bab_1_matematika_dasar_a1

Bab 1 Preview dari Kalkulus: Fungsi, Limit, dan Fungsi Kontinu Tujuan Instruksional Khusus Mahasiswa mampu: 1. menyebutkan konsep‐konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah‐masalah yang

memotivasi konsep tersebut; 2. menjelaskan sifat‐sifat bilangan real, pengertian harga mutlak, dan menyelesaikan

pertaksamaan tanpa atau dengan melibatkan harga mutlak; 3. menggunakan lambang fungsi serta konsep peubah bebas dan tak bebas untuk

mengungkapkan atau memodelkan suatu situasi nyata serta menjelaskan makna setiap suku dalam ekspresi fungsi tersebut;

4. menggambar sketsa grafik fungsi secara manual, dan memvisualisasikan grafik fungsi dengan bantuan TIK;

5. membentuk dan menginterpretasikan fungsi baru hasil operasi aljabar terhadap fungsi‐fungsi yang diberikan;

6. mengidentifikasi fungsi‐fungsi khusus (linear, polinom, aljabar, rasional, trigonometri) 7. menaksir nilai limit menggunakan grafik fungsi, tabel, atau secara numerik dan mengenali

situasi di mana limit tidak ada; 8. menggunakan aturan‐aturan menghitung limit; 9. menggunakan kosep limit untuk menentukan apakah suatu fungsi kontinu.

1.1 Apakah kalkulus itu? Kata Kalkulus berasal dari bahasa latin yang berarti batu. Pada jaman dahulu orang Romawi menggunakan batu untuk berhitung dan aritmetika, sehingga dalam pengertian yang sangat mendasar, arti kata kalkulus adalah bentuk penghitungan. Setelah aljabar yang lebih lanjut dan geometri, kalkulus adalah langkah berikutnya pada matematika yang lebih tinggi. Kalkulus digunakan untuk menyelesaikan masalah‐masalah yang kompleks yang tidak dapat diselesaikan dengan baik menggunakan matematika biasa. Teknik komputasi yang disebut dengan ‘Kalkulus’ berkaitan dengan dua masalah mendasar dalam bidang geometri yang telah diselidiki orang lebih dari 2000 tahun yang lalu, yaitu masalah garis singgung suatu kurva fungsi pada suatu titik dan masalah luas daerah di bawah suatu kurva fungsi. Masalah pertama mengarahkan kita kepada konsep turunan fungsi dan masalah kedua mengarahkan kita kepada konsep integral dari fungsi. Kedua konsep inilah yang

2 BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS

menjadi konsep yang utama dalam kalkulus, sehingga seluruh materi pembelajaran Matematika Dasar mengarah atau berpusat kepada kedua konsep ini. Yang membedakan kalkulus dengan matematika yang telah dipelajari sebelumnya seperti aljabar, geometri, dan trigonometri adalah transisi dari penerapan matematika ke masalah statis dan diskrit ke masalah dinamis dan kontinu. Sebagai perbandingan perhatikan Tabel 1.1.

Tabel 1.1 Perbandingan permasalahan dalam matematika elementer dengan kalkulus Matematika elementer Kalkulus

1. Kemiringan garis

x

y

1. Kemiringan kurva

x

y

2. Garis singgung dari lingkaran

2. Garis singgung kurva

3. Luas daerah yang dibatasi oleh segmen garis

y

a b

3. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

4. Perubahan rata‐rata posisi dan kecepatan 4. Perubahan sesaat posisi dan kecepatan 5. Rata‐rata dari sejumlah berhingga bilangan 5. Rata‐rata dari sejumlah tak berhingga

bilangan Telah disebutkan sebelumnya bahwa ada dua konsep yang sangat mendasar dalam kalkulus, yaitu turunan dan integral dari suatu fungsi. Pemahaman kedua konsep ini membutuhkan suatu konsep lain yang tidak kalah penting yaitu limit fungsi. Limit adalah alat matematika untuk mempelajari kecenderungan dari suatu fungsi ketika peubah bebasnya mendekati suatu nilai tertentu. Kalkulus didasarkan pada konsep limit. Konsep limit akan dibahas di subbab 1.8. Turunan didefinisikan sebagai limit. Awalnya turunan digunakan untuk menghitung tingkat perubahan atau kemiringan dari garis singgung suatu kurva. Turunan juga dapat digunakan untuk menggambar kurva, dan untuk menghitung nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi. Pengertian turunan diberikan pada bab 2 dan aplikasi turunan akan kita pelajari pada bab 3.

BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS 3

Integral diperoleh dengan mengambil limit dari penjumlahan suku‐suku. Kuantitas‐kuantitas yang dapat dihitung dengan menggunakan integral antara lain: luas, volume, panjang kurva, kerja, dll. Integral diberikan pada bab 4‐6. Selanjutnya kita akan mencoba memahami ketiga ide yang penting dalam kalkulus ini secara intuitif. Limit: Paradoks Zeno Zeno adalah salah seorang filsuf Yunani yang terkenal karena paradoksnya menyangkut perlombaan lari antara Achilles, seorang pahlawan legendaris Yunani, dengan kura‐kura. Ketika awal perlombaan, kura‐kura yang lambat diberi kesempatan untuk mengambil posisi start, sebut saja sejauh k0, di depan Achilles (Gambar 1.1). Apakah mungkin Achilles mengalahkan kura‐kura?

Gambar 1.1 Zeno mengatakan bahwa tepat sebelum Achilles mencapai tempat start kura‐kura (k0), kura‐kura sudah berada di posisi baru (k1). Demikian juga tepat sebelum Achilles mencapai tempat k1, kura‐kura sudah berada di posisi baru (k2). Demikian selanjutnya, sehingga dengan penalaran seperti itu, walau pun jarak antara Achilles dengan kura‐kura akan semakin kecil, Achilles tidak akan mampu mengalahkan kura‐kura. Tentu saja dengan pemikiran yang umum kita tahu Achilles akan mengalahkan kura‐kura. Namun yang menjadi pertanyaan adalah apa yang salah dengan penalaran di atas? Yang salah adalah kita berpikir bahwa dibutuhkan waktu yang takhingga untuk menempuh jarak berhingga yang dibagi‐bagi menjadi takberhingga interval. Mari kita perhatikan barisan posisi‐posisi dari Achilles dan kura‐kura secara berurutan sebagai berikut:

Achilles: a0, a1, a2, a3, … Kura‐kura: k0, k1, k2, k3, …

Masing‐masing posisi‐posisi ini membentuk barisan bilangan {a0, a1, a2, a3, …, an, …} untuk Achilles dan {k0, k1, k2, k3, …, kn, … } untuk kura‐kura dengan an < kn untuk setiap nilai n. Dengan menggunaakan limit dapat ditunjukkan bahwa kedua barisan ini mempunyai limit, yaitu posisi di mana Achilles melewati kura‐kura. Contoh 1.1 Gambaran intuitif limit Barisan

12,23,34,45,56,

dapat dituliskan dengan suku umum dengan n = 1, 2, 3, 4, 5, …. Dapatkah anda menebak limit dari barisan ini?


Penyelesaian. Misalkan limit dari barisan itu kita sebut L. Nilai L adalah nilai ke mana semakin mendekat jika n menjadi sangat besar tanpa batas, dan ditulis

lim∞ 1

. Jika n semakin besar maka kita akan memperoleh barisan

12 ,23 ,34 ,45 ,56 , ,

500501 , ,

10001001 , ,

1000010001 , .

Kita dapat melihat bahwa barisan ini menuju ke 1. Turunan: masalah garis singgung Pengertian garis singgung pada lingkaran yaitu garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik (Gambar 1.2a), tidak benar untuk kurva. Karena terdapat banyak garis yang memotong kurva tepat di satu titik (Gambar 1.2b).

(a) (b)

Gambar 1.2 Untuk mencari garis singgung suatu kurva dimulai dengan mempertimbangkan garis yang menghubungkan dua titik P dan Q pada kurva (Gambar 1.3a). Jika koordinat dari titik P adalah , dan Q adalah , , maka kemiringan garis PQ adalah

. Sekarang misalkan Q diambil demakin sekat ke P, dengan perkataan lain h semakin kecil, maka garis PQ akan semakin mendekati garis singgung kurva di P (Gambar 1.3b). Kita kembali akan menggunakan limit. Ketika garis PQ semakin mendekati garis singgung kurva di P, berarti nilai h semakin kecil dan mendekati 0, sehingga kita akan menggunakan notasi

lim untuk mendefisikan turunan.

(a)

(b)

Gambar 1.3


Integral: masalah luas Kita semua mengetahui rumus luas lingkaran dengan jari‐jari r adalah

. Rumus ini sudah digunakan sejak sekitar 5.000 tahun yang lalu, namun pada tahun 200‐an sebelum masehi Archimedes menunjukkan cara memperoleh rumus ini menggunakan limit terhadap luas poligon. Perhatikan poligon‐poligon pada Gambar 1.4, mulai dari segitiga sama sisi, bujur sangkar, dan seterusnya. Misalkan L3 menyatakan luas dari segi tiga L4 menyatakan luas dari segi empat L5 menyatakan luas dari segi lima Ln menyatakan luas dari segi n Dengan menggunakan notasi limit, maka luas lingkaran adalah

lim∞

.

Gambar 1.4 Ide yang sama juga digunakan untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva. Sebagai contoh, mencari luas daerah pada Gambar 1.5a. Kita dapat mengaproksimasi luas dengan menggunakan persegi panjang. Jika Ln menyatakan luas dari persegipanjang ke‐n, maka luas daerah dapat diaproksimasi dengan

. Proses ini ditunjukkan pada Gambar 1.5b dan 1.5c. Masalah luas ini membawa kita ke suatu proses yang disebut pengintegralan. Penalaran yang sama juga memungkinkan kita untuk menghitung berbagai hal seperti volume, panjang kurva, kerja yang dibutuhkan untuk suatu tugas, dan lain‐lain.

(a) (b) (c) Gambar 1.5

Latihan 1.1. Buku Latihan Bahan pendalaman materi : • Subbab 1.5 dari Calculus, C.H. Edwards, D.E. Penney, Pearson Education International, New

Jersey, 2002.


1.2 Pendahuluan: bilangan real dan nilai mutlak Konsep‐konsep di dalam Matematika Dasar banyak berhubungan dengan bilangan real dan sifat‐sifatnya. Oleh karena itu pembahasan selanjutnya akan diawali dengan sistem bilangan real.

1.2.1 Sistem Bilangan Real Bilangan real adalah bilangan yang dapat diekspresikan sebagai desimal, seperti:

12 0,5000… 13

0,3333…

√2 0,4142… Titik‐titik … menyatakan barisan bilangan dijit desimal terus menerus. Secara geometri bilangan real dapat direpresentaikan dengan titik pada garis bilangan yang disebut garis real.

Gambar 1.6

Himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan sifat‐sifat bilangan disebut sistem bilangan real. Simbol R digunakan untuk menyatakan sistem bilangan real. Sifatsifat Bilangan Real

Sifatsifat bilangan real dibagi menjadi: Sifat aljabar Sifat urutan Sifat kelengkapan

Sifat aljabar Sifat‐sifat aljabar menyatakan bahwa 2 bilangan real dapat ditambahkan, dikurangkan, dikalikan, dibagi (kecuali dengan nol) untuk memperoleh bilangan real yang baru. Sifat urutan Bilangan real yang tidak nol secara rapi terbagi dalam dua himpunan yaitu bilangan positif dan bilangan negatif. Fakta ini memungkinkan kita memperkenalkan relasi urutan < dengan

x < y ⇔ y – x positif. Relasi lain yang berhubungan dengan < adalah ≤, yang didefinisikan sebagai

x ≤ y ⇔ y – x positif atau nol. Dengan mengatakan x < y berarti posisi x berada di sebelah kiri y pada garis bilangan real (Gambar 1.7).

Gambar 1.7


Sifat Urutan 1. Trikotomi. Jika x dan y adalah bilangan, maka tepat satu dari yang berikut ini dipenuhi:

x < y atau x = y atau x > y. 2. Transitif. x < y dan y < z ⇒ x < z. 3. Penjumlahan. x < y ⇔ x + z < y + z. 4. Perkalian. Untuk z bilangan positif, x < y ⇒ xz < yz. Untuk z bilangan negatif, x < y ⇒ xz > yz. 5. Kebalikan. x > 0 ⇒ 0 dan x > 0, y > 0, x < y ⇒ Sifat‐sifat urutan berikut tetap berlaku jika simbol < dan > diganti dengan ≤ dan ≥. Sifat kelengkapan Sifat kelengkapan sistim bilangan real lebih sulit untuk didefinisikan secara tepat. Secara sederhana dapat dikatakan bahwa terdapat cukup banyak bilangan‐bilangan real untuk ’memenuhi’ garis bilangan real, dalam pengertian tidak ada setitik pun celah di antaranya. Contoh 1.5. Nyatakanlah masingmasing pernyataan berikut benar atau salah!

a. 2 < – 5 b. 2 < 3 c.

Penyelesaian. a. Pernyataan 2 < ‐ 5 tidak benar karena ‐5 – 2 = ‐7 bukan positif. b. Pernyataan 2 < 3 adalah benar karena 3 – 2 = 1 positif. c. Pernyataan adalah benar karena 5 < 7.

Terdapat 3 himpunan bilangan yang khusus dari bilangan real, yaitu:

1. Himpunan bilangan asli N, seperti 1, 2, 3, … 2. Himpunan bilangan bulat Z, seperti 0, ±1, ±2, ±3, … 3. Himpunan bilangan rasional Q, yaitu bilangan yang dapat dinyatakan sebagai

pembagian ⁄ dengan p dan q adalah bilangan bulat, dan q ≠ 0. Contohnya: , , , dan .

Bilangan rasional memiliki seluruh sifat aljabar dan urutan dari bilangan real, akan tetapi tidak memiliki sifat kelengkapan bilangan real. Hubungan antara himpunan bilangan asli, bulat, rasional dan real diilustrasikan pada Gambar 1.8.

Mencari penyelesaian dari suatu persamaan, seperti 5x – 10 = 0 atau x2 – 3x – 2 = 0, sangat sering ditemukan pada matematika tingkat dasar. Anda tentu sudah mengetahui bagaimana cara mencari penyelesaian dari suatu persamaan seperti itu. Pada kalkulus, masalah yang ditemukan lebih sering mencari penyelesaian dari suatu ketaksamaan, seperti 5x – 10 ≤ 0 atau x2 – 3x – 2 ≥ 0. Menyelesaikan ketaksamaan adalah mencari himpunan bilangan real yang membuat ketaksamaan itu benar. Berbeda dengan penyelesaian dari suatu

persamaan yang biasanya merupakan satu bilangan atau sejumlah berhingga bilangan, penyelesaian dari ketaksamaan biasanya merupakan suatu interval bilangan atau gabungan dari interval bilangan. Interval Bilangan Real

Berbagai jenis interval akan muncul ketika kita mencoba menyelesaikan berbagai masalah dalam kalkulus, karena itu anda perlu mengetahui terminologi dan notasi untuk interval terlebih dahulu (Tabel 1.1). Ketaksamaan a < x < b sebenarnya merupakan gabungan dari dua ketaksamaan a < x dan x < b, yang menyatakan interval buka yang terdiri dari semua bilangan

Gambar 1.8


yang terletak antara a dan b dan tidak termasuk a dan b. Interval ini dinyatakan dengan simbol (a, b). Sebaliknya, ketaksamaan a ≤ x ≤ b menyatakan interval tutup yang menyertakan a dan b. Interval ini dinyatakan dengan simbol [a, b]. Pada Tabel 1.2 diberikan berbagai variasi yang mungkin dari interval, dan notasinya.

Tabel 1.2 Berbagai variasi interval Notasi Himpunan

Notasi Interval

Grafik

{x : a < x < b} (a, b)

{x : a < x ≤ b} (a, b]

{x : a ≤ x < b} [a, b)

{x : a ≤ x ≤ b} [a, b]

{x : x < b} (‐∞, b)

{x : x ≤ b} (‐∞, b]

{x : x > a} (a, ∞)

{x : x ≥ a} [a, ∞)

(‐∞, ∞)

1.2.2 Menyelesaikan Ketaksamaan Seperti pada persamaan, prosedur penyelesaian dari ketaksamaan terdiri dari langkah‐langkah transformasi satu langkah pada satu waktu, hingga himpunan penyelesaian terlihat nyata. Kita dapat melakukan operasi‐operasi tertentu pada kedua sisi ketaksamaan tanpa mengubah himpunan penyelesaiannya. Secara khusus, 1. Kita dapat menambahkan bilangan yang sama pada kedua sisi dari ketaksamaan. 2. Kita dapat mengalikan bilangan positif yang sama pada kedua sisi dari ketaksamaan. 3. Kita dapat mengalikan bilangan negatif yang sama pada kedua sisi dari ketaksamaan, akan

tetapi kita harus mengubah tanda ketaksamaan. Contoh 1.2 Carilah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan

a. 5x – 3 ≤ 3x – 7. b. 5x – 3 > 3x – 7. Penyelesaian.

a. 5x – 3 ≤ 3x – 7 5x ≤ 3x – 4 (menambahkan 3) 2x ≤ – 4 (menambahkan –3x) x ≤ – 2 (mengalikan dengan ½ ) Himpunan penyelesaian adalah {x : x ≤ – 2} atau (‐∞,– 2]


b. 5x – 3 > 3x – 7. Himpunan penyelesaian dari b adalah himpunan bilangan real yang tidak termasuk dalam himpunan penyelesaian dari a, yaitu {x : x > – 2} atau (2, ∞).

Himpunan penyelesaian ini juga dapat ditunjukkan dalam grafik pada Gambar 1.9. Pada Gambar terebut diberikan kurva dari y1 = 5x – 3 dan y2 =3x – 7. Penyelesaian dari 5x – 3 ≤ 3x – 7 adalah nilai‐nilai x ketika kurva y1 berada di bawah atau sama dengan kurva y2 (yang diberi tanda pada sumbu x pada Gambar 1.9a). Sedangkan penyelesaian dari b adalah yang sebaliknya (yang diberi tanda pada sumbu x pada Gambar 1.9b).

(a) (b)

Gambar 1.9 Contoh 1.3 Carilah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan (x – 1)2 < 4. Penyelesaian. (x – 1)2 < 4 x2 – 2x + 1 < 4 x2 – 2x – 3 < 0 (menambahkan –4) (x + 1) (x – 3) < 0 (memfaktorkan) Dapat kita lihat bahwa ‐1 dan 3 adalah merupakan titik‐titik pemisah yang membagi garis bilangan real menjadi 3 interval yaitu (‐∞, ‐1), (1, 3), dan (3, ∞). Pada setiap interval ini (x + 1) (x – 3) mempunyai tepat satu tanda yaitu selalu positif atau selalu positif. Untuk mengetahuinya, kita dapat menggunakan titik uji, yaitu sembarang bilangan yang berada pada interval, milsalkan ‐2, 0, dan 4. Hasilnya terlihat pada Gambar 1.10 Dapat disimpulkan himpunan penyelesaian dari ketaksamaan di atas adalah {x : 1 < x < 3} atau (1, 3).

(a) (b)

Gambar 1.10


Selain menggunakan titik uji, kita juga dapat menggunakan tabel (Tabel 1.3). Tabel 1.3 Tanda +/- dari interval Interval tanda tanda tanda Dari tabel diperoleh hasil yang

sama, yaitu penyelesaiannya adalah , .

∞, – – + ( 1, 3 ) + – –,∞ + + +

Contoh 1.4 Carilah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan . Penyelesaian.

2

2 0 (menambahkan –2)

0 (menyamakan penyebut)

0 Titik‐titik pemisah adalah ‐10 dan 4, dengan x ≠ ‐4 (pembagian dengan 0). Dengan menguji pada garis bilagan (Gambar 1.11a) diperoleh penyelesaian adalah {x : ‐10 ≤ x ≤ 4} atau [‐10, 4). Penyelesaian ini dapat dilihat pada grafik Gambar 1.11b.

(a) (b)

Gambar 1.11

Contoh 1.5 Carilah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan (x – 1) (x + 2) (x – 5)2 > 0. Penyelesaian. Titik‐titik pemisah adalah 1, ‐2, dan 5, dan dengan menguji pada garis bilagan (Gambar 1.12a) diperoleh penyelesaian {x : x < ‐2 ∪ x < 1} atau (‐∞, ‐2) ∪ (1, ∞). Hal ini juga ditunjukkan pada grafik (Gambar 1.12b)

(a)

(b)

Gambar 1.12


TIK. Penyelesaian dari ketaksamaan dapat dicari dengan menggunakan perangkat lunak Maple, menggunakan perintah solve. Perintahnya adalah: >solve(eqn, var) dengan eqn - persamaan atau ketaksamaan yang ingin dicari penyelesaiannya. var - peubah terhadap apa kita ingin menyelesaikan persamaan tersebut/ketaksamaan tersebut.

1.2.3 Nilai Mutlak

Konsep nilai mutlak sangat berguna dalam kalkulus, sehingga anda perlu memiliki keterampilan yang berhubungan dengan nilai mutlak. Nilai mutlak dari suatu bilangan real x didefinisikan sebagai:

| | jika 0jika 0

Sebagai contoh |2| = 2 dan |‐5| = ‐(‐5) = 5. Adalah tidak benar mengatakan |‐x| = x (mengapa?). Adalah benar |x| selalu non‐positif dan |‐x| = |x|. Nilai mutlak dapat dipandang sebagai jarak tidak berarah. Nilai |x| adalah jarak antara x dengan titik asal, dan |x – a| adalah jarak antara x dan a (Gambar 1.13).

Sifatsifat nilai mutlak yang penting

1. |ab| = |a||b|2. | |

| | 3. |a + b| ≤ |a| + |b| (Ketaksamaan segitiga) 4. |a ‐ b| ≥ |a| ‐ |b|

Ketaksamaan yang melibatkan nilai mutlak5. |x| < a jika dan hanya jika ‐ a < x < a 6. |x| > a jika dan hanya jika x > a atau x < ‐a

Nilai mutlak dan kuadrat7. |x|2 = x2 dan |x| = √ 8. |x| < |y| ⇔ x2 < y2

Contoh 1.6 Carilah penyelesaian dari persamaan/ketaksamaan

a. |2x – 5| = 9 b. |2x – 5| < 9 c. |2x – 5| > 9

Penyelesaian. a. Jika |2x – 5| = 9, maka terdapat 2 kemungkinan, yaitu 2x – 5 = 9 atau 2x – 5 = ‐ 9

1. 2x – 5 = 9 2x = 14 maka x = 7.

2. 2x – 5 = – 9 2x = –4 maka x = –2.

Jadi penyelesaian dari persamaan |2x – 5| = 9 adalah x = 7 atau x = –2. b. |2x – 5| < 9

‐9 < 2x – 5 < 9 (sifat 5) ‐4 < 2x < 14 (menambahkan 5)

Gambar 1.13


‐2 < x < 7 (mengalikan dengan ½ ) Jadi penyelesaian dari |2x – 5| < 9 adalah {x : ‐2 < x < 7} atau (‐2, 7).

c. |2x – 5| > 9 2x – 5 < ‐9 atau 2x – 5 > 9 (sifat 6) 2x < ‐4 atau 2x > 14 (menambahkan 5) x < ‐2 atau x > 7 (mengalikan dengan ½ ) Jadi penyelesaian dari |2x – 5| > 9 adalah {x : x < ‐2 atau x > 7} atau dapat ditulis dalam

bentuk interval (‐∞, ‐2) atau (7, ∞).

Perhatikan bahwa gabungan dari himpunan penyelesaian dari a, b, dan c adalah himpunan bilangan real secara keseluruhan. Hal ini dapat diilustrasikan dengan grafik pada Gambar 1.14

Gambar 1.14

Contoh 1.7 Carilah penyelesaian dari |5 – | > 1. Penyelesaian.

|5 – | > 1

5 – atau 5 – > 1 (sifat 6)

– 0 atau 4 – > 0

0 atau 0

0 atau 0

Titik‐ titik pemisah adalah , 0, .

Dengan mengambil titik penguji diperoleh himpunan penyelesaian dari |5 – | > 1 adalah

{x : x < 0, 0 < x < , atau x > } (Gambar 1.15)

(a)

(b)


Gambar 1.15 Contoh 1.8 Carilah penyelesaian dari |x – 1| < 2|x – 3|. Penyelesaian.

|x – 1| < 2|x – 3| (x – 1)2 < (2x – 6)2 x2 – 2x + 1 < 4x2 – 24x + 36 3x2 – 22x + 35 > 0 (3x – 7)(3x – 5) > 0

Titik‐titik pemisah adalah , 5. Dengan mengambil titik‐titik penguji 0, 3, 6 diperoleh himpunan

penyelesaian dari |x – 1| < 2|x – 3| adalah {x : atau x > 5}(Gambar 1.16).

(a) (b)

Gambar 1.16 Contoh 1.9 Jika ε adalah suatu bilangan positif, carilah bilangan positif δ sehingga |x – 2| < δ ⇒ |7x – 14| < ε. Penyelesaian. |7x – 14| < ε ⇔ |7(x – 2)| < ε ⇔ 7| (x – 2)| < ε ⇔ |(x – 2)| < ε/7. Jadi kita dapat mengambil δ = ε/7 sehingga |x – 2| < δ ⇒ |x – 2| < ε/7 ⇒ |7x – 14| < ε. Catatan: Notasi akar Setiap bilangan real positif a mempunyai dua akar real yaitu √ dan √ atau kadang ditulis dengan √ . Namun, untuk a ≥ 0, simbol √ disebut akar utama dari a, menyatakan akar tidak positif dari a. Bilangan 4 mempunyai dua akar yaitu . Tetapi √ merepresentasikan hanya satu bilangan, yaitu 2. TIK. Penyelesaian dari persamaan atau ketaksamaan yang melibatkan nilai mutlak juaga dapat dicari dengan menggunakan perangkat lunak Maple, menggunakan perintah solve seperti pada persamaan atau ketaksamaan tanpa nilai mutlak. Pada Maple fungsi yang mengembalikan nilai mulak dari x dinyatakan dengan >abs(x); Latihan 1.2. Buku Latihan Bahan pendalaman materi : • Subbab 1.1 dan 1.4 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit

Erlangga, Jakarta, 2004.


• Subbab 0.1 dan 0.2 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson Education International, New Jersey, 2007.

1.3 Fungsi dan pemodelan matematika Umumnya penerapan kalkulus melibatkan penggunaan bilangan real atau peubah yang menggambarkan perubahan kuantitas. Salah satu kunci untuk menganalisa suatu situasi secara matematik adalah pengenalan akan hubungan‐hubungan antara peubah yang menggambarkan situasi yang sedang dianalisa. Sebagai contoh, dalam kehidupan sehari‐hari kita mengetahui bahwa suhu air mendidih tergantung dari ketinggian tempat dari permukaan laut. Bunga dari deposito tergantung dari lamanya waktu deposito. Pada setiap kasus di atas nilai dari suatu peubah, kita sebut y, tergantung pada peubah yang lain, kita sebut x. Dalam hal tersebut kita katakan y adalah fungsi dari x. Bagaimanakah definisi fungsi secara matematis?

1.3.1 Pengertian Fungsi Fungsi merupakan salah satu konsep yang paling mendasar dalam matematika dan memiliki peran yang sangat penting dalam kalkulus. Definisi 1.1 Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menentukan untuk setiap obyek x pada himpunan pertama, disebut daerah asal, tepat satu nilai f(x) dari himpunan kedua, disebut jangkauan. Ilustasi dari definsi ini diberikan pada Gambar 1.17

Fungsi dapat dipikirkan sebagai mesin yang mengambil masukan x dan menghasilkan keluaran f(x) (Gambar 1.18).

Gambar 1.18

Definisi ini tidak memberi batasan terhadap himpunan daerah asal dan jangkauan. Himpunan daerah asal dan jangkauan

dapat berupa himpunan apa saja selama dapat dibuat aturan yang menghubungkan tepat satu anggota himpunan jangkauan untuk setiap anggota himpunan daerah asal. Sebagai contoh jika daerah asal adalah himpunan orang dan jangkauan adalah himpunan usia, maka hubungan usia dari seseorang adalah fungsi, karena setiap orang memiliki tepat satu usia pada suatu waktu. Demikian juga jika daerah asal adalah himpunan mahasiswa dan jangkauan adalah himpunan nomor pokok mahasiswa, maka hubungan nomor pokok dari seorang mahasiswa adalah fungsi, karena setiap mahasiswa memiliki tepat satu nomor pokok mahasiswa. Fungsi dapat direpresentasikan dalam berbagai bentuk, yaitu secara verbal dengan kata‐kata, diagram, skema, tabel, himpunan pasangan terurut setiap anggota daerah asal dan keluarannya, persamaan matematika, dan grafik. Sebagai contoh fungsi f memetakan bilangan bulat positif yang kurang dari lima ke bilangan kuadratnya, merupakan representasi verbal dari fungsi yang secara diagram diberikan pada Gambar 1.19a, skema diberikan pada Gambar 1.19b, tabel diberikan pada Tabel 1.4 dalam pasangan terurut ditulis sebagai,

Gambar 1.17


1, 1 , 2, 4 , 3, 9 , 4, 16 , secara persamaan matematika ditulis sebagai,

, | 5 . dan secara grafik diberikan pada Gambar 1.20.

(a)

(b)

Gambar 1.19

Tabel 1.4

x 1 2 3 4f(x) 1 4 9 16

Gambar 1.20

Dalam kalkulus, umumnya fungsi yang kita bicarakan adalah fungsi yang daerah asal dan jangkauannya adalah bilangan real atau himpunan bagian dari bilangan real, dan itulah yang akan kita bahas lebih lanjut. Suatu huruf f atau F digunakan sebagai nama fungsi, sehingga f(x) dibaca sebagai ‘f dari x’ atau ‘f pada x’ dan menyatakan nilai yang diberikan f kepada x. Jadi jika 2, maka

2 2 2 2 4 2

2. Jika fungsi f dinyatakan sebagai

, maka peubah x disebut peubah bebas, karena x dapat diberi sembarang nilai dari daerah asal. Peubah y disebut peubah terikat, karena nilainya tergantung pada nilai x. Contoh 1.10 Diberikan fungsi f yang didefinisikan oleh 3 1 Carilah:

a. f(2) b. f(x) + f(2) c. f(x) d. – f(x) e. f(x+2) f. , 0. Penyelesaian.

a. Substitusikan 2 ke x pada persamaan f untuk mendapatkan 2 2 3 2 1 4 6 1 1

b. 2 3 1 1 3 c. Substitusikan –x ke x pada persamaan f untuk mendapatkan

3 1 3 1 d. 3 1 3 1 e. Substitusikan x+2 ke x pada persamaan f untuk mendapatkan


2 2 3 2 1 4 4 3 6 1 1 f.

2 3 3 1 3 1

2 3

2 3

2 3

Perlu diperhatikan bahwa pada contoh ini 2 2 dan . Tidak semua persamaan yang melibatkan peubah bebas x dan peubah terikat y merupakan fungsi, seperti diberikan pada contoh berikut. Contoh 1.11 Periksa apakah persamaan 4 merupakan fungsi. Penyelesaian. Salah satu cara untuk mengetahui apakah persamaan tersebut merupakan fungsi atau tidak, adalah dengan mencari penyelesaian persamaan tersebut terhadap y

4 4

Untuk nilai‐nilai x antara ‐2 sampai 2, terdapat dua nilai untuk y. Artinya persamaan 4 tidak mendefinisikan fungsi.

Seperti telah dijelaskan dalam definisi, fungsi merupakan aturan korespondensi yang melibatkan dua himpunan, yaitu daerah asal dan jangkauan. Daerah asal adalah himpunan nilai‐nilai yang telah ditentukan untuk peubah bebas x, sedangkan jangkauan adalah himpunan nilai‐nilai peubah terikat y ketika peubah bebas x diberi nilai dari daerah asal yang telah ditentukan. Seringkali daerah asal dan jangkauan dari suatu fungsi f tidak diberikan secara eksplisit, yang diberikan hanyalah persamaan yang mendefinikan fungsi f tersebut. Dalam kasus seperti ini, daerah asal f adalah himpunan bilangan real terbesar yang mungkin sehingga nilai f(x) juga merupakan bilangan real (Gambar 1.21).

Gambar 1.21

Contoh 1.12 Carilah daerah asal dari fungsifungsi berikut: a. 5 b. c. √4

Penyelesaian.

a. Fungsi f meminta kita memangkatkan suatu bilangan dan menambahkan lima ke hasil pemangkatan tersebut. Operasi ini selalu dapat kita lakukan untuk setiap bilangan real. Karena itu daerah asal dari f adalah himpunan bilangan real.

b. Kita harus mengeluarkan 2 dari daerah asal, karena ketika x = 2, terjadi pembagian dengan nol pada g(x). Sehingga daerah asal dari g adalah : 2 .


c. Karena penarikan akar untuk bilangan negatif tidak menghasilkan bilangan real, maka kita harus menghindarinya. Dalam hal ini kita harus mengambil 4 0, sehingga daerah asal dari h adalah : 2 2 atau dalam notasi interval [2, 2].

Eksplorasi. Cobalah cari daerah asal dari berbagai fungsi yang dapat anda temukan di buku‐buku referensi yang diberikan. Simpulkanlah ciri‐ciri bilangan yang harus dikeluarkan dari daerah asal.

1.3.2 Pemodelan Matematika Dalam mempelajari masalah‐masalah terapan, seringkali kita perlu mendefinisikan fungsi yang menggambarkan situasi geometris atau fisik dari masalah. Pendefinisian fungsi ini, merupakan bagian dari pemodelan matematika. Umumnya pemodelan masalah aplikasi secara matematika dapat kita lakukan dalam 3 langkah : Gambarkan diagram yang mengilustrasikan masalah (jika memungkinkan) dan lengkapi dengan data‐data yang diketahui Definisikan peubah yang terlibat. Modelkan fungsi yang menghubungkan peubah‐peubah yang ada. Contoh 1.13 Keliling suatu segitiga sama sisi adalah. Nyatakan luas segitiga tersebut dalam k. Penyelesaian. Gambarkan. Ilustrasi dari masalah diberikan pada Gambar 1.22.

Definisikan peubah yang terlibat. Misalkan s menyatakan sisi segitiga t menyatakan tinggi segitiga L menyatakan luas segitiga Modelkan fungsi yang menghubungkan peubah‐peubah yang ada. Karena segitiga itu sama sisi dan kelilingnya k, maka .

2

4 2√3

6 √3.

12

12 3 6 √3 36√3 .

Contoh 1.14 Jumlah dari dua bilangan real adalah 100. Nyatkanlah bilangan kedua dalam bilangan pertama. Penyelesaian. Gambarkan. Dalam kasus ini kita tidak perlu menggambarkan ilustrasi dari masalah. Definisikan peubah. Misalkan

x menyatakan bilangan pertama dan y menyatakan bilangan kedua

Modelkan. 100 atau 100 .

Gambar 1.22


Contoh 1.15 Anda ingin membangun kandang berbentuk persegi panjang untuk binatang peiharaan anda. Untuk menghemat biaya, anda akan menggunakan dinding yang ada sebagai salah satu sisi dari kandang. Biaya untuk membangun sisi kandang adalah Rp.50.000, per meter dan untuk memperbaharui cat dinding yang ada dibutuhkan biaya Rp.15.000, per meter. Jika anda mempunyai uang Rp.400.000, untuk membangun kandang itu, carilah ukuran kandang dengan luas maksimum yang dapat dibangun. Penyelesaian. Gambarkan. Ilustrasi dari masalah diberikan pada Gambar 1.23 Definisikan peubah. Misalkan

Gambar 1.23

x menyatakan sisi yang sejajar dengan dinding yang ada y menyatakan sisi yang lain L menyatakan luas kandang tersebut Modelkan fungsi yang menghubungkan peubah‐peubah yang ada. Luas kandang Dari gambar dan informasi biaya diperoleh hubungan

50.000 50.000 50.000 15.000 400.000 atau

100.000 65.000 400.000 400 65

100

Sehingga 400 65

100400 65

100 . Nilai L yang akan dimaksimumkan. Sampai tahap ini kita baru membuat model matematika dari masalah. Cara mencari nilai x agar L maksimum akan dipelajari pada Bab 3 nanti. TIK. Pada Maple fungsi f yang memetakan x ke f(x) didefinisikan dengan > f:= x‐>f(x); Dengan pendefinisian ini, jika kita mengevaluasi > f(2); Akan memberikan nilai f(x) untuk x = 2. Latihan 1.3. Buku Latihan Bahan pendalaman materi : • Subbab 2.1dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga,

Jakarta, 2004. • Subbab 1.2 dari Calculus, C.H. Edwards, D.E. Penney, Pearson Education International, New

Jersey, 2002. • Subbab 0.5 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson Education

International, New Jersey, 2007. 1.4 Fungsi dan grafiknya Pada subab sebelumnya telah disinggung bahwa salah satu cara merepresentasikan fungsi adalah dengan grafik. Pada subbab 1.2 kita juga telah menggunakan grafik untuk mengilustrasikan penyelesaian dari suatu persamaan dan ketaksamaan. Pada pendidikan


sebelumnya, anda juga telah mempelajari grafik fungsi. Grafik dapat digunakan untuk merepresentaikan fungsi jika daerah asal dan jangkauannya merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan real. Pada bagian ini kita akan mempejari kembali cara menggambar grafik dari suatu fungsi. Gafik dari fungsi f(x) adalah grafik dari persamaan y = f(x). Langkahlangkah menggambar grafik fungsi:

Tentukan koordinat dari beberapa titik yang memenuhi persamaan. Plot titik‐titik tersebut pada sistem koordinat. Hubungkan titik‐titik tersebut dengan kurva mulus. Contoh 1.16 Gambarkan grafik fungsi 2 3. Penyelesaian. Tiga langkah dalam menggambar grafik fungsi f(x) diberikan pada Gambar 1.24

2 3 x y ‐3 ‐3 ‐2 ‐1 ‐1 1 0 3 1 5 2 7 3 9

Tentukan beberapa titik Plot titik‐titik tersebut Hubungkan titik‐titik tersebut dengan kurva mulus

Gambar 1.24

Fungsi seperti f pada contoh 1.16 disebut fungsi linear. Gafiknya berbentuk garis. Bentuk umum dari fungsi linear adalah

dengan m dan c adalah bilangan real. Jika c = 0 maka grafik melalui titik pusat (0, 0). Pada Gambar 1.25 diberikan grafik dari fungsi

untuk berbagai nilai m.

Contoh 1.17 Gambarkan grafik fungsi . Penyelesaian. Tiga langkah dalam menggambar grafik fungsi g(x) diberikan pada Gambar 1.26.

Gambar 1.25


x y ‐3 9 ‐2 4 ‐1 1 0 0 1 1 2 4 3 9

Tentukan beberapa

titik Plot titik‐titik tersebut Hubungkan titik‐titik tersebut

dengan kurva mulus Gambar 1.26

Fungsi seperti g pada contoh 1.17 disebut fungsi kuadratik. Gafiknya berbentuk parabola. Bentuk umum dari fungsi kuadratik adalah

dengan a, b, dan c adalah bilangan real dan 0. Jika a > 0 maka parabola terbuka ke atas, dan jika 0parabola terbuka ke bawah. Pada Gambar 1.27 diberikan grafik dari fungsi untuk berbagai nilai a.

Menentukan koordinat dari beberapa titik yang memenuhi persamaan dapat dilakukan secara sembarang dengan menentukan nilai x terlebih dahulu dan kemudian mencari nilai y yang bersesuaian. Namun dengan pemilihan sembarang titik seperti ini, jika salah pilih, bisa jadi grafik yang kita peroleh tidak merepresentasikan bagian yang menarik dari fungsi yang grafiknya sedang kita gambar. Bahkan grafik bisa sama sekali tidak merepresentasikan fungsinya. Misalnya, jika kita menentukan nilai x yang positif saja atau negatif saja pada Contoh 1.17, bisa jadi kita akan menggambar garis lurus yntuk merepresentasikan fungsi tersebut. Karena itu, penentuan beberapa titik yang memenuhi persamaan ini dapat dimulai dengan mencari perpotongan grafik dengan garis sumbu, dan titik perpotongan ini juga dapat mengarahkan kita untuk memilih titik yang lain. Contoh 1.18 Gambarkan grafik fungsi . Penyelesaian. Pertama‐tama kita akan mencari perpotongan persamaan dengan dengan garis sumbu. Perpotongan dengan sumbu‐x, berarti 0 dan 0 0 diperoleh titik (0, 0). Perpotongan dengan sumbu‐y, berarti 0 dan diperoleh titik yang sama, yaitu (0, 0). Tiga langkah dalam menggambar grafik fungsi h(x) diberikan pada Gambar 1.28.

Gambar 1.27


x y ‐3 ‐27 ‐2 ‐8 ‐1 ‐1 0 0 1 1 2 8 3 27

Tentukan beberapa titik

Plot titik‐titik tersebut Hubungkan titik‐titik tersebut dengan kurva mulus

Gambar 1.28

Dari Gambar 1.27 terlihat bahwa grafik dari fungsi simetris tehadap sumbu‐y dan dari Gambar 1.28 terlihat bahwa grafik fungsi simetris terhadap titik pusat (0, 0). Memeriksa kesimetrisan grafik fungsi dapat membantu dalam menggambar grafik fungsi. Kesimetrisan dapat diketahui dengan memeriksa apakah fungsi merupakan fungsi genap atau ganjil. Misalkan suatu fungsi. Jika untuk setiap x pada daerah asal , maka grafik simetris terhadap sumbu‐y. Fungsi yang demikian disebut fungsi genap. Jika untuk setiap x pada daerah asal , maka grafik simetris terhadap titik asal. Fungsi yang demikian disebut fungsi ganjil. Fungsi adalah contoh fungsi genap (Gambar 1.29a) dan

adalah contoh fungsi ganjil (Gambar 1.29b). Fungsi yang tidak genap atau ganjil, tidak simetris terhadap sumbu‐y atau titik pusat. Contohnya adalah fungsi 2 3 pada contoh. 1.16.

(a) (b)

Gambar 1.29 Selain melakukan langkah‐langkah di atas, untuk menggambar grafik fungsi kadang‐kadang kita juga perlu memperhatikan ciri‐ciri dasar dari fungsi. Contoh 1.19 Gambarlah grafik fungsi . Penyelesaian. Sebelum melakukan ketiga langkah di atas, kita lebih dahulu memperhatikan ciri‐ciri dari fungsi f. Jika x bernilai positif dan sangat besar, maka g(x) bernilai positif dan sangat kecil. Jika x bernilai positif dan dekat ke 0, maka g(x) bernilai positif dan sangat besar. Jika x bernilai negatif dan bilangannya sangat besar, maka g(x) bernilai negatif dan sangat kecil. Jika x bernilai negatif dan dekat ke 0, maka g(x) bernilai negatif dan sangat besar. Kita juga dapat memeriksa kesimetrian fungsi g.

1 1


Karena adalah fungsi ganjil, maka grafik fungsi tersebut simetris terhadap titik asal. Sehingga ketika menentukan beberapa titik pada kurva, kita cukup menentukan titik‐titik untuk x positif atau negatif saja, karena ketika grafik fungsi pada satu sisi dari sumbu‐y diketahui, maka grafik fungsi pada sisi sumbu‐y yang lain merupakan pencerminan terhadap titik pusat. Tiga langkah dalam menggambar fungsi diberikan pada Gambar 1.30

1

x y 1 1 2 ½ 3 1/3 4 1/4

Tentukan

beberapa titik Plot titik‐titik tersebut Hubungkan titik‐titik tersebut


Sifat dasar dari suatu fungsi nantinya dapat kita periksa menggunakan konsep limit yang akan dibahas pada subbab 1.8. Pergeseran grafik fungsi

Jika kita menggeser grafik suatu fungsi secara vertikal atau horizontal, perubahan apakah yang terjadi pada persamaan fungsi tersebut? Perhatikan Gambar 1.31 yang menggambarkan grafik fungsi‐fungsi , 2 , 4 ,

2, dan 4. Perhatikan bahwa penambahan konstanta 2 dan 4 ke sisi kanan persamaan , menghasilkan grafik yang identik dengan grafik f(x) tetapi bergeser ke atas sejauh 2 dan 4 satuan. Demikian juga dengan pengurangan 2 dan 4 pada f(x) menghasilkan grafik yang identik dengan grafik f(x) tetapi bergeser ke bawah sejauh 2 dan 4 satuan.

Kemudian perhatikan Gambar 1.31 yang memberikan grafik fungsi‐fungsi ,

2 , 4 , 2 , dan 4 . Perhatikan bahwa penggantian x

menjadi x‐2 dan x‐4 pada f(x), menghasilkan grafik yang identik dengan grafik f(x) tetapi bergeser ke kanan sejauh 2 dan 4 satuan. Demikian juga penggantian x menjadi x+2 dan x+4 pada f(x) menghasilkan grafik yang identik dengan grafik f(x) tetapi bergeser ke kiri sejauh 2 dan 4 satuan.

Secara umum aturan pergeseran grafik fungsi adalah sebagai berikut: Pergeseran vertikal

Menggeser grafik sejauh k unit ke atas jika k > 0 dan ke bawah jika k < 0.

Gambar 1.31

Gambar 1.32


Pergeseran horisontal

Menggeser grafik sejauh h unit ke kiri jika h > 0 dan ke kanan jika h < 0.

Gambar 1.33 memberikan ilustrasi dari pergeseran grafik fungsi ini,

(a) (b) (c)

Gambar 1.33

Cara menggambar grafik fungsi seperti yang telah dijelaskan pada bagian ini, dapat diterapkan untuk menggambar grafik dari sembarang persamaan . Pada sub bab 1.3.1 telah dijelaskan bahwa tidak setiap persamaan berbentuk merupakan fungsi.

Cara lain untuk memeriksa apakah suatu persamaan merupakan fungsi atau bukan dapat dilakukan dengan melakukan uji garis vertikal pada grafik persamaan yang diberikan. Perhatikan grafik dari persamaan

4 pada Gambar 1.34a. Jika kita membuat garis vertikal l memotong grafik persamaan Gambar 1.34b, terlihat bahwa garis l memotong grafik dua kali. Artinya terdapat 2 nilai y untuk suatu nilai x. Hal ini tidak sesuai dengan definisi fungsi, sehingga kita katakan

4 tidak mendefinisikan fungsi (sama dengan kesimpulan yang kita peroleh pada subbab 1.2). Untuk sembarang persamaan yang grafiknya diberikan, kita dapat melakukan uji garis vertikal untuk memeriksa apakah persamaan tersebut mendefinisikan fungsi atau bukan. Jika sembarang garis vertikal yang kita ambil memotong grafik tepat di satu titik, artinya untuk setiap nilai x terdapat tepat satu nilai y, maka persamaan tersebut mendefinisikan suatu fungsi (Gambar 1.33a). Sebaiknya, jika terdapat satu garis vertikal saja yang memotong grafik di lebih dari satu titik, artinya terdapat nilai x

yang menghasilkan dua nilai yang berbeda atau lebih untuk y, maka persamaan itu tidak mendefinisikan fungsi (Gambar 1.33b dan c). Pada Gambar 1.33d terlihat ada x yang tidak menghasilkan nilai y. Titik x seperti ini tidak termasuk dalam daerah asal dari fungsi.

(a) (b) (c) (d)

Gambar 1.35

(a)

(b)

Gambar 1.34


TIK. Grafik dari suatu fungsi 1 peubah dapat digambar menggunakan Maple dengan perintah plot yang sintaksnya sebagai berikut: >plot(f, h, v, …) dengan f – fungsi‐fungsi yang grafiknya akan digambar h – jangkauan horisontal (misal: x = ‐2..2 artinya grafik akan di plot untuk x antara ‐2 sampai 2) v – jangkauan vertikal … ‐ opsional, artinya bisa ada atau tidak. Opsional ini dapat diisi dengan perintah‐perintah yang mengatur warna grafik, jenis grafik, tebal tipisnya grafik, dll. Untuk fungsi yang tidak dapat dinyatakan secara eksplisit, misalnya x = 2 atau 4, digunakan perintah implicitplot, dengan sintaks sebagai berikut: >implicitplot(expr1, x=a..b, y=c..d, options) dengan expr1 – persamaan dalam x dan y yang grafiknya akan diplot a, b, c, d – konstanta options – opsional, seperti yang dijelakan pada plot. Latihan 1.4. Buku Latihan Bahan pendalaman materi: • Subbab 2.1dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga,


Jersey, 2002. • Subbab 0.4 dan 0.5 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson

Education International, New Jersey, 2007. 1.5 Fungsifungsi yang penting Terdapat fungsi‐fungsi yang diberi nama secara khusus, karena sering digunakan atau karena memiliki ciri khas tertentu. Fungsi‐fungsi itu antara lain, 1. Fungsi konstan , untuk suatu konstanta k.

Fungsi ini menghasilkan k untuk setiap nilai x pada daerah asal. Misalnya 2 (Gambar 1.36).

Gambar 1.36

2. Fungsi identitas .


Fungsi ini menghasilkan x untuk setiap nilai x pada daerah asal (Gambar 1.37).

3. Fungsi linear , untuk konstanta m dan c, 0. Fungsi ini mengandung x berderajat satu. Misalnya 2 5 dan 7 .

4. Fungsi kuadratik , untuk konstanta a, b, dan c, 0 . Misalnya 4 , 2 6, atau 7 10.

5. Fungsi polinomial berderajat n, , untuk konstanta

, 0,1,2, , dan 0. Misalnya 3 4 12 adalah fungsi polinomial berderajat 12.

6. Fungsi rasional adalah fungsi pembagian polinomial dengan polinomial. Misalnya

. 7. Fungsi nilai mutlak | |, dengan

| | jika 0jika 0.

Pada Gambar 1.38 diberikan grafik dari fungsi nilai mutlak.

Gambar 1.37 Gambar 1.38 Gambar 1. 39

8. Fungsi bilangan bulat terbesar , dengan menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x (Gambar 1.39).

9. Fungsi piecewise

, ,

,

, dengan dan 0,1,2,

merupakan konstanta, ‐∞, atau ∞.

Fungsi ini mendefinisikan aturan korespondensi yang berbeda untuk paling sedikit dua interval yang tidak beririsan pada daerah asal. Misalnya

1 , ∞ 11 , 1 ∞

mendefinisikan 1 untuk x kurang atau sama dengan 1 dan 1 untuk x lebih dari 1 (Gambar 1.40). Fungsi piecewise sangat berguna untuk memodelkan situasi tertentu, seperti memodelkan biaya pembelian barang yang harga satuannya berbeda untuk jumlah pembelian tertentu. Misalkan harga suatu jenis zat kimia adalah Rp.50.000,‐ per liter untuk pembelian kurang dari seratus liter dan Rp.48.000,‐ per liter untuk pemberlian lebih dari 100 liter, maka fungsi harga zat kimia akan dimodelkan menjadi ,

Gambar 1.40


50.000 , 0 10048.000 , 100 ∞

TIK. Pada Maple fungsi piecewise dapat didefinisikan dengan perintah piecewise, yaitu: > piecewise(cond_1, f_1, cond_2, f_2, ..., cond_n, f_n, f_otherwise) dengan f_i – ekspresi‐ekpresi cond_i – relasi yang memberikan kondisi dimana f_i berlaku/didefinisikan f_otherwise ‐ (opsional) expresi default, ekspresi yang benar jika kondisi‐kondisi lain yang telah didefinisikan tidak ada yang tepenuhi Latihan 1.5. Buku Latihan Bahan pendalaman materi: • Subbab 1.3 dari Calculus, C.H. Edwards, D.E. Penney, Pearson Education International, New

Jersey, 2002. 1.6 Aljabar fungsi Operasi fungsi Suatu fungsi baru dapat dibangun dari berbagai fungsi‐fungsi dasar yang diberikan pada subbab sebelumnya. Seperti pada bilangan, satu bilangan yang baru dapat diperoleh dengan melakukan operasi ajabar terhadap satu atau dua bilangan yang lain, demikian juga dengan fungsi. Suatu fungsi yang baru dapat diperoleh dengan menerapkan operasi aljabar pada fungsi. Operasi yang dapat dilakukan adalah perkalian dengan konstanta, penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Misalkan 2 dan 2, maka 5 5 2 5 10, 2 2 , 2 2 4, 2 2 2 2 4, .

Pada contoh di atas, daerah asal f sama dengan daerah asal g yaitu ‐∞<x<∞, sehingga daerah asal kf, f+g, f‐g, dan f.g sama dengan daerah asal f atau g, yaitu ‐∞<x<∞. Sedangkan daerah asal f/g adalah 2 untuk menghindari pembagian dengan 0. Jika daerah asal fungsi‐fungsi yang dioperasikan berbeda, maka daerah asal fungsi hasil operasi fungsi adalah irisan dari daerah asal fungsi‐fungsi semula (Gambar 1.41).

Contoh 1.20 Diberikan √1 dengan daerah asal 1 dan √1 dengan daerah asal 1. Carilah formula untuk 2f, f+g, fg, f.g, f/g, dan f4 serta daerah asal masingmasing. Penyelesaian.

Formula Daerah asal Keterangan

√ 1 Daerah asal f

Gambar 1.41


√ √ 1 1 Irisan 1 dengan 1 √ √ 1 1 Irisan 1 dengan 1

. √ √ 1 1 Irisan 1 dengan 1 √√

1 1 Karena g(‐1) = 0

√ = 1 Daerah asal f

Komposisi fungsi

Selain menerapkan operasi aljabar terhadap fungsi, fungsi‐fungsi yang lebih kompleks juga dapat dibangun dengan komposisi fungsi. Jika kita memikirkan fungsi seperti mesin yang mengambil suatu masukan dan mengeluarkan suatu keluaran, maka komposisi fungsi dapat dipandang sebagai rangkaian dari dua mesin dimana keluaran dari mesin pertama menjadi masukan ke mesin kedua (Gambar 1.42).

Jika f bekerja pada x untuk menghasikan f(x) dan g bekerja pada f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), maka kita telah mengkomposisikan g dengan f.

Definisi 1.2 Komposisi dari dua fungsi g dan f adalah fungsi yang didefinisikan dengan

untuk semua x pada daerah asal f sedemikian sehingga berada pada daerah asal g. Contoh 1.21 Diberikan √ dan 4 , maka

4 √ 4 untuk 0, dan

4 untuk | | 2. Pada contoh di atas terlihat

. Hal ini berlaku secara umum, yaitu komposisi f dengan g belum tentu sama dengan komposisi g dengan f. Dengan perkataan lain, operasi komposisi fungsi tidak komutatif. Contoh 1.22 Diberikan √ 9 dan , carilah 5 . Penyelesaian.

5 5 5 9 44

4 28.

Latihan 1.6. Buku Latihan Bahan pendalaman materi : • Subbab 2.2 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga,

Jakarta, 2004. • Subbab 0.6 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson Education

International, New Jersey, 2007. 1.7 Fungsi trigonometri

Gambar 1.42


Banyak sistem fisis yang memiliki sifat dasar bergetar seperti pergerakan pendulum, fibrasi dari senar gitar yang dipetik, pergantian arus listrik, dan naik turunnya geolombang. Magnitude dari getaran ini paling baik didekripsikan dengan sinus dan kosinus dari fungsi trigonometri. Lebih jauh lagi, laju getaran juga dapat direpresentasikan dengan turunan dari fungsi trigonometri ini. Karena itu, pada bagian ini kita akan melihat kembali fungsi trigonometri dengan sifat‐sifatnya, khususnya yang

berhubungan dengan kalkulus. Pada trignometri, sudut biasanya diukur dengan derajat atau radian; pada kalkulus sudut biasanya diukur dengan radian. Satu radian adalah sudut pusat lingkaran berjari‐jari r, yang menghadap busur dengan panjang r (Gambar 1.43).

Jika panjang busur lingkaran adalah s (Gambar 1.44) maka besar sudut

. Untuk lingkaran berjari‐jari r, panjang busur s keliling lingkaran adalah 2πr, sehingga besar sudut pusat satu lingkaran penuh adalah

22 .

Kita tahu bahwa sudut pusat dari suatu lingkaran adalah 360°, sehingga kita memperoleh hubungan antara radian dengan derajat adalah

2 360° atau 180°. Anda mungkin sudah pernah melihat definisi fungsi trigonometri berdasarkan segi tiga siku‐siku. Ringkasan dari definisi fungsi sinus, kosinus, dan tangen berdasarkan segi tiga siku‐siku (Gambar 1.45) adalah sebagai berikut:

Gambar 1.45

1. sin

2. cos 3. tan

Secara lebih umum, fungsi trigonometri dapat didefinisikan berdasarkan lingkaran satuan, yaitu lingkaran dengan titik pusat di titik (0, 0) dan jari‐jari 1. Persamaan lingkaran tersebut adalah x2 + y2 = 1. Misalkan lingkaran satuan ini disebut dengan lingkaran C. Misalkan titik A adalah titik (1, 0) dan t sembarang bilangan real positif. Pasti terdapat tepat satu titik , di C yang kalau diukur pada busur AP dengan arah berlawanan jarum jam, mempunyai panjang t (Gambar 1.46). Dengan demikian kita dapat mendefinisikan fungsi sinus dan kosinus, yaitu

sin dan cos Sifatsifat sinus dan kosinus Dengan memperhatikan lingkaran satuan yang didefinisikan di atas, secara langsung kita dapat menemukan beberapa sifat sinus dan kosinus. 1. Karena nilai t merupakan sembarang bilangan real, maka daerah asal dari sinus dan kosinus

adalah himpunan bilangan real R.

Gambar 1.43

Gambar 1.44

Gambar 1.46


2. Karena x dan y selalu berada antara ‐1 dan 1, maka nilai sinus dan kosinus juga berada pada interval [‐1, 1].

3. Karena keliling lingkaran satuan adalah 2 , maka nilai t dan 2 menunjukkan titik

, yang sama , sehingga sin 2 sin dan cos 2 cos

4. Titik P1 dan P2 yang berkorespondensi dengan t dan –t adalah simetris terhadap sumbu x,

artinya absis dari P1 dan P2 adalah sama (Gambar 1.47), dan ordinatnya berbeda tanda. Akibatnya kita dapatkan

sin sin dan cos cos

Dengan kata lain, sinus adalah fungsi genap sedangkan kosinus adalah fungsi ganjil.

5. Titik yang berkorespondensi dengan t dan simetris terhadap garis y = x, artinya antara

absis dan ordinat saling bertukar tempat (Gambar 1.48), sehingga

sin cos dan cos sin

6. Karena x dan y berada pada lingkaran, artinya memenuhi persamaan x2 + y2 = 1, maka kita mendapatkan identitas yang sangat terkenal

sin cos 1. Grafik sinus dan kosinus Untuk menggambar grafik dari fungsi sinus dan kosinus, kita dapat mengikuti 3 langkan menggambar grafik pada subbab 1.4. Tentukan beberapa titik. Sinus dan kosinus 0, , dan dengan mudah dapat langsung diperoleh

dari lingkaran satuan. Untuk beberapa sudut yang lain, nilai sinus dan kosinus dapat diperoleh dengan argumentasi geometri. Misalnya untuk

maka t merupakan setengah perjalanan dari (1, 0) ke (0, 1), dan pada saat itu sin cos (Gambar 1.49). Menggunakan Phytagoras diperoleh

1 sin4

sin4.

Sehingga sin √2 √ . Demikian juga cos √ . Dengan cara yang sama dapat diperoleh tabel titik‐titik pada Gambar 1.50.

Gambar 1.47

Gambar 1.48

Gambar 1.49


t sin cos 0 0 1 / 1/2 √3/2 / √2/2 √2/2 / √3/2 1/2 / 1 0 / √3/2 ‐ 1/2 / √2/2 √2/2 / 1/2 √3/2 0 ‐1

Tentukan beberapa

titik Plot titik‐titik tersebut Hubungkan titik‐titik tersebut


Gambar 1.51

Plot titik dan grafik diberikan pada Gambar 1.50. Grafik sinus dan kosinus untuk daerah asal yang lebih luas diberikan pada Gambar 1.51. Dari grafik fungsi sinus dan kosinus ini dapat disimpulkan beberapa hal:

1. Sinus dan kosinus bernilai antara ‐1 dan 1. 2. Keduanya berulang pada setiap interval 2 yang berurutan 3. Grafik dari sin simetris terhadap titik asal, dan grafik dari cos simetris

terhadap sumbu‐y. 4. Grafik dari sin t sama dengan cos t, hanya bergeser sejauh .

Contoh 1.23 Gambarlah grafik fungsi 2 .

t sin 0 sin 2.0 0 / sin 2. /8 √2/2 / sin 2. /4 1 / sin 2.3 /8 √2/2 / sin 2. /2 0 / sin 2.5 /8 √2/2 / sin 2.3 /4 1 / sin 2.7 /8 √2/2 sin 2. 0 / sin 2.9 /8 √2/2

Tentukan beberapa titik Plot dan Hubungkan titik‐titik tersebut

Gambar 1.52


Periode dan amplitudo Suatu fungsi f dikatakan periodik jika terdapat suatu nilai p sehingga

untuk setiap bilangan real x pada daerah asal. Bilangan p yang terkecil disebut periode dari f. Sinus dan kosinus adalah fungsi yang periodik dengan periode 2 . Fungsi sin mempunyai periode 2 / karena

sin2

sin 2 sin . Periode dari fungsi cos juga 2 / . Amplitudo suatu fungsi periodik adalah setengah dari selisih nilai maksimum dan nilai minimum fungsi tersebut. Karena jangkauan fungsi sinus dan kosinus adalah [‐1, 1], maka amplitudonya adalah 1. Fungsi trigonometri yang lain Selain sinus dan kosinus, didefinisikan juga 4 fungsi trigonometri yang lain, yaitu:

tansincos

cotcossin

sec1

cos csc

1sin

Karena ke‐4 fungsi ini didefinisikan atas sinus dan kosinus, maka sifat‐sifat ke‐4 fungsi ini juga dapat diperoleh dari sifat‐sifat fungsi sinus dan kosinus. Dalam mempelajari kalkulus lebih lanjut, indentitas‐identitas trigonometri pada Tabel 1.5 akan diperlukan.

Tabel 1.5 Identitas Trigonometri Identitas Trigonometri

Identitas Genap – Ganjil

Identitas Kofungsisin 2 cos

cos 2 sin

tan2

cot

Identitas Phytagoras

Identitas Penjumlahan Sudut sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin

tantan tan1 tan tan

Identitas Sudut Berganda

Identitas Setengah Sudut

sin2

1 cos2

cos2

1 cos2

Identitas Penjumlahan

Identitas Perkalian

sin sin12 cos cos

cos cos12cos cos

sin cos12sin sin


TIK. Pada Maple fungsi‐fungsi trigonometri sudah didefinisikan. Misalnya untuk menghitung cos digunakan perintah > cos(Pi/5); Latihan 1.7. Buku Latihan Bahan pendalaman materi : • Subbab 2.3 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga,

Jakarta, 2004. • Subbab 0.7 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson Education

International, New Jersey, 2007. 1.8 Limit Fungsi Apa yang telah kita bahas sampai saat ini disebut prekalkulus, bukan kalkulus. Pada bagian ini kita akan masuk ke konsep yang sangat mendasar dalam kalkulus yaitu limit. Menguasai konsep‐konsep dan keterampilan yang telah dibahas, akan sangat membantu anda mempelajari kalkulus.

1.8.1 Pengertian Limit Fungsi

Untuk memberi gambaran ide tentang limit, kita akan memulai dari sesuatu yang sangat sederhana. Misalkan kita ingin mengetahui luas dari persegi seperti pada Gambar 1.51.. Luas persegi dapat dicari dengan terlebih dahulu mengukur panjang sisi dari persegi tersebut. Jika panjang sisi persegi telah diketahui, maka kita dapat menghitung luas persegi dengan menggunakan rumus menghitung luas.

Misalkan jika panjang sisi persegi adalah 3, maka luas persegi adalah 9. Bagaimana jika panjang sisi persegi mendekati 3, apakah luasnya juga mendekati 9? Perhatikan Tabel 1.6. yang menunjukkan nilai‐nilai luas persegi ketika panjang sisinya mendekati 3. Terlihat bahwa jika panjang sisi mendekati 3, maka luas persegi mendekati 9. Atau, jika kita ingin membuat luas persegi mendekati 9, maka kita harus membuat panjang sisi persegi mendekati 3.

Kemudian perhatikan fungsi 3. Nilai f(1) = 4, namun bagaimanakah perilaku f(x) ketika x mendekati 1? Dari Tabel 1.7 kita tahu bahwa f(x) akan mendekati 4 ketika x mendekati 1. Secara matematika ditulis,

lim 3 4 Mungkin anda mulai berfikir, apa bedanya mengatakan nilai f(1) = 4 dengan mengatakan f(x) mendekati 4 ketika x mendekati 1? Perhatikan 3 grafik fungsi pada Gambar 1.54. Nilai ketiga fungsi ini adalah 4 ketika x = 1, namun jika kita perhatikan perilaku fungsi ketika x mendekati 1 sangat jauh berbeda. Gambar c memberi informasi kepada kita bahwa nilai fungsi di x = 1 berbeda dengan nilai limit 1.

Tabel 1.6 Sisi Luas 2,9 8,41 2,99 8,9401 2,999 8,994001 2,9999 8,99940001↓ ↓ 3 ? ↑ ↑ 3,0001 9,000600013,001 9,0060013,01 9,0601 3,1 9,61

Gambar 1.53

Tabel 1.7

x f(x) 0,9 3,81 0,99 3,9801 0,999 3,998001 0,9999 3,99980001 ↓ ↓ 1 ? ↑ ↑ 1,0001 4,00020001 1,001 4,002001 1,01 4,0201 1,1 4,21


Gambar 1.54

Sekarang perhatikan fungsi . Kita tahu bahwa f tidak terdefinisi di x = 1, namun berapakah nilai g(x) ketika x mendekati 1? Untuk mengetahuinya maka kembali kita membuat tabel yang memberikan nilai‐nilai g(x) ketika x mendekati 1 (Tabel 1.8). Dari tabel terlihat bahwa ketika x mendekati 1 maka g(x) akan mendekati 2. Grafik dari fungsi g(x) diberikan pada Gambar 1.55. Secara matematika ditulis,

lim11

2 Dengan pendekatan aljabar, kita juga dapat menunjukkan limit ini.

lim11

lim1 1

1

lim 1 1 1 2.

Perhatikan bahwa 1 selama 1. Ketika kita mengatakan x mendekati 1 artinya 1. Menurut anda mana yang lebih informatif mengatakan f(x) tidak terdefinisi untuk x = 1 atau f(x) akan mendekati 2 ketika x mendekati 1? Dari pembahasan hingga saat ini kita dapat memberikan pengertian intuitif dari limit. Definisi 1.3 Pengertian intuitif limit Untuk mengatakan berarti ketika x dekat tetapi berbeda dengan c maka f(x) dekat dengan L. Definisi ini tidak memberi persyaratan apa‐apa untuk c. Fungsi f bisa saja tidak terdefinisi di c. Konsep limit i berkaitan dengan perilaku fungsi ketika x dekat dengan c, dan bukan ketika x = c. Sepanjang pembahasan limit hingga saat ini, kita selalu menggunakan istilah mendekati. Apa sebenarnya arti mendekati itu? Kapan suatu nilai kita katakan mendekati nilai lain? Hal ini akan dibahas kemudian ketika kita mempelajari pengetian tepat dari limit. Contoh 1.24 Carilah 2 3. Penyelesaian. Ketika x mendekati dengan 5 maka 2 3 mendekati dengan 2⋅5 3 7. Kita tulis lim 2 3 7. Contoh 1.25 Carilah .

Tabel 1.8

x g(x)

0,9 1,9

0,99 1,99

0,999 1,999

0,9999 1,9999

↓ ↓ 1 ?

↑ ↑ 1,0001 2,0001

1,001 2,001

1,01 2,01

1,1 2,1

Gambar 1.55


Penyelesaian. Perhatikan bahwa nilai 6 / 2 tidak terdefinisi di x = 2, sehingga untuk mengetahui apa yang terjadi ketika x mendekati 2, kita dapat menggunakan kalkulator atau program spreadsheet untuk membuat tabel seperti Tabel 1.9 dan menyimpulkan bahwa lim 4. Namun pendekatan yang lebih baik dapat dilperoleh dengan aljabar.

lim6

2 lim2 3

2 lim 3 2 3 5.

Perlu ditekankan kembali bahwa 1 untuk 2. Jika 2 maka

dan juga, dan kita tahu bahwa tidak terdefinisi.

Contoh 1.26 Carilah . Penyelesaian. Untuk masalah ini tidak ada cara aljabar yang dapat kita lakukan. Karena itu dengan kalkulator atau program spreadsheet kita mencoba membuat tabel nilai‐nilai ketika x mendekati 0 (Tabel 1.10). Dari tabel kita lihat bahwa

limsin

1. Grafik dari diberikan pada Gambar 1.56. Setelah kita mempelajari limit lebih jauh, nanti kita dapat menunjukkan limit ini dengan cara yang lebih tepat.

Tabel 1. 10 x sin

1 0,841471

0,1 0,998334 0,01 0,999983

↓ ↓ 0 ? ↑ ↑

‐0,01 0,999983 ‐0,1 0,998334 ‐1 0,841471

Gambar 1.56

Contoh 1.27 Carilah

Penyelesaian. Grafik dari diberikan pada Gambar 1.57. Telihat bahwa ketika 3 didekati dari nilai‐nilai x < 3, maka dekat ke 2, sedangkan ketika 3 didekat dari nilai‐nilai x > 3, maka dekat ke 3. Bagaimana pun cara kita mendekati 3, kita tidak dapat menemukan satu nilai yang sama di sini. Dalam hal ini kita katakan lim tidak ada. Contoh 1.28 Carilah .

Tabel 1.9 x f(x)

1,9 4,9 1,99 4,99 1,999 4,999 1,9999 4,9999

↓ ↓ 1 ? ↑ ↑

2,0001 5,0001 2,001 5,001 2,01 5,01 2,1 5,1

Gambar 1.57


Penyelesaian. Dengan menggunakan kalkulator atau program spreadsheet kita dapat memperoleh Tabel 1.11. Namun, ternyata kita tidak dapat menyimpulkan apa‐apa dari tabel ini. Dengan menggunakan kalkulator grafik atau perangkat lunak yang dapat menggambar grafik, kita dapat memperoleh grafik dari

sin untuk interval [‐1, 1] seperti pada Gambar 1.58a. Jika kita memperkecil interval menjafi [‐0.1, 0.1] diperoleh Gambar 1.58b. Dengan memperkecil interval kembali menjadi [‐0,01, 0,01] diperoleh Gambar 1.58c. Kita melihat terlalu banyak goyangan turun naik nilai sin ketika x mendekati 0. Maka dalam hal ini kita

juga megatakan bahwa lim sin tidak ada.

(a)

(b) (c) Gambar 1.58

Sampai saat ini kita mencari lim dengan cara mengevaluasi nilai f(x) ketika x mendekati c. Untuk fungsi yang kompleks, hal itu akan sangat melelahkan. Teorema berikut akan membantu mempermudah mengevaluasi limit untuk fungsi yang lebih kompleks. Teorema 1.1 Teorema limit utama

1. , adalah konstanta2.

3. , adalah konstanta4.

5.

6. . .7.

, asalkan 0

8. , n bilangan bulat 9. , asalkan 0 jika n genap.

Contoh 1.29 Carilah .

Tabel 1.11 sin

1

/ 1 / 0 / ‐1 / 0 / 1 / 0 / ‐1 / 0 / 1 / 0 / ‐1 / 0

0 ?


Penyelesaian. Karena lim 8 , lim 3 1 , lim 4 , lim 2 , dan lim 6 6 maka

lim3

68 1

4 2 623 .

Untuk fungsi polinomial dan fungsi rasional, teorema berikut juga mempermudah menghitung limit. Teorema 1.2 Substitusi Jika f adalah fungsi polinomial atau fungsi rasional maka

, asalkan f(c) terdefinisi. Teorema ini mengijinkan kita menghitung limit fungsi polinomial dan fungsi rasional dengan langsung mensubstitusikan nilai c ke x, selama penyebut dari fungsi rasional tidak menjadi 0. Contoh 1.30 Carilah . Penyelesaian.

Contoh. 1.31 Carilah . Penyelesaian. Kita tidak dapat menggunakan teorema subtitusi karena dengan mensubstitusikan 2 ke x membuat penyebut (x‐2) menjadi nol. Yang dapat dilakukan adalah penyederhanaan secara aljabar.

. Contoh 1.32 Carilah √

√.

Penyelesaian. Dengan alasan yang sama dengan pada contoh 1.31, di sini juga kita tidak dapat menggunakan teorema subtitusi. Yang dapat diakukan adalah manipulasi secara aljabar dengan mengalikan suku yang sekawan dengan √ yaitu √ .

√√

√ √

√ √

√ √

√√

Teorema 1. Teorema Apit (Squeeze atau sandwich) Misalkan f, g, dan h adalah fungsifungsi yang memenuhi untuk semua x dekat c, kecuali mungkin pada x = c. Jika , maka . Ilustrasi teorema ini dapat dilihat pada Gambar 1.59.


Gambar 1.59

Contoh 1.33 Carilah lim dengan menggunakan Teorema Apit.

Penyelesaian.

Kita ketahui bahwa 1 sin 1 untuk setiap x. Jika ketaksamaan ini kita kalikan dengan , kita mendapatkan

sin1

. Dengan mengambil dan , kita terapkan teorema apit. Karena lim lim 0 , maka teorema apit memberikan lim sin 0 (Gambar 1.60).

Limit satu sisi

Ketika fungsi melompat seperti fungsi yang melompat di setiap titik bilangan bulat (Contoh 1.27), limit fungsi tidak ada pada setiap titik lompatan. Namun kita tetap dapat menyelidiki perilaku fungsi sebelum dan sesudah lompatan. Hal ini mengarahkan kita untuk mengenalkan limit satu sisi. Simbol berati x mendekati c dari nilai‐nilai yang lebih besar dari c. Jika dilihat pada garis bilangan, x mendekati c dari sisi kanan. Sedangkan simbol berati x mendekati c dari nilai‐nilai yang lebih kecil dari c. Jika dilihat pada garis bilangan, x mendekati c dari

sisi kiri. Definisi 1.4 Limit kiri dan kanan Dikatakan apabila ketika x mendekati dari kiri c, maka f(x) mendekati L. Dikatakan apabila ketika x mendekati dari kanan c, maka f(x) mendekati L. Sehingga dalam kasus lim , lim 3 dan lim 2 (Gambar 1.61). Berhubungan dengan limit kiri dan limit kanan, teorema berikut akan sangat mudah dipahami.

Gambar 1.60

Gambar 1.61


Teorema 1.4 jika dan hanya jika dan . Contoh. 1.34 Carilah | |

. Penyelesaian. Untuk x < 0 nilai | | sehingga

lim lim 1 1. Untuk 0 nilai | | sehingga

lim lim 1 1.

Karena lim | | lim | | maka lim | | tidak ada (Gambar 1.62).

Gambar 1.62

Contoh 1.35 Diberikan 4 5, 06 , 0 22, 2

. Carilah limit f(x) untuk x mendekati 0 dan

untuk x mendekati 2. Penyelesaian. Pertama‐tama kita cari limit f(x) untuk x mendekati 0. Karena definisi f(x) berbeda untuk x di kiri dan di kanan 0 maka kita mencari limit kiri dan kanan.

lim lim 4 5 5. lim lim 6 6.

Karena lim lim maka lim tidak ada. Kemudian untuk x mendekati 2. Dengan alasan yang sama dengan pada x mendekati 0, kita juga mencari limit kiri dan kanan

lim lim 6 2. lim lim 2 2.

Karena lim lim 2 maka lim 2. Untuk memperoleh pemahaman yang lebih baik tentang limit, perhatikan Gambar 1.63. lim tidak ada karena lompatan, dan lim tidak ada karena goyangan.


Gambar 1.63

Contoh 1.36 Berat W suatu benda bergantung pada jarak benda (d) tersebut ke pusat bumi. Jika d kurang dari jari – jari bumi R, maka W sebanding dengan d; dan jika d lebih dari atau sama dengan R maka W berbanding terbalik dengan d2. Jika berat dari suatu benda pada permukaan bumi adalah W0, carilah bentuk fungsi W dalam d dan gambarkan grafiknya. Penyelesaian. Jika ; maka ; dengan suatu konstanta k dan ketika , / , dengan suatu konstanta l sehingga,

, 0

,

Konstanta k dan l diesebut konstanta pembanding.

Karena berat suatu benda adalah W0 pada permukaan bumi yaitu ketika , hal ini mengakibatkan /, sehingga . Sekarang, untuk mencari nilai k.

Jika kita menggerakkan benda tersebut dari bawah permukaan bumi sampai ke permukaan, berat benda tersebut akan bertambah perlahan – lahan. Beratnya akan mendekati W0 ketika di permukaan bumi. Dengan kata lain, limit dari W ketika akan sama dengan W0;

jadi,

lim . Oleh karena itu,

, 0

,

Grafik fungsi ini diberikan pada Gambar 1.64.

Gambar 1.64


Limit takhingga

Limit suatu fungsi tidak selalu ada. Hal itu bisa terjadi karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan (Contoh 1.27), atau bisa juga karena terlalu banyak goyangan (Contoh 1.28). Tidak adanya limit fungsi bisa juga karena nilai fungsi yang terlalu besar. Sebagai contoh perhatikan yang tidak

terdefinisi di x = 3. Apakah lim ada? Untuk mencarinya, kita membuat tabel nilai‐nilai f(x) ketika x mendekati 3 (Tabel 1.12) Dari tabel terlihat, ketika x semakin dekat dengan 3 maka nilai f(x) semakin besar, bahkan kita dapat membuat nilai f(x) sebesar apa pun dengan mengambil x semakin dekat ke 3. Dalam kasus ini kita katakan

lim13 ∞.

Grafik dari diberikan pada Gambar 1.65 Kita katakan bahwa x=3 adalah asimtot vertikal dari grafik tersebut.

Contoh 1.37 Carilah jika ada.

Penyelesaian. Dalam kasus ini kita memperhatikan limit kiri dan kanan ketika x mendekati 1. Kita dapat menemukan bahwa

lim11 ∞

dan

lim11

∞ Terlihat bahwa tidak mempunyai limit untuk x mendekati 1, tetapi mendekati nilai negatif yang sangat besar untuk x

mendekati dari kiri 1 dan mendekati nilai positif yang sangat besar untuk x mendekati dari kanan 1 (Gambar 1.66). Kita katakan bahwa x = 1 adalah asimtot vertikal dari . Eksplorasi. Carilah limit dari fungsi‐fungsi rasional untuk x mendekati titik‐titik yang membuat penyebutnya bernilai 0. Dapatkah anda menemukan fungsi yang memiliki lebih dari satu asimtot vertikal? Limit di takhingga Dalam berbagai situasi kita juga perlu memperhatikan limit dari suatu fungsi ketika peubah bebas mendekati nilai yang sangat besar, positif maupun positif. Sebagai contoh, jika memungkinkan carilah nilai yang didekati fungsi ketika x menjadi semakin besar. Grafik untuk 0 200 (Gambar 1.67) mengindikasikan bahwa akan semakin

Tabel 1.12 x f(x)

2,9 10 2,99 100

2,999 1000 2,9999 10000

↓ ↓ 3 ? ↑ ↑

3,0001 10000 3,001 1000 3,01 100 3,1 10

Gambar 1.65

Gambar 1.66


mendekati 2 untuk nilai x yang besar. Untuk meyakinkan hal ini, kita dapat membagi pembilang dan penyebut dengan untuk memperoleh

4 22 5

4 2

2 5

Ketika x semakin besar, maka dan semakin mendekati 0, sehingga akan mendekati 2. Dalam notasi limit kita tuliskan

lim∞

4 22 5

2. Dan kita katakan juga bahwa 2 adalah asimtot horizontal

dari .

Contoh. 1.38 Carilah ∞ . Penyelesaian.

lim∞

5 21

lim∞

5 1 2

1 1 1 5.

Grafik diberikan pada Gambar 1.68.

Contoh. 1.39 Carilah ∞ .

Penyelesaian. lim ∞ lim ∞ 0.

Contoh 1.40 Carilah ∞ . Penyelesaian.

lim∞

3 2lim

∞

3 2

1 1 ∞.

Limit yang melibatkan fungsi trigonometri Teorema 1.5. Limit untuk fungsi trigonometri 1.

2. lim cos cos

3. lim tan tan

4. lim cot cot

5. lim sec sec

6. lim csc csc

Gambar 1.67

Gambar 1.68


Contoh 1.41 Carilah lim cos x dan lim sin π x .

Penyelesaian. lim cos x cos 0 1 dan lim sin π x sin π sin 1. Teorema 1.6 Limit trigonometri khusus

limsin

1

lim1 cos

0 Contoh 1.42 Carilah

a.

b.

c.

Penyelesaian.

a. lim lim 5 5 lim 5.

b. lim lim 0.

c. lim lim· ·

2.

TIK. Kita dapat menggunakan Maple untu mencari limit fungsi di suatu titik dengan perintah > limit(f, x=a, dir) dengan f – ekspresi yang limitnya ingin dicari x – nama peubah a – suatu ekspresi aljabar, bisa titik, bisa juga infinity atau – infinity dir – (opsional) merupakan arah, bisa left atau right

1.8.2 Pengertian Limit Fungsi Secara Matematis Pada subbab sebelumnya kita sudah mencoba memahami dan mencari limit fungsi secara intuitif. Dalam definisi intuitif limit, kita menggunakan istilah semakin ‘dekat’ atau ‘mendekati’. Jika x semakin dekat dengan c maka f(x) semakin dekat dengan L. Apa sebenarnya yang dimaksud dengan x ‘dekat’ c atau x ‘mendekati’ c? Bagaimanakah ukuran dari dekat itu? Pada bagian ini kita akan membahas pengertian yang tepat dari limit, secara matematis.

Diberikan sembarang 0 kita dapat menemukan suatu 0 sehingga


0 | | | | Gambar 1.69

Pada subbab 1.2 kita telah mempelajari bahwa nilai mutlak digunakan untuk menyatakan jarak, karena jarak selalu positif. Jarak antara x dangan c dinyatakan dengan | |. Untuk mengatakan x dekat dengan c berarti | | bernilai kecil, hampir sama dengan 0, tetapi tidak sama dengan 0. Ingat kembali limit x mendekati c berarti x smakin mendekati c tetapi . Kita akan mengikuti tradisi menggunakan huruf latin ε (dibaca: epsilon) dan δ (dibaca: delta) untuk menyatakan bilangan real positif yang kecil. Sehingga f(x) dekat dengan L secara matematis dinyatakan dengan | | , yang berarti . Dan untuk x dekat dengan c tetapi tidak sama dengan c secara matematis dinyatakan dengan 0 | |, yang berarti dan . Definisi 1.5 Pengertian tepat dari limit Fungsi f(x) mempunyai limit L untuk x mendekati c jika diberikan sembarang 0, kita dapat menemukan suatu 0 sehingga | | apabila 0 | | ; artinya,

0 | | | | . Gambar 1.69 memberikan ilustrasi dari definisi ini. Perlu ditegaskan bahwa bilangan real diberikan terlebih dahulu (karena yang diasumsikan adalah f(x) mempunyai limit L), kemudian dihasilkan , yang biasanya bergantung pada . Proses limit ini dapat diilustrasikan sebagai kontes antara si ‘yakin’ yang mengklaim lim namun ditolak oleh si ‘peragu’. Si ‘peragu’ memberikan sembarang nilai positif , maka si ‘yakin’ harus menemukan dan menunjukkan 0 | | | | . Logikanya, si ‘peragu’ akan memilih yang kecil, agar si ‘yakin’ tidak menemukan yang memenuhi persyaratan. Kapankah si ‘yakin’ menang? Dan kapan si ‘peragu’ yang menang? Contoh 1.43 Si ‘yakin’ menang Tunjukkan bahwa 3 1 5 Penyelesaian. Dimulai dengan si ‘peragu’ memberikan nilai , maka si ‘yakin’ harus dapat menemukan yang menjamin

0 | 2| | 3 1 5| Karena yang diberikan adalah , maka dia mulai dari sisi kanan tanda panah

| 3 1 5| |3 6| 3| 2| yang menghasilkan

| 2| 3 .


Sehingga si ‘yakin’ mendapatkan dan dapat menunjukkan

0 | 2|3 | 3 1 5|

Dengan demikian terbukti bahwa lim 3 1 5. Ilustrasi dari penyelesaian ini diberikan pada Gambar 1.70. Perlu dipahami bahwa si ‘peragu’ dapat memilih sembarang bilangan real yang kecil. Seandainya dia memilih 0.01 maka si ‘yakin’ akan memberikan

. 0.0033. Seandainya dia memilih 0.0003 maka si ‘yakin’ akan memberikan

. 0.0001. Dan seterusnya, yang berarti si ‘yakin’ menang.

Contoh 1.44 Si ‘peragu’ menang

Tentukan apakah 6 Penyelesaian. Untuk setiap nilai yang diberikan oleh si ‘peragu’, si ‘yakin’ harus dapat memberikan nilai sehingga

0 | 2| 2 3 2

26 .

Seperti pada contoh sebelumnya, si ‘yakin’ memulai dari sisi kanan dan memperoleh,

2 3 22

62 3 2 6 12

2

2 9 102

2 5 22

|2 5|. Diperoleh ekspresi |2 5|. Si ‘yakin’ tidak dapat membuat |2 5| dalam bentuk | 2| yang dapat menghubungkan dengan , dan tidak dapat menunjukkan pernyataan

0 | 2| 2 3 2

26 .

benar. Bagaimana kita memahami ini? Misalkan si ‘peragu’ memilih 1,5 (nilai yang tidak begitu kecil). Maka si ‘yakin’ harus menemukan nilai sedemikian sehingga untuk setiap x yang berada pada [2‐ , 2+ ], maka nilai harus berada pada [6‐1,5, 6+1,5]. Hal ini ditunjukan pada Gambar.1.71. Akan tetapi, jika si ‘peragu’ memilih 0,5 (masih tidak begitu kecil), si ‘yakin’ dikalahkan, karena dia tidak dapat menemukan nilai yang menjamin

0 | 2| 2 3 2

2 6

(Gambar 1.71). Dalam hal ini disimpulkan bahwa lim 6.

Gambar 1. 70


(a) (b) © Gambar 1.71

Latihan 1.8. Buku Latihan Bahan pendalaman materi : • Subbab 2.4 ‐ 2.8 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit

Erlangga, Jakarta, 2004. • Subbab 2.1 – 2.3 dari Calculus, C.H. Edwards, D.E. Penney, Pearson Education International,

New Jersey, 2002. • Subbab 1.1 – 1.5 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson Education

International, New Jersey, 2007.

1.9 Kekontinuan Kita telah mengetahui bahwa limit dari suatu fungsi di suatu titik kadang sama dengan nilai fungsi di titik itu dan kadang tidak, seperti yang diilustrasikan dalam Gambar 1.72. Pada Gambar 1.72a dan b lim , sedangkan pada Gambar 1.72c lim . Dalam kondisi seperti Gambar 1.72c, kita sebut f(x) kontinu di c.

(a) (b) (c)

Gambar 1.72

Definisi 1.6 Kontinuitas pada titik Misalkan f terdefinisi pada interval terbuka yang mengandung c. Kita katakan f kontinu pada c jika

.


Definisi ini mensyaratkan 3 hal:

1. lim ada 2. ada, artinya c berada pada daerah asal dari f 3. lim

Jika salah satu dari kondisi ini tidak dipenuhi, maka kita katakan f tidak kontinu di c. Sehingga fungsi pada Gambar 1.72a dan 1.72b tidak kontinu di c, sedangkan pada Gambar 1.72c fungsi kontinu di c. Contoh 1.45 Fungsi f(x)= 2x+2 kontinu pada titik x = 2 karena ·

. Contoh 1.46 Periksalah titik diskontinu dari fungsifungsi berikut

a. b. c.

Penyelesaian.

a. Fungsi f(x) tidak terdefinisi di x = 2 karena menyebabkan penyebut 0, sehingga tidak kontinu di x = 2. Akan tetapi

lim42 lim

2 22 4.

Kediskontinuan seperti ini kita sebut kediskontinuan yang dapat dihapus (Gambar 1.73).

b.

Fungsi f(x) tidak terdefinisi di x = 2 karena menyebabkan penyebut 0, sehingga tidak kontinu di x = 2. Untuk mengetahui lebih jauh, kita periksa limit 2 dari f(x)

lim ∞ dan lim ∞

sehingga lim ∞. Kediskontinuan seperti ini kita sebut kediskontinuan yang tidak dapat dihapus (Gambar 1.74).

c. Fungsi f(x) tidak terdefinisi di x = 2 karena menyebabkan penyebut 0, sehingga tidak kontinu di x = 2. Kemudian kita periksa limit f(x) untuk

2.

lim| 4|

2 lim2 22 4

dan

lim| 4|

2lim

2 22

4

Gambar 1.73

Gambar 1. 74

Gambar 1.75


sehingga lim tidak ada. Kediskontinuan seperti ini kita sebut kediskontinuan yang tidak dapat dihapus (Gambar 1.75).

Suatu titik diskontinu dari suatu fungsi dapat dihapus jika kita dapat mendefinisikan ulang nilai fungsi di c dan membuat f menjadi kontinu di c. Jika hal ini tidak dimungkinkan, maka kediskontinuan tidak dapat dihapus. Teorema 1.7 Kontinuitas di bawah operasi fungsi Jika f dan g merupakan fungsifungsi yang kontinu pada titik x = c maka fungsifungsi · , , · , asalkan 0, , asalkan 0 jika n genap, juga kontinu pada titik x = c.

Bukti. Bukti dari teorema ini diperoleh langsung dari sifat limit (Teorema). Sebagai contoh kita buktikan untuk . Misalnya f dan g kontinu di c maka

lim lim lim . Yang kita peroleh adalah kenyataan bahwa f+g kontinu di c. Contoh 1.47 Carilah semua titik kediskontinuan dari fungsi dan golongkan apakah titik kediskontinuan itu dapat atau tidak dapat dihapus. Penyelesaian. Fungsi f(x) tidak terdefinisi di x = 0 dan x = 1 karena menyebabkan penyebut 0, sehingga tidak kontinu di x = 0 dan 1. lim lim · lim 1 1 1.

lim ∞ dan lim ∞.

sehingga lim tidak ada. Kediskontinuan f(x) di x = 0 dapat dihapus dengan mendefinisikan 1 1, sedangkan di kediskontinuan di x = 1 tidak dapat dihapus. Pada subbab 1.3 kita sudah mengetahui bahwa selain operasi aljabar, pada fungsi juga dapat dilakukan operasi komposisi. Operasi ini mempertahankan kekontinuan. Teorema 1.8 Teorema limit komposit Jika dan f kontinu di L, maka

. Secara khusus, jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c) maka juga kontinu di c. Teorema 1.9 Kekontinuan pada interval Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di c jika dan kontinu kiri di c jika

. Kita katakan f kontinu di interval terbuka (a, b) jika f kontinu di setiap titik pada interval tersebut. Kita katakan f kontinu di interval tutup [a, b] jika f kontinu di setiap titik pada interval buka (a, b), kontinu kiri di a, dan kontinu kanan di b. Secara intuitif, jika f kontinu pada interval [a, b] berarti tidak ada lompatan pada grafik f di [a, b]. Ide ini memberikan teorema berikut.


Teorema 1.10 Teorema nilai antara Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada [a, b] dan y0 adalah suatu bilangan dengan

. Jika f kontinu pada [a, b], maka pasti ada paling sedikit satu c dengan sehingga .

Bukti dari teorema ini dapat dilihat dalam buku‐buku kalkulus yang lebih lanjut. Gambar 1.76a memberikan ilustrasi teorema nilai antara. Ketika kita mengambil dengan maka kita menemukan satu dengan dimana . Dan ketika kita mengambil dengan maka kita menemukan tiga nilai , , dengan

dimana . Gambar 1.76b adalah ilustrasi teorema nilai antara tidak dipenuhi karena fungsi pada Gambar 1.76b tidak kontinu, sehingga ketika kita mengambil dengan maka kita tidak dapat menemukan satu dengan dimana .

(a) (b)

Gambar 1.76 Contoh 1.48 Tunjukkan bahwa 3 0 mempunyai akar real. Penyelesaian. Fungsi 3 kontinu di setiap . Dengan observasi kita tahu bahwa f(‐1) = ‐3 dan f(3) =3, yang berarti f(‐1) < 0 < f(3). Teorema nilai antara menjamin bahwa ada c dengan ‐1 < c < 3 sehingga f(c) = 0. Artinya 3 0 mempunyai akar real. Latihan 1.9. Buku Latihan Bahan pendalaman materi : • Subbab 2.9 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga,


Jersey, 2002. • Subbab 1.6 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson Education

International, New Jersey, 2007.

bab_1_matematika_dasar_a1

Documents