6. Tcnicas para contar

Contar oralmente, implica aptitudes numricas? Qu tcnicas de contar se suelen desarrollar durante los aos preescolares? Pode-mos suponer que los nios de educacin especial adquirirn tcnicas bsicas para contar de una manera informal? Qu tcnicas suelen re-querir instruccin durante los primeros cursos escolares?

A) EL DESARROLLO DE TECNICAS PARA CONTAR El caso de Alexi

Hacia los veintisis meses de edad, Alexi poda contar de palabra del 1 al 10 y haba empezado a experimentar con los nmeros hasta el 20. Cuando se le pidi que contara los tres puntos de una forma-cin triangular, Alexi seal los puntos y solt a toda prisa: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Cuando se le fidi que contara tres puntos en fila, seal al azar y varias veces e conjunto mientras deca: 8, 9, 10. Aun despus de poder contar con exactitud conjuntos de hasta cinco objetos, Alexi se desconcertaba cuando se le preguntaba cun-tos haba contado. Si se le enseaban dos conjuntos (por ejemplo, una tarjeta con nueve puntos y otra con ocho) tambin le sorprenda que se le pidiera que sealara la tarjeta que tena ms.

La tcnica de Alexi para contar oralmente no garantizaba una ca-pacidad para contar con exactitud conjuntos de objetos o para el em-pleo de otras tcnicas numricas. Sin embargo, hacia los cinco aos de edad \ los nios no slo pueden contar de palabra casi hasta 29, sino que inmediatamente determinan que y ' son tres>>. Adems, para un nio tpico de cinco aos es evidente cmo se debe resolver el problema de determinar cul de dos conjuntos (por ejem-plo, uno de nueve y otro de ocho) tiene ms elementos: slo hay que contar cada conjunto y comparar las cantidades resultantes. Despus de contar cada conjunto de puntos, la solucin del problema tambin es fcilmente visible para los nios de cinco aos: El conjunto con 9 es ms. Por tanto, en cuestin de pocos aos los nios aprenden una variedad de tcnicas para contar y muchas maneras de aplicarlas (Fuson y Hall, 1983). Lo complicado que pueda ser este desarrollo, o en qu medida llegan a darlo por sentado los adultos, queda reve-lado por un examen detallado de las tcnicas mencionadas en el prra-fo anterior.

Una jerarqua de tcnicas En su mayor parte, la capacidad de contar se desarrolla jerrqui-

camente (Klahr y Wallace, 1973). Con la prctica, las tcnicas para 1 Las conductas que se describen ms adelante se basan en las normas de la prueba

Early Mathematical Ability (Ginsburg y Baroody, 1983) y representan la capacidad 87 media de un nio de 4 aos y 11 meses de edad.

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contar se van haciendo ms automticas y su ejecucin requiere me-nos atencin. Cuando una tcnica ya puede ejecutarse con eficiencia, puede procesarse simultneamente o integrarse con otras tcnicas en la memoria de trabajo (a corto plazo) para formar una tcnica an ms compleja (por ejemplo, Schaeffer, Eggleston y Scott, 1974). Con-sideremos qu se necesita para realizar la tarea aparentemente senci-lla de determinar si un conjunto de nueve puntos es ms o me-nos>> que otro de ocho. Realizar esta comparacin entre magnitudes numricas requiere la integracin de cuatro tcnicas.

En primer lugar, la tcnica ms bsica es generar sistemticamen-te los nombres de los nmeros en el orden adecuado. A los dos aos de edad, Alexi ya haba empezado a dominar la serie numrica oral y, a veces, poda contar hasta 10 de uno en uno. Sin embargo, cuan-do se le peda que contara objetos, an no poda decir los nmeros en el orden correcto de forma coherente. Por ejemplo, a veces no em-pezaba a contar desde uno. Hacia los tres aos de edad, los nios suelen empezar a contar un conjunto a partir de Uno y al empezar prvulos ya pueden usar la secuencia correcta para contar conjuntos de 10 elementos como mnimo (Fuson, Richards y Briars, 1982}.

En segundo lugar, las palabras (etiquetas) de la secuencia num-rica deben aplicarse una por una a cada objeto de un conjunto. La accin de contar objetos se denomina enumeracin. Aunque Alexi poda generar la serie numrica hasta 10 correctamente, no poda enu-merar un conjunto de nueve elementos, y ni siquiera de tres, porque todava no haba aprendido que debe aplicarse una, y slo una, eti-queta a cada elemento de un conjunto. La enumeracin es una tc-nica complicada porque el nio debe coordinar la verbalizacin de la serie numrica con el sealamiento de cada elemento de una colec-cin para crear una correspondencia biunvoca entre las etiquetas y los objetos. Como los nios de cinco aos pueden generar correcta-mente la serie numrica y sealar una vez cada uno de los elementos de una coleccin, pueden coordinar con eficacia las dos tcnicas para ej.ecutar el acto complejo de la enumeracin (al menos con conjuntqs de hasta '10 elementos).

En tercer lugar, para hacer una comparacin, un nio necesita una manera conveniente de representar los elementos que contiene cada con-junto. Esto se consigue mediante la regla del valor cardinal: la lti-ma etiqueta numrica expresada durante el proceso de enumeracin representa el nmero total de elementos en el conjunto. En otras pa-labras, un nio de cinco aos puede resumir la serie 1, 2, 3, ... , 9, con nueve y la serie 1, 2, 3, ... , 8>> con ocho. Como Alexi no poda ni enumerar conjuntos, no haba descubierto que la ltima eti-queta de este proceso tiene un significado especial. A sus dos aos de edad, Alexi todava no asociaba la serie numrica con la defini-cin de la cantidad de un conjunto.

En cuarto lugar, las tres tcnicas acabadas de describir son indis-pensables para comprender que la posicin en la secuencia d~fine la magnitud. A los dos aos de edad, los nmeros no definan tamaos relativos para Alexi. Sin embargo, los nios pequeos llegan a apren-der, tarde o temprano, que la serie numrica se asocia a una magni-tud relativa. Aun los nios muy pequeos pueden realizar compara-ciones gruesas entre magnitudes como 1 O es ms grande que 1 , qui-z porque saben que el 10 viene mucho ms tarde en la secuencia de enumeracin. Hacia los cinco aos, los nios pueden llegar a hacer con rapidez comparaciones precisas entre magnitudes de nmeros se-guidos como el 8 y el 9, porque estn muy familiarizados con las re-laciones de sucesin numrica (cuando me pongo a contar, el 9 vie-ne despus del 8, as que el 9 es ms grande).

Por tanto, contar para determinar que un conjunto de nueve pun-tos es ms que un conjunto de ocho no es, cognoscitivamente ha-blando, un acto trivial. Aunque los adultos pueden dar por sentadas las cuatro tcnicas implicadas, stas constituyen un reto intelectual imponente para los nios de dos aos de edad. Cuando lleguen a los cinco aos, la mayora de los nios habrn dominado estas tcnicas bsicas y estarn listos para enfrentarse a nuevos desafos.

Algunos de ellos -sobre todo los que proceden de entornos con carencias, los que tienen lesiones cerebrales o los mentalmente atra-sados- pueden no haber llegado a dominar estas tcnicas bsicas y necesitarn una atencin especial. En lo que resta de captulo se des-cribirn con mayor detalle las cuatro tcnicas bsicas para contar y otras tcnicas ms elaboradas que se desarrollan durante las primeras etapas de la escolarizacin.

Contar oralmente

Serie numrica. A una edad tan corta como los dieciocho meses, los nios empiezan a contar oralmente de uno en uno (1, 2, 3 ... ). La mayora de los nios de dos aos pueden contar 1, 2>> pero lue-go empiezan a omitir trminos (Fuson et al., 1982). Al principio, los nios pueden aprender partes de la serie numrica hasta 10 para unir-las ms adelante. Por ejemplo, Alexi (hacia los veinte meses de edad) empez a usar, de una manera regular, la serie 8, 9, 10. Ms ade-lante aadi 2, 3, 4 para hacer 2, 3, 4, 8, 9, 10>>. Despus aadi el 5 y el 6 y, finalmente, el 1 y el 7 para completar la serie hasta 10. A los veintisis meses, Alexi aadi los nmeros de dos cifras 19 y 20 y, muy poco despus, insertaba la ristra 11, 12, 13 entre el 10 y el 19.

Contar oralmente suele equipararse con Contar de memoria>>. Como ilustra el caso de Alexi, contar de memoria es una buena des-cripcin de las primeras tcnicas orales que emplean los nios para contar. Su manera de contar era, simplemente, una cantinela verbal sin sentido. La serie numrica inicial de Alexi pareca no ser ms que una cadena de asociaciones aprendidas de memoria y enlazadas gra-dualmente entre s. Sin embargo, contar de memoria es una descrip-cin menos adecuada de los posteriores intentos de contar. Con de-masiada frecuencia, este trmino se emplea para indicar que los nios aprenden toda la serie numrica por memorizacin. Aunque la me-morizacin desempea un papel determinado, sobre todo durante las etapas iniciales, el aprendizaje regido por reglas tiene una importan-cia fundamental rara ampliar esta serie. Aunque es probable que los trminos hasta e 15 2 se aprendan de memoria, la mayor parte de la serie numrica posterior puede generarse mediante reglas (Ginsburg, 1982). Los restantes nmeros hasta el20 pueden generarse continuan-do con la secuencia original (6, 7, 8, 9) y anteponiendo 10 y (por ejemplo, diecisis, diecisiete ... >>). Los nmeros de la segunda decena (21, 22, 23, ... , 29) se pueden generar mediante la regla de anteponer 20>> a cada una de las unidades (del 1 al 9) una por una. En realidad, para contar de uno en uno hasta 99 el nio slo tiene que aprender esta regla y el orden de las decenas (10, 20, 30 ... , 90).

Los errores que cometen los nios al contar son una buena seal

2 En el original se hace refencia al nmero 13. Debido a las caractersticas que pre-sentan los nombres de los nmeros 11 a 19 en ingls, se ha optado por adaptar la tra-duccin a las caractersticas de los nombres de estos nmeros en castellano. Vase tam- 89 bin la nota nmero 12 (N. del T.).

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de que existen reglas que subyacen a su cuenta oral, sobre todo de 20 para arriba. Muchos nios -incluyendo los que presentan retraso mental- se inventan trminos como diecicinco por 15, diecidiez por 20, o veintidiez, veintionce, para 30 y 31 (Baroody y Gins-burg, 1984; Baroody y Snyder, 1983; Ginsburg, 1982b). Estos erro-res indican claramente que los nios no se limitan a imitar a los adul-tos, sino que tratan de construir sus propios sistemas de reglas (Ba-roody y Ginsburg, 1982). Se trata de errores razonables porque son ampliaciones lgicas, aunque incorrectas, de las pautas de la serie nu-mrica que el nio ha abstrado. As, aun los nios mentalmente atra-sados parecen ser capaces de ver, emplear y, a veces, aplicar mallas pautas de la serie numrica.

Aunque la mayora de los nios que se acaban de incorporar a la escuela ya hacen progresos con la parte de la serie numrica regida por reglas, muchos no se dan cuenta de que las decenas ( 10, 20, 30, ... , 90) siguen una pauta paralela a la secuencia de las unidades (Fu-son et al., 1982). An no se sabe con certeza cmo llegan los nios a resolver el problema de las decenas, es decir, su orden correcto para contar hasta 100 de uno en uno. Una hiptesis es que los nios aprenden las decenas de memoria en forma de extremos finales de cada serie (por ejemplo, el nio forma la asociacin entre 29-30 o 39-40 ). Hay algunos datos que respaldan esta conjetura. Algunos nios no pueden contar por decenas pero pueden contar hasta 30 39 porque parecen haber aprendido que 30 va despus de 29, pero no han aprendido qu va despus de 39 (Baroody y Ginsburg, 1984). Otra hiptesis es que los nios aprenden las decenas (contar de diez en diez) de memoria y emplean este conocimiento para rellenar la se-cuencia de contar de uno en uno. Otra hiptesis, completamente dis-tinta, es que los nios aprenden las decenas como una versin mo-dificada de la secuencia del 1 al 9 y emplean esta pauta (repetir la se-cuencia de las unidades y aadir -enta) para rellenar la cuenta de uno en uno. Un ejemplo de esta ltima hiptesis es el caso de Teri, una nia levemente atrasada que cuando llegaba al final de una decena (por ejemplo, ... , 58, 59) se pona a contar para s para averiguar la siguiente decena (por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5, 6 -ah, ... , sesenta) (Baroody y Ginsburg, 1984 ). Luego iba repitiendo este procedimien-to hasta llegar a 1 00.

En realidad, la mayora de los nios pueden aprender de memo-ria algunas decenas (hiptesis 1 y 2) y emplear reglas para generar el resto (hiptesis 3). Esto tiene sentido porque la mayora de las dece-nas sigue una pauta y sera ineficaz aprenderlas todas de memoria. Sin embargo, se puede tener que aprender de memoria la primera par-te, incluyendo quiz algunos casos regulares como 40, antes de des-cubrirse la pauta. Por tanto, aprender las decenas (contar de diez en diez) puede ser algo parecido a aprender a contar de uno en uno: al principio, los nios adquieren una parte por memorizacin y luego emplean una pauta para ampliar la secuencia.

Elaboraciones de la serie numrica. Con la experiencia, los nios aprenden a usar su representacin mental de la serie numrica con ms elaboracin y flexibilidad (Fuson et al., 1982). A medida que se van familiarizando ms y ms con la serie numrica correcta, los ni-os pueden citar automticamente el nmero siguiente a un nmero dado. A los veintisis meses, Alison ya poda hacerlo si se le daba el pie.

MADRE: ALISON:

Alison, qu nmero va despus del 9? [No responde.]

MADRE: ALISO N:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y ... 10.

De no ser as, Alison no lo poda hacer o slo lo haca a veces.

MADRE: ALISON: MADRE: ALISO N: MADRE: ALISON: MADRE: ALISO N: MADRE: ALISO N:

Qu nmero va despus del ocho? El ocho. Y despus del dos? El nueve. Y despus del seis? [No responde.] (Un poco ms tarde): Qu va despus del ocho? Nueve, diez. Y despus del dos? El cuatro.

Hacia los cuatro o cinco aos de edad, los nios ya no necesitan empezar desde el 1 para responder de manera coherente y automti-ca preguntas relativas a nmeros seguidos, al menos hasta cerca del 28 (Fuson et al., 1982; Ginsburg y Baroody, 1983). Uno de los de-sarrollos que pueden producirse un poco ms tarde es la capacidad de citar el nmero anterior. Cuando los nios captan las relaciones entre un nmero dado y el anterior, ya est preparado el terreno para contar regresivamente. Adems, los nios de edad escolar aprenden gradualmente a contar por grupos. Entre las ms precoces de estas nuevas pautas se encuentran contar por parejas, de cinco en cinco y de diez en diez.

Numeracin

Enumeracin. Los nios deben aprender que contar objetos im-plica algo ms que agitar un dedo sealando un conjunto o deslizarlo por encima de otro mientras pronuncian con rapidez la serie num-rica. Aunque los nios pequeos aprenden con rapidez al menos la parte memorstica de la serie numrica (vase, por ejemplo, Fuson y Hall, 1983) y no tienen problemas para sealar los objetos de uno en uno (Beckwith y Restle, 1966 ), coordinar estas dos tcnicas para enu-merar un conjunto no es una tarea fcil. En realidad, la enumeracin -sobre todo de conjuntos con ms de cuatro elementos- slo llega , a hacerse automtica de una manera gradual (Beckwith y Restle, 1966; Gelman y Gallistel, 1978, y Schaeffer et al., 197 4 ). Con colecciones grandes y, sobre todo, desordenadas, los nios tienen que aprender estrategias para llevar la cuenta de los elementos que han contado y los que no. Cuando los elementos se ponen en fila, hace falta poco esfuerzo para no perder la cuenta si se empieza desde uno de los ex-tremos. Si la coleccin est colocada en crculo, el nio slo necesita recordar el elemento por el que ha empezado a contar. Con distri-buciones desordenadas, el nio debe recordar qu elementos ha eti-quetado y cules quedan por etiquetar. Esto se ve facilitado por el empleo de un mtodo sistemtico (por ejemplo, contar de izquierda a derecha y de arriba abajo) o separando los elementos etiquetados de los no etiquetados. Fuson (en prensa) encontr que muchos de sus sujetos de prvulos no empleaban la estrategia de crear un mon-tn aparte con los elementos ya contados.

Regla del valor cardinal. Al principio, los nios pueden no darse 9J cuenta de que la enumeracin sirve para numerar. Cuando se les pide

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que cuenten un conjunto, los nios se limitan a enumerarlo y espe-ran que esto, en s mismo, satisfar al adulto (cosa que ocurre a ve-ces). Si se les pregunta cuntos objetos acaban de contar, vuelven a enumerar todos los elementos del conjunto. Por ejemplo, Ida, una nia de tres aos de edad, enumer cuatro estrellas (1, 2, 3, 4) sin hacer ningn intento serio de emplear o recordar la informacin. Cuando se le pregunt cuntas estrellas haba acabado de contar, alz los hombros y volvi a enumerarlas otra vez. Como la enumeracin se contempla como un fin en s misma y no como un medio para lle-gar a un fin, los nios muy pequeos pueden no llegar a comprender el sentido de preguntas como Cuntos hay? ni preocuparse de re-cordar los resultados de lo que han contado.

Cuando tienen cerca de dos aos, muchos nios desarrollan una conciencia primitiva de que contar es un procedimiento empleado para asignar nmeros a colecciones (para responder a preguntas del tipo Cuntos hay?). Ahora ya realizan el intento de recordar lo que han contado. Sin embargo, como no se dan cuenta de que el pro-ceso de enumeracin se puede resumir, responden a este tipo de pre-guntas repitiendo la serie numrica. Despus de soltar varios tr-minos (7, 8, 9) o de repetir el mismo (9, 9, 9) ante un conjunto de tres objetos, un nio de dos aos puede designar este conjunto vol-viendo a contar (por ejemplo, 7, 8, 9 o 9, 9, 9) (Wagner y Wal-ters, 1982). Aun despus de haber aprendido a enumerar correcta-mente, los nios pueden no darse cuenta de que es innecesario reci-tar otra vez toda la secuencia cuando se les pregunta por una canti-dad. Por ejemplo, despus de enumerar cuatro estrellas que haba en una tarjeta, George (sin volver a mirar la tarjeta) respondi a la pre-gunta Cuntas estrellas hay? con: Pues hay 1, 2, 3 y 4 estrellas. Sin embargo, a una edad tan corta como los dos aos y medio de edad, algunos nios descubren el atajo consistente en recitar la ltima eti-queta del proceso de enumeracin para indicar la cantidad. En el fon-do, la regla del valor cardinal traduce el trmino aplicado a un ele-mento determinado de un conjunto (el ltimo) al trmino cardinal que representa el conjunto entero.

Regla de la cuenta cardinal. La regla inversa a la del valor cardi-nal es la regla de la cuenta cardinal. Esta regla especifica que un tr-mino cardinal como 5 es la etiqueta asignada al ltimo elemento cuando se enumera un conjunto de cinco objetos (Fuson y Hall, 1983 ). Parece que los nios tienen que aprender que un trmino como cinco es al mismo tiempo el nombre de un conjunto (nmo cardi-nal) y un nmero para contar. Consideremos el caso de un nio al que se da un conjunto de cinco canicas junto con la consigna: Aqu hay cinco canicas; pon cinco c~icas en la taza. El nio que no apre-cia la regla de la cuenta cardinal tiene que ponerse a contar las cani-cas a medida que las va soltando en la taza. Este nio no puede pre-ver que la etiqueta cinco empleada para designar el conjunto es la mis-ma que se debe aplicar al resultado de contar el conjunto. En cam-bio, el nio que da por sentada la regla de la cuenta cardinal se limita a colocar todo el conjunto en la taza sin contar.

Separacin. Contar (separar) un nmero concreto de objetos es una tcnica que empleamos a diario (por ejemplo, Dame tres lpi-ces, Me quedar con cuatro camisas, Toma cinco clavos). Sin embargo, no se trata de una tarea cognoscitiva sencilla porque impli-ca: a) observar y recordar el nmero de elementos solicitado (el ob-jetivo); b) etiquetar cada elemento separado con una etiqueta num-rica, y e) controlar y detener el proceso de separacin. En otras pa-

labras, se requiere almacenar el objetivo en la memoria de trabajo, un proceso de enumeracin y, al mismo tiempo, ir comparando los nmeros del proceso de enumeracin con el nmero almacenado J: detener este proceso cuando se llegan a igualar (Resnick y For , 1981). La regla de la cuenta cardinal ofrece al nio una razn para tomar nota del objetivo en la memoria de trabajo y constituye la base para detener el proceso de enumeracin (Baroody y Mason, 1984 ). Por ejemplo, si se pide a un nio que separe tres lpices tiene que darse cuenta de que para realizar la tarea es importante recordar tres>> y que debe parar de contar lpices cuando llegue a la etiqueta tres>>.

Comparacin de magnitudes

Cuando tienen unos tres aos de edad, los nios descubren que los trminos para contar ms altos se asocian a magnitudes superio-res (Wagner y Walters, 1982). As se dan cuenta de que dos>> no slo sigue a Uno sino que tambin representa una cantidad mayor. Hacia los 3 aos y medio, los nios suelen apreciar que tres>> es mayor que dos (Shaeffer et al., 1974). Partiendo de estos datos, los nios de cer-ca. de cuatr? _aos de ~dad parec~n descubrir un~ re_gla.&eneral: el tr-mmo numenco que viene despues en la secuencia sigmfica mas que el trmino de un nmero anterior. Aun antes de entrar en la escuela, los nios parecen usar su representacin mental de la serie numrica para hacer comparaciones toscas, pero eficaces, entre magnitudes, es decir, para comparar con rapidez y exactitud dos nmeros bastante separados entre s dentro de la secuencia (por ejemplo, el 3 y el 9, o el 2 y el 8) (Resnick, 1983 ). A medida que la relacin el siguiente de se va haciendo automtica, los nios pueden llegar a ser capaces de hacer comparaciones entre magnitudes ms prximas (entre n-meros seguidos). En realidad, cuando la mayora de los nios empie-zan a asistr al parvulario ya pueden realizar con bastante precisin comparaciones entre nmeros adyacentes hasta el 5 e incluso hasta ellO.

B) IMPLICACIONES EDUCATIVAS: DIFICULTADES PARA CONTAR Y SOLUCIONES

Contar oralmente

Serie numrica. La mayora de los nios, incluyendo los que per-tenecen a minoras y a clases sociales desfavorecidas, reciben una ex-posicin intensa a la primera parte -la memorstica- de la serie nu-mrica por parte de familiares, amigos, personal de guardera, la te-levisin, etc., antes de llegar a la escuela. Si un nio que acaba de in-corporarse al jardn de infancia manifiesta incapacidad para generar la secuencia memorstica hasta un mnimo de 1 O, puede dar seal de un problema grave y de la necesidad de una intervencin de apoyo inmediata e intensiva (Baroody y Ginsburg, 1982b). Aunque se dan grandes diferencias individuales, el dominio de la parte memorstica de la serie numrica no debera darse por sentado en nios atrasados del ciclo medio (Baroody y Ginsburg, 1984). La mayora de los ni-os de cuatro y medio a seis aos de edad pueden llegar a contar has-ta 29 39. Sin embargo, y dado que todava no han resuelto el pro-blema de las decenas, muchos de ellos son incapaces de ampliar la par-te regida por reglas ms all de estas cifras. Muchos nios pequeos 93 con retraso mental necesitarn ayuda para llegar a dominar incluso

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la primera parte de la secuencia regida por reglas (del 16 al 19 y del 20 al29).

A partir del15, aproximadamente, la enseanza de la serie num-rica no debera insistir en la memorizacin. En cambio, se debera ani-mar a los nios a buscar y discutir las pautas subyacentes a la serie numrica. En algunos casos, el maestro puede tener que dar pistas o ayudar a que las pautas se hagan explcitas (vase el ejemplo 6.1). Adems, es positivo que los nios cometan errores al aplicar reglas como sustituir 30 por veintidiez. Se trata de una seal prometedo-ra porque indica el reconocimiento de una pauta numrica y consti-tuye un intento activo, por parte del nio, de tratar con lo descono-cido en funcin de las reglas o de la comprensin que ya tiene. Cuan-do un nio comete un error al aplicar una regla, el maestro puede aprovechar el conocimiento que ya tiene dicindole, por ejemplo: Otro nombre para veintidiez es 30. Se trata de una manera cons-tructiva de corregir al nio porque el maestro aprecia su capacidad para pensar sin dejar de ofrecerle el feedback necesario para su de-sarrollo posterior.

Ejemplo 6.1. Empleo de pautas para ensear las decenas

Aun los nios algo retrasados pueden beneficiarse de la instruccin que explota las pautas subyacentes a la serie numrica. Tomemos el caso de Mike, un hombre de veinte aos de edad con un CI de 40. Mike trataba de apren-der cmo decir la hora ajustndola a los cinco minutos ms prximos, pero como no conoca las decenas superiores a 30, no poda pasar de 35. Despus de 35 se limitaba a repetir expresiones usadas previamente (por ejemplo, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 30). Para establecer una conexin entre la secuencia de las unidades y las decenas, la educadora de Mike escribi los nmeros del 1 al 6 en una tarjeta. Debajo de cada cifra escribi la decena correspondiente y le explic que poda usar los primeros nmeros que empleaba para contar para averiguar las decenas. Ves? El 1 es como el 10, el 2 como el 20, el 3 como el 30, el 4 como el 40, el 5 como el 50 y el 6 como el 60. Mike us la lista numrica de esta tarjeta para contar de cinco en cinco y al ver que con ella poda expresar todas las horas del reloj se puso tan contento que pi-di ms copias de la tarjeta para usarlas en clase y en casa. Los siguientes pasos se encaminaron a hacer que Mike determinara la siguiente decena usan-do mentalmente la secuencia para contr y a que practicara contando de diez en diez y de cinco en cinco hasta que estas tcnicas se hicieran automticas. Al final, Mike deca en seguida la hora sin necesitar la tarjeta.

La educacin de Mike y la recopilacin del caso se deben a Cathy A. Mason.

Los obstculos ms frecuentes para los nios, sea cual sea su ca-pacidad mental, son los nombres irregulares de los nmeros 14 y 15 y de las decenas 3 (por ejemplo, Baroody y Snyder, 1983, y Fuson et al., 1982). Como 14 y 15 son una excepcin a la pauta de elabora-cin, es frecuente que sean los ltimos nmeros que se aprenden has-ta 19. Algunos nios simplemente se los saltan ( ... , 13, 16, ... ) o los cambian por otro( ... , 13, 16, 16, 16, ... ).Un diagnstico expeditivo, el empleo de modelos y la prcticapueden establecer la secuencia ade-cuada como un hbito antes de que se instaure una secuencia incom-pleta o incorrecta.

Elaboraciones de la serie numrica. Cuando estn en prvulos, los nios no deberan tener problemas para citar el nmero siguiente a

3 Se ha hecho una adaptacin al castellano de las dificultades que, en el original, se refieren al nombre de ciertos nmeros en ingls. Vase tambin la nota nmero 12. (N. del T.)

otro, y ni siquiera el anterior, al menos hasta el1 O (Fuson et al., 1982; Ginsburg y Baroody, 1983). Los nios de bajo rendimiento y con retraso mental puede que no sean capaces de citar el nmero si-guiente y quiz deban empezar a contar desde el 1 o hacer conjetu-ras. Es probable que citar el nmero anterior sea relativamente difcil porque los nios deben operar sobre la serie numrica en direccin opuesta a la seguida durante su aprendizaje. Adems, puede que el concepto de anterior sea ms difcil de comprender que el de siguien-te. Por tanto, al principio lo mejor sera concentrar la enseanza de apoyo en el nmero siguiente. Esta enseanza debera empezar con la parte ms familiar de la secuencia numrica (delt al4 o al S). Ade-ms, si el nio puede leer las cifras se puede empezar con actividades en las que intervenga una representacin concreta de la serie num-rica (una lista numrica). Una vez el nio ha comprendido la cues-tin relativa al nmero siguiente (anterior) y puede dar respuestas con facilidad mediante el empleo de una lista numrica, puede pasar a actividades sin lista numrica que le exijan determinar mentalmente la respuesta.

Contar regresivamente desde 1 O depende del conocimiento de las relaciones existentes entre un nmero y su anterior, y es una tcnica oral relativamente difcil. Con todo, suele ser dominada por los ni-os cuando llegan a primer curso (,Fuson et al., 1982; Ginsburg y Baroody, 1983). Contar regresivamente desde 20 es una tcnica es-pecialmente difcil y no suele dominarse hasta poco antes de tercer curso. Los maestros de educacin especial deben esperar muchas di-ficultades con las dos tcnicas. La enseanza de apoyo puede empe-zar haciendo que el nio lea una lista numrica hacia atrs (de dere-cha a izquierda). Con los nios que dominan o han dominado el n-mero siguiente, se puede tapar la lista numrica dejando a la vista el nmero de partida. Entonces, a medida que el nio va contando ha-cia atrs, se pueden ir destapando sucesivamente los nmeros meno-res. Este procedimiento confirma las respuestas correctas y ofrece un feedback corrector para las respuestas incorrectas.

Para contar a intervalos de cinco como mnimo, puede animarse a los nios a que empleen la secuencia familiar de contar de uno en uno, pero susurrando los nmeros intermedios y destacando los que forman la pauta. Por ejemplo, para aprender a contar de dos en dos, puede decirse al nio que cuenta as: Uno [en voz baja], dos [en voz alta], tres [en voz baja], cuatro [en voz alta]. .. . Si hace falta, puede empezarse con una lista numrica para ali~erar el esfuerzo de expre-sar el trmino correcto y permitir que el mo se concentre en la pau-ta. En el ejemplo 6.2 se muestra otro mtodo para contar a intervaos a partir de la secuencia familiar para contar de uno en uno.

Ejemplo 6.2. Enseanza de contar a intervalos

Se puede hacer que contar a intervalos tenga significado para los nios relacionndolo con el procedimiento familiar de contar objetos reales de uno en uno. J osh, un adolescente con retraso moderado, estaba aprendiendo a contar de cinco en cinco. Su educadora le haba dicho que colocara unos dis-cos de plstico de color que le gustaban mucho en pilas de a cinco y despus le ayud a contarlos de cinco en cinco. Luego, hizo que Josh los desparra-mara y los contara de uno en uno. Josh se qued muy sorprendido al ver que obtena el mismo resultado. Luego comprob la validez general de este descubrimiento con distintos nmeros de pilas. En la sesin siguiente, Josh insista en repetir el experimento por su cuenta.

Durante la tercera sesin, Josli pidi tarjetas con nmeros (5, 10, 15, 20, 25, etc.) y las emparej con sus pilas. A continuacin aadi una nueva eta- 95 pa a su proceso de comprobacin: leer los nmeros de las tarjetas a medida

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que iba contando los discos de uno en uno. Comprob el resultado de con-tar la primera pila de uno en uno con el nmero de la primera tarjeta y en-contr que, en ambos casos, el resultado era 5. Al continuar contando de uno en uno la segunda pila, encontr que el resultado coincida con el n-mero de la segunda tarjeta (10), y as sucesivamente. Mientras Josh iba con-tando de uno en uno, la educadora recalcaba el nmero final de cada grupo (5, 10, 15, etc.) dicindolo en voz alta con l. Luego, Josh se invent un jue-go de adivinar en el que se tapaba los ojos, la educadora tomaba una tarjeta (por ejemplo, la del 15) y Josh tena que adivinar de qu nmero se trataba. Hacia la cuarta sesin ya poda contar hasta 30 de cinco en cinco y sin ayu-da. El uso de objetos reales y la secuencia para contar de uno en uno hicie-ron que contar a intervalos fuera, para Josh, algo comprensible e interesante.

La educacin de J osh y la recopilacin del caso se deben a Cathy A. Mason.

Numeracin

Enumeracin. Cuando los nios llegan al jardn de infancia sue-len ser bastante competentes para contar conjuntos de uno a cinco objetos, y la mayora de los nios de cinco aos enumera con exac-titud hasta 20 objetos (Fuson, en prensa). Por tanto, si un nio que empieza el curso de prvulos presenta dificultades con conjuntos de uno a cinco elementos, es que necesita de inmediato una atencin in-dividual. El nio que no haga ningn intento de etiquetar cada ob-:-jeto de un conjunto, por pequeo que ste sea, con una palabra para contar (soltando al azar palabras para contar mientras desliza el dedo por encima de los objetos) ni de llevar la cuenta de los objetos con-tados y sin contar (etiquetando los objetos del conjunto de una ma-nera totalmente asistemtica) presenta graves problemas (Baroody y Ginsburg, 1982b ).

Como la enumeracin requiere la coordinacin de dos subtcni-cas, los errores pueden deberse a tres causas: a) generar una serie nu-mrica incorrecta (errores de secuencia); b) llevar un control inexacto de los elementos contados y no contados (errores de farticin), y e) no coordinar la elaboracin de la serie numrica y e proceso de control de los elementos conta$los y no contados (errores de coordi-nacin) (Gelman y Gallistel, 1978). En la figura 6.1 se muestran al-gunos ejemplos de cada tipo de error. En ocasiones, los nios pue-den tener un desliz al generar una serie numrica, pero si los errores de secuencia son sistemticos (por ejemplo, etiquetar sistemticamen-te conjuntos de 13 y 14 elementos con 13 '') es seal de que hace fal-ta una enseanza de apoyo orientada a reforzar la tcnica necesaria para contar oralmente. El nio que comete con regularidad errores de particin como pasar algn elemento por alto o contarlo ms de una vez, debe aprender estrategias de control ms eficaces.

En la figura 6.1 se puede observar que hay tipos de errores muy distintos que pueden producir las mismas respuestas. Por ejemplo, el doble etiquetado (sealar un objeto una vez y asignarle dos etique-tas), al igual que contar un mismo objeto ms de una vez, aumenta en una unidad el nmero de elementos de un conjunto. Sin embargo, el doble etiquetado es un error de coordinacin y no de particin. En realidad, se pueden combinar varios errores para producir una res-puesta correcta. Como las respuestas incorrectas pueden producirse de varias maneras y como, matemticamente, dos errores no equiva-len a un acierto, es importante que los maestros observen la activi-dad de enumeracin de los alumnos que tengan alguna dificultad.

Si un nio tiene problemas para ejecutar con eficacia alguna de es-tas subtcnicas, es probable que se den errores de coordinacin. Por

ejemplo, un nio que tiene que detenerse y pensar qu viene despus del 3 cuando cuenta un conjunto de cinco elementos, puede olvidar por dnde iba: 1 [seala el primer elemento], 2 [seala el segundo], 3 [seala el tercero], a ver, a ver, 4 [seala el quinto elemento]. Igual-mente, si un nio tiene que dedicar mucha atencin para no perder-se, puede equivocarse (por ejemplo, saltarse un nmero). Fuson y Mierkiewicz (1980) encontraron que los nios pequeos tendan a co-meter errores de coordinacin a medio contar.

Los errores de coordinacin tambin pueden darse al principio o al final del proceso de enumeracin (Gelman y Gallistel, 1978). Al-gunos nios tienen dificultades para empezar las dos subtcnicas al mismo tiempo. En consecuencia, sealan el primer elemento, pero no lo etiquetan o empiezan a etiquetar demasiado pronto (por ejemplo, dicen 1 >> sin sealar el primer elemento, que a continuacin recibe la etiqueta 2 ). A veces, los nios tienen dificultades para acabar con las dos tcnicas coordinadas y sealan, pero no etiquetan, el ltimo elemento o continan etiquetando despus de haber sealado el l-timo elemento. Los nios mentalmente retrasados parecen ser pro-pensos a cometer errores de coordinacin (Baroody y Ginsburg, 1984).

El frenes y pasar de largo son dos graves errores de enume-racin. En el primero, el nio empiep con una correspondencia biu-nvoca, pero no la mantiene hasta el final, y en el segundo no intenta establecer la correspondencia al empezar o acabar el proceso de enu-meracin (Fuson y Hall, 1983). El frenes puede darse como resul-tado de no controlar los elementos etiquetados y no etiquetados (error de particin), no coordinar la cuenta oral y la accin de sea-lar (error de coordinacin), o ambos a la vez (vase la fig. 6.1). Pasar por alto comporta no hacer ningn intento de controlar o coordinar la serie numrica con la accin de sealar cada elemento.

Con los nios que pasan por alto>> algn elemento, la enseanza de la enumeracin debe destacar: a) contar despacio y con atencin; b) aplicar una etiqueta a cada elemento; e) sealar cada elemento una vez y slo una, y d) contar organizadamente para ahorrar esfuerzo en el control. Con elementos fijos, el control de los objetos contados y los que quedan por contar se puede facilitar con estrategias de aprendizaje como empezar por un lugar bien definido y continuar sis-temticamente en una direccin (por ejemplo, de izquierda a dere-cha). Una estrategia adecuada para contar elementos mviles es se-parar claramente los elementos contados de los que quedan por contar.

Regla del valor cardinal. Cuando llegan a prvulos, los nios apli-can rutinariamente la regla del valor cardinal a conjuntos an mayo-res (Fuson, Pergament, Lyons y Hall, 1985). Si un nio de esta edad no lo puede hacer es seal de que tiene graves problemas. Aunque muchos nios mentalmente retrasados pueden aprender espontnea-mente la regla del valor cardinal, otros necesitan una enseanza ex-plcita. Si un nio simplemente adivina el valor cardinal de un con-junto que acaba de contar o vuelve a enumerar el conjunto, se le pue-de explicar la regla del valor cardinal de la manera siguiente: A veces es til que el maestro demuestre 97 el proceso mientras piensa en voz alta: Cuntos dedos tengo le-

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Figura 6.1. Ejemplos de errores de enumeracin. Errores de secuencia' Errores de particin Errores de co_o:dinacin

1 .. ). -6 ' i s o 1 o ' o

o o

1- . J. -s. 'i 1 -,-. : o 1 o 1 o.

o o : ... ..

!'-/:4-(~ o 1 o ' o

o o

Dejarse una etiqueta Contar dos veces

el mismo objeto

Asignar dos etiquetas a un mismo objeto

1;2~:-~\;'~

1 .. -J. -'4 ''i' s' o o ' o

Etique;as en. desorden 1 .. 3- -4 1 '2. 1 'g 1 o o ' o

o o

1. .4 1 'i''j 1 o o o

o o

Saltarse un elemento

Insertar una etiqueta

~---lr/; !\- -/; ~--z- --{~: o,o,o o,o,o o,o,o. 00 00 OO.

Sustituir una Dej~rse una V etiqueta euqueta Saltarse un

+ elemento ___ saltarse un +

.-s .. , elemento* contar dos , i , 5 , o,o,o vecesun

Secuencia incorrecta

' Indica la accin de sealar.

rrusmo objeto

o o o o o

Etiqueta extra al principio

1 .. L :5-6 1 '2 1 i 1 o o o

o o

Pasarse 1- .... '4 , :r, 3 , o o ' o

o o

Saltarse una etiqueta

1- 4-5 2 .3' o o ' o

Saltarse o un; etiqueta +

asignar ~os etiq~etas a un rmsmo obeto

1 . .-3-45-6-7 ''2 1 ' !'. iJ;\5:6-7 o 1 o o o 1 o 1 o

o o o o

Frenes** Frenes 1 2 3 4 5 6 7

Pasar de largo **

* Indica una combinacin de errores de secuencia y particin. ** Indica una combinacin de errores de particin y coordinacin.

vantados? Voy a contarlos, a ver. Uno, dos, tres, cuatro. Vaya, el l-timo nmero que he dicho es cuatro, as que tengo cuatro dedos levantados.>>

Regla de la cuenta cardinal.Los nios que empiezan la escuela suelen dar por sentada esta nocin ms avanzada del valor cardinal; muchos nios de educacin especial no lo hacen as (Baroody y Ma-son, 1984). Esta regla puede ensearse mediante un procedimiento de dos etapas concebido por Secada, Fuson y Hall (1983) (vase la fig. 6.2). La primera etapa consiste en presentar un conjunto al nio e indicar (verbalmente y mediante un nmero escrito) la designacin cardinal del conjunto. El maestro pide al nio que cuente el conjun-to y observe que el resultado de contarlo coincide con la designacin cardinal. Para la segunda etapa, el maestro presenta otro conjunto. Se le vuelve a dar al nio la designacin cardinal y se le pide que cuen-te los elementos del conjunto. Sin embargo, antes de que acabe de contar, el maestro le pide al nio que prediga el resultado.

Separacin. Los nios suelen llegar a prvulos pudiendo separar con precisin al menos conjuntos de pequeo tamao. Si un nio es incapaz de separar hasta cinco objetos cuando se le pide, es que ne-cesita una enseanza de apoyo intensiva. Muchos nios con deficien-cias mentales tienen dificultades con esta tarea (Baroody y Ginsburg, 1984; Baroody y Snyder, 1983; Spradlin, Cotter, Stevens y Fried-man, 1974) y necesitan una enseanza especial.

Uno de los errores ms comunes cuando se retiran objetos de un COnjuntO es DO pararSe, es decir, DO detener el proceso de COntar

Figura 6.2. Enseanza de la regla de la cuenta cardinal.

Etapa A - Paso 1 Maestro: Tenemos cinco crculos [ensea cinco crculos y una tarjeta con el n-

mero 5]; cuntalos para ver cuntos hay. rn ooooo

Etapa A - Paso 2

Nio: Maestro:

rn ooooo 1, 2, 3, 4, 5 Mira, te he dado cinco crculos [seala la tarjeta con el nmero] y, cuando los has contado, el ltimo nmero que has dicho era 5. El n-mero de crculos que hay es siempre lo mismo que el ltimo nmero que dices cuando los cuentas.

Etapa B - Paso 1 Maestro: Tenemos cuatro cuadrados, cuntalos para ver cuntos hay.

[] DDDD

Etapa B - Paso 2 []

Nio: Maestro:

DDDD 1, 2- Cul ser el ltimo nmero que dirs cuando acabes de contar?>. (El maestro corrige y contina segn crea necesario.

cuando se ha llegado al objetivo. A Matt, un nio deficiente mental, se le ensearon ocho lpices y se le pidi: Toma cinco para drselos al maestro; recuerda, saca slo cinco. Sin embargo, se limit a con-tar los ocho lpices. Cabe atribuir este tipo de errores a un fallo de memoria (por ejemplo, vase Resnick y Ford, 1981). Segn una de las hiptesis que atribuyen el error a un fallo de memoria, los nios no mantienen el objetivo en la memoria de trabajo, es decir, no to-man nota de la cantidad solicitada. Otra propuesta es que, al estar tan ocupados con el proceso de contar, se olvidan del objetivo. Por ejemplo, cuando se le pregunt a Matt cuntos lpices deba tomar, respondi: No s. Como no recordaba el objetivo o no lo tena en su memoria de trabajo, Matt se limit a contar todos los lpices que tena delante.

Al igual que muchos otros nios (vase Flavell, 1970), es posible que Matt supiera que hace falta un esfurzo especial para memorizar informacin, es decir, que a veces necesitamos ensayar o repetir una informacin para facilitar el recuerdo. Para este nio, la enseanza de apoyo debe recalcar la importancia de recordar el objetivo de la tarea y, de ser necesario, debe tambin ensearle cmo recordarlo. Se debe estimular al nio a ensayar (repetir) el objetivo para que que-de grabado firnemente en su memoria de trabajo antes de contar los objetos. Si hace falta, se le puede instar a que anote el nmero antes de empezar a contar.

Los nios que tienen la edad de empezar a andar (Wagner y Wal-ters, 1982) y algunos nios deficientes mentales (Baroody y Gins-burg, 1984) tienen problemas con esta tarea aun cuando parecen re-cordar el objetivo. Por ejemplo, cuando se pidi a un nio, Fred, que quitara tres objetos de un montn de cinco, se limit a contarlos to-dos: 1, 3, 4, 6, 11 [y despus, volviendo a sealar el ltimo elemen- 99 to] 3, pareciendo que haba recordado el objetivo. Este nio defi-

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ciente haba vuelto a etiquetar el ltimo elemento con la palabra tres. Cuando se le pidi que retirara cinco elementos de un total de nueve volvi a cometer el error de no detenerse, pero acab la cuenta con la etiqueta correcta: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 5. Aunque no se detuvo cuando se encontr por primera vez con la etiqueta bus-cada, Fred pareca recordarla e hizo que el ltimo elemento tuviera la etiqueta apropiada. .

Este error de finalizar con el objetivo>> puede explicarse median-te otra hiptesis referida a la memoria. Aunque algunos nios guar-dan el objetivo y lo pueden recordar ms tarde, el proceso de contar objetos absorbe tanto su atencin que no pueden comparar la serie numrica del proceso de separacin con el objetivo. Como la memo-ria de trabajo de Fred estaba tan copada por el proceso de separacin quiz no fue capaz de atender simultneamente a los procesos de con-tar y de comparar. Una vez liberada su atencin del proceso de con-tar, Fred pudo recordar el objetivo y enmendar su conducta.

Cuando un nio no tiene problemas para recordar el objetivo, la enseanza de apoyo debe centrarse en el proceso de comparacin. Primero, se debe hacer que el nio anote el objetivo. A continuacin, sacamos nosotros el primer elemento (o dejamos que lo haga el nio). Luego le preguntamos (sealando el nmero anotado si es necesario): Es la cantidad correcta? Hay que pararse aqu? Continuamos as hasta llegar a la cantidad solicitada. Debemos explicar claramente por qu se ha detenido el proceso de contar: Nos hemos parado en N [decir el nmero deseado)] porque N fsealar el objetivo] es la can-tidad que necesitamos.>> Sobre todo al principio, se debe ayudar al nio a encontrar la manera ms fcil posible de ejecutar el proceso de contar. Por ejemplo, se puede simplificar el proceso de controlar los elementos que se han contado y los que no, apartando los pri-meros es un montn claramente separado.

Hay otra explicacin para este tipo de errores y es que los nios muy pequeos y algunos escolares con deficiencias mentales no po-seen la base conceptual para comprender la tarea. Quiz los nios que no comprenden la nocin de la cuenta cardinal no se dan cuenta de que deben comparar lo que cuentan con el objetivo. As pues, cuando un maestro desea subsanar las dificultades que tiene un nio con la separacin, primero deber comprobar que posea la tcnica ne-cesaria para la cuenta cardinal (Baroody y Mason, 1984 ).

Comparacin entre magnitudes

Cuando llegan al curso de prvulos, casi todos los nios pueden realizar comparaciones entre nmeros separados y entre nmeros se-guidos pequeos (del 1 al 5), y la gran mayora ya habr llegado a dominar estas ltimas con los nmeros del1 al10. Los nios de edu-cacin especial durante la primera enseanza y muchos nios defi-cientes de nivel intermedio pueden llegar a tener problemas con las comparaciones entre nmeros separados y entre nmeros seguidos pequeos. La educacin de apoyo deber empezar con objetos con-cretos y nmeros familiares que sean manifiestamente diferentes en cuanto a magnitud (comparar 1, 2 3 con nmeros mayores como 9 10; comparar nmeros seguidos como 1 y 2, o 2 y 3).

Pueden conseguirse varios juegos en los que intervienen modelos concretos (vase el ejemplo 6.3). En el juego Invasores de la luna, por ejemplo, los jugadores comparan la longitud o la altura de dos conjuntos de cubos que encajan entre s. De esta manera, la compa-racin de nmeros se conecta con indicios perceptivos claros y que-

da reforzada por ellos: T tienes ocho naves espaciales en la luna y yo tengo dos. Mira qu larga es la fila de naves que tienes. Ocho na-ves es ms que dos. Gradualmente, el nio ir aprendiendo la idea de que los nmeros se asocian con la magnitud y que los nmeros que vienen despus en la serie numrica son mayores. Una vez hayan arraigado estas ideas bsicas, el nio deber ser apartado de activida-des con objetos concretos y se le pedir que resuelva los problemas mentalmente.

Ejemplo 6.3. Juegos de comparacin entre nmeros concretos

INVASORES DE LA LUNA Objetivo: Comparaciones entre nmeros del 1 al 10 separados o seguidos. Material: l. Varias lunas (crculos de papel) de distinto color. 2. Dos conjuntos de cubos encajables de distinto color. 3. Una peonza con los nmeros del 1 al 10 (para comparaciones entre

nmeros separados) o un conjunto de tarjetas en las que se listen compara-ciones especficas para cada objetivo.

Instrucciones: Esparcir los crculos por la mesa. tlar un conjunto de cubos a cada uno

de los dos jugadores. Explicar que los crculos son lunas y que los cubos son naves espaciales. El jugador que haga alunizar>> ms naves en una luna se queda con ella y el que conquiste ms lunas gana la partida. Usar la peonza o las tarjetas para determinar la cantidad de naves que puede hacer alunizar cada jugador. Preguntar a uno de los nios qu jugador ha hecho alunizar ms, por ejemplo: T tienes cinco naves y Billy tiene tres. Cunto es ms, cinco o tres? De ser necesario, sealar las distintas longitudes (o alturas) de los dos conjuntos de cubos encajables.

DOMINO MAS (MENOS) UNO Objetivo: Comparar nmeros seguidos (ms o menos uno) del 1 al 10. Material: Fichas de domin. 1 nstrucciones: Este juego, basado en uno propuesto en el currculo de Wynroth

(1969-1980), se juega como el domin normal pero con una excepcjn. En vez de emparejar conjuntos numricamente equivalentes para ir aaaiendo fi-chas, las fichas que se aaden deben tener un conjunto oe puntos mayor (o menor) en una unidad al conjunto de la ficha del extremo de la hilera. La figura que sigue ilustra un caso de Domin menos unO>>. Un jugador va a aadir una ficha con 8 al extremo que tiene 9.

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Con los nios de educacin especial puede ser muy til indicar la estrategia para contar que puede usarse para comparar nmeros se- guidos r cmo se relaciona esta estrategia con las tcnicas bsicas para saber e nmero que viene despus. Explicar, por ejemplo: Para saber qu nmero es mayor, contemos a ver qu nmero viene des-pus. Para los nmeros 3 y 4 contamos "1, 2, 3., y como despus del 3 viene el4, el4 es mayor. Tambin puede ser til demostrar el pro-cedimiento para el nio y emplear una lista numrica o Moques en-cajables para contar. Llegado el momento, el procedimiento de con-tar se puede interrumpir para preguntar al nio: Qu es ms, 4 3? Qu nmero viene despus cuando contamos? Otra manera de hacer explcita la conexin entre la comparacin y la tcnica del n-mero que viene despus es continuar las preguntas sobre el nme-ro que viene despus con preguntas del tipo cul es mayor. Por ejemplo; se puede preguntar: Qu viene justo despus del 3 cuan-do contamos? Decimos 3, -~y luego ... ? Una vez haya respondido el nio, preguntarle: Y cul es ms, 3 4 ? (ntese que para forzar al nio a pensar realmente en la comparacin, el nmero mayor se menciona en primer lugar o sin seguir el orden usual la mitad de las veces, aproximadamente).

C) IMPLICACIONES EDUCATIVAS: LA ENSEANZA DE TECNICAS PARA CONTAR

A continuacin se resumen algunas directrices generales para la enseanza.

1. Los nios deben dominar cada tcnica para contar hasta que llegue a ser automtica. Esto es esencial porque las tcnicas para

contar se basan la una en la otra y sirven de base para tcnicas ms complejas como hacer sumas o devolver cambios. Si las tcnicas b-sicas no son eficaces, no pueden integrarse bien con otras tcnicas para la ejecucin de funciones ms complejas.

2. La enseanza de apoyo debe basarse en experiencias concre-tas. Para que la enseanza de una tcnica bsica para contar sea sig-nificativa, deber basarse en activjdades concretas. Adems, y sobre todo con poblaciones de educacin especial, puede ser importante en-lazar explcitamente actividades concretas con la tcnica que se ensea.

3. La enseanza de apoyo debe ofrecer, durante un largo pero-do de tiempo, un ejercicio regular con actividades de inters para el nio. Normalmente, el dominio incompleto de las tcnicas bsicas para contar suele atribuirse a una falta de experiencia o inters. Si los ejercicios no son interesantes, algunos nios no se sentirn compro-metidos con ellos y no alcanzarn la experiencia necesaria para el do-minio de la tcnica. Por ejemplo, los nios se cansan en seguida de los ejercicios de repeticin oral para aprender a contar. Los nios se sienten ms dispuestos a generar la serie numrica en el contexto de enumerar objetos porque se trata de una actividad que tiene ms sen-tido para ellos (Fuson et al., 1982). La forma concreta que deber te-ner el ~jercicio depender del nio. Muchos nios respondern con entusiasmo a distintos tipos de juegos que se basan en contar; otros preferirn jugar con un ttere de Barrio ssamo y otros podrn dis-frutar con el contacto de un tutor, sea nio o adulto, interesado y entusiasta. Lo esencial es que el ejercicio no necesita -es ms, no debe- carecer de inters para el nio.

A continuacin se presentan otros juegos y actividades para en-sear a contar de palabra, a numerar y a comparar magnitudes.

Juegos y actividades

ESTRELLAS ESCONDIDAS

Objetivos: 1. Enumerar. 2. Regla del valor cardinal. Materiales: Tarjetas con estrellas u otros objetos dibujados (de 1 a 5 para.

principiantes). 1 nstrucciones: Explicar: Vamos a jugar al juego de las estrellas escondidas. Te

voy a ensear una carta con estrellas y cuentas cuntas hay. Cuando hayas acabado de contar, esconder las estrellas y, si me dices cun-tas estoy escondiendo, habrs ganado un punto. Levantar la prime-ra tarjeta y hacer que el nio cuente las estrellas. Taparlas con la mano o un trozo de cartulina y preguntarle: Cuntas estrellas estoy es-condiendo? El nio deber responder citando nicamente el valor cardinal del conjunto. Si el nio empieza a contar desde 1, pregun-tarle si hay alguna otra manera ms fcil para indicar las estrellas que se han contado. Si es necesario, ensear al nio directamente la regla del valor cardinal demostrando la tarea y pensando en voz alta (des-cribiendo el procedimiento y el razonamiento en que se basa).

PREDECIR LA CANTIDAD

Objetivos: Concepto de cuenta cardinal. Materiales: Objetos pequeos que se puedan contar como bloques o fichas. 1 nstrucciones: Dar al nio un conjunto de bloques (por ejemplo, cinco) y decir-

le: Toma cinco bloques. Cuntos habra si los contaras? Despus, hacer que el nio cuente el conjunto para que compruebe su respues-ta. Tambin puede hacerse con un dado. Despus de una tirada, no permitir que el nio cuente inmediatamente los puntos y seguir, en cambio, el procedimiento descrito anteriormente._

Objetivos: 1. Enumerar. 2. Separar. Materiales:

CARRERA DE COCHES

1. Un tablero con pista de carreras (una hilera de casillas en espiral).

2. Un dado (con O a 5 puntos al principio; 5 a 10 para nios ms avanzados).

3. Coches en miniatura. Instrucciones: Hacer que los nios escojan los coches que ms les gusten. Co-

locar los coches al principio de la pista. Tirar el dado por turnos y hacer avanzar los coches el nmero correspondiente de casillas. Ha-cer que los jugadores cuenten los puntos del dado (enumeracin) y las casillas cuando avanzan los coches (separacin). Estas tcnicas

tambin pueden practicarse con otros juegos de tablero bsicos de te- J Qt1 mtica diversa, de acuerdo con los intereses de los nios. J

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Objetivos: 1. Enumerar. 2. Separar. Materiales:

RELLENAR

1. Tableros de juego o pistas de carreras individuales. 2. Fichas. 3. Baraja de cartas con puntos (1 a 5 para principiantes; 6 a 10

para nios ms avanzados). 4. Bandejas pequeas (por ejemplo, tapas de plstico). Instrucciones: Dar a cada nio un tablero o una pista de carreras. Decir: Va-

mos a ver guin rellena primero su taolero (pista de carreras). Ha-cer que cada nio, por turnos, levante una carta de la baraja y cuen-te los puntos para determinar cuntas fichas debe tomar. Decirle al nio que tome esta cantidad. Hacer que el nio separe las fichas que le han tocado en una bandeja pequea (este procedimiento hace que la correccin de los errores de separacin sea menos confusa). Si se comete un error, vaciar la bandeja. Hacer que el nio lo vuelva a intentar o, si es necesario, ayudarle a extraer el nmero correcto. Una vez extrado el nmero correcto, hacer que el nio coloque las fichas en su tablero. Gana el nio que llena antes su tablero.

EL NUMERO TAPADO

Objetivos: Determinar el nmero anterior o posterior a un nmero dado (del

1 al 9). Materiales: Tarjetas numeradas del 1 al 9. 1 nstrucciones: La versin bsica de este juego se describe con ms detalle en Bley

y Thor.1pson ( 1981) junto con otros juegos como Walk On [Sigue andando] y Pe e k [Echa una ojeada] que son tiles para ensear nmeros posteriores a otro dado. Para la versin bsica de El nmero tapado, extender las tarjetas num~radas, boca arriba y por orden, en-cima de la mesa. Decir al nio que cierre los ojos, poner una carta boca abajo y decir al nio que ya puede mirar para averiguar qu car-ta es la que se ha puesto boca abajo. Sealar la carta anterior (poste-rior) a la cart;;t tapada y decir, por ejemplo: Qu carta es sta? Qu viene justo despus [antes] del 6 ? Continuar hasta que se haya ta-pado cada nmero una vez. La versin bsica es especialmente til para los nios que no pueden responder a esta pregunta empezando a contar desde el 1 y para los que confunden el nmero anterior con el posterior. Una versin ms avanzada comporta eliminar los indi-cios visibles de la serie numrica y requiere que el nio resuelva el problema mentalmente. Para ello, no hay ms que colocar todas las tarjetas boca abajo y levantar una de ellas, pidindosele al nio que diga qu nmero va antes o despus del levantado.

CARRERA DE NUMEROS

Objetivos: Comparaciones entre nmeros separados del 1 al 10. Materiales: l. Una hilera de casillas (de 15 X 75 cm, aproximadamente) con

los nmeros del 1 al 10 (vase la fig. 6.3).

2. Coches en miniatura.

Figura 6.3. Pista de la Carrera de nmeros.

11 1 2 j 3 1 4 ls 1 b 1 71 al 9 l'o 1 nstrucciones: Hacer que cada jugador escoja el coche que guste. Colocar los co-

ches en la lnea de salida (unos 15 cm a la izquierda de la casilla con el nmero 1) . Decir a los nios que sus coches van a echar una carrera y que ganar el coche que vaya ms rpido. Hacer que los ni-os den un empujn a sus coches a lo largo de la pista. Los coches que se salgan por el otro extremo o por los lados de la pista quedan descalificados. Si un coche se detiene sobre una lnea de separacin entre casillas, se colocar en la casilla en la que descanse la mayor par-te del coche. Cuando los dos jugadores han empujado sus coches, pre-guntar a uno de ellos: Tu coche se ha ido al5 y el de Jane se ha ido al 3 . .Qu es ms, 5 3? Quin gana?>> Variar el orden en que se mencionan los nmeros para que el mayor se encuentre unas veces al principio y otras al final. Si es necesario, corregir al nio ensen-dole sobre la lista de nmeros que un nmero mayor implica recorrer ms casillas.

JUEGO DE PERSECUCION

Objetivos: Comparaciones entre nmeros seguidos. Materiales: l. Tablero con casillas en espiral. 2. Dos fichas. 3. Tarjetas con diferentes comparaciones (del 1 al 5 para prin-

cipiantes; nmeros mayores para nios ms adelantados). Instrucciones: Decirle al nio que nuestra ficha va a perseguir a la suya por el

tablero de juego. Sacar una tarjeta y leer los dos nmeros escritos en ella. Decirle al nio que escoja el nmero mayor. La eleccin del nio indica cuntas casillas debe avanzar su ficha; el otro nmero indica la cantidad de casillas que debe avanzar la nuestra. Despus de cada turno, comentar las posiciones de las fichas diciendo, por ejemplo: Pues s, ste es el que tiene ms. Tu ficha todava va por delant>>, o No, se no es ms. Mira, mi ficha ya est pillando a la tuya>>. Si el nio tiene dificultades, pueden usarse bloques o una lista de n-meros para ilustrar la comparacin.

D) RESUMEN Generar de palabra la serie numrica slo es un primer paso hacia

el dominio de un complejo de tcnicas importantes que los adultos emplean de manera rutinaria y automtica. Cuando llegan a la escue-la, los nios suelen ser capaces de generar la parte memorstica de la serie numrica y un poco de la parte basada en la aplicacin de re-glas, adems de roder enumerar y separar conjuntos de objetos, em-plear la regla de valor cardinal para resumir una enumeracin e in-cluso emplear relaciones de orden numrico (nmeros anterior y posterior a otro dado) para determinar la mayor de dos cantidades. J Q5 Algunos nios, sobre todo los deficientes mentales, pueden necesitar

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una educacin de apoyo para dominar estas tcnicas informales b-sicas. Durante los primeros aos de escuela, los nios resuelven el problema de las decenas y amplan su capacidad de contar de palabra hasta 100 y ms. A medida que se van familiarizando con la serie nu-mrica, aprenden a contar por intervalos (por ejemplo, por parejas) y a contar regresivamente. La enseanza especial o de apoyo debe ase-gurar que se llegue al dominio de cada componente sucesivo de la je-rarqua de tcnicas para contar. La enseanza deber ser concreta, in-tensa e interesante.

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