solusi persamaan boltzmann dengan nilai...

SOLUSI PERSAMAAN BOLTZMANN DENGAN NILAI AWAL BOBYLEV MENGGUNAKAN PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK

YOANITA HISTORIANI

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2007

PERNYATAAN MENGENAI TESIS

DAN SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Solusi Persamaan Boltzmann dengan Nilai Awal Bobylev menggunakan Pendekatan Analitik dan Numerik adalah karya saya sendiri dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan di dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini

Bogor, Agustus 2007

Yoanita Historiani

G551050141

ABSTRACT YOANITA HISTORIANI. Exact Solution of the Boltzmann Equation with Bobylev Initial Condition using Analitycal and Numerical Approach. Under the supervision from ENDAR H. NUGRAHANI and SRI NURDIATI.

A gas flow may be modeled at either a microscopic or a macroscopic level. The microscopic model recognizes the particular structure of the gas as collection of discrete molecules and ideally provides position, velocity and state of every molecule at all times. The position, velocity, and state of each molecules can be modeled as a probability distribution function. The mathematical model at this level is called Boltzmann equation. The macroscopic level recognizes some physical properties like temperature, volume, average velocity, energy, and impul.

Mathematical model contained in Boltzmann equation is complicated, involves high dimensional differential and integral form, so it is relatively difficult to find a solution of this equation. This thesis use Bobylev initial condition which takes a general form of normal distribution function.

Exact solution can be found by integrating the differential form of the left hand side and evaluating the solution of the integral form in the right hand side, in such a way that the simplest form of the Boltzmann equation can be obtained. Furthermore, numerical solution of the Boltzmann equation is presented by simulation using DSMC (Direct Simulation Monte Carlo) methods.

ABSTRAK

YOANITA HISTORIANI. Solusi Eksak Persamaan Boltzmann dengan Nilai Awal Bobylev menggunakan Pendekatan Analitik dan Numerik. Dibimbing oleh ENDAR H. NUGRAHANI dan SRI NURDIATI.

Pergerakan molekul pada suatu sistem gas dapat dimodelkan dari 2 sudut pandang yang berbeda, yaitu secara mikroskopik dan makroskopik. Dari sudut pandang mikroskopik, suatu sistem gas diamati sebagai sekumpulan molekul tunggal yang identik yang saling berinteraksi satu dengan lainnya. Setiap molekul gas berada pada posisi tertentu, kecepatan tertentu, pada saat t yang dimodelkan dalam suatu fungsi distribusi peluang. Model matematik yang menggambarkan evolusi distribusi peluang suatu molekul gas terhadap waktu, posisi, kecepatan serta interaksi antar molekul dikenal dengan persamaan Boltzmann. Dari sudut pandang makroskopik, gerak partikel dapat diamati secara lebih jelas dengan melakukan pengukuran besaran fisika pada sistem, antara lain kecepatan rata-rata, tekanan, temperatur, energi dan suhu.

Rumusan matematik persamaan Boltzmann melibatkan fungsi diferensial dan integral dengan dimensi variabel bebas yang tinggi, sehingga persamaan ini relatif sulit dicari solusi meskipun fungsi sebaran yang dipergunakan sebagai nilai awal merupakan fungsi sebaran yang paling sederhana. Pada tesis ini, fungsi sebaran yang dipilih sebagai nilai awal adalah fungsi distribusi Bobylev, yang merupakan bentuk umum dari fungsi distribusi normal.

Solusi eksak diperoleh dengan mengintegralkan ruas kiri dan mengevaluasi nilai dari integral ruas kanan, sedemikian sehingga diperoleh bentuk penyelesaian persamaan Boltzmann yang sederhana. Di sisi lain, solusi numerik diperoleh dengan membuat simulasi tumbukan molekul gas dengan menggunakan metode DSMC (Direct Simulation Monte Carlo).

© Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2007 Hak Cipta dilindungi Undang-undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian,

penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah.

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor.

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

SOLUSI PERSAMAAN BOLTZMANN DENGAN NILAI AWAL BOBYLEV MENGGUNAKAN PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK

YOANITA HISTORIANI

Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Magister Sains pada Departemen Matematika

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2007

Judul Tesis : Solusi Persamaan Boltzmann Dengan Nilai Awal Bobylev menggunakan Pendekatan Analitik dan Numerik Nama : Yoanita Historiani NIM : G551050141

Disetujui

Komisi Pembimbing

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS Dr. Ir. Sri Nurdiati, MSc Ketua Anggota

Diketahui Ketua Departemen Matematika Dekan Sekolah Pascasarjana

Dr. Berlian Setiawaty, MS Prof. Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, MS

Tanggal Ujian : 16 Agustus 2007 Tanggal Lulus :

PRAKATA

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat dilaksanakan dan diselesaikan dengan baik. Judul yang dipilih pada penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2007 ini adalah Solusi Eksak Persamaan Boltzmann dengan Nilai Awal Bobylev menggunakan Pendekatan Analitik dan Numerik.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS dan Ibu Dr. Ir. Sri Nurdiati, MSc selaku pembimbing serta Bapak Dr. Ir. Putu Purnaba, DEA yang telah banyak memberikan saran.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Agustus 2007 Yoanita Historiani

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Kebumen pada tanggal 29 Agustus 1982 sebagai anak pertama dari pasangan Turisno dan Tri Rujiati. Pendidikan sarjana ditempuh di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor, lulus pada tahun 2004.

Penulis adalah staf pengajar di Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta sejak Agustus 2005. Mata kuliah yang diajarkan adalah Matematika Dasar I dan Matematika Dasar II.

DAFTAR ISI Halaman

DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... ix

DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................. x

PENDAHULUAN

Latar Belakang ....................................................................................... 1 Tujuan Penelitian .................................................................................. 2 Batasan Penelitian ................................................................................. 2

TINJAUAN PUSTAKA

Persamaan Lioville(Persamaan Transport) ........................................... 4 Persamaan Boltzmann ........................................................................... 6 Besaran Makroskopik Gas .................................................................... 8

METODE ....................................................................................................... 10

HASIL DAN PEMBAHASAN

Solusi Eksak Persamaan Boltzmann dengan Nilai Awal Bobylev ......... 11 Besaran Makroskopik Gas .................................................................... 15 Simulasi dengan Metode DSMC ........................................................... 16

KESIMPULAN DAN SARAN ...................................................................... 21

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 22

LAMPIRAN ................................................................................................... 23

viii

DAFTAR GAMBAR Halaman

1 Kurva solusi eksak dan numerik dengan nilai awal Bobylev ................ 18

2 Kurva komponen kecepatan x ................................................................ 19

3 Kurva komponen kecepatan y ................................................................ 20

4 Kurva komponen kecepatan z ................................................................ 20

ix

DAFTAR LAMPIRAN Halaman

1 Integral Gauss .......................................................................................... 24

2 Bukti Persamaan 10 .................................................................................. 25

3 Bukti Persamaan 11 .................................................................................. 25

4 Bukti Persamaan 26 .................................................................................. 26

5 Bukti 334

2

IdS

T π=∫ eee .......................................................................... 29

6 Bukti Persamaan 29 .................................................................................. 31

7 Bukti Persamaan 30 .................................................................................. 32

8 Bukti Persamaan 33 .................................................................................. 32

9 Bukti Persamaan 34 .................................................................................. 33

10 Bukti Persamaan 35 .................................................................................. 33

11 Bukti Persamaan 37 .................................................................................. 36

12 Bukti Persamaan 38 .................................................................................. 41

13 Bukti Persamaan 39 .................................................................................. 42

14 Bukti Persamaan 40 .................................................................................. 42

15 Bukti Persamaan 42 .................................................................................. 43

16 Bukti Persamaan 43 .................................................................................. 44

17 Bukti Persamaan ..................................................................... 45 02

=∫S

ede

18 Bukti Persamaan Besaran Makroskopik .................................................. 45

19 Program Utama ........................................................................................ 51

20 Sub Routine DATAOS.m ........................................................................ 52

21 Sub Routine INITOS4.m ......................................................................... 52

22 Sub Routine SAMPIOS.m ....................................................................... 54

23 Sub Routine MOVEOS.m ........................................................................ 55

24 Sub Routine INDEXS.m .......................................................................... 56

25 Sub Routine COLLS4.m .......................................................................... 57

26 Sub Routine SAMPLEOS.m .................................................................... 58

27 Sub Routine OUTOS.m .......................................................................... 60

28 varinit.m .................................................................................................... 61

x

PENDAHULUAN Latar Belakang

Menurut teori molekuler benda, satu unit volume makroskopik gas

(misalkan 1 cm3) merupakan suatu sistem yang terdiri atas sejumlah besar

molekul (kira-kira sebanyak buah molekul) yang bergerak dengan arah yang

tidak menentu. Karena jumlahnya yang sangat besar, maka secara matematis,

untuk memodelkan gerak dan sifat setiap molekul tidak mudah, sehingga perilaku

setiap molekul gas pada suatu sistem didekati dengan menggunakan sifat partikel.

2010

Pergerakan partikel gas yang tidak melibatkan interaksi dengan partikel

lainnya disebut aliran. Model matematika yang menyatakan peristiwa ini dikenal

dengan persamaan transport. Di sisi lain, model pergerakan partikel yang

melibatkan interaksi dengan partikel gas lain disebut persamaan Boltzmann, yang

pertama kali diungkapkan oleh seorang ahli fisika bernama Ludwig Boltzmann

pada tahun 1898 (Cercignani 1975).

Persamaan Boltzmann merupakan persamaan diferensial integral yang

menggambarkan evolusi distribusi peluang suatu partikel gas sebagai fungsi dari

waktu, posisi dan kecepatannya, serta interaksi antar partikel karena adanya

tumbukan antar partikel gas. Persamaan Boltzmann telah dikenal luas karena

banyak aplikasi dan perluasannya antara lain dalam bidang fisika, biologi,

ekonomi, ekonofisika dan sosial. Pada bidang fisika, aplikasi dari solusi

persamaan Boltzmann dapat digolongkan menjadi dua jenis. Aplikasi yang

pertama berkaitan dengan penarikan kesimpulan mengenai sifat-sifat makroskopik

gas yang didekati dari sifat-sifat mikroskopiknya. Hasilnya memberi banyak

manfaat dalam bidang mekanika statistika, yaitu menjembatani perbedaan antara

sifat-sifat yang terdapat pada struktur atom benda dengan sifat benda pada tingkat

makroskopik. Aplikasi yang kedua berkaitan dengan pengembangan model untuk

jenis zat lain seperti zat padat dan zat cair (Bellomo & Pulvirenti 2000).

Penelitian awal mengenai persamaan Boltzmann yang dilakukan oleh

Maxwell-Boltzmann berhasil menjelaskan sifat-sifat makroskopik gas pada suatu

sistem, menghitung kekentalan zat, serta koefisien hantar panas antar partikel.

2

Besaran makroskopik gas adalah sifat-sifat gas yang dapat diamati secara fisis

pada suatu sistem, seperti suhu, tekanan, dan volume (Cercignani 1975).

Karena rumusan matematis persamaan Boltzmann melibatkan fungsi dengan

dimensi variabel bebas yang tinggi, maka persamaan ini relatif sulit dicari solusi,

meskipun fungsi sebaran yang dipergunakan sebagai nilai awal merupakan fungsi

sebaran yang paling sederhana. Fungsi sebaran yang pernah dipilih sebagai nilai

awal antara lain adalah fungsi sebaran Maxwell, fungsi sebaran Bobylev, fungsi

sebaran Bobylev Cercignani I ,serta fungsi sebaran Bobylev Cercignani II

(Nugrahani 2003).

Secara umum, terdapat 2 jenis solusi persamaan Boltzmann, yaitu solusi

eksak dan solusi numerik. Solusi eksak diperoleh dengan menyelesaikan

persamaan secara matematis, sedangkan solusi numerik diperoleh melalui suatu

simulasi. Salah satu metode yang banyak digunakan untuk melakukan simulasi

adalah metode Monte Carlo, sedemikian sehingga vektor posisi dan kecepatan

partikel dibangkitkan secara stokastik (Liboff 1990).

Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah:

1. Merekonstruksi solusi eksak persamaan Boltzmann dengan menggunakan

distribusi awal Bobylev.

2. Memanfaatkan solusi eksak persamaan Boltzmann untuk menghitung

besaran makroskopik gas.

3. Mencari solusi numerik dengan menggunakan simulasi aliran dan tumbukan

partikel gas dengan menggunakan metode Direct Simulation Monte Carlo.

Batasan Penelitian

Penelitian ini dibatasi oleh beberapa asumsi, antara lain:

1. Pengamatan gerak molekul hanya dilakukan pada gerak linear, dengan

mengabaikan gerak angular.

2. Sifat-sifat molekul gas didekati dengan menggunakan sifat partikel.

3. Pada sistem, gas dimodelkan sebagai gas ideal, tunggal dan identik.

4. Tumbukan yang terjadi adalah tumbukan antara 2 partikel.

5. Untuk kemudahan teknis, simulasi gerak dan posisi partikel gas sebelum dan

setelah tumbukan hanya dilakukan pada sumbu x saja.

3

TINJAUAN PUSTAKA

Definisi 1 Gas

Gas adalah suatu sistem dinamik yang terdiri atas sejumlah besar N partikel

dengan massa partikel yang relatif kecil m.

(Cercignani 1975)

Definisi 2 Gas Ideal

Suatu gas dikatakan ideal jika energi potensial dari gaya intermolekulernya

diabaikan, meskipun partikel-partikel tersebut berada pada jarak yang lebih dekat

dari diameter partikel tersebut.

(Cercignani 1975)

Definisi 3 Gas Tunggal

Gas tunggal adalah gas yang molekulnya tidak mempunyai derajat bebas

internal, sedemikian sehingga derajat bebas yang dimiliki hanya berasal dari

vektor posisi dan vektor kecepatan.

(Cercignani 1975)

Definisi 4 Teori Kinetik

Teori kinetik adalah suatu cabang ilmu fisika yang mempelajari sifat-sifat

mikroskopik molekul dan interaksi yang berhubungan dengan sifat-sifat

makroskopik benda seperti hukum gas ideal. Asumsi-asumsi yang mendasari teori

kinetik adalah:

1. Jumlah molekul sangat banyak.

2. Molekul-molekul tersebut merupakan molekul tunggal yang identik.

3. Molekul bergerak secara acak.

4. Gerak molekul tidak melanggar hukum gerak Newton.

5. Molekul mengalami tumbukan elastis dengan molekul lainnya.

6. Gaya gravitasi antar molekul diabaikan.

7. Sifat-sifat molekul didekati dengan menggunakan sifat-sifat partikel

dengan tidak mengabaikan hukum-hukum mekanika klasik.

(Kibble & Berkshire 1996)

4

Definisi 5 Hukum Kekekalan Momentum

Misal terdapat 2 partikel yang bergerak pada suatu sistem. Massa partikel

pertama bergerak dengan kecepatan , serta massa partikel kedua

bergerak dengan kecepatan . Maka hukum kekekalan momentum menyatakan

bahwa:

1m 1v 2m

2v

konstan.2211 ==+ Pvmvm


Definisi 6 Hukum Kekekalan Energi

Misalkan suatu partikel yang bergerak mempunyai energi kinetik T dan

energi potensial P. Maka berlaku konstan.==+ CVT


Definisi 7 Fungsi Kepekatan Peluang

Misalkan X peubah acak satu dimensi dalam ruang Ω yang terdiri dari selang

atau gabungan selang. Misal terdapat fungsi ( )xf tak negatif yang memenuhi:

( ) 1=∫Ω

dxxf .

Jika fungsi peluang dengan( )AP Ω∈A dapat dinyatakan dalam bentuk ( )xf

sedemikian sehingga ( ) ( ) ( )dxxfXAP ∫Α

=Ω∈= Pr , maka X merupakan peubah

acak kontinu dan merupakan fungsi kepekatan peluang dari X. ( )xf

(Hogg & Craig 1995)

Definisi 8 Persamaan Lioville (Persamaan Transport)

Misalkan pada suatu sistem terdapat N buah partikel gas ideal tunggal.

Misalkan setiap partikel berada pada posisi xi bergerak dengan kecepatan vi,

dengan . Maka setelah waktu t, persamaan gerak dari partikel

tersebut dapat dituliskan sebagai:

Ni ..., ,2 ,1=

,

,

ii

ii

dtddt

d

vx

av

=

= (1)

dengan ai merupakan percepatan gerak partikel ke-i.

5

Pada sistem, partikel gas bergerak pada suatu bidang fase dengan dimensi

ruang 6N, yaitu 3N merupakan dimensi komponen vektor posisi xi dan 3N lainnya

merupakan dimensi dari komponen vektor kecepatan vi. Misalkan vektor z

menyatakan dimensi ruang 6N. Maka persamaan evolusi z terhadap waktu adalah:

ii

dtd

yz

= . (2)

Jika nilai awal diketahui untuk semua partikel gas, maka nilai untuk

semua partikel dapat diketahui, yaitu dengan menggunakan konsep persamaan

diferensial biasa. Akan tetapi, karena jumlah partikel gas yang terdapat pada

sistem tersebut sangat banyak, maka untuk mengidentifikasi posisi awal x

0z tz

0 dan

kecepatan awal dari setiap partikel akan menjadi sulit dilakukan dan

membutuhkan waktu yang tidak sedikit. Oleh karena itu, dirumuskan teknik lain

untuk menggambarkan posisi dan pergerakan awal partikel, yaitu dengan

menggunakan fungsi sebaran

0v

( ) ( )0,0 == tff zz yang menyatakan fungsi

kepekatan peluang pada saat t = 0.

Jika setiap partikel bergerak tanpa bertumbukan satu sama lain dan

banyaknya partikel yang keluar dari sistem sama dengan banyaknya partikel yang

masuk sistem, maka persamaan gerak partikel dapat dinyatakan sebagai:

( ) 0=∂∂+∂∂ yz ftf (3)

yang dikenal sebagai persamaan Liouville atau persamaan aliran. Perhatikan

bahwa ( ) ( )yzzyyz ∂∂+∂∂=∂∂ fff , sehingga:

( ) 0 =∂∂+∂∂+∂∂ y zzy ffftf . (4)

Oleh karena 0 / =∂∂ yz , maka persamaan (4) dapat dituliskan kembali dalam

bentuk: 0=∂∂+∂∂ zy ftf , (5)

atau : ( )( ) ( )( ) ,011

=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂ ∑∑==

N

iiii

N

ii ftfttf vvxx

( ) ( ) 011

=∂∂+∂∂+∂∂ ∑∑==

iN

iii

N

ii fftf vaxv

0/././ =∂∂+∂∂+∂∂ vxv faftf (6)

(Cercignani 1975)

6

Definisi 9 Persamaan Boltzmann

Pada persamaan Liouville, setiap partikel diasumsikan hanya bergerak, tanpa

bertumbukan satu dengan lainnya, sehingga nilai ruas kanan persamaan Liouville

bernilai nol. Jika pada sistem terjadi tumbukan antar 2 partikel, maka nilai ruas

kanan berubah, menjadi model matematis yang merepresentasikan tumbukan antar

2 partikel tersebut yang disebut collision integral dan dilambangkan I[ f, f],

dituliskan:

],[ ffIftf

=∂∂

+∂∂

xv (7)

Misalkan terdapat 2 buah partikel yang saling bertumbukan. Sebelum

tumbukan, partikel 1 melaju dengan kecepatan v , sedangkan partikel 2 melaju

dengan kecepatan . Kecepatan partikel setelah tumbukan masing-masing dan

didefinisikan sebagai berikut:

w 'v

'w

ewvwvv'

22−

++

= . (8)

ewvwvw'

22−

−+

= . (9)

Vektor e merupakan vektor normal bidang tumbukan yang dinyatakan dengan

( )ji

ji

xx

xxe

−

−= dengan , ji ≠ N...,,,j,i 2 1= sedemikian sehingga resultan kedua

vektor kecepatan setelah tumbukan memenuhi:

1. Hukum kekekalan momentum

.wvwv '' +=+ (10)

Bukti persamaan ini dapat dilihat pada Lampiran 2.

2. Hukum kekekalan energi

.2222wvwv '' +=+ (11)

Bukti persamaan ini dapat dilihat pada Lampiran 3.

7

Dengan mengasumsikan bahwa 0=∂∂vf , maka persamaan (6) dapat

dituliskan sebagai:

],[ ffIftf

=∂∂

+∂∂

xv , (12)

dengan:

( ) ,)]()()()([cos],[2 3

'' ewwvwv ddffffgffIS R∫ ∫ −= θ (13)

dan

u = v – w,

( )θcosg = parameter tumbukan antar 2 partikel,

e = vektor normal tumbukan,

de = sin θ dθ dϕ,

x = vektor posisi partikel.

yang dikenal dengan persamaan Boltzmann.

(Cercignani 1975)

Definisi 10 Distribusi Kecepatan Maxwell

Menurut Maxwell, pada suatu sistem yang diam, distribusi kecepatan

partikel yang ada di dalamnya simetris di sekitar titik nol. Artinya, jumlah partikel

yang bergerak ke arah kanan dan ke arah kiri adalah sama, sedemikian sehingga

peluang untuk menemukan partikel yang bergerak dengan kecepatan sangat besar

adalah kecil sekali. Jika peristiwa tersebut digambarkan dalam bentuk kurva,

maka diperoleh suatu kurva yang menyerupai kurva sebaran normal, atau Gauss

exp(-x2). Distribusi kecepatan tersebut dikenal dengan distribusi kecepatan

Maxwell dan dinyatakan sebagai:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

kTm

kTmnf

2exp

24

22

23 vvvπ

π . (14)

(Krane 1992)

8

Definisi 11 Besaran Makroskopik Gas

Salah satu manfaat dari solusi persamaan Boltzmann adalah dapat

menjelaskan beberapa sifat makroskopik benda, khususnya gas dengan

menggunakan pandekatan mikroskopiknya. Sifat makroskopik gas adalah sifat gas

yang dapat teramati secara fisis. Sifat tersebut meliputi densitas, impuls, aliran

impuls, aliran energi, energi, volume, tekanan dan suhu. Sifat mikroskopik gas

berhubungan dengan struktur dan sifat atomik dari gas tersebut.

Misalkan adalah fungsi kepekatan peluang partikel yang berada

pada posisi x dan bergerak dengan kecepatan v pada waktu t. Fungsi kepekatan

peluang di atas dapat dimanfaatkan untuk memperoleh besaran makroskopik.

),,( vxtf

1. Fungsi Densitas

Fungsi densitas (kerapatan) partikel pada ruang 3R didefinisikan sebagai:

. (15) ( ) ( ) vvxx dtftdR∫=3

,,,

2. Impuls

Impuls merupakan hasil perkalian antara fungsi densitas dengan vektor

kecepatan massa . Kecepatan massa didefinisikan sebagai: ( )ξ

( )

( )∫

∫=

3

3

,,

,,

R

Rdtf

dtf

vvx

vvxv

ξ , (16)

sehingga

( ) ( )( )

( )∫

∫∫=

3

3

3 ,,

,,

,,,

R

R

Rdtf

dtf

dtftdvvx

vvxv

vvxξx ,

. (17) ( ) ( ) vvxvxm dtftR∫=3

,,,

3. Aliran Impuls

. (18) ( ) ( ) vvxvvx dtftMR

T∫=3

,,,

9

4. Aliran Energi

( ) ( ) vvxvvx dtftrR∫=3

,,21, 2 . (19)

5. Energi

( ) ( ) vvxvx dtftER∫=3

,,21, 2 . (20)

6. Volume

( )( )

( )∫

∫==

3

3

,,

,,

,

R

Rdtf

dtf

dt

vvx

vvxvmxV . (21)

7. Suhu

( ) ( ) ( ) vvxxVvx dtftGd

tTR

,,,3

1,3

2∫ −= . (22)

dengan G adalah konstanta gas.

8. Tekanan

( ) ( ) ( ) vvxxVvx dtfttPR

,,,31,

3

2∫ −= (23)

(Cercignani 1975)

Definisi 12 Simulasi

Simulasi merupakan suatu proses membuat desain logika matematika dari

suatu sistem real dengan melibatkan batasan-batasan tertentu untuk memecahkan

suatu masalah.

(Pritsker 1999)

Definisi 13 Metode Monte Carlo

Metode Monte Carlo adalah suatu metode algoritma komputasi yang banyak

digunakan dalam simulasi untuk menggambarkan berbagai sistem pada bidang

matematika dan fisika dengan melibatkan bilangan acak sebagai pembangkit

variabel-variabel yang terdapat pada sistem.

(Bird 1990)

10

METODE PENELITIAN

Pada penelitian ini, persamaan Boltzmann disederhanakan menjadi

Persamaan Boltzmann spasial homogen, yaitu dengan menetapkan xf ∂∂ dari

persamaan (12) bernilai nol. Artinya, sebaran kecepatan f(v,t) setelah waktu t

dianggap tidak bergantung pada vektor posisinya. Karena ruas kiri persamaan

Boltzmann mengandung bentuk diferensial, maka solusi masalah tersebut sangat

bergantung pada nilai awal yang dipilih.

Langkah-langkah untuk mencari solusi eksak dan numerik persamaan

Boltzmann dapat dituliskan sebagai berikut:

1. Memilih fungsi distribusi peluang tertentu sebagai nilai awal.

2. Mencari solusi eksak persamaan Boltzmann dengan mengintegralkan ruas

kiri serta mengevaluasi integral ruas kanan Persamaan (12) dan (13),

sehingga diperoleh fungsi distribusi partikel gas pada saat t, .0≠t

3. Solusi numerik diperoleh dengan melakukan simulasi gerak dan tumbukan

partikel gas menggunakan metode DSMC (Direct Simulation Monte Carlo)

satu dimensi dengan asumsi bahwa gerak dan proses tumbukan hanya

diperhatikan dalam sumbu x saja (Bird 1994). Software yang digunakan

untuk melakukan simulasi adalah MATLAB 7.0.

4. Dengan menggunakan metode Monte Carlo, vektor posisi dan kecepatan

molekul dibangkitkan secara stokastik.

5. Selanjutnya, solusi persamaan Boltzmann yang diperoleh dapat

dipergunakan untuk menghitung beberapa besaran makroskopik gas, antara

lain fungsi densitas, kecepatan rata-rata, impuls, serta energi.

11

PEMBAHASAN Pada karya ilmiah ini, persamaan Boltzmann yang akan dicari solusinya

adalah persamaan Boltzmann spasial homogen, yaitu persamaan Boltzmann

dengan xf ∂∂ bernilai nol, dituliskan:

( ) .)]()()()([cos2 3

'' ewwvwv ddffffgtfS R∫ ∫ −=∂∂ θ (24)

Ruas kiri persamaan Boltzmann mengandung bentuk diferensial, sehingga

solusi masalah tersebut bergantung pada nilai awal yang dipilih. Selanjutnya akan

dicari solusi eksak dan solusi numerik dari persamaan Boltzmann dengan

menggunakan nilai awal Bobylev. Solusi numerik akan dicari dengan simulasi

menggunakan Metode DSMC satu dimensi.

Solusi Eksak Persamaan Boltzman dengan Nilai Awal Bobylev

Misalkan dipilih nilai awal Bobylev berikut:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−+== 2

02

000 exp)()()0,( vvvv CBAff , (25)

dengan dan . 0, 00 ≥BA 00 >C

Selanjutnya, akan dicari nilai dan hubungan antara koefisien dan

dengan memanfaatkan sifat-sifat sebagai berikut:

00 , BA 0C

1. Karena merupakan fungsi kepekatan peluang, maka: . )(0 vf 1)(0 =∫ vv df

2. Dari Persamaan (20), vvv

dfd

T ∫= )(2

123

0

2,

3. 12 00 −= TCβ .

Maka, dari sifat 1,2 dan 3 (lihat Lampiran 4) diperoleh:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +== 2020

02

30

0 2)1(

exp23

2)1(

12

)1(),()0,( vvvv

TTTFf

βββ

πβ

β

(26)

12

dengan parameter 12 00 −= TCβ , 320 0 ≤≤ β menunjukkan simpangan

kesetimbangan dari sebaran awal.

Selanjutnya, akan dicari solusi spasial homogen Persamaan Boltzmann,

yaitu fungsi kepekatan peluang partikel pada saat t, yaitu ( )),(),( tFtf βvv = ,

dengan ( )tβ merupakan simpangan dari sebaran awal pada saat t dan ( ) 00 ββ = .

Pertama, akan dihitung nilai integral dari fungsi kerapatan partikel pada saat

t = 0 terhadap v. Dengan melakukan substitusi koordinat bola (lihat Lampiran 4),

diperoleh:

( 322

),0( 0002

50

23

3

BCAC

dfR

+=∫πvv ) . (27)

Dengan demikian, fungsi kerapatan partikel pada waktu t didefinisikan sebagai:

(∫ +==3

322

),(2

5

23

R

BACC

dtfd πvv ) . (28)

Akan dicari nilai A, B, C yang memenuhi persamaan di atas. Nilai tersebut

dapat diperoleh dari dua fungsi lainnya, yaitu dari aliran impuls dan temperatur.

Dari Persamaan (18), aliran impuls didefinisikan sebagai:

∫=3

),(R

T dtfM vvvv ,

sehingga M (aliran impuls) dapat dinyatakan dalam bentuk:

( )3

27

23

524

IC

BACM +=π , (29)

Bukti persamaan ini dapat dilihat pada Lampiran 6. Di sisi lain, temperatur (T)

didefinisikan sebagai (lihat lampiran 7):

( )2

7

23

5243

1

C

BACd

trMd

T +==π , (30)

sedemikian sehingga:

13

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= TCdCA 3

25

23

23

π, (31)

dan

( 122

3

25

−= TCdCBπ

) . (32)

Dengan demikian, fungsi kerapatan partikel pada saat t, , dapat dinyatakan

sebagai:

),( vtf

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−= 22

32

52272

23 exp

2532),( vvvv CCCTCTdtf

π, (33)

sedemikian sehingga, fungsi sebaran partikel pada saat t sangat bergantung pada

kecepatan partikel tersebut.

Ruas kiri persamaan Boltzmann (24) merupakan turunan fungsi sebaran

partikel terhadap waktu t, dengan ( )vtf , pada persamaan (33) diperoleh:

( ) tCCCCCTCdtf ∂∂⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−−=∂∂ 22422

1

23 exp

415521 vvv

π. (34)

Selanjutnya, akan dicari nilai ruas kanan dari persamaan Boltzmann secara

bertahap sebagai berikut:

( ) .)]()()()([cos],[2 3

'' ewwvwv ddffffgffIS R∫ ∫ −= θ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=− 22222'2'2'' exp)( )()( )( wvwvwvwvwv CBffff

.exp, 22222 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −= wvUeeUvVU CB TT (35)

Dengan memanfaatkan substitusi dan penyederhanaaan pada persamaan (8), (9)

dan (11), maka:

( ) ( ,3cos 22

µηµθ −+=∫v

UUeeeT

T

S

Idg ) (36)

dengan:

14

( ) ( ) θθθπηθθθπµππ

dgdg sincos2,sincos,2

0

3

0∫∫ ==

+=

wvU .

Ruas kanan persamaan Boltzmann dapat dituliskan kembali dalam bentuk (lihat

Lampiran 11):

( ) .exp4

1552

, 2242

27

232

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−= vvv CCC

C

BffI µπ (37)

Dengan mempergunakan bentuk baru ruas kanan (37) dan kiri persamaan

Boltzmann (34), diperoleh:

( )

,2exp4

152542

27

232

2

4152542212

1

23

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−+−=

∂∂−+−−

vvv

vvv

CCCC

B

tCCeCCCTCd

µπ

π

( )122

−−=∂∂ CTCdtC µ . (38)

Substitusi 12 −= TCβ dan 2µα d

= , menghasilkan:

( )ββαβ 1+−=∂∂

t. (39)

Persamaan (39) merupakan persamaan diferensial biasa, sehingga solusinya

adalah:

( )t

t

AeAet α

α

β −

−

−=

1)( , A konstanta. (40)

Dengan melakukan substitusi t = 0, pada Persamaan (40), diperoleh:

)1())0(1(

)0(

0

0β

ββ

β+

=+

=A , (41)

sehingga,

)1(1)(

0

0t

t

e

et

α

α

β

ββ

−

−

−+= . (42)

Jadi, solusi eksak persamaan Boltzmann homogen spasial mengambil bentuk yang

sama dengan fungsi awal ( )0,βvf dengan menggantikan 0β dengan ( )tβ , yaitu:

15

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ,2

)1(exp23

2)1(1

2)1(

),(),(

2223

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=

=

vv

vv

Tt

Ttt

Ttd

tFtf

βββπβ

β

(43)

dengan ( )tβ dari Persamaan (42) serta 320 ,0 ,0 <<>> tTd β .

Besaran Makroskopik Gas

Jika fungsi sebaran partikel pada saat t diketahui, maka besaran

makroskopik dari masalah nilai awal Bobylev dapat dihitung, sebagai berikut:

1. Fungsi Densitas

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

.1

23

2)1(1

2)1(

,,,

3

2

3

2)1(

223

=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=

=

∫

∫

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

R

Tt

R

deT

ttT

td

dtftd

vv

vvxx

vβββ

πβ

2. Kecepatan Rata-rata:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

.0

2)1(exp

23

2)1(1

2)1(1

,1,

3

3

2223

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=

=

∫

∫

R

R

dT

tT

ttT

tdd

dtfd

xtV

vvvv

vvv

βββπβ

3. Aliran Impuls

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

.

23

2)1(1

2)1(

,,,

3

2)1(

223

3

2

3

dTI

deT

ttT

td

dtftM

R

Tt

T

R

T

=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=

=

∫

∫

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

vvvv

vvxvvx

vβ

ββπβ

4. Aliran Energi

16

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

.0

2)1(exp

23

2)1(1

2)1(

21

,,21,

3

3

2223

2

2

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=

=

∫

∫

R

R

dT

tT

ttT

td

dtftr

vvvvv

vvxvvx

βββπβ

5. Energi

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

.23

2)1(exp

23

2)1(1

2)1(

21

,,21,

3

3

2223

2

2

dT

dT

tT

ttT

td

dtftE

R

R

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=

=

∫

∫

vvvv

vvxvx

βββπβ

Simulasi dengan menggunakan metode DSMC satu dimensi

Metode DSMC merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk

mensimulasikan mekanisme tumbukan secara langsung. Inti dari metode ini

adalah membuat representasi sederhana mengenai sebaran awal partikel, gerak,

tumbukan dan pemberian indeks terhadap setiap partikel. Seperti program

simulasi yang lainnya, program ini juga mengalami beberapa penyederhanaan,

antara lain pada jumlah partikel yang dijadikan subjek pengamatan dan pada

dimensi posisi yang digunakan. Posisi partikel diperhatikan hanya berdasarkan

sumbu x saja. Misalkan ruang yang dipergunakan sebagai sistem ada pada

, 10 ≤≤ x 10 ≤≤ y dan 10 ≤≤ z . Untuk memudahkan proses inisialisasi posisi

awal partikel, sumbu x dibagi menjadi beberapa sel dan setiap selnya dibagi lagi

menjadi beberapa sub sel (Bird 1994).

Proses simulasi dilakukan dengan menggunakan MATLAB 7.0. Program

utama diberi nama NSBIC.m, yaitu program untuk menguji prosedur tumbukan

pada gas seragam sederhana. Program NSBIC.m dibuat dengan algoritma sebagai

berikut:

1. Menentukan nilai awal variabel dan aliran partikel pada t = 0.

2. Menentukan nilai awal variabel sampel.

17

3. Mendeskripsikan pergerakan sejumlah partikel pada selang waktu tertentu.

4. Menentukan urutan partikel dalam sel dan sub sel.

5. Menghitung banyaknya tumbukan selama selang waktu tertentu.

6. Menentukan contoh aliran partikel.

7. Menampilkan hasil.

Sistem dibagi menjadi beberapa sel dan subsel. Pada simulasi kali ini, sistem

akan dibagi menjadi 50 sel dan 400 sub sel dengan jumlah partikel maksimal 1000

partikel. Secara keseluruhan, program cukup besar sehingga perlu dipecah

menjadi beberapa subroutine. Pada program NSBIC.m, terdapat 8 buah

subroutine yaitu sebagai berikut:

1. DATAOS.m

Subroutine ini berisi data awal yang berkaitan dengan sifat-sifat fisis

partikel gas seperti kerapatan, suhu, banyak partikel sebenarnya yang

disimulasikan oleh partikel simulasi, interval waktu (time step), jumlah

subsel pada masing-masing sel, massa serta diameter partikel, tetapan

kekentalan, serta scattering parameter.

2. INITOS4.m

Subroutine ini berisi nilai variabel awal dan sebaran partikel pada saat

. Nilai awal yang didefinisikan antara lain adalah konstanta Boltzmann,

, collision cross section, informasi geometri setiap sel dan

sub sel (termasuk nomor sel dan sub sel), serta kecepatan awal masing-

masing partikel.

0=t

233806.1 −= ek

3. SAMPIOS.m

SAMPIOS.m merupakan sub routine yang berisi inisialisasi seluruh

variabel sampling, antara lain: banyaknya tumbukan pada t = 0, jumlah

sampel, banyaknya partikel yang berpindah posisi, serta banyaknya partikel

yang terseleksi untuk bertumbukan dan terpisah lagi.

4. MOVEOS.m

MOVEOS.m merepresentasikan gerak perpindahan partikel dari satu

posisi ke posisi lainnya selama selang waktu tertentu berdasarkan posisi di

sumbu x, melakukan pendataan terhadap sel sebelum dan setelah tumbukan,

dengan asumsi tumbukan yang terjadi antar partikel dan dengan dinding

18

pembatas merupakan tumbukan lenting sempurna, sedemikian sehingga

gerakan pantulnya mengikuti sifat pantulan cermin.

5. INDEXS.m

Subroutine INDEX.m mengatur penomoran partikel berdasarkan

susunan sel dan sub selnya.

6. COLLS3.m

COLLS3.m merupakan subroutine yang mensimulasikan tumbukan

antara dua partikel, yaitu mengatur partikel partikel yang akan bertumbukan

serta menghitung kecepatan relatif partikel, sudut elevasi, azimuth, sudut

defleksi, serta kecepatan partikel setelah tumbukan.

7. SAMPLEOS.m

SAMPLEOS.m melakukan sample terhadap partikel dalam aliran.

8. OUTOS.m

OUTOS.m bertugas menampilkan hasil output pada setiap langkah

waktu tertentu secara terus menerus.

Hasil dari simulasi selama selang waktu t tertentu menghasilkan pola

sebaran sebagai berikut:

Gambar 1 Kurva sebaran kecepatan partikel hasil solusi eksak dan solusi

numerik dengan nilai awal Bobylev.

19

Kurva merah menunjukkan sebaran kecepatan yang diperoleh melalui solusi

eksak. Kurva biru menunjukkan solusi hasil simulasi.

Karena fungsi sebaran partikel terhadap kecepatan dan waktu dari hasil

simulasi telah diketahui, maka dihitung nilai beberapa besaran makroskopik,

antara lain:

1. Fungsi Kepekatan Peluang

Dengan menggunakan algoritma:

Density = sum(fPV)/1000,

Diperoleh Density = 1, yang sesuai dengan hasil yang diperoleh secara

eksak.

Keterangan:

fPV = frekuensi speed partikel.

1000 = jumlah partikel.

2. Kecepatan Rata-rata

Dari hasil simulasi diperoleh:

Vrata = [0.2407, 0.5707, 0.0044]

yang hasilnya mendekati nol, sesuai dengan hasil yang diperoleh secara

eksak.

Dibawah ini adalah kurva yang menunjukkan sebaran partikel

terhadap masing-masing komponen kecepatan partikel.

Gambar 2 Kurva sebaran komponen kecepatan x hasil simulasi.

20

Gambar 3 Kurva sebaran komponen kecepatan y hasil simulasi.

Gambar 4 Kurva sebaran komponen kecepatan z hasil simulasi.

21

KESIMPULAN DAN SARAN

Solusi eksak persamaan Boltzmann homogen spasial dengan nilai awal

Bobylev berhasil diperoleh dengan bentuk sebagai berikut:

( ) ( ) ( ) ( )( )

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

==

2

2)1(

223

23

2)1(1

2)1(),(),(

vvvv T

t

eT

ttT

tdtFtfβ

ββπββ

dengan ( )320,0,0 <<>> tTd β . Dari hasil tersebut, dapat dihitung nilai dari

beberapa besaran makroskopik seperti fungsi densitas, kecepatan rata-rata, impuls,

dan energi.

Solusi numerik persamaan Boltzmann dengan menggunakan metode

DSMC satu dimensi dapat diperoleh, sedemikian sehingga nilai dari beberapa

besaran makroskopik dapat dihitung, antara lain fungsi densitas dan rata-rata.

Selanjutnya, disarankan untuk menggunakan metode simulasi dengan

dimensi yang lebih tinggi agar hasil yang diperoleh mendekati keadaan

sebenarnya.

22

DAFTAR PUSTAKA

Bird, G.A. 1994. Molecular Gas Dynamics and The Direct Simulation of Gas

Flow. New York: Oxford University Press.

Bobylev, A.V. 1975. Exact Solutions of The Boltzmann Equation. Sov. Phys.

Dokl. 20(12):822-824.

Bollomo, Pulvirenti. 2000. Modelling in Applied Science. New York: Birkhaeuser

Boston.

Boltzmann, L. 1964. Lectures on Gas Theory. New York: Dover Publications,

Inc.

Cercignani, C.1975. Theory and Application of The Boltzmann Equation. London:

Scootish Academic Press.

Harris, S. 1971. An Introduction of The Boltzmann Equation. New York: Dover

Publications, Inc.

Kibble, Berkshire. 1996. Classical Mechanics. England: Addison Wesley

Longman Limited.

Krane, K. S. 1992. Fisika Modern. Wospakrik HJ, penerjemah; Jakarta: UI-Pres.

Liboff, R.L. 1990. Kinetic Theory. New York: Prentice-Hall, Inc

Nugrahani, E.H. Beitraege zur Numerik der Boltzmann Gleichung (Some

Contributions to Numerical Solution of the Boltzmann Equation) [disertasi].

Saarbruecken: Universitaet des Saarlandes; 2003.

Roy, B. N. 2002. Fundamentals of Classical and Statistical Thermodynamics.

West Sussex: John Willey & Sons, Ltd.

23

LAMPIRAN

24

Lampiran 1. Integral Gauss Integral Gauss merupakan integral dari fungsi Gauss, yaitu fungsi yang

mengandung bentuk exp(-x2), yang sering muncul dalam mekanika statistik.

Integral Tak Tentu dari dxx )exp( 2∫ − tidak dapat dicari solusinya dengan

mengintegralkan seperti biasa. Misalkan:

( ) ,exp 2 dxxI ∫∞

∞−

−= (44)

Maka integral ini dapat dicari nilainya dengan menggunakan sifat fungsi

eksponensial. Bentuk I di atas dapat dituliskan kembali dengan menggunakan

variabel yang lain:

( )dyyI ∫∞

∞−

−= 2exp (45)

Selanjutnya, dengan mengalikan persamaan (44) dan (45), diperoleh:

( ) ( )dyydxxI ∫∫∞

∞−

∞

∞−

−−= 222 expexp

( ) ( )( )( ) dydxyx

dydxyx

∫∫

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

+−=

−−=

22

22

exp

expexp

Integral lipat dua tersebut dapat dinyatakan dalam koordinat polar ( )θ,r dengan

, ∞<< r0 πθ 20 << dan . 222 yxr +=

( )

( )

( )π

π

π

θπ

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−=

−=

−=

∞

∞

∞

∫

∫∫

0

2

0

2

0

22

0

2

exp212

exp2

exp

r

rdrr

rdrdrI

25

Dengan demikian, ( ) 212exp π=−= ∫

∞

∞−

dxxI . Karena fungsi exp(-x2)

simetris di sekitar 0, maka terdapat nilai yang sama antara x dan –x, sehingga

( )2

exp2

1

0

2 π=−∫

∞dxx .

Dengan cara yang sama, solusi untuk fungsi adalah ( )dxax∫∞

−0

2exp .21 2

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

aπ

Lampiran 2. Bukti Persamaan 10

Persamaan 10:

wvwv +=+ ''

Bukti:

wvewvwve

wvwvwv +=−

−+

+−

++

=+2222

''


Persamaan 11:

222'2' wvwv +=+

Bukti: 222'2'

2222e

wvwvewvwvwv

−−

++

−+

+=+

22

22

22,

22

2

22,

22

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

ewv

ewvwvwv

ewv

ewvwvwv

2222

2222 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += e

wvwve

wvwv

26

222

22 e

wvwv⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

+=

2,2

2,2 2222 wwvvwwvv +−

+++

=

22 wv +=


Persamaan 26:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

== 20200

23

00 2

)1(exp

23

2)1(

12

)1(),()0,( vvvv

TTTFf

βββ

πβ

β

Bukti:

Asumsi 1. 1)(0 =∫ vv df

∫ ∫ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−+=

3 3

20

200 exp)( ),0(

R R

dCBAdf vvvvv

Dengan melalukan transformasi ke dalam koordinat permukaan bola, ev ρ= ,

diperoleh:

( )∫ ∫∫∞

−+=23 0

20

2200 exp)(),0(

SR

ddCBAdf evv ρρρρ

( )∫ ∫∞

−+=2 0

20

40

20 exp)(

S

dCBAd ρρρρe

( )∫ ∫ ∫ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−=

∞ ∞−

2

20

0 0

40

20

20 exp

S

C deBdCAd ρρρρρ ρe

( ) ( )∫ ∫ ∫ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+−=

∞ ∞

2 0 0

20

30

200 expexp

S

dCBdCAd ρρρρρρρρe

27

Dengan mengintegralkan secara parsial, diperoleh:

)21

21

23(

21

21(),0(

21

0000

21

000

23⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫∫ CCC

BCC

AddfSR

ππevv

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

21

020

021

00

0

8

34

4CC

BCC

A πππ ( )0002

50

23

322

BCAC

+=π .

Karena f merupakan fungsi kepekatan peluang, maka , sehingga: ∫ =3

1),0(R

df vv

( ) 1322

0002

50

23

=+ BCACπ .

Asumsi 2. vvv

dfd

T ∫= )(2

123

0

2

∫=3

),0(22

32

R

dfT vvv

∫ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−+=

3

20

200

2exp)(

2R

dCBA vvvv

Dengan melakukan transformasi ke dalam koordinat permukaan bola, maka:

( )∫ ∫∞

−+=2 0

220

200

2 exp)(21

23

S

ddCBAT eρρρρρ

( )∫ ∫∞

−+=2 0

20

60

40 exp)(

21

S

dCBAd ρρρρe

( ) ( )∫ ∫ ∫ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+−=

∞ ∞

2 0 0

20

60

20

40 expexp

21

S

dCBdCAd ρρρρρρe

( ) ( )∫ ∫ ∫ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+−=

∞ ∞

2 0 0

20

50

20

30 expexp

21

S

dCBdCAd ρρρρρρρρe .

28

Dengan menggunakan teknik pengintegralan parsial, diperoleh

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

21

03

0

02

1

02

0

021

815

21

43

24 T

23

CCB

CCA πππ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 3

0

02

0

02

1

0 1615

834 3T

CB

CA

Cππ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

0

0

0

0

0

21

0 415

23

414 3T

CB

CA

CCππ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

0

0

0

02

3

0 415

23 3T

CB

CA

Cπ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

00

23

00 215

32

13CB

ACC

T π

0

00

23

00 2

1536

CB

AC

TC +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛π

atau

23

00

0

00 6

215

3 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+π

CTC

CB

A

Asumsi 3. 12 00 −= TCβ

T

C2

100

+=β .

Dengan melakukan substusi hasil asumsi 1, 2 dan 3, diperoleh:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

0

23

00

00

23

00

325

)12(

TCCA

TCCCB

π

π

29

diperoleh:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−+== 2

02

000 exp)()()0,( vvvv CBAff

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= 20

200

23

00

23

0 exp)12(325 vv CTCC

CTC

Cππ

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 2

02

0002

30 exp)12(3

25 vv CTCCTC

Cπ

( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −+−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 2

02

0002

30 exp)12(12

231 vv CTCCTC

Cπ

( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 2

002

002

30 exp12

23)12(1 vv CTCTCC

Cπ

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ += 20

02

002

30

21

exp1223)12(

21

12

1vv

TTCTC

TTββ

πβ

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ += 20

020

02

30

21

exp23

21

12

1vv

TTTβ

ββ

βπβ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ += 2020

02

30

21

exp23

21

12

1vv

TTTββ

βπβ

Lampiran 5. Bukti 334

2

IdS

T π=∫ eee

Bukti:

( ) θϕθθϕθϕθθ

ϕθϕθπ π

dddS

T sincos sinsin cossincos

sinsincossin

0

2

02∫ ∫∫

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=eee

θϕθ

θϕθθϕθθ

θϕθϕθϕϕθ

ϕθθϕϕθϕθπ π

ddsin

cos sincossin coscossin

cossinsin sinsin cossinsin

coscossin cossinsin cossin

0

2

0 2

222

222

∫ ∫⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

30

θϕ

θθϕθθϕθθ

θϕθϕθϕϕθ

ϕθθϕϕθϕθπ π

dd∫ ∫⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=0

2

0 222

2233

2323

cossin sincossin coscossin

cossinsin sinsin cossinsin


θ

ϕθθϕϕθθϕϕθθ

ϕϕθθϕϕθϕϕϕθ

ϕϕθθϕϕϕθϕϕθ

π

πππ

πππ

πππ

d

ddd

ddd

ddd

∫

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=0

2

0

22

0

22

0

2

2

0

222

0

32

0

3

2

0

22

0

322

0

3


sincossin sinsin cossinsin


( )

( ) θ

ϕθθϕϕθθϕϕθθ

ϕϕθθϕϕθϕϕθ

ϕϕθθϕϕθϕϕθ

π

πππ

πππ

πππ

d

ddd

ddd

ddd

∫

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=0

2

0

22

0

22

0

2

2

0

22

0

32

0

3

2

0

22

0

32

0

3


sincossin 2

2cos1sin 22sinsin

coscossin 22sinsin

22cos1sin

θ

θθπ

θπ

θππ

d∫⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=0 2

3

3

cossin2 0 0

0 sin 0

0 0 sin

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

3

4 0 0

0 3

4 0

0 0 3

4

π

π

π

334 Iπ

=

31


Persamaan 29:

( )3

27

23

524

),(3

IC

BACdtfMR

T +== ∫πvvvv

Bukti:

∫=3

),(R

T dtfM vvvv

Substitusi koordinat permukaan bola ev ρ= , menghasilkan:

( )( ) ( ) ( ) eee ddCBAM T ρρρρρρ 22

S

2

0exp

2

−+= ∫ ∫∞

( ) ( ) eee ddCBAT ρρρρρ 22

S

2

0

2 exp2

−+= ∫ ∫∞

( ) ( ρρρρ dCBAdT 2

S

2

0

4 exp2

−+= ∫ ∫∞

eee )

) ( ) ( ρρρρ dCBAdT 2

0

64

S

exp2

−+= ∫∫∞

eee

( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+−= ∫∫∫

∞∞ρρρρρρ dCBdCAdT 2

0

62

0

4

S

expexp2

eee

( )3

27

23

3322

1

3322

1

322

1

S

524

1615

83

34

34

1615

83

1615

83

2

IC

BAC

ICB

CA

C

ICB

CA

C

CB

CA

CdT

+=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫

π

ππ

ππ

πeee

32


Persamaan 30:

( )2

7

23

5243

1

C

BACd

trMd

T +==π

Bukti:

Dari Persamaan (29), aliran impuls (M) dituliskan:

( )3

27

23

524

IC

BACM +=π ,

Dengan demikian,

( ) ( ) ( )2

7

23

27

23

524

524

331

)(31

C

BACd

C

BACd

Mtraced

T

+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

=

=

ππ


Persamaan 33:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−= 22

32

52272

23 exp

2532),( vvvv CCCTCTdtf

π

Bukti: 2

)(),( 2 vvv CeBAtf −+=

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 22

23

25

23

23

exp12325 vv CTCdCTCdC

ππ

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 222

52

3

23 exp123

25 vv CTCCTCCd

π

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−= 222

5227

25

23

23 exp23

25 vvv CCTCTCCd

π

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−= 22

32

52272

23 exp

2532 vvv CCCTCTd

π

33


Persamaan 34:

( ) tCCCCCTCdtf ∂∂⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−−=∂∂ 22422

1

23

exp4

15521 vvvπ

Bukti:

tCCftf ∂∂∂∂=∂∂

tCCCTCTC

CCCTCTd

∂∂

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

=2

12

322522

2223

2522

72

23

25

233

257exp

exp2532

vvv

vvvv

π

tCCCCTCT

CCvTCTd

∂∂⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++−

= 2

21

2322

52

2322

522274

23 exp

4153

257

2532

vvv

vvv

π

tCCCTCT

CCTCTCd

∂∂⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++−

= 2

222

222234

21

23 exp

4153

257

2532

vvv

vvvv

π

( ) tCCCCCTCd∂∂⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−−= 22422

1

23

exp4

15521 vvvπ


Persamaan 35:

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−= 2242

27

232

exp4

1552

, vvv CCCC

BffI µπ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

22222

22222'2'2''

exp,

exp)( )()( )(

wvUeeUvVU

wvwvwvwvwv

CB

CBffff

TT

Bukti:

)( )()( )( '' wvwv ffff −

34

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−−

++++

++−

+−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−−

++++

++−

+−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

22

32244

52222552

225622

2262742

2'2'

32'2'44

52'2'2'2'552

2'2'562'2'

2'2'6274'2

2

23

exp

425)(

2515

)(39

)(54

)(64

exp

425)(

2515

)(39

)(54

)(64

wv

wv

wvwv

wvwv

wv

wv

wv

wvwv

wvwv

wvv

C

CCTC

CTCCT

TCCT

CTCvT

C

CCTC

CTCCT

TCCT

CTCT

d

π

( )

( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+

−++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+

−++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

22

3452

226572

224562

2'2'

3452

2'2'6572

2'2'4562

2

23

exp

425159

44

)(2586

exp

425159

44

)(2586

wvwv

wv

wvwv

wv

C

CTCCT

TCCCT

CTCCT

C

CTCCT

TCCCT

CTCCT

d

π

( )

( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+

−++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+

−++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

22

3452

226572

224562

2'2'

3452

2'2'6572

2'2'4562

2

23

exp

425159

44

)(2586

exp

425159

44

)(2586

wvwv

wv

wvwv

wv

C

CTCCT

TCCCT

CTCCT

C

CTCCT

TCCCT

CTCCT

d

π

35

( )

( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+

−++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+

−++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

22

3452

226572

224562

2'2'

3452

2'2'6572

2'2'4562

2

23

exp

425159

44

)(2586

exp

425159

44

)(2586

wvwv

wv

wvwv

wv

C

CTCCT

TCCCT

CTCCT

C

CTCCT

TCCCT

CTCCT

d

π

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= 22222'2'5672

2

23

exp44 wvwvwv CCTCCTd

π

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= 22222'2'225

2

23 exp144 wvwvwv CTCCTCd

π

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= 22222'2'2

2

23

25

exp12 wvwvwv CTCdC

π

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 22222'2'2 exp wvwvwv CB

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −= 2222 exp, wvUeeUvVU CB TT

Catatan:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−++= ewvwvwvewvwvwvwv ,

42.,

42 22222'2'

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−++= ewvwvwvewvwvwv ,,

41 2222

36

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+−−+−++−+

+−−++

+−−+

=

ewvwvewvwvewvwvwewvwvv

ewvwvwwwvw

ewvwvvwvvv

,,,,

,

,

41

22

22222

22222

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−−−++= ewvewvwvwvwwvv ,,2

41 4224

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−++= 224224 ,2

41 ewvwvwwvv

Dengan demikian,

22224224222'2' ,241 wvewvwvwwvvwvwv −⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−−++=−

22224224 ,41

41

21

41 wvewvwvwwvv −+−−++=

224224 ,41

41

21

41 ewvwvwwvv +−−+−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−−+−= 224224 ,2

41 ewvwvwwvv

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +−−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−=

224224 ,

2412

41 ewvwvwwvv

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +−−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

22

222,

241

22ewvwv

wv

UeeUvVU TT22, −=


Persamaan 37:

( ) ⎟⎠⎝⎥⎦⎢⎣2

7 42C

⎞⎜⎛−⎤⎡ +−= 2242232

exp155, vvv CCCBffI µπ

Bukti:

( ) ( ) ( )[ ] ewwvwv ddffffgffIS R∫ ∫ −=2 3

)()(cos],[ ''θ

37

( ) ewwvUeeUvVU ddCBgS R

TT∫ ∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

2 3

22222 exp,cosθ

( ) ewwvUeeUvVU ddCgBS R

TT∫ ∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

2 3

22222 exp,cosθ

( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

=

∫ ∫

∫ ∫

ewwvUeeUv

ewwvVU

ddCg

ddCg

B

S R

TT

S R222

222

2

expcos

exp,cos

2 3

2 3

θ

θ

Dengan melakukan transformasi dalam koordinat bola, maka ϕθθ ddd sin=e

sehingga:

( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

=

∫ ∫

∫ ∫

ewwvUeeUv

wwvVU

ddCg

dddCg

BffI

S R

TT

S R222

222

2

expcos

sinexp,cos

],[

2 3

2 3

θ

ϕθθθ

( )

( ) ( )⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

=

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫

wwveUeeUeeUv

wwvVU

dCdgg

dCddg

B

S R

T

R S

TT

S R222

222

2

expcoscos

exp,sincos

2 33 2

2 3

θθ

ϕθθθ

Dengan menggunakan hukum kekekalan energi, maka:

( ) ( µηµθ 3cos 22

−+=∫v

UUeeeT

T

S

Idg )

dengan

( )

( ) .sincos2

,sincos

,2

0

3

0

θθθπη

θθθπµ

π

π

dg

dg

∫

∫

=

=

+=

wvU

.

38

Dengan demikian,

( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−

=

∫ ∫

∫∫

3 2

3

222

22

0

2

2

expexpcos

exp,sincos2exp

R S

TTR

dCCdg

dCdgC

BwwvUeeeUv

wwVUv

θ

θθθππ

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−+−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−

+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−=

∫

∫

3

3

22

2

22

22

exp3

exp,2

exp

R

TT

R

dCI

dC

CB

wwUv

UUUv

wwwvwv

v

µηµ

η

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−+−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−=

∫

∫

3

3

22

2

2222

22

exp3

exp22

exp

R

TT

R

dCI

dC

CB

wwUv

UUUv

wwwv

v

µηµ

η

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−=

∫

∫

3

3

22

2

2

24224

22

exp3

exp

exp422

24

exp

R

TT

T

R

dC

CI

dC

CB

wwU

v

UUU

wUU

v

wwwwvv

v

µη

µ

η

( )

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−+

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−

=

∫

∫

−

−

2

22

2

4224

2 exp

exp3

4222

4

3

2

3

2

v

wwU

v

UUU

UUv

wwwvv

w

w

C

dC

eI

de

B

R

TT

CT

R

C

µη

µ

η

39

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−=

∫

∫

3

3

22

2

2

24224

22

exp3

exp

exp422

24

exp

R

TT

T

R

dC

CI

dC

CB

wwU

v

UUU

wUU

v

wwwwvv

v

µη

µ

η

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−=

∫

∫

3

3

22

2

2

24224

22

exp3

exp

exp422

24

exp

R

TT

T

R

dC

CI

dC

CB

wwU

v

UUU

wUU

v

wwwwvv

v

µη

µ

η

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−=

∫

∫

∫

3

3

3

22

2

22

24224

22

exp3

exp

exp422

24

exp

R

TT

R

TR

dC

dCI

dC

CB

wwUv

UUUv

wwUUv

wwwwvv

v

µη

µ

η

( )

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

=

∫

∫

∫

2

22

2

22

24224

2 exp

exp3

exp

exp24

3

3

3

v

wUUUUv

v

wwUUv

wwwwvv

C

dwC

dCI

dC

B

R

TT

R

TR

µη

µ

η

40

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

= 2

242

27

23

242

27

23

21

22

122

242

27

23

2 exp

4153

16

3

4153

16

8

341

4153

4

v

vv

vv

vv

vv

C

CCC

CCC

CCCC

CCC

B

µπ

ηπ

ππµπ

ηπ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

= 2

242

27

23

242

27

23

21

22

122

242

27

23

2 exp

4153

16

3

4153

16

8

341

4153

4

v

vv

vv

vv

vv

C

CCC

CCC

CCCC

CCC

B

µπ

ηπ

ππµπ

ηπ

Dengan demikian,

( )

.exp4

155

415521

2242

27

232

24221

23

2

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−=

∂∂⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−− −

vCCCC

B

tCeCCCTCd C

vv

vv v

µπ

π

41


Persamaan 38:

( 122

−−=∂∂ CTCdtC )µ

Bukti:

Ruas kiri dan kanan persamaan Boltzmann menghasilkan:

( )

2

2

4155

exp4

15521

242

27

232

24221

23

v

v

vv

vv

C

C

eCCC

B

tCCCCTCd

−

−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−=

∂∂⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−

µπ

π

sehingga:

( )2

7

232

21

23 21

C

BtCCTCd µπ

π=∂∂−

( )CTCdC

B

tC212

1

23

27

232

−=∂∂

π

µπ

Dengan melakukan subsitusi persamaan 32, diperoleh:

( )

( )CTdCC

TCdC

tC21

12

21

23

27

23

2

23

25

−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

=∂∂π

µππ

( )

( )CTdCC

TCCd

21

12

21

23

27

232

3

52

−

−=

πµπ

π

( )

( )12

12

4

323

52

−

−−=

CTdC

TCCd µππ

( )122

−−= CTCdµ

42


Persamaan 39:

( )ββαβ 1+−=∂∂

t

Bukti:

Misalkan 12 −= TCβ dan 2µα d

= , maka

tCTt ∂∂=∂∂ 2β

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= 12

22 CTCdT µ

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= 12

22 CTCdT µ

( )122

2 −−= CTCdT µ

( )122

12

2 −+

−= CTT

dT βµ

( )ββαβ 1+−=∂∂ t


Persamaan 40:

( )t

t

AeAet α

α

β −

−

−=

1)(

Bukti:

( )ββαβ 1+−=∂∂ t

( ) t∂−=∂+

αβββ 1

1

( ) ∫∫ ∂−=∂+

tαβββ 1

1

( ) Ct +−=∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−∫ αβββ 1

11

( ) Ct +−=∂+

−∂ ∫∫ αββ

ββ 1

11

43

( ) Ct +−=+− αββ 1lnln

( ) Ct +−=+

αββ

1ln

( ) ( )Ct +−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

αββ exp

1lnexp

( )Ctee α

ββ −=+1

( ) teA αββ −+= 1

tt AeeA ααββ −− +=

tt AeeA ααββ −− =−

( ) tt AeAe ααβ −− =−1

( )t

t

AeAet

α

αβ

−

−

−=

1)(

dengan A merupakan suatu konstanta.

Pada saat t=0,

))0(1(

)0(β

β+

=A


Persamaan 42:

)1)(0(1)0()( t

t

eet

α

α

β

ββ−

−

−+=

Bukti:

Untuk t=0,

( )AA−

=1

)0(β

44

( ) AA =− )0(1 β

AA =− )0()0( ββ

))0(1()0( ββ += A

))0(1()0(

ββ+

=A

( )t

t

AeAet

α

αβ

−

−

−=

1)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

+=

−

−

t

t

e

et

α

α

βββ

β

β

)0(1)0(1

)0(1)0(

)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

++

+=

−

−

)0(1)0(

)0(1)0(1

)0(1)0(

)(

ββ

ββ

ββ

βα

α

t

t

e

et

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−+

+=

−

−

)0(1)0()0(1

)0(1)0(

)(

βββ

ββ

βα

α

t

t

e

et

)1)(0(1)0(1

)0(1)0()(

t

t

eet

α

α

β

ββ

ββ−

−

−+

++

=

)1)(0(1)0()(

t

t

eet

α

α

β

ββ−

−

−+=


Persamaan 43:

( ) ( ) ( ) ( )( )

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

==

2

2)1(

223

23

2)1(1

2)1(),(),(

vvvv T

t

eT

ttT

tdtFtf

βββ

πββ

dengan 320,0,0 0 <<>> βTd .

45

Bukti :

Substitusi persamaan 39 ke persamaan 24, sehingga diperoleh:

( ) ( ) ( ) ( )( )

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

==

2

2)1(

223

23

2)1(1

2)1(),(),(

vvvv T

t

eT

ttT

tdtFtfβ

ββπββ


=∫S

ede

θϕθθ

ϕθϕθπ π

ddedS

sincos

sinsincossin

0

2

02∫ ∫∫

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=e θϕ

θθϕθ

ϕθπ π

dd∫ ∫

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=0

2

0

2

2

cossinsinsin

cossin

θ

ϕθθ

ϕϕθ

ϕϕθ

π

π

π

π

d

d

d

d

∫

∫

∫

∫

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=0

2

0

2

0

2

2

0

2

cossin

sinsin

cossin

( ) θ

ϕθθ

ϕθ

ϕθπ

π

π

π

d

d

∫

∫ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=0

2

0

20

2

20

2

cossin

cossin

sinsin

θθπ

πd∫⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

0 2sin00

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

000

Lampiran 18. Bukti Persamaan Besaran Makroskopik

Fungsi Densitas

( ) ( ) 1,,,3

== ∫ vvxx dtftdR

Bukti:

( ) ( ) vvxx dtftdR∫=3

,,,

( ) ( ) ( ) ( )∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=3

2223

2)1(exp

23

2)1(1

2)1(

R

dT

tT

ttT

td vvv βββπβ

46

( ) ( ) ( ) ( ) eddT

tT

ttT

tdS

ρρρβρββπβ 2

0

2223

2 2)1(exp

23

2)1(1

2)1(

∫ ∫∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=

( ) ( ) ( ) ( ) ρρβρββρπβ d

Tt

Tttd

Ttd

S∫ ∫

∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=2 0

22223

2)1(exp

23

2)1(1

2)1( e

( ) ( ) ( ) ( ) ρρβρββρππβ d

Tt

Ttt

Ttd ∫

∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=0

22223

2)1(exp

23

2)1(14

2)1(

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

ρ

ρββρ

ρβρββρ

ρβρ

πβπ d

Ttt

Tt

Ttt

Tt

Ttd ∫

∞

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=0

22

222

22

23

2)1(exp

23

2)1(exp

2)1(

2)1(exp

2)1(4

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=

∫

∫

∫

∞

∞

∞

ρρββρ

ρρβββρ

ρρβρ

πβπ

dT

tt

dT

tT

tt

dT

t

Ttd

0

22

0

24

0

22

23

2)1(exp

23

2)1(exp

2)1(

2)1(exp

2)1(4

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=

∫

∫∞

∞

ρρβρββ

ρρβρβ

πβπ

dT

tT

tt

dT

tt

Ttd

0

24

0

22

23

2)1(exp

2)1(

2)1(exp

231

2)1(4

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=

∫

∫∞

∞

ρρβρρββ

ρρβρρβ

πβπ

dT

tT

tt

dT

tt

Ttd

0

23

0

2

23

2)1(exp

2)1(

2)1(exp

231

2)1(4

47

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ⎥

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=2

1

21

23

12

21

113

2)1(

12

21

1231

2)1(4

tT

tT

tT

Ttt

tT

tTt

Ttd

βπ

ββββ

βπ

ββ

πβπ

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=t

TT

tttt

Tt

TT

tdβ

ββββπ

βπβπ

13

2)1(

231

12

21

12)1(4

21

23

( )( ) ( )

21

23

12

21

12)1(4 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=t

Tt

TT

tdβπ

βπβπ

( )( ) ( )

( )( )( )

11

221

12

)1(42

12

1

23

23

=++

+=

t

Tt

T

T

tdβ

πβπ

βπ

Kecepatan Rata-rata:

( ) ( ) 0,1,3

== ∫ vvv dtfd

xtVR

Bukti:

( ) ( ) vvxvx dtfd

tVR∫=3

,,1,

( ) ( ) ( ) ( )∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=3

2223

2)1(exp

23

2)1(1

2)1(1

R

dT

tT

ttT

tdd

vvvv βββπβ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ee ddT

tT

ttT

t

S

ρρρβρββπβρ 2

0

2223

2 2)1(exp

23

2)1(1

2)1(

∫ ∫∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=

( ) ( ) ( ) ( ) ρρρβρββπβρ d

Tt

Ttt

Ttd

S

2

0

2223

2 2)1(exp

23

2)1(1

2)1(

∫ ∫∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

= ee

( ) ( ) ( ) ( ) ρρβρββρπβ d

Tt

Tttd

Tt

S∫ ∫

∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=2 0

22323

2)1(exp

23

2)1(1

2)1( ee

Dari Lampiran 17, nilai , sehingga: 02

=∫S

dee

( ) 0, =xtV

48

Aliran Impuls

( ) ( ) 33

,,, dTIdtftMR

T == ∫ vvxvvx

Bukti:

( ) ( ) vvxvvx dtftMR

T∫=3

,,,

( ) ( ) ( ) ( )∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=3

2223

2)1(exp

23

2)1(1

2)1(

R

T dT

tT

ttT

td vvvvv βββπβ

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) eee ddT

tT

ttT

tdS

T ρρρβρββπβρρ 2

0

2223

2 2)1(exp

23

2)1(1

2)1(

∫ ∫∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=

( ) ( ) ( ) ( ) 2

)1(exp23

2)1(1

2)1( 2

0

22223

2eee dd

Tt

Ttt

Ttd

S

T ρρρβρββρπβ

∫ ∫∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=

( ) ( ) ( ) ( ) 2

)1(exp23

2)1(1

2)1(

2 0

22423

ρρβρββρπβ d

Tt

Tttd

Ttd

S

T∫ ∫∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

= eee

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

)1(exp23

2)1(

34

2)1(

0

242443

23

ρρβρβρββρρππβ d

Ttt

TttI

Ttd ∫

∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

)1(exp2

)1(231

34

2)1(

0

2643

23

ρρβββρρβππβ d

Tt

TtttI

Ttd ∫

∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=

∫

∫∞

∞

ρρβρββ

ρρβρβπ

πβ

dT

tT

tt

dT

tt

IT

td2

0

6

0

24

32

3

2)1(exp

2)1(

2

)1(exp231

34

2)1(

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ⎪

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=2

13

212

32

3

12

1215

2)1(

12

123

231

34

2)1(

tT

tT

Ttt

tT

tTt

IT

td

βπ

βββ

βπ

ββ

ππβ

( )( ) ( ) ( ) ( )

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=2

5231

12

123

34

2)1( 2

12

32

3tt

tT

tTI

Ttd ββ

βπ

βπ

πβ

49

( )( ) ( ) ( ) ( )

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

= ttt

Tt

TIT

td βββπ

βπ

πβ

25

231

12

123

34

2)1( 2

12

32

3

( )( )( ) ( )( )

( )( )tt

T

t

T

T

tId ββ

π

βπ

βπ+

++

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 1

1

2

12

)1(3

423

21

21

21

21

2

2

23

23

23

23

3

( )( )( ) ( )( )

( )( )tt

Tt

T

T

tId ββ

π

βπ

βπ+

++

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 1

1

212

)1(3

423

21

21

21

21

2

2

23

23

23

23

3

[ ] ( )( )( ) ( )( )

( )( )tT

TT

tt

tId βπ

π

ββ

βπ +++

+= 1

2

2

11

)1(22

3

212

23

21

23

21

212

23

3

[ ] ( )( )( )

( )( ) 32

3

25

25

23

3 1121

1

)1(2 TdItT

T

t

tId =++

+= β

πβ

βπ

Aliran Energi

( ) ( ) 0,,21,

3

2 == ∫ vvxvvx dtftrR

Bukti:

( ) ( ) vvxvvx dtftrR∫=3

,,21, 2

( ) ( ) ( ) ( )∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=3

2223

22

)1(exp23

2)1(1

2)1(

21

R

dT

tT

ttT

td vvvvv βββπβ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ee ddT

tT

ttT

tdS

ρρρβρββπβρρ 2

0

2223

2

2 2)1(exp

23

2)1(1

2)1(

21∫ ∫∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=

( ) ( ) ( ) ( ) ρρρβρββπβρ d

Tt

Ttt

Ttdd

S

2

0

2223

3

2 2)1(exp

23

2)1(1

2)1(

21∫ ∫

∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

= ee

( ) ( ) ( ) ( ) ρρβρββρπβ d

Tt

Tttd

Ttd

S∫ ∫

∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=2 0

22523

2)1(exp

23

2)1(1

2)1(

21 ee

Dari Lampiran 17, nilai , sehingga: 02

=∫S

dee ( ) 0, =xtr

50

Energi

( ) ( ) dTdtftER

23 ,,

21,

3

2 == ∫ vvxvx

Bukti:

( ) ( ) vvxvx dtftER∫=3

,,21, 2

( ) ( ) ( ) ( )∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=3

2223

22

)1(exp23

2)1(1

2)1(

21

R

dT

tT

ttT

td vvvv βββπβ

( ) ( ) ( )( )

ρρββρπβ ρβ

deT

ttdT

tdS

Tt

∫ ∫∞ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=2

2

0

2)1(

2423

23

2)1(1

2)1(

21 e

( ) ( ) ( ) ( )( )

∫∞ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=0

2)1(

2423 2

23

2)1(14

2)1(

21 ρρββρπ

πβ ρβ

deT

ttT

td Tt

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

∫∞ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=0

2)1(

24423 2

2)1(

2314

2)1(

21 ρρββρρβπ

πβ ρβ

deT

tttT

td Tt

( ) ( )

( )

( ) ( )( )

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+= ∫

∫

∞

∞ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

0

0

2)1(

26

2)1(

4

23

23

23

23

2

2

2)1(2

312

)1(2

ρρρββ

ρρβ

π

βπρβ

ρβ

deT

tt

det

T

tdT

t

Tt

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ⎪

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=

213

212

23

23

23

23

12

1215

2)1(

12

123

231

2

)1(2

tT

tT

Ttt

tT

tTt

T

td

βπ

βββ

βπ

ββ

π

βπ

( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

+−++

+=

tT

Tttt

T

TT

tt

tdβ

βββββ

β

π

ππ1

52

)1(231

11

)1(

22

2 3 2 2

3

212

212

23

23

21

23

21

( )( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−

+=

25

231

11

21 3 ttT

td ββ

β ( )( ) ( )( ) TdtTt

d23 1

11

21 3 =+

+= β

β

51

Lampiran 19. Program Utama

Program Utama NSBIC.m

%=========================

% Program utama

%=========================

disp('Solusi Eksak Nilai Awal Bobylev.');

disp(' ')

varinit

nSumE=0;

INITOS4

SAMPIOS

MOVEOS

INDEXS

COLLS2

SAMPLEOS

pause(5);

while NPR < NPT

NPR=NPR+1

for jjj=1:NSP %NSP:jumlah sampel

for iii=1:NIS % NIS: time step antar sampel

TIME=TIME+DTM; %DTM:time step

MOVEOS

INDEXS

COLLS2

end

SAMPLEOS

end

OUTOS

end

disp('Selesai.');

52

Lampiran 20. Sub Routine DATAOS.m

%============================================== % DATAOS.m % Mendefinisikan variabel-variabel fisis %============================================== % set data FND=1.e20; % --densitas-- FTMP=300.; % --suhu-- FNUM=1.0e17; % --jumlah molekul real yang direpresentasikan oleh molekul simulasi--- DTM=25E-4; % --time step-- NSC=8; % --jumlah sub sel di setiap sel-- XF=0.; % --x minimum--- XR=1.; % --x maksimum--- SP(1)=5e-26; % --massa molekul-- SP(2)=3.5e-10; % --diameter molekul-- SPM(2)=273.; % --suhu berdasarkan referensi-- SPM(3)=0.75; % --hukum kekentalan-suhu-- SPM(4)=1; % --VSS scattering parameter-- NIS=4; % --jumlah time step antar sample-- NSP=40; %--jumlah sampel antara restart dan output-- NPT=1; % --jumlah file update

Lampiran 21. Sub Routine INITOS4.m

%==================================================== % INITOS.m % Initialisasi variabel dan aliran molekul pada t=0 %==================================================== disp('Inisialisasi variabel dan kondisi awal.') % mendefinisikan konstanta PI=pi; SPI=sqrt(pi); BOLTZ=1.3806e-23; DATAOS % mendefinisikan data tambahan pada gas SPM(1)=PI*SP(2)^2; % SPM(1)= collision cross section SPM(5)=Gamma(2.5-SPM(3)); % SPM(5)=fungsi gamma dari (5/2-SPM(3)) % SPM(3)=hukum viscosity-temperature % inisialisasi variabel awal TIME=0; NM=0; % NM = jumlah molekul

53

CG(1,1)=XF; CW=(XR-XF)/MNC; for m=1:MNC if(m>1) CG(m,1)=CG(m-1,2); end CG(m,2)=CG(m,1)+CW; CG(m,3)=CW; CC(m)=CW; CCG(m,2)=rand; CCG(m,1)=SPM(1)*300*sqrt(FTMP/300); end % CG(M,N)=geometri sel M % N=1,koordinat x minimum % N=2,koordinat x maksimum % N=3, lebar sel % CCG(M,1)= maksimum dari kecepatan relatif*collision cross section % CCG(M,2)= sisa pembulatan % set sub sel for n=1:MNC for m=1:NSC l=(n-1)*NSC+m; ISC(l)=n; end end REM=0; VMP=sqrt(2*BOLTZ*FTMP/SP(1)); Bo=0.5; alpha=0.5; t=(0:.001:0.999); T=273; for i=1:1000 Bt(i)=Bo*exp(-alpha*t(i))/(1+Bo*(1-exp(-alpha*t(i)))); end v=(0:1:99); xt=1; for i=1:100 a=(((1+Bt(xt))/(2*pi*T))^(3/2)); b=1+(Bt(xt)*(((1+Bt(xt))*(v(i).^2)/(2*T))-3/2)); c=exp(-(1+Bt(xt)*(v(i).^2)/(2*T))); f(i)=a*b*c; end uf=round(f*(1000/sum(f))); if sum(uf)<1000 uf(1)=uf(1)+1000-sum(uf); end

54

sf=0; xf=1; for n=1:MNC MM=FND*CG(n,3)/FNUM+REM; for m=1:MM %merandom tiap mol dalam cell if(NM<=MNM) NM=NM+1; PP(NM)=CG(n,1)+rand*(CG(n,2)-CG(n,1)); % batas kiri + random(cell width) IP(NM)=floor((PP(NM)-CG(n,1))*(NSC-0.001) / CG(n,3) +1+ NSC*(n-1)); V=(v(xf)+rand)*10; sf=sf+1; if sf>uf(xf) sf=0; xf=xf+1; end Phi=2*PI*rand; Theta=PI*rand; PV(NM,1)=V*sin(Theta)*cos(Phi); PV(NM,2)=V*sin(Theta)*sin(Phi); PV(NM,3)=V*cos(Theta); end end end S1=strcat(num2str(NM),' molecules'); disp(S1);

Lampiran 22. Sub Routine SAMPIOS.m

%=============================================== % % SAMPIOS.m % % Initialisasi semua variabel contoh % %=============================================== NPR=0; NCOL=0; NSMP=0; MOVT=0; SELT=0; SEPT=0; for n=1:MNC CS(n,1)=1e-6; for m=2:5 CS(n,m)=0; end end

55

Lampiran 23. Sub Routine MOVEOS.m

%===============================================

% MOVEOS.m % sejumlah NM molekul dipindahkan selama selang waktu DTM %================================================ for n=1:NM; MOVT=MOVT+1; MSC=IP(n); MC=ISC(MSC); XI=PP(n); DX=PV(n,1)*DTM; x=XI+DX; while((x<XF)||(x>XR)) if (x<XF) x=2*XF-x; PV(n,1)=-PV(n,1); end if (x>XR) x=2*XR-x; PV(n,1)=-PV(n,1); end end if (x<CG(MC,1)|x>CG(MC,2)) MC=floor((x-XF)/CW+0.99999); if (MC<1) MC=1; end end MSC=floor(((x-CG(MC,1))*(NSC-0.001)/CG(MC,3))+1+NSC*(MC-1)); %dibulatkan if(MSC<0) disp('#'); end IP(n)=MSC; PP(n)=x; end

56

Lampiran 24. Sub Routine INDEXS.m

%=============================================== % % INDEXS.m % % Mengurutkan sejumlah NM molekul berdasarkan % urutan sel, di dalam sel dan subsel %=============================================== for NN=1:MNC IC(NN,2)=0; % reset ke 0 end for NN=1:MNSC ISCG(NN,2)=0; % reset ke 0 end for n=1:NM % dari 1 sampai NM of partikel MSC=IP(n); ISCG(MSC,2)=ISCG(MSC,2)+1; MC=ISC(MSC); IC(MC,2)=IC(MC,2)+1; end m=0; for n=1:MNC IC(n,1)=m; m=m+IC(n,2); end m=0; for n=1:MNSC ISCG(n,1)=m; m=m+ISCG(n,2); ISCG(n,2)=0; end for n=1:NM MSC=IP(n); ISCG(MSC,2)=ISCG(MSC,2)+1; k=ISCG(MSC,1)+ISCG(MSC,2); IR(k)=n; end

57

Lampiran 25. Sub Routine COLLS3.m

%=================================================== % COLLS3.m % Menghitung tumbukan tepat pada DTM pada gas tunggal %==================================================== for n=1:MNC SN=CS(n,1); if (SN>1) AVN=SN/NSMP; else AVN=IC(n,2); end ASEL=0.5*IC(n,2)*AVN*FNUM*CCG(n,1)*DTM/CC(n)+CCG(n,2); NSEL=floor(ASEL); CCG(n,2)=ASEL-NSEL; if (NSEL>0) if (IC(n,2)<2) CCG(n,2)=CCG(n,2)+NSEL; else CVM=CCG(n,1); SELT=SELT+NSEL; for ISEL=1:NSEL k=floor(rand*(IC(n,2)-0.0001))+IC(n,1)+1; l=IR(k); ltemp=m; while (Equal(ltemp,m)) MSC=IP(l); if (Equal(ISCG(MSC,2),1)) NST=1; NSG=1; INC=NSG*NST; NSG=-NSG; NST=NST+1; MSC=MSC+INC; while ((MSC<1)|(MSC>MNSC)|(ISC(MSC)~=n)|(ISCG(MSC,2)<1)) INC=NSG*NST; NSG=-NSG; NST=NST+1; MSC=MSC+INC; end end k=floor(rand*(ISCG(MSC,2)-0.0001))+ISCG(MSC,1)+1; m=IR(k); ltemp=l; end

58

for k=1:3 VRC(k)=PV(l,k)-PV(m,k); end VRR=VRC(1)^2+VRC(2)^2+VRC(3)^2; VR=sqrt(VRR); CVR=VR*SPM(1)*((2*BOLTZ*SPM(2)/(0.5*SP(1)*VRR))^(SPM(3)0.5))/SPM(5); if (CVR>CVM) CVM=CVR; end if (rand<CVR/CCG(n,1)) U=PV(l,:); V=PV(m,:); e=rand(1,3); e=e/norm(e); U1=(U+V)./2+norm(U-V).*e./2; V1=(U+V)./2-norm(U-V).*e./2; PV(l,:)=U1; PV(m,:)=V1; NCOL=NCOL+1; end end CCG(n,1)=CVM; end end end

Lampiran 26. Sub Routine SAMPLEOS.m

%=================================================== % SAMPLEOS.m % mengambil sampel pada proses %==================================================== NSMP=NSMP+1; for n=1:MNC % 1 ~ jumlah cell l=IC(n,2); % jumlah molekul di cell n if (l>0) for j=1:l % untuk semua molekul di cell n k=IC(n,1)+j; % m=IR(k); % CS(n,1)=CS(n,1)+1; % CS: sample information in cell n, 1:nomornya pada sample, 234:uvw, 5:u^2+v^2+w^2 for ll=1:3 CS(n,ll+1)=CS(n,ll+1)+PV(m,ll); CS(n,5)=CS(n,5)+PV(m,ll)^2; end end end end

59

nSumE=nSumE+1;

SumEnergy(nSumE)=0; dPV=zeros(10000,1); maxdPV=0; for n=1:MNM nPV(n)=sqrt(PV(n,1)^2+PV(n,2)^2+PV(n,3)^2); SumEnergy(nSumE)=SumEnergy(nSumE)+nPV(n)^2; rnPV=round(nPV(n)); if(rnPV<1) rnPV=1; end dPV(rnPV)=dPV(rnPV)+1; if(rnPV>maxdPV) maxdPV=rnPV; end end sPV=round(sort(nPV)); fPV=zeros(100,1); for n=1:MNM if (sPV(n)/10<100) fPV(floor(sPV(n)/10)+1) = fPV(floor(sPV(n)/10)+1)+1; else fPV(100) = fPV(100)+1; end end plot(1:100,fPV/50,'.'); xdata=zeros(100,1); x(1:100)=1:100; xdata(1:100)=1:100; SumEnergy(nSumE) Btx=Bo*exp(-alpha*TIME)/(1+Bo*(1-exp(-alpha*TIME))); v=(0:1:99); for i=1:100 a=(((1+Btx)/(2*pi*T))^(3/2)); b=1+(Btx*(((1+Btx)*(v(i).^2)/(2*T))-3/2)); c=exp(-(1+Btx*(v(i).^2)/(2*T))); f(i)=a*b*c; end uf=round(f*(1000/sum(f))); hold on plot(xdata,uf/50,'.r') hold off Va=0; for i=1:100 Va=Va+((i-1)*uf(i)); end Va Vb=0; for i=1:1000 Vb=Vb+sPV(i)/10; end Vb pause(0.1);

60

Lampiran 27. Sub Routine OUTOS.m

%=================================================== % OUTOS.m % menghasilkan progressive sets of results %==================================================== S1=strcat(' FROM ZERO TIME TO TIME_', num2str(TIME)); disp(S1); S1=strcat(' COLLISIONS =_', num2str(NCOL)); disp(S1); S1=strcat(' TOTAL NUMBER OF SAMPLES_', num2str(NSMP)); disp(S1); S1=strcat(num2str(NM),' MOLECULES'); disp(S1); S1=strcat(num2str(MOVT),' TOTAL MOLECULAR MOVE'); disp(S1); S1=strcat(num2str(round(SELT)),' SELECTIONS_'); S1=strcat(S1,num2str(round(NCOL))); S1=strcat(S1,' COLLISIONS, RATIO_'); S1=strcat(S1,num2str(NCOL/SELT)); disp(S1); if(NCOL>0) S1=strcat(' MEAN COLLISION SEPARATION_', num2str(SEPT/NCOL)); disp(S1); end disp(' FLOWFIELD PROPERTIES'); disp(' CELL X COORD SAMPLE U V W TEMP'); TOT=0; for n=1:MNC if (CG(n,3)*NSMP~=0) % <--- cek pembagi nol a=FNUM/(CG(n,3)*NSMP); else a=0; end DENN=CS(n,1)*a; if (CS(n,1)>0.5) for k=1:3 VEL(k)=CS(n,k+1)/CS(n,1); end UU=VEL(1)^2+VEL(2)^2+VEL(3)^2; TT=SP(1)*(CS(n,5)/CS(n,1)-UU)/(3*BOLTZ); TOT=TOT+TT; XC=0.5*(CG(n,1)+CG(n,2));

61

%disp() S1=strcat(num2str(n),'___'); S1=strcat(S1,num2str(XC)); S1=strcat(S1,'___'); S1=strcat(S1,num2str(round(CS(n,1)))); S1=strcat(S1,'___'); S1=strcat(S1,num2str(DENN)); S1=strcat(S1,'___'); S1=strcat(S1,num2str(VEL(1))); S1=strcat(S1,'___'); S1=strcat(S1,num2str(VEL(2))); S1=strcat(S1,'___'); S1=strcat(S1,num2str(VEL(3))); S1=strcat(S1,'___'); S1=strcat(S1,num2str(TT)); disp(S1); end end AVTMP=TOT/MNC; S1=strcat(' AVERAGE TEMPERATURE_',num2str(AVTMP)); disp(S1); FND2=FND; TCOL=2*TIME*FND2*FND2*(XR-XF)*SPM(1)*((AVTMP/SPM(2))^(1-SPM(3)))*sqrt(BOLTZ*SPM(2)/(PI*SP(1)))/FNUM; disp(' RATIO OF COLLISION NUMBER TO THEORETICAL VALUE'); disp(num2str(NCOL/TCOL));

Lampiran 27. varinit.m

%============================================== % varinit.m % alokasi workspace variabel dan konstan awal %============================================== disp('Inisialisasi variabel workspace.'); clear; % Parameter Constants MNM = 1000; % is the maximum number of molecules MNC = 50; % is the maximum number of cells MNSC = 400; % is the maximum number of sub-cells NM = 0; PP=zeros(MNM,1);PV=zeros(MNM,3);IP=zeros(MNM,1); IR=zeros(MNM,1);CC=zeros(MNC,1);CG=zeros(MNC,3);IC=zeros(MNC,2); ISC=zeros(MNSC,1);CCG=zeros(MNC,2);ISCG=zeros(MNSC,2);SP=zeros(2,1); SPM=zeros(5,1);MOVT = 0;NCOL = 0;SELT = 0;SEPT = 0; CS=zeros(MNC,5);TIME=0;NPR=0;NSMP=0;FND=0; FTMP=0;FNUM=0;DTM=0; NIS=0;NSP=0;NPT=0; CW=0;NSC=0;XF=0;XR=0; PI=0;SPI=0;BOLTZ=0;

solusi persamaan boltzmann dengan nilai...

Documents