4-2 distribusi maxwell boltzman (finished)

8/13/2019 4-2 Distribusi Maxwell Boltzman (Finished)

http://slidepdf.com/reader/full/4-2-distribusi-maxwell-boltzman-finished 1/27

4-2. DISTRIBUSI MAXWELL-BOLTZMANN

L Muhammad Musafar K302 10 009

4-2-1

DISTRIBUSI MAXWELL-BOLTZMANN

L. Muhammad Musafar K.

Telah ditunjukkan bahwa fungsi keadaan setimbang ) p( f 0r

merupakan solusi dari

persamaan (4-2). Fungsi tersebut disebut sebagai distribusi Maxwell-Boltzmann. Untukmenemukan bentuk fungsi dsitribusi Maxwell-Boltzmann tinjau persamaan (4-2),

0 f f f f )0( 2

)0( 1

)0( 2

)0( 1 =−′′ (4-2)

Lakukan logaritma pada kedua sisi persamaan tersebut,

)0(

2

)0(

1

)0(

2

)0(

1 f f f f ′′=

( ) ( ) )0( 2

)0( 1

)0( 2

)0( 1 f f log f f log ′′=

)0( 2

)0( 1

)0( 2

)0( 1 f log f log f log f log ′+′=+ (4-12)

Karena { }21 p , p rr

menyatakan momentum keadaan awal dan { }21 p , p ′′ rr

momentum keadaan

akhir suatu tumbukan, maka persamaan (4-12) merupakan sebuah bentuk hukumkekekalan. Jika p(

r

χ merupakan besaran terkait dengan molekul yang memiliki

momentum pr

, sedemikian sehingga berdasarkan persamaan (4-12), ) p( ) p( 21

rr

χ χ +

bersifat kekal ketika terjadi tumbukan antara molekul yang memiliki momentum 1 pr

dan 2 p

r

. Dengan demikian, solusi persamaan (4-12) adalah

) p( f log )0( r

χ =

Atau dalam bentuk umum dapat dituliskan sebagai,

... ) p( ) p( ) p( f log 21 )0( ++=

rrr

χ χ

Jika spin molekul diabaikan, maka selama terjadinya tumbukan biner besaran yangbersifat kekal adalah momentum dan energi kinetik. Oleh karena momentum dan

energi kinetik merupakan fungsi dari pr

maka ) p( f log )0( r

dapat dinyatakan sebagai

kombinasi linier dari ( )2

0 p p rr

− . Sehingga,

( )2

0 )0( p p ) p( f log

rrr

−≈





4-2-2

atau

( ) γ β +−= 20

)0( p p ) p( f log rrr

atau

( ) γ β +−= 2

0 p p )0( e ) p( f rr

r

( )20 p p )0( ee ) p( f

rr

r −= β γ ( )20 p p )0( Ce ) p( f

rr

r −= β

Berdasarkan kenyataan fisis bahwa semakin tinggi energi atau momentum molekul,

maka jumlah molekul yang memiliki keadaan tersebut semakin sedikit maka nilai β pada persamaan tersebut harus bernilai negatif. Dengan demikian dapat dilakukan

penggantian β oleh –A. Sehingga,

( )20 p p A )0( Ce ) p( f

rr

r −−= (4-13)

Dengan menerapkan persamaan (3-5),

∫= pd )t , p ,r ( f n 3rr

maka dari persamaan subtitusi persamaan (4-13) menghasilkan

( )

∫ −−

= pdeC n 3 p p A 2

0rr

Perhitungan ( )∫ −− pde 3 p p A 20

rr

Andaikan bahwa, w p p 0

rrr

=− . Oleh karena 0 pr

adalah konstan maka

wd pd rr

= xx dwdp =

yy dwdp =

zz dwdp =

wddwdwdwdpdpdp pd 3zyxzyx

3 ===





4-2-3

Dengan demikian,

( ) ∫∫ −−− ≡ wde pde 3 Aw3 p p A 220

rr

atau jika batas-batas integral dituliskan maka,

( ) ∫∫+∞

∞−

−−− = wde pde 3 Aw3 p p A 220

rr

atau jika ditransformasi dalam bentuk integral koordinat bola menjadi,

( ) ∫∫+∞

−−− ×=0

2 Aw3 p p A dww4e pde 22

0 π rr

( ) ∫∫+∞

−−− =0

2 Aw3 p p A dwwe4 pde 22

0 π rr

Andaikan lagi, s Aw2 = , maka

A

sw2 =

dan

A

sw

2 / 1

=

serta

ds A2

sdw

2 / 1−

=

Dengan demikian,

( ) ∫∫+∞ −

−−− ×=0

2 / 1s3 p p A ds

A2

s

A

se4 pde

20 π

rr

( ) ∫∫+∞

−−− =0

2 / 1s

2 / 3

3 p p A dsse A

2 pde

20

π rr





4-2-4

Dengan menggunakan bentuk integral fungsi gamma, yang memiliki bentuk

)1n( dxxe0

nn +=∫+∞

− Γ

maka

( )⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +=∫ −− 1

2

1

A

2 pde

2 / 3

3 p p A 20 Γ

π rr

Sekali lagi gunakan sifat fungsi gamma,

)n( n )1n( Γ Γ =+

maka

( )⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ×=∫ −−

2

1

2

1

A

2 pde

2 / 3

3 p p A 20 Γ

π rr

Oleh karena π Γ =⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

2

1, maka

( ) π π

×=∫ −−2 / 3

3 p p A

A pde

20

rr

( )2 / 3

2 / 33 p p A

A pde

20

π =∫ −−

rr

( )2 / 3

3 p p A

A pde

20 ⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =∫ −− π rr

Akibatnya,

2 / 3

AC n ⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = π

atau

n A

C 2 / 3

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =π

(4-14)





4-2-5

Andaikan momentum rata-rata pr

sebuah molekul gas didefenisikan oleh,

∫∫≡

pd ) p( f

pd ) p( f p p

3 )0(

3 )0(

r

rr

r

(4-15)

Oleh karena,

n pd ) p( f 3 )0( =∫ r

maka

∫= pd ) p( f pn

1 p 3 )0( rrr

Subtitusi ) p( f )0( r

dari persamaan (4-13),

( )∫ −−×= pdCe pn

1 p 3 p p A 2

0

rr

rr

( )∫ −−= pde pn

C p 3 p p A 2

0rr

rr

Andaikan bahwa

w p p 0

rrr

=−

maka

0 pw p rrr

+=

Sebagaimana sebelumnya telah diperoleh bahwa wd pd 33 = , maka

( )∫ −

+= wde pwn

C

p 3 Aw

0

2rrr

atau

∫∫ −− += wde pn

C wdew

n

C p 3 Aw

03 Aw 22 rrr





4-2-6

Karena 0 pr

bersifat konstan, maka dapat dikeluarkan dari tanda integral pada suku

kedua persamaan di atas,

∫∫ −− += wde pn

C wdew

n

C p 3 Aw

03 Aw 22 rrr

PERHITUNGAN ∫ − wdew 3 Aw 2r

Jika batas-batas integral dituliskan maka,

∫∫+∞

∞−

−− = wdewwdew 3 Aw3 Aw 22 rr

∫∫∫+∞ −

∞−

−− +=0

3 Aw0 3 Aw3 Aw wdewwdewwdew 222 rrr

Lakukan pembalikan batas-batas integral pada suku pertama sisi kanan,

∫∫∫+∞

−−∞

−− +−=0

3 Aw

0

3 Aw3 Aw wdewwdewwdew 222 rrr

oleh karena zyx3 dwdwdwwd = , maka

∫∫ ∫ ∫∫+∞

−−∞−∞−∞

−− +−=0

3 Aw

0 0 0

zyx Aw3 Aw wdewdwdwdwewwdew

222 rrr

∫∫ ∫ ∫∫+∞

−+∞+∞+∞

−−− +−−−−−=0

3 Aw

0 0 0

zyx )w( A3 Aw wdew )w( d )w( d )w( de )w( wdew

222 rrr

∫∫ ∫ ∫∫+∞

−+∞+∞+∞

−− +−=0

3 Aw

0 0 0

zyx Aw3 Aw wdewdwdwdwewwdew

222 rrr

∫∫∫+∞

−+∞

−− +−=0

3 Aw

0

3 Aw3 Aw wdewwdewwdew 222 rrr

0wdew 3 Aw 2

=∫ −r





4-2-7

Sehingga,

∫ −= wde pn

C p 3 Aw

0

2rr

Dari perhitungan sebelumnya, telah diperoleh bahwa

2 / 33 Aw

Awde

2

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =∫ − π

maka

2 / 3

0 A

pn

C p ⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ×=

π rr

Dari persamaan (4-14) telah diketahui bahwa,

n A

C 2 / 3

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =π

maka

2 / 32 / 3

0

An

A

n

p p ⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ×⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ×=

π

π

r

r

Sehingga,

0 p p rr

=

Dengan demikian,

( )0

3 p p A p pde pn

C p

20

rrrrr

== ∫ −− (4-16)

Jadi, jika 0 p0 =r

, maka ini berarti bahwa tidak ada gerak translasional molekul gas

dalam suatu elemen volume tertentu.

Selanjutnya akan dihitung energi kinetik rata-rata sebuah molekul gas. Energi kinetikrata-rata didefenisikan sebagai,

∫∫≡

pd ) p( f

pd ) p( Kf

3 )0(

3 )0(

r

r

ε





4-2-8

dimana K menyatakan energi kinetik sebuah molekul bermassa m yang memilikimomentum p

r

, yaitu

m2

pK

2

=

Sehingga,

∫∫≡

pd ) p( f

pd ) p( f )m2 / p(

3 )0(

3 )0( 2

r

r

ε (4-17)

Karena,

n pd ) p( f 3 )0( =

∫

r

maka

∫= pd ) p( f m2

p

n

1 3 )0( 2

r

ε

∫= pd ) p( f pnm2

1 3 )0( 2 r

ε


kedalam persamaan ini maka

( )∫ −−= pde pnm2

C 3 p p A2 20

rr

ε

Jika dipilih 0 p0 =r

, maka

∫ −= pde pnm2

C 3 Ap2 2

ε

Dalam sajian koordinat bola, dp p4 pd 23 π = , sehingga

∫∞

− ×=0

2 Ap2 dp p4e pnm2

C 2

π ε





4-2-9

∫∞

−=0

Ap4 dpe pnm

C 2 2π ε

PERHITUNGAN

∫

∞−

0

Ap4 dpe p 2

Andaikan bahwa w Ap2 = , maka

2 / 1

2 / 1

A

w p =

Sehingga,

dw A2

w

dp 2 / 1

2 / 1−

=

Akibatnya,

∫∫∞ −

−∞

− ×⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ≡

0

2 / 1

2 / 1 Ap

4

2 / 1

2 / 1

0

Ap4 dw A2

we

A

wdpe p

22

∫∫

∞−−

∞− ×≡

0

2 / 1 Ap

2

2

2 / 10

Ap4 dwwe A

w

A2

1dpe p

22

∫∫∞

−∞

− ≡0

2 / 3 Ap

2 / 5

0

Ap4 dwwe A2

1dpe p

22

Gunakan lagi bentuk integral fungsi gamma,

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +=∫

∞− 1

2

3

A2

1dpe p

2 / 5

0

Ap4 2

Γ

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ××=∫

∞−

2

1

2

1

2

3

A2

1dpe p

2 / 5

0

Ap4 2

Γ

2 / 5

0

Ap4

A8

3dpe p

2 π =∫

∞−





4-2-10

Sehingga,

2 / 5 A8

3

nm

C 2 π π ε ×=

2 / 5

2 / 3

nmA4

C 3π ε =

Subtitusi besaran C dari persamaan (4-14), maka

n A

nmA4

3n

A

nmA4

32 / 3

2 / 3

2 / 5

2 / 32 / 3

2 / 5

2 / 3

π

π

π

π ε ×=⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ×=

mA43=ε

Jadi,

( )

mA4

3 pde p

nm2

C 3 p p A2 20 == ∫ −−

rr

ε

Jadi konstanta A berhubungan dengan energi kinetik rata-rata, yang diberikan olehhubungan

m4

3 A

ε = (4-18)

Subtitusi nilai A pada persamaan (4-18) ke dalam persamaan (4-14) menghasilkan

n1

m4

3C

2 / 3

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ×=

π ε

nm4

3C

2 / 3

⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛ =πε

(4-19)

Untuk menghubungkan energi rata-rata dengan besaran yang dapat terukur langsung,kita harus mencari persamaan keadaan terkait dengan fungsi distribusi keadaansetimbang. Oleh karena itu, kita harus menghitung tekanan yang didefenisikan olehgaya rata-rata tiap satuan luas yang bekerja pada sebuah permukaan gas . Tinjaupermukaan gas seperti ditunjukkan dalam gambar 4-1 dimana permukaan tersebut





4-2-11

memiliki arah normal disepanjang sumbu x. Sebuah molekul hanya dapat menumbukpermukaan ini hanya jika komponen x daripada momentumnya bernilai positif, yaitu

0 px > . Jadi molekul tersebut akan kehilangan momentumnya sebesar x p2 ketika

menumbuk permukaan tersebut. Jumlah molekul yang dipantulkan oleh permukaantersebut tiap detik adalah jumlah molekul yang terkandung dalam silinder tersebut,

dengan 0vx > . Jumlahnya adalah, pd ) p( f v 3 )0( x

v

. Oleh karena itu, tekanan yang

dihasilkan oleh gas dengan kecepatan rata-rata nol adalah

∫∫+∞

∞−

+∞

=

=×= pd ) p( f v p pd ) p( f v p2P 3 )0( xx

0v

3 )0( xx

x

vv

karena

m

pv x

x =

maka

∫+∞

∞−

= pd ) p( f pm

1P 3 )0( 2

x

v


, maka

∫

+∞

∞−

−

= pd ) p( e pm

C P 3 Ap2x

2 v

Oleh karena

∫∫∫+∞

∞−

−+∞

∞−

−+∞

∞−

− == pd ) p( e p pd ) p( e p pd ) p( e p 3 Ap2z

3 Ap2y

3 Ap2x

222 vvv

maka

∫∫∫+∞

∞−

−+∞

∞−

−+∞

∞−

− ++= pd ) p( e pmC pd ) p( e p

mC pd ) p( e p

mC P3 3 Ap2

z3 Ap2

y3 Ap2

x

222 vvv

( )∫+∞

∞−

−++= pd ) p( e p p pm

C P3 3 Ap2

z2

y2

x

2 v





4-2-12

Karena 22z

2y

2x p p p p =++ , maka

∫+∞

∞−

−= pd ) p( e pm

C P3 3 Ap2 2

v

∫+∞

∞−

−= pd ) p( e pm3

C P 3 Ap2 2

v

(4-20)

Persamaan (4-20) dapat dituliskan sebagai,

∫+∞

∞−

−= pd ) p( em2

p

3

C 2P 3 Ap

22 v

Oleh karena,

ε n pd ) p( em2

pC 3 Ap

22

=∫+∞

∞−

− v

maka

ε n3

2P = (4-21)

Secara eksperimental, dari hukum hukum gas ideal diketahui bahwa

NkT PV =

atau

nkT kT V

N P ==

Subtitusi persaman ini kedalam persamaan (4-21), maka

ε n3

2nkT =

sehingga,

kT 2

3=ε (4-22)





4-2-13

Dengan demikian,

mkT 2

1

kT 3

2

m4

3 A =×=

dan

2 / 3

2 / 3

)mkT 2(

nn

kT 3

2

m4

3C

π π =⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ×=

Sehingga, persamaan (4-13) menjadi

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

mkT 2

) p p( exp

)mkT 2(

n ) p( f

20

2 / 3

)0(

rr

r

π (4-23)

Persamaan ini disebut distribusi Maxwell-Boltzmann yang menyatakan probabilitasmenemukan sebuah molekul dengan momentum p

r

dalam gas yang berada pada

keadaan setimbang.

Jika tumbukan antara molekul dengan dinding kontainer gas bersifat elastis sempurna,

maka ) p( f )0( r

tidak akan berubah akibat tumbukan tersebut karena ) p( f )0( r

hanya

bergantung pada besar momentum. Sedangkan besar momentum sebelum dan setelahtumbukan tumbukan biner tidak mengalami perubahan sebagai mana telah dibahassebelumnya (lihat pasal 3.2 Tumbukan Biner ).

Untuk gas dengan 0 p0 =r

, kita defenisikan kecepatan yang paling mungkin daripada

sebuah molekul sebagai v ketika ) p( f p4 2 r

π mencapai nilai maksimum.

PERHITUNGAN p dan v

Andaikan bahwa,

) p( f p4w 2 r

π =


dimana 0 p0 =

r

maka

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −×=

mkT 2

pexp

)mkT 2(

n p4w

2

2 / 3

2

π π





4-2-14

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

mkT 2

pexp p

)mkT 2(

n4w

22

2 / 3π

π

Nilai ekstrim dari w ditentukan oleh syarat,

0dp

dw2 =

Andaikan bahwa, q p2 = maka

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=

mkT 2

qexpq

)mkT 2(

n4w

2 / 3π

π

Sehingga,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=≡

mkT 2

qexpq

)mkT 2(

n4

dq

d

dq

dw

dp

dw2 / 32 π

π

atau

0mkT 2

qexpq

dq

d

)mkT 2(

n4

dq

dw2 / 3

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=

π

π

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −+⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=

mkT 2

qexp

dq

dq

mkT 2

qexp

dq

dq

)mkT 2(

n4

dq

dw2 / 3π

π

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −+⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=

mkT 2

q

dq

d

mkT 2

qexpq

mkT 2

qexp

)mkT 2(

n4

dq

dw2 / 3π

π

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=

mkT 2

qexp

mkT 2

q

mkT 2

qexp

)mkT 2(

n4

dq

dw2 / 3π

π

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=

mkT 2

qexp

mkT 2

q1

)mkT 2(

n4

dq

dw2 / 3π

π





4-2-15

Sehingga,

0dq

dw=

dipenuhi oleh

0mkT 2

qexp

mkT 2

q1 =⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −

Solusi persamaan ini adalah

0mkT 2

q1 =⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ − mkT 2q =

dan

0mkT 2

qexp =⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ − ∞=q

Selanjutnya, nilai maksimum ditentukan oleh syarat, 0dq

wd2

2

<

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

−⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

−= mkT 2

q

expmkT 2

q

1dq

d

)mkT 2(

n4

dq

wd2 / 32

2

π

π

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −+⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=

mkT 2

qexp

dq

d

mkT 2

q1

mkT 2

q1

dq

d

mkT 2

qexp

)mkT 2(

n4

dq

wd2 / 32

2

π

π

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −+⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−=

mkT 2

q

dq

d

mkT 2

qexp

mkT 2

q1

mkT 2

qexp

mkT 2

1

)mkT 2(

n4

dq

wd2 / 32

2

π

π

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

−⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

−−⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

−−= mkT 2

qexpmkT 2

q1mkT 2

1

mkT 2

qexpmkT 2

1

)mkT 2(

n4

dq

wd2 / 32

2

π

π

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−=

mkT 2

qexp

mkT 2

q2

mkT 2

1

)mkT 2(

n4

dq

wd2 / 32

2

π

π





4-2-16

Untuk ∞=q , maka

0dq

wd2

2

=

Ini menyatakan bahwa solusi ∞=q merupakan titik belok kurva, bukan menyatakan

nilai maksimum atau minimum.

Sedangkan untuk mkT 2q = ,

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−=

mkT 2

mkT 2exp

mkT 2

mkT 22

mkT 2

1

)mkT 2(

n4

dq

wd2 / 32

2

π

π

[ ] ( )1exp12mkT 2

1

)mkT 2(

n4

dq

wd2 / 32

2

−−−= π

π

1

2 / 32

2

emkT 2

1

)mkT 2(

n4

dq

wd −−=π

π

Dengan demikian,

0dq

wd2

2

<

Sehingga, solusi mkT 2q = , atau

mkT 2 p2 =

merupakan nilai dimana kurva ) p( f p4 2 r

π mencapai nilai maksimum.

Sehingga,

mkT 2 p =

Oleh karena itu, kecepatan partikel yang paling mungkin adalah

mkT 2vm p ==

atau





4-2-17

m

mkT 2v =

atau

m

kT 2v = (4-24)

Rata-rata kuadrat kecepatan diberikan oleh,

∫∫≡

pd ) p( f

pd ) p( f vv

3 )0(

3 )0( 2

2r

r

Sehingga, akar dari rata-rata kuadrat kecepatan diberikan oleh,

2 / 1

3 )0(

3 )0( 2

2rms

pd ) p( f

pd ) p( f vvv

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡≡=

∫∫

r

r

PERHITUNGAN 2v

∫∫=

pd ) p( f pd ) p( f vv

3 )0(

3 )0( 2

2r

r

Oleh karena,

2

22

m

pv =

maka

∫∫=

pd ) p( f pd ) p( f p

m1v

3 )0(

3 )0( 2

2

2r

r

atau

∫∫=

pd ) p( f

pd ) p( f )m2 / p(

m

2v

3 )0(

3 )0( 2

2r

r





4-2-18

Oleh karena,

∫∫=

pd ) p( f

pd ) p( f )m2 / p(

3 )0(

3 )0( 2

r

r

ε

dan telah diperoleh sebelumnya bahwa (lihat persamaan 4-22)

kT 2

3

pd ) p( f

pd ) p( f )m2 / p(

3 )0(

3 )0( 2

==∫

∫r

r

ε

maka

kT

2

3

m

2v2 ×=

Sehingga,

m

kT 3v2 =

Dengan demikian,

m

kT 3

pd ) p( f

pd ) p( f v

v

2 / 1

3 )0(

3 )0( 2

rms =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

= ∫∫

r

r

(4-25)

Pada temperatur kamar kelajuan untuk molekul gas oksigen berorde 105 cm/detik.

Plot ) p( f p4 )0( 2 r

π terhadap m / pv = ditunjukkan dalam Gambar 4.2. Terlihat bahwa

) p( f )0( r

tidak bernilai nol ketika v melebihi kecepatan cahaya. Ini karena kita

menggunakan dinamika Newtonian untuk molekul tanpa koreksi dinamika relativistik.

Error dapat diabaikan karena cv << , dimana kita peroleh 2mckT = . Dengan demikian,

untuk molekul hidrogen K 10T 13≈ .

Tinjau distribusi pada keadaan setimbang untuk gas dengan konsentrasi rendahdibawah pengaruh gaya eksternal yang bersifat konservatif, yang mana diberikan oleh

)r ( F r

rr

φ ∇−= (4-26)





4-2-20

Sehingga,

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−−′′=⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

∂∂

∫∫ kT

)r ( expvv ) f f f f )( ( d pd

t

f 21

)0( 1

)0( 2

)0( 1

)0( 22

3

col

r

rr φ Ω σ Ω

Karena )r ( r

φ tidak bergantung pada pr

maka,

∫∫ −−′′⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

∂∂

21 )0(

1 )0(

2 )0(

1 )0(

223

col

vv ) f f f f )( ( d pdkT

)r ( exp

t

f rr

r

Ω σ Ω φ

Oleh karena,

∫∫ −−′′21

)0(

1

)0(

2

)0(

1

)0(

223 vv ) f f f f )( ( d pd

rr

Ω σ Ω

menyatakan perubahan fungsi distribusi pada keadaan setimbang, dimana padakeadaan setimbang tidak ada lagi tumbukan yang terjadi, maka

0vv ) f f f f )( ( d pd 21 )0(

1 )0(

2 )0(

1 )0(

223 =−−′′∫∫

rr

Ω σ Ω

sehingga,

0vv ) f f f f )( ( d pdkT

)r ( exp

t

f 21

)0( 1

)0( 2

)0( 1

)0( 22

3

col

=−−′′⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

∂∂

∫∫ rr

r

Ω σ Ω φ

Selanjutnya akan dilakukan verifikasi persamaan transport Boltzmann pada sisi kiriyaitu,

col

vt

f ) p ,r ( f F ) p ,r ( f

m

p

t

) p ,r ( f ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

∂∂

=∇⋅+∇⋅+∂

∂ rr

rr

rr

r

rrr

Dari hasil di atas maka

0 ) p ,r ( f F ) p ,r ( f m pt ) p ,r ( f v =∇⋅+∇⋅+∂∂ rr

rr

rr

r

rrr

dimana solusi ini bersifat trivial.





4-2-21

Karena potensial )r ( r

φ tidak mengubah fungsi distribusi pada keadaan setimbang,

maka besaran ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −

kT

)r ( exp

r

φ dapat diabsorbsi dalam kerapatan molekul, sehingga

kerapatan molekul menjadi bergantung pada r r

. Akibatnya persamaan (4-27) dapatdituliskan menjadi,

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=

kT

)r ( exp ) p( f ) p ,r ( f )0(

r

rrr φ

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

kT

)r ( exp

mkT 2

) p p( exp

)mkT 2(

n ) p ,r ( f

20

2 / 30

rrr

rr φ

π

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −−=

mkT 2

) p p( exp

)mkT 2(

)r ( n ) p ,r ( f

20

2 / 3

rrr

rr

π (4-28)

dimana

∫= ) p ,r ( pf d )r ( n 3 rrr

atau

∫ ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

kT

)r ( exp

mkT 2

) p p( exp

)mkT 2(

n pd )r ( n

20

2 / 303

rrr

r φ

π

∫ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=

mkT 2

) p p( exp pd

)mkT 2(

n

kT

)r ( exp )r ( n

203

2 / 30

rrr

r

π

φ

Oleh karena

0

203

2 / 30 n

mkT 2

) p p( exp pd

)mkT 2(

n=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−∫

rr

π

maka

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=

kT

)r ( expn )r ( n 0

r

r φ





4-2-22

Dengan demikian,

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −== ∫ kT

)r ( expn ) p ,r ( pf d )r ( n 0

3

r

rrr φ (4-29)

Selanjutnya akan diturunkan besaran-besaran termodinamika untuk gas dengankonsentrasi rendah (dilute gas). Temperatur gas telah didefenisikan oleh persamaan (4-22), dan telah diperoleh persamaan keadaan. Dengan defenisi tekanan, kerja yangdilakukan oleh gas ketika volume gas mengalami peningkatan sebesar dV adalahPdV . Energi dalam didefenisikan oleh,

NkT 2

3N )T ( U == ε (4-30)

Dari persamaan ini terlihat bahwa energi dalam hanya bergantung pada temperatur.

Dari hukum pertama termodinamika, panas yang terserap oleh sebuah sistemdidefenisikan sebagai,

PdV dU dQ += (4-31)

Ini berarti bahwa ketika panas ditambahkan pada sebuah sistem maka sistem tersebutakan melakukan kerja mekanik dan menyebabkan molekul bekerja dengan energi dU .Dari persamaan (4-31) dan (4-30) diperoleh kapasitas panas pada volume konstan,

Nk23C V =

Analogi bagi hukum kedua termodinamika adalah teorema H Boltzmann, dimana Htelah diidentifikasi sebagai negatif entropi tiap satuan volume dibagi oleh konstantaBoltzmann,

Vk

SH −= (4-33)

Jadi, teorema H menyatakan bahwa untuk volume tertentu (contohnya, gas terisolasi)entropi tidak pernah meningkat, sebagaimana dinyatakan dalam hukum keduatermodinamika.

Untuk meyakinkan bahwa persamaan (4-33) benar, maka akan dihitung nilai H padakeadaan setimbang. Dari teorema Boltzmann, pada persamaan (4-3) dinyatakan bahwa





4-2-23

∫= )t , p( f log )t , p( f vd )t( H 3 rr

Jadi pada keadaan setimbang dapat dituliskan sebagai,

∫= )t , p( f log )t , p( f pdH )0( )0( 3

0

rr

karena,

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

mkT 2

) p p( exp

)mkT 2(

n ) p ,r ( f

20

2 / 3

)0(

rr

rr

π

maka

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −−= mkT 2

) p p( exp )mkT 2(

nlog ) p ,r ( f log

2

02 / 3

)0(

rr

rr

π

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

mkT 2

) p p( explog

)mkT 2(

nlog ) p ,r ( f log

20

2 / 3

)0(

rr

rr

π

mkT 2

) p p(

)mkT 2(

nlog ) p ,r ( f log

20

2 / 3

)0(

rr

rr −−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

π

Sehingga,

∫ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

mkT 2

) p p(

)mkT 2(

nlog

mkT 2

) p p( exp

)mkT 2(

n pdH

20

2 / 3

20

2 / 3

30

rrrr

π π

∫ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

mkT 2

) p p(

)mkT 2(

nlog

mkT 2

) p p( exp pd

)mkT 2(

nH

20

2 / 3

203

2 / 30

rrrr

π π

∫∫

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−×−

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −−

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡×=

mkT 2

) p p( exp ) p p( pd

mkT 2

1

)mkT 2(

n

mkT 2

) p p( exp pd

)mkT 2(

nlog

)mkT 2(

nH

202

03

2 / 3

203

2 / 32 / 30

rr

rr

rr

π

π π





4-2-24

Untuk 0 p0 =r

, maka

∫

∫

⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −×−

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡×=

mkT 2 pexp p pd

mkT 21

)mkT 2( n

mkT 2

pexp pd

)mkT 2(

nlog

)mkT 2(

nH

223

2 / 3

23

2 / 32 / 30

π

π π

PERHITUNGAN ∫ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

mkT 2

pexp pd

23

Dalam koordinat bola,

∫∫

∞

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −=

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

0

22

23 dp

mkT 2

pexp p4

mkT 2

pexp pd π

Andaikan,mkT 2

p2

=α , maka

2 pkT m2 =α

atau

2 / 1

mkT 2 p α =

jadi,

α α dmkT 22

1dp 2 / 1−=

Sehingga,

∫∫

∞−− ×=

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ −

0

2 / 12

3 dmkT 22

1ekT m24

mkT 2

pexp pd α α α π α

∫∫∞

−=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

0

2 / 12

3 demkT 2mkT 4mkT 2

pexp pd α α π

α





4-2-25

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∫ 1

2

1mkT 2mkT 4

mkT 2

pexp pd

23 Γ π

π π

2

1mkT 2mkT 4

mkT 2

pexp pd

23 ×=

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ −

∫

mkT 2mkT 2mkT 2

pexp pd 2 / 3

23 π =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∫

( ) 2 / 32 / 32

3 mkT 2mkT 2

pexp pd π =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∫

( ) 2 / 3

23

mkT 2mkT 2

p

exp pd π =⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−∫

Sehingga,

( )

∫ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −×−

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×=

mkT 2

pexp p pd

mkT 2

1

)mkT 2(

n

mkT 2 )mkT 2(

nlog

)mkT 2(

nH

223

2 / 3

2 / 3

2 / 32 / 30

π

π π π

∫ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −×−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

mkT 2

pexp p pd

mkT 2

1

)mkT 2(

n

)mkT 2(

nlognH

223

2 / 32 / 30π π

PERHITUNGAN ∫ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

mkT 2

pexp p pd

223

Dalam koordinat bola,

∫∫∞

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ −=⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ −

0

24

23 dp

mkT 2

pexp p4

mkT 2

pexp pd π

Andaikan,mkT 2

p2

=α , maka

2 pkT m2 =α




⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

3

)mkT 2(

nlognH

2 / 30π

Sehingga, dari persamaan (4-33),

VkH S 0−=

atau

( ) .consPV logNk2

3kVH 2 / 5

0 +=− (4-34)

4-2 distribusi maxwell boltzman (finished)

Documents