bab vi atomh repaired
DESCRIPTION
penetuan tingaklt energi atom hidrogenTRANSCRIPT
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 1/31
BabVI Atom Hidrogen
A. Pendahuluan
Atom hidrogen merupakan atom paling sederhana yang terdiri dari satu proton sebagai nukleus dan satu elektron
yang mengitarinya. Pada bab ini akan diuraikan penyelesaian persamaan Schrodinger untuk atom hidrogen dan dan
aplikasinya. Persamaan Schrodinger untuk mendiskripsikan gerak elektron relatif terhadap proton sehingga energi
potensial sistem adalah energi potensial elektron yang terikat pada inti. Karena elektron mengorbit inti pada kulit yang
berbentuk bola maka fungsi gelombang dan tingkat-tingkat energi elektron ditentukan berdasarkan penyelesaian
persamaan Schrodinger dengan koordinat bola. Hasil dari penyelesaian persamaan Schrodinger untuk atom Hidrogen
dapat digunakan untuk menjelaskan teori atom menurut Bohr dan sebagai dasar teori atom secara umum.
B. Persamaan Schrodinger Atom Hidrogen
Persaman Schrodinger untuk atom Hidrogen tidak lain adalah persamaan Schrodinger untuk sebuah partikel
yang berupa elektron yang bergerak dalam medan potensial Coulomb yang dihasilkan oleh gaya tarik-menarik antara
elektron dengan inti, maka massa partikel tersebut sebenarnya merupakan massa sistem proton-elektron yang tereduksi,
yaitu
pe
pe
mm
mmm
. Karena m p =1836 m e , maka dalam prakteknya biasanya menggunakan massa elektron saja
karena antara m dan me selisihnya sangat kecil. Untuk penyerdahanaan pembahasan, proton diasumsikan diam di pusat
koordinat dan elektron bergerak mengelilinginya di bawah pengaruh medan atau gaya coloumb.
Karena proton dianggap diam, maka kontribusi energi sistem
hanya diberikan oleh elektron yaitu energi kinetik
e
k m
p E
2
2
=2
2
2m
(6.1)
dan energi potensial sebuah elektron yang berjarak r dari inti
V(r)=r
e 1
4 0
2
(6.2)
Dengan demikian persamaan schrodinger untuk atom hidrogen dapat dituliskan sebagai
)()(1
42 0
22
2
r E r r
e
me
(6.3)
mengingat sistem atom hidrogen memiliki simetri bola, penyelesaian pers. Schrodinger menjadi lebih sederhana bila
oprator 2 disajikan dalam koordinat bola. Di dalam koordinat bola ),,( r , persamaan 6.3 menjadi
E
r
e
r r
r r me
1
4sin
1sin
sin
11
2 0
2
2
2
2
2
2
2 (6.4)
karena
2
2
222
2
2
2
sin
1
sinsin
11
r r r r r r
me
mp y
x
z
θ
r
Gambar 1.1 Posisi relatif antara proton dan elektron
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 2/31
Penentuan fungsi gelombang dan tingkat energi dari PS persamaan (6.4), dapat dilperoleh dengan menyelesaikan pers
(6.4) dengan metode pemisahan variabel )(r
),,( r sebagai berikut
),,( r = ),()( Y r R = )()()(
r R (6.5)
Bila persamaan (6.5) disubstitusikan ke dalam persamaan (6.4) dan kemudian dikalikan
2
22
r me maka pers (6.4)
menjadi 0
4
2
sin
1sin
sin
1
0
2
2
2
2
2
2
2
Re
R E r m R R
r
Rr r
e
(6.6a)
Dengan mendiferensialkan secara parsiel pers (6.6a) diperoleh
0
4
2
sinsin
sin 0
2
2
2
2
2
2
2
Re
R E r m R R
r
Rr r
e
(6.6b)
dan bila pers (6.6b) dibagi dengan )()()( r R maka diperoleh
01
4
2
sin
1sin
sin
11
0
2
2
2
2
2
2
2
r
e E
r m
d
d
d
d
d
d
dr
dRr
dr
d
Re
(6.7)
Atau
r
e E
r m
dr
dRr
dr
d
R
e 1
4
21
0
2
2
22
}
sin
1sin
sin
1{
2
2
2 d
d
d
d
d
d (6.7 a)
Dapat dilihat pada persamaan 6.7 bahwa suku pertama dan keempat hanya bergantung jari-jari r, suku kedua dan ketiga
hanya bergantung sudut dan , maka kemudian suku yang hanya merupakan fungsi r saja dipisahkan dari suku yang
merupakan fungsi sudut saja.Pada pers (6.7a) dapat dilihat bahwa kedua ruas mempunyai variabel yang berbeda tetapi keduanya identik,
maka msing-masing ruas harus sama dengan konstanta, misalnya dan bila kedua ruas dipisahkan maka diperoleh dua pers diferensial orde dua fungsi radial dan sudut, yaitu
r
e E
r m
dr
dRr
dr
d
Re
2
2
22 21
atau
R Rr
e E
r m
dr
dRr
dr
d e
2
2
22 2
(6.8)
Dengan substitusi variable yang sesuai pada persamaan (6.8) akan diperoleh PD. Fungsi Laguerre
Sedangkan suku yang hanya mengandung sudut dan dapat dinyatakan sebagai
2
2
2sin
1sin
sin
1
d
d
d
d
d
d (6.9a)
setelah dikalikan dengan sin 2, persamaan (6.9a) menjadi
0sin1
sinsin 2
2
2
d
d
d
d
d
d (6.9b)
2sinsinsin
d
d
d
d 2
2
21
md
d
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 3/31
Pada persamaan (1.9b) dapat dilihat bahwa ada bagian yang hanya bergantung pada sudut azimut dan bagian yang
bergantung pada saja sehingga kedua variabel tersebut dapat dipisahkan seperti pada persamaan (6.7a) dan suku
tengah yang merupakan fungsi azimut saja dimisalkan sama dengan konstanta -2m , yaitu.
2
2
21 md d
(6.10a)
atau 2
2
2
md
d
= 0 (6.10b)
dan
22sinsinsin
md
d
d
d
(6.11a)
atau setelah dikalikan 2sin
diperoleh
0
sinsin
sin
12
2
m
d
d
d
d (6.11b)
Dengan demikian, persamaan (6.4) dipisahkan menjadi tiga persamaan deferensial orde dua yang
hanya bergantung pada satu variabel saja, dan kemudian kita tentukan solusi masing-masing
persamaan tersebut di bawah ini.
2. Persamaan Azimuth
Penyelesaian persamaan Schrodinger untuk atom H kita mulai dari persamaan yang paling
sederhana yaitu pers. (6.10a) yakni persamaan azimuth yang menggambarkan rotasi elektron
terhadap sumbu z. Rentangan sudut rotasi disekitar sumbu-z ini adalah 0 sampai 2 , dan
kelipatannya. Itulah sebabnya konstanta (6.10a) dipilih negatif (= 2m ) agar memberi solusi yang
merupakan fungsi sinusoidal yang bersifat periodik. Bila dipilih positif akan memberi solusi fungsi
exponensial sehingga untuk satu posisi yang sama akan diberi nilai yang berbeda, misal
6/6/ e , dan 6/26/2 e padahal posisi 6/ sama dengan posisi 6/2 .
Dapat dijelaskan bahwa pemilihan konstanta positif ini tidak menggambarkan kondisi fisis yang
sesungguhnya.
Penyelesaian pers (6.10a) adalah
imim Be Ae (6.12a)
Karena bilangan bulat m dapat berharga positif atau negatif, m= 0, ±1, ±2….. maka persamaan
(6.12a) dapat ditulis menjadi
im
mme A (6.12b)
dengan keunikan untuk setiap harga yaitu
)()2( atau 1...... 2)2( imimim ekarenaee (6.13)
Dan A merupakan faktor normalisasi yang dapat diperoleh dari penersyarat normalisasi
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 4/31
mnnm d
2
0
nmuntuk
nmuntuk
....0
....1(6.14)
Karena kompleks konjugate dari m
adalah im
mm e A
maka kondisi normalisasi untuk fungsi
gelombang azimutal adalah
1
2
0
*
d Aee A inin
1 =
2
0
2d Am = 2
2
m A
maka 2
1m A
bilangan bulat m disebut bilangan kuantum magnetik.Jadi
im
m e2
1 (6.15)
1.1.2 Persamaan Polar
Bagian persamaan Schrodinger untuk atom hidrogen yang merupakan fungsi sudut disebut
persamaan polar dan adalah sudut yang dibuat oleh vektor posisi elektron relatif terhadap titik
awal sistem koordinat yang merupakan posisi proton dengan sumbu z, jadi berharga dari 0
sampai . Persamaan polar ditunjukkan oleh pers (6.11b)
0
sinsin
sin1
2
2
m
d d
d d (6.11b)
Persamaan diferensial (6.11b) dengan konstanta dan 2m dikenal sebagai persamaan diferensial
Legendre terasosiasi. Solusi dari persamaan ini dapat diperoleh dengan menggunakan metode
Frobenius yang dinyatakan dalam bentuk deret pangkat tinggi berhingga yang dikenal sebagai
polinom Legendre terasosiasi. Untuk menyederhanakan penyelesaian pers (6.11b), pertama-tama
dimisalkan m = 0, dalam kondisi ini PD Legendre associated berubah menjadi PD Legendre seperti
ditunjukkan pada pers (6.16)
0sinsin
1
d
d
d
d (6.16)
Untuk memudahkan penyelesaian, pers (6.16) disederhanakan lebih dahulu dengan menggunakan
substitusi variable, misal
cos = w , maka sin = =
dan (6.17)
Pers (6.17) dimasukkan ke dalam pers (6.16) diperoleh
0}sin{sin)sin(sin
1
dw
d
dw
d
0sin2
dw
d
dw
d
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 5/31
0)1(2
dw
d w
dw
d
02)1(2
22
dw
d w
dw
d w (6.18)
Pers (6.18) merupakan bentuk umum dari persmaan differensial orde dua fungsi Legendre. Bentuk
penyelesaian PD fungsi Legendre dipilih dalam bentuk deret seperti pada penyelesaian dengan
metode Frobenius yang dibahas pada sistem Osilator Harmonik, dimana bentuk umum PD orde
duanya adalah
+ A(q) + B(q)Q = 0 (6.19)
Bila q = q0 menyebabkan nilai A(q) atau B(q0) adalah tertentu, maka q=q0 disebut titik ordinary
dan penyelesaian pers diff. orde dua adalah merupakan polynom (deret pangkat tinggi) yang
dinyatakan
Q(q) = (6.20)
Tetapi bila untuk q = q0, harga A(q0) atau B(q0) adalah tak terhingga, maka q = q0 disebut titik
regular singular dan bentuk penyelesaian umum nya adalah
Q(q) =sqq )( 0 (6.21)
Bila prinsip di atas diaplikasikan pada PD fungsi legendre pada pers (6.18)
0)1)(1()1)(1(
22
2
wwdw
d
ww
w
dw
d
untuk w = 0,
= = = 0
= =
Maka untuk w = 0 yang merupakan titik ordinary, bentuk umum penyelesaian PD fungsi Legendre
menurut pers (11) adalah
)(w = = c0 + c1w + c2w2
+ c3w3
+ … (6.22)
Tetapi untuk w = 1, yang memberikan harga A dan B sebagai
= = =
= = =
maka w = 1 merupakan titik regular singular yang bentuk penyelesaian PD fungsi Legendre
adalah )(w n
n
n
s wcw )1()1(0
)1(()1( 10 wccw s 4
4
3
3
2
2 )1()1()1( wcwcwc
...)1()1( 6
6
5
5 wcwc 6.23)
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 6/31
Tetapi karena di dalam pembahasan prinsip-prinsip Fisika selalu dipilih bentuk penyelesaian yang
sederhana maka dipilih bentuk penyelesaian pada pers (6.22), maka kemudian pers (6.22)
dimasukkan ke pers (6.18) yang dijabarkan dengan cara sebagai berikut
)(w = (c0 + c1w + c2w2
+ c3w3
+ c4w4
+ c5w5
+ … + cnwn
)
-2wdw
d = -2w( c1 + 2 c2w + 3c3w2 + 4c4w
3 + 5c5w4 + … + ncnw
n-1)
2
2
dw
d = ( 2c2 + 3.2c3w + 4.3c4w2 + 5.4c5w
3 + … + n(n-1)cnwn-2)
0 = c0 + 2c2 + (c1-2c1+6c3)w + (c2 - 4c2 – 2c2 + 12c4)w2 +(
c3-6c3-6c3+20c5)w3 (6.24)
Pers (6.24) adalah pers polynomial atau identitas maka masing-masing koefisien dari semua pangkat w harus sama dengan nol, sehingga diperoleh hubungan antara koefisien-koeficien sebagai
berikut:
w0 c0 + 2c2 = 0 c2 =0
2c
w1 c1 - 2c1 + 6c3 = 0 c3 =
13.2
2c
w2 c2 - 6c + 12c4 = 0 c4 =2
3.4
3.2c
w3 c3-12c3+20c5 = 0 c5 =
34.5
3.4c
Dari beberapa perhitungan di atas dapat digeneralisasikan sebagai
2)1(
)2)(1(
nn c
nn
nnc
(6.25)
Karena koefisien dari variabel w yang saling berhubungan berbeda dua angka, maka penyelesaianumum terbelah menjadi dua yaitu penyelesaian genap dan ganjil
)(w ={ c0 + c2w2 + c4w
4 + c6w6 + … + c2nw
2n}+{ c1w + c3w3 + c5w
5 + c7w7… + c2n-1w
2n-1} (6.26)
Deret pada pers (6.26), baik yang genap ataupun yang ganjil, terputus bila pangkat tertinggi dari
deret ditentukan, misal pangkat tertinggi adalah n, maka cn+2 = 0, karena tidak diperbolehkan
variabelnya mempunyai pangkat yang lebih besar dari n, dari cn+2 = 0
nn cnn
nnc
)1)(2(
))(1(2
= 0 diperoleh )1( nn , n= 0,1,2,3,…. (6.27)
Pada pers (6.27) n disebut bilangan kuantum orbital. Untuk konsistensi penggunaan symbol yang
mendiskripsikan bilangan kuantum orbital baik untuk fungsi gelombang atau tingkat-tingkat energyelektron pada atom biasanya bilangan kuantum n diganti dengan symbol sehingga harga menjadi )1( (6.27a).
Penentuan penyelesaian fungsi Θ(θ) = Θ(w) dalam bentuk deret dapat diperoleh dari pers (6.25),
(6.26) dan (6.27) dengan cara pangkat tertinggi dari deret sudah diketahui, misalnya pangkat
tertinggi deret adalah 4 atau 5, hal ini berarti bahwa 4 atau 5 . Kemudian setelah pangkat
tertinggi ditentukan, dihitung dan digunakan untuk mencari koefisien c secara berturutan dengan
menggunakan pers (6.27) sedemikian hingga semua koefisien dinyatakan dalam c0 atau c1 dan bila
koefisien-koefisien tersebut dimasukkan ke pers (6.26) diperoleh Θ(θ). Penentuan harga c0 atau c1
pada pers (6.26) dihitung dengan menggunakan kondisi bahwa untuk harga w=1, masing-masing
harga )( = )(w untuk setiap harga harus sama dengan 1.
+
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 7/31
Contoh
Marilah kita tentukan )(4 dan )(5 . Untuk )(4 , pangkat tertinggi w dari fungsi ini adalah 4, maka c6 harus sama dengan nol dan
)(4 w
=
c0 + c2w2 + c4w
4
dan dengan menggunakan pers (6.25) 0
5.6
4.546
cc
sehingga diperoleh 20 karena pembilang persaman di atas harus sama dengan nol. Dengan
menggunakan pers (6.25) diperoleh 002 101.2
20ccc
02243
35
6
7
3.4
2.320cccc
dan 4
0
2
0043
3510)( wcwccw untuk w = 1 harga )(4 w =1 sehingga diperoleh
00043
3510)( cccw =1 yang memberikan harga 8
30 c
Jadi }35303{8
1)( 42
4 www
Sedangkan untuk Θ5(w) = c1w + c3w3 + c5w
5, dari kondisi 06.7
5.657
cc
diperoleh 30 , 1133
14
3.2
230ccc
, 1135
5
21
3
14
10
9
4.5
1230cccc
sehingga 5
1
3
115
21
3
14)( wcwcwcw Karena untuk w = 1 harga )(5 w =1 ,
11.5
211.
3
141.)( 111 cccw maka diperoleh harga c1 =
8
15sehingga
53
58
63
4
35
8
15)( wwww
Dengan cara di atas penyelesaian persamaan Schrodinger bagian polar dapat diperoleh dalam
bentuk deret yang dinyatakan seperti pada pers (6.26) dimana harga c0 dan c1 diperoleh dari kondisi
untuk harga w=1, masing-masing harga )(
harus sama dengan 1.
Dengan memasukkan harga )1( pada pers (6.18) maka PD fungsi Legendre dapatdituliskan sebagai
0)1(2)1(2
22
dw
d w
dw
d w (6.28)
Bentuk umum penyelesaian pers (6.28) dapat ditentukan dengan bentuk deret pada pers (6.26) dan
jika pangkat tertinggi fungsi juga sudah ditentukan, kemudian menggunakan pers (6.25) dan (6.27)
untuk menentukan koefisien masing-masing suku dalam deret, namun biasanya masih tersisa satu
parameter yang harus ditentukan yaitu c0 untuk penyelesaian genap dan c1 untuk penyelesaian ganjil
seperti pada contoh yang telah dibahas diatas.
Disamping penyelesaian bentuk deret, PD fungsi Legendre dapat diselesaiakan dengan fungsi
pembangkit PD legendre, yaitu
0
212
21,
n
t wt wt wt g (6.29)
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 8/31
Yang disebut fungsi pembangkit adalah 21221,
t wt wt g . Dengan mendiferensialkan ruas
kiri dan kanan pada pers (6.29), masing-masing terhadap t dan terhadap w, kita akan memperoleh
PD fungsi Legendre. Dengan mengekspansikan fungsi pembangkit dengan menggunakan teorema
binomial, kita akan memperoleh Polynom Legendre atau formula Rodrigues yang dinyatakan
sebagai
)1()(!2
1)( 2 w
dw
d w (6.30)
Pembahasan penjabaran PD fungsi Legendre dan Polinom Legendre dari fungsi pembangkit dapat
di lihat pada lampiran I
Cara ke tiga untuk menyelesaikan PD fungsi Legendre juga dapat dilakukan dengan
mentransformasi PD Legendre menjadi PD fungsi Hypergeometric dengan substitusi variable yangsesuai. Penjabaran penyelesaian PD fungsi Hypergeometric dapat dilihat pada Lampiran 1.
Dengan memasukkan nilai )1( dalam pers (6.11b) diperoleh
0sin)1(sinsin
12
2
m
d
d
d
d
(6.31)
Seperti pada PD fungsi Legendre, variabel diganti dengan w yaitu
0)1
)1((2)1(2
2
2
22
w
m
dw
d w
dw
d w (6.31a)
Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan Legendre associated pada pers (6.31a)
adalah pertama-tama dengan menyelesaiakan PD fungsi Legendre dan kemudian mengubah PD
fungsi legendre menjadi PD fungsi Legendre associated dengan mendiferensialkan PD fungsi
Legendre yang dinyatakan pada pers (6.28) m kali terhadap w, seperti ditunjukkan oleh pers (6.32).
0)}()1()(
2)(
)1{(2
22
w
dw
wd w
dw
wd w
dw
d m
m
(6.32)
Pers (6.32) diselesaikan dengan menggunakan formula Leibnitz’s yang dinyatakan pada pers (6.33)
!)!(
!),()()]()([
0 s sn
n x B
dx
d x A
dx
d x B X A
dx
d n
s
s
s
sn
snn
s
n
s
n
n
, (6.33)
Setelah didiferensialkan m kali terhadap w dengan menggunakan formula Leibnitz’s, pers (6.32)
menjadi
0)1()()1(2)1( 22 uummumwuw
atau
0)1)(()1(2)1( 2 ummumwuw . (6.34).
dimana u ≡ )(wdw
d m
m
Persamaan (6.34) adalah bukan self adjoint, untuk membuatnya menjadi bentuk self-adjoint, kita
melakukan substitusi terhadap fungsi u(w) yang dinyatakan pada pers (6.35)
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 9/31
v(w)=(1-w2 )m/2 u(w) = (1-w2)m/2 m
m
dw
wd )(
(6.35).
atau u(w) = v(w) (1-w2 )-m/2
Dengan memasukkan pers (6.35) ke pers (6.34) diperoleh
(1-w2) v -2w v+ ,01
)1(2
2
v
w
m (6.36),
Pers (6.36) merupakan persamaan yang sama dengan pers persamaan (6.31a)) yaitu PD Legendre
associated dimana2
2
2
2
dw
d
dw
vd m
, atau fungsi )()( wwv m
, yang merupakan fungsi Legendre
associated. Penjabaran PD Legendre associated dari PD Legendre secara lengkap dapat dilihat pada
Lampiran 1.
Jadi penyelesaian umum dari PD fungsi Legendre associated dapat dinyatakan dalam bentuk
polynomial Legendre associated pada pers (6.37)
m
=(1-w2 )m/2 u(w) = (1-w2)m/2
m
m
dw
wd )(
(6.37)
dimana )(w
dapat diperoleh dalam bentuk deret seperti pada pers (6.26) atau dalam bentuk
polinom Legendre
)1()(!2
1)( 2 w
dw
d w
n
Dalam beberapa buku Kuantum, biasanya fungsi legendre atau Legendre associated dinyatakan
dalam istilah )(w P
)(cos
P atau )(w P m
)(cos m P , maka jika seandainya dalam uraian di
beberapa bagian penulis mencantumkan istilah yang berbeda, para pembaca harap maklum.
Penyelesaian fungsi gelombang bagian sudut adalah
)()(),( m
mY
= imm
orb e N )(
(6.38)
Dengan menggunakan syarat normalisasi untuk fungsi gelombang bagian sudut
1sin|),(|2
0
2
0
d d Y m (6.39)
diperoleh faktor normalisasi fungsi gelombang bagian sudut yaitu
|)!|(
|)!|(
4
12)1( 2/|)|(
m
m N mm
orb
(6.40)
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 10/31
Dan pers (6.38) menjadi ),( mY
|)!|(
|)!|(
4
12)1( 2/|)|(
m
mmm
imm e)(
(6.41)
Dari pers (6.41) dapat dilihat bahwa harga 2/|)|()1(mm selalu 1 untuk m genap baik positif maupun
negatif dan untuk harga m yang negative dan ganjil, dan selalu sama dengan -1 untuk harga m yang
positive dan ganjil.
Contoh penentuan fungsi gelombang bagian sudut
Fungsi gelombang bagian sudut ditentukan dengan menggunakan pers (6.41), yaitu ,mY
!
!
4
12)1( 2/|)|(
m
mmm
cosm
l
ime
Mula-mula marilah kita hitung 20111000 ,,, Y Y Y Y :
4
1cos
!00
!00
4
10.2 00
000
ieY
untuk 10Y
cos4
3
1coscos
cos1!02
1
4
3
cos!01
!01
4
112)1(
10
2
1
12/02
110
00
1
0
10
Y
Y
eY i
Untuk lebih mudahnya, kita hitung lebih dahulu polinom Legendre associated )(wm
= )(cos m
dengan menggunakan persamaan (6.37), baik untuk harga m positive maupun negative, karena
harga )(wm
= )(wm
, yaitu.
)()1( 2/||2 wuw mm
=||
||2/||2 )(
)1(m
mm
dw
wd w
dimana
)1()(!2
1)( 2 w
dw
d w ,
Misal untuk 1 , maka harga m= -1, 0, 1
121
11 )1()(!12
1)( w
dw
d w w , maka
dw
dwww 2/121
1 )1()( sin)1( 2/12 w
cos)1()(0
0020
1 wdw
wd ww
Untuk 2 , maka harga m= -2, -1, 0, 1,2
222
22 )1()(!22
1)( w
dw
d w )412(
8
1 2 w )2
1
2
3( 2 w
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 11/31
maka
2
22
2/222
2
)2
1
2
3(
)1()(dw
wd ww 22
sin33).1( w
1
21
2/121
2
)21
23(
)1()(dw
wd ww ww 3)1(
2/12 cossin3
dan
0
20
020
2
)2
1
2
3(
)1()(dw
wd ww
2
1cos
2
3 2
Setelah )(wm
= )(cos m
dihitung, kemudian kita hitung mY dengan menggunakan pers (6.39)
sebagai berikut:
ii eeY sin8
3cos
!11
!11
4
11.2)1( 11
1
2/2
11
dan
ii eeY
sin
8
3cos
!11
!11
4
11.2)1( 11
1
2/0
11
Untuk 2 ,
22
2
2/4
22 cos!22
!22
4
12.2)1( ieY
22sin3.!4
1
4
5 ie
22sin.32
15 ie
2.2
2
2/0
22 cos!22
!22
4
12.2)1(
ieY
22sin.32
15 ie
1cos316
5
2
1cos3
2
1
!02
!02
4
12.2 202
20
ieY
Dengan cara yang sama anda dapat menentukan1221 danY Y . Beberapa fungsi bola harmonik
dituliskan pada tabel 6.1. fungsi ,mY disebut fungsi harmonik bola dan memenuhi
ortonormalitas
mmmm iiii d d Y Y
sin,, (6.42)
Tabel 6.1 Fungsi Harmonik Bola
4
1,00 Y )1cos3(
16
5, 2
20
Y
cos4
3,10 Y
ieY
cossin8
15,12
ieY sin
8
3,11
ieY 22
22 sin32
15,
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 12/31
Mengingat bentuk eksplisit m sebagai fungsi saja, maka rapat probabilitas polar hanya
bergantung pada sudut saja, yaitu
P Y Y P lmmmm ** ,,, (6.43)
Grafik fungsi ,mY dilukiskan dalam diagram tiga dimensi ditunjukkan pada gambar 6.2
Gambar 6.2 Representasi permukaan ,mY
Persamaan Schrodinger Bagian Radial
Bagian radial dari persamaan Schrodinger untuk atom hidrogen telah dijabarkan pada bagian
awal bab ini seperti yang ditunjukkan pada pers (6.8), dengan mengganti )1( yang diperoleh
dalam pembahasan persamaan polar fungsi Legendre, persamaan Schrodinger bagian radial
dinyatakan sebagai
121 2
2
22
r
e E
r m
dr
dRr
dr
d
Re (6.8)
untuk sistem CGS, atau
0
2
1
4
212
2
0
2
2
2
2
R
r mr
e E
m
dr
dRr
dr
d
r e
e
(6.8a)
untuk sistem SI
Karena elektron dalam keadaan terikat dengan inti maka energi elektron negatif maka energi eigen
nilai dapat ditulis menjadi E E .
Dengan memisalkan
r E me
2/1
2
8
= r dimana 2
82/1
2
E memaka
2
22
r (6.44)
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 13/31
Dan
2/12
82
E
me e
o =
2
0
2
2
eme
2
0
2
4
eme(6.45)
dan bila pers (6.44) dan (6.45) dimasukkan ke persamaan (6.8a) maka diperoleh
0R 4
1R
1)(R 2
2
22
2
2
(6.46)
Kemudian pers (6.46) dibagi dengan 2 akan diperoleh
0R 4
1R
1)(R 12
2
2
(6.47)
Untuk menentukan penyelesaian persamaan (6.47) dicari lebih dahulu penyelesaian pendekatan
untuk daerah di mana jari jari kulit bola sangat besar dan sangat kecil( di sekitar pusat koordinat).
Sebelum diselesaikan untuk ρ yang sangat besar dan mendekati nol, pers (6.47) diuraikan terlebih
dahulu dalam bentuk
0R 4
1R
1)(222
2
d
R R (6.47a)
karena
2
22
R R
Pada persamaan (6.47a) untuk daerah di tak berhingga dimana , mengakibatkan2
)1(
,
, dan
2menuju nol, sehingga pers (6.47a) berubah menjadi
0R 41R d
2
2
d
(6.48)
Pers diferensial orde dua pada pers (6.48) merupakan persamaan diferensial sederhana yang
mempunyai penyelesaian bentuk eksponensial yang dinyatakan sebagai
(6.49)
Sedangkan untuk daerah disekitar titik asal 0 , fungsi gelombang R dimisalkan lebih dahulu
dengan
2
22
2
2
22
1R 1
R R
2/ e R
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 14/31
)U()R( (6.50)
Pers (6.50) kemudian disubstitusikan ke dalam pers (6.47) sehingga untuk suku pertama pers (6.47)
berubah menjadi
U 2
2
1
)
1(
12
2
2
U U
U U U 2
2
2
1
=2
2
U
Dan pers (6.47) tereduksi menjadi persamaan deferensial dengan fungsi gelombang U
0U4
1U
1)(Ud
22
2
d (6.51)
Penyelesaian pers (6.51) untuk harga 0
0U1)(Ud
.0U4
1U
1)(Ud
0
lim22
2
22
2
d d (6.52)
karena harga diabaikan terhadap2
)1(
untuk 0
Kemudian pers (6.52) diselesaikan dengan metode Frobeneus dalam bentuk deret, karena untuk harga 0 menyebabkan harga B( ) =
20
)1( = , maka titik 0 merupakan titik regular
singular dan penyelesaian pers (6.52) berbentuk deret yang dinyatakan sebagai
k
k
k
s cU
0
(6.53)
Pers (6.53) dimasukkan ke dalam pers (6.52)
-2
)1(
U = -2
)1(
{c0 s
+ c11 s + c2
2 s + c33 s + ……….}
2
2
U = 2
2
{ c0
s
+ c1
1 s
+ c2
2 s
+ c3
3 s
+ c4
4 s
+ c5
5 s
…}
0= )}1()1({02 s sc s
+ })1()1({ 11
1 c s sc s + )}1)(2()1({2 s sc s +
(6.54)
Dengan menolkan koefisien dari suku dengan variabel pangkat terendah,2 s
, yaitu
0)1()1( s s merupakan “index equation” sehingga diperoleh
s atau 1 s , (6.54a)
dan untuk penyelesaian pers ( 6.52) dipilih harga 1 s , karena kalau dipilih harga s , untuk
0 menyebabkan harga U atau R menuju tak berhingga sehingga fungsi gelombang tak
ternormalisasi. Untuk 1 s maka penyelesaian pendekatan disekitar titik 0 adalah
U4
1
+
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 15/31
1 U (6.54b)
Penyelesaian umum untuk U adalah perkalian antara penyelesaian pendekatan di titik
dengan penyelesaian untuk 0
dan suatu fungsi L( ) yang dinyatakan sebagai
)(21
LeU
(6.55a)
atau Le R 2/ (6.55b)
Kemudian kita masukkan pers (6.55a) ke dalam persamaan (6.51) sehingga kita akan memperoleh
PD orde dua fungsi Laguerre L dengan langkah-langkah sebagai berikut:
d
U Le 2/1 Le 2/1
2
1.
L
e 2/1. (6.56a)
Kemudian masing-masing bagian A, B, dan C didefernsialkan sekali lagi untuk menghitung2
2
L
A
U 2
2
=
{ Le 2/1
}= Le 2/11 + Le 2/
2
1.)1(
L
e 2/.)1( (b)
B
U 2
2
=
{ Le 2/1
2
1. }= Le 2/
2
1.)1(
+ Le 2/1
4
1. +
L
e 2/1.
2
1 (c)
C
U 2
2
=
{
Le 2/1. }=
L
e 2/.)1(
L
e 2/1.
2
1 2
22/1.
Le (d)
2
2
U = Le 2/11
+2 Le 2/
2
1.)1(
+2
L
e 2/.)1(
L
e 2/1.
2
12
+ Le 2/1
4
1.
2
22/1.
Le
2
2
U = 2/1
e
[ { )(}4
1)1()1(
2 L
+{
)(
}1
)1(2 L 2
2
L }] 6.56(e)
Masukkan pers (6.55a), dan (6.56e) ke dalam pers (6.51) diperoleh
01122
2
L
L L
(6.57)
Pada pers (6.57) dapat diselesaikan secara langsung dengan penyelesaian bentuk deret
menggunakan metode Frobeneus. Pada pers (6.57) dapat dilihat bahwa PD orde dua ini mempunyai
titik ordinary untuk )1(2 dan titik regular singular untuk 0 , karena 0 lebih sederhana
dari pada )1(2 , maka dipilih penyelesaian untuk pers (6.57) dalam bentuk deret di sekitar titik
0 , yaitu
B C
+
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 16/31
1
10
~
0k
k
k
s .aL
s s aa ....3
3
2
2 s s aa (6.58)
Bila pers (6.58) dimasukkan ke dalam pers (6.57) akan diperoleh rumus rekursi dengan langkah penyelesaian sebagai berikut:
L1 1 {1
10
s s aa ....3
3
2
2 s saa }
L12 {12
s s a s sa 1
1
0 )1( ....)3()2( 2
3
1
2 s s a sa s }
2
2 L{
1
1
2
0 ))(1()1( s s a s sa s s ....)2)(3()1)(2( 1
32 s s a s sa s s }
0= {)1(12 00a s s sa
1 s }+ 1100 )1)(1(2)1(1 a sa s s saa }{
s }+ [
11 a + 212 )1)(2(}1{)2(12 a s sa sa s ]{1 s }+ ... (6.59)
Bila setiap koefisien dari variabel ρ pada pers (6.59) harus disamakan dengan nol, maka diperoleh
hubungan antara koefisien dari pangkat yang berturutan sebagai berikut:
Untuk ρs-1: 0)1(12 s s s 0)1(22 s s yang merupakan ”index equation” dan
diperoleh harga s = 0 atau )12( s . Dari dua macam harga s tersebut dipilih harga s=0 supaya
untuk ρ menuju 0 harga fungsi gelombang terdefinisi
ρs :
1100 )1)(1(2)1(1 a sa s s saa = 0
01 )22)(1(
1
a s s
s
a
untuk s = 0 01)22(
1aa
ρs+1
: 11 a + 212 )1)(2(}1{)2(12 a s sa sa s ] =0
12)122)(2(
11a
s s
sa
untuk s = 0 diperoleh
12)122)(2(
11aa
Untuk ρs+2
: 21 a + 323 )2)(3(}2{)3(12 a s sa sa s ] =0
Diperoleh
13
)222)(3(
21a
s s
sa
Di mana untuk s = 0 diperoleh
23
)222)(3(
21aa
Dari penjabaran di atas dapat digeneralisasikan untuk nilai tertentu
+
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 17/31
a
s s
sa
)22)(1(
11
(6.60a)
dan untuk s=0
aa
)22)(1(
11
(6.60b)
Pers (6.60b) merupakan rumus rekursi untuk s = 0 yang menentukan harga koefisien av pada deret
dari fungsi L(ρ). Misalkan nilai koefisien terendah adalah a0 = A dan berharga konstan yang
ditentukan dengan menggunakan kondisi normalisasi fungsi gelombang, dengan menggunakan pers
(6.60b) dapat ditentukan harga a1 , dan dengan diketahui harga a1 akan dapat juga ditentukan harga
a2, dan seterusnya untuk harga koefisien yang lebih tinggi.
Untuk harga v yang besar yang bersesuaian untuk harga ρ yang besar juga, dimana deret
didominasi oleh pangkat tinggi, sehingga pers (6.60b) dapat didekati dengan bentuk persamaan
aaa
11
1))(1(
(6.60b)
Dari rumus rekursi pers (6.60b) diperoleh!
Aa
dan pers (6.58) dapat dituliskan menjadi
Ae A L
0 !)(
Dan fungsi gelombang U(ρ ) pada pers (6.55a) dapat dinyatakan
21
e AU
(6.55a1)
Dapat dilihat bahwa fungsi gelombang pada pers. (6.55a1) akan berharga tak berhingga, yang mana
sebelumnya penyelesaian fungsi gelombang yang merupakan fungsi eksponensial positif sudah
tidak dipilih karena menyebabkan fungsi gelombang berharga tak berhingga dan tak dapat
dinormalisasi. Hanya ada satu cara untuk menghindari harga fungsi gelombang menuju tak
berhingga, yaitu deret harus terputus dan berhingga untuk harga m ax yang merupakan bilangan
bulat tertentu sehingga 01max a , dan dari pers (6.60a) diperoleh
01max (6.61)
Dengan mendefinisikan n 1max , maka n juga harus merupakan bilangan bulat yang
nantinya akan disebut sebagai bilangan kuantum utama, maka n dan adalah merupakan
bilangan kuantum radial.
Dengan menggunakan pers (6.61) dan (6.45) yang dinyatakan sebagai
2/12
82
E
me e
o maka
diperoleh energi dari elektron yang mengorbit inti pada kulit n tertentu, yaitu
222
4
2)4(||
o
enn
em E E , atau
222
4
2)4( n
em E
o
en
(6.62)
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 18/31
Pers (6.62) sama dengan formula energi elektron yang diusulkan oleh Bohr.
Bila didefinisikan m xem
ae
o
10
2
2
0 10529,04
adalah radius bohr, dan
0
2
0
21
4 nan
me
n
, maka pers
(6.62) dapat ditulis menjadi 2
2
2n
e
nm
E (6.62a)
Contoh:
untuk n=1,22
4
12)4( o
eem E
= -13,6 eV
Karena n=1, maka 0 dan berdasarkan pers (6.61) maka 0 sehingga dengan menggunakan
pers (6.55b) diperoleh 2/
010
ea R
sedangkan untuk n=2, dimana elektron berada pada excited state yang pertama, energi elektronadalah
42)4( 22
4
2o
eem E
= -3,4 eV
Untuk n=2 maka harga 0 atau 1 . Untuk 0 dan harga 0 diperoleh 01aa sedangkan
untuk 1 maka 02 a dan diperoleh 2/
020 )1( ea R . Bila 1 , maka 0 sehingga
2/
021
ea R . Masing-masing fungsi gelombang dapat dinormalisasi dengan menggunakan
persamaan
1||3
22
0
d Rn
Dengan substitusi n persamaan (6.57) menjadi
(6.63)
persamaan (6.63) ini tidak lain adalah persamaan differensial Laguerre terasosiasi, yang mempunyai
bentuk umum
012
2
p
q
p
q L pq L p L
(6.64)
Pers (6.64) equivalen dengan pers (6.63), maka 1)1(2 p atau p12 dan dari
pqn )1( diperoleh qn
Pers (6.64) dapat diperoleh dengan menggunakan fungsi pembangkit Laguerre yang dinyatakan
dalam persamaan (6.65)
!1),(
1
q
s L
s
e sU
q
q s
s
(6.65)
01122
2
Ln
L L
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 19/31
Bila kedua ruas kiri dan kanan pada pers (6.65) didiferensialkan terhadap ρ diperoleh
}!
{}1
{),(1
q
s L
d
d
s
e
d
d sU
d
d q
q s
s
atau
!}
1{
1
1
q
s L
s
e
s
sq
q s
s
atau
!
1
q
s L q
q }
!!{
1
q
s L
q
s Lq
q
q
q
(6.66)
Bila pangkat s untuk semua suku pada ruas kiri dan kanan disamakan menjadi sq ,yaitu
untuk ruas kiri
qq s s 1 sehingga 1 qq L L dan )!1(! qq (6.67a)
dan untuk suku ke dua ruas kanan qq s s 1 dan
1
qq L L
dan )!1(! qq (6.67b)
maka bila pernyatan (6.67a) dan (6.67b) dimasukkan ke pers (6.66), pers (6.66) menjadi
1qq Lq L 1 qqL
(6.68)
Kemudian ruas kiri dan kanan pers (6.65) didiferensialkan terhadap s dan diperoleh
}!
{}1
{),(1
q
s L
ds
d
s
e
ds
d sU
ds
d q
q s
s
2
121
)1(
)1(
1
)1(
)1(
1
s
e
s
s
s
se
s
s s
s
=
!
1
q
qs L qq
11)1(
2
1
s
s
s
e s
s
=
!
1
q
qs L qq
s
s
s
e s
s
1
1
)1(2
1
=
!
1
q
qs L q
q
!)1(
q
s L s
q
q 2
1
21!
s sq
qs Lq
q
atau !
(q
s Lq
q
!
1
q
s Lq
q
+ )!q
s L qq
!
(
1
q
qs Lq
q
!
2
q
sqL q
q )!
1
q
sqL qq
(6.69)
Dengan menggunakan pengubahan pangkat dari s sedemikian semua s pangkatnya sama, sq, seperti
pada argumentasi (6.67a) dan (6.67b) pada pers (6.69) akan diperoleh
!
(q
s L qq
)!1(
1
q
s L qq+ )
!q
s L qq
)!1(
)1((
1
q
sq L qq
!
2
q
sqL qq )
)!1(
)1( 1
q
s Lq qq
(6.69a)
Maka pers (6.69a) dapat dituliskan menjadi pers (6.70)
1q L 1
2)12( qq Lq Lq (6.70)
Bila pers (6.70) didiferensialkan terhadap ρ dieroleh pers (6.70a) dan kemudian dikurangi dengan
pers (6.68) yang telah dikalikan dengan q yang menghasilkan pers (6.68a) , yaitu pers (C2a)
dikurangi pers (C1a)
1q L 1
2
)12( qqq Lq L Lq (6.70a)
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 20/31
1
2
q Lq =1
2
qq Lq Lq (6.68a)
1
2
1 qq Lq L qq L Lq )1( (6.71)
Bila pada pers (6.68), variable q diubah menjadi q+1, yaitu qq Lq L )1(1 q Lq )1( dan
kemudian dimasukkan kedalam pers (6.71) diperoleh pers (6.72)
1
2
qq LqqL q L
(6.72)
Kemudian pers (6.72) didiferensialkan terhadap ρ diperoleh
1
2
qq Lq Lq qq L L
(6.72a)
Bila pers (6.72) dimasukkan ke pers (6.68a) maka pers (6.68a) menjadi
qq LqL =1
2
qq Lq Lq atau
1
2
q Lq qqq Lq LqL (6.73)
Kemudian pers (6.73) dimasukkan ke pers (6.72a):q Lq qqq Lq LqL
qq L L
atau
0)1( qqq qL L L (6.74)
Persamaan (6.74) disebut pers diferensial orde dua fungsi Laguerre. Untuk menentukan
penyelesaian fungsi gelombang atom H diperlukan persamaan diferensial fungsi Laguerre
terasosiasi yang dapat diperoleh dengan cara mendiferensialkan PD fungsi Laguerre terhadap
variable ρ sebanyak p kali. Persamaan diferensial orde dua Laguerre terasosiasi pada pers (6.64)
identik dengan persamaan diferensial pada pers (6.63). Pendiferensialan px di lakukan dengan
langkah sebagai berikut:
Mula-mula pers (6.74) didiferensialkan 1x terhadap ρ sehingga diperoleh
0)1(
qqqqq Lq L L L L
Bila
1
qq L L
,
qqq L L L 1
dan qqq L L L
1
, maka pers diatas ditulis dalam bentuk
0)1( 111
qqqqq qL L L L L atau 0)1()11( 111
qqq Lq L L (6.75)
Bila pers (6.75) didiferensialkan 1x lagi terhadap ρ diperoleh
0)1()11( 21221
qqqqq Lq L L L L
Atau 0)2()12( 222
qqq Lq L L
Dari hasil pendiferensialan pers (6.74) terhadap ρ sebanyak 2x dapat ditarik generalisasi untuk
pendeferensialan sebanyak px yaitu
0)()1(
p
q
p
q
p
q L pq L p L (6.76)
karena
p
q
p
q L L 1 , p
q
p
q L L 1
, dan
p
qq p
p
L L
.
Bila pada pers (6.76), harga 12 p dan q n , maka pers (6.76) sama dengan
pers (6.64) yang merupakan persamaan Diferensial orde dua fungsi Laguerre terasosiasi.
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 21/31
Penyelesaian pers (6.76) dinyatakan dalam bentuk polinom Laguerre terasosiasi p
q L yang
dinyatakan dalam rumus Rodrigues
pq
q
q p
q e
d
d e
pq
q L
!
!(6.77)
dimana koefisien p dan q merupakan fungsi dari bilangan kuantum orbital dan bilangan bulat n
yang nantinya disebut bilangan kuantum utama seperti ditunjukkan pada pers (6.78)
p = 2 +1
q = n + (6.78)
maka penyelesaian pers (6.64) adalah
12
n
p
q L L L
)1(
)1(
!)1(
)!(
n
n
n
e
d
d e
n
n
(6.79)
Dengan demikian penyelesaian fungsi gelombang bagian radial diberikan oleh
122/
nnn Le N R R (6.80)
dengann N adalah konstanta normalisasi yang ditentukan dengan prinsip
0
2*, iiiiii
nnnn
nn dr r R R R R
(6.81)
dimana
!12
!2
)!12(
13
nn
n
na N
o
n(6.82)
dengan 2
2
04
ema
eo
adalah radius bohr dan
0
2
0
21
4 nan
me
n
.
Dengan demikian, solusi lengkap persamaan (6.47) adalah
o
n
nar
oo
n
na
r Le
na
r
nn
n
na
r R o 22
!12
!2
)!12(
1 12/
2/13
(6.83)
atau
r Ler nn
nr R nn
r
nnnn
22
!12
!2
)!12(
1 12
2/1
3
(6.83a)
Berdasarkan hubungan p,q, n dan serta penyebut pada pers (6.77) didapat bahwa q-p harus lebih besar atau sama
dengan nol, atau
p q (6.84a)
maka (2 +1) n+ , atau lebih tepatnya n-1 (6.84b)
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 22/31
jadi untuk n tertentu maka
= 0,1,2,3,...,n-1 (6.84c)
Contoh : Tentukan R 10 ,R 20 , R 21 Rumus umum fungsi gelombang bagian radial adalah:
o
n
nar
oo
nna
r Le
na
r
nn
n
nar R o 22
!12
!2
)!12(
1 12/
2/13
Untuk R 10, n=1 dan =0 maka
o
ar
oo a
r Le
a
r
a
r R o
1
2
.1
2
!1011.2
!1
.1
2 10.2
01
.1/
02/1
3
10
o
ar
o a
r Le
ar R o 2.1
12
1
1
/
2/3
10
Dan dari persamaan
pq
q
q p
q ed
d e
pq
q L
!
!diperoleh
12
1
2
12!11
!1
1
2
0
1
1
0
0
1
2
1
0
11
2
0
1
100
a
r L
a
r e
ar d
d e
a
r L a
r
a
r
sehingga oar ear R /2/3
010 .2
Dengan jalan yang sama untuk R 20 diperoleh
r
o
ar
o
ar
oo
no
o
ea
r Le
ar R
a
r Le
a
r
a
r R
2
3
22
/
2/3
0
20
02
.1/
02/1
3
20
}{2.12
11
2
2
2
2
!1022.2
!02
2
2
1
10.2
)2(2
!12
!200000
0
1
0
2
0
2
0
1
2
a
r
a
r
a
r
a
r
a
r
eea
r e
a
r e
a
r d
d e
a
r L
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 23/31
)2(200
1
2
a
r
a
r L , maka oar
ea
r R/
2/3
0
20 .2
11
)2(2
0
a
r
o
ar
o
o
ar
oo
a
r Le
a
r
ar R
ar Le
ar
ar R
o
o
3
11.2
3
2/
2/3
0
21
12
2/
12/1
3
21
6
1
2
11
22
22
!1122.2!12
22
!31
3
.3
!33
!3
0
3
3
0
3
3
0
0
3
0
3
0
3
3
00
00
a
r L
eea
r L
a
r e
a
r d
d e
a
r L
a
r
a
r
a
r
a
r
sehingga oar e
a
r ar R
2/
0
2/3
02162
3
Cara III ; Penyelesaian PD Laguerre dengan menggunakan PD Confluent
Hypergeometrik
Berbagai persamaan diferensial orde dua dapat diubah menjadi PD Hypergeometrik atau
Confluent Hypergeometric, misalnya PD fungsi Hermite dan Laguerre dapat diubah menjadi PD
fungsi Confluent Hypergeometrik dengan substitusi variabel yang tepat, PD fungsi Legendre dapat
diubah menjadi PD fungsi Hypergeometrik. Persamaan diferensial fungsi Hypergeomtrik yang
diusulkan oleh C.F.Gauβ dinyatakan dalam bentuk
0ab-zz))1((czz)-z(1 2
2
ba (6.85)
Pers (6.85) dapat diselesaikan dengan bentuk deret di sekitar titik z = 0 yang merupakan titik
reguler singuler sehingga bentuk penyelesaiannya dinyatakan sebagai
n
n
s z a z (6.86)
Kemudian pers (6.86) dimasukkan ke dalam pers (6.85) sedemikian hingga diperoleh suatu
persamaan identitas atau polinom pangkat tinggi di mana semua koefisien dari variabel polinom
menjadi nol dan diperoleh hubungan antara an yang berturutan dari pers (6.86) dan diperoleh
penyelesaian PD Hypergeometric yang dinyatakan pada pers (6.68) dalam bentuk
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 24/31
n
n nn
nn z c
ba z z cba F
0
112)()1(
)()()();;,(
n
n n
nn z cn
ba
0 )(!
)()(
(6.87)
dimana )1)......(3)(2)(1()( naaaaaa n
(6.88)
1)( 0 a
Penyelesaian di atas mempunyai harga bila semua denominatornya dari deret tersebut tidak nol,
maka c≠ -n, dimana n = 0, 1, 2, 3, 4, ......Bila a = -n atau b = -n, maka bentuk penyelesaian yang
berupa deret menjadi terputus sehingga diperoleh penyelesaian yang berhingga yaitu polynomial
pangkat n. Contoh aplikasi dari penyelesaian PD Hypergeomtrik adalah penyelesaian Persamaan
diferensial fungsi Legendre 0)1(2)(
)1(2
22 P nn
dx
dP x
dx
x P d x
(6.89)
Bila x pada pers (6.89) diubah menjadi (1-2x) maka P(x) menjadi P(1-2x), dx menjadi d(1-2x)=-2dx
dan persamaan diatas dapat ditulis menjadi
0)1(2
)21(24
)1(42
2
P nndx
dP x
dx
P d x x
atau
0)1()21()(
)1(2
2
P nndx
dP x
dx
x P d x x
( 6.90)
Dengan membandingkan antara bentuk pers (6.85) dengan pers (6.90) maka didapat penyelesaian
PD fungsi Legendre sama dengan penyelesaian PD hypergeometric yang ditunjukkan oleh pers
(6.91)
);1;1,()21( 12xnn F x P n
(6.91)
Untuk s =1-c, maka penyelesaian ke 2 dari PD Hypergeometric pada pers (6.85) adalah
);2;1,1()( 12
1
2 z ccbca F z z c
(6.92)
Penyelesaian PD Hypergeometric jenis kedua ini tidak nol bila c≠ 2,3, .....
Dari penyelesaian bentuk pertama dan kedua PD Hypergeomeric , maka penyelesaian umum PD
Hypergeometric dapat dinyatakan sebagai
);2;1,1();;,()( 12
1
12 z ccbca F Bz z cba F A z c
(6.93)
Persaman Diferensial Confl uent Hypergeometr ic
Bila disubstitusikan x=bz pada PD Hypergeometric pers (6.85), diperoleh
0ab-
x1
) b
x)1((c
x1
) b
x-(1
b
x
2
2
2
b
ba
b
(6.85a)
pers (6.68a) dapat disederhanakan menjadi
0a-x
x) b
x)1((c
x)
b
x-x(1
2
2
a
(6.94)
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 25/31
Bila pada pers (6.94) harga b→∞ maka pers (6.94) menjadi persamaan diferensial Kummer yang
dinyatakan sebagai
0a-x
x)(cx
x2
2
(6.95)
Untuk x=0,
x
aatau..
x
x-c,maka titik x=0 disebut titik regular singuler dan titik x=
∞ disebut sebagai titik ordinary . Penyelesaian PD Kummer pada pers (6.95) disekitar titik x=0
dapat dinyatakan sebagai
n
n
s xa x x )( (6.96)
Bila pers (6.96) dimasukkan kedalam pers (6.95) diperoleh hubungan antara harga an yang
berturutan pada pers (6.96), yaitu
na 1))1()((
)1(
na
cn sn s
an s(6.97)
Karena ada dua macam harga s pada pers (6.96) yang diperoleh setelah memasukkan pers (6.96), kedalam pers (6.95), maka juga diperoleh dua macam bentuk penyelesaian PD Kummer, penyelesaian
bentuk pertama untuk s = 0 yang merupakan fungsi Confluen Hypergeometrik dan dinyatakan
sebagai
!)(
)();;()(
0
111n
x
c
a xca F x
nn
n n
n
= xc
a1
!2)1(
)1( 2 x
cc
aa
!3)1)(1(
)2)(1( 3 x
ccc
aaa
+ ……. (6.98)
Dan penyelesaian bentuk ke 2 untuk s=1-c adalah
!)2(
)1();2;1()(
0
112n
x
c
ca xcca F x
nn
n n
n
(6.99)
Dan penyelesaian umum dari PD Kummer adalah jumlah dari penyelesaian bentuk pertama dan
kedua dan dinytatakan sebagai
);;()( 11 xca F A x );2;1(11 xcca F B (6.100)
Untuk |x|→∞ , fungsi );;(1 xca F dapat didekati dengan bentuk
);;(1 xca F
aia xeac
c
)(
)( ca x xea
c
)(
)((6.101)
Dengan menyatakan persamaan diferensial atom H bagian radial dalam bentuk persamaan
differensial Confluent Hypergeometrik, maka fungsi gelombang bagian radial dari atom H dapat
diperoleh dengan sedikit lebih mudah. Dengan membandingkan parameter persamaan diferensial
Confluen Hypergeometrik standard dengan persamaan diferensial bagian radial atom H sebagai
berikut:
01122
2
L
L L
………… (6.63)
Bentuk umum PD Confluent Hypergeometric yang dinyatakan pada persamaan (6.95)
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 26/31
0ax
)xc(Z
x2
2
…………………….. (6.95)
Agar penyelesaian PD berupa polynomial yang berhingga syaratnya: a= -nr
Dan dengan membandingkan pers. (6.63) dan (6.95) diperoleh hubungan
1...,..1,...22 r r nk nataunk ac
dimana:
nr
= bilangan kuantum radial
= bilangan kuantum orbital
k = n =λ= bilangan kuantum utama
Dengan menggunakan syarat batas untuk penyelesaian PD confluent Hypergeometric a= -nr , maka
diperoleh tingkat-tingkat energi elektron yang sama dengan penyelesaian secara langsung fungsi
gelombang bagian radial menggunakan deret, yaitu dengan menggunakan pers (6.45) diperoleh
222
4
2)4( n
em E
o
en
2
2
2n
em
dimana
0
2
0
21
4 nan
me
n
,
Dari pembandingan parameter di atas diperoleh penyelesaian PD Laguerre yang dinyatakan dalam
bentuk Fungsi Confluent Hypergeometrik
);22;1()( 11
12
n F Ln )2;22;1(11 r n F n
(6.102)
Dari pers (6.63) dan (6.95) diperoleh penyelesaian fungsi gelombang bagian radial untuk atom H
dari penyelesaian cara ke 3 yaitu
122/
nnn Le N R R
2/ e N n
)2;22;1(11 r n F n
(6.103)
Dengan mengaplikasikan kondisi normalisasi diperoleh fungsi gelombang atom H bagian radial
secara lengkap, yaitu
r Ler nn
nr R nn
r
nnn
22!12
!2
)!12(
1 12
2/1
3
r
nnn er nn
nr R
2
!12
!2
)!12(
12/1
3)2;22;1(11 r n F n
(6.104)
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 27/31
Contoh penentuan bilangan kuantum radial )1( nnr dan penentuan fungsi Confluent
Hypergeometrik untuk kulit N dengan nomor kulit
Untuk n = 1, )(1
1 L 1)2;2;0(
11
r F n
Untuk n = 4:
n = k nr
k = 4 0
1
2
3
3
2
1
0
untuk harga =0, nr = 3
)2;2;3()2(11
1
4 r F r L = ...!3)(
)2()(
!2)(
)2()(
!1)(
)2()(
!0)(
)2()(
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
0 c
r a
c
r a
c
r a
c
r a
= ..0!4)5)(4)(3)(2(
)2)(0)(1)(2)(3(.
!3)4)(3)(2(
)2)(1)(2)(3(
!2)3)(2(
)2)(2)(3(
!1)2(
)2)(3(1
432
r r r r
)2(1
4 r L =24
)2()2(
2
1)2(
2
31
32 r
r r
Untuk
=1, nr = 2,maka diperoleh harga
)2;4;2()2( 11
3
5 r F r L = ..0!3)6)(5)(4(
)2)(0)(1)(2(
!2)5)(4(
)2)(1)(2(
!1)4(
)2)(2(1
32
r r r
)2(3
5 r L =20
)2(
2
)2(1
2r r
Untuk =2, nr = 1, harga )2;6;1(11 r F adalah
)2;6;1(11
5
6 r F L = ..!2)7)(6(
)2)(0)(1(
!1)6(
)2)(1(1
2
r r
)2(5
6 r L = 6
)2(1
r
Dari contoh perhitungan di atas dapat dilihat bahwa untuk setiap nilai deret akan terputus dengan sendirinya karena harga suku tertentu yang menjadi nol.
Untuk n=2;
= 0,1, maka harga bilangan kuantum radial nr = 1, 0 sehingga menghasilkan fungsi
Confluent Hypergeometrik sbb:
)2;2;1()2( 11
1
2 r F r L =
2
)2(1
r r 1
Dan 1)2;4;0()2( 11
3
3 r F r L
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 28/31
r Ler nn
nr R nn
r
nnn 22
!12
!2
)!12(
1 12
2/1
3
r Ler r R r
11
0
1
2/13
110 22!1011.2
!012
)!10.2(
1 1
r e
2
3
1)(2
r Ler r Rr
22
0
22
1
2
3
220 22}))!1(4
!2()2{(
!1
1 1
)1(})2
1()2{( 2
1
2
3
2 r e r )1()(2 2
3
2 r e r
r Ler r R r
23
1
22
1
2
3
221 22}))!0(4
!3()2{(
!3
1 3
r er r R 22
3
221 2)(31
Untuk n=3, harga =0,1,2, maka harga n2 = n - ( +1) =2, 1, 0
Untuk n=3, =0, nr = 2, maka
r Ler r R n
r
nn
22!1033.2
!032
)!10.2(
1 1
3
02/1
3
30
0!3
)2(
)4)(3)(2(
)0)(1)(2(
!2
)2(
)3)(2(
)1)(2(
!1
2
)2(
)2(1)2;2;2()(
3
3
2
33311
1
3
r r r
r F L
2
33311
1
3 )(3
221)2;2;2()( r r r F L
Dan
))(
3
221(2
!23.2
!32 2
33
02/1
3
30 r r er r R r
nn
))(3
221()(2 2
332
3
330 r r er R r
Untuk n=3, =1, nr =1
r Ler r R r
343
2/1
3
331 22!1133.2
!132
)!3(
1 33
0!2
)2(
)5)(4(
)0)(1(
!1
2
)4(
)1(1)2;4;1()(
2
33311
3
4
r r
r F L
2
1)2;4;1()( 3311
3
4
r r F L
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 29/31
)2(3
223
2
5
3313
r rer R
Untuk n=3, =2, nr =0
karena
r Ler r R r
323
2
3
2/1
3
332 22!1233.2
!232
)!12.2(
1 12.2
1)2;6;0()( 311
5
5 r F L
Maka r er r R
2
32
3
332 2103
1 r er 322
7
3103
4
Perhitungan beberapa contoh di atas menunjukkan bahwa penyelesaian fungsi gelombang
bagian radial dapat dilakukan dengan lebih mudah menggunakan penyelesaian PD fungsi
Confluent Hypergeometric yang dinyatakan pada pers (6.102 )
Fungsi gelombang bagian radial
r Rn secara jelas tergantung pada dua bilangan kuantum, n
dan , (atau nr dan
). Ketergantungan r Rn pada sebagai hasil dari penyelesaian persamaan
Schrodinger atom H dengan pemisahan variable seperti yang ditunjukkan pada pers (6.8 ), dengan
dimunculkannya kontribusi dari sumbangan gaya fiktif sentrifugal, yaitu2
)1(
r
, sedangkan bilangan
kuantum utama, n, muncul dari persamaan eigenvalue, yaitu persyaratan bahwa supaya fungsi gelombang
berhingga.
Beberapa fungsin R dituliskan pada tabel 6.2. Dari tabel 6.1 dan 6.2 dapat disimpulkan fungsi
gelombang lengkap ),()(),,( mnmn Y r Rr
dari elektron atom H yang bergerak mengorbit
inti ditunjukkan pada tabel 6.3.
Tabel 6.2 Fungsi Radial yang dinyatakan sebagai fungsi a 0
n n R
1 0 oar o ea /2/32
2 0oar
oo ear a2/2/3
)/2(22
1
2 1oar
oo ear a 2/2/3)/(
62
1
3 0oar
oo ear ar a 3/2
0
22/3)9/4/46(
39
1
3 1oar
ooo ear ar a 3/2/3)3/24)(3/2(
69
1
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 30/31
Grafik rapat probabilitas bagian radial r Rn ditunjukkan oleh gambar 6.3.
Tabel 6.3 Fungsi mn yang dinyatakan sebagai fungsi a 0
3 2oar
oo ear a 3/22/3)3/2(
309
1
n mmn
1 0 0oar
o ea/2/31
2 0 0oar
oo ear a 2/2/3)/2(
82
1
2 1 -1oar
oo ear a 2/2/3)/(
62
1
iesin8
3
2 1 0oar
oo ear a 2/2/3)/(
62
1
cos
4
3
2 1 1oar
oo ear a 2/2/3)/(
62
1
iesin8
3
3 0 0oar
oo ear ar a3/2
0
22/3
)9/4/46(129
1
3 1 0oar
ooo ear ar a 3/2/3)3/24)(3/2(
69
1
cos4
3
3 2 0oar
oo ear a 3/22/3)3/2(
309
1
)1cos3(16
5 2
Gambar 6.3 Rapat Probabilitas sebagai fungsi jarak
7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 31/31
Soal
6.1 Persamaan gelombang atom H bagian radial dinyatakan sebagai
0
2
1212
22
2
2
2
R
r mr
e E
m
dr
dRr
dr
d
r e
e
(1)
Bilar
r U r R n
n
)()(
a). Tunjukkan persamaan (1) menjadi
02
122
22
22
2
U
r mr
e E
m
dr
U d
e
e
(2)
b) Bila Bar dimana
2
2
mea B
dan2
2
2 na
e E B
n maka pers (2) berubah menjadi
0
112222
2
nn U
ndr
U d
(3)
c) Bila pers (3) dikalikan dengan
nk nk U k
d
dU
)1(
2
11 dan kemudian diintegralkan secara
bagian, tunjukkan hasilnya adalah 0)12(4
)12()1( 2221
2
k k k k k
k n
k ! (4)
d) tunjukkan bahwa persamaan (4) : d1) menjadi2
1 1
n untuk harga k = 0
d2) menjadi ))1(3(2
1 2 n untuk harga k = 1 dan menjadi 222))1(315(
2
1nn
untuk harga k = 2
6.2 a). Bila pers (1) pada soal 6.1 dibagi dengannU kemudian didiferensialkan ke , tunjukkan
bahwa
2322
122112}{
nnd
d
U
U
d
d
n
n(5)
b). Bila pers (5) dikalikan dengan nU 2 dan kemudian diintegralkan terhadap dari 0 sampai
tunjukkan bahwa hasilnya adalah 132 )21( n (6)
c) Dengan mengkombinasikan pers (4) dan (6) tunjukkan bahwa 133 })1)(2
1({ n
6.3. Dengan menggunakan penyelesaian dengan PD confluen Hypergeometrik, tentukan
40 R , 41 R , 42 R , dan 43 R !