Maxwell-BoltzmannMaxwell-Boltzmann

StatisticsStatistics

CONTENT

1. Distribution over energies2. Weight of configurations3. The most probable configuration4. The sharpness of the configuration maximum5. The multiplier 6. The multiplier 7. The Maxwell-Boltzmann Distribution

1. Distribution over energies

Adalah mungkin untuk memperkirakan keadaan suatu ansambel pada waktu yang diberikan oleh posisi dan momentum tiap sistem pada ansambel.

Untuk sistem yang tidak berinteraksi, adalah mungkin digunakan analisis statistik untuk distribusi secara khusus pada sistem dengan energi yang bervariasi

Distribusi secara spesifik memberikan energi eksak khusus untuk tiap N sistem dari ansambel

contoh......

Contoh :Sistem 1 dengan energi 1

Sistem 2 dengan energi 2

..... ..... ......Sistem i dengan energi i

..... ..... .....Sistem N dengan energi N

Energi sistem akan dihubungkan dengan energi total oleh kondisi

Ei

i

Kemungkinan lain, distribusi yang tidak begitu detail memberikan sejumlah sistem khusus yang mempunyai energi dengan range hingga +d

Anggapan, energi sistem dapat dibagi kedalam “lembaran” dimana terdapat lembar s yang berisi semua tingkat energi dalam range s hingga s + ds dan energi efektif sistem dalam lembaran adalah s

Jumlah tingkat energi yang mungkin dari sistem dalam lembaran tersebut disebut dengan bobot (weight) lembaran.

Distribusi sistem diatas energi yang bervariasi memberikan bilangan kedudukan (occupation number) ns khusus untuk jumlah sistem dengan energi s dalam lembar s.

Jika energi sistem dibentangkan total diatas lembar energi , distribusinya dapat ditulis sbb :

jumlah lembar1 2 3 ....s ....renergi lembar 1 2 3 ...s ... r

bobot lembar g1 g2 g3 ...gs ... gr

bilangan occupation n1 n2 n3 ...ns ... nr

Total bilangan occupation sebanding dengan jumlah total sistem

r

1ss

s

1

n ansambel energi Total

nslembar pada sistem Energi

s

s

r

ss Nn

Contoh :Terdapat 4 sistem dengan label a, b, c dan d didistribusikan

pada lembar energi dengan bobot g =3 dan g = 4

Lembar 1, g = 3

a b a b c,abc

Lembar 2, g = 4

bddadcdc

The fundamental assumptions :The probability that an assembly is in a particular, allowed arrangement is the same for all such arrangements

susunan sistem dapat diasumsikan sama kemungkinannya, tetapi untuk konfigurasi tidak berlaku demikian.semua konfigurasi dengan N sistem dari ansambel berada dalam tingkat energi sama, dapat dihasilkan dengan satu cara sajasetiap konfigurasi dalam sistem N yang didistribusikan sepanjang keadaan g , akan mempunyai susunan gN berbeda tiap sistem dalam g tersebut, dengan cara yang berbeda pula.

2. WEIGHTS OF CONFIGURATIONSDidefinisikan W , bobot tiap konfigurasi (bobot konfigurasi); yang menyatakan jumlah susunan nyata dari sistem yang semuanya berhubungan (korespondensi) dengan konfigurasi nyata (particular configuration)Jika sistem dalam ansambel didistribusikan sehingga terdapat ns sistem dalam lembar s, bobot konfigurasi ini akan dijumpai dari sejumlah cara yang menghasilkan konfigurasi dengan N sistem ansambelJumlah cara yang memilih ns sistem lembar energi pertama dari total N sistem, dapat dituliskan sbg

1!!

!

111 nNn

NCnN

Sistem n2 dari lembar ke dua dapat dipilih dari susunan sistem (N- n1 ) dalam cara sbb

2

!!

!

212

121 nnNn

nNCnnN

Total jumlah cara yang dipilih pada sistem di lembar pertama dan kedua akan menghasilkan perkalian dari persamaan 1 dan 2,

3!!!

!

!!

!

!!

!

2121

212

1

11

nnNnn

N

nnNn

nN

nNn

N

Jika hanya 3 lembar jumlah dari sistem, dalam lembar ke tiga menjadi 213 nnNn

Dari persamaan 3, diperoleh jumlah total cara yang dipilih dengan konfigurasi n1, n2, dan n3 sebagai berikut :

4!!!

!

321 nnn

N

Selanjutnya untuk kasus dengan jumlah lembar r, maka banyak cara yang dapat digunakan

5!!...!...!!

!

321 gs nnnnn

N

dapat dilihat, terdapat tingkat energi g pada lembar energi s

Tiap sistem dalam lembar dapat ditempatkan dalam cara dan ada total cara yang dapat disusun sistem pada lembar.Jumlah total sistem yang dapat disusun dalam memberikan konfigurasi, bobot konfigurasi ;

sn

snsg

snng

6......!!...!...!

!21

2121

rs nr

ns

nn

rs

ggggnnnn

NW

7!

!

s s

ns

n

gNW

s

3. THE MOST PROBABLE CONFIGURATION

Untuk mendapatkan jumlah occupation yang berhubungan dengan konfigurasi yang mungkin perlu untuk meningkatkan bobot W oleh kondisi

80

s

ss

dnn

WdW

hal ini menunjukkan jumlah occupation-nya konstanPenyelesaian persamaan 8 menggunakan pendekatan energi dan jumlah sistem

rs hingga 1s range

100

10a konstan

90

9akonstan

bdEdn

En

bdNdn

Nn

sss

sss

ss

ss

Dengan menggunakan perkalian Lagrange, nilai maksimum pada W menjadi

pengalimerupakan ,

110

ba

dEbdNadW

Substitusi dari persamaan 8, 9b dan 10b dalam 11, memberikan :

120

sss

ss

ss

s

dnbdnadnn

W

Bentuk logaritma persamaan 11 dan 12 menjadi,

140log

130log

s

sss

ss

ss

dndndnn

W

dEdNWd

Persamaan 14 dapat ditulis ulang menjadi

150log

s

sss

dnn

W

Akhirnya didapat,

160log

s

sn

W

Turunan suku pertama persamaan 16 dapat dievaluasi dengan pendekatan Stirling’s untuk jumlah faktorial yang lebar, sebagaimana persamaan berikut;

17log!log NNNN

Karena sistem dianggap didistribusikan pada lembar energi terhadap tingkat energi, bilangan occupation dapat diasumsikan mempunyai pendekatan akhir (persamaan 17) untuk diaplikasikan pada kasus ns! untuk semua nilai s.

Dari nilai W yang diberikan oleh persamaan 7, kita dapat turunkan

19loglogloglogW

parsial, aldifferensi dari

18loglog

log

!log!log

!log!loglog

s

sss

s

ssssss

s

ns

s

s s

ns

n

gng

n

nnngn

NNN

n

gN

n

gNW

s

s

Dari substitusi persamaan 19, persamaan 16 menjadi

0log ss

s

n

g

Dari sini diperoleh

20segn ss

Persamaan 20 inilah yang disebut dengan distribusi Maxwell-Boltzmann, menunjukkan distribusi dari sistem dengan lembar energi yang bervariasi untuk kebolehjadian konfigurasi.

se dikenal dengan faktor Boltzmann

Ketika tingkat energi individual diletakkan terhadap occupation rata-rata, maka dapat didefinisikan bilangan occupation rata-rata,

21ieni

4. THE SHARPNESS OF THE CONFIGURATION MAXIMUM

Nilai-nilai dari bilangan occupation pada persamaan 20 mendefinisikan titik stationer untuk bobot W. Sifat W dapat dilihat dari ekspansi nilai log W dengan menggunakan deret Taylor,

22

...2

log

logloglog

2

max

2

2

max

max

s

s

s

ss

s

n

n

W

nn

WWW

Wmax merupakan nilai stationer dan W adalah bobot konfigurasi dimana bilangan occupation dibedakan oleh ns dst dari ini untuk Wmax

Dari persamaan 19, didapat

231log

loglog

2

2

ss

s

s

s

nn

W

n

g

n

W

Substitusi persamaan 23 ke 22 memberikan

252

1exp

242

1loglog

2

max

2

max

s sm

s

s sm

s

n

nWW

n

nWW

Untuk menilai kejelasan ns/nsm= s maksimum yang diberikan, maka persamaan 25 menjadi,

272

1exp

2

1exp

sehingga ,0ndipilih jika

262

1exp

2max

2max

ss

2max

NW

nWW

nWW

ssm

ss

sssm

5. THE MULTIPLIER Sejak jumlah sistem mempunyai energi tak hingga tidak sama dengan nol, persamaan 20 menjadi negatif.Nilai diperoleh dengan substitusi persamaan 20 untuk kondisi berikut, EnNn s

ss

ss dan

Terdapat tiga cara dalam penggunaan

1. Anggap 2 ansambel A’ dan A’’ yang berturut-turut berisi N’ dan N’’. Ansambel itu diletakkan dalam kontak ‘thermal’ sepertihalnya energi, tetapi bukan sistemnya, boleh dipertukarkan antara keduanya sehingga salah satunya dapat terisolasi dari lingkungan.dengan pertukaran energi diharapkan kedua sistem mempunyai temperatur sama sehingga tercapai kesetimbangan thermal.

Total energi E dari 2 ansambel pada kondisi & kuantitas tertentu,

280dEdan 0'',0' dNdN

Total energi dari 2 ansambel tersebut,

s

sss

ss nnE ''''''

Sehingga persamaan 28 menjadi

290''''''

0'''';0''

sss

sss

ss

ss

dndndE

dndNdndN

Jika bobot individual dari ansambel berturut-turut W’ da W’’ maka total bobot konfigurasi dari dua ansambel menjadi,

30'''WWWT

Dengan menggunakan persamaan 13, didapat kondisi untuk konfigurasi yang mungkin dari kombinasi ansambel,

''''

''log''log

''

'log'log

310''''''log

ss s

ss s

T

dnn

WWd

dnn

WWd

dEdNdNWd

Selanjutnya....

320''''''''

''log

''''

'log

0''''''''''

''''''

''log'

'

'log

ss

ss

ss

ss

sss

sss

ss

sss

s ss

s s

dnn

W

dnn

W

dndndn

dndnn

Wdn

n

W

Dari persamaan 32, di dapat

s nilai semuauntuk berlaku

33''''''

''log

33'''

'log

bn

W

an

W

ss

ss

Ternyata hanya temperatur dari 2 ansambel yang mempunyai nilai sama, selanjutnya merupakan fungsi temperatur T , dimana T adalah temperatur thermodinamika dari ansambel.

34Tf

Jadi, kesetimbangan thermal antara 2 ansambel memungkinkan pengali hanya bergantung pada temperatur themodinamik

2. Pengali dapat juga dianggap dari titik yang mengacu perubahan energi dE.Sejumlah panas dQ yang dialirkan pada ansambel dan meninggalkan ansambel tersebut pada volum dV, berdasarkan hukum thermodinamika pertama,

35dVpdQdE

Perubahan energi ini memberikan,

36

sss

sss

sss

dndn

nddE

Perbandingan pers. 35 dan 36 menghasilkan bentuk

38

37

dQdn

dVpn

sss

sss

Hubungan pada pers 38 jika digunakan bersamaan dg pers.13 untuk kasus dimana tidak ada perubahan dalam volume ansambel, maka kondisi kesetimbangan ansambel menjadi

390log dQdNWd Pada kasus dimana panas dQ diberikan pada ansambel dengan bilangan konstan dari sistem akan berubah dalam bobot ansambel diberikan,

40log dQWd

Jika dikaitkan dengan entropi ansambel S dan temperatur T, maka dS=dQ/T. Sehingga hubungan ini menjadi,

411

kT

3. Kondisi distribusi dari energi total dan jumlah sistem dalam ansambel digunakan untuk memperkirakan rata-rata energi dari sistem. Dari teori kinetik dasar, energi rata-rata dapat diturunkan dari persamaan gas ideal,

422

3kT

Selanjutnya,

44

43

43

ss

sss

ss

sss

s

s

s

s

eg

eg

N

E

begN

aegE

Didefinisikan tingkat keadaan B tiap satuan volume dari ruang fase dengan elemen d dari ruang fase yang berisi state B d.Bobot lembar s menjadi,

45ss Bg

Selanjutnya,

48

energinya, rata-ratadidapat

4722.g

45 ke 46 pers. subst.

46.22

0

2

10

2

3

2

1

2

3

s

2

1

2

3

de

de

dmBV

dpdpdpdzdydxd

Vdm

ss

zyx

sss

492

3

menjadi, direduksidapat pers.48

2

3

0

2

1

0

2

3

dede

Dari perbandingan dengan pers.42 diperoleh juga identitas

kT

1

6. THE MULTIPLIER Untuk mendefinisikan pengali digunakan substitusi,

50eA

Dari distribusi pers. 20, idapat

51seAgn ss

Sehingga total jumlah sistem,

53

52

ss

ss

s

s

eg

NA

egAN

Dengan menggunakan pers. 47 di dapat,

2

2

3

**

54

22

2

3

2

3

0

2

1

2

3

0

2

1

0

2

1

2

3

dxexde

deBVm

NA

x

Dari pers. 54, didapat

55

2

,1-dengan atau

2

2

3

2

3

mkTBV

NA

kT

mBV

NA

Akhirnya, didapat pengali

56

2loglog

2

3

mkTBV

NA

7. THE MAXWELL-BOLTZMANN DISTRIBUTION

Jika dn merupakan jumlah sistem yang mempunyai koordinat pada volume d dalam ruang fase, (dari pers. 20)

58g

menjadi 20 pers.

,d hingga range dalam

keadaan jumlah menyatakang jika

57

dedn

d

dBedn

Akhirnya didapat distribusi Maxwell-Boltzmann dalam bentuk differensial sbb,

592 2

1

2

1

dekT

Ndn kT