rancangan acak kelompok tak lengkap …stat.ipb.ac.id/en/uploads/stk621/stk621_02.pdf · rancangan...
TRANSCRIPT
RANCANGAN ACAK
KELOMPOK TAK LENGKAP
(Incomplete Block Design)
Dr.Ir. I Made Sumertajaya, M.Si
Departemen Statistika-FMIPA IPB
2007
Review Rancangan Acak
Kelompok
• Kita ingin membandingkan t perlakuan
• Pengelompokan N = bt unit percobaan kedalam
b kelompok berukuran t yang homogen.
• Dalam setiap kelompok, kita acak t perlakuan
terhadap t unit percobaan.
• Kemampuan mendeteksi perbedaan antar
perlakuan sangat tergantung pada keragaman
dalam blok (within block variability).
Beberapa Komentar
• Keragaman dalam blok secara umum meningkat seiring dengan makin besarnya ukuran blok.
• Untuk jumlah perlakuan yang besar (t), memungkinkan terjadi tidak mampu menyiapkan ukuran blok (k) yang sama dengan jumlah perlakuan.
• Jika ukuran blok (k) lebih kecil dari jumlah perlakuan (k<t) maka semua perlakuan tidak muncul sekali pada setiap blok. Rancangan ini disebut sebagai rancangan kelompok tidak lengkap (Incomplete Block Design).
Beberapa Komentar
• Ketika dua perlakuan muncul bersama-sama dalam blok yang sama maka memungkinkan untuk melakukan pendugaan perbedaan pengaruh perlakuan.
• Dengan kata lain perbedaan pengaruh perlakuan bersifat dapat diduga (estimable)
• Jika dua perlakuan tidak muncul secara bersama-sama dalam blok yang sama maka tidak mungkin menduga perbedaan pengaruh perlakuan.
• Dengan kata lain perbedaan pengaruh perlakuan bersifat tidak dapat diduga (not be estimable)
Ilustrasi • Perhatikan rancangan kelompok dengan 6 perlakuan
dan 6 kelompok berukuran 2, berikut:
• Perbedaan antar perlakuan berikut 1 vs 2, 1 vs 3, 2
vs 3, 4 vs 5, 4 vs 6, 5 vs 6) dapat diduga (estimable).
• Perbedaan perlakuan dalam kelompok perlakuan
{1,2,3} dengan perlakuan dalam kelompok perlakuan
{4,5,6} tidak dapat diduga (not estimable).
1
2
2
3
1
3
4
5
5
6
4
6
Definisi
• Dua perlakuan i and i* disebut terhubungkan (connected) jika ada deret dari perlakuan i0 = i, i1, i2, … iM = i* sehingga setiap pasangan perlakuan (ij and ij+1) muncul dalam blok yang sama.
• Dalam kasus ini perbedaan perlakuan bersifat estimable.
• Rancangan tak lengkap disebut connected jika semua pasangan perlakuan bersifat estimable
Ilustrasi
• Perhatikan rancangan kelompok dengan 5
perlakuan dan 5 blok berukuran 2 berikut:
• Rancangan kelompok tak lengkap ini bersifat
connected.
• Semua perbedaan perlakuan bersifat estimable.
• Tetapi beberapa perbedaan perlakuan dapat
didduga dengan presisi yang lebih tinggi
dibandingkan dengan yang lainnya. Kenapa?
1
2
2
3
1
3
4
5
1
4
Definisi
Rancangan tak lengkap disebut Rancangan blok tak lengkap seimbang (Balanced Incomplete Block Design), jika
1. Semua perlakuan muncul dalam r blok
• Kondisi ini mengakibatkan setiap perlakuan memiliki presisi yang sama
2. Semua pasangan perlakuan i and i* muncul bersama-sama dalam l blok.
• Kondisi ini menunjukkan bahwa setiap perbedaan perlakuan dapat diduga dengan presisi yang sama.
Notasi b = Jumlah blok
t = Jumlah perlakuan
k = Ukuran blok
r = Ulangan setiap perlakuan
l = Frekuensi munculnya setiap pasangan perlakuan dalam percobaan
1. bk = rt
• Both sides of this equation are found by counting the total number of experimental units in the experiment.
2. r(k-1) = l (t – 1)
• Both sides of this equation are found by counting the total number of experimental units that appear with a specific treatment in the experiment.
Ilustrasi Lay-out BIB Design A Balanced Incomplete Block Design
(b = 15, k = 4, t = 6, r = 10, l = 6)
Block Block Block
1 1 2 3 4 6 3 4 5 6 11 1 3 5 6
2 1 4 5 6 7 1 2 3 6 12 2 3 4 6
3 2 3 4 6 8 1 3 4 5 13 1 2 5 6
4 1 2 3 5 9 2 4 5 6 14 1 3 5 6
5 1 2 4 6 10 1 2 4 5 15 2 3 4 5
Contoh Kasus Suatu perusahaan pengolah makanan tertarik membandingkan 6
brand baru (A, B, C, D, E and F) produk gandum (cereal)
Untuk menjawab tujuan ini dilakukan tahapan penelitian sebagai berikut:
• Setiap subjek diminta merasakan dan membandingkan produk tersebut dengan memberi skor antara 0 - 100.
• Untuk lebih praktisnya setiap subjek paling banyak membandingkan 4 dari 6 brand dari produk gandum tersebut.
• Untuk tujuan ini digunakan b = 15 subjek dengan balanced incomplete block design
• Coba Anda buat Lay-out dari rancangan tersebut!!
Analisis Rancangan Tak Lengkap Seimbang
(BIB Design)
• Model Linier
• Penguraian
Keragaman Total
Catatan: nij bernilai 1 jika
blok ke-j memuat
perlakuan ke-i, dan
bernilai 0 jika blok ke-j
tidak memuak
perlakuan ke-i
ijjiijy
adj
b
j
jijii
a
i
i
adj
b
j
j
adj
i j
ij
JKPJKBJKTJKG
ynk
yQa
Qk
JKP
N
y
k
yJKB
JKGJKBJKPJKT
N
yyJKT
1
..1
2
2
..
1
2
.
2
..
1 1
2
1 ,
kbarN ,
l
Struktur Tabel Sidik Ragam Rancangan BIB
Sumber Db JK KT F-hitung
Blok b-1 JKB KTB KTB/
KTG
Perlakuan
terkoreksi
t-1 JKPadj KTPadj KTPadj/
KTG
Galat N-b-
t+1
JKG KTG
Total N-1 JKT
Misal data perbandingan antar brand produk gandum pada
kasus sebelumnya diperoleh sebagai berikut:
Parameter dari rancangan BIB, yaitu:
b = 15, k = 4, t = 6, r = 10, l = 6 Block Totals
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 G
Bj 258 213 258 198 170 245 225 311 168 245 199 247 228 241 316 3522
Treat Totals and Estimates of Treatment Effects
Treat Treat Total (Ti) j(i) Bj/k Diff = Qi Treat Effects (i)
(A) 501 572 -71 -7.89
(B) 600 578.25 21.75 2.42
(C) 795 624.5 170.5 18.94
(D) 821 603.5 217.5 24.17
(E) 571 595.25 -24.25 -2.69
(F) 234 548.5 -314.5 -34.94
)(ij denotes summation over all blocks j containing treatment i.
t
kQii
l treatment i effects.
Anova Table for Incomplete Block Designs
Sums of Squares
yij2 = 234382
Bj2/k = 213188
Qi2 = 181388.88
Anova Sums of Squares
SStotal = yij2 –G2/bk = 27640.6
SSBlocks = Bj2/k – G2/bk = 6446.6
SSTr = k( Qi2 )/lt = 20154.319
SSError = SStotal - SSBlocks - SSTr = 1039.6806
Anova Table for Incomplete Block Designs
Source SS df MS F
Blocks 6446.60 14 460.47 17.72
Treat 20154.32 5 4030.86 155.08
Error 1039.68 40 25.99
Total 27640.60 59
Uji lanjutan untuk Perbandingan Perlakuan
• Kontras
– Kontras disusun untuk
perbandingan
perlakuan terkoreksi
– Jumlah kuadrat
kontras (JKC) dapat
dihitung sebagai
berikut:
a
i
i
a
i
ii
ca
Qck
JKC
1
2
2
1
l
• Pengaruh Perlakuan
diduga sebagai
berikut:
• Standard Error bagi
pengaruh perlakuan
adalah: a
kxKTGSE
a
kQ
i
ii
l
l
)ˆ(
ˆ
Perbandingan Semua Kombinasi Perlakuan
(Duncan, Tukey)
Alternatif Analisis
• Dalam uraian sebelumnya keragaman total
diuraikan menjadi jumlah kuadrat perlakuan
terkoreksi, jumlah kuadrat blok dan jumlah
kuadrat galat
• Disisi lain perhatian juga dapat ditujukan pada
pengaruh blok, dengan kata lain keragaman
total dapat juga diuraikan menjadi jumlah
kuadrat perlakuan, jumlah kuadrat blok
terkoreski dan jumlah kuadrat galat
Analisis Rancangan Tak Lengkap Seimbang
(BIB Design)
• Penguraian
Keragaman Total
Catatan: nij bernilai 1
jika blok ke-j
memuat perlakuan
ke-i, dan bernilai 0
jika blok ke-j tidak
memuak perlakuan
ke-i
JKGJKBJKPJKT adj
JKPJKBJKTJKG
ynr
yQb
Qr
JKB
N
yyJKP
N
yyJKT
adj
a
i
iijji
b
j
j
adj
a
i
i
i j
ij
1
..
1
2
2
..
1
2
.
2
..
1 1
2
1 ,
kbarN ,
l
Struktur Tabel Sidik Ragam Rancangan BIB
Sumber Db JK KT F-hitung
Blok
terkoreksi
b-1 JKBadj
KTBadj
KTBadj/
KTG
Perlakuan t-1 JKP KTP KTP/
KTG
Galat N-b-t+1 JKG KTG
Total N-1 JKT
Pendugaan Parameter
• Intrablock analysis: perbedaan antar blok tidak dianalisis dan semua perbandingan perlakuan dapat ditunjukan sebagai perbandingan antar observasi dalam blok yang sama. Pengaruh blok dapat acak atau tetap
• Interblok analysis: Pengaruh blok dianggap acak dengan rata-rata nol dan ragam
2.
Perbedaan Kedua Kajian
• Intrablock Analysis
• Interblock Analysis
2
2
)1()ˆ(
ˆ
l
l
a
akV
a
kQ
i
ii
22
..
1
.
)(
)1()ˆ(
ˆ
l
l
kra
akV
r
ykryn
i
b
j
jij
i