bab1_analisavektor

SKALAR dan VEKTOR

Skalar besaran yang dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan nyata

Contoh jarak L waktu t temperatur T dsb

Vektor besaran yang mempunyai besar dan arah dalam ruang

Contoh Gaya kecepatan percepatan medan dsb

Teori Medan - Analisis Vektor

KOMPONEN VEKTOR dan VEKTOR SATUAN


Untuk menyatakan sebuah Vektor dalam sistem koordinat kartesian memberikan jumlah tiga vektor komponen yang terletak pada ketiga sumbu koordinat

Contoh komponen dari vektor A ialah xy dan z

A = Axax + Ayay +Azaz

dimana a sebagai vektor satuan dan arahnya dinyatakan oleh subskrip sesuai dengan sumbu koordinat

Vektor Satuan dalam arah vektor A dinyatakan dengan membagi A dengan nilai absolutnya

AA

aA

ALJABAR VEKTOR

bull Penjumlahan Vektor mengikuti hukum jajaran genjang

bull Penjumlahan Vektor mengikuti hukum komutatif hukum asosiatif dsitributif

AA

B

A+B

A+B

B

Teori Medan ndash Analisis Vektor

ALJABAR VEKTOR


Bila Vektor A = Axax + Ayay + Azaz

dan B = Bxax + Byay + Bzaz maka Penjumlahan dan Pengurangan vektor

A + B = (Ax + Bx) ax + (Ay + By) ay + (Az + Bz ) az

A - B = (Ax - Bx) ax + (Ay -By) ay + (Az - Bz ) az

Hukum Asosiatif distributif dan komutatifA + (B + C) = (A + B) + Ck (A + B) = kA + kB

(k1 + k2)A = k1A + k2AA + B = B + A

PERKALIAN TITIK

bull Perkalian skalar atau perkalian titik dua vektor A dan B didefinisikan sebagai perkalian dari besar A dan besar B kosinus sudut antara kedua vektor A dan B (sudut yang kecil)

ABBABA cos||||mengikuti hukum komutatif

ABBA Teori Medan - Analisis Vektor

bull Misal A = Axax + Ayay + Azaz dan B = Bxax + Byay + Bzaz

Sudut antara dua vektor satuan yang berbeda dalam sistem koordinat cartesian ialah 90deg maka

1 zzyyxx aaaaaa0 yzzyxzzxxyyx aaaaaaaaaaaa

Perkalian titik dua vektor

zzyyxx BABABABA

Perkalian titik antara vektor yang sama

22 || AAAA


Komponen (skalar) dari B pada arah yang ditentukan oleh vektor satuan a ialah

Tanda komponen ini positif jika

dan negatif jika

BaBa BaBaB cos||cos||||

90Ba

18090 Ba


Proyeksi Vektor

bull (a) Komponen (skalar) dari B dalam arah vektor satuan a

B a bull (b) Komponen vektor dari B dalam arah vektor satuan a

(B a) a


PERKALIAN SILANG

Perkalian silang atau perkalian vektor antara vektor A dan B (A x B) adalah besar A dikalikan dengan besar B dan dikalikan dengan sinus sudut terkecil antara A dan B

arah A x B tegak lurus pada bidang datar tempat A dan B terletak dan arahnya sesuai dengan arah maju sekerup putar kanan yang diputar dari A ke B

ABN BAaBA sin||||aN adalah vektor satuan yang normal terhadap bidang A x B


bull Arah A x B ialah arah majunya sekerup putar kanan jika A diputar ke arah B

Perkalian silang tidak komutatif B x A = - (A x B)


A x B = (Axax + Ayay + Azaz ) x ( Bxax + Byay + Bzaz)

Perkalian silang vektor satuan ax x ay = az ay x az = ax danaz x ax = ay ay x ax = -az az x ay = -ax dan ax x az = -ay

Hasil Kali dalam bentuk komponen dan determinan

zxyyxyzxxzxyzzy aBABAaBABAaBABABA

zyx

zyx

zyx

BBB

AAA

aaa

BA


SISTEM KOORDINAT KARTESIAN

Sistem koordinat kartesian menggunakan tiga sumbu koordinat yang saling tegak tegak lurus dan ketiga sumbu dinyatakan x y dan z

y

z

x




VEKTOR DALAM KOORDINAT KARTESIAN

Misal 1 Sebuah vektor rp yang arahnya ditentukan oleh

penghubung antara titik asal dengan titik P (1 2 3) ditulis rp = ax + 2 ay + 3 az

2 Vektor yang menghubungkan titik P dan Q didapatkan dengan memakai aturan penjumlahan vektor Vektor dari titik asal ke titik P ditambah dengan vektor dari titik P ke titik Q sama dengan vektor dari titik asal ke titik Q Vektor dari titik P(1 2 3) ke titik Q(2 - 2 1) ialahRPQ = rQ-rP = (2-1) ax + (-2 -2) ay + (1-3) az

= ax - 4ay - 2az


SISTEM KOORDINAT TABUNG Sistem koordinat tabung merupakan versi tiga dimensi

dari koordinat polar (koordinat kutub) dalam geometri analitik

Dalam koordinat kutub (polar) dua dimensi sebuah titik dalam bidang ditentukan bull jarak ρ atau r dari titik asalbull sudut antara garis yang menghubungkan titik asal dengan titik

tersebut dengan garis radial (sebarang) yang dipilih sebagai acuan (referensi)

Dalam koordinat kartesian ada bentuk 3 bentuk diferensial bull diferensial garis l = x y dan z bull diferensial luas A = x y y z dan x z bull diferensial volume V = x y z


KOORDINAT TABUNG




Vektor pada titik P( r1 1 z1) terdiri dari 3 vektor satuan ndash Vektor satuan ar yang arahnya menjauhi titik asal dan normal pada

bidang permukaan bidang tabungndash Vektor satuan a mempunyai arah yang sama dengan arah

bertambahnya ndash Vekor satuan az dalam koordinat cartesian = vektor satuan dalam

koordinat tabung Ketiga vektor satuan tersebut saling tegak lurus karena

masing masing vektor arahnya normal pada salah satu dari tiga bidang yang saling tegak lurus

Dalam koordinat tabung ada bentuk 3 bentuk diferensial bull diferensial garis l = r r dan z bull diferensial luas A = rr r z dan r z bull diferensial volume V = rr z


Transformasi dalam koordinat kartesian dan tabung

tabung ke Kartesian bull kartesian keTabung

zz

y

x

sin

cos

zz

x

y

yx

1

22

tan

Andaikan titik dalam koordinat cartesian (x yz) dan koordinat tabung (ρz)


00 3600

Perkalian Titik dan Vektor Satuan dalam sistem Koordinat Tabung dan Koordinat Kartesian

Apabila vektor A dinyatakan dalam komponen vektor Koordinat kartesian A = Ax ax + Ay ay + Azaz

Koordinat tabung A = Aρ aρ + A a + Az az

Untuk mendapatkan komponen vektor dalam koordinat tabung perlu perkalian titik antara kedua vektor satuan

aρ a az

ax Cos - Sin 0

ay Sin Cos 0

az 0 0 1


Contoh Transformasikan vektor B = y ax - x ay + z az ke

koordinat tabungKomponen yang baru ialah

Bρ= B aρ = y (axaρ) ndash x (ayaρ) = y cos ndash x sin = ρ sin cos ndash ρ cos sin = 0

B = B a = y(axa) ndash x (aya) = -y sin ndash x cos = -ρ sin2 ndash ρ cos2 = -ρ

Jadi B = -ρ a + z az


KOORDINAT BOLA

bull Koordinat Bola terdiri dari r dan 1 r jarak dari titik asal ke titik yang ditinjau ialah r2 θ sudut antara sumbu z dan garis yang ditarik dari titik asal ke

titik yang ditinjau3 sudut antara sumbu x dengan garis proyeksi dari garis yang

menghubungkan titik asal dengan titik yang ditinjau pada bidang z = 0

Permukaan dalam koordinat bola ndash Permukaan r = tetapanndash Permukaan θ = tetapan ialah sebuah kerucut dan setiap titik

perpotongan permukaan bola dan kerucut selalu saling tegak lurus

ndash Permukaan = tetapan ialah sebuah bidang datar yang melalui garis θ = 0 (atau sumbu z)


SISTEM KOORDINAT BOLA




Vektor satuan dalam koordinat bola Vektor satuan ar memiliki arah ke luar titik asal normal

terhadap permukaan bola Vektor satuan a normal terhadap permukaan kerucut

terletak pada bidang datar dan menyinggung permukaan bola

Vekor satuan a = vektor satuan dalam koordinat tabung normal terhadap bidang datar dan menyinggung permukaan kerucut dan permukaan bola

Ketiga vektor satuan tersebut saling tegak lurus karena masing masing vektor arahnya normal pada salah satu dari tiga bidang yang saling tegak lurus

Elemen volume diferensial dalam koordinat bola memperhatikan pertambahan r θ dengan r dan θ seperti gambar

Ketiga bentuk diatas merupakan diferensial garis untuk diferensial luas dan volume dapat dinyatakan sbbndash Diferensial garis l = r r θ dan r sinθ r ndash Diferensial luas = r r θ r sinθ r dan r2 sinθ θ ndash Diferensial Volume = r2 sinθ r θ


bull Transformasi skalar dalam sistem koordinat cartesian dan koordinat bola


x = r sin θ cos y = r sin θ sin z = r cos θ

Bola ke Kartesian222 zyxr 0r

222

1coszyx

z

00 1800

x

y1tan 00 3600

Kartesian ke Bola

Andaikan titik dalam koordinat cartesian (x yz) dan koordinat tabung (r)

bull Apabila vektor A dinyatakan dalam komponen vektor

Koordinat kartesian A = Ax ax + Ay ay + Az

Koordinat Bola A = Ar ar + A a + A a

Memperoleh komponen vektor dalam koordinat bola perlu perkalian titik antara kedua vektor satuan

ar a a

ax sin cos cos cos -sin

ay sin cos cos sin cos

az cos -sin 0


Perkalian titik antara vektor satuan dalam koordinat bola dengan vektor satuan dalam koordinat cartesian

bull Contoh

Transformasi dapat dijelaskan dengan meninjau vektor G = (xzy) ax

Ketiga komponen bola dengan perkalian skalar antara G dengan vektor satuan

cossiny

xzaa

y

xzaGG rxrr

sin

coscossin

2

r

coscosy

xzaa

y

xzaGG x

sin

coscos

22r

)sin( y

xzaa

y

xzaGG x

coscosr

aaarG r cotcoscotsincoscos


TUGASBuatlah makalah dengan judul ldquoAnalis vektor dan sistem koordinatrdquo Struktur tulisan harus memuat 1Pendahuluan2Skalar dan vektor3Komponen-komponen vektor4Vektor unit5Penjumlahan vektor6Pengurangan vektor7Perkalian dan pembagian vektor8Perkalian titik (dot) dua vektor9Perkalian silang (cross) dua vektor10Sistem koordinat kartesian11Sistem koordinat tabung12Sistem koordinat bolaMakalah di ketik pada kerta A4 time new roman font 12 dan spasi 1Tugas dikirimkan dengan nama file ME_T1_Vektor_NIM ke okawidyantaraunudacidTugas dikumpulkan paling lambat

SKALAR dan VEKTOR

Slide 2

ALJABAR VEKTOR

Slide 4

PERKALIAN TITIK

Slide 6

Slide 7

Slide 8

PERKALIAN SILANG

Slide 10

Slide 11


Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

SISTEM KOORDINAT TABUNG

KOORDINAT TABUNG

Slide 21

Slide 22

Slide 23



Slide 26

KOORDINAT BOLA


Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

KOMPONEN VEKTOR dan VEKTOR SATUAN


Untuk menyatakan sebuah Vektor dalam sistem koordinat kartesian memberikan jumlah tiga vektor komponen yang terletak pada ketiga sumbu koordinat

Contoh komponen dari vektor A ialah xy dan z

A = Axax + Ayay +Azaz

dimana a sebagai vektor satuan dan arahnya dinyatakan oleh subskrip sesuai dengan sumbu koordinat

Vektor Satuan dalam arah vektor A dinyatakan dengan membagi A dengan nilai absolutnya

AA

aA

ALJABAR VEKTOR



AA

B

A+B

A+B

B


ALJABAR VEKTOR







(k1 + k2)A = k1A + k2AA + B = B + A

PERKALIAN TITIK








zzyyxx BABABABA


22 || AAAA




dan negatif jika


90Ba

18090 Ba


Proyeksi Vektor



(B a) a


PERKALIAN SILANG












zyx

zyx

zyx

BBB

AAA

aaa

BA




y

z

x








= ax - 4ay - 2az








KOORDINAT TABUNG













zz

y

x

sin

cos

zz

x

y

yx

1

22

tan



00 3600





aρ a az

ax Cos - Sin 0

ay Sin Cos 0

az 0 0 1








KOORDINAT BOLA
























222

1coszyx

z

00 1800

x

y1tan 00 3600

Kartesian ke Bola






ar a a



az cos -sin 0



bull Contoh



cossiny

xzaa

y

xzaGG rxrr

sin

coscossin

2

r

coscosy

xzaa

y

xzaGG x

sin

coscos

22r

)sin( y

xzaa

y

xzaGG x

coscosr




SKALAR dan VEKTOR

Slide 2

ALJABAR VEKTOR

Slide 4

PERKALIAN TITIK

Slide 6

Slide 7

Slide 8

PERKALIAN SILANG

Slide 10

Slide 11


Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18


KOORDINAT TABUNG

Slide 21

Slide 22

Slide 23



Slide 26

KOORDINAT BOLA


Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

ALJABAR VEKTOR



AA

B

A+B

A+B

B


ALJABAR VEKTOR







(k1 + k2)A = k1A + k2AA + B = B + A

PERKALIAN TITIK








zzyyxx BABABABA


22 || AAAA




dan negatif jika


90Ba

18090 Ba


Proyeksi Vektor



(B a) a


PERKALIAN SILANG












zyx

zyx

zyx

BBB

AAA

aaa

BA




y

z

x








= ax - 4ay - 2az








KOORDINAT TABUNG













zz

y

x

sin

cos

zz

x

y

yx

1

22

tan



00 3600





aρ a az

ax Cos - Sin 0

ay Sin Cos 0

az 0 0 1








KOORDINAT BOLA
























222

1coszyx

z

00 1800

x

y1tan 00 3600

Kartesian ke Bola






ar a a



az cos -sin 0



bull Contoh



cossiny

xzaa

y

xzaGG rxrr

sin

coscossin

2

r

coscosy

xzaa

y

xzaGG x

sin

coscos

22r

)sin( y

xzaa

y

xzaGG x

coscosr




SKALAR dan VEKTOR

Slide 2

ALJABAR VEKTOR

Slide 4

PERKALIAN TITIK

Slide 6

Slide 7

Slide 8

PERKALIAN SILANG

Slide 10

Slide 11


Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18


KOORDINAT TABUNG

Slide 21

Slide 22

Slide 23



Slide 26

KOORDINAT BOLA


Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

ALJABAR VEKTOR







(k1 + k2)A = k1A + k2AA + B = B + A

PERKALIAN TITIK








zzyyxx BABABABA


22 || AAAA




dan negatif jika


90Ba

18090 Ba


Proyeksi Vektor



(B a) a


PERKALIAN SILANG












zyx

zyx

zyx

BBB

AAA

aaa

BA




y

z

x








= ax - 4ay - 2az








KOORDINAT TABUNG













zz

y

x

sin

cos

zz

x

y

yx

1

22

tan



00 3600





aρ a az

ax Cos - Sin 0

ay Sin Cos 0

az 0 0 1








KOORDINAT BOLA
























222

1coszyx

z

00 1800

x

y1tan 00 3600

Kartesian ke Bola






ar a a



az cos -sin 0



bull Contoh



cossiny

xzaa

y

xzaGG rxrr

sin

coscossin

2

r

coscosy

xzaa

y

xzaGG x

sin

coscos

22r

)sin( y

xzaa

y

xzaGG x

coscosr




SKALAR dan VEKTOR

Slide 2

ALJABAR VEKTOR

Slide 4

PERKALIAN TITIK

Slide 6

Slide 7

Slide 8

PERKALIAN SILANG

Slide 10

Slide 11


Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18


KOORDINAT TABUNG

Slide 21

Slide 22

Slide 23



Slide 26

KOORDINAT BOLA


Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

PERKALIAN TITIK








zzyyxx BABABABA


22 || AAAA




dan negatif jika


90Ba

18090 Ba


Proyeksi Vektor



(B a) a


PERKALIAN SILANG












zyx

zyx

zyx

BBB

AAA

aaa

BA




y

z

x








= ax - 4ay - 2az








KOORDINAT TABUNG













zz

y

x

sin

cos

zz

x

y

yx

1

22

tan



00 3600





aρ a az

ax Cos - Sin 0

ay Sin Cos 0

az 0 0 1








KOORDINAT BOLA
























222

1coszyx

z

00 1800

x

y1tan 00 3600

Kartesian ke Bola






ar a a



az cos -sin 0



bull Contoh



cossiny

xzaa

y

xzaGG rxrr

sin

coscossin

2

r

coscosy

xzaa

y

xzaGG x

sin

coscos

22r

)sin( y

xzaa

y

xzaGG x

coscosr




SKALAR dan VEKTOR

Slide 2

ALJABAR VEKTOR

Slide 4

PERKALIAN TITIK

Slide 6

Slide 7

Slide 8

PERKALIAN SILANG

Slide 10

Slide 11


Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18


KOORDINAT TABUNG

Slide 21

Slide 22

Slide 23



Slide 26

KOORDINAT BOLA


Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35





zzyyxx BABABABA


22 || AAAA




dan negatif jika


90Ba

18090 Ba


Proyeksi Vektor



(B a) a


PERKALIAN SILANG












zyx

zyx

zyx

BBB

AAA

aaa

BA




y

z

x








= ax - 4ay - 2az








KOORDINAT TABUNG













zz

y

x

sin

cos

zz

x

y

yx

1

22

tan



00 3600





aρ a az

ax Cos - Sin 0

ay Sin Cos 0

az 0 0 1








KOORDINAT BOLA
























222

1coszyx

z

00 1800

x

y1tan 00 3600

Kartesian ke Bola






ar a a



az cos -sin 0



bull Contoh



cossiny

xzaa

y

xzaGG rxrr

sin

coscossin

2

r

coscosy

xzaa

y

xzaGG x

sin

coscos

22r

)sin( y

xzaa

y

xzaGG x

coscosr




SKALAR dan VEKTOR

Slide 2

ALJABAR VEKTOR

Slide 4

PERKALIAN TITIK

Slide 6

Slide 7

Slide 8

PERKALIAN SILANG

Slide 10

Slide 11


Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18


KOORDINAT TABUNG

Slide 21

Slide 22

Slide 23



Slide 26

KOORDINAT BOLA


Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35



dan negatif jika


90Ba

18090 Ba


Proyeksi Vektor



(B a) a


PERKALIAN SILANG












zyx

zyx

zyx

BBB

AAA

aaa

BA




y

z

x








= ax - 4ay - 2az








KOORDINAT TABUNG













zz

y

x

sin

cos

zz

x

y

yx

1

22

tan



00 3600





aρ a az

ax Cos - Sin 0

ay Sin Cos 0

az 0 0 1








KOORDINAT BOLA
























222

1coszyx

z

00 1800

x

y1tan 00 3600

Kartesian ke Bola






ar a a



az cos -sin 0



bull Contoh



cossiny

xzaa

y

xzaGG rxrr

sin

coscossin

2

r

coscosy

xzaa

y

xzaGG x

sin

coscos

22r

)sin( y

xzaa

y

xzaGG x

coscosr




SKALAR dan VEKTOR

Slide 2

ALJABAR VEKTOR

Slide 4

PERKALIAN TITIK

Slide 6

Slide 7

Slide 8

PERKALIAN SILANG

Slide 10

Slide 11


Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18


KOORDINAT TABUNG

Slide 21

Slide 22

Slide 23



Slide 26

KOORDINAT BOLA


Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35



(B a) a


PERKALIAN SILANG












zyx

zyx

zyx

BBB

AAA

aaa

BA




y

z

x








= ax - 4ay - 2az








KOORDINAT TABUNG













zz

y

x

sin

cos

zz

x

y

yx

1

22

tan



00 3600





aρ a az

ax Cos - Sin 0

ay Sin Cos 0

az 0 0 1








KOORDINAT BOLA
























222

1coszyx

z

00 1800

x

y1tan 00 3600

Kartesian ke Bola






ar a a



az cos -sin 0



bull Contoh



cossiny

xzaa

y

xzaGG rxrr

sin

coscossin

2

r

coscosy

xzaa

y

xzaGG x

sin

coscos

22r

)sin( y

xzaa

y

xzaGG x

coscosr




SKALAR dan VEKTOR

Slide 2

ALJABAR VEKTOR

Slide 4

PERKALIAN TITIK

Slide 6

Slide 7

Slide 8

PERKALIAN SILANG

Slide 10

Slide 11


Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18


KOORDINAT TABUNG

Slide 21

Slide 22

Slide 23



Slide 26

KOORDINAT BOLA


Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

PERKALIAN SILANG












zyx

zyx

zyx

BBB

AAA

aaa

BA




y

z

x








= ax - 4ay - 2az








KOORDINAT TABUNG













zz

y

x

sin

cos

zz

x

y

yx

1

22

tan



00 3600





aρ a az

ax Cos - Sin 0

ay Sin Cos 0

az 0 0 1








KOORDINAT BOLA
























222

1coszyx

z

00 1800

x

y1tan 00 3600

Kartesian ke Bola






ar a a



az cos -sin 0



bull Contoh



cossiny

xzaa

y

xzaGG rxrr

sin

coscossin

2

r

coscosy

xzaa

y

xzaGG x

sin

coscos

22r

)sin( y

xzaa

y

xzaGG x

coscosr




SKALAR dan VEKTOR

Slide 2

ALJABAR VEKTOR

Slide 4

PERKALIAN TITIK

Slide 6

Slide 7

Slide 8

PERKALIAN SILANG

Slide 10

Slide 11


Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18


KOORDINAT TABUNG

Slide 21

Slide 22

Slide 23



Slide 26

KOORDINAT BOLA


Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35








zyx

zyx

zyx

BBB

AAA

aaa

BA




y

z

x








= ax - 4ay - 2az








KOORDINAT TABUNG













zz

y

x

sin

cos

zz

x

y

yx

1

22

tan



00 3600





aρ a az

ax Cos - Sin 0

ay Sin Cos 0

az 0 0 1








KOORDINAT BOLA
























222

1coszyx

z

00 1800

x

y1tan 00 3600

Kartesian ke Bola






ar a a



az cos -sin 0



bull Contoh



cossiny

xzaa

y

xzaGG rxrr

sin

coscossin

2

r

coscosy

xzaa

y

xzaGG x

sin

coscos

22r

)sin( y

xzaa

y

xzaGG x

coscosr




SKALAR dan VEKTOR

Slide 2

ALJABAR VEKTOR

Slide 4

PERKALIAN TITIK

Slide 6

Slide 7

Slide 8

PERKALIAN SILANG

Slide 10

Slide 11


Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18


KOORDINAT TABUNG

Slide 21

Slide 22

Slide 23



Slide 26

KOORDINAT BOLA


Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35



y

z

x








= ax - 4ay - 2az








KOORDINAT TABUNG













zz

y

x

sin

cos

zz

x

y

yx

1

22

tan



00 3600





aρ a az

ax Cos - Sin 0

ay Sin Cos 0

az 0 0 1








KOORDINAT BOLA
























222

1coszyx

z

00 1800

x

y1tan 00 3600

Kartesian ke Bola






ar a a



az cos -sin 0



bull Contoh



cossiny

xzaa

y

xzaGG rxrr

sin

coscossin

2

r

coscosy

xzaa

y

xzaGG x

sin

coscos

22r

)sin( y

xzaa

y

xzaGG x

coscosr




SKALAR dan VEKTOR

Slide 2

ALJABAR VEKTOR

Slide 4

PERKALIAN TITIK

Slide 6

Slide 7

Slide 8

PERKALIAN SILANG

Slide 10

Slide 11


Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18


KOORDINAT TABUNG

Slide 21

Slide 22

Slide 23



Slide 26

KOORDINAT BOLA


Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35







= ax - 4ay - 2az








KOORDINAT TABUNG













zz

y

x

sin

cos

zz

x

y

yx

1

22

tan



00 3600





aρ a az

ax Cos - Sin 0

ay Sin Cos 0

az 0 0 1








KOORDINAT BOLA
























222

1coszyx

z

00 1800

x

y1tan 00 3600

Kartesian ke Bola






ar a a



az cos -sin 0



bull Contoh



cossiny

xzaa

y

xzaGG rxrr

sin

coscossin

2

r

coscosy

xzaa

y

xzaGG x

sin

coscos

22r

)sin( y

xzaa

y

xzaGG x

coscosr




SKALAR dan VEKTOR

Slide 2

ALJABAR VEKTOR

Slide 4

PERKALIAN TITIK

Slide 6

Slide 7

Slide 8

PERKALIAN SILANG

Slide 10

Slide 11


Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18


KOORDINAT TABUNG

Slide 21

Slide 22

Slide 23



Slide 26

KOORDINAT BOLA


Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35







KOORDINAT TABUNG













zz

y

x

sin

cos

zz

x

y

yx

1

22

tan



00 3600





aρ a az

ax Cos - Sin 0

ay Sin Cos 0

az 0 0 1








KOORDINAT BOLA
























222

1coszyx

z

00 1800

x

y1tan 00 3600

Kartesian ke Bola






ar a a



az cos -sin 0



bull Contoh



cossiny

xzaa

y

xzaGG rxrr

sin

coscossin

2

r

coscosy

xzaa

y

xzaGG x

sin

coscos

22r

)sin( y

xzaa

y

xzaGG x

coscosr




SKALAR dan VEKTOR

Slide 2

ALJABAR VEKTOR

Slide 4

PERKALIAN TITIK

Slide 6

Slide 7

Slide 8

PERKALIAN SILANG

Slide 10

Slide 11


Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18


KOORDINAT TABUNG

Slide 21

Slide 22

Slide 23



Slide 26

KOORDINAT BOLA


Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35












zz

y

x

sin

cos

zz

x

y

yx

1

22

tan



00 3600





aρ a az

ax Cos - Sin 0

ay Sin Cos 0

az 0 0 1








KOORDINAT BOLA
























222

1coszyx

z

00 1800

x

y1tan 00 3600

Kartesian ke Bola






ar a a



az cos -sin 0



bull Contoh



cossiny

xzaa

y

xzaGG rxrr

sin

coscossin

2

r

coscosy

xzaa

y

xzaGG x

sin

coscos

22r

)sin( y

xzaa

y

xzaGG x

coscosr




SKALAR dan VEKTOR

Slide 2

ALJABAR VEKTOR

Slide 4

PERKALIAN TITIK

Slide 6

Slide 7

Slide 8

PERKALIAN SILANG

Slide 10

Slide 11


Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18


KOORDINAT TABUNG

Slide 21

Slide 22

Slide 23



Slide 26

KOORDINAT BOLA


Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35





aρ a az

ax Cos - Sin 0

ay Sin Cos 0

az 0 0 1








KOORDINAT BOLA
























222

1coszyx

z

00 1800

x

y1tan 00 3600

Kartesian ke Bola






ar a a



az cos -sin 0



bull Contoh



cossiny

xzaa

y

xzaGG rxrr

sin

coscossin

2

r

coscosy

xzaa

y

xzaGG x

sin

coscos

22r

)sin( y

xzaa

y

xzaGG x

coscosr




SKALAR dan VEKTOR

Slide 2

ALJABAR VEKTOR

Slide 4

PERKALIAN TITIK

Slide 6

Slide 7

Slide 8

PERKALIAN SILANG

Slide 10

Slide 11


Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18


KOORDINAT TABUNG

Slide 21

Slide 22

Slide 23



Slide 26

KOORDINAT BOLA


Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35







KOORDINAT BOLA
























222

1coszyx

z

00 1800

x

y1tan 00 3600

Kartesian ke Bola






ar a a



az cos -sin 0



bull Contoh



cossiny

xzaa

y

xzaGG rxrr

sin

coscossin

2

r

coscosy

xzaa

y

xzaGG x

sin

coscos

22r

)sin( y

xzaa

y

xzaGG x

coscosr




SKALAR dan VEKTOR

Slide 2

ALJABAR VEKTOR

Slide 4

PERKALIAN TITIK

Slide 6

Slide 7

Slide 8

PERKALIAN SILANG

Slide 10

Slide 11


Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18


KOORDINAT TABUNG

Slide 21

Slide 22

Slide 23



Slide 26

KOORDINAT BOLA


Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

















222

1coszyx

z

00 1800

x

y1tan 00 3600

Kartesian ke Bola






ar a a



az cos -sin 0



bull Contoh



cossiny

xzaa

y

xzaGG rxrr

sin

coscossin

2

r

coscosy

xzaa

y

xzaGG x

sin

coscos

22r

)sin( y

xzaa

y

xzaGG x

coscosr




SKALAR dan VEKTOR

Slide 2

ALJABAR VEKTOR

Slide 4

PERKALIAN TITIK

Slide 6

Slide 7

Slide 8

PERKALIAN SILANG

Slide 10

Slide 11


Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18


KOORDINAT TABUNG

Slide 21

Slide 22

Slide 23



Slide 26

KOORDINAT BOLA


Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35





ar a a



az cos -sin 0



bull Contoh



cossiny

xzaa

y

xzaGG rxrr

sin

coscossin

2

r

coscosy

xzaa

y

xzaGG x

sin

coscos

22r

)sin( y

xzaa

y

xzaGG x

coscosr




SKALAR dan VEKTOR

Slide 2

ALJABAR VEKTOR

Slide 4

PERKALIAN TITIK

Slide 6

Slide 7

Slide 8

PERKALIAN SILANG

Slide 10

Slide 11


Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18


KOORDINAT TABUNG

Slide 21

Slide 22

Slide 23



Slide 26

KOORDINAT BOLA


Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

bull Contoh



cossiny

xzaa

y

xzaGG rxrr

sin

coscossin

2

r

coscosy

xzaa

y

xzaGG x

sin

coscos

22r

)sin( y

xzaa

y

xzaGG x

coscosr




SKALAR dan VEKTOR

Slide 2

ALJABAR VEKTOR

Slide 4

PERKALIAN TITIK

Slide 6

Slide 7

Slide 8

PERKALIAN SILANG

Slide 10

Slide 11


Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18


KOORDINAT TABUNG

Slide 21

Slide 22

Slide 23



Slide 26

KOORDINAT BOLA


Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35


SKALAR dan VEKTOR

Slide 2

ALJABAR VEKTOR

Slide 4

PERKALIAN TITIK

Slide 6

Slide 7

Slide 8

PERKALIAN SILANG

Slide 10

Slide 11


Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18


KOORDINAT TABUNG

Slide 21

Slide 22

Slide 23



Slide 26

KOORDINAT BOLA


Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

bab1_analisavektor

Documents