badan makalah sistem opereasi

1. BAB I PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang.

Salah satu karya Aristoteles adalah logika yang banyak berisi: pengertian,

keputusan, pembuktian silogisme, dan lain-lain. Inti ajaran Aristoteles mengenai

logika adalah Syllogismus, yaitu keputusan kedua yang tersusun sedemikian

hingga melahirkan keputusan yang ketiga. Logika yang dikemukakan oleh

Aristoteles dikenal sebagai logika tradisional, yang menjadi tonggak pemikiran

logika.

Pada abad ke-18 Masehi, G.W. Leibniz, seorang ahli matematika

berkebangsaan Jerman, pertama kali mempelajari logika simbolik. Ahli

matematika lainnya yang berjasa dalam pengembangan logika simbolik adalah

George Boole, Leonard Euler, John Venn, dan Bertrand Russel.

Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani ‘logos’ yang berarti kata,

ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga berarti ilmu pengetahuan (Kusumah,

1986). Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji

penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (tidak valid). Proses berpikir yang

terjadi di saat menurunkan atau menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan

yang diketahui benar atau dianggap benar itu biasanya disebut dengan penalaran.

Melalui logika kita dapat mengetahui kebenaran suatu pernyataan dari suatu

kalimat dan mengetahui apakah pernyataan pertama sama maknanya dengan

pernyataan kedua. Misalkan, apakah pernyataan “Jika sekarang adalah hari

Minggu maka sekolah libur.” sama artinya dengan “Jika sekolah libur maka

sekarang adalah hari Minggu.”? Untuk menjawab pertanyaan ini tentu kita perlu

mengetahui aturan-aturan dalam logika. Contoh lain, misalkan ada dua pernyataan

“Jika anak pandai maka ia berprestasi di kelas. Jika ia berprestasi di kelas maka ia

disayangi guru-gurunya.” Lalu, apakah dari dua pernyataan ini kita dapat

menyimpulkan “Jika ia anak pandai maka ia disayangi guru-gurunya.”?

Banyak hal yang perlu kita ketahui mengenai logika. Dengan logika, kita juga

dapat mengetahui apakah suatu pernyataan bernilai benar atau salah. Hal

Makalah Logika Matematika untuk tugas “Logika Matematika”.

terpenting yang akan didapatkan setelah mempelajari logika matematika adalah

kemampuan atau keahlian mengambil kesimpulan dengan benar atau sah. Logika

matematika memberikan dasar bagi sebuah pengambilan kesimpulan dan dapat

digunakan dalam banyak aspek kehidupan.

1.2. Perumusan Masalah.

Adapun masalah yang akan di bahas dalam makalah ini adalah

1. Apa yang dimaksud pernyataan dan kalimat terbuka?

2. Operasi-operasi apa saja yang terdapat dalam logika matematika?

3. Bagaimana konvers, invers dan kontraposisi dari suatu implikasi?

4. Apa yang dimaksud tautologi dan kontradiksi?

5. Apa yang dimaksud pernyataan berkuantor?

6. Bagaimana cara menarik kesimpulan?

1.3. Tujuan Penelitian.

Adapun tujuan penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui nilai

kebenaran dari suatu pernyataan, operasi-operasi yang terdapat dalam logika

matematika, mengetahui konvers, invers dan kontraposisi dari suatu implikasi,

mengetahui mengenai tautologi dan kontradiksi, pernyataan berkuantor serta cara

pengambilan kesimpulan dalam logika matematika.

1.4. Manfaat Penelitian.

Adapun manfaat dari penelitian ini adalah:

1. Bagi pihak penulis, semoga makalah ini dapat menjadi makalah yang baik dan

memenuhi criteria tugas yang diberikan.


2. Bagi pembaca diharapkan dapat memberikan masukan informasi dan saran

yang bermanfaat dalam hal pengambilan keputusan dan pengembangan

pengetahuan.

2. BAB II PEMBAHASAN

2.1. Pernyataan, Pernyataan Majemuk, dan Kalimat Terbuka

2.1.1. Pernyataan

Pernyataan adalah kalimat yang mengandung nilai benar atau salah tetapi tidak

sekaligus kedua-duanya.

Contoh :

a. Hasil kali 5 dan 4 adalah 20

b. Semua unggas dapat terbang

c. Ada bilangan prima yang genap

Contoh a dan c adalah pernyataan yang bernilai benar, sedangkan b penyataan

yang bernilai salah.

Contoh kalimat yang bukan pernyataan :

a. Semoga nanti engkau naik kelas

b. Tolong tutupkan pintu itu

c. Apakah ali sudah makan ?

Suatu pernyataan dinotasikan dengan huruf kecil seperti p, q, r dsb.

Misalnya :

P : Semua bilangan prima adalah ganjil

q : Jakarta ibukota Indonesia

Ada 2 dasar untuk menentukan nilai kebenaran suatun pernyataan yaitu :

a. Dasar empiris : jka nilai kebenaran ditentukan dengan pengamatan pada

saat tertentu.

Contoh :

* Rambut adik panjang


* Besok pagi cuaca cerah

b. Dasar tidak empiris : jka nilai kebenaran ditentukan menurut kaidah atau

hukum tertentu. Jadi nilai mutlak tidak terikat oleh waktu dan tempat.

Contoh :

* Jumlah sudut dalam segitiga adalah 1800

* Tugu muda terletak di kota Semarang

2.1.2. Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang

dihubungkan dengan kata hubung.

Ada 4 macam pernyataan majemuk :

1. Konjungsi

2. Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan”.

Konjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan p and q yang

dibaca p dan q

Tabel kebenarannya :p Q p and qB B BB S SS B SS S S

Dari tabel tersebut tampak bahwa konjungsi selalu bernilai benar jika

kedua pernyataan bernilai benar.

Contoh :

p : 34 = 51 bernilai salah

q : 2 + 5 = 7 bernilai benar

p∧q : 34 = 51 dan 2 + 5 = 7 bernilai salah

3. Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung atau.

Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan p∨qdan dibaca p atau q

Tabel kebenarannya :


P Q p∨qB B BB S BS B BS S S

Dari tabel tampak bahwa disjungsi hanya bernilai salah jika kedua

pernyataan bernilai salah.

Contoh :

P : jumlah dari 2 dan 5 adalah 7 (pernyataan bernilai benar)

q : Tugu pahlawan terletak di Jakarta (pernyataan bernilai salah)

p∨q : Jumlah dari 2 dan 5 adalah 7 atau Tugu pahlawan terletak di

Jakarta (pernyataan bernilai benar)

4. Implikasi

Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika ....

maka .......”

Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan p ⇒ q yang dibaca

“jika p maka q” atau “p jika hanya jika q” atau “p syarat perlu bagi q” atau

“q syarat cukup bagi p”

Dari implikasi p ⇒ q, p disebut anteseden atau sebab atau hipotesa

q disebut konsekuen atau kesimpulan atau konklusi.

Tabel kebenarannya :P Q p⇒qB B BB S SS B BS S B

Dari tabel tersebut, tampak bahwa implikasi selalu bernilai salah jika

sebabnya benar dan akibatnya salah.

Contoh :

P : 5 + 4 = 7 (pernyataan salah)

q : Indonesia di benua eropa (pernyatan salah)

p ⇒ q : Jika 5 + 4 = 7 maka Indonesia di benua eropa (pernyataan benar)

5. Biimplikasi


Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “.......jika dan

hanya jika............” dan dilambangkan ⇔ .

Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p ⇔ q yang dibaca p jika dan

hanya jika q atau jika p maka q dan jika q maka p.

Tabel kebenarannya :P Q p⇔qB B BB S SS B SS S B

Dari tabel kebenaran tersebut, tampak bahwa biimplikasi akan bernilai

benar jika sebab dan akibatnya bernilai sama.

Contoh :

p : 3 + 10 =14 (pernyataan salah)

q : Persegi adalah segitiga (pernyataan salah)

p ⇔ q : 3 + 10 = 14 jika dan hanya jika persegi adalah segitiga

(pernyataan salah)

2.1.3. Kalimat terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai

kebenaraanya. Ciri dasar kalimat terbuka adalah adanya peubah atau variabel.

Contoh :

a. 2x + 3 = 9

b. 5 + n adalah bilangan prima

c. Kota A adalah ibukota provinsi jawa tengah


2.2. Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari implikasi p ⇒ q dapat dibentuk implikasi baru :

1. q ⇒ p disebut konvers dari implikasi semula

2. ~ p ⇒ ~ q disebut invers dari implikasi semula

3. ~ q ⇒ ~ p disebut kontraposisi dari implikasi semula

Contoh :

p : Tia penyanyi

q : Tia seniman

implikasi p ⇒ q : Jika Tia penyanyi maka Tia seniman

Konvers q ⇒ p : Jika Tia seniman maka Tia penyanyi

Invers ~ p ⇒ ~ q : Jika Tia bukan penyanyi maka Tia bukan seniman

Kontraposisi ~ q ⇒ ~ p : Jika Tia bukan seniman maka Tia bukan penyanyi

2.3. Pernyataan Majemuk Yang Ekivalen

Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika untuk semua kemungkinan

nilai kebenaran komponen-komponennya, pernyataan majemuk itu

mempunyai nilai kebenaran yang sama. Lambang ekuivalen adalah ¿

Contoh : Buktikan bahwa: p ⇔ q ¿ (p ⇒ q) ¿ (q ⇒ p)

Dengan tabel kebenaran dapat dilihat sebagai berikut :

P q p ⇔ q p ⇒ q q ⇒ p (p ⇒ q)¿ (q ⇒ p)B B B B B BB S S S B SS B S B S SS S B B B B

Ekuivalen

2.4. Negasi Dari Pernyataan Majemuk


1. ~ (p ¿ q) ¿ ~ p v ~ q

2. ~ (p v q) ¿ ~ p ¿ ~ q

3. ~ (p ⇒ q) ¿ p ¿ ~ q

4. ~ (p ⇔ q) ¿ (p ¿ ~ q) v (q ¿ ~ p)

Contoh :

1. Negasi dari 5 + 2 = 8 dan adik naik kelas adalah 5 + 2 ¿ 8 atau adik tidak

naik kelas

2. Negasi dari jika adik belajar maka ia pandai adalah adik belajar dan ia

tidak pandai

2.5. Tautologi Dan Kontradiksi

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua

kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya.

Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah untuk

semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya.

Contoh :

Buktikan dengan tabel kebenaran (p¿ ~q) ⇒ ~(p⇒ q)P q ~q p ¿ ~q p ⇒ q ~(p⇒ q) (p¿ ~q)⇒~(p ⇒ q)B B S S B S BB S B B S B BS B S S B S BS S B S B S B

2.6. Penarikan Kesimpulan

Argumen adalah serangkaian pernyataan yang mempunyai ungkapan

penarikan kesimpulan. Suatu argumen terdiri dari 2 kelompok pernyataan

yaitu kelompok premis dan kelompok konklusi.

Contoh :

Premis 1 : Jika adik rajin belajar maka naik kelas


Premis 2 : Jika adik naik kelas maka Ibu senang

Premis 3 : Adik rajin belajar

Konklusi : Ibu senang

Suatu argumen dikatakan sah atau valid jika untuk semua kemungkinan nilai

kebenaran premis-premisnya mendapatkan konklusi yang benar pula.

Ada 3 dasar penarikan kesimpulan yaitu :

1. Modus Ponens

Kerangka penarikan modus ponens sebagai berikut :

Premis 1 : p ⇒ q

Premis 2 : p

Konklusi : q


p q p⇒qB B BB S SS B BS S B

Pada tabel kebenaran tersebut, premis-premis yang bernilai benar diberi

tanda , ternyata mendapatkan konklusi yang diberi tanda

Juga benar, sehingga penarikan kesimpulan dengan menggunakan modus

ponens dikatakan sah atau valid.

2. Modus Tollens

Kerangka penarikan kesimpulan dengan dasar modus tollens sbb :

Premis 1 : p ⇒ q

Premis 2 : ~ q

Konklusi : ~ p



P Q ~p ~q p⇒qB B S S BB S S B SS B B S BS S B B B

Berdasarkan tabel tersebut, penarikan kesimpulan dengan metode modus

tollens dikatakan sah.

3. Silogisme

Kerangka penarikan kesimpulan dengan metode silogisme sbb :

Premis 1 : p ⇒ q

Premis 2 : q ⇒ r

Konklusi : p ⇒ r

Dengan tabel kebenaran dapat dilihat sebagai berikut :p Q r p⇒q q⇒ r p⇒rB B B B B BB B S B S SB S B S B BB S S S B SS B B B B BS B S B S BS S B B B BS S S B B B

Pada tabel tersebut tampak bahwa penarikan kesimpulan dengan metode

silogisme dikatakan sah atau valid.

Contoh :

Tentukan konklusi dari argumen-argumen berikut ini :

1. Premis 1 : Jika sakit maka ibu minum obat

Premis 2 : Ibu sakit


Konklusinya : Ibu minum obat

2. Premis 1 : Jika mesinnya rusak maka mobil itu tidak dapat bergerak

Premis 2 : Mobil itu dapat bergerak

Konklusinya : Mesin mobil itu tidak rusak

3. Premis 1 : Jika BBM naik maka ongkos bis naik

Premis 2 : Jika ongkos bis naik maka uang saku naik

Konklusinya : Jika BBM naik maka uang saku naik

2.7. Latihan

1. Jika diketahui pernyataan p benar dan q salah, maka pernyataan di bawah ini yang benar adalah…

A. p →q B. ~p q C. ~p q

D. ~q p E. ~p ~ q


2. Invers dari “jika hujan turun maka jalan di depan sekolah becek” adalah…A. Jika jalan di depan sekolah becek maka hujan tidak turun.B. Hujan tidak turun dan jalan di depan sekolah becek.C. Jika hujan tidak turun maka jalan di depan sekolah becek.D. Jika hujan tidak turun maka jalan di depan sekolah tidak becek.E. Hujan tidak turun atau jalan di depan sekolah tidak becek.

3. Pernyataan “jika hari hujan maka sungai meluap” ekuivalen dengan…A. Hari hujan dan sungai meluap.B. Hari tidak hujan dan sungai tidak meluap.C. Jika sungai maka hari tidak hujan.D. Jika sungai tidak meluap maka hari tidak hujan.E. Jika hari tidak hujan maka sungai tidak meluap.

4. Ingkaran (negasi) dari pernyataan “semua orang makan nasi” adalah…A. Beberapa orang tidak makan nasi.B. Semua orang tidak makan nasi.C. Tidak semua orang tidak makan nasi.D. Tidak ada orang makan nasi.E. Beberapa orang makan nasi.

5. Ingkaran dari (p∧ q) r adalah…

A. ~p q r B. (~p q) r C. p q ~r

D. ~p ~q r E. (~p q) r

6. Kesimpulan dari tiga premis:

(1) p q (2) q r (3) ~r adalah…A. p B. q C. r D. ~p E. ~q

7. Penarikan kesimpulan dari premis-premisp v q~q ……… adalah…

A. p B. ~p C. q D. ~q E. ~(p v q)

8. Ditentukan premis-premis1. Jika Badu rajin bekerja maka ia disayangi ibu.2. Jika Badu disayangi ibu maka ia disayangi nenek.3. Badi tidak disayangi nenek.

Kesimpulan yang sah dari ketiga premis di atas adalah…A. Badu rajin bekerja tetapi tidak disayangi ibu.B. Badu rajin bekerja.C. Badu disayangi ibu.D. Badu disayangi nenek.


E. Badu tidak rajin bekerja.

9. Pernyataan “jika hari tidak hujan maka sungai tidak meluap” ekuivalen dengan…

A. Hari hujan dan sungai meluap.B. Hari tidak hujan dan sungai tidak meluap.C. Jika sungai meluap maka hari hujan.D. Jika sungai tidak meluap maka hari tidak hujan.E. Jika hari tidak hujan maka sungai tidak meluap.

10. Ditentukan premis-premis1. Jika Andi rajin belajar maka ia pintar.2. Jika Andi pintar maka ia dapat juara.3. Andi tidak dapat juara.

Kesimpulan yang sah dari ketiga premis di atas adalah…A. Andi rajin bekerja tetapi tidak disayangi ibu.B. Andi rajin belajar.C. Andi pintar.D. Andi dapat juara.E. Andi tidak rajin belajar.

Pembahasan

1. p q = B S = SJawabannya : A

2. Rumus : Invers dari p q adalah ~p ~q. Dengan demikian invers dari “jika hujan turun maka jalan di depan sekolah becek” adalah “jika hujan tidak turun maka jalan di depan sekolah tidak becek”.

Jawabannya : D


3. Rumus : p q = ~q ~p. Dengan demikian “jika hari hujan maka sungai meluap” ekuivalen dengan “jika sungai tidak meluap maka hari tidak hujan”.

Jawabannya : D

4. Rumus : ~(semua p) = Ada beberapa ~p. Dengan demikian negasi dari pernyataan “semua orang makan nasi” adalah “beberapa orang tidak makan nasi”.

Jawabannya : A

5. Rumus : ~( p q) = p ~ q. Dengan demikian ingkaran dari (p∧ q) r

adalah (p q) ~r = p ~qJawabannya : C

6. p q p q

q r ~r___~p

Jawabannya : D

7. p v q atau ~p q ~q ~ q

PJawabannya : A

8. Soal dapat diterjemahkan menjadi :

p q

q r p r~r ~r

~pKesimpulan ~p = Badu tidak rajin bekerja.

Jawabannya : E

9. 6. p q p q

q r ~r___~p

Jawabannya : C

10. Soal dapat diterjemahkan menjadi :

p q

q r p r


~r ~r ~p

Kesimpulan ~p = Andi tidak rajin belajar.Jawabannya : E

3. BAB III PENUTUP

3.1. Kesimpulan

Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani ‘logos’ yang berarti

kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga berarti ilmu pengetahuan

(Kusumah, 1986). Logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji

penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (tidak valid).

Dalam logika matematika ada dua kalimat yang penting, yaitu kalimat

pernyataan dan kalimat terbuka serta terdapat juga operasi logika, yaitu negasi

(ingkaran), konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi. Dari suatu

implikasi dapat dibentuk implikasi lain, yaitu konvers, invers dan kontraposisi.

Metode atau cara yang digunakan dalam penarikan kesimpulan, yaitu modus

ponens, modus tollens dan silogisme.

3.2. Saran

Dengan penyusunan makalah ini, penulis berharap pengetahuan mengenai

logika matematika dapat diaplikasikan dalam kehidupan atau dapat digunakan

dalam banyak aspek kehidupan. Melalui logika, kita dapat mengetahui apakah

suatu pernyataan bernilai benar atau salah. Hal terpenting yang akan

didapatkan setelah mempelajari logika matematika adalah kemampuan atau

keahlian mengambil kesimpulan dengan benar atau sah.


4. Daftar Pustaka

Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X. Jakarta : PT.

Galaxy Puspa Mega.

Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X. Jakarta : Penerbit

Erlangga.

MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA / MA.

Semarang : CV. Jabbaar Setia.


badan makalah sistem opereasi

Documents