Barisan dan Deret Geometri

Kelompok 2: Adnin Ulfa (02) Dining Nika (08) Lisa Nurfalah (14) Novi Indriani (20) Sheila Paramitha (26)SMA NEGERI 1 BANGKALAN

Pemuda Kaffa 10 Bangkalan 2012

Jln.

1. Barisan GeometriDefinisi Barisan geometri adalah suatu barisan dengan rasio (pembanding/pengali) antara dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan). Bentuk umum barisan geometri adalah U1,U2,U3 Un atau a, ar, ar2, arn-1 dengan r 0 Sehinggga berdasarkan definisi diatas berlaku hubungan r= Dengan r = rasio (pembanding/ pengali) antara dua suku yang berurutan a = suku pertama un = suku ke-n n = banyak suku Rumus suku ke- n Suku ke-n dari barisan geometri Untuk sembarang suku berlaku : Barisan geometri dapat dikelompokkan menjadi 3 macam, yaitu 1) Barisan geometri naik, jika a>o dan r 0 dan r 0 dan y > 0. Perhatikan bahwa barisan bilangan x, menyatakan barisan geometri dnegan rasio . ,y

Sejalan dengan uraian diatas dapat dikemukakan bahwa jika tiga buah bilangan membentuk barisan geometri, maka bentuk sederhananya adalah adalah rasio . Jika bilangan-bilangan u1, u2, u3 membentuk barisan geometri, maka

c) Perkalian Suku-Suku Barisan Geometri Hasil kali suku-suku barisan geometri adalah Bukti : Barisan geometri

(TERBUKTI)

d) Suku Tengah pada barisan Geometri Jika barisan geometri mempunyai banyak suku ganjil n, suku pertama a, dan suku akhir un, maka suku tengah u1 ditentukan oleh rumus :

Hasil kali suku- sukunya adalah e) Sisipan pada barisan Geometri Apabila antara setiap dua suku yang berurutan harus disisipkan k buah suku baru yang dengan suku-suku lama merupakan barisan geometri baru, maka Barisan geometri lama : Barisan geometri baru :

Sehingga :

Dengan: r = rasio barisan geometri baru r = rasio barisan geometri lama k = banyak suku yang disisipkan Banyaknya suku barisan geometri baru sama dengan banyaknya suku barisan geometri lama n ditambah dengan (n-1) kali banyaknya suku-suku yang disisipkan k, dengan demikian

Dengan: n = banyak suku barisan geometri baru n = banyak suku barisan geometri lama

2. Deret GeometriDefinisi Deret geometri (deret ukur) adalah jumlah suku-suku barisan geometri. Bentuk umum deret geometri dapat dinyatakan sebagai berikut.

untuk r >1 atau Dengan : a = u1 = suku pertama R= rasio antara dua suku yang berurutan

untuk r 0 dan r > 1, sehingga dan deret geometri bergoyang, yang suku-sukunya bergantian positif dan negative, jika r < 0. a. Sifat deret geometri Jumlah n suku pertama deret geometri yang dirumuskan sebgai

,

Merupakan fungsi eksponen dalam n, dengan Sifat

Jika dari sebuah deret, jumlah n suku pertama merupakan fungsi eksponen dalam n yang mengandung suku tetapan, maka deret itu adalah deret geometri. Misalkan jumlah n suku pertama suatu deret membuktikan bahwa Bukti : Kita harus

adalah jumlah n suku pertama deret geometri

Tetapi

Sehingga Karena itu, maka persamaan (1) menjadi yang

merupakan fungsi eksponen dalam n tanpa suku tetapan sehingga

Perhatikan untuk setiap nilai n, rasio antara dua suku yang berurutan adalah konstan (=r). Pernyataan ini sejalan dengan definisi barisan geometri. Dengan demikian, terbukti bahwa deret itu adalah deret geometri Berdasarkan uraian diatas dapat dituliskan rumus-rumus sebgai berikut :

b. sisipan pada deret geometri Sifat-sifat sisipan pada barisan geometri berlaku pula pada sisipan deret geometri, sehingga dan n = n + (n-1) k Jumlah n suku deret geometri baru adalah

Contoh soal1. Suku pertama, rasio dan suku ke-n. Carilah suku pertama, rasio, dan suku ke-7 dari barisan 2, 6, 18, 54, . Jawab: 1) Suku pertama: a=2 2) Rasio: r= U2/U1 = 6/2 = 3 3) Karena rumus suku ke-n barisan geometri adalah Un = arn-1 maka U7 = 2(37-1) = 2 x 729 = 1.458 Jadi, Suku pertama = 2 2. Ketiga bilangan. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu 21 dan hasil kalinya 216. tentukan ketiga bilangan itu , , Jawab: Misalkan ketiga bilangan itu a, ar, ar2 . Rasio = 3 U7 = 1.458

Dengan membagi r pada suku-suku itu, diperoleh a/r, a, ar. Jumlah ketiga bilangan itu adalah 21 a/r + a + ar = 21 (1) Hasil kali ketiga bilangan adalah 216 a/r x a x ar = 216 a3 = 216, diperoleh a = 6 Subs. nilai a = 6 ke pers. (1) 6/r + 6 + 6r = 21 6 + 6r + 6r = 21r 2r2 - 5r + 2 = 0 (2r 1)(r-2) =0 r=1/2 atau r=2 Jadi, Untuk r = dan a = 6 ketiga bilangan tersebut adalah 12, 6, 3. Untuk r = 2 dan a = 6 ketiga bilangan tersebut adalah 3, 6, 12. 3. Jumlah dari deret geometri. Tentukanlah jumlah dari deret geometri 2 + 4 + 8 + 16 + (8 suku) Jawab: Dari deret diatas, diperoleh a=2 dan r = 4/2 = 2 (r > 1). Jumlah deret sampai 8 suku pertama, berarti n = 8. Sn = S8 = = 2 (256 1) =510 Jadi, jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut adalah 510 4. Suku pertama, rasio dan banyak suku Diketahui deret 3 + 32 + 33 + . + 3n = 363 Tentukan : a. Suku pertama b. Rasio c. Banyak suku Jawab: a. Suku pertama: a = 3 b. Rasio: r = U2/U1 = 32 / 3 = 3 c. Untuk Sn = 363 karena r = 3 > 1, kita gunakan rumus Sn = 363 =2

(dikalikan r)

726 = 3n+1 3 3n+1 =729 3n+1 = 36 n+1=6 n=5 Jadi, Suku pertama: a=3 5. A. B. Rasio: r=3 Banyak suku: Sn =5

Suku pertama dan suku kedua suatu deret geometri berturut-turut adalah 1 2 Jawab: U 1 = a = p2 U2 = a.r = px U5 = a.r4 = p18 U2 = a.r = px = p .r = p2 x

p dan px . Jika suku ke-5 deret tersebut adalah p18 , maka x = . . . . C. D. 4 6 p2 (p(x-2) ) 4 = p18 (p(x-2) ) 4 = p16 4x-8 = 16 4x = 24 x=6 Jawaban : D. 6 E. 8

r = p x / p2 r = px-2

Soal1. SPMB 03 Tiga bilangan membentuk suatu deret geometri. Jika hasil kalinya adalah 216 dan jumlahnya 26, maka rasio deret tersebut adalah . 2. UMPTN 94 suku pertama dan suku keempat suatu deret geometri berturut-turut adalah 2 dan . Jumlah 6 suku pertama deret itu adalah . 3. UMPTN 96 Dalam suatu barisan geometri, U1 + U3 = p dan U2 + U4 = q, maka U4 = . 4. UMPTN 99 Dari deret geometri diketahui U4 : U6 = p, dan U2 x U8 = 1/p, maka U1 = . 5. Diberikan sebuah barisan dengan Un = 7 x 2n. buktikan bahwa barisan itu adalah barisan geometri.