BAB 15

FISIKA FLUIDA dekat dengan batas, perlunya mematuhi kondisi nonslip akan membuat gradien kecepatan lokal sangat besar, kompensasi untuk kekerdilan viskositas. Wilayah ini dekat dengan permukaan nonslip, di mana efek viskos penting bahkan untuk bilangan Reynolds yang tinggi cairan, ia disebut lapisan batas. Konsep reproduksi sehat dari cairan sebagai dasarnya yang ideal di mana-mana kecuali dalam lapisan sangat tipis dekat dengan berlari permukaan telah terbukti sangat berbuah. Seperti yang akan kita tunjukkan, itu memungkinkan masalah asli yang dibagi menjadi dua masalah kecil: solusi dari persamaan aliran klasik potensial di luar lapisan batas, dan disederhanakan persamaan lapisan batas dalam. Dengan pencocokan tepat solusi di tepi lapisan, solusi lengkap adalah mungkin. Perhatikan bahwa solusi bahkan mungkin tepat dalam kasus ini; hanya persamaan yang perkiraan. 15.2 Penggunaan Rasio Berdimensi untuk Membenarkan Penyederhanaan Navier-Stokes Pertimbangkan dua kapal sejenis skala panjang yang berbeda, model dan prototipe, bergerak melalui media yang berbeda pada kecepatan yang berbeda. Mengacu pada Gambar 15.1 (a) dan 15,1 (b), mari kita lihat dasar aturan skala digunakan dalam Bab 4.

Gambar 15.1 (a) Model skala panjang dan Ly, komponen kecepatan skala U, V, dan tekanan skala p0, dll (B) Prototipe panjang skala L * x dll Biarkan model, yang ditunjukkan pada Gambar 15.1 (a), memiliki skala panjang karakteristik, Lx, Ly, dan skala kecepatan, U> V, sedangkan media untuk model ini ditandai dengan skala tekanan, P, skala kepadatan po, dan LAPIS BATAS & Turbulensi 349 skala viskositas kinematik vo- pula prototipe ditandai dengan panjang yang sesuai dan skala lainnya (ditunjukkan pada Gambar 15.1 (b) sebagai huruf bertanda bintang). Sekarang mari kita perhatikan penerapan Navier- Stokes dengan situasi kapal baik, membatasi perhatian kita pada kasus simetri dua dimensi. Menuliskan komponen dari persamaan Navier-Stokes mampat:

Dengan memanfaatkan dimensi karakteristik yang dipilih kita dapat menulis ulang persamaan ini dalam hal jumlah nondimensional (ditunjukkan dengan bilangan prima):

Untuk variabel waktu non-dimensi akan lebih mudah untuk memilih, V = tU / LX, agar tidak harus memperkenalkan variabel waktu yang khas. Kemudian, mengganti u = Uu \ = x'Lx, dll, ke dalam persamaan (15.1) dan menyederhanakan hasilnya, kita memperoleh setelah beberapa manipulasi,

Perhatikan bahwa tiga pertama jumlah dalam kurung di sisi kanan persamaan (15.2) adalah semua konstanta nondimensional, dua di antaranya telah kami sediakan. Ini dapat diidentifikasi masing-masing sebagai: a.

ukuran kepentingan relatif kekuatan karena tekanan lokal relatif terhadap kekuatan yang berhubungan dengan tekanan dinamis fluida,

ukuran kepentingan relatif dari gaya gravitasi untuk gaya inersia,

ukuran kepentingan relatif dari gaya viskos untuk gaya inersia. Jumlah nondimensional di sisi kiri tidak memiliki nama khusus, tapi jelas adalah ukuran dari perbedaan dalam skala antara panjang dan kecepatan komponen dalam dan y arah. Sebuah kelompok panjang skala analog muncul di sisi kanan dalam jangka Laplacian. Jelas, jika model dan prototipe memiliki sama Euler, Froude, dan Reynolds angka dan dinamis mirip sehubungan dengan nomor yang melibatkan Lx, Ly, dll, maka persamaan model dan prototipe yang identik dan kita dapat berharap prediksi persamaan nondimensional untuk sama-sama berlaku baik. Artinya, perilaku prototipe dapat tepat diprediksi dari perilaku model, yang merupakan dasar dari semua model. Kedua, jika ada nomor nondimensional dalam persamaan (15.2) sangat kecil kami memiliki dasar untuk menjatuhkan istilah kekuatan memodifikasi dari persamaan, asalkan tidak ada daerah di mana derivatif menjadi tidak dapat dikelola besar. Jadi, misalnya, ketika jumlah Froude sangat besar, istilah gravitasi menjadi diabaikan, dan kita dapat mengasumsikan aliran untuk bersikap seolah-olah gaya gravitasi tidak hadir. Demikian juga ketika jumlah Reynolds sangat besar, kita dibenarkan dalam mengabaikan efek karena viskositas, kecuali dekat dengan batas yang solid di mana D2W '/ d / 2 1. Ini pada dasarnya adalah Prandtls penalaran dalam mengembangkan lapisan sssconcept batas.

15 * 3 Boundary Parameter Lapisan Tebal Dua-dimensi pelat datar lapisan batas ideal ditunjukkan pada Gambar 15.2 dibentuk sebagai aliran seragam aliran, /, bergerak dari kiri ke kanan atas piring dengan terdepan tajam. Batas luar lapisan dimulai dengan ketebalan nol di tepi terkemuka dan melebar ke luar perlahan-lahan sebagai cairan bergerak hilir. Kecepatan paralel cairan batas (x arah sini) pergi dari nilai aliran bebas, U, di tepi luar lapisan batas ke nol di piring. Semua efek gesekan diasumsikan terkonsentrasi di dalam lapisan batas sementara di luar, kondisi aliran potensial diasumsikan terus. Tepi luar lapisan batas ditentukan oleh kondisi

LAPIS BATAS & Turbulensi

GAMBAR 15.2 Batas lapisan atas piring datar di nol sudut insiden. Karena pendekatan dengan kondisi u = U adalah asimtotik, ketebalan yang tepat ditugaskan ke lapisan di setiap agak sewenang-wenang. Hal ini telah menjadi adat untuk menentukan ketebalan lapisan batas, , sebagai jarak keluar dari piring di mana u mencapai 99% dari nilai aliran bebas. Kami akan menunjukkan kemudian bahwa 6 (JC) lipatan sebanding dengan akar kuadrat dari jarak hilir dari leading edge untuk lapisan batas laminar. Untuk lapisan batas khas berperilaku baik kemiringan profil kecepatan paling besar di dinding, sehingga geser kental menurun monoton dari maksimum pada y = 0 sampai nol pada y = . Sejalan d2u / DY2 idealnya negatif di mana-mana di dalam zona batas, kecuali mungkin di tepi dalam dan luar lapisan mana mungkin nol. Nanti kita akan membahas profil lapisan batas yang dimulai dengan kelengkungan positif dan kemudian mengembangkan titik belok di atas piring. Ada cara lain untuk mendefinisikan ketebalan lapisan batas yang berguna untuk aplikasi tertentu. Paling penting dari ini adalah ketebalan batas perpindahan lapisan, yang biasanya diwakili oleh simbol *, dan ketebalan lapisan batas momentum, diwakili oleh simbol . Ide ketebalan lapisan batas perpindahan diilustrasikan pada Gambar 15.3:

FISIKA FLUIDA

GAMBAR 15.3 Konsep batas perpindahan ketebalan lapisan. Karena cairan di dalam zona batas diperlambat relatif terhadap aliran bebas, aliran volume di wilayah ini kurang dari itu akan menjadi tanpa gesekan, cairan luar kompensasi dengan menggerakkan agak cepat. Efeknya adalah seolah-olah merampingkan di dinding telah bergeser sedikit ke luar dengan jumlah yang 6 * sehingga / * sama dengan debit yang hilang dari sungai karena drop-off dalam profil. Itu adalah U*= (15.4)

di mana diasumsikan bahwa u adalah fungsi yang diketahui dari y. Dengan demikian perpindahan ketebalan lapisan batas didefinisikan oleh: *= (15.5)Hubungan yang tepat antara A dan A * tergantung pada bentuk profil, tetapi secara umum sekitar dua atau tiga kali lebih besar *. Batas momentum ketebalan lapisan, , yang merupakan ukuran tarik kental, didefinisikan analog ke *. Gesekan di zona batas menghilangkan momentum dari aliran sehingga menghasilkan kekuatan di perbatasan dalam rangka untuk memenuhi hukum konservasi.

LAPIS BATAS & Turbulensi

GAMBAR 15.4 Kontrol volume untuk perhitungan momentum lapisan batas ketebalan. Jumlah kerugian momentum per unit lebar dapat dihitung dengan memilih volume control seperti yang ditunjukkan pada Gambar 15.4. Ini didefinisikan oleh dua bidang paralel demarking porsi piring antara terdepan dan titik, x, hilir, dan oleh dua arus yang membentuk streamtube berisi debit dalam lapisan lewat bawah (). Sebuah merampingkan zero-aliran di piring membentuk bagian bawah volume, dan dibatasi di atas oleh membatasi merampingkan melewati titik (, ()). Ketinggian, d, dari sisi kiri volume control ditemukan dari persamaan kontinuitas: = (15.6)dimana b adalah lebar sungai. Perhatikan bahwa kedua d dan adalah fungsi dari x. Karena tarik gesekan sepenuhnya karena cairan dicukur dalam volume control, kita dapat menggunakan persamaan 1 3.8) yang terintegrasi di atas permukaan kontrol untuk menentukan tarik lebih panjang plat x . Dengan demikian negatif dari gaya drag gesekan sepanjang piring dapat disamakan dengan integral dari fluks momentum di atas permukaan kontrol: -=(15.7)Terpisahkan ini hilang selama membatasi aliran permukaan atas dan bawah, hanya menyisakan kontribusi dari ujung volume control:

Menggantikan Ud dari persamaan (15.6), gaya drag per satuan lebar, FJ = Fd / b, dapat ditulis dalam bentuk hilangnya momentum terpisahkan atas volume control: = (15.8)Dengan analogi dengan derivasi ketebalan perpindahan, hilangnya momentum dapat dianggap sebagai setara dengan menghapus strata persegi panjang aliran sungai bebas ketebalan , sehingga laju kehilangan momentum, plfiQ, hanya sama dengan cacat momentum terpadu diberikan dalam persamaan (15.8): (15.9)Membaginya dengan pU2 kita memperoleh persamaan menentukan bagi :

(15.10)Untuk batas profil lapisan khas, perhitungan menunjukkan bahwa

Akhirnya, kembali ke persamaan (15.8) gaya drag bisa berhubungan dengan tegangan geser di piring: (15.11)di mana OI adalah nilai tegangan geser pada dinding. Persamaan ini pertama kali diturunkan oleh Theodore von Karman pada tahun 1921. Dengan diferensiasi lebih lanjut terhadap x, ia tiba di apa yang sekarang disebut hubungan momentum-integral untuk flat-plate aliran batas-layer (nol gradien tekanan): (15.12)Formula ini berlaku baik untuk laminar atau aliran turbulen.

Evaluasi * dan dalam hal untuk profil lereng sederhana konstan ditunjukkan pada Gambar 15.5. Profil kemiringan konstanta dimodelkan dengan rumus

Mengganti ke persamaan (15.5) dan (15.10), kita memperoleh: ==dy=

15.4 Persamaan Lapisan Batas The Navier-Stokes persamaan untuk dua dimensi aliran horisontal dapat ditulis: u= -(15.13)u + v

Dekat tepi terkemuka piring, dan tentu saja dari besarnya sama, tetapi untuk x besar, diasumsikan bahwa jauh lebih kecil dari JC, karena kita sedang mempertimbangkan lapisan batas hanya tipis - semacam itu yang diharapkan ketika viskositas sangat kecil. Setelah metode Prandtl, kami mencatat bahwa dalam lapisan batas dikembangkan, u adalah pesanan U, (d / dx adalah ketertiban l / x, dan d / dy order l / . Artinya, mengacu pada persamaan (15.2), = JC, Ly = , Ux = C /, di mana diukur dari leading edge dan jika adalah aliran bebas (atau potensi arus) kecepatan. Oleh karena itu du / dx adalah ketertiban U / x sementara, dari persamaan kontinuitas, dv / dy juga order U / x. Selain itu, jika dv / dy adalah ketertiban U / x dan d / dy order l / , berarti adalah ketertiban Ublx. Untuk yang kedua derivatif, order kuadrat, yaitu d 2u / dx2 adalah ketertiban U / x2, dll Kita sekarang dapat membuat urutan besarnya estimasi istilah dalam persamaan (15.13):

15.14a

) 15.14b

Dari persamaan (15.14a) jelas bahwa dua istilah inersia yang ofthe urutan yang sama, sedangkan istilah kental pertama dapat dijatuhkan dibandingkan dengan kedua. Selain itu adalah inti dari teori lapisan batas bahwa istilah kental dalam persamaan (15.14a) diasumsikan dari urutan yang sama seperti istilah inersia. Oleh karena itu semua tapi berikutnya untuk musim lalu persamaan (15.14a) harus disimpan. Dalam persamaan (15.14b), bagaimanapun, baik dari segi inersia dan kental lebih kecil dari ketentuan yang sesuai dalam persamaan pertama dengan rasio / , sehingga mereka semua dapat diabaikan. Hal ini membuat persamaan Navier-Stokes yang dimodifikasi dalam bentuk:

u= - (15.15a)0=- (15.15b)

Hasil yang sama dapat diperoleh langsung dari persamaan (15.2) jika orang menyadari bahwa persamaan kontinuitas mensyaratkan bahwa rasio nondimensional di sisi kiri dari persamaan memiliki kesatuan nilai: (= 1sehingga perlu untuk kedua istilah konvektif untuk dipertahankan. Jadi untuk geometri aliran lapisan batas:

sedangkan rasio nondimensional membedakan dua istilah dalam gaya viskos menjadi:

menunjukkan bahwa untuk lapisan batas jangka v'd2u'/dx'2 dapat diabaikan relatif terhadap i fPu '/ dy'2. Dari persamaan (15.15b) jelas bahwa tekanan tetap tidak berubah melalui lapisan batas, hanya berbeda dalam arah . Oleh karena itu kita dapat memperoleh tekanan dari solusi aliran potensial di luar lapisan. Bahkan, di luar lapisan persamaan Bernoulli menyatakan agar:

Jika U diperbolehkan untuk menjadi fungsi dari x, kita menerima dengan diferensiasi: - (15.16)dan istilah gradien tekanan dalam persamaan (15.15a) dapat digantikan oleh U dU / dx, di mana U (x) ditentukan dari solusi aliran potensial: u+ v= U+vKonsekuensi menarik dari urutan besarnya kesetaraan istilah inersia dan kental dalam persamaan (15.14a) adalah sebagai berikut:

Jika kita menganggap bahwa is of order kemudian is of order (15.17) dan kita melihat bahwa ketebalan lapisan batas harus meningkatkan sebagai akar kuadrat dari JC, seperti yang disebutkan sebelumnya. Apalagi jika kita mengatur ulang istilah, jelas bahwa is of order sehingga ( is of order Istilah terakhir adalah bilangan Reynolds berdasarkan jarak dari leading edge. Oleh karena itu kita melihat bahwa mengambil xlb menjadi besar dibandingkan dengan 1 setara dengan persyaratan: Re = >> 1 (15.18)Akhirnya kita dapat menulis untuk Prandtl lapisan batas persamaan: + = 0(15.19) u + v = - + v (15.20)

0 = - (15.21) Ini tergantung pada kondisi batas: u(x,0) = 0 (15.22a)v(x,0) = 0 (15.22b)u(x,y) U(x) as (15.22c)

Hal ini diasumsikan bahwa solusi aliran potensial di luar lapisan batas harus ditangani terlebih dahulu, sehingga dapat digunakan untuk memecahkan persamaan lapisan batas. 15,5 Blasiuss Solusi untuk Flat Plate Secara historis keberhasilan besar pertama dalam menggunakan Prandtls persamaan lapisan batas dicapai pada tahun 1908 oleh salah seorang siswa bernama H. Blasius, yang memperoleh solusi dari persamaan untuk kasus pelat datar sebagai bagian disertasi doktornya. Kami akan mengikuti pendekatan Blasius di bagian ini untuk menunjukkan bagaimana ia mampu mengubah bentuk persamaan sehingga dapat mengurangi persamaan diferensial parsial dengan dua tergantung dan dua variabel independen untuk persamaan diferensial biasa dengan satu dependen dan satu variabel independen. Ini adalah kelas dari apa yang kemudian dikenal sebagai solusi kesamaan, karena profil lapisan batas ditemukan untuk menjadi independen dari x, atau serupa spasial ketika dinyatakan dalam parameter nondimensional yang tepat. Kita mulai dengan memanfaatkan fungsi sungai untuk mengurangi jumlah variabel dependen. Kita telah melihat bahwa fungsi aliran memenuhi persamaan kontinuitas untuk aliran mampat (persamaan (11.35)). Dari persamaan mendefinisikan u= - and v = dan derivatif yang sesuai, persamaan lapisan batas (persamaan (15.20)) menjadi: (15.23)Mengambil petunjuk dari awal order-of-besarnya argumen yang harusbervariasi, kita memilih variabelindependennondimensionalmenjadi: = (15.24a)Atau = y( (15.24b)di manaadalah bilangan Reynolds berdasarkan jarak dari leading edge.Jadi di stasiun tertentu, sepertipergi dari 0 hingga tak terbatas, kecepatan dalam lapisan batas pergi dari nol sampai nilai aliran bebas,U.Perhatikan bahwa, karena jumlah Reynolds bisa sangat besar untuk cairan viskositas kecil, nilai hampir tak terbataskonsisten dengan terbatasydanx.Hal ini membantu kami dalam mengembangkan konsep lapisan batas lebar terbatas di mana batas terluar tetap mendekati asimtotik.Sekarang fungsi sungai itu sendiri, yang memiliki dimensi panjang-squared per satuan waktu, juga dapat nondimensionalized.Faktor normalisasi yang cocok melibatkanv, xdanUadalah, Memberikan untuk variabel dependen nondimensional, = - (15,25)(Tanda negatif di sini adalah konsekuensi dari pilihan kami sebelumnya tanda-tanda untukdan).Memanfaatkan fakta bahwa dan (15,26)Oleh karena ituu= - (15.27)dimana stand for , danv= (15.28)Lebih Lanjut,LAPIS BATAS & Turbulensi

Dan

Mengganti ke dalam persamaan (15,23) dan istilah mengumpulkan: +

Kecuali diterdepan adalah non-nol dan karena itu kita dapat membagi melalui oleh. Menghapus kurung dan membuat satu pembatalan lagi, kita akhirnya meninggalkan dengan persamaan diferensial biasa untukyang independen darix:ff+2f= 0(15.29)GAMBAR 15.6 profil Blasius The nondimensional untuk lapisan batas laminar.Ini adalah persamaan Blasius untukfungsi, di mana dia menemukan solusi seri polinomial.Karena solusi dapat diperoleh presisi sewenang-wenang oleh ini dan metode numerik lainnya, biasanya dianggap sebagai yang tepat.Dari solusi untukdan1 satu dapat menentukanudanv,menggunakan persamaan (15.27) dan (15,28).Perhatikan bahwa, dari