bab xii persamaan persamaan maxwell gelombang bidang dan vektor poynting

BAB XII

PERSAMAAN-PERSAMAAN MAXWELL, GELOMBANG BIDANG,

DAN VEKTOR POYNTING

12.1 Medan Listrik Statik dan Medan Magnetik Stasioner

Untuk medan listrik statik dan magnetik stasioner (tunak), persamaan-

persamaan Maxwell bentuk diferensial adalah

. D = v (12.1)

x E = 0 (12.2)

x H = J (12.3)

. B = 0 (12.4)

Bentuk integral dari persamaan Maxwell di atas adalah

(12.5)

(12.6)

(12.7)

(12.8)

Persamaan (12.5) adalah hukum Gauss untuk medan listrik statik dan

persamaan (12.8) adalah hukum Gauss untuk medan magnetik tunak. Hukum Gauss

untuk medan listrik statik: pada persamaan (12.5) mengikuti teorema

divergensi menjadi

(12.9)

Sedangkan dari definisi tentang muatan total Q di suatu ruang dengan

kerapatan muatan ruang v adalah

(12.10)

Dari persamaan (12.9) dan persamaan (12.10) diperoleh persamaan Maxwell

bentuk diferensial, persamaan (12.1). Menurut hukum tegangan Kirchhoff jumlah

tegangan pada suatu rangkaian tertutup adalah no, maka

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Lenni, ST

MEDAN ELEKTOMAGNETIK 1

(12.11)

Sesuai dengan teorema Stokes, dimana

(12.12)

Dari persamaan (12.11) dan persamaan (12.12) diperoleh persamaan Maxwell

bentuk diferensial, persamaan (12.2). Persamaan (12.3) adalah hukum Ampere bentuk

diferensial dan persamaan (12.7) adalah hukum Ampere bentuk integral. Persamaan

Maxwell bentuk diferensial yang ke-4 yaitu . B = 0 diperoleh dari hukum Gauss untuk

medan magnetik tunak, yaitu dan menurut teorema divergensi

sehingga diperoleh , atau . B = 0 sesuai

persamaan (12.4). Jadi dapat disimpulkan bahwa keempat persamaan Maxwell untuk

medan listrik dan medan magnetik tunak dapat diturunkan dari hukum Gauss, hukum

tegangan Kirchoff, dan hukum ampere.

12.2 Persamaan-persamaan Maxwell untuk Medan Listrik dan Medan Magnetik

yang Berubah-ubah dengan Waktu

Persamaan-persamaan Maxwell bentuk diferensial untuk medan listrik dan

medan magnetik yang berubah-ubah dengan waktu adalah

(12.13)

tx

D

JH (12.14)

(12.15)

(12.16)

Bentuk integral dari keempat persamaan Maxwell di atas untuk medan listrik

dan medan magnetik yang berubah-ubah dengan waktu adalah

(12.17)

(12.18)



(12.19)

(12.20)

Di ruang hampa atau di udara bebas, dimana terdapat perambatan gelombang

datar atau gelombang bidang, persamaan Maxwell bentuk diferensialnya tanpa arus

konduksi J, tanpa muatan bebas (v = 0) dan permeabilitas = 0.

(12.21)

(12.22)

(12.23)

(12.24)

Sisi kiri persamaan (12.21) menyatakan medan listrik yang diturunkan terhadap

jarak mempunyai produk yang tegak lurus terhadap medan magnetik yang diturunkan

terhadap waktu. Sebaliknya pada persamaan (12.22), medan magnetik yang

diturunkan terhadap jarak mempunyai produk yang tegak lurus terhadap medan listrik

yang diturunkan terhadap waktu. Analisis tiga dimensi dalam sistem koordinat

kartesian dari persamaan (12.21) adalah

(12.25)

Untuk gelombang datar terpolarisasi linier atau terpolarisasi bidang dengan

arah polarisasi sumbu-z (medan listrik E selalu bergerak ke arah sumbu-z) dan arah

perambatan gelombang datar ditentukan searah dengan sumbu-y positif, maka untuk

penerapan satu dimensi dari persamaan (12.25) adalah

(12.26)



Untuk medan E dan medan H yang berubah-ubah secara sinusoidal terhadap waktu,

persamaan (12.26) menjadi

(12.27)

atau

(12.28)

Persamaan (12.28) jika dirotasi menjadi

(12.29)

Tetapi dari persamaan (12.23) diperoleh . Ez = 0 dan dari persamaan (12.22)

diperoleh

maka persamaan (12.29) menjadi

(12.30)

atau

(12.31)

Untuk gelombang terpolarisasi linier arah-z, persamaan (12.31) yang dikenal sebagai

persamaan Helmholtz menjadi

(12.32)

Solusi persamaan (12.32) dengan memasukkan faktor dan gelombang bergerak di

sepanjang sumbu-y positif adalah

(12.33)

dimana :

= kecepatan perambatan gelombang di ruang vakum atau di udara bebas

12.3 Gelombang Bidang



Gelombang bidang atau gelombang datar (plane wave) adalah gelombang

yang apabila sebuah bidang tegak lurus dengan arah perambatannya, maka titik-titik

potong gelombang tersebut pada bidang yang tegak lurus itu memiliki sudut fase yang

sama. Gelombang bidang memiliki sifat perambatan yang berbeda untuk medium

penghantar gelombang yang berbeda. Medium penghantar gelombang bidang dapat

dikelompokan menjadi dua kelompok, yaitu :

1. Medium dielektrik sempurna dan

2. Medium konduktor atau medium dielektrik merugi

Kedua medium ini memiliki nilai faktor atenuasi yang berbeda, untuk medium

dielektrik faktor atenuasi gelombang hampir mendekati 1, sedangkan untuk gelombang

yang merambat di medium dielektrik merugi faktor atenuasi cukup besar.

Sehingga gelombang bidang yang merambat di medium dielektrik merugi atau

konduktor akan mengalami redaman yang hebat, sehingga muncul istilah kedalaman

penetrasi.

Gelombang Bidang di Medium Dielektrik Sempurna

Contoh-contoh medium dielektrik sempurna antara lain : udara, gelas, mika,

polistiren, kuartz, polietilen, nilon, ferrit, barium, porselen, teflon, kertas, kayu kering,

gelas, pyreks, bakelit, ambar, dan lain-lain. Medium dielektrik sempurna yang bersifat

isotropik atau serba sama ke segala arah diartikan memiliki permeabilitas () dan

permeabilitas () yang konstan di semua titik dalam medium tersebut. Gelombang

bidang yang merambat di medium isotropik memiliki persamaan gelombang yang

mengikuti persamaan Helmholtz.

(12.34)

dimana

Maka kecepatan perambatan gelombang bidang di medium v =

Bila gelombang bidang merambat di dalam arah sumbu-y positif maka persamaan

(12.34) menjadi

(12.35)

dimana . Solusi dari persamaan (12.34) adalah



atau

(12.36)

Persamaan (12.36) hanya diambil bagian riilnya, untuk gelombang yang merambat di

dalam arah sumbu-y positif :

Riil (12.37)

dimana

konstanta fase

Sehingga persamaan (12.37) menjadi

(12.38)

Pasangan yang sesuai untuk medan magnetik dari medan listrik Exy pada persamaan

(12.38) itu adalah

atau (12.39)

dimana

= impedansi instrinsik medium

Untuk ruang vakum (udara bebas), impedansi intrinsiknya adalah

Gelombang Bidang di Medium Konduktor

Menurut Krauss dan Carver, nilai perbandingan antara konduktivitas medium

() dengan , yang dinamakan ”tangen kerugian” (tan ), dapat menjadi indikator

apakah suatu medium termasuk dielektrik, quasi konduktor, atau konduktor.

tan , termasuk medium dielektrik

10-2 < tan < 100, termasuk quasi konduktor

tan > 100, termasuk medium konduktor

dimana :

= konduktivitas medium (Mho/m)



= frekuensi sudut (rad/s)

= permitivitas medium (F/m)

Di medium konduktor (dielektrik merugi) persamaan-persamaan Maxwell adalah

(12.40)

Untuk medan E periodik dan medan H periodik

(12.41)

Persamaan Maxwell berikutnya :

(12.42)

Curl dari persamaan (12.42) ini :

(12.43)

Dari persamaan (12.42) dan (12.43) diperoleh

(12.44)

Dari persamaan identitas vektor :

(12.45)

Dari persamaan Maxwell ketiga dimana . E = 0, maka persamaan (12.44) menjadi

atau

(12.46)

Dari persamaan-persamaan di atas kita peroleh

kemudian kita peroleh konstanta propagasi

Konstanta propagasi ini adalah kompleks yang bagian riilnya dinamakan konstanta

atenuasi dan bagian kompleksnya dinamakan konstanta fase .

Jadi, konstanta propagasi dapat kita tulis dalam bentuk

dimana



Konstanta atenuasi : (12.47)

Konstanta fase : (12.48)

tan = tangen kerugian

Untuk gelombang yang merambat di dalam arah sumbu-z positif komponen arah

sumbu-x, intensitas medan listriknya adalah

(12.49)

Pasangan yang sesuai dari intensitas medan listrik Ex untuk gelombang merambat

dalam arah sumbu-z positif adalah Hy, intesitas medan magnetik arah sumbu-y.

(12.50)

dimana

impedansi intrinsik :

dan tan = tangen kerugian

12.4 Vektor Poynting

Vektor poynting, dengan simbol besaran S atau P, didefinisikan sebagai produk

vektor dari vektor intensitas medan listrik E dengan vektor medan magnetik H pada

suatu gelombang elektromagnetik, yaitu

S = E x H (12.51)

Apabila untuk vektor E dan vektor H kita gunakan harga-harga sesaatnya maka

vektor poynting juga merupakan harga sesaat dan apabila vektor E dan vektor H

merupakan harga rata-ratanya maka akan diperoleh harga rata-rata dari vektor

poynting. Pengertian fisik dari vektor poynting yaitu menggambarkan laju energi per

satuan waktu per satuan luas penampang medium yang dilalui oleh gelombang, baik

harga sesaat atau harga rata-rata. Nilai vektor poynting yang besar, berarti

menggambarkan intensitas gelombang elektromagnetik yang besar juga. Perbedaan

antara intensitas gelombang dan vektor poynting adalah intensitas gelombang



merupakan suatu besaran skalar, sedangkan vektor poynting adalah besaran vektor

yang menggambarkan arah perambatan gelombang dan besarnya kerapatan energi

gelombang per satuan waktu, atau laju energi gelombang dalam satuan Joule per

sekon per meter persegi (MKS) atau Erg per sekon per centimeter persegi (CGS).

Teorema tentang vektor Poynting dikembangkan oleh seorang ilmuwan Inggris yang

bernama John H. Poynting yang pada awalnya adalah postulat pada tahun 1884.

Karena vektor intensitas medan magnetik dan vektor intensitas medan listrik itu saling

tegak lurus satu sama lainnya maka hasil kali vektor dari E dan H menjadi

S = |E| |H| aS (12.52)

dimana aS menyatakan vektor satuan dari vektor S dan arahnya selalu tegak lurus arah

vektor E dan tegak lurus arah vektor H. Untuk gelombang yang terpolarisasi linier arah

sumbu-x, merambat di udara pada arah sumbu-z positif maka

V/m dan

(V/m)

Maka harga sesaat dari vektor poynting adalah

J/s m2

atau

W/m2

Harga efektif vektor poynting Watt/m2, juga memenuhi harga rata-rata

vektor poynting Srata-rata yang dapat dibuktikan dari

W/m2

Jika laju energi diartikan daya (power), maka daya yang keluar dari suatu permukaan

tertutup S :

Watt (12.53)



Di dalam bentuk bilangan kompleks, vektor poynting kompleks adalah setengah dari

produk E kompleks dan H kompleks.

(12.54)

Vektor poynting kompleks hanya bisa terjadi di medium konduktor karena medium

konduktor ini memiliki impedansi intrinsik kompleks sebagai akibat dari konduktivitas

listriknya yang cukup besar. Hal yang perlu diperhatikan juga sudut fase antara medan

E dan H berbeda.



bab xii persamaan persamaan maxwell gelombang bidang dan vektor poynting

Documents