PERILAKU NOL DAN TAK-HINGGA SERTA BENTUK TAK-TENTU

Sumardyono, M.Pd.

A. PENDAHULUAN

Aritmetika dimulai dari perhitungan bilangan asli yang masih sederhana. Kemudian

berkembang dengan menggunakan bilangan cacah dan bilangan bulat. Pada saat pengerjaan

hitung menggunakan bilangan bulat, ada saatnya kita berhadapan dengan suatu bentuk yang

tidak dapat dipahami dengan mudah. Misalnya bentuk pembagian 1/0. Apakah ini suatu

bilangan (tertentu) ataukah bukan bilangan. Dapat ditunjukkan bahwa bentuk pembagian

dengan nol di atas merupakan bentuk yang tidak terdefinisi (undefined).

Andaikan ada bilangan k sedemikian hingga 1/0 = k maka berdasarkan definisi pembagian

sebagai invers dari perkalian, bentuk tersebut ekuivalen dengan 1 = 0.k . Tetapi segera kita

dapatkan bahwa ekspresi matematika yang terakhir tidaklah benar karena setiap bilangan jika

dikali nol maka hasilnya nol. Jadi, tidak mungkin ada bilangan k tersebut. Dengan demikian

kita tidak mungkin mendefinisikan suatu bilangan yang ekuivalen dengan bentuk 1/0.

Di samping bentuk yang tak terdefinisi di atas, di dalam aritmetika kita menjumpai bentuk-

bentuk yang juga tidak ekuivalen dengan bilangan (tertentu), tetapi bukan karena tidak ada

hasilnya namun terlalu banyak hasilnya. Oleh karena yang namanya bilangan itu harus

tunggal atau harus jelas titiknya pada garis bilangan, maka bentuk yang demikian bukan

bilangan. Bentuk tersebut dikenal dengan nama bentuk tak-tentu (indeterminate form).

B. BENTUK TAK TENTU DALAM KALKULUS

Secara formal, konsep “bentuk tak-tentu” dikenal di dalam kalkulus. Jika nilai beberapa

fungsi f(x) pada x tertentu mengambil bentuk yang sama, tetapi limitnya dapat beraneka

ragam (mengambil nilai yang berbeda-beda, tak-hingga, negatif tak-hingga, atau tidak ada

limitnya) maka bentuk yang sama tsb dinamakan bentuk tak-tentu.

Dalam mathworld.wolfram dinyatakan “Certain forms of limits are said to be indeterminate

when merely knowing the limiting behavior of individual parts of the expression is not

sufficient to actually determine the overall limit.”.

Pada bagian selanjutnya dalam artikel ini, akan dibahas beberapa bentuk tak-tentu dan

penanganannya dalam menentukan nilai limit. Pembaca diasumsikan telah memahami konsep

dasar dari limit fungsi dengan baik.

C. MEMAHAMI PRILAKU NOL (0) DAN TAK-HINGGA (∞) PADA KALKULUS

Dalam menelaah bentuk-bentuk tak-tentu dan prilakunya, maka perlu dipahami lebih dulu

mengenai konsep bilangan nol dan konsep tak-hingga.

Bilanga nol, 0, jelas sudah dikenal dengan baik, minimal di dalam perhitungan aritmetika

bilangan nol dikenal sifat-sifatnya. Misalnya 0 merupakan identitas terhadap penjumlahan,

atau perkalian dengan nol hasilnya nol.

Untuk tak-hingga (∞), perlu penjelasan lebih lanjut. Beberapa literatur (berbahasa Indonesia)

ada yang menulisnya sebagai “tak-berhingga”, “tak-terhingga”, atau “tak-hingga” (dengan

atau tanpa tanda strip “-“). Penulis di sini, menggunakan kata “tak-hingga” untuk

kesederhanaan penulisan.

Konsep ketakhinggan atau tak-hingga merupakan konsep yang membingungkan bukan saja

bagi orang awam, bahkan bagi matematikawan terkenal sekalipun. Untuk itu, perlu

diperhatikan apa pengertian dan batasan “tak-hingga” yang kita maksudkan di sini.

Pertama, “tak-hingga” bukan bilangan (dalam hal ini bukan bilangan real maupun kompleks).

Konsep tak-hingga hanya menyatakan konsep suatu kecenderungan yang terus-menerus

membesar (baik ke arah positif maupun ke arah negatif). Jadi, kita dapat menyatakan,

misalnya, nilai fungsi tsb terus membesar menuju “tak-hingga”. Tetapi, kita tidak dapat

menyatakan, misalnya, nilai fungsi tsb adalah tak-hingga.

Kedua, di dalam kalkulus (karena alasan konsep limit), lambang tak-hingga dapat

diperlakukan “layaknya” lambang sebuah bilangan namun harus memenuhi aturan yang

berikut ini.

a ± ∞ = ±∞ untuk sembarang bilangan real a.

a. (±∞) = ±∞ untuk sembarang bilangan real a > 0

a. (±∞) = m ∞ untuk sembarang bilangan real a < 0

0. ±∞ = 0

∞

a = 0

0

a = ∞ untuk sembarang bilangan real a > 0

0

a = −∞ untuk sembarang bilangan real a < 0

∞a = ∞ untuk sembarang a ≠ 0

∞∞ = ∞

0∞ = 0

Perhatikan bahwa di dalam kalkulus, pembagian nol secara limit didefinisikan bernilai

tak-hingga. Lebih tepatnya, “limit 1/x untuk x mendekati nol adalah tak-hingga,

sebaliknya limit 1/x untuk x mendekati atau menuju tak-hingga adalah nol”. Jadi,

sesungguhnya semua ekspresi di atas hanya berlaku di dalam konteks limit.

D. BEBERAPA BENTUK TAK-TENTU DI DALAM KALKULUS

Ada 7 bentuk yang termasuk bentuk tak-tentu dalam kalkulus, yaitu 0/0, ∞/∞, 0.∞, ∞ − ∞, 00,

∞0, dan 1∞. Berikut pembahasan dua bentuk tak-tentu di bawah ini.

1. Bentuk Tak-Tentu 0/0

Pengertian

Berapa 0/0? Mungkin kebanyakan orang awam akan menjawab 1 karena penyebut dan

pembilangnya sama. Tetapi alasan ini tidak tepat. Bentuk 0/0 merupakan bentuk tak-tentu

karena tidak mendefinisikan sebuah bilangan (tunggal). Dengan kata lain, bentuk 0/0 bukan

bilangan.

Perhatikan variasi nilai yang mungkin.

0/0 = 1 ↔ 1.0 = 0

0/0 = 23 ↔ 23.0 = 0

0/0 = √3 ↔ √3.0 = 0

0/0 = π ↔ π.0 = 0

Secara formal, disebut bentuk tak-tentu karena ada beberapa fungsi yang nilai fungsinya 0/0

tetapi nilai limitnya tidak tunggal; ada yang limitnya bilangan real, tak-hingga, negatif tak-

hingga, atau limitnya tidak ada.

Cara Menentukan Nilai Limitnya

Ada beberapa cara menentukan nilai limit suatu fungsi yang nilai fungsinya memiliki bentuk

tak-tentu 0/0.

• Jika fungsi f(x) berbentuk fungsi rasional, maka jika dimungkinkan hilangkan faktor

sekutu pembuat nol-nya.

Contoh 1. 2

4lim

2

2 −

−

→ x

x

x

f(x) = 2

42

−

−

x

x di mana f(2) memiliki bentuk tak-tentu 0/0.

2

4lim

2

2 −

−

→ x

x

x =

)2(

)2)(2(lim

2 −

+−

→ x

xx

x = )2(lim

2+

→x

x = 2 + 2 = 4

Perhatikan bahwa kita dapat mencoret faktor (x – 2) karena faktor tsb tidak

nol.

Untuk mendapatkan faktor sekutu bisa dilakukan dengan berbagai cara: pemfaktoran

biasa, mengganti variabel (substitusi), mengalikan penyebut dan pembilang dengan

suatu konjugat yang bersesuaian, dan lain-lain.

Berikut contoh bila menggunakan substitusi variabel.

Substitusi x – 2 = y maka x → 2 = y → 0

x2 – 4 = (y + 2)2 – 4 = y2 + 4y

2

4lim

2

2 −

−

→ x

x

x =

y

yy

y

4lim

2

0

+

→ = 4lim

0+

→y

y = 4

• Menggunakan Teorema L`Hospital

Misalkan f(x) dan g(x) differensiabel (dapat diturunkan atau

didifferensialkan), dan g′(x) ≠ 0 di sekitar a (kecuali mungkin di a).

Misal pula

limit f(x) = limit g(x) = 0 untuk x mendekati a (bentuk tak tentu 0/0)

atau

limit f(x) = limit g(x) = ±∞ untuk x mendekati a (bentuk tak tentu ∞/∞)

Maka

)(

)(lim

xg

xf

ax→ =

)(

)(lim

xg

xf

ax ′

′

→

jika limit pada ruas kanan ada (atau ∞ atau −∞)

Catatan.

o Teorema L`Hospital tetap berlaku bila kita mengganti “x → a” dengan “x →

a+” (limit kanan), “x → a

−” (limit kiri), “x → ∞”, atau “x → −∞”.

o Untuk kasus di mana f(a) = g(a) = 0, f′(x) dan g′(x) kontinu serta dan g′(x) ≠ 0

maka Teorema L`Hospital mudah dibuktikan sebagai berikut.

)(

)(lim

xg

xf

ax ′

′

→ =

)(

)(

ag

af

′

′ =

ax

agxgax

afxf

ax

ax

−

−−

−

→

→

)()(lim

)()(lim

=

ax

agxgax

afxf

ax

−

−−

−

→ )()(

)()(

lim

= )()(

)()(lim

agxg

afxf

ax −

−

→ =

)(

)(lim

xg

xf

ax→

o Teorema L`Hospital dapat diterapkan berulang-ulang, selama syarat-syaratnya

dipenuhi. Penting untuk mengecek apakah syarat teorema tsb dipenuhi

sebelum menerapkan teorema tsb (ini yang kadang dilupakan para siswa dan

sebagian guru).

o Oleh karena Teorema L`Hospital menggunakan konsep turunan, maka harus

diperhatikan bahwa pembelajaran (kembali) konsep limit dengan Teorema

L`Hospital setelah pembelajaran turunan, dan bukan sebelum pembelajaran

turunan.

Contoh 2. 2

4lim

2

2 −

−

→ x

x

x

Cek: )4(lim 2

2−

→x

x= 0, )2(lim

2−

→x

x= 0. Jadi,berbentuk 0/0. Lalu, karena x2 – 4

dan (x−2) differensiabel dan )2( −xdx

d≠ 0 maka dengan Teorema

L`Hospital diperoleh

2

4lim

2

2 −

−

→ x

x

x =

)2(

)4(

lim

2

2

−

−

→

xdx

d

xdx

d

x =

1

2lim

2

x

x→ = 2.2 = 4. (ada limitnya)

Contoh 3. 1

lnlim

1 −→ x

x

x

Karena bukan bentuk fungsi rasional (penyebut bukan polinomial) maka cara

pertama tidak dapat diterapkan.

Cek: xx

lnlim1→

= 0, 1lim1

−→

xx

= 0, jadi berbentuk 0/0. Lalu, karena kedua

turunan ln x dan turunan (x – 1) ada, serta )1( −xdx

d= 1 ≠ 0 maka diperoleh

1

lnlim

1 −→ x

x

x =

1

1

lim1

xx→

= 1 (ada limitnya)

2. Bentuk Tak-Tentu ∞/∞

Pengertian

Bentuk ∞/∞ juga tidak bernilai 1, karena bentuk tersebut tidak memiliki nilai tunggal

(bilangan).

Perhatikan variasi nilai yang mungkin.

∞/∞ = 1 ↔ 1.∞ = ∞

∞/∞ = 23 ↔ 23.∞ = ∞

∞/∞ = √3 ↔ √3.∞ = ∞

∞/∞ = π ↔ π.∞ = ∞

Secara formal, disebut bentuk tak-tentu karena ada beberapa fungsi yang nilai fungsinya ∞/∞

tetapi nilai limitnya tidak tunggal; ada yang limitnya bilangan real, tak-hingga, negatif tak-

hingga, atau limitnya tidak ada.

Cara Menentukan Nilai Limitnya

Ekspresi matematika yang dapat bernilai ∞/∞ dapat disusun kembali hingga memiliki bentuk

0/0. Jika kita berhadapan dengan ekspresi )(

)(

xg

xf yang untuk nilai x tertentu memiliki bentuk

∞/∞ maka kita ubah menjadi

)(1

)(1

xf

xg yang untuk nilai x tadi akan memiliki bentuk tak-tentu

0/0.

Bentuk-bentuk tak-tentu lainnya, pada dasarnya merupakan bentuk tak-tentu karena dapat

diubah menjadi bentuk tak-tentu 0/0 atau pun ∞/∞.

E. PENUTUP

Pemahaman akan konsep bentuk tak-tentu merupakan salah satu faktor penting dalam

memahami kalkulus, oleh karena konsep bentuk tak-tentu merupakan salah satu konsep

esensial dalam kalkulus, terutama pada konsep limit. Dengan paparan dalam artikel ini,

mudah-mudahan dapat memberikan wawasan kepada guru mengenai bentuk tak-tentu dan

mengatasi kemungkinan miskonsepsi yang terjadi pada bentuk tak-tentu.

DAFTAR PUSTAKA DAN BACAAN

Jiwen He.- . Indeterminate form. A lecture notes. Not publised.

Saeed Al-Hajjar. 2008. Indeterminate Forms And Their Behaviours. Dalam WSEAS

TRANSACTIONS on MATHEMATICS. Issue 11, Volume 7, November 2008.

Wikipedia, 2012. Indeterminate Form. dalam

http://en.wikipedia.org/wiki/Indeterminate_form

Weisstein, Eric W. "Indeterminate." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

http://mathworld.wolfram.com/Indeterminate.html