bahan ajar alin 2 rev 2014 pdf

Aljabar Linear Elementer 2

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Gedung H lt 4 Kampus, Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229

Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail: [email protected]

FORMULIR

FORMAT BAHAN AJAR No. Dokumen

FM-02-AKD-07 No. Revisi

00

Hal

1 dari 1

Tanggal Terbit 1 September 2012

BAHAN AJAR

MATA KULIAH : ALJABAR LINEAR ELEMENTER 2 SEMESTER : GENAP 2013-2014

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG TAHUN 2013-2014

http://www.unnes.ac.id/

mailto:[email protected]


BAB 1 PENDAHULUAN

A. Deskripsi :

Meliputi ruang vektor, basis dan dimensi, ruang baris dan ruang kolom, ruang

perkalian dalam, basis orthogonal dan basis ortonormal, proses Gram-Schmidt,

koordinat dan perubahan basis, transformasi linear dan sifat-sifatnya, nilai

karakteristik, vektor karakteristik dan diagonalisasi. Materi disajikan dengan

memperhatikan nilai demokratis, logis, kritis, kreatif dan santun. Tugas-tugas

dikerjakan dengan kerja keras penuh kejujuran dan tanggung jawab.

B. Prasyarat :

Telah mengambil mata kuliah Aljabar Linear I yang mempelajari tentang sistem

persamaan linear, matriks, determinan dan vektor di R2/R

3/R

n.

C. Petunjuk Belajar

Harus paham tentang himpunan dan dapat mengenali anggota himpunan;

menggunakan logika berpikir yang runtut dalam mendalami teorema; banyak

berlatih dan teliti.

D. Capaian Pembelajaran/Kompetensi Mata Kuliah dan Indikator Kompetensi

Capaian Pembelajaran/Kompetensi Mata Kuliah :

Pada akhir perkuliahan ini, mahasiswa diharapkan dapat :

memahami dan menguasai konsep dasar Aljabar Linear mengenai ruang vektor,

transformasi linear dan diagonalisasi serta dapat menggunakannya dalam

menyelesaikan masalah-masalah yang terkait secara kritis, kreatif, logis dan jujur.


Indikator Kompetensi :

Pada akhir perkuliahan ini, mahasiswa diharapkan dapat :

memeriksa apakah suatu himpunan merupakan ruang vector atau bukan.

menggunakan sifat2 ruang vektor dalam pembuktian teorema

memeriksa apakah suatu himpunan bagian ruang vektor merupakan sub ruang

atau bukan.

menggunakan sifat2 sub ruang dalam pembuktian teorema

memeriksa apakah suatu himpunan merentang ruang vektor atau tidak

memeriksa apakah suatu himpunan bebas linear atau bergantung linear

menentukan basis utk suatu ruang vector

menentukan dimensi suatu ruang vector

menggunakan pengetian dan sifat2 merentang, bebas linear dan bergantung linear,

basis dan dimensi dalam pembuktian teorema

menjelaskan pengertian ruang baris dan ruang kolom suatu matriks.

menentukan basis untuk ruang baris dan ruang kolom suatu matriks

menentukan rank ruang baris dan ruang kolom suatu matriks

menggunakan pengertian dan sifat2 rang baris dan ruang kolom dalam

pembuktian teorema

memeriksa himpunan dengan suatu operasi merupakan ruang perkalian dalam

atau bukan

menentukan matriks transisi dari suatu basis ke basisi lain alam suatu ruang vector

menggunakan pengertian vektor koordinat dalm pembuktian teorema,

menentukan apakah suatu fungsi merupakan transformasi linear atau bukan

menentukan definisi fungsi yang merupakan transformasi linear

menggunakan pengertian transformasi linear dalam pembuktian teorema

menentukan kernel dan range dari suatu transformasi linear

menentukan basis untuk kernel dan range suatu transformasi linear

menentukan rank dan nullitas suatu transformasi linear

menggunakan pengertian kernel dan range dalam pembuktian teorema

menentukan polynomial karakteristik suatu matriks

menentukan nilai karakteristik suatu matriks

menetukan vector katakteristik untuk suatu nilai karakteristik tertentu

menemukan basis untuk ruang karakteristik.

Menggunakan pengertian nilai dan vektor eigen serta diagonalisasi dalam

pembuktian teorema

menentukan norm, sudaut dan jarak antara 2 vektor

menentukan himpunan yang orthogonal dan ortonormal

menggunakan pengertian ruang perkalian dalam dalam, ortogonal dan ortonormal

dalam pembuktian teorama

mengubah basis biasa menjadi basis orthogonal dan ortonormal dengan proses

Gram-Schmidt

menggunakan pengertian basis ortonormal dalam pembuktian teorema

menentukan koordinat vector relative terhadap basis


menentukan apakah suatu matriks dapat didiagonalkan atau tidak

menentukan dekomposisi matriks yang dapat didiagonalkan

Tujuan penulisan bahan ajar

Bahan ajar ini dimaksudkan untuk membantu mahasiswa dalam mengikuti

perkuliahan Aljabar Linear Elementer. Tujuan utama bahan ajar ini adalah menyajikan

materi Aljabar Linear Elementer sedemikian rupa sehingga mahasiswa yang

kemampuannya rata-rata dapat memahaminya dengan mudah.


MATERI AJAR

RUANG VEKTOR UMUM

A. RUANG VEKTOR

Pada perkuliahan Aljabar Linear Elementer 1 kita telah mempelajari vektor2 di

R2, R

3 maupun R

n dengan operasi penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan

skalar.

Sekarang kita akan menyelidiki sifat2 kedua operasi tersebut terhadap vektor2 di R2 sbb. :

Misalkan u, v, w V dan k, l R maka berlaku :

1. u + v R2

2. u + v = v + u

3. ( u + v ) + w = u + ( v + w )

4. Ada elemen identitas yaitu vektor 0 V sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u

5. Untuk setiap u V, ada –u V sedemikian sehingga u + -u = -u + u = 0

6. ku R2

7. k ( u + v ) = ku + kv

8. ( k + l ) u = ku + lu

9. ( kl ) u = k ( lu )

10. 1.u = u

Analog, sifat2 tersebut juga berlaku pada R3 maupun R

n.

Karena R2/R

3/R

n dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar memenuhi 10

sifat di atas, maka R2/R

3/R

n disebut ruang vektor.

Berikut ini akan didefinisikan secara formal ruang vektor umum.

Definisi :

Misalkan V sebarang humpunan yang tak kosong dengan operasi penjumlahan dan

perkalian dengan skalar yang terdefinisi pada semua anggota V dan semua skalar di R, V

disebut ruang vektor jika untuk setiap u, v, w V dan k, l R berlaku :

1. u + v V

2. u + v = v + u


3. ( u + v ) + w = u + ( v + w )

4. Ada elemen identitas yaitu vektor 0 V sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u

5. Untuk setiap u V, ada –u V sedemikian sehingga u + -u = -u + u = 0

6. ku V

7. k ( u + v ) = ku + kv

8. ( k + l ) u = ku + lu

9. ( kl ) u = k ( lu )

10. 1.u = u

Anggota dari suatu ruang vector disebut vector

Contoh 1 :

Misalkan P2 = { ax2 + bx + c a, b, c R }. Jika u, v P2 dengan u = a2x

2 + a1x + a0

dan v = b2x2 + b1x + b0 dan k skalar di R, operasi penjumlahan dan perkalian dengan

skalar yang didefinisikan sbb :

u + v = (a2 + b2) x2 + (a1 + b1) x + (a0 + b0) dan

ku = ka2 x2 + ka1 x + ka0

Dengan operasi tersebut maka P2 merupakan ruang vektor.

Contoh 2 :

Misal V adalah himpunan fungsi real yang didefinisikan pada bilangan real ( - , )

dengan f = f(x) dan g = g(x) adalah 2 fungsi di V serta k suatu bilangan real. Jika operasi

penjumlahan dan perkalian dengan skalar didefinisikan sbb :

( f + g ) (x) = f(x) + g(x) dan

( kf ) (x) = k ( f(x) ) untuk setiap x R

Maka V ruang vektor.

Contoh 3 :

Misalkan W = R2. Jika u =

2

1

u

u dan v =

2

1

v

v di W dan k R dengan operasi

penjumlahan dan perkalian dengan skalar yang didefinisikan sbb :


u + v = 21

21

vv

uu dan ku = 0,1ku

Misal kita mengambil u = ( 2, 3 ). Kita akan melihat sifat 10 tidak berlaku, sbb :

1.u = 1. ( 2, 3 ) = ( 1.2, 0 ) = ( 2, 0 ) ≠ u

Maka W bukan ruang vektor.

Catatan :

Untuk menyelidiki suatu himpunan bukan merupakan ruang vektor, cukup ditunjukkan

negasi dari salah satu sifat-sifat ruang vektor. Pada contoh di atas, cukup ditunjukkan

bahwa ada u W sedemikian hingga 1.u ≠ u.

LATIHAN SOAL :

Periksa apakah himpunan berikut dengan operasi penjumlahan dan

perkalian yang didefinisikan merupakan ruang vektor.

1. R2 dengan penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan sebagai berikut

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d); k(a,b)=(ka, b) untuk setiap k di R dan (a,b), (c,d) di R2.

2. R ,|1

1diba

b

adengan penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan

skalar.

3. R ,| dibabba

baa dengan penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan

skalar.


B. RUANG BAGIAN

Perhatikan contoh berikut ini :

Misalkan W = Rdcbadadc

ba,,,,0/ dengan operasi standar

penjumlahan pada matriks dan perkalian matriks dengan skalar, maka W merupakan

ruang vektor.

Jika kita pandang W sebagai himpunan bagian dari M2x2(R) dan kita lihat bahwa definisi

operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar pada W sama dengan definisi operasi

penjumlahan dan perkalian dengan skalar pada M2x2(R), maka situasi yang demikian

dapat kita katakan W merupakan ruang bagian dari M2x2(R).

Definisi formal dari suatu ruang bagian adalah sbb. :

Definisi :

Misalkan V ruang vektor.

W V, W ≠ . W disebut ruang bagian dari V jika W dengan operasi penjumlahan dan

perkalian dengan skalar yang sama dengan operasi pada V, merupakan ruang vektor.

Misalkan W V, W ≠ . Jika operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar di V

juga merupakan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar di , maka beberapa

sifat operasi di ruang vektor V diwariskan pada operasi di W yauitu sifat 2, 3, 7, 8, 9, dan

10. Sehingga untuk mengetahui apakah W merupakan ruang bagian dari V, kita tinggal

menunjukkan sifat 1, 4, 5, dan 6 berlaku pada W. Hal ini mendasari teorema berikut ini :

Teorema :

Misalkan V ruang vektor.

W V, W ≠ . W disebut ruang bagian dari V jika dan hanya jika untuk setiap

u, v W dan k R berlaku :

a). u + v W

b). ku W


Bukti :

Diketahui W ruang bagian dari ruang vektor V, maka menurut definisi W

memenuhi semua sifat ruang vektor, sehingga sifar a) dan b) dipenuhi.

Berdasarkan uraian di atas, untuk menunjukkan W ruang bagian dari V, tinggal

menunjukkan sifat 1, 4, 5, dan 6. Karena diketahui a) dan b) maka sifar 1 dan 6 dipenuhi,

sehingga kita tinggal menunjukkan sifat 4 dan 5 sbb. :

Misalkan u,v sebarang vektor di W dan k skalar. Oleh b) diperoleh ku W.

Misalkan diambil k = 0 maka diperoleh 0.u = 0 W, dan jika diambil k = -1 maka

diperoleh (-1).u = -u W, sedemikian sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0, sehingga sifat 5

dipenuhi. Oleh a) diperoleh u + v W. Misalkan u = 0 maka diperoleh 0 + v = v + 0 = v,

sehingga sifat 4 dipenuhi. Terbukti.

Contoh 1 :

Misalkan V = { ( x, y, z ) ax + by + cz = 0 }.

Selidikilah apakah V dengan operasi standar penjumlahan dan perkalian dengan

skalar pada R3 merupakan ruang bagian dari R

3 !

Jawab :

Jelas bahwa V R3

V himpunan tak kosong karena ( 0, 0, 0 ) V

Selanjutnya ambil sebarang u, v V dan k R, maka

u = ( u1, u2, u3 ) dimana au1 + bu2 + cu3 = 0

v = ( v1, v2, v3 ) dimana av1 + bv2 + cv3 = 0

Sehingga

u + v = ( u1+v1, u2+v2, u3+v3 )

dimana

a (u1+v1 ) + b (u2+v2 ) + c (u3+v3 )

= (au1 + bu2 + cu3 ) + (av1 + bv2 + cv3 ) = 0 + 0 = 0

Jadi u + v V

Selanjutnya


ku = ( ku1, ku2, ku3 )

dimana

aku1 + bku2 + cku3 = k (au1 + bu2 + cu3 ) = k. 0 = 0

Sehingga

ku V

Jadi dapat disimpulkan bahwa V ruang bagian dari R3.

Contoh 2 :

Misalkan W adalah himpunan semua polinomial a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 dimana

a0, a1, a2, a3 Z. Selidiki apakah W ruang bagian dari P3 !

Jawab :

Akan ditunjukkan bahwa W bukan ruang bagian dari P3

Ambil k = ½ dan u = 3 + 2x + 5x2 + x

3

Maka ku = ½ ( 3 + 2x + 5x2 + x

3 )

= 32

2

1

2

5

2

3xxx W

Jadi ada k R dan u W sedemikian sehingga ku W. Maka W bukan ruang

bagian dari P3.

Catatan :

Untuk menunjukka bahwa suatu himpunan W V bukan merupakan ruang bagian dari

V, cukup menunjukkan negasi salah satu dari kedua sifat ruang bagian.

LATIHAN SOAL :

Periksa apakah himpunan berikut merupakan ruang bagian !

1. A = {(a, b, c)|b=a+c} R3.

2. B = {(a, b, c)|b=a+c+1} R3.

3. W = {A M2x2(R) |A = At} M2x2(R).

4. C = {a + bx + cx2 | a + b + c = 0} P2(x).


C. MERENTANG/MEMBANGUN

Definisi :

Suatu vektor w disebut kombinasi linear dari vektor-vektor v1, v2, ..., vn jika ada skalar-

skalar k1, k2, ..., kn sedemikian sehingga w = k1v1 + k2v2 + ... + knvn

Contoh :

Misalkan u = ( 1, 2, -1 ) dan v = ( 6, 4, 2 ) di R3. Selidiki apakah w = ( 9, 2, 7 ) dan

x = ( 4, -1, 8 ) merupakan kombinasi linear dari u dan v !

Jawab :

a). Pandang persamaan dengan variabel tak diketahui k1 dan k2 sbb. :

( 9, 2, 7 ) = k1 ( 1, 2, -1 ) + k2 ( 6, 4, 2 )

= ( k1 + 6k2 , 2k1 + 4k2 , -k1 + 2k2 )

Bentuk SPLnya

9 = k1 + 6k2

2 = 2k1 + 4k2

7 = -k1 + 2k2

Penyelesaian SPL tersebut adalah k1 = -3 dan k2 = 2

Jadi w = -3u + 2v atau w merupakan kombinasi linear dari u dan v.

b). Pandang persamaan dengan variabel tak diketahui k1 dan k2 sbb. :

( 4, -1, 8 ) = ( k1 + 6k2 , 2k1 + 4k2 , -k1 + 2k2 )

Bentuk SPLnya 4 = k1 + 6k2

-1 = 2k1 + 4k2

8 = -k1 + 2k2

SPL tsb. tidak mempunyai penyelesaian. Jadi x bukan kombinasi linear dari u dan v.

Teorema berikut menunjukkan bahwa jika V ruang vektor dan kita mempunyai

himpunan W yang merupakan himpunan semua kombinasi linear dari { v1, v2, ..., vn }

V maka W ruang bagian dari V.


Teorema :

Jika v1, v2, ..., vn adalah vektor-vektor pada ruang vektor V, maka :

1. Jika W himpunan semua kombinasi linear dari v1, v2, ..., vn , maka W merupakan ruang

bagian dari V.

2. W adalah ruang bagian terkecil dari V yang memuat v1, v2, ..., vn , yang berarti bahwa

setiap ruang bagian di V yang memuat v1, v2, ..., vn, pasti memuat W.

Bukti :

1). Ambil sebarang u, v W dan k R, maka :

u = a1v1 + a2v2 + ... + anvn

v = b1v1 + b2v2 + ... + bnvn

untuk suatu a1, a2, ..., an R dan b1, b2, ..., bn R. Sehingga :

u + v = ( a1 + b1 ) v1 + ( a2 + b2 ) v2 + ... + ( an + bn ) vn

Karena ( a1 + b1 ), ( a2 + b2 ), ..., ( an + bn ) R maka u + v W

ku = ka1v1 + ka2v2 + ... + kanvn

Karena ka1, ka2, ..., kan R, maka ku W

Jadi W ruang bagian dari V

2). Setiap vektor vi adalah kombinasi linear dari v1, v2, ..., vn, karena dapat ditulis sbb. :

vi = 0v1 + 0v2 + ... + 1vi + ... + 0vn

Karena itu ruang bagian W memuat semua vektor-vektor v1, v2, ..., vn. Misalkan W’

adalah sebarang ruang bagian dari V yang memuat v1, v2, ..., vn. Karena W’ tertutup

terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar, maka pasti memuat semua

kombinasi linear dari v1, v2, ..., vn. Jadi W’ memuat semuat semua vektor di W, atau

dapat dikatakan W’ memuat W. Terbukti

Definisi :

Jika V ruang vektor dan S = { v1, v2, ..., vn } V, maka v1, v2, ..., vn dikatakan

membangun/merentang V jika setiap vektor v V dapat dinyatakan sebagai

kombinasi linear dari v1, v2, ..., vn.

Contoh 1 :


a. S = { (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) membangun/merentang ruang vektor R3

b. Himpunan { 1, x, x2, ..., x

n } membangun ruang vektor Pn,

c. B = membangun ruang vektor M2x2(R)

Contoh 2 :

Selidiki apakah v1 = (1,1,1) , v2 = (1,2,3) dan v3 = (2,3,3) membangun ruang vektor R3 ?

Jawab :

Ambil sebarang vektor v R3 dengan v = ( x,y,z ). Akan kita cari apakah ada skalar-

skalar k1, k2, k3 sedemikian sehingga :

( x,y,z ) = k1 (1,1,1) + k2 (1,2,3) + k3 (2,3,3)

Bentuk SPLnya

x = k1 + k2 + 2k3

y = k1 + 2k2 + 3k3

z = k1 + 3k2 + 3k3

Bentuk matriksnya

Dengan melakukan OBE diperoleh :

, ,

Jadi berapapun v = ( x,y,z) di R3, selalu ditemukan k1, k2, k3. Maka dapat disimpulkan

{ v1, v2, v3 } membangun R3.

Contoh 3 :

Selidiki apakah v1 = (1,1,2) , v2 = (1,0,1) dan v3 = (2,1,3) membangun ruang vektor R3 ?

Jawab :

Ambil sebarang vektor v R3 dengan v = ( b1, b2, b3 ). Akan kita cari apakah ada skalar-

skalar k1, k2, k3 sedemikian sehingga :

( b1, b2, b3 ) = k1 (1,1,2) + k2 (1,0,1) + k3 (2,1,3)

Bentuk SPL nya :


b1 = k1 + k2 + 2k3

b2 = k1 + k3

b3 = 2k1 + k2 + 3k3

Bentuk matriksnya :

3

2

1

3

2

1

312

101

211

b

b

b

k

k

k

...............................(1)

Jika kita mengambil ( b1, b2, b3 ) = ( 1, 1, 1 ), maka dengan melakukan OBE kita

peroleh :

1312

1101

1211

1312

1211

1101

1110

0110

1101

1000

0110

1101

Dengan memperhatikan baris ketiga, kita tahu bahwa SPL ini inconsisten, sehingga tidak

ditemukan skalar-skalar k1, k2, k3. Jadi (1, 1, 1 ) tidak dapat dinyatakan sebagai

kombinasi linear dari v1, v2, v3, maka dapat dikatakan bahwa { v1, v2, v3 } tidak

membangun R3.

Pandang (1)

Kita telah mempelajari bahwa SPL akan selalu konsisten ( mempunyai penyelesaian )

untuk sebarang b1, b2, b3 jika dan hanya jika matriks koefisiennya mempunyai balikan.

Kita tahu bahwa matriks persegi akan mempunyai balikan jika determinannya tidak sama

dengan nol.

Karena det

312

101

211

= 0, maka matriks koefisien tersebut tidak mempunyai balikan.

Jadi kita tidak dapat menemukan skala-skalar k1, k2, k3 untuk sebarang b1, b2, b3,

sehingga dapat dikatakan bahwa { v1, v2, v3 } tidak membangun R3.

Dari contoh di atas, dapat kita simpulkan bahwa jika kita mendapatkan matriks koefisien

dari SPL yang terjadi itu merupakan matriks persegi, maka untuk menentukan vektor-


vektor dari ruang vektor V yang diketahui itu membangun suatu ruang bagian dari V bisa

dengan menunjukkan bahwa determinannya tidak sama dengan nol.

Perhatikan contoh 2.

Matriks koefisien yang terbentuk adalah matriks persegi yaitu

Det (A) ≠ 0. Karena itu SPL di atas selalu mempunyai jawab. Jadi { v1, v2, v3 }

membangun R3.

Contoh 4 :

Selidiki apakah S = { v1, v2, v3, v4 } R3 dengan v1 + ( 1, 0, 0 ), v2 = ( 0, 1, 0 )

v3 = ( 0, 1, 1), v4 = ( 1, 1, 1 ) membangun R3 !

Jawab :

Ambil v = ( x, y, z ) R3 sebarang dan skalar-skalar k1, k2, k3. dan k4

Bentuk persamaan :

v = k1v1 + k2v2 + k3v3 + k4v4

Bentuk SPLnya :

x = k1 + k4

y = k2 + k3 + k4

z = k3 + k4

Bentuk matriksnya :

z

y

x

k

k

k

k

4

3

2

1

1100

1110

1001


k1 + k4 = x, k2 = y – z, k3 + k4 = z.

Jika dimisalkan k4 = t, maka diperoleh :

k1 = x – t, k2 = y – t, k3 = z – t, k4 = t, dengan t R.

Jadi ada k1, k2, k3, k4 R v R, v = k1v1 + k2v2 + k3v3 + k4v4.


Jadi S membangun V.

LATIHAN SOAL

Periksa apakah himpunan berikut merentang ruang vektor yang bersesuaian.

1. {(1,1,1), (2,2,0), (3,0,0)} R3.

2. {1 + 2x – x2, 3 + x

2} P2(x).

3. 01

10,

01

01,

00

11 M2x2(R).

4. { (1,1,1,1), (1,2,3,4)} R4

5. { (1,3,3), (1,3,4), (1,4,3),(6,2,1)}

D. BEBAS LINEAR

Pada bagian ini kita akan mempelajari tentang suatu himpunan vektor dikatakan

bebas linear atau bergantung linear, beserta sifat-sifatnya.

Definisi :

Jika S = { v1, v2, ..., vn } V himpunan vektor tak kosong, maka persamaan :

k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0

mempunyai sekurang-jurangnya satu penyelesaian yaitu

k1 = 0, k2 = 0, ..., kn = 0

Jika penyelesaian di atas merupakan satu-satunya penyelesaian, maka S disebut

himpunan yang bebas linear. Jika masih ada penyelesaian yang lain, maka S disebut

himpunan yang tak bebas linear atau disebut himpunan yang bergantung linear.

Contoh 1 :

a. S = { (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) } bebas linear

b. Himpunan { 1, x, x2, ..., x

n } bebas linear

c. B = bebas linear


Contoh 2 :

Misalkan W = { p1, p2, p3 } P2 dengan p1 = 1 – x , p2 = 5 + 3x – 2x2, p3 = 1 + 3x – x

2

Selidiki apakah W merupakan himpunan yang bebas linear ?

Jawab :

Bentuk persamaan :

k1p1 + k2p2 + k3p3 = 0

Bentuk SPL homogennya :

k1 + 5k2 + k3 = 0

-k1 + 3k2 + 3k3 = 0

-2k2 - k3 = 0

Bentuk matriksnya

0

0

0

120

331

151

3

2

1

k

k

k


k1 = 2

3 k3, k2 = -

2

1 k3

Jika diambil k3 = 2t, dengan t R maka diperoleh

k1 = 3t, k2 = -t, k3 = 2t

SPL homogen di atas mempunyai tak hingga penyelesaian, dengan kata lain ada

penyelesaian lain selain nol. Jadi W tak bebas linear atau bergantung linear.

Jika kita lihat contoh di atas, koefisien matriks yang terbentuk mempunyai

determinan sama dengan nol yang berakibat bahwa SPL homogen yang terbentuk

mempunyai lebih dari satu penyelesaian. Sehingga W merupakan himpunan yang tak

bebas linear.

Jadi dari contoh di atas, kita juga dapat menyimpulkan bawa jika kita

mendapatkan matriks koefisien dari SPL itu merupakan matriks persegi, maka untuk


mementukan suatu himpunan itu bebas linear, cukup dengan menunjukkan bahwa

determinan matriks koefisiennya tidak sama dengan nol.

Contoh 3 :

Selidiki apakah S = { a, b, c } R3 dengan a = ( 1, 1, 1 ), b = (1, 2, 3 ) dan c = ( 2, 3, 3 )

merupakan himpunan yang bebas linear ?

Jawab :

Bentuk persamaan

0 = k1a + k2b + k3c

Seperti contoh sebelumnya, diperoleh determinan matriks koefisiennya tidak sama

dengan nol, maka S bebas linear.

Dari contoh di atas, dapat dikembangkan suatu teorema di bawah ini yang dapat

mementukan apakah suatu himpunan itu merupakan himpunan yang bebas linear atau

himpunan yang bergantung linear.

Teorema :

Misalkan S adalah himpunan yang terdiri dari 2 vektor atau lebih. Maka :

S dikatakan bergantung linear jika dan hanya jika terdapat sekurang-kurangnya satu

vektor dalam S yang dapt dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lain di

S.

S dikatakan bebas linear jika dan hanya jika tidak ada vektor di S yang dapat dinyatakan

sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S.

Bukti : sebagai latihan

Teorema :

Himpunan yang berhingga yang memuat vektor nol adalah bergantung linear

Himpunan yang hanya memuat 2 vektor dikatakan bebas linear jika dan hanya jika vektor

yang satu bukan merupakan kelipatan dari vektor yang lain.


Bukti sebagai latihan

Kita pandang contoh berikut ini :

Misalkan S = { a, b, c } R2 dengan a = (1, 2 ), b = ( 2, 2 ), c = ( 1, -2 ).

Selidiki apakah S bebas linear ?

Jawab :

Kita bentuk persamaan :

0 = k1a + k2b + k3c

Bentuk matriksnya :

0

0

222

121

3

2

1

k

k

k

Dengan melakukan OBE diperoleh penyelesaian sbb. :

k1 = t, k2 = -2t , k3 = t, dengan t R. Artinya SPL tersebut mempunyai penyelesaian

tak nol, misalnya k1 = 1, k2 = -2, k3 = 1 adalah salah satu penyelesaian SPL di atas.

Jadi S bergantung linear.

Dari contoh di atas kita lihat bahwa suatu himpunan vektor-vektor di Rn yang

banyaknya anggota lebih dari n merupakan himpunan yang bergantung linear. Dari

contoh tersebut dikembangkan teorema yang memperlihatkan bahwa himpunan vektor-

vektor dalam Rn yang bebas linear paling banyak memuat n vektor.

Teorema :

Misalkan S = { v1, v2, ..., vr } suatu himpunan vektor di Rn. Jika r n, maka S

bergantung linear.

Bukti sebagai latihan.


LATIHAN SOAL

Periksa apakah himpunan berikut bebas linear ruang vektor yang bersesuaian.

1. {(1,1,1), (2,2,0), (3,0,0)} R3.

2. {1 + 2x – x2, 3 + x

2} P2(x).

3. 01

10,

01

01,

00

11 M2x2(R).

4. { (1,1,1,1), (1,2,3,4)} R4

5. { (1,3,3), (1,3,4), (1,4,3),(6,2,1)}

E. BASIS DAN DIMENSI

Definisi :

Jika V sebarang ruang vektor dan S = { v1, v2, ..., vn } V, maka S disebut basis dari V

jika S membangun dan bebas linear.

Contoh 1 :

a). { (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) } merupakan basis standar dari R3

b). { 1, x, x2, ..., x

n } merupakan basis standar dari Pn

c). 10

00,

01

00,

00

10,

00

01 merupakan basis standar dari M2x2(R)

Contoh 2 :

Jika S = S = { a, b, c } R3 dengan a = ( 1, 1, 1 ), b = (1, 2, 3 ) dan c = ( 2, 3, 3 ), dari

contoh sebelumnya diperoleh S membangun R3 dan bebas linear. Jadi S basis untuk R

2

Contoh 3 :

Jika S = { v1, v2, ..., vn } merupakan himpunan yang bebas linear dalam ruang vektor V,

maka S adalah basis untuk ruang bagian dari V yang dibangun oleh S.


Teorema :

Jika S = { v1, v2, ..., vn } adalah basis untuk suatu ruang vektor V, maka setiap vektor v

di V hanya dapat dinyatakan dengan tepat satu cara kombinasi linear yaitu :

V = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn


Definisi :

Suatu ruang vektor V disebut berdimensi hingga jika V memuat himpunan berhingga

vektor-vektor { v1, v2, ..., vn } sebagai basisnya. Jika tidak ada himpunan berhingga

tersebut, maka V disebut berdimensi tak hingga.

Contoh :

Ruang vektor Rn, Pn, M2x2(R) adalah ruang vektor berdimensi hingga.

Teorema :

Jika V adalah ruang vektor berdimensi hingga dan { v1, v2, ..., vn } adalah sebarang basis,

maka :

1. Setiap himpunan yang anggotanya lebih dari n vektor akan bergantung linear.

2. Tidak ada himpunan yang anggotanya kurang dari n vektor akan membangun V

Bukti :

1. Silahkan buktikan alurnya sama dengan teoema sebelumnya ( pada Rn ).

2. Diketahui S = { v1, v2, …, vn } basis untuk V

Misalkan S’ = { w1, w2, …, wm } sebarang himpunan di V dengan m n

Akan dibuktikan bahwa S’ tidak membangun V.

Andaikan S’ membangun V maka untuk setiap v V dapat dinyatakan sebagai

kombinasi linear dari vektor-vektor di S’.

Ambil v1 V, maka ……………(*)

Karena { S maka menurut teorema sebelumnya { bebas linear sehingga

. Maka dari (*) diperoleh .

Tanpa mengurangi keumuman bukti, pilih , maka dari (*) diperoleh :


Sehingga dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari

Karena { w1, w2, …, wm } membangun V maka untuk setiap v V dapat dinyatakan

sebagai kombinasi linear sbb:

Jadi setiap v V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari v1, w2, …, wm .

Jadi { v1, w2, …, wm } membangun V.

Sehingga v2 V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari { v1, w2, …, wm }

yaitu .

Karena {v1,v2} bebas linear maka v1 0 dan v2 0, sehingga ada a2j 0

Misal maka

Sehingga dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari { v1, v2, w3, …, wm }.

Karena { v1, w2, …, wm }membangun V maka seperti di atas { v1, v2, w3, …, wm }

juga membangun V.

Jika prose ini diteruskan, maka akan diperoleh { v1, v2, …, vm } membangun V.

Karena vm+1 V maka vm+1 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari

{ v1, v2, …, vm }, sehingga { v1, v2, …, vm, vm+1 } tak bebas linear.

Padahal jika m n maka m+1≤ n.

Jika m+1 n maka { v1, v2, …, vm, vm+1 } S bebas linear

Jika m+1 = n maka { v1, v2, …, vm, vm+1 } S bebas linear

Sehingga terjadi kontradiksi.

Kesimpulan : pengandaian salah, yang benar W tidak membangun V

Teorema :

Semua basis dari suatu ruang vektor berdimensi hingga mempunyai banyak vektor yang

sama.


Bukti :

Misalkan A = { v1, v2, ..., vn } dan B = { w1, w2, ..., wm }adalah 2 basis sebarang dari

suatu ruang vektor V. Karena A basis dan B bebas linear, maka m ≤ n. Demikian juga

karena B basis dan A bebas linear maka n ≤ m. Jadi m = n. Terbukti.

Teorema di atas mendasari konsep tentang dimensi.

Definisi :

Dimensi dari suatu ruang vektor V berdimensi hingga, dinotasikan sebagai dim(V) adalah

banyaknya vektor yang menjadi anggota basis dari V. Didefinisikan pula bahwa ruang

vektor nol mempunyai dimensi nol.

Contoh 1:

dim (Rn) = n ( karena basis standart dari R

n mempunyai n vektor )

dim (Pn) = n + 1 ( karena basis standart dari Pn mempunyai n+1 vektor )

dim (Mmxn(R)) = mn ( karena basis standart dari Mmxn(R) mempunyai mxn vektor.

Contoh 2 :

Tentukan basis dan dimensi dari ruang penbyelesaian SPL homogen berikut ini :

2x1 + 2x2 – x3 + x5 = 0

-x1 - x2 + 2x3 – 3x4 + x5 = 0

x1 + x2 – 2x3 - x5 = 0

x3 + x4 + x5 = 0

Jawab :

Penyelesaian dari SPL homogen ini adalah x1 = -s-t, x2 = s, x3 = -t, x4 = 0, x5 = t.

Jadi ruang penyelesaian dari SPLH tersebut adalah :


Terlihat bahwa v1 = dan v2 = membangun ruang pemecahan SPL

homogen di atas. Karena { v1, v2 } bebas linear maka { v1, v2 }basis untuk ruang

pemecahan SPL tersebut. Sehingga ruang pemecahan SPLH tersebut berdimensi 2.

LATIHAN SOAL

Tentukan basis dan dimensi sub ruang berikut.

1. A = {(a, b, c)|b=a+c} R3.

2. B = {(a, b, c)|b=2a, c=0} R3.

3. C = {a + bx + cx2 | a + b + c = 0} P2(x).

4. D = R ,| dibabba

baa.

F. RUANG BARIS DAN RUANG KOLOM

Misal A matriks mxn dengan A =

Maka vektor-vektor baris dari A adalah :

, , ...,

Sedangkan vektor-vektor kolom dari A adalah

, , ...,


Definisi :

Jika A matriks mxn maka ruang baris dari A adalah ruang bagian dari Rn yang dibangun

oleh vektor-vektor baris dari A .

W = { x Rn x = k1(a11 a12 ... a1n) + k2(a21 a22 ... a2n) + ... + km(am1 am2 ... amn) , ki R}

sedangkan ruang kolom dari A adalah ruang bagian dari Rm yang dibangun oleh vektor-

vektor kolom dari A.

S =

Teorema :

Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matriks.

Dari teorema tersebut, jelas bahwa ruang baris sebuah matriks A tidak berubah

jika kita mereduksi matriks tersebut kepada bentuk eselon baris. Vektor-vektor baris tak

nol dari matriks A dalam bentuk eselon baris selalu bebas linear sehingga vektor-vektor

baris yang tak nol ini membentuk sebuah basis untuk ruang baris tersebut.

Dari penjelasan tersebut muncul teorema sbb. :

Teorema :

Vektor-vektor baris yang tak nol dalam sebuah bentuk eselon baris dari sebuah matriks A

membentuk sebuah basis untuk ruang baris dari A.


Kalau kita perhatikan, ruang kolom suatu matriks A adalah sama seperti ruang

baris dari transposnya. Jadi untuk mencari basis untuk ruang kolom dari matriks A sama

saja dengan mencari sebuah basis untuk ruang baris dari At.


Contoh :

Diketahui A = . Tentukan :

Ruang baris dan basis untuk ruang baris dari A.

Ruang kolom dan basis untuk ruang kolom dari A.

Jawab :

Ruang baris dari A adalah W={ x ϵ R4

x = r ( 1,0, 1, 1 ) + s ( 3, 2, 5, 1 ) + t ( 0, 4, 4, -4 )

, r,s,t }

Untuk menemukan basis untuk ruang baris dilakukan OBE sampai memperoleh bentuk

matriks eselon sbb :

~ ~

Jadi baris untuk ruang baris dari A adalah {(1, 0, 1, 1 ), ( 0, 1, 1, -1 )}. Sehingga ruang

baris dari A berdimensi 2.

Ruang kolom dari A adalah H = { x R3 ⎪ x = p (1,3,0) + q (0,2,4) + r (1,5,4) +

s (1,1,-4) , p,q,r,s R }

Untuk menemukan basis untuk ruang kolom dilakukan OBE pada transposenya sampai

diperoleh bentuk matriks eselon baris sbb :

~

Jadi basis untuk ruang kolom dari A adalah { ( 1, 3, 0 ), (0, 1, 2 ) }. Sehingga ruang

kolom dari A berdimensi 2


Dari contoh di atas terlihat bahwa dimensi dari ruang baris dan dimensi dari ruang

kolom dari A sama. Berikut ini adalah teorema yang menguatkan pernyataan di atas :

Teorema :

Jika A adalah sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom dari A mempunyai

dimensi yang sama.


Definisi :

Dimensi ruang baris dan ruangkolom dari suatu matriks A dinamakan rank A

Teorema-teorema berikut ini melengkapi teorema-teorema mengenai basis.

Teorema :

Jika V ruang vektor berdimensi n dan S himpunan dalam V dengan tepat n vektor, maka

S basis untuk V jika S membangun V atau S bebas linear.

Teorema :

Misalkan S himpunan dari vektor-vektor dalam ruang vektor V berdimensi hingga.

1. Jika S membangun V tetapi bukan basis untuk V, maka S dapat direduksi menjadi

basis untuk V.

2. Jika S bebas linear tetapi bukan basis untuk V, maka S dapat diperluas menjadi

basis untuk V.

Contoh 2 :

Carilah sebuah sub himpunan dari vektor-vektor v1 = (1,-2,0,3), v2 = (2,-5,-3,6),

v3 = (0,1,3,0), v4 = (2,-1,4,-7), v5 = (5,-8,1,2) yang membentuk sebuah basis untuk ruang

yang direntang oleh vektor-vektor tersebut.

Jawab :

Bentuk persamaan : c1v1 + c2v2 + c3v3 + c4v4 + c5v5 = 0 ...................(1)


SPL Homogennya :

c1 + 2c2 + 2c4 + 5c5 = 0

-2c1 - 5c2 + c3 - c4 - 8c5 = 0

-3c2 + 3c3 + 4c4 + c5 = 0

3c1 + 6c2 - 7c4 + 2c5 = 0

c1 = -2s – t, c2 = s – t, c3 = s, c4 = -t, c5 = t dimana s, t sebarang bilangan real.

Dengan mensubsitusikan ke (1) diperoleh :

( -2s – t ) v1 + ( s – t ) v2 + s v3 – t v4 + t v5 = 0

= s ( -2 v1 + v2 + v3 ) + t ( -v1 – v2 – v4 + v5 ) = 0

Untuk memudahkan kita pilih s = 1, t = 0 dan kemudian s = 0, t = 1, maka diperoleh :

-2 v1 + v2 + v3 = 0 dan -v1 – v2 – v4 + v5 = 0

Dari persamaan-persamaan di atas kita dapat menyatakan v3 dan v5 ( atau vektor lain )

sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Maka diperoleh :

v3 = 2v1 – v2 dan v5 = v1 + v2 + v4

Karena v3 dan v5 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari v1, v2 dan v4 maka v3

dan v5 dapat dibuang tanpa mempengaruhi ruang yang direntangnya.

Vektor-vektor v1, v2, v4 merupakan himpunan vektor yang bebas linear karena persamaan

c1v1 + c2v2 + c4v4 = 0 menpunyai 1 penyelesaian yaitu c1 = 0, c2 = 0, c4 = 0

Jadi { v1, v2, v4 } merupakan basis dari ruang yang direntang oleh vektor-vektor

v1, v2, v3, v4, v5.

Teorema :

Jika A adalah sebuah matriks nxn, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen satu

sama lain :

a. A dapat dibalik

b. Ax = 0 hanya mempunyai satu pemecahan trivial

c. A ekivalen baris dengan In

d. Ax = b konsisten untuk tiap-tiap matriks b yang berukuran nx1

e. Det(A) ≠ 0

f. Rank(A) = n


g. Vektor-vektor baris dari A bebas linear

h. Vektor-vektor kolom dari A bebas linear.

LATIHAN SOAL

1. Tentukan basis dari ruang baris, ruang kolom dari matriks berikut.

a.

267

445

311

b.

2231

0312

2541

c.

0000

0000

3100

0310

5421

2. Tentukan rank dari matriks-matriks di atas.

G. RUANG PERKALIAN DALAM

Ketika kita mempelajari vektor di R2/R

3/R

n, kita mengenal dot product (

perkalian titik) atau kita juga bisa menyebutnya sebagai perkalian dalam Euclidis. Kita

akan memperluas bahasan tsb, tidak hanya di Rn, tetapi pada ruang vektor umum yang

lain.

Definisi :

Misal V ruang vektor

Suatu fungsi F : VxV R

(u,v)


Disebut perkalian dalam (inner product) jika untuk setiap u, v, w V dan k R

berlaku sifat-sifat sbb. :

1. = ( aksioma simetri )

2. = + ( aksioma aditivitas )

3. = k ( aksioma homogenitas )

4. ≥ 0 dan = 0 jhj v = 0 ( aksioma positivitas )

Sebuah ruang vektor dengan sebuah perkalian dalam dinamakan ruang perkalian dalam

( inner product space )

Contoh 1 :

Misalkan u,v Rn dengan u = ( u1, u2, ..., un ) dan v = (v1, v2, ..., vn )

Perkalian dalam Euclidis = u . v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn merupakan perkalian

dalam.

Contoh 2 :

Misalkan U, V M2x2(R) dengan U = dan V =

yang di definisikan sebagai = u1v1 + u2v2 + u3v3 + u4v4 merupakan

perkalian dalam pada M2x2(R).

Contoh 3 :

Misalkan p,q Pn dengan p = a0 + a1x + a2x2 + ... + anx

n dan

q = b0 + b1x + b2x2 + ... + bnx

n

yang didefinisikan sebagai = a0b0 + a1b1 + ... + anbn merupakan perkalian

dalam pada Pn

Contoh 4 :

Misalkan u,v R2 dengan u = ( u1, u2 ) dan v = (v1, v2)

Selidiki apakah fungsi yang didefinisikan sebagai = 3u1v1 + 2u2v2 merupakan

perkalian dalam pada R2 !

Jawab :


1. = 3u1v1 + 2u2v2 = 3v1u1 + 2v2u2 =

2. = 3(u1 + v1)w1 + 2(u2 + v2)w2

= ( 3u1w1 + 2u2w2 ) + (3v1w1 + 2v2w2 ) = +

3. = 3(ku1)v1 + 2(ku2)v2 = k (3u1v1 + 2u2v2 ) = k

4. = 3v1v1 + 2v2v2 = 3v12 + 2v2

2 ≥ 0 dan

= 3v1v1 + 2v2v2 = 3v12 + 2v2

2 = 0 jhj v1 = v2 = 0

Jadi fungsi yang didefinisikan sebagai = 3u1v1 + 2u2v2 merupakan perkalian

dalam pada R2.

Contoh 5 :

Misalkan u,v R3 dengan u = ( u1, u2, u3 ) dan v = (v1, v2, v3 )

Selidiki apakah fungsi yang didefinisikan sebagai = u1v1 - u2v2 + u3v3 merupakan

perkalian dalam pada R3 !

Jawab :

Fungsi yang didefinisikan sebagai = u1v1 - u2v2 + u3v3 merupakan perkalian

dalam pada R3 karena aksioma 4 tidak terpenuhi.

Ambil v = ( 1,3,2 ), maka :

= v1v1 - v2v2 + v3v3 = v12 – v2

2 + v3

2 = 1 – 9 + 4 = -4 ≤ 0

Contoh 6 :

Ruang Vektor Rn, M2x2(R), Pn dengan perkalian dalam yang didefinisikan pada contoh

1,2,3 di atas merupakan ruang perkalian dalam.

Teorema :( Ketaksamaan Cauchy-Schwarz )

Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang perkalian dalam V, maka

2 ≤



PANJANG DAN SUDUT DI DALAM RUANG PERKALIAN DALAM

Definisi :

Jika V adalah sebuah ruang perkalian dalam, maka norma/norm (panjang) dari sebuah

vektor u di V yang dinyatakan oleh didefinisikan sebagai :

= ½

Sedangkan jarak antara 2 titik (vektor) u dan v dinyatakan oleh d(u,v) didefinisikan

sebagai :

d(u,v) =

Contoh 1 :

Jika u,v Rn dengan perkalian dalam Euclidis, maka :

= ½ =

dan

d(u,v)= =

Contoh 2 :

Misalkan R2 mempunyai perkalian dalam = 3u1v1 + 2u2v2. Jika diketahui u = ( 1,1)

dan v = (2,3) maka :

= ½ = =

d(u,v)= =½

= =

Teorema :

Jika V adalah sebuah ruang perkalian dalam, maka norma = ½ dan jarak

d(u,v)= memenuhi sifat-sifat berikut :

1. ≥ 0 1. d(u,v) ≥ 0

2. = 0 jhj u = 0 2. d(u,v) = 0 jhj u=v

3. = 3. d(u,v) = d(v,u)

4. ≤ 4. d(u,v) ≤ d(u,w) + d(w,v)


Definisi :

Jika adalah sudut antara vektor u dan vektor v pada ruang perkalian dalam V, maka

didefinisikan : dan 0 ≤ ≤

Contoh :

Carilah cosinus dari sudut antara vektor-vektor u = (4,3,1,-2) dan v = (-2,1,2,3) dimana

ruang vektornya R4 dengan perkalian dalam Euclidis !

Jawab :

= = = -9

Sehingga

Cos = = -

Definisi :

Dalam sebuah ruang perkalian dalam, 2 vektor dinamakan ortogonal jika = 0.

Selanjutnya jika u ortogonal kepada setiap vektor di dalam sebuah himpunan W, maka

dikatakan bahwa u ortogonal kepada W.

Teorema :

Jika u dan v vektor-vektor ortogonal di dalam sebuah ruang perkalian dalam, maka

LATIHAN SOAL :

1. Tentukan apakah yang berikut ini merupakan perkalian dalam pada R3.

a. vu, =u1v1 + u3v3.

b. vu, =u1v1 – u2v2 + u3v3.

c. vu, =2u1v1 + u2v2 + 4u3v3.

2. Diketahui M2x2(R) dengan perkalian dalam VU , = u1v1 + u2v2 + u3v3 + u4v4 untuk

setiap U, V di M2x2(R).


a. Tentukan A jika A = 63

52.

b. Tentukan d(A,B) jika A=49

62 dan B=

61

74.

3. Tentukan sudut pasangan vektor berikut relatiuf terhadap perkalian dalam Euclid pada

R2

a. (0,1) dan (2,0).

b. (-1/ 2 ,-1/ 2 ) dan (1/ 2 ,1/ 2 )

4. Periksa apakah himpunan vektor berikut merupakan himpunan orthogonal relatif

terhadap perkalian dalam Euclid pada R3.

a. 3

2,

3

2,

3

1

3

1,

3

1,

3

2,

3

1,

3

2,

3

2.

b. 3

1,

3

1,

3

1,

2

1,0,

2

1,

2

1,0,

2

1.

H. BASIS ORTONORMAL; PROSES GRAM-SCHMIDT

Definisi :

Misal V ruang vektor perkalian dalam. W V. W disebut himpunan ortogonal jika

semua pasangan vektor-vektor yang berbeda di dalam himpunan tersebut ortogonal.

Himpunan ortogonal yang setiap vektornya mempunyai norm 1 disebut himpunan yang

ortonormal

Contoh :

1. {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} merupakan himpunan yang ortonormal.

2. merupakan himpunan yang ortonormal.

3. { (1,0), (0,2) } merupakan himpunan yang ortogonal tetapi bukan ortonormal.


Teorema :

Jika S = { v1, v2, ..., vn } adalah sebuah basis ortonormal untuk ruang perkalian dalam V

dan u adalah sebarang vektor di V, maka :


Teorema :

Jika S = { v1, v2, ..., vn } adalah sebuah himpunan ortogonal dari vektor-vektor yang tak

nol, maka S bebas linear.


Berikut ini kita akan membicarakan bagaimana membangun basis yang

ortonormal untuk ruang perkalian dalam.

Teorema :

Misalkan V sebuah ruang perkalian dalam, dan { v1, v2, ..., vr } adalah sebuah himpunan

ortonormal dari vektor-vektor di dalam V. Jika W adalah ruang yang direntang oleh v1,

v2, ..., vr , maka tiap-tiap vektor u di V dapat dinyatakan dalam bentuk

u = w1 + w2

dimana w1 berada dalam W dan w2 ortogonal kepada W dengan memisalkan

dan

w1 dinamakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada W, dinotasikan proyw u,

sedangkan w2 = u – proyw dinamakan sebagai komponen dari u yang ortogonal kepada

W.

Contoh :

Misalkan R3 mempunyai perkalian dalam Euclidis, dan W adalah sub ruang dari R

3 yang

direntang oleh vektor-vektpr ortonormal v1 = (0,1,0) dan v2 = . Carilah


proyeksi ortogonal dari u = (1,1,1) pada W dan komponen dari u yang ortogonal kepada

W!

Jawab :

= =

= (1,1,1) - =

Teorema :

Tiap-tiap ruang perkalian dalam berdimensi berhingga yang tidak nol mempunyai sebuah

basis ortonormal.

Bukti :

Misalkan V adalah sebarang ruang perkalian dalam berdimensi n yang tak nol, dan

misalkan S = { u1, u2, ..., un } adalah sebuah basis untuk V. Urutan langkah-langkah yang

berikut akan menghasilkan sebuah basis ortonormal { v1, v2, ..., vn } untuk V.

Langkah 1 :

Misalkan , maka vektor v1 mempunyai norm 1.

Langkah 2 :

Untuk membangun sebuah vektor v2 yang normnya 1 yang ortogonal kepada v1, kita

menghitung komponen dari u2 yang ortogonal kepada ruang W1 yang direntang oleh v1

dan kemudian normalisasikan komponen u2 tersebut, yaitu :

=

Langkah 3 :

Untuk membangun sebuah vektor v3 yang normnya 1 yang ortogonal kepada v1 dan v2,

maka kita menghitung komponen dari u3 yang ortogonal kepada ruang W2 yang direntang

oleh v1 dan v2 dan kemudian menormalisasikannya sbb.:

=


Langkah 4 :

Untuk membangun sebuah vektor v4 yang normnya 1 yang ortogonal kepada v1, v2 dan v3

maka kita menghitung komponen dari u4 yang ortogonal kepada ruang W2 yang direntang

oleh v1, v2 dan v3 kemudian menormalisasikannya sbb.:

=

Demikian seterusnya sampai kita mendapatkan himpunan ortonormal { v1, v2, ..., vn }.

Karena V berdimensi n dan menurut teorema setiap himpunan yang ortonormal itu bebas

linear, maka pasti membangun V. Sehingga { v1, v2, ..., vn } merupakan basis ortonormal

untuk V. Proses di atas disebut proses Gram-Schmidt.

Contoh :

Misalkan R3 ruang vektor dengan perkalian dalam Euclidis. Pakailah proses Gram-

Schmidt untuk mentransformasikan basis u1 = (1,1,1), u2 = (0,1,1), u3 = ( 0,0,1) ke

dalam sebuah basis ortonormal !

Jawab :

Langkah 1 :

=

Langkah 2 :

= = (0,1,1) -

Maka :

=

Langkah 3 :

=

=

Maka :

=


Jadi v1 = , v2 = , v3 =

Membentuk basis ortonormal untuk R3.

LATIHAN SOAL

1. Periksa apakah himpunan vektor berikut merupakan himpunan orthonormal relatif

terhadap perkalian dalam Euclid pada R3.

a. 3

2,

3

2,

3

1

3

1,

3

1,

3

2,

3

1,

3

2,

3

2.

b. 3

1,

3

1,

3

1,

2

1,0,

2

1,

2

1,0,

2

1.

2. Diketahui v1= 0,5

4,

5

3, v2= 0,

5

3,

5

4 v1= 1,0,0 dan B={v1, v2, v3}.

Tunjukkan bahwa B merupakan basis orthonormal untuk R3 relatif terhadap

perkalian dalam Euclid pada R3.

3. Diketahui v1=(1,-3), v2=(2,2) dan B={v1, v2}.

a. Tunjukkan bahwa B merupakan basis untuk R2 relatif terhadap perkalian

dalam Euclid.

b. Ubahlah basis B tersebut menjadi basis orthonormal dengan

I. KOORDINAT DAN PERUBAHAN BASIS

Telah dibicarakan pada bagian sebelumnya bahwa jika S = { v1, v2, ..., vn } basis

untuk ruang vektor V, maka v V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari

vektor-vektor di S sbb. :

v = k1v1 + k2v2 + ... + knvn

Skalar-skalar k1, k2, ..., kn adalah koordinat v relatif terhadap basis S dan vektor

(v)S = ( k1, k2, ..., kn ) ..................... (1)


disebut vektor koordinat v relatif terhadap basis S. (1) dapat juga dinyatakan sebagai

vektor kolom sbb :

[v]S =

Contoh :

Tentukan vektor koordinat dari A = relatif terhadap basis S = { A1, A2, A3, A4 }

untuk M2x2(R) dimana

A1 = , A2 = , A3 = , A4 =

Jawab :

Misalkan [A]S = , maka A = k1A1 + k2A2 + k3A3 + k4A4

Atau

= k1 + k2 + k3 + k4

Diperoleh SPL sbb. :

-k1 + k2 = 2

k1 + k2 = 0

k3 = -1

k4 = 3

Penyelesaian SPL tersebut adalah k1 = -1, k2 = 1, k3 = -1, k4 = 3. Jadi

[A]S =

Masalah Perubahan Basis

Jika kita mengubah basis untuk suatu ruang vektor dari basis lama B ke basis baru

B‘, bagaimana hubungan vektor koordinat lama [v]B dengan vektor koordinat baru [v]B‘ ?


Pandang B = { u1, u2 } dan B‘ = { u1‘, u2‘ } adalah dua basis untuk suatu ruang

vektor berdimensi dua. Padang B‘ sebagai basis dan u1, u2 sebagai vektor, maka

diperoleh :

[u1]B‘ = dan [u2]B‘ =

Untuk suatu a, b, c, d R. Artinya :

u1 = au1‘ + bu2‘

u2 = cu1‘ + du2‘ .............................. (1)

Sekarang misalkan v V sebarang dan [v]B = , maka

v = k1u1 + k2u2 ................................ (2)

Substitusikan (1) dan (2) diperoleh

v = k1 (au1‘ + bu2‘) + k2 (cu1‘ + du2‘)

= ( k1a + k2c ) u1‘ + ( k1b + k2 d ) u2‘

Sehingga vektor koordinat v relatif terhadap basis baru B‘ adalah :

[v]B‘ = =

= [v]B

Jadi vektor koordinat v relatif terhadap basis baru B‘ dapat diperoleh dengan mengalikan

dari kiri matriks P = = ( [u1]B‘ [u2]B‘ ) dengan vektor koordinat v relatif

terhadap basis lama B.

Secara Umum :

Jika B = { v1, v2, ..., vn } dan B‘ = { v1‘, v2‘, ..., vn‘ } adalah basis untuk suatu

ruang vektor berdimensi n, maka vektor koordinat v terhadap basis baru B‘ adalah :

[v]B‘ = P [v]B

dimana P adalah matriks yang kolom-kolomnya merupakan vektor koordinat dari vektor-

vektor basis lama B relatif terhadap basis baru B‘ atau

P = ( [v1]B‘ [v2]B‘ ... [vn]B‘ )

Matriks P ini disebut matriks transisi dari B ke B’


Contoh :

Diketahui basis B = { u1, u2 } dan B‘ = { v1, v2 } dimana

u1 = ( 1,0 ) , u2 = ( 0,1 ) , v1 = ( 1,1 ) , v2 = ( 2,1 )

1. Tentukan P yang merupakan matriks transisi dari basis B ke B‘ !

2. Gunakan hasil 1) untuk menghitung [w]B‘ jika w = ( -3,5 ) !

3. Hitung [w]B‘ secara langsung.

4. Tentukan Q yang merupakan matriks transisi dari basis B‘ ke B !

Jawab :

1. Vektor koordinat [u1]B‘ diperoleh dari penyelesaian SPL :

( 1,0 ) = k1 ( 1,1 ) + k2 ( 2,1 )

Vektor koordinat [u2]B‘ diperoleh dari penyelesaian SPL :

( 0,1 ) = r1 ( 1,1 ) + r2 ( 2,1 )

Terlihat bahwa kedua SPL yang terjadi mempunyai koefisien yang sama, sehingga dapat

diselesaikan bersama dengan melakukan OBE sbb.:

~ ~

Jadi

[u1]B‘ = dan [u2]B‘ =

Sehingga

P =

2. Dengan cara yang sama seperti di atas, diperoleh :

[w]B =

Sehingga

[w]B‘ = P [w]B = =

3. Menghitung [w]B‘ secara langsung diperoleh dari penyelesaian SPL :

( 3, -5 ) = k1 ( 1,1 ) + k2 ( 2,1 )

Dengan melakukan OBE pada matriks lengkapnya diperoleh k1 = 13 dan k2 = -8.

Jadi


[w]B‘ =

4. Matriks transisi dari B‘ ke B :

Q = ( [v1]B [v2]B )

Dengan cara yang sama dengan 1) diperoleh :

Q =

Dari contoh di atas, jika kita mengalikan P dan Q akan diperoleh :

PQ = = = I2 = QP

Sehingga

Q = P-1

Dari uraian di atas dikembangkan teorema sbb. :

Teorema :

Misalkan B dan B‘ basis untuk suatu ruang vektor V. Jika P matriks transisi dari B ke B‘,

maka :

1. P invertible

2. P-1

adalah matriks transisi dari B‘ ke B.

Bukti :

Misalkan Q adalah matriks transisi dari B‘ ke B, akan kita tunjukkan bahwa QP = I yang

berarti Q = P-1

.

Misalkan B = { u1, u2, ..., un } dan QP =

Kita tahu bahwa

[x]B‘ = P [x]B dan [x]B = Q [x]B‘ untuk semua x V ........ (1)

Misalkan x = u1


Karena x = 1u1 + 0u2 + ... + 0un maka [x]B =

Sehingga dari (1) diperoleh :

=

=

Dengan cara yang sama, jika kita mensubsitusikan untuk x = u2, x = u3, ..., x = un akan

diperoleh :

= , .......... , =

Jadi QP = In, sehingga Q = P-1

. Terbukti

Dari teorema ini diperoleh hubungan sebagai berikut :

Jika P matriks transisi dari basis B ke B‘, maka untuk setiap vektor v V berlaku

hubungan :

[v]B‘ = P [v]B dan [v]B = P-1

[v]B‘

LATIHAN SOAL :

1. Tentukan koordinat vektor w berikut relatif terhadap basis B={v1, v2} pada R2.

a. w=(3,-7) ; v1= (1,1) , v2= (0,2)

b. w=(2,-4) ; v1= (3,8) , v2= (1,1)

2. Diketahui basis B={u1, u2} dan B’={v1, v2} untuk R

2 dengan

u1=0

1, u2=

1

0 , v1=

1

2 , v2=

4

3

a. Tentukan matriks transisi dari B’ ke B .

b. Tentukan matriks transisi dari B ke B’.


TRANSFORMASI LINEAR

A.TRANSFORMASI LINEAR

Kita semua telah mengenal bahwa untuk membandingkan dua himpunan, kita

dapat menggunakan apa yang kita sebut dengan fungsi/pemetaan/transformasi.

Jika dua himpunan yang kita bandingkan bukan sekedar himpunan tetapi mempunyai

struktur khusus, seperti misalnya ruang vektor, maka sangat wajar jika kita menginginkan

bahwa alat pembanding tersebut mengawetkan operasi di kedua ruang vektor. Pemetaan

atau transformasi yang seperti ini kita namakan transformasi linear. Formalnya

transformasi linear didefinisikan sbb. :

Definisi :

Misalkan U dan V suatu ruang vektor atas bilangan real. T : U V pemetaan. T

dikatakan pemetaan linear atau transformasi linear jika untuk setiap u,v U dan α R

berlaku :

T ( u+v ) = T(u) + T(v)

T (αu ) = α T(u) .............................(1)

Khusus untuk U = V, pemetaan linear T : U U disebut operator linear.

Catatan :

Perlu kita garis bawahi bahwa operasi pada bagian kiri persamaan (1) merupakan

operasi di ruang vektor U, sedangkan operasi pada bagian kanan persamaan (1)

merupakan operasi di V. Jadi pemetaan linear adalah pemetaan yang mengawetkan

operasi di daerahdomain menjadi operasi di daerah kodomain.

Contoh 1 :

Periksalah apakah F : R2 R

3 merupakan pemetaan linear jika diketahui

F [(x,y)] = ( x, x+y, x-y )

Jawab :

Ambil sebarang u, v R2 dan β R, maka :


u = ( x1,y1 ) sehingga F(u) = ( x1, x1+y1, x1-y1 )

v = ( x2,y2 ) sehingga F(u) = ( x2, x2+y2, x2-y2 )

F (u+v) = F ( x1+x2, y1+y2 )

= ( x1+x2, x1+x2+y1+y2, x1+x2-y1-y2 )

= ( x1, x1+y1, x1-y1 ) + ( x2, x2+y2, x2-y2 )

= F(u) + F(v)

F (βu) = F (βx1 + βy1)

= ( βx1, βx1+βy1, βx1-βy1 )

= β ( x1, x1+y1, x1-y1 )

= β F(u)

Karena syarat-syarat pemetaan linear dipenuhi, maka F pemetaan linear.

Contoh 2 :

Tnjukkan bahwa T : M2x2(R) R yang didefinisikan sebagai

T =

bukan pemetaan linear !

Jawab :

Akan ditunjukkan bahwa ada A, B M2x2(R) sedemikian hingga T (A+B) ≠ T(A) + T(B)

Misalkan diambil :

A = dan B =

Maka

T(A) = 5 dan T(B) = 20

Selanjutnya

T (A+B) = T = 45 ≠ T(A) + T(B)

Jadi T bukan pemetaan linear.

Jika T : U V suatu pemetaan linear, maka untuk sebarang vektor u1, u2 U dan

sebarang skalar c1, c2 R, berlaku :

T ( c1u1 + c2u2 ) = T (c1u1 ) + T (c2u2 ) = c1 T(u1) + c2 T(u2)


Secara umum jika u1, u2, ..., un adalah vektor-vektor di U dan c1, c2, ..., cn skalar-skalar,

maka berlaku :

T ( c1u1 + c2u2 + ... + cnun ) = c1 T(u1) + c2 T(u2) + ... + cn T(un)

Beberapa sifat lain yang dimiliki oleh suatu pemetaan linear diperlihatkan dalam

teorema berikut ini :

Teorema :

Jika T : V W suatu pemetaan linear, maka :

1. T(0) = 0

2. T(-v) = - T(v) untuk semua v V

3. T(u-v) = T(u) – T(v) untuk semua v V

Bukti :

Ambil sebarang u,v V, maka :

1. T(0) = T (0.v) = 0. T(v) = 0

2. T(-v) = T (-1.v) = -1 T(v) = -T(v)

3. T(u-v) = T ( u + (-v) ) = T(u) + T(-v) = T(u) + (-T(v)) = T(u) – T(v)

Contoh berikut menunjukkan bagaimana mencari aturan pengaitan dalam pemetaan

linear. Jika diketahui semua bayangan vektor-vektor basis untuk ruang vektor domainnya.

Contoh 3 :

Diketahui S = { v1, v2, v3 } adalah basis untuk R3 dengan v1 = (1,1,1) , v2 = (1,1,0 ) ,

v3 = (1,0,0). T : R3 R

2 adalah pemetaan linear yang didefinisikan sebagai T(v1) = (1,0)

, T(v2) = (2,-1), T(v3) = (4,3). Carilah T (x,y,z) dan gunakan hasilnya untuk menghitung

T (2,-3,5) !

Jawab :

Ambil sebarang (x,y,z) R3. Karena S basis untuk R

3, maka (x,y,z) R

3 dapat

dinyatakan sebagai kombinasi linear dari S sehingga diperoleh :

(x,y,z) = c1(1,1,1) + c2(1,1,0) + c3(1,0,0)

Kita dapatkan c1 = z, c2 = y – z, c3 = x – y, sehingga


(x,y,z) = z(1,1,1) + (y-z)(1,1,0) + (x-y)(1,0,0)

= zv1 + (y-z)v2 + (x-y)v3

T(x,y,z) = zT(v1) + (y-z)T(v2) + (x-y)T(v3)

= z(1,0) + (y-z)(2,-1) + (x-y)(4,3)

= ( 4x-2y-z, 3x-4y+z )

T(2,-3,5) = ( 9, 23 )

Contoh 4 :

Carilah pemetaan linear T : P2 P2 untuk mana T(1) = 1+x, T(x) = 3-x2,

T(x2) = 4+2x-3x

2. Hitunglah T( 2-2x+3x

2)!

Jawab:

Ambil sebarang p P2 dengan p = a0 + a1x + a2x2

Karena { 1, x, x2 } merupakan basis standart dari P2, maka :

T(p) = T (a0 + a1x + a2x2 )

= a0 T(1) + a1 T(x) + a2 T(x2)

= a0 (1+x) + a1 (3-x2) + a2 (4+2x-3x

2)

= ( a0+3a1+4a2 ) + ( a0+2a2 )x + ( -a1-3a2 )x2

T(2-2x+3x2) = 8 + 8x – 7x

2

Karakteristik dari pemetaan linear dari Rm ke R

n ditunjukkan dalam teorema

berikut :

Teorema :

Misalkan T : Rm R

n. T pemetaan linear jika dan hanya jika ada Anxm sedemikian

sehingga T(u) = A(u) untuk setiap u Rm

.

Bukti :

Diketahui T pemetaan linear

Ambil sebarang x Rm, dan basis standart untuk R

m yaitu { e1, e2, ..., em }, maka

x = = x1e1 + x2e2 + ... + xmem


T(x) = T (x1e1 + x2e2 + ... + xmem )

Karena T pemetaan linear maka diperoleh :

T(x) = x1 T(e1) + x2 T(e2) + ... + xm T(em)

= ( T(e1) T(e2) ... T(em) )

Maka ditemukan A = ( T(e1) T(e2) ... T(em) ). Karena T(ei) Rn, maka A berordo

nxm, Jadi ada Anxm sehingga T(x) = A(x) untuk setiap x Rm.

Diketahui ada matriks nxm ( sebut A) sehingga T(u) = A(u) untuk setiap

u Rm. Ambil sebarang x,y R

m dan α R, maka :

T( x+y ) = A ( x+y )

= Ax + Ay = T(x) + T(y)

T(αx) = A(αx)

= α A(x) = α T(x)

Jadi T pemetaan linear.

Catatan :

Matriks A yang berkaitan dengan pemetaan linear T seperti yang disebutkan dalam

teorema di atas disebut matriks transformasi untuk pemetaan linear T.

Contoh 5 :

Misalkan T : R4 R

3 pementaan linear yang didefinisikan oleh T(p,q,r,s) =

( 7p+2q-r+s, q+r, -p ). Carilah matriks transformasinya dan gunakan hasilnya untuk

menemukan T( 1,3,2,-1 ) !

Jawab :

Misalkan x = R4, maka diperoleh :

T(x) = =


Jadi matiks transformasinya adalah : A = dan

T = =

Jadi T(1,3,2,-1) = (10,5,-1)

B. KERNEL DAN JANGKAUAN

Definisi :

Diketahui V, W ruang vektor.

Misalkan T : V W suatu pemetaan linear. Kernel T atau Inti (T) ditulis ker(T)

didefinisikan sebagai :

ker(T) = { v V ⎪ T(v) = 0 }

Sedangkan Range T atau Peta T ditulis R(T) didefinisikan sebagai :

R(T) = { w W ⎪ w = T(v) untuk suatu v V }

Jika TA : Rm R

n adalah pemetaan linear oleh matriks transformasi Anxm, maka

ker(TA) adalah ruang pemecahan dari Ax = 0.

Teorema :

Jika T : V W suatu pemetaan linear, maka kernel T adalah sub ruang dari V dan range

T adalah sub ruang dari W.

Bukti :

Telah dibuktikan bahwa T(0) = 0, maka 0 ker(T) sehingga ker(T) tidak kosong.

Selanjutnya ambil sebarang v1, v2 ker(T), maka T(v1) = 0 dan T(v2) = 0, sehingga

T( v1+v2 ) = T(v1) + T(v2) = 0 + 0 = 0

Jadi v1+v2 ker(T)


T ( αv1 ) = α T(v1) = α .0 = 0

Jadi αv1 ker(T). Jadi ker(T) sub ruang dari V. Terbukti.

Telah dibuktikan bahwa T(0) = 0, maka 0 R(T) sehingga R(T) tidak kosong.

Selanjutnya ambil sebarang x, y R(T) dan β R, maka x = T(a) dan y = T(b) untuk

suatu a, b V. Maka :

x + y = T(a) + T(b) = T ( a+b )

Karena a, b V maka a+b V, sehingga T ( a+b ) = x + y R(T).

Selanjutnya

βx = β T(a) = T ( βa )

Karena βa V, maka T ( βa ) = βx R(T)

Jadi R(T) sub ruang dari W. Terbukti.

Definisi :

Misal V, W ruang vektor

Jika T : V W suatu pemetaan linear, maka dimensi dari kernel T disebut nulitas(T)

dan dimensi dari Range T disebut rank(T)

Hubungan antara nulitas dan rank suatu pemetaan linear ditunjukkan dalam

teorema berikut ini :

Teorema :

Jika T : V W suatu pemetaan linear dari ruang vektor V berdimensi n ke suatu ruang

vektor W, maka

nulitas(T) + rank(T) = n

Bukti :

Misalkan nulitas(T) = r dan { v1, v2, ..., vr } basiss untuk ker(T). Maka { v1, v2, ..., vr }

bebas linear. Menurut teorema perluasan basis, maka ada n-r vektor yaitu vr+1, vr+2, ..., vn

sedemikian hingga { v1, v2, ..., vr, vr+1, vr+2, ..., vn } merupakan basis untuk V.

Akan dibuktikan bahwa n-r vektor dalam himpunan S = { T(vr+1), T(vr+2), ..., T(vn) }

merupakan basis untuk R(T). Jelas bahwa S R(T)


Akan ditunjukkan bahwa S membangun R(T). Ambil sebarang b R(T), maka

ada v V b = T(v). Karena { v1, v2, ..., vr, vr+1, vr+2, ..., vn } basis untk V, maka v dapat

dinyatakan sebagai :

v = c1v1 + c2v2 + ... + crvr + cr+1vr+1 + ... + cnvn

Karena v1, v2, ..., vr ker(T) maka T(v1) = 0, T(v2) = 0, ..., T(vr) = 0.

Sehingga kita peroleh :

b = T(v) = cr+1 T(vr+1) + cr+2 T(vr+2) + ... + cn T(vn)

Jadi S membangun R(T)

Selanjutnya akan ditunjukkan S bebas linear.

Pandang persamaan berikut :

cr+1 T(vr+1) + cr+2 T(vr+2) + ... + cn T(vn) = 0 ................... (1)

Karena T pemetaan linear maka (1) dapat ditulis :

T (cr+1 vr+1 + cr+2 vr+2 + ... + cn vn ) = 0

Hal ini menunjukkan bahwa cr+1 vr+1 + cr+2 vr+2 + ... + cn vn ker(T).

Karena { v1, v2, ..., vr } basis untuk ker(T), maka cr+1 vr+1 + cr+2 vr+2 + ... + cn vn dapat

dinyatakan sebagai kombinasi linear dari v1, v2, ..., vr sbb. :

cr+1 vr+1 + cr+2 vr+2 + ... + cn vn = c1v1 + c2v2 + ... + crvr

untuk suatu c1, c2, ..., cr R. Maka diperoleh :

c1v1 + c2v2 + ... + crvr - cr+1 vr+1 - cr+2 vr+2 - ... - cn vn = 0

Karena { v1, v2, ..., vr, vr+1, vr+2, ..., vn } bebas kinear, maka c1 = c2 = ... = cn = 0.

Secara khusus ditemukan cr+1 = cr+2 = ... = cn = 0, sehingga S bebas linear.

Jadi S basis untuk R(T) dengan rank(T) = n-r. Sehingga ditemukan :

Nulitas(T) + Rank(T) = r + (n-r) = n.

Terbukti.

Contoh :

Diketahui T : R3 R

4 adalah pemetaan linear dengan matriks transformasi

A = .

Tentukan :


1. Ker(T), basis untuk ker(T) dan nulitas(T) !

2. R(T), basis untuk R(T) dan rank(T) !

Jawab :

1. Misalkan x ker(T) dengan x =

Ax = 0

= 0

Dengan OBE diperoleh penyelesaian sbb. : x1 = 0, x2 = t, x3 = 0 dengan t R.

Maka :

Ker(T) =

Karena ( 0,1,0 ) membangun dan bebas linear maka basis untuk ker(T) adalah

{ ( 0,1,0 ) }. Sehingga nulitas(T) = 1

2. Dengan melakukan perkalian langsung antara matriks A dengan vektor x

diperoleh :

R(T) =

Untuk mencari basis untuk R(T) sama dengan mencari basis untk ruang kolom

dari matriks A. Jadi dengan OBE diperoleh :

~

Maka basis untuk R(T) adalah ( 1,1,2,0 ), ( -1,1,2,1 )

Sehingga rank(T) = 2


LATIHAN SOAL :

1. Periksa apakah fungsi yang didefinisikan berikut merupakan suatu transformasi

linier.

a. T: R3

R2 dengan T(x1, x2, x3) = (x1-x2+x3, x2-4x3).

b. T: M2x2(R) R dengan Tdc

ba= 3a - 4b + c - d.

c. T: P2 P2 dengan T(a0 + a1x + a2x2) = a0 + a1(x+1) + a2(x+1)

2.

2. Diketahui transformasi linier T: P2 P3 yang didefinisikan oleh T(p(x)) = xp(x).

Manakah diantara vektor berikut yang termuat dalam Ker(T).

a. x2

b. 0

c. 1 + x

3. Diketahui transformasi linier T: P2 P3 yang didefinisikan oleh T(p(x)) = xp(x).

Manakah diantara vektor berikut yang termuat dalam R(T).

a. x + x2.

b. 3 – x2.

c. 1 + x.


NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

A. NILAI DAN VEKTOR EIGEN/KARAKTERISTIK

Definisi :

Misalkan A matriks nxn dan x Rn, x ≠ 0. Vektor x disebut vektor eigen / vektor

karakteristik dari A jika

Ax = λx

Untuk suatu λ R. Bilangan λ yang memenuhi persamaan di atas disebut nilai eigen /

nilai karakteristik. Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan λ.

Contoh :

Misalkan A = . Maka vektor x = merupakan vektor eigen dari A yang

bersesuaian dengan λ = 3, karena = 3

Untuk mencari nilai dan vektor eigen dari suatu matriks A berordo nxn adalah

sebagai berikut :

Misalkan A matriks nxn dan v Rn, v ≠ 0 merupakan vektor eigen dari matriks

A, maka ada λ R ∋ Av = λv.

Av = λIv

( λI – A )v = 0

Tampak bahwa v merupakan penyelesaian dari SPL homogen ( λI – A )x = 0.

Karena v ≠ 0, maka SPL homogen ( λI – A )v = 0 mempunyai penyelesaian non trivial.

Ini hanya mungkin jika det ( λI – A ) = 0, artinya λ adalah penyelesaian persamaan dari

det λI – A) = 0. Det ( λI – A ) = 0 ini disebut persamaan karakteristik dari matriks A

Dari uraian di atas, kita memperoleh lemma sbb. :


Lemma :

Misalkan A matriks nxn. Λ R adalah nilai eigen dari matriks A jika dan hanya jika λ

adalah akar persamaan karakteristik det (λI-A) = 0. Sedangkan vektor eigen dari matriks

A yang bersesuaian dengan λ adalah penyelesaian dari SPL homogen ( λI – A ) x = 0

Himpunan penyelesaian SPL homogen ( λI – A ) x = 0 membentuk sub ruang dari

Rn yang disebut ruang eigen atau ruang karakteristik utk nilai eigen λ ( ditulisεA(λ) ).

Contoh 1 :

Diketahui A = . Carilah nilai dan vektor eigen dari matriks A!

Jawab :

Persamaan karakteristik dari matriks A adalah :

det (λI-A) = 0

= 0

( λ-1 ) ( λ-2 ) ( λ-3 ) = 0

Jadi diperoleh nilai-nilai eigennya sbb. : λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3

Untuk mencari vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ1 = 1, kita

pandang SPL homogen sbb. :

( λ1I-A )x = 0 = 0

Dengan menggunakan OBE diperoleh : x1 = 0, x2 = s, x3 = 0

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan λ1 = 1 adalah :

x = = s dengan s sebarang bilangan real.

Analog untuk vektor eigen yang bersesuaian dengan λ2 = 2, diperoleh :

x = = t dengan t sebarang bilangan real.

Sedangkan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ3 = 3, diperoleh :


x = = r dengan r sebarang bilangan real.

Contoh 2 :

Diketahui A = . Carilah nilai dan vektor eigen dari A !

Jawab :

Persamaan karakteristik dari matriks A adalah :

det (λI-A) = 0

= 0

( λ-1 ) ( λ3 + 2λ

2 – λ – 2 ) = 0

Dengan menggunakan teoremasisa, persamaan karakteristik tersebut dapat difaktorkan

menjadi ( λ-1 )2 ( λ+1 ) ( λ+2 ) = 0.

Jadi nilai-nilai karakteristik dari matriks A adalah : λ1 = 1, λ2 = 1, λ3 = -1, λ4 = -2

Analog contoh 1 diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 1 adalah :

x = = t + s dengan s,t sebarang bilangan real.

Vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = -1 adalah :

x = = r dengan r sebarang bilangan real.

Vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = -2 adalah :

x = = p dengan p sebarang bilangan real.


Contoh 3 :

Diketahui A =

Dengan cara yang sama pada contoh 1 diperoleh nilai-nilai eigen sbb. : λ1 = 2,

λ2,3 = . Karena λ2,3 imajiner, maka nilai eigen dari matriks A hanyalah λ = 2.

Sedangkan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 2 adalah :

x = = t dengan t sebarang bilangan real.

LATIHAN SOAL :

Tentukan polinomial, nilai, dan vektor karakteristik yang bersesuaian dengan nilai

karakteristik matriks berikut

1. A=

510

051

005

2. B=

201

810

265

3. C=

017

011

105

B. DIAGONALISASI

Ilustrasi :

Jika kita mempunyai matriks diagonal D = dan kita diminta mencari D25

,

maka dengan mudah kita akan menemukannya yaitu : D25

= .

Secara umum jika D matriks diagonal, maka :

Dm =

Sekarang jika kita mempunyai matriks A berordo nxn yang bukan matriks diagonal, dan

kita diminta mencari Am dengan m cukup besar, bagaimana kita menemukannya ?


Jika A dapat dinyatakan sebagai A = PDP-1

dengan P adalah matriks non singular berordo

nxn dan D matriks diagonal berordo nxn, maka :

A2 = ( PDP

-1 ) ( PDP

-1 ) = PD

2P

-1

Dengan cara yang sama diperoleh :

Am = PD

mP

-1

Dari ilustrasi di atas, muncul suatu permasalahan diagonalisasi matriks yaitu :

Jika dipunyai A matriks nxn, apakah matriks non singular P berordo nxn dan matriks

diagonal D berordo nxn sedemikian sehingga A = PDP-1

? Jika ada maka dikatakan A

dapat didiagonalkan dan matriks non singular P yang memenuhi A = PDP-1

disebut

matriks yang mendiagonalkan A.

Definisi :

Sebuah matriks A berordo nxn dikatakan dapat didiagonalkan jika ada sebuah matriks

non singular p berordo nxn sehingga P-1

AP diagonal. Matriks P dikatakan

mendiagonalkan A

Teorema :

Jika A adalah sebuah matriks nxn, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen satu

sama lain :

a. A dapat didiagonalkan

b. A mempunyai n vektor eigen yang bebas linear.

Bukti :

a) ⇒ b)

Diketahui A dapat didiagonalkan, maka ada matriks non singular P berordo nxn.

Misalkan P = =

Sehingga P-1

AP diagonal, katakanlah P-1

AP = D dimana :


D =

Maka AP = PD

A =

( Ap1 Ap2 ... Apn ) = ( λ1p1 λ2p2 ... λnpn )

Jadi Ap1 = λ1p1, Ap2 = λ2p2, ... , Apn = λnpn

Karena P non singular maka vektor-vektor p1, p2, ..., pn merupakan vektor-vektor tak nol.

Maka menurut definisi sebelumnya λ1, λ2, ..., λn merupakan nilai- nilai eigen dari

matriks A dan p1, p2, ..., pn merupakan vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan

berturut-turut λ1, λ2, ..., λn .

Karena P matriks non singular maka rank(P) = n sehingga menurut teorema sebelumnya

{ p1, p2, ..., pn } bebas linear. Terbukti

b) ⇒ a)

Diketahui A mempunyai n vektor eigen yang bebas linear yaitu p1, p2, ..., pn yang

bersesuaian dengan nilai-nilai eigen berturut-turut λ1, λ2, ..., λn .

Misalkan P = matriks nxn dengan vektor-vektor kolomnya pi, maka :

AP = ( Ap1 Ap2 ... Apn )

Tetapi karena p1, p2, ..., pn adalah vektor-vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan

nilai-nilai eigen berturut-turut λ1, λ2, ..., λn , maka kita juga mempunyai :

Ap1 = λ1p1, Ap2 = λ2p2, ... , Apn = λnpn

Sehingga kita peroleh :

AP = ( Ap1 Ap2 ... Apn )

= ( λ1p1 λ2p2 ... λnpn )

= = PD


Dimana D adalah matriks diagonal yang mempunyai nilai-nilai eigen λ1, λ2, ..., λn

sebagai elemen-elemen pada diagonal utamanya. Karena vektor-vektor kolom dari P

bebas linear maka P non singular. Sehingga ditemukan P-1

AP = D. Jadi A dapat

didiagonalkan. Terbukti.

Dari bukti di atas, kita mendapatkan prosedur bagaimana langah-langkah

mendiagonalkansebuah matriks A yang berordo nxn sbb. :

1. Carilah n vektor eigen dari matriks A yang bebas linear yaitu p1, p2, ..., pn

2. Bentuklah matriks P yang vektor-vektr kolomnya adalah p1, p2, ..., pn

3. Maka matriks P-1

AP akan didiagonalkan ( P-1

AP = D ) dengan λ1, λ2, ..., λn

merupakan elemen-elemen diagonalnya secara berurutan, dimana λ1, λ2, ..., λn

adalah nilai-nilai eigen yang bersesuaian dengan pi, i = 1,2,..., n.

Teorema :

Misalkan A matriks nxn. Jika v1, v2, ..., vk adalah vektor-vektor eigen dari A yang

bersesuaian dengan nilai-nilai eigen λ1, λ2, ..., λk yang berbeda, maka { v1, v2, ..., vk }

adalah himpunan yang bebas linear

Contoh 4 :

Diketahui A = . Selidikilah apakah A dapat didiagonalkan ? Jika dapat,

carilah matriks P yang mendiagonalkan A.

Jawab :

Dalam contoh 1 telah diperoleh nilai dan vektor eigen dari matriks A.

Jika vektor-vektor eigen itu dikumpulkan diperoleh : . Menurut

teorema di atas, himpunan tersebut bebas linear. Karena ada 3 vektor yang bebas linear di

R3 maka menurut teorma sebelumnya A dapat didiagonalkan.

Matriks yang mendiagonalkan A adalah P = .


Dengan menggunakan OBE diperoleh P-1

=

Dan matriks diagonalnya adalah D =

Sehingga A = PDP-1

=

A = PDP-1

disebut dekomposisi diagonal matriks A

Teorema :

Misalkan A matriks nxn. λ1, λ2, ..., λk adalah nilai-nilai karakteristik yang berbeda. Jika

{ vi1, vi 2, ..., vin1 } adalah himpunan vektor-vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan

λin yang bebas linear, maka { v11, v12, ..., v1n1, v21, v22, ..., v2n2, ..., vk1, vk2, ..., vknk }

bebas linear.

Contoh 5 :

Diketahui A = Selidiki apakah A dapat didiagonalkan? Jika dapat,

carilah matriks yang mendiagonalkan A dan dekomposisi diagonal matriks A !

Jawab :


Jika vektor-vektor eigen itu dikumpulkan diperoleh : .

Menurut teorema di atas, himpunan tersebut bebas linear. Karena ada 4 vektor yang

bebas linear di R4 maka menurut teorma sebelumnya A dapat didiagonalkan.

Matriks yang mendiagonalkan A adalah P =


Dengan menggunakan OBE ditemukan P-1

=

Jadi dekomposisi diagonal dari matriks A adalah :

A = PDP-1

=

Contoh 6 :

Diketahui A = . Selidiki apakah A dapat didiagonalkan? Jika dapat,

carilah matriks yang mendiagonalkan A dan dekomposisi diagonal matriks A !

Jawab :


Jika vektor-vektor eigen itu dikumpulkan diperoleh yang bebas linear

Karena hanya ditemukan 1 vektor eigen yang bebas linear di R3, maka menurut terorema

A tidak dapat didiagonalkan.

LATIHAN SOAL :

Tentukan apakah matriks berikut dapat didiagonalkan? Jika ya, tentukan metriks

pendiagonalnya.

1. A=

510

051

005

2. B=

201

810

265

3. C=

017

011

105

bahan ajar alin 2 rev 2014 pdf

Education