Rancangan Kelompok Tak Lengkap Seimbang(RKTLS) atauBalanced Incompleted Block Design (BIBD)Arum H. Primandari

Pendahuluan

• Rancangan percobaan seperti RBSL, RAKL, dan juga RAL sering mengalami kendalapada perlakuan dengan jumlah yang besar, karena kebutuhan akan banyak satuanpercobaan yang menjadi besar.

• Misalkan ketika bekerja menggunakan RAL:

• Misalkan ketika menggunakan RAK:

Perlakuanbertambah

Heterogenitasmeningkat

Galatmeningkat

Rancob tidakefisien

Perlakuanbertambah

Ukurankelompokmeningkat

Efektifitaspengelompoka

n berkurang

Rancob tidakefisien

• Untuk mengatasi masalah yang timbul sehubungan dengan bertambahnyaperlakuan-perlakuan yang dicobakan, maka peneliti cenderung mempergunakanrancangan kelompok tak lengkap.

• Rancangan kelompok tak lengkap diperkenalkan pertama kali oleh Dr. Frank Yates (1936).

Rancangan Kelompok Tak Lengkap Seimbang (RKTLS)/ Balanced Incomplete Block Design (BIBD)

• Penggunaan RKTLS sering membantu kesulitan penyediaan satuan-satuanpercobaan.

• Apabila dalam rancangan acak kelompok tak lengkap itu terdapat pasanganperlakuan yang muncul sama banyak dalam percobaan, maka dapat dinyatakanbahwa proses pemilihan dilakukan secara seimbang, sehingga bentuk percobaan inimenggunakan rancangan kelompok tak lengkap seimbang (RKTLS).

• Dengan demikian apabila semua perlakuan yang akan dicobakan ataudiperbandingkan dianggap sama penting sehingga kombinasi perlakuan yang digunakan dalam setiap kelompok dipilih dengan proses seimbang, yang berartisetiap pasang perlakuan terjadi sama banyak dengan pasangan yang lain.

Contoh

• Misal : apabila kita mempunyai 4 perlakuan dan 4 kelompok, maka apabila kitamenggunakan RAK harus tersedia satuan percobaan sebanyak 4 x 4 = 16.

• Apabila satuan percobaan yang tersedia hanya 12, maka kita menggunakan RKTLS, dengan setap perlakuan akan muncul sebanyak 3 kali dalam keseluruhan percobaanitu.

Notasi

• Dalam rancangan ini, didefinisikan notasi-notasi:

𝑡 = banyaknya perlakuan

𝑘 = ukuran kelompok (banyaknya perlakuan dalam setiap kelompok tak lengkap)

𝑏 = banyaknya kelompok tak lengkap

𝑟𝑖 = banyaknya perulangan untuk setiap perlakuan ke 𝑖 pada seluruh percobaan;

• Dalam rancangan percobaan tak lengkap, 𝑘 akan lebih kecil daripada 𝑡 (Kamu tidakdapat menggunakan semua perlakuan di setiap kelompok).

Denah Rancangan

• informasi dari RKTLS:

t: banyak perlakuan yang dicobakan ada 4 (A, B, C, D)

b: banyak kelompok tak lengkap ada 4 (Kelompok 1, 2, 3, 4)

k: ukuran dari kelompok tak lengkap = banyak perlakuan dalam setiap kelompok tak lengkap = 3 (ACD, ABC, BCD, ABD)

r: banyak ulangan dari setiap perlakuan dalam rancob itu = 3 (AAA, BBB, CCC, DDD).

N: banyak pengamatan = tr = bk = (4)(3) = 12

Kelompok

1 2 3 4

A A - A

- B B B

C C C -

D - D D

Penentuan ulangan pasangan

• Penentuan banyaknya kali setiap pasangan perlakuan muncul dalam rancangan percobaan ataubanyaknya kali suatu perlakuan terjadi atau muncul bersama dengan setiap perlakuan yang lain dalam suatu rancangan kelompok tak lengkap sbb:

𝜆 =𝑟 𝑘 − 1

𝑡 − 1

• Apabila dalam RKLTS berlaku 𝑡 = 𝑏, maka rancangan itu disebut bersifat simetrik.

• Perlu diperhatikan bahwa dalam RKTLS: 1. 𝜆 merupakan bilangan bulat.2. harus berlaku hubungan 𝑡𝑟 = 𝑏𝑘

• Apabila keduanya tidak terpenuhi maka bukan disebut RKTLS/BIBD

Pengacakan

• Lakukan pengaturan kelompok dan beri nomor secara acak. Apabila rancangan yang di pilih memiliki ulangan yang terpisah, maka lakukan pengacakan kelompok secaraterpisah dan bebas dalam setiap ulangan.

• Lakukan pengacakan perlakuan secara terpisah dan bebas dalam setiap kelompok. Dengan kata lain, lakukan pengacakan posisi dari nomor – nomor perlakuan padasetiap kelompok.

• Alokasikan perlakuan – perlakuan aktual terhadap nomor – nomor perlakuan secaraacak. Dengan kata lain tentukan perlakuan – perlakuan secara acak sesuai dengannomor – nomor tsb.

Model linier RKLTS

𝑌𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝛽𝑗 + 𝑒𝑖𝑗; 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑡; 𝑗 = 1, 2, 3,… , 𝑏

Dimana:

Yij: nilai pengamatan dari perlakuan ke-i dalam kelompok ke-j.

µ: nilai rata – rata umum

τi: pengaruh dari perlakuan ke-i

βj: pengaruh dari kelompok ke-j

εij: pengaruh galat yang muncul dari perlakuan ke-i dalam kelompok ke-j

Tabel ANAVA

SK db JK KT F hitung

Kelompok b – 1 JKK KTK

Perlakuan(Terkoreksi)

a – 1 JKP (terkoreksi) KTP (terkoreksi) KTP (terkoreksi) / KTG

Galat N – a – b + 1 JKG KTG

Total N – 1

Perhitungan

• JKP (terkoreksi):

𝐽𝐾𝑃 𝑡𝑒𝑟𝑘𝑜𝑟𝑒𝑘𝑠𝑖 =𝑘 σ𝑖=1

𝑡 𝑄𝑖2

𝜆𝑡

• Qi adalah total terkoreksi untuk perlakuan ke-i, yang di hitung sbb :

𝑄𝑖 = 𝑦𝑖∙ −1

𝑘

𝑗=1

𝑏

𝑛𝑖𝑗𝑦∙𝑗 ; 𝑖 = 1, 2, 3,… , 𝑡

• nij = 1 jika perlakuan i muncul atau terdapat dalam kelompok ke–j

• nij = 0 jika perlakuan i tidak terdapat dalam kelompok j

2

2ij

i j

2j

j

YFK

N

JKT Y FK

1JKK Y FK

k

Contoh Penerapan

• Bayangkan bahwa kita akan mencoba 4 macam perlakuan makanan ternak,katakanlah A, B, C, D. oleh karena banyaknya ternak sapi yang tersedia terbatas,yaitu hanya 12 ekor yang terdiri dari 4 kelompok, dimana setiap kelompok terdiridari 3 ekor sapi, maka kita merencanakan percobaan ini dengan RKTLS (rancanganacak kelompok tak lengkap seimbang).

• Percobaan menggunakan rancangan kelompok tak lengkap, karena banyaknyasatuan percobaan dari setiap kelompok lebih sedikit dari banyaknya perlakuan yangingin dicobakan (3<4), hanya ada 3 ekor sapi dalam setiap kelompok sedangkanbanyaknya perlakuan yang dicobakan adalah 4 macam, yaitu A,B,C,D. data berikutadalah data pertambahan bobot badan sapi.

Contoh data total pertambahan bobot badan ternak sapi :

perlakuanKelompok sapi

Total perlakuan1 2 3 4

A 73 74 - 71 218

B - 75 67 72 214

C 73 75 68 - 216

D 75 - 72 75 222

Total kelompok221 224 207 218 870

Model Linier RAKLTS :

• Dimana :

Yij: total pertambahan bobot badan ternak sapi dalam kelompok ke-j yang memperoleh perlakuan ke-i.

µ: rata – rata total pertambahan bobot badan yang sesungguhnya

τi: pengaruh perlakuan makanan ke-i terhadap total pertambahan bobot badan sapi

βj: pengaruh kelompok sapi ke-j terhadap total pertambahan bobot badan

eij: pengaruh galat yang muncul dalam kelompok sapi ke-j yang memperoleh perlakuanmakanan ke-i.

ij i j ijY ;i 1,2,...,t;j 1,2,...,b

Penyelesaian

• Hipotesis H0 : 𝜏1 = 𝜏2 = ⋯ = 𝜏4(tidak ada pengaruh makanan terhadap pertambahan bobot badan ternak sapi) H1 : ∃𝜏𝑖 ≠ 0(minimal atau paling sedikit ada satu perlakuan makanan yang pengaruhnya berbeda terhadappertambahan bobot badan ternak sapi)

t = banyaknya perlakuan makanan = 4b = banyaknya kelompok tak lengkap = 4k = ukuran kelompok tak lengkap = banyaknya perlakuan makanan yang terdapat dalam setiap

kelompok sapi = 3r = banyaknya ulangan dari setiap perlakuan makanan = 3N = banyaknya pengamatan = ar = bk = 4.3 = 12λ = 2, yang ditentukan berdasarkan formula

r k 1 3 3 12

a 1 4 1

Penyelesaian

• Menentukan Jumlah Kuadrat (JK) Faktor Koreksi = FK = (total jenderal)²/banyak pengamatan = (870)²/12 = 63075

JKT = jumlah kuadrat nilai – nilai pengamatan – FK = (73)²+(74)²+…+(75)² - 63075 = 81

JKK = (total kelompok)/k – FK = {(221)²+(224)²+(207)²+(218)²}/3 – 63075 = 55

JKP terkoreksi :

Dimana Qi adalah total terkoreksi untuk perlakuan ke-i yang dihitung sbb :

a2i

i 1

k Q

a

• Dapat ditunjukkan bahwa Σ Qi = 0 (nilai σ𝑄𝑖 = 0 harus)

• 𝑄1 = 218 −1

31 ∗ 221 + 1 ∗ 224 + 0 ∗ 207 + 1 ∗ 218 = −

9

3

• 𝑄2 = 214 −1

30 ∗ 221 + 1 ∗ 224 + 1 ∗ 207 + 1 ∗ 218 = −

7

3

• 𝑄3 = 216 −1

31 ∗ 221 + 1 ∗ 224 + 1 ∗ 207 + 0 ∗ 218 = −

4

3

• 𝑄4 = 222 −1

31 ∗ 221 + 0 ∗ 224 + 1 ∗ 207 + 1 ∗ 218 =

20

3

Nilai 𝑄𝑖

RKTLS/BIBD R

> hasil = aov(respon~kelompok+perlakuan, data = bobot) # tidak boleh terbalik

> summary(hasil)

• Akan tetapi, perhitungan untuk kelompok salah, karena tidak terkoreksi. Sehinggasintaks tersebut hanya berlaku ketika uji hipotesis hanya untuk perlakuan.

Akibat apabila terbalik

> hasil = aov(respon~perlakuan+kelompok, data = bobot)

> summary(hasil)

Nilai perlakuan berbeda. Ini akibat dari rancangan yang tidak lengkap.

Kelompok terkoreksi

• Apabila diinginkan uji hipotesis untuk kelompok, maka perlu adanya formula untukkelompok yang terkoreksi.

• Formula untuk JKK (terkoreksi) adalah:

𝐽𝐾𝐾 𝑡𝑒𝑟𝑘𝑜𝑟𝑒𝑘𝑠𝑖 =𝑟σ𝑗=1

𝑏 𝑄𝑗′ 2

𝜆𝑏

• Dimana:

𝑄𝑗′ = 𝑦∙𝑗 −

1

𝑟

𝑖=1

𝑡

𝑛𝑖𝑗𝑦𝑖∙ ; 𝑗 = 1, 2, 3, … 𝑏

Nilai 𝑄′𝑗

• 𝑄′1 = 221 −1

31 ∗ 218 + 0 ∗ 214 + 1 ∗ 216 + 1 ∗ 222 =

7

3

• 𝑄′2 = 224 −1

31 ∗ 218 + 1 ∗ 214 + 1 ∗ 216 + 0 ∗ 222 =

24

3

• 𝑄′1 = 207 −1

30 ∗ 218 + 1 ∗ 214 + 1 ∗ 216 + 1 ∗ 222 = −

31

3

• 𝑄′1 = 218 −1

31 ∗ 218 + 1 ∗ 214 + 0 ∗ 216 + 1 ∗ 222 = 0

• Nilai σ𝑄𝑗′ = 0

BIBD untuk Perlakuan dan KelompokTerkoreksi> hasil1 = aov(respon~perlakuan+kelompok, data = bobot)

> drop1(hasil1, test = "F") # kelompok&perlakuan bolehbolak-balik

SV db JK KT F hitung P-value

Kelompok(Terkoreksi)

3 66.083 … 33.889 0.00095

Perlakuan(Terkoreksi)

3 22.75 … 11.667 0.0107

Galat 𝑵− 𝒕 − 𝒃 + 𝟏= 𝟏𝟐 − 𝟒 − 𝟒 + 𝟏 = 𝟓

3.25 …

Referensi

• Gaspersz, Vincent, 1991, Teknik Analisis Dalam Penelitian Percobaan, Tarsito, Bandung.

• Montgomery, Douglas C., 2001, Design and Analysis of Experiments 5th Ed, John Wiley & Sons, Inc., USA.