BAB I

D E R E T

Deret Tak Hingga.

Defenisi : Deret tak hingga adalah pernyataan penjumlahan bilangan tak hingga banyaknya

berbentuk : a1 + a2 + a3 + ......+ an .....................................................(1-1)

an = sebuah fungsi bilangan bulat n

an = f(n) ; n = 1, 2, 3, .... ..................................................................(1-2)

Deret tak hingga lazimnya diringkas dengan notasi jumlah sigma

Persamaan (1) dituliskan dengan notasi jumlah sebagai :

...............................(1-3)

Jumlah, Konvergensi dan divergensi deret.

Deret tak hingga :

a1, a2, a3, ..........an disebut suku deret dan an = f(n) disebut suku umum deret.

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

.

.

.

Sn = a1 + a2 + a3 + ........+ an + ............

Sn = disebut jumlah perbagian deret tak hingga.

S1, S2, S3, . . . Sn, merupakan barisan dari jumlah-jumlah parsial deret itu.

Defenisi :

1

1) Jika Sn adalah jumlah perbagian deret tak hingga. , maka jumlahnya

didefenisikan sebagai berikut :

2) Jika , berhingga dan tunggal, maka dikatakan konvergen dengan

jumlah S.

3) Jika atau berhingga tapi tak tunggal, maka

deret dikatakan divergen.

4) Jika konvergen, Rn = (S – Sn) disebut “sisa” deret setelah suku ke n.

Deret-Deret Istimewa

a. Deret hitung :

b. Deret hyperharmonis :

k = konstanta. k > 1 deret konvergen, dan k 1 deret divergen dan k = 1 disebut

deret harmonis.

c. Deret ukur/geometri :

Tinjau Nilai r.

1. Jika r = 1, maka Sn = n.a, maka deret divergen.

2. jika r 1; dapat ditulis :

Sn – r Sn = (a + ar + ......................+ arn-1) – (ar + ar2 + .............+ arn)

Sn – r Sn = a - arn

2

Jika ....................................(1-4)

Sehingga deret konvergen.

Contoh :

1)

Solusi :

2)

Solusi :

Uji Konvergensi Deret Positif

Defenisi : Deret disebut deret positif, jika an > 0 untuk setiap harga n.

Pengujian konvergensi deret positif dinyatakan dengan :

1. Uji Awal

Teorema : Jika

Dalil : Jika konvergen, maka

Dalil ini tidak dapat dibalik, jadi jika belum dapat dipastikan deret

bersangkutan konvergen. Jadi konvergensinya harus diuji dengan uji-uji yang lain.

2. Uji Banding

3

Jika deret konvergen, dan an bn untuk n N (N bilangan bulat positif), maka

deret konvergen.

Contoh :

Uji konvergensi deret :

Solusi :

Pengujian dilanjutkan dengan uji banding.

Ambil : , pembanding yang telah diketahui konvergen.

Bandingkan dahulu n ! dan 2n

n n ! 2n

1 1 2

2 2 4

3 6 8

4 26 16

5 120 32

Jadi n ! < 2n untuk n 3

n ! > 2n untuk n 4

Dengan demikian : konvergen untuk n 4.

3. Uji Integral

4

Tinjau dulu positif yang suku-sukunya memenuhi sifat an+1 < an untuk n N.

Misalkan terhadap sebuah fungsi f(x) positif, kontinu dan monoton dalam selang x

N, sehingga untuk x = n (n = N, N + 1, N + 2, ..............) berlaku f(x) = f(n) = an.

Jika : Integral : bernilai :

a. Hingga, maka deret konvergen.

b. Tak hingga, maka deret divergen (biasanya N = bernilai 1)

Contoh : Tentukan konvergensi deret

Solusi :

an+1 < an , maka dapat di uji integral

4. Uji Nisbah (Uji ratio = uji perbandingan)

Tinjau deret dan dimisalkan

Jika :

(1) r < 1, deret konvergen

(2) r = 1, uji gagal

(3) r > 1, deret divergen

Contoh :

Uji konvergensi deret :

Solusi :

5

maka :

5. Uji Banding Limit (Uji Lebniz)

Tinjau deret positif

a. Uji konvergensi, jika terdapat deret positif yang konvergen.

b. Uji divergensi jika deret positif yang divergen, sehingga ,

maka deret divergen.

Contoh : Uji konvergensi deret :

a) b)

Solusi :

a)

Jadi maka deret

b)

Jadi :

Deret Tak Tetap Positif.

6

Jika deret tak hingga, dengan an tak tetap positif (an bisa bernilai positif atau

negatif). Supaya deret positif, maka ditulis , maka uji deret berlaku untuk deret

ini.

Konvergensi Mutlak.

Defenisi : Deret deret tak tetap positif jika deret konvergen, maka

disebut konvergensi mutlak.

Toerema : Jika konvergen mutlak, maka konvergen.

Teorema : Jika divergen, maka juga divergen, tapi sebaliknya tidak berlaku.

Konvergen Bersyarat.

Jika deret tak tetap positif konvergen, tetapi tidak konvergen mutlak, maka

deret disebut konvergen bersyarat.

Deret Bolak-balik.

Deret = disebut deret bolak-balik berayun.

Uji deret bolak-balik.

Deret bolak-balik : konvergen jika kedua syarat berikut dipenuhi:

a)

b)

Contoh : Deret bolak-balik

Solusi :

a) maka :

7

b) maka deret konvergen.

Deret Pangkat.

Tinjau fungsi an = cn (x)n dengan cn = f(n) suatu barisan bilangan tetap.

Defenisi : Deret tak hingga variabel.

.........................................................(1-5)

(x = variabel a dan c bilangan tetap, disebut deret pangkat).

Contoh deret pangkat :

a) b) c)

Selang Konvergensi Deret Pangkat.

Untuk menentukan selang (batas konvergensi) deret pangkat biasanya menggunakan uji

nisbah dengan deretnya konvergen.

Contoh :

Tentukan selang konvergensi deret :

a) b) c)

Solusi :

atau –2 < x < 2

8

Untuk : x = -2, bentuk deret : 1+1+1+........................., deret ukur dengan r = 1, maka deret

divergen.

Untuk : x = 2, bentuk deret : 1 – 1 + 1 – 1 + 1 - .................... deret bolak-balik; karena

maka deret divergen.

Sehingga selang konvergensi deret : -2 < x < 2.

b)

untuk x = -1 : bentuk deret : deret harmonik deret divergen.

Untuk x = 1, deret berbentuk :

maka batas konvergensinya : -1 < x 1.

c)

artinya berlaku untuk semua harga x atau deret konvergen untuk semua harga

x.

Jadi batas konvergensinya : -~ < x < ~.

DERET TAYLOR

Deret Taylor menguraikan fungsi f(x) atas deret pangkat yaitu :

9

.......................................................(1-6)

Jika pers. (1-6) didiferensialkan, diperoleh :

..................................................................................................(1-7)

Maka :

..........................................................................(1-8)

Pers. (1-8) disebut deret Taylor dan f(x) disekitar x = a.

Jika f(x) disekitar a = 0, maka pers. (1-8), menjadi :

..................................................................................(1-9)

Pers. (1-9) disebut deret Mac Laurin.

Contoh : Uraikan f(x) = ex menjadi deret Mac Laurin.

Solusi :

10

Untuk menentukan batas konvergensinya dengan uji ratio (nisbah) :

Jadi selang konvergensinya : - ~< x < ~

Jadi uraian Mac Laurin fungsi ex adalah :

Fungsi-fungsi penting dari uraian deret Mac Laurin :

............(1-10)

..............(1-11)

.................(1-12)

..................(1-13)

......................(1-14)

11

......................(1-15)

Deret Binomial.

..............(1-16)

Contoh :

1) Hitunglah hingga ketelitian 4 desimal.

Solusi :

2) Hitunglah sampai ketelitian 5 desimal.

Solusi :

Soal – soal :

1. Tentukan dengan uji awal apakah deret berikut konvergen atau divergen.

a.

b.

2. Dengan uji integral apakah deret berikut ini konvergen atau divergen

12

a. b.

3. Dengan uji perbandingan selidiki deret berikut apakah konvergen atau divergen

a. b.

4. Tentukan batas konvergensi deret berikut :

a. b. c.

5. Uraikan fungsi di bawah ini menjadi deret Mac. Lauren

a. b. c.

6. Hitunglah sampai ketelitian 4 desimal

a. ln 0,9 b. sin2 (0,2) c. Cos 1,6

13