BAHAN AJAR

A. PENGERTIAN SUKU BANYAK

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c merupakan salah satu bentuk suku banyak, tepatnya suku banyak berderajat dua. Dikatakan berderajat dua, karena pangkat tertinggi variebel x adalah 2. Pengertian tentang persamaan kuadrat berguna untuk memahami bentuk suku banyak lainnya.

Contoh :

1. y – 1 merupakan suku banyak dalam variebel y berderajat satu, sebab pangkat tertinggi variebel y adalah 1.

2. -10x4 + 8x3 – 7x2 + 9 merupakan suku banyak dalam variebel x berderajat empat, sebab pangkat tertinggi variebel x adalah 4.

Bentuk-bentuk tersebut di atas merupakan bentuk-bentuk suku banyak yang secara umum dapat ditulis sebagai berikut.

Bentuk anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0’dengan an = 0 dan n bilangan cacah, disebut suku banyak dalam variebel x berderajat n. an, an-1, an-2, ... a1, a0 adalah bilangan-bilangan real yang merupakan koefisien-koefisien suku banyak dari masing-masing variebel x, sedangkan a0 disebut suku tetap.

Contoh :

1. Tentukan koefisien dari suku banyak 7x7 – 5x6 + 7x5 – 5x4 - 2x3 + 3x2 – 2x

Jawab

Suku banyak 7x7 – 5x6 + 7x5 – 5x4 - 2x3 + 3x2 – 2x merupakan suku banyakm dalam variebel x berderajat 7. Koefisien x7 adalah -5, koefisien x6 adalah 6, koefisien x5 adalah 7, koefissssien x4 adalah -5, koefisien x3 adlah -2, koefisien x2 adalah 3, koefisien x adalah 2, sedangkan suku tetapnya.

2. Tentukan koefisien-koefisien dari suku banyak (3t + 2) (2t3 – 1).

Jawab

(3t + 2) (2t3 – 1) dapat dijabarkan menjadi 6t4 + 4t3 – 3t – 2 sehingga (3t + 2) (2t3 – 1) merupakan suku banyak dalam variebel t berderajat 4. Koefisien t4 adalah 6, koefisien t3 adalah 4, koefisien t adalah 3, sedangkan suku tetapnya adalah -2.

3. Tentukan koefisien suku x3, koefisien x2, koefisien x, dan suku tetap yang memenuhi persamaan ax3

+ bx2 + cx + d = 5x3 – 2x2 + 4.

Jawab

Bentuk ax3 + bx2 + cx + d ekuivalen dengan 5x3 – 2x2 + 4 sehingga a = 5, b = -2, c = 0, dan d = 4. Jadi koefisiennya x3 adalah 5, koefisien x2 adalah 2, koefisien x adalah 0, dan suku tetap adalah 4.

Contoh di atas menggambarkan sifat kesamaan dua suku banyak.

Jika dua buah suku banyak dalam variebel x memiliki nilai sama untuk setiap nilai x, maka koefisien-koefisien suku-suku yang sepangkat adalah sama.

1

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 = bnxn + bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + ... + b1x + b0

maka : an = bn, an-1 = bn-1, …, a1 = b1, dan a0 = b0

B. Nilai Suku Banyak

Jika suatu anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0dengan an = 0 dinyatakan dengan f(x), maka nilai suku banyak itu untuk x = k, yaitu f(k) dapat kamu tentukan dengan dua cara, yaitu substitusi dan skematik.

1. Cara substitusiDengan cara substitusi, nilai suku banyak f(x) untuk x = k didapat dengan mensubstitusikan nilai k terhadap variebel x.Nilai suku banyak f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 , untuk x = k adalah:ankn + an-1kn-1 + an-2kn-2 + ... + a1k + a0, dengan k bilangan real. Contoh :Tentukanlah nilai suku banyak f(x) = -3x3 + 2x2 – x + 2 untuk x = 0, x = -1, x = 2.Jawab: Untuk x = 0 => f(0) = -3(0)3 + 2(0)2 – (0) + 2

Jadi f(0) = 2 Untuk x = 1 => f(-1) = -3(-1)3 + 2(-1)2 – (-1) + 2

= -3(-1) + 2(1) + 1 + 2= 8

Jadi f(-1) = 8 Untuk x = 2 => f(2) = -3(2)3 + 2(2)2 – (2) + 2

= -3.8 + 8 – 2 + 2= - 16

Jadi f(2) = -162. Cara skematik

Pada contoh di atas, suku banyak f(x) = -3x3 + 2x2 – x + 2 dapat ditlis sebagai beikut.f(x) = -3x3 + 2x2 – x + 2

= (-3x2) + 2x – 1)x + 2= ([-3x + 2]x – 1)x + 2

Dengan menggunakan cara penulisan tersebut, kamu dapat menentukan nilai f(x) untuk x = 2

f(2) = ([-3.2 + 2]2 – 1)2 + 2

= ([-6 + 2]2 – 1)2 + 2= (-4.2 – 1)2 + 2= (-8 – 1)2 + 2= -9.2 + 2= - 18 + 2

Algoritma diatas adlah ebagai berikut.

1. Kalikan -3 dengan 2. Tambahkan hasilnya dengan 2. Didapat -4.2. Kalikan -4 dengan 2. Tambahkan hasilnya dengan -1. Didapat -9.3. Kalikan -9 dengan 2. Tambahkan hasilnya dengan 2. Didapat -16Proses ini dapat disajikan dalam bentuk skema berikut.

Suku ke-3 Suku ke-2 Suku ke-1 Suku ke-0

2

2 -3 2 -1 2 Konstanta pada suku banyak

-6 -8 -18

-3 -4 9 -16

Dari skema tersebut, didapat f(2) = -16.

Tanda berarti “kalikan dengan 2”.

1. Kalikan a denan k. tambahkan hasilnya dengan b. didapat ak + b.2. Kalikan ak + b dengan k. tambahkan hasilnya dengan c. didapat (ak + b)k + c.3. Kalikan (ak + b)k + c dengan k. tambahkan hasilnya dengan d. didapat ((ak + b)k + c)k +

d.Contoh tersebut menggambarkan cara menentukan nilai suku banyak f(x) untuk x = k, yaitu sebagai berikut.

k a b c d

ak ak2 + bk ak3 + bk2 + ck

+

a ak + b ak2 + bk + c ak3 + bk2 + ck + d

koefisien hasil bagi sisa

Tanda berarti “kalikan dengan k”.

Menentukan nilai suku banyak f(k) dengan cara ini disebut dengan cara skematik.

Contoh:

Tentukan nilai suku banyak f(x) = 2x3 + 5x2 – 6x + 5 untuk x = 1 12

1 12

2 5 -6 5

3 12 9

+

2 8 6 14

3

Tanda berarti “kalikan dengan 112

”.

Jadi f(112

) = 14.

Asah Kemampuan 1

Waktu : 60 menit

1. Tentukanlah variebel, derajat, suku tetap, dan koefisien-koefisien dari masing-masing variebel suku banyak berikut!

a. 7x2 + 5x3 e.(−x5+3 x2−3)+(3 – 3 x2+x5)

53

b. z + 4z2 – 5z3 + 2z4 f. (r – 1) – (r – 2)2 – (r – 2 )3 – (r – 2)4

c. 33 – (y + 3)3 g. [(2s + 7)2 (-7 + 4s)]d. (2 – 2p + 2p2)2 h. 2 sin3x – cos2x – 2 sin x

2. Tentukan koefisien dari:a. p2 dari (5 – 3p)3 d. s4 dari (s2 – 2s + 1)3

b. q5 dari (-5q + 3)2 (-q – 2)2 e. t dari (t – 1) (t + 2) (t + 3)tc. r dari (2r – 3) (4r + 2) (6 + r)

3. Tentukanlah nilai A, B, dan C yang memenuhi persamaan-persamaan berikut!a. -7x2 + 2x + 9 = Px3 + Qx2 + Rx + 7

b.P

x−2+ Q

x+2+ R

x= x2+5x−6

(x¿¿3−4 x )¿

c.6 x2+22x−23

(2x−1 )( x¿¿2+x−6)¿ =

P(2 x−1)

+ Q(x−2)

+ R(x+3)

4. Tentukanlah A + B + C + D untuk nilai A, B, C, dan D yang memenuhi persamaan-persamaan berikut!a. x4 – 7x2 + 1 = (x2 + Ax + B) (x2 + Cx + D)

b.x3−4 x

(x¿¿2+1)❑2 ¿ =

Ax+B(x¿¿2+1)¿

+Cx+D

(x¿¿2+1)❑2 ¿

c.2 x2+5 x+16

(x¿¿2+4 )❑2 ¿ =

Ax+B

(x¿¿2+4 )❑2 ¿ +

Cx+D(x¿¿2+4 )¿

5. Tentukan nilai setiap suku banyak berikut dengan menggunakan cara substitusi dan cara skematik.a. f(x) = 7x5 + 2x3 – 5x2 -2x, untuk x = -3

b. g(x) = 5x3 + 2x2 – 10x + 3, untuk x = −12

c. h(x) = 6 – x – 2x2 + 3x3, untuk x = -1

d. f(t) = 5t4 + t3 - 12

t2 + 14

’ untuk t = 0,4

e. g(t0 = 3 – 4t2 + 3t3, untuk t = -0,2

C. Pembagian Suku Banyak

- Hubungan antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa pembagian.

4

Ketika SD telah dipelajari pembagian dengan cara bersusun pendek. Misalnya, bilangan 467 dibagi 6 diselesaikan dengan cara bersusun pendek seperti berikut.

Dari pembagian disamping, terdapat hubungan berikut. 467 = 6 x 77 + 5

Yang dibagi Pembagi Hasil bagi Sisa Jadi hubungan antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa pembagian adalah

sebagai berikut.Yang dibagi = Pembagi x Hasil bagi + SisaCara ini dapat digunakan untuk menyelesaikan suku banyak

Contoh:Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian 2x3 + 5x2 – 6x + 5 oleh 2x – 3.Jawab:Dari pembagian di samping, di dapat hubungan berikut.

x2 + 4x + 3 2x - 3 2x3 + 5x2 – 6x + 5

2x 3 + 5x 2 –8x2 - 6x + 58x 2 - 12x –

6x + 56x – 9 –

142x3 + 5x2 – 6x + 5 =(2x – 3) x (x2 + 4x + 3) + 14

Yang dibagi Pembagi Hasil SisaHasil pembagian ini adalah x2 + 4x + 3, sedangkan sisanya 14.Tampak bahwa,Derajat sisa = derajat pembagi – 1Derajat hasil bagi = derajat yang dibagi – Derajat pembagi.Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi oleh suku banyak g(x) berderajat kurang dari n, maka didapat suatu hasil bagi h(x) dan sisa pembagian s(x) sebagai berikut.

f(x) = h(x)g(x) + s(x)2. Asah Kemampuan

Waktu : 45 menit

1. Kerjakan pembagian berikut! Nyatakanlah hasilnya dalam bentuk: Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa.a. 707 : 77 d. 19.921 : 21b. 2.864 : 24 e. 10.201 : 1.331c. 9.669 : 38

2. Kerjakan pembagian berikut! Nyatakanlah hasilnya dalam bentuk: Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa.a. -3x3 – 9x2 – 5x + 9 oleh x + 3b. -6x – 8 + 8x3 + 7x2 oleh -10 – xc. 9y4 + 7y3 + 5y2 + 3y + 1 oleh 3y – 2d. 2t + 5t6 + 12t3 oleh 5t + 3e. u – 4u2 + 5u3 – 2u4 + 6 oleh (u – 1)2

3. Berapakah sisa pembagian f(x) = 3x2 – 7x + 4 oleh x -2. Bandingkan sisa itu dengan f(2). Tentukan pula derajat sisa dan derajat hasil baginya!

5

Hasil bagi

Pembagi

Sisa

Yang dibagi

77 Hasil bagi

6 467

42 - Yangdibagi

47

42 -

5 Sisa

Pembagi

4. Berapakah sisa pembagian g(x) = 5x5 + 3x3 + x oleh 4 + x. Bandingkan sisa itu dengan f(-4). Tentukan pula derajat sisa dan derajat hasil baginya!

5. Berapakah hasil bagi dan sisa pembagian f(x) = x4– 2x3 – 3x – 7 oleh x2 – 2x – 3?

- Pembagian suku banyak dengan cara horner1. Pembagian suku banyak dengan x – k

Misalkan, suku banyak f(x) = ax3 + bx2 +cx + d dibagi dengan x – k memberikan hasil bagi h(x) dengan sisa s(x), maka dapat ditulis :f(x) = (x – k)h(x) + s(x)Hasil bagi h(x) dan sisa s(x) ini diperoleh dengancara horner sebagai berikut.

k a b c d

ak ak2 + bk ak3 + bk2 + ck

+

a ak + b ak2 + bk + c ak3 + bk2 + ck + d

koefisien hasil bagi sisa

Tanda berarti “kalikan dengan k”.

Pada bagian sebelumnya, telah diketahui bahwa derajat hasil bagi = derajat yang dibagi – derajat pembagi, sedangkan derajat sisa = derajat pembagi – 1. Karena derajat yang dibagi 3 dan derajat pembagi 1, maka derajat pembagi adalah 2 dan derajat sisa 0.

Perhatikan skema pembagian dengan cara horner diatas. Dari skema di atas, diketahui koefisien hasil bagi berturut-turut mengikuti aturan pangkat turun a, ak + b, ak2 + bk + c. Akibatnya hasil bagi tersebut adalah ax2 + (ak +b)x + ak2 + bk + c. Adapun sisa pembagian adalah ak3 + bk2 + ck + d.

Contoh:

Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian x3 – x2 – 32x + 70 oleh x – 2

Jawab:

2 1 -1 -32 70

2 2 -60

+

1 1 -30 -10

koefisien hasil bagi

Tanda berarti “kalikan dengan 2”.

Jadi, hasil baginya adalah x2 + x – 30sedangkan sisanya adalah 10.

2. Pembagian suku banyak dengan ax – b

6

Sisa

Jika suku banyak f(x) dibagi x – h, hasil baginya h(x) dan sisanya s, maka dipreoleh persamaan f(x) = (x – h)h(x) + s.

Sekarang jika suku banyak f(x) dibagi (x + ba

), hasil baginya B(x) dan sisanya s1, maka

diperoleh persamaan f(x) = (x + ba

)B(x) + s1.

Dari f(x) = (x + ba

)B(x) + s1 diperoleh f(x) = a(x + ba

)B (x)

a + s1 atau

f(x) = (ax + b )B (x)

a + s1. Sisa pembagian ini adalah s1, yaitu sisa pada pembagian f(x) dengan

(x + ba

), sedangkan hasil baginya B (x)

a dengan B(x) hasil bagi pada pembagian f(x) oleh(x

+ ba

).

Contoh:Tentukan hasil bagi dengan sisa pembagian f(x) 2x4 – 5x3 + 6 oleh 2x + 3.Jawab:

Sisa pembagian f(x) denan 2x + 3 sama dengan sisa pembagian f(x) dengan x + 32

. -

−32

2 -5 0 0 6

-3 12 -18 27

+

2 -8 12 -18 33

koefisien hasil bagi B(x)

Tanda berarti “kalikan dengan −32

”.

Jadi, hasil baginya adalah 2 x 3 – 8 x2+12 x−18

2= x3 – 4x2 + 6x – 9,

sedangkan sisanya adalah 33.

3. Pembagian suku banyak dengan ax2 + bx + cJika pembagian ax2 + bx + c dapat difaktorkan atas factor-faktor linearnya maka pembagian suku

banyak f(x) oleh ax2 + bx + c dapat dilakukan dengan cara Horner dua tahap pengerjaan.Contoh:Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian 2x4 – 5x3 + 7x2 + 4x – 2 oleh 2x2 + 3x-2.Jawab:Terlebih dahulu, periksa apakah pembaginya, yaitu 2x2 + 3x-2 dapat difaktorkan atas factor-faktor

linear?2x2 + 3x-2 = (x + 2) (2x – 1)Ternyata, 2x2 + 3x-2 dapat difaktorkan menjadi (x + 2) (2x – 1).

7

Sisa

Kemudian, bagi 2x4 – 5x3 + 7x2 + 4x – 2 dengan x + 2. Setelah itu, hasil baginya dibagi dengan (2x – 1).

-2 2 -5 7 4 -2

-4 18 -50 92

+

12

2 9 25 -46 90

1 -4 10,5

+

2 -8 21 -35,5

Jadi, hasil bagi 2x4 – 5x3 +7x2 + 4x – 2 adalah x2 – 4x +10,5, sedangkan sisanya adalah -(35,5)(x + 2) + 90 = -35,5x + 19.

Sekarang, bagaimana jika pembagi ax2 + bx + c tidak dapat difaktorkan atas factor-faktor linearnya? Untuk kasus ini, pembagian suku banyak f(x) oleh ax2 + bx + c dilakukan dengan cara bersusun pendek, seperti pada contoh berikut.

Contoh:

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian 2x4 – 3x3 + 5x2 + x – 7 oleh x2 – x + 3

Jawab:

2x2 – x – 2 x2 – x + 3 2x4 – 3x3 + 5x2 + x – 7

2x 4 - 2x 3 + 6x 2 –-x3 - x2 + x – 7 -x 2 + x 2 – 3x –

-2x2 + 4x – 7 -2x 2 + 2x – 6 –

2x - 1Jadi, hasil bagi dari 2x4 – 3x3 + 5x2 + x – 7 adalah 2x2 – x – 2

3. Asah Kemampuan

Waktu : 60 menit

1. Tentukanlah hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak berikut!a. 5x3 – 2x2 + 7x + 9 dibagi x + 5b. x4 – 3x3 + 6x2 – 9x + 12 dibagi x + 2c. x4 + 3x3 + 4x2 + 5x – 6 dibagi x2 + 3x + 2d. x5 – 4x4 + 5x2 + 6x + 9 dibagi 7 + 3x + 4x2

2. Diketahui f(x) = 5x3 – 4x2 + 3x – 2. Jika g(x) dan h(x) masing-masing hasil bagi f(x) dengan x – 4 dan x – 3, tentukan 5g (x) – 4f(x).

3. Jika suku banyak x3 + px2 – 2x + q habis dibagi x2 – 2x – 8, tentukanlah nilai p dan p.4. Jika suku banyak 2x3 + ax2 + 8x + b dibagi x2 + x + 1 bersisa 5x – 2, tentukanlah hasil baginya!

8

Sisa ke-1

Sisa ke-2

5. Jika x3 – 4x2 + 5x + p dan x2 + 3x – 2 dibagi x + 1 memberikan sisa pembagian yang sama, tentukanlah nilai p.

6. Suku banyak x4 – ax2 + 2x2 + bx + 5 jika dibagi oleh (x-2) bersisa 7, sedangkan suku banyak tersebut dibagi (x + 3) akan memberikan sisa 82. Berapakah nilai dari a2 + b2? 3. Teorema sisa

a. Teorema 1 : Teorema Sisa dengan Pembagi x – kJika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi x – k, maka sisanya f(k).

b. Teorema 2 : Teorema Sisa dengan Pembagi ax + b

Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi ax + b, maka sisanya f(−ba

).

c. Teorema 3 : Teorema Sisa dengan Pembagi (x – a)(x – b)Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi ax2 + bx + c, maka hasil baginya h(x) berderajat n – 2 dan sisanya s(x) = px + q. Jika pembagi g(x) dapat difaktorkan menjadi faktor-faktor linear (x – c)(x – d), maka sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (x – c)(x –

d) adalah s(x) = px + q dengan p = f (c )−f (d )

c−d dan q =

cf (d )−df (c)c−d

.

9