 10 m i – 2 m j

dan kecepatannya men-

jadi v = 5 m/s i – 6 m/s j.

(a) Brp percepatan partikel? (b) Tentukan kecepatan

awal partikel. (c) Bgmn bentuk kecepatan partikel

sbg fungsi waktu? (d) Bgmn vektor posisi partikel

sbg fungsi waktu?

78

5.Sebuah partikel bergerak berlawanan jarum jam dg

kelajuan konstan dlm lintasan lingkaran beradius 5

m mengelilingi titik asal. Partikel mulai bergerak pd

saat t = 0 di x = 5 m, y = 0 dan membutuhkan 100 s

utk melakukan 1 putaran lengkap. (a) Brp kelajuan

partikel? (b) Tentukan besar dan arah vektor posisi

r pd saat t = 25 s dan t = 10 s. (c) Tentukan vrata-rata

untuk selang waktu t = 0 sampai 10 s. Bandingkan

dg kecepatan sesaat pd t = 0 dan t = 10 s.

40

79

5.Posisi sebuah partikel dinyatakan dg vektor:

r = -10 m cos ωt i + 10 m sin ωt j

dg ω = 2 rad/s. (a) Tentukan persamaan lintasan

dan arah lintasan partikel tsb. (b) Hitunglah kelaju-

an partikel tsb. (c) Berapa waktu minimum yg diper-

lukan partikel tsb utk kembali ke posisi awalnya?

bhn kuliah fisika i 2

Documents