MAKALAH FISIKA STATISTIKAPLIKASI DISTRIBUSI MAXWELL-BOLTZMANN

Oleh:Succy Yuliyawati(1113016300040)Rhodiatussholihah (1113016300044)

Dosen Pembimbing :Fathiah Alatas, M.SiDisusun untuk memenuhi Tugas Mata Kuliah Fisika Statistik

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKAJURUSAN PENDIDIKAN ILMU PENGETAHUAN ALAMFAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUANUNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA2015

DAFTAR ISIBAB I3PENDAHULUAN3A.Latar Belakang3B.Rumusan Masalah4C.Tujuan Penulisan4BAB II5PEMBAHASAN5A.Pelebaran Sprectum Akibat Efek Doppler5B.Atom Magnetik Dalam Medan Magnet10C.Dipol Listrik14D.Momen Magnetik Dengan Tiga Arah Orientasi16E.Momen Magnetik Dengan Arah Orientasi Sembarang17F. Vibrasi Kisi Dalam Kristal21G. Hopping26H. Persamaan Difusi Enstein31I.Prinsip Ekipartisi Energi33BAB III40PENUTUP40A.Kesimpulan40B. Kritik dan Saran40DAFTAR PUSTAKA41

BAB IPENDAHULUANA. Latar Belakang

Pada akhir abad kesembilan belas, sebagian besar hal yang hendak diketahui tentang fisika tampaknya telah tuntas dipelajari. Dinamika Newton telah berulang kali menalami pengujian ketat, dan keberhasilannya membuat ia diterima menjadi kerangka nalar dasar bagi pemahaman yang mendalam dan taat asas tentang perilaku alam. Keelektrikan dan kemagnetan telah berhasil dipadukan lewat karya teoretik Maxwell, dan begitu pula gelombang electromagnet, yang diramalkan kehadirannya oleh persamaan Maxwell, telah berhasil dan diamati dan diselidiki sifat-sifatnya lewat berbagai percobaan yang dilakukan Hertz. Hukum-hukum Termodinamika dan teori kinetic telah pula memperlihatkan kebrhasilanya , terutama dalam member penjelasan terpadu tentang berbagai ragam gejala alam. Lebih umum lagi, Revolusi Industri telah melahirkan tingkat kecanggihan teknologi yang bakal berdampak besar pada kehidupan dan tingkat kehidupan umat manusia dimanapun. Ternyata hanya dalam jangka waktu dasawarsa yang singkat, hasil berbagai percobaan ini menuntun para fisikawan kepada perumusan teori relativitas khusus dan teori kuantum. Salah satunya adalah Maxwell-Boltzmann.Distribusi Maxwell-Boltzmann menggambarkan kecepatan partikel dalam gas, di mana partikel tidak terus-menerus berinteraksi satu sama lain, tetapi bergerak bebas antara tabrakan pendek. Ini menggambarkan kemungkinan kecepatan partikel (besarnya vektor kecepatannya) yang dekat dengan nilai yang diberikan sebagai fungsi dari suhu dari sistem, massa partikel, dan bahwa nilai kecepatan. Distribusi probabilitas ini dikemukakan pertama kali oleh James Clerk Maxwell dan Ludwig Boltzmann.Distribusi Maxwell-Boltzmann biasanya dianggap sebagai distribusi kecepatan molekul, tetapi juga dapat merujuk kepada distribusi untuk kecepatan, momentum, dan besarnya momentum molekul, yang masing-masing akan memiliki fungsi probabilitas distribusi yang berbeda, semua dari yang terkait. Kecuali dinyatakan lain, artikel ini akan menggunakan "distribusi Maxwell-Boltzmann" untuk merujuk pada distribusi kecepatan. Distribusi ini dapat dianggap sebagai besaran vektor 3-dimensi yang komponennya adalah independen dan terdistribusi normal dengan mean 0 dan standar deviasi a. Jika Xi didistribusikan sebagai , maka didistribusikan sebagai distribusi Maxwell-Boltzmann dengan parameter a. Selain parameter skala, distribusi identik dengan distribusi chi dengan 3 derajat kebebasan. Segera setelah gagasan revolusioner yang dikemukakan, ini diikuti dengan penerapan penelitian dalam bidang yang hasilnya berdampak sangat besar dalam kehidupan sehari-hari kita dewasa ini.B. Rumusan Masalah

Dalam penyusunan makalah ini, penyusun membuat rumusan masalah yang berkaitan dengan judul yang dibahas, yaitu:1. Bagaimana mengaplikasikan distribusi Maxwell Boltzman dalam menjelasakan permasalah?C. Tujuan Penulisan

Adapun tujuan penyusunan makalah ini, yaitu:1. Mengaplikasikan distribusi Maxwell Blotzman dalam menjelaskan permasalaha

BAB IIPEMBAHASAN

A. Pelebaran Sprectum Akibat Efek Doppler

Setelah menurunkan beberapa jenis fungsi distribusi untuk system klasik maupun kuantum sekarang kita akan melihat beberapa aplikasi fungsi distribusi tersebut. Pada bab ini kita akan melihat beberapa aplikasi fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann. Pembahasan tersebut diharapkan akan memberikan petunjuk yang berarti kepada para mahasiswa dalam menerapkan fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann dalam beberapa bidang fisika.Efek Doppler dijumpai pada gelombang bunyi maupun gelombang elektromagnetik. Salah satu pesan dari efek ini adalah jika sumber gelombang mendekati pengamat maka panjang gelombang yang diukur oleh pengamat lebih kecil daripada apabila sumber diam terhadap pengamat. Sebaliknya, jika sumber gelombang menjauhi pengamat maka panjang gelombang yang diukur pengamat lebih besar daripada apabila sumber diam terhadap pengamat. Peristiwa ini dapat diiliustrasikan pada Gbr.1

v

wv.

Gelombang lebih pendek

Gelombang lebih panjangGambar.1 Jika sumber mendekati pengamat maka panjang gelombang yang diukur pengamat lebih pendek daripada yang dikeluarkan sumber. Sebaliknya, jika sumber menjauhi pengamat maka panjang gelombang yang diukur pengamat lebih panjang daripada yang dikeluarkan sumber

Khusus untuk gelombang gelombang elektromagnetik, panjang gelombang yang diukur oleh pengamat yang diam yang dihasilkan oleh sumber sumber bergerak dengan kecepatan vx terhadap pengamat adalah

= o (1)

dengan panjang gelombang yang diukur pengamat, o adalah panjang gelombang yang diukur jika sumber gelombang diam terhadap pengamat, dan c adalah kecepatan cahaya. Kita definisikan tanda kecepatan yaitu vx > 0 jika sumber mendekati pengamat dan vx < 0 jika sumber menjauhi pengamat. Dalam astronomi, efek Doppler digunakan untuk mengukur kecepatan bintang bintang. Berdasarkan pergeseran panjang gelombang yang dipancarkan bintang bintang tersebut maka kecepatan relatif bintang terhadap bumi dapat diprediksi menggunakan persamaan (2).

Keadaan awal

Keadaan akhir Gbr. 2 Atom memancarkan gelombang elektromagnetik ketika terjadi transisi electron antar tingkat energyMari kita perhatikan sebuah atom yang memiliki dua tingkat energy (Gbr 2). Atom tersebut memancarkan spectrum gelombang elektromagnetik dengan panjang gelombang tertentu, sebut saja o, akibat transisi electron antar tingkat energy atom tersebut. Jika atom dalam keadaan diam maka panjang gelombang yang kita ukur adalah o, persis sama dengan panjang gelombang yang dipancarkan atom. Tetapi jika atom mendekati pengamat dengan laju vx maka panjang gelombang yang diukur pengamat adalah = o (1- vx / c). dan sebaliknya, jika atom menjauhi pengamat dengan laju vx maka panjang gelombang yang diukur pengamat adalah = o (1 + vx / c). sebagai ilustrasi, lihat Gbr. 3Jika ada sejumlah atom yang diam maka gelombang yang diukur pengamat merupakan jumlah gelombang yang dipancarkan oleh semua atom. Panjang gelombang yang diterima dari semua atom sama, yaitu o. Yang dideteksi oleh pengamat hanyalah gelombang dengan panjang o tetapi memiliki intensitas tinggi. Akan tetapi jika atom yang memancarkan gelombang bergerak secara acak maka komponen kecepatan kearah pengamat, yaitu vx juga acak. Akibatnya panjang gelombang yang diukur pengamat yang berasal dari satu atom berbeda dengan yang diukur dari atom lainnya. Pengamat akan mengukur gelombang yang memiliki panjang yang bervariasi dalam jangkauan tertentu. Ini berakibat pada pelebaran garis spectrum yang diamati.

. o. o

vx = 0

o. = o (1 vx / c)

vx = o (1 + vx / c).

o

.

vx

Gambar. 3 Pengamat menangkap panjang gelombang yang berbeda beda bergantung pada gerak relative antara atom terhadap pengamatSelanjutnya kita akan menentukan distribusi intensitas spectrum pada berbagai panjang gelombang. Kecepatan atom gas pemancar spectrum memenuhi fungsi distribusi Maxwell Boltzmann karena merupakan partikel klasik. Jumlah atom gas yang memiliki komponen kecepatan antara vx sampai vx + dvx adalah

(2)n(vx)dvx = exp dvx Untuk mendapatkan fungsi distribusi intensitas maka kita harus mentransformasi variabel kecepatan vx ke dalam variabel panjang gelombang dengan menggunakan persamaan Doppler (1). Apabila transformasi tersebut dilakukan maka n(vx)dvx menjadi sebanding dengan I()d, yang menyatakan intensitas gelombang yang memiliki panjang antara sampai + d. Dengan demikian kita peroleh I()d exp dvx (3)Dari persamaan (1) kita dapatkanvx = c (4a)dvx = - d(4b)Subtitusi persamaan (4a) dan (4b) ke dalam persamaan (3) diperolehI()d exp dYang selanjutnya bisa ditulis dalam bentuk lebih sederhana sebagaiI()d = I() exp (5)dengan I (o) adalah intensitas ketika = o . I (o) tidak bergantung pada panjang gelombang tetapi bergantung pada besaran lain seperti suhu gas dan massa atom gas. Gambar. 4 adalah plot I () sebagai fungsi pada berbagai suhu gas. Tampak bahwa intensitas terdeteksi di sekitar o dengan o merupakan lokasi puncak intensitas. Jika suhu diperbesar maka spectrum maki lebar dan intensitasnya makin lemah. Ini disebabkan karena gerakan atom yang makin acak.

Spektrum jika semua atom diam

Spektrum jika atom bergerak acak

Gambar. 4 Plot intensitas sebagai fungsi panjang gelombang pada berbagai suhu gas.B. Atom Magnetik Dalam Medan MagnetSelanjutnya kita akan bahas suatu assembli yang mengandung kumpulan atom yang memiliki momen magnet. Di dalam assembli tersebut kita berikan medan magnetic B. untuk mempermudah kita assumsikan beberapa sifat berikut ini :i) Tidak ada interaksi antar atom. Interaksi hanya terjadi antara atom dengan medan magnet luar yang diberikan. Ini adalah penyederhanaan yang cukup drastic karena sebenarnya antara momen magnetic ada interaksi. ii) Momen Magnetik atom hanya bisa mengambil salah satu dari dua arah orientasi, yaitu searah medan magnet atau berlawanan arah medan magnet.Ilustrasi dari asumsi tersebut tampak pada Gbr. 4.

B

Gambar. 4 Dalam medan magnet, momen magnetic atom hanya dapat mengambil salah satu dari dua arah orientasi : searah atau berlawanan arah medan magnet.Kita akan menentukan berapa momen magnetic total yang dihasilkan oleh kumpulan atom atom tersebut. Kita mulai dengan menghitung energy yang dimiliki masing masing atom akibat interaksi momen magnetic dengan magnet luar. Interaksi antara momen magnetic dengan medan magnet luar memberikan tambahan energy pada atom sebesar U = - . = - B (6)Dengan adalah sudut antara momen magnetic dan medan magnet. Karena hanya ada dua arah orientasi momen magnetic yang diijinkan, yaitu searah medan magnet ( = 0) dan berlawanan dengan arah medan magnet ( = ), maka tambahan energy atom dengan momen magnetic searah medan magnet adalah = - B(7)dan tambahan energy atom dengan momen magnetic berlawanan arah medan magnet adalah = B(8)Probabilitas mendapatkan atom dengan arah momen searah medan magnet sebanding dengan n() dan probabilitas menemukan atom dengan arah momen berlawanan dengan arah medan magnet sebanding dengan n(). Dengan demikian, kita dapat menulis = K n()(9a) = K n()(9b)dimana K adalah faktor penormalisasi. Karena jumlah total probabilitas harus satu maka + = 1 yang memberikan ungkapan untuk faktor normalisasi sebagai berikutK = (10)Dengan demikian persamaan (9a) dan (9b) dapat ditulis menjadi = (11a) = (11b)Atom merupakan partikel klasik yang memenuhi fungsi distribusi Maxwell Boltzmann. Oleh karena itu, probabilitas masing masing arah orientasi memenuhin = exp (12a)n exp = exp (12b)substitusi persamaan (12a) dan (12b) ke dalam persamaan (11) kita dapatkan bentuk eksplisit dari probabilitas sebagai berikut = (13a) = (13b)Selanjutnya kita menghitung momen magnetic rata rata atom. Karena hanya ada dua arah orientasi yang diijinkan maka momen magnetic rata rata atom dapat dihitung dengan persamaan sederhana

= + - = + = = Misal x=

= = (14)Gambar. 5 adalah plot sebagai fungsi suhu. Tampak bahwa jika T 0 maka . Artinya bahwa pada suhu tersebut momen magnetic rata rata mengambil arah yang sama. Ini terjadi karena pada suhu yang mendekati nol, getaran termal atom atom menjadi sangat kecil. Interaksi dengan medan magnet luar dapat memaksa atom atom mengambil arah orientasi yang sama.

/ 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

T / (B / k)1.00.80.60.40.200

Gambar 5. Momen Magnetik rata rata atom sebagai fungsi suhu.Sebaliknya, pada suhu T maka 0. Ini akibat getaran atom atom yang sangat intensif sehingga medan magnet luar yang diberikan tidak sanggup mengarahkan momen-momen magnet. Energy termal electron jauh melampaui energy interaksi dengan medan magnet. Arah momen magnet atom-atom menjadi acak. Akibatnya, jumlah momen magnet yang searah medan menjadi sama dengan yang berlawanan arah medan. Juga tampak bahwa untuk suhu yang sama, makin besar jika medan makin besar. Ini disebabkan penggunaan medan yang besar akan memberikan paksaan yang lebih besar kepada atom-atom untuk menyerahkan momen magnetiknya.C. Dipol Listrik

Fenomena yang mirip dengan atom magnetic dijumpai pula pada assembli momen dipol listrik. Misalkan kita memiliki sejumlah atom atau molekul sejenis yang masing masing memiliki momen dipol . Didalam assembli tersebut kita berikan medan listrik E. kita ingin mencari berapa momen dipole rata-rata yang dimiliki atom/molekul. Untuk kemudahan kita juga mengasumsikan beberapa sifat berikut ini :i) Tidak ada interaksi antara sesama dipole. Interaksi hanya terjadi antara dipole dengan medan listrik luar.ii) Tiap dipole hanya boleh mengambil salah satu dari dua arah orientasi, yaitu searah medan listrik dan berlawanan arah dengan medan listrik.

Energy interaksi antara dipole dengan medan listrik adalahU = - . = - pE cos (15)dengan adalah sudut antara momen dipole dengan medan listrik. Jika dipole searah medan maka energy interaksinya adalah

= - pE(16a) Dan jika berlawanan medan maka energy interaksinya adalah

= pE(16b)

Tampak bahwa bentuk ungkapan energy sama persis dengan yang kita jumpai pada atom magnetic yang telah kita bahas di sub bab 1. Dengan demikian, pencarian momen dipole total persis sama dengan saat kita mencari momen magnetic total, hanya dengan mengganti variabel-variabel yang ekivalen sebagai berikut

p E Bdengan melakukan pergantian tersebut akhirnya kita dapatkan momen dipole rata-rata atom menjadi

= p (17)

D. Momen Magnetik Dengan Tiga Arah Orientasi

Kita sudah membahas momen magnetic rata-rata jika hanya ada dua orientasi yang diijinkan, yaitu searah dan berlawanan dengan arah medan magnet. Sekarang kita sedikit perluas asumsi kita dengan menganggap bahwa ada tiga arah orientasi momen magnetic yang diijinkan, yaitu searah medan magnet, tegak lurus medan magnet, dan berlawanan arah medan magnet.Dari persamaan energy interaksi antara momen magnetic dan medan magnet U = - B cos kita dapatkan bahwa :i) Untuk momen yang searah medan, energy interaksinya adalah = - Bii) Untuk momen yang tegak lurus medan, energy interaksinya adalah = - B cos = 0iii) Untuk momen yang tegak lurus medan, energy interaksinya adalah = B

Probabilitas untuk mendapatkan momen magnetic pada berbagai arah tersebut sebagai berikut :i) Untuk momen yang searah medan = (18a)

ii) Untuk yang tegak lurus medan = (18b)

iii) Untuk yang berlawanan dengan arah medan = = (18c)

Momen magnetic yang searah medan memberikan kontribusi momen magnetic + , yang tegak lurus medan memberi kontribusi momen magnetic 0, dan yang berlawanan dengan arah medan memberi kontibusi momen magnetic . Dengan demikian, momen magnetic rata rata adalah

= + x + 0 x - x

(19) E. Momen Magnetik Dengan Arah Orientasi Sembarang

Sekarang kita melangkah ke kasus yang lebih umum di mana arah orientasi momen magnetic bisa sembarang, bukan diskrit seperti yang kita bahas sebelumnya. Tentu saja pembahasan akan sedikit lebih rumit. Tetapi mari kita bahas perlahan lahan. Sebagai ilustrasi, Gbr. 7Mari kita melihat momen magnetic yang membentuk arah antara sudut sampai + d terhadap arah medan magnet. Arah medan magnet dipilih sejajar sumbu x. momen magnetic dengan arah orientasi demikian memiliki energy interaksi U() = - B cos . Kita akan menentukan berapa peluang momen magnetic tersebut berada pada sudut demikian. Ini ditentukan pada dua factor, yaitu factor Maxwell Boltzmann, dan kerapatan keadaan. Coba kalian iris kulit bola yang dibatasi oleh sudut sampai + d dan hitung luas irisan tersebut. Irisan tersebut berbentuk lingkaran dengan lebar tertentu.

dRR sin

Gambar. 7 Menentukan rapat keadaan yang dibatasi oleh sudut antara sampai + dMisalkan jari jari bola adalah R. jari jari irisan adalah r = R sin. Dengan demikian, keliling irisan tersebut adalah K = 2r = 2Rsin (20)Keliling bola sendiri adalah 2R. Keliling ini mencakupi sudut sebesar 2, sedangkan irisan sendiri hanya mencakup sudut sebesar d. Dengan menggunakan perbandingan sudut maka kita dapat menghitung tebal irisan sebagai berikutds = x 2R = Rd (21)Akhirnya kita dapatkan luas irisan adalahdS = Kds = Rd = sind(22)Luas keseluruhan kulit bola sendiri adalah S = . Dengan demikian, kerapatan keadaan pada posisi sudut sampai + d adalahg()d = = = (23)Probabilitas mendapatkan atom dengan arah orientasi momen magnetic antara sampai + d adalahP()d g()dAtauP()d = g()d (24)dengan C adalah factor penormalisasi. Karena probabilitas mendapatkan atom pada semua orientasi adalah 1 maka Atau g()d = 1yang akhirnya memberi ungkapan untuk factor penormalisasi C = (25)Ketika momen magnetic membentuk sudut maka komponen momen yang searah medan magnet hanya . Dengan demikian, momen magnetic rata rata menjadi = P()d= = (26)Untuk menyelesaikan integral (26) mari kita misalkan x = B .Dengan permisalan ini maka = x (27a) (27.b)Selanjutnya kita menentukan batas integral untuk x. Jika maka dan jika maka . Substitusi persamaan (27.a) dan (27.b) kedalam persamaan (26) kita peroleh

(28)

Dengan . Kita sederhanakan lebih lanjut persamaan (28)

(29)

Dengan memperkenalkan fungsi Langevin, (30)Maka momen magnetic rata-rata dapat ditulis dalam bentuk lebih singkat sebagai berikut (31)

F. Vibrasi Kisi Dalam Kristal

Atom-atom dalam Kristal selalu bervibrasi. Atom-atom tersebut dapat dipandang sebagai kumpulan osilator harmonic sejenis. Kita akan mencari energy rata-rata getaran atom dalam Kristal. Kita menganggap bahwa tidak ada interaksi antara satu atom dengan atom lainya. Tiap atom dipandang sebagai osilator harmonik bebas.Menurut mekanika kuantum, atom-atom yang bergetar tidak memiliki energy sembarang. Energy yang dimiliki osilator tersebut bersifat diskrit yang memenuhi

n = ( n +1/2)(32)Dengan = h/2 , adalah frekuensi karakteristik osilasi, dan n adalah bilangan kuantum osilasi dengan nilai 0, 1, 2, ..

n = ( n +1/2) Kita berkeinginan mencari energy rata-rata getaran dengan asumsi bahwa distribusi osilator yang memiliki energy tertentu memenuhi distribusi Maxwell-Boltzman . dengan demikian, peluang sebuah osilator memiliki energi adalah Pn atau

Pn = C(33)

=1Dengan C adalah konstanta normalisasi. Peluang mendapatkan osilator pada semua tingkat energy adalah satu. Peluang tersebut adalah penjumlahan semua Pn dari n=0 hingga n = , atau penjumlahan. Penjumlahan tersebut menghasilkan nilai factor normalisasi dalam bentuk

C = (34)

Ungkapan lengkap untuk probabilitas menemukan osilator pada keadaan dengan bilangan kuatum n adalah(35)Setelah mendapatkan ungkapan untuk peluang mendapatkan osilator pada berbagai tingkat energy maka kita dapat menghitung energy rata-rata osilator sebagai berikut

= = (36)

Untuk mencari bentuk penjumlahan diatas mari kita ganti -1/kT dengan . Penggantian tersebut menyebabkan kita dapat menulis persamaan (36) sebagai

= (37)

Mari kita misalkan

Z = (38)

Jika kita diferensialkan Z terhadap , kita peroleh

= = (39)

Dengan demikian, kita dapat menulis energy rata-rata osilator sebagai

= = ln Z (40)

Persamaan (40) menginformasikan pada kita bahwa untuk mencari energy rata-rata osilator , kita dapat memulai mencari Z seperti yang didefinisikan dalam persamaan (38). Sekarang mari kita mencari Z tersebut.

Z = = = (41)Kalian ingat jumlah suatu deret deret geometri ini bukan? Jika |x| |qEd/2| maka kita dapat mengaproksiasi qUn + qEd/2 qUn. Dengan aproksimasi ini maka persamaan (54) menjadi

(-1)(55)Kerapatan arus yang mengalir didalam maerial sebandiing dengan selisih probabilitas diatas atau J , sehingga bisa kita tulis

J(T,E)= JO(-1)(56)

jika medan yang diterapkan tidak terlalu besar , yaitu jika terpenuhi qEd